Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία. Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης

Transcript

1 Άλγεβρα Β Λσκείοσ Τριγωμομετρία Στέλιος Μιταήλογλοσ Εσάγγελος Τόλης

2

3 1. ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ 1.1. ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ Οι αρακάτω έννοιες ου θα αναφέρουµε συµεριλαµβάνονται στη διδακτέα ύλη της Λυκείου, οότε το εριεχόµενό τους δεν αοτελεί εξεταστέα ύλη για τη Β Λυκείου. Οι συγγραφείς όµως συνιστούµε στους µαθητές να δώσουν ιδιαίτερη βαρύτητα στο εριεχόµενο αυτής της ενότητας, γιατί είναι βασικό για την κατανόηση και εµέδωση της Τριγωνοµετρίας. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας (0 < ω < 90 ) σε ορθογώνιο τρίγωνο Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι ό την ύλη του Γυµνασίου είναι γνωστό ότι: AB Β ηµω = εφω = ΒΓ Γ Γ Γ συνω = σφω = ΒΓ Β Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω, µε ω 90 Έστω ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Oxy. ν ηµιάξονας Οx στραφεί κατά τη θετική φορά (αντίθετα µε τους δείκτες του ρολογιού) µέχρι τη θέση Οz, τότε διαγράφει τη γωνία ω. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο Μ ου σχηµατίζεται είναι (OM ) = ρ = (x ) + (y ) > 0 και y x y x ηµω =, συνω =, εφω =, σφω = ρ ρ x y. Κατ εέκταση αν ο ηµιάξονας Ox ο οοίος ονο- µάζεται αρχική λευρά κινηθεί µέχρι τη θέση Oz (τελική λευρά), τότε αράγει µια γωνία ω. ν Μ(x,y) σηµείο της Oz και (OM) = ρ = x + y > 0, τότε ορίζουµε: y x y x ηµω =, συνω =, εφω = (x 0), σφω = (y 0) ρ ρ x y Στην τριγωνοµετρία θεωρούµε ότι υάρχουν γωνίες µεγαλύτερες των 60. ν ο ηµιάξονας Ox κινηθεί κατά τη θετική φορά και συµληρώσει ρ λήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει τη γωνία ρ 60 + ω. ν αντίστοιχα κινηθεί κατά την αρνητική φορά κατά ρ λήρεις στροφές και µετά διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ρ 60 + ω. Οι α- 11

4 ραάνω γωνίες έχουν την ίδια τελική λευρά Οz µε τη γωνία ω, εοµένως θα έχουν και τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Για κάθε κ ισχύει: ηµ(κ 60 + ω) = ηµω συν(κ 60 + ω) = συνω εφ(κ 60 + ω) = εφω σφ(κ 60 + ω) = σφω Τριγωνοµετρικός κύκλος Για τον καλύτερο ροσδιορισµό των τριγωνοµετρικών αριθµών, όως τους ορίσαµε ροηγουµένως σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Oxy, χρησιµοοιούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο. Τριγωνοµετρικός κύκλος λέγεται ο κύκλος ου έχει ακτίνα 1 και στο κέντρο του αντιστοιχεί το σηµείο Ο(0,0) ενός ορθοκανονικού συστήµατος αξόνων. Για τη γωνία ω έχουµε (ΟΜ) = ρ = 1 και y x ηµω = = y, συνω = = x. 1 1 Οότε ο άξονας yy λέγεται άξονας ηµιτόνων και ο άξονας xx λέγεται άξονας συνηµιτόνων. Οότε για κάθε γωνία ω ισχύει ότι: 1 ηµω 1, 1 συνω 1 Φέρνουµε την εφατοµένη ε 1 του κύκλου στο σηµείο. ό την οµοιότητα των τριγώνων ΟΓΜ και Ο ροκύτει ότι y εφω = =, ενώ αό την οµοιότητα των x τριγώνων ΟΒΜ και ΟΖΗ έχουµε x σφω = = ZH. Οότε η ευθεία ε 1 λέγεται y άξονας εφατοµένων και η ευθεία ε λέγεται άξονας συνεφατοµένων. Για να βρούµε την εφατοµένη ή τη συνεφατοµένη οοιασδήοτε γωνίας, ροεκτείνουµε την ακτίνα του κύκλου ου αντιστοιχεί η τελική λευρά της γωνίας έτσι, ώστε να τέµνει τις ευθείες ε 1 και ε. ό τον τριγωνοµετρικό κύκλο, για τα ρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών στα διάφορα τεταρτηµόρια ροκύτει ο διλανός ίνακας. 1

5 Ως ρος το ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Oxy, δίνου- µε τις συντεταγµένες διαφόρων χαρακτηριστικών σηµείων του τριγωνοµετρικού κύκλου, όως εµφανίζονται στο διλανό σχήµα. Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ κτίνιο - Τριγωνοµετρικοί αριθµοί βασικών γωνιών Το ακτίνιο (rad) είναι η γωνία ου, όταν γίνει είκεντρη ενός κύκλου (O, R), βαίνει σε τόξο ου έχει µήκος R. Τα τόξα τα µετράµε σε µοίρες ή σε ακτίνια. Η σχέση ου συνδέει ένα τόξο µ 0 και α rad είναι α µ =. ό τη σχέση αυτή ολόκληρος ο κύκλος είναι τόξο 60 0 και αντιστοιχεί σε rad. 180 Το µήκος S ενός τόξου α rad σε κύκλο ακτίνας ρ δίνεται αό τη σχέση S = α ρ. ν σε σηµείο Μ του τριγωνοµετρικού κύκλου αντιστοιχεί τόξο ω 0 µοιρών ή θ rad, τότε στο σηµείο Μ αντιστοιχούν άειρα τόξα 0 0 της µορφής κ 60 + ω ή κ + θ, κ. Ισχύει ότι: ηµ(κ + θ) = ηµθ εφ(κ + θ) = εφθ συν(κ + θ) = συνθ σφ(κ + θ) = σφθ Ι ΠΙΝΚΣ ΒΣΙΚΩΝ ΤΙΓΩΝ. ΙΘΜΩΝ Γωνία θ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΙ ΙΘΜΟΙ µοίρες rad ηµθ συνθ εφθ σφθ δεν ορίζεται δεν ορίζεται δεν ορίζεται δεν ορίζεται δεν ορίζεται 1

6 Μέθοδος Μετατροή ακτινίων σε µοίρες και αντιστρόφως Για να µετατρέψουµε σε µοίρες ένα τόξο ου δίνεται σε rad ή και το αντίστροφο, χρησιµοοιούµε τη σχέση: α µ = 180 και κάνοντας αντικατάσταση αυτό ου γνωρίζουµε βρίσκουµε το ζητούµενο. Συνήθως τα rad εκφράζονται συναρτήσει του αριθµού. ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκφράσετε: I. τη γωνία 7 rad 6 σε µοίρες II. τη γωνία 75 σε rad. I. ό τη σχέση II. ό τη σχέση α µ 7 = για α = έχουµε: ο µ 7 µ o o = = 6µ = µ = 10 ο α µ = για µ = 75 έχουµε: o 180 ο α 75 α 5 = = ο α = 1 Μέθοδος Υολογισµός τριγωνοµετρικών αριθµών µεγαλύτερων των 60 ο Όταν ζητείται να υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί µιας γωνίας ω ου είναι µεγαλύτερη αό 60 0, τότε κάνουµε τη διαίρεση ω:60. Έστω κ το ηλίκο της διαίρεσης και υ το υόλοιο. ό την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης έχουµε ότι ω = 60 κ+ υ, όου κ Z. 0 υ < 60 Οότε οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας ω είναι ίσοι µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας υ. 1

7 Όταν τα τόξα δίνονται σε rad και είναι της µορφής rad, τότε εκτελούµε τη διαίρεση :δ δ και έστω κ το ηλίκο και υ το υόλοιο. Οότε το κλάσµα γίνεται: κδ υ υ υ = + = κ+ = κ+ δ δ δ δ Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ κ είναι άρτιος: η τελική λευρά του τόξου κ βρίσκεται στο σηµείο και οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου δ υ είναι ίσοι µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του τόξου δ. κ είναι εριττός: η τελική λευρά του τόξου κ βρίσκεται στο σηµείο Β και οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου δ ισούνται µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του τόξου υ +. δ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των αρακάτω γωνιών: I. 790 II. 5 III I. Εκτελούµε τη διαίρεση 790 :60 και ροκύτει ηλίκο 7 και υόλοιο 70. Οότε 790 = Έχουµε: ηµ790 = ηµ70 = συν790 = συν70 = 0 εφ790 = εφ70 = δεν ορίζεται σφ790 = σφ70 = 0 II. Εκτελούµε τη διαίρεση 5: και έχουµε 5 = Άρα = = 8 + = 8 + Εειδή το 8 είναι άρτιο ολλαλάσιο του τότε: 5 ηµ = ηµ = 5 εφ = εφ = 5 1 συν = συν = 5 σφ = σφ = 15

8 III. Κάνουµε τη διαίρεση 177:6 και έχουµε 177 = Οότε 177 = Εειδή το 9 είναι εριττό ολλαλάσιο του, τότε οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου θα ισούνται µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του τόξου + = = Έχουµε: ηµ = ηµ + = ηµ = 1 συν = συν = εφ = εφ, δεν ορίζεται σφ = σφ = Μέθοδος Πρόσηµο τριγωνοµετρικών αριθµών Για να βρίσκουµε εύκολα το ρόσηµο των τριγωνοµετρικών αριθµών υάρχει µε τη βοήθεια του τριγωνοµετρικού κύκλου ο µνηµονικός κανόνας Ο Η Ε Σ ου αναφέρεται στα θετικά ρόσηµα. Να τονίσουµε ότι εφατοµένη και συνεφατοµένη είναι οµόσηµες. Π.χ. στο ο τεταρτηµόριο το ηµίτονο είναι θετικό και οι υόλοιοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί (συν, εφ, σφ) είναι αρνητικοί. ο x Ημιτον. + Εφατ. y Όλα + Συνημίτονο + + ο y 1 ο 0 ο x ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ. ν 9 1 < x <, να αοδείξετε ότι ηµx συνx εφx σφx> 0. όου: Παρατηρούµε ότι 9 1 = +, = +. Άρα η τελική λευρά της γωνίας x είναι µεταξύ του ηµx > 0 συνx 0 συνx 0 εφx< 0 εφx > 0 σφx< 0 σφx > 0 και του < > ( + ) > ηµx συνx εφx σφx 0., δηλαδή στο τεταρτηµόριο, 16

9 . ν ισχύει x < <, να αοδείξετε ότι: συνxηµ x ηµxσυνx + συνx + σφx< 0. Έχουµε ότι: συνxηµ x ηµxσυνx + συνx + σφx< 0 ( ) συνx ηµ x ηµx σφx< 0 συνx(ηµx 1) + σφx< 0 Όµως εειδή η γωνία x βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο όου Άρα αοδείχθηκε το ζητούµενο. συνx 0 συνx(ηµx 1) 0 σφx< 0 < < + < Παρατήρηση: συνx(ηµx 1) σφx 0. ηµ x = (ηµx) Μέθοδος Μέγιστες και ελάχιστες τιµές αραστάσεων Στις ασκήσεις ου αναφέρονται σε τιµές αραστάσεων, οι οοίες εριέχουν ηµίτονα και συνηµίτονα κάοιων γωνιών, λαµβάνουµε υόψη ότι: Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι 1 ηµω 1 ηµω 1 0 ηµ ω 1 1 συνω 1 συνω 1 0 συν ω 1 Σε ασκήσεις αυτής της κατηγορίας εφαρµόζουµε συνήθως τις ιδιότητες διάταξης. ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 5. Να βρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή της αράστασης = ηµx συν ω 1. Γνωρίζουµε ότι 1 ηµx 1 οότε ηµx (1) ( ) Είσης 0 συν ω 1 0 συν ω συν ω 0 () Προσθέτοντας τις σχέσεις (1), () κατά µέλη έχουµε: ηµx + συν ω 0 5 ηµx συν ω (ροσθέτoυµε σε όλα τα µέλη το 1) 5 1 ηµx συν ω A Άρα, η ελάχιστη τιµή της αράστασης είναι το 6 και η µέγιστη το. 17

10 6. Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει ραγµατικός αριθµός x τέτοιος ώστε: I. ηµ x+ < 5ηµx II. συνx = α + α + 9,α. I. Υοθέτουµε ότι υάρχει x τέτοιος ώστε να ισχύει: Θέτουµε ηµx = ω οότε ω 5ω + 6< 0 (1) ηµ x+ < 5ηµx ηµ x 5ηµx + 6 < 0 = ( 5) 1 6 = 5 = 1 = β± 5± 1 ω1, = = α = Για να ισχύει η (1) θα ρέει <ω<, δηλαδή <ηµx<, ράγµα άτοο γιατί 1 ηµx 1. II. Έχουµε ότι εειδή α + α + 9 = α + α = (α + ) (α + ) 0. Οότε α + α + 9 5, δηλαδή συνx 5, άτοο γιατί συνx 1. 18

11 ΕΞΣΚΗΣΗ 7. Να µετατρέψετε σε rad τις αρακάτω γωνίες: I. 10 II. 185 III. 150 IV. 50. (A.: I. 7 1, II. 6, III. 5, IV. 6 5 ) Τ ΙΓ Ω ΝΟ 8. Να µετατρέψετε σε µοίρες τα αρακάτω τόξα: 7 11 I. rad II. rad III. rad IV. 0rad (.: I. 105, II. 0, III.,5, IV. 700 ) Μ ΕΤ Ι 9. ύο γωνίες έχουν άθροισµα 90 0 και διαφορά rad. Να βρείτε σε rad την κάθε γωνία. (.: x =, y= ) Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών: I. 150 II. 7 rad III. 91 IV. 006 (.: I. ηµ150 = ηµ70 = 1,..., II. ηµ7= ηµ = 0,... III. 91 ηµ = ηµ =,..., IV. 006 ηµ = ηµ = 1,... ) 11. ν M( 1, ) σηµείο της τελικής λευράς γωνίας θ, να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών κ + θ, κ και το τεταρτηµόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας θ. (.: ηµ(κ + θ) =, 1 + =, ο τεταρτηµόριο) συν(κ θ), ν 5 < x<, να αοδείξετε ότι: ηµx εφx συνx σφx > ν < ω<, να αοδείξετε ότι: συνω + 1+ εφω + σφω > 0. (Υόδειξη: Παρατηρήστε ότι 1<συνω<1) 1. Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει ραγµατικός αριθµός x τέτοιος, ώστε: I. ηµ x + 1 7ηµx II. συν x 1= συνx

12 15. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των αρακάτω αραστάσεων: A= 1 ηµ x, B = συνx ηµ ω, Γ = ηµ x συνω. (. 0 A 1, 6 B, Γ 5 ) 16. Να αοδείξετε ότι οι γωνίες 1 φ = ρ, κ,ρ, έχουν τους ίδιους τριγω- 5 νοµετρικούς αριθµούς. 7 θ = κ + και 5 (Υόδειξη: είξτε ότι διαφέρουν κατά ακέραιο ολ/σιο του ) 17. Να αοδειχθεί ότι δεν υάρχει ραγµατικός αριθµός x τέτοιος ώστε: συνx = κ κ +,κ. 18. Να αοδείξετε ότι τα αρακάτω ζεύγη γωνιών έχουν τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς: 7 9 I. ω= κ , φ= λ II. ω = κ, φ = λ +, κ,λ. 19. ίνονται οι γωνίες ω = ρ + και θ = λ +, ρ, λ. Να βρεθούν τα σηµεία στα οοία η τελική τους λευρά τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, καθώς είσης και η αόσταση των ση- µείων αυτών. (.: (Μ1Μ ) = + ) 0

13 ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΕΣ ΤΥΤΟΤΗΤΕΣ ό τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών και µε τη βοήθεια του τριγωνοµετρικού κύκλου για µια γωνία ω αοδεικνύονται οι αρακάτω τριγωνοµετρικές ταυτότητες: Τ ΙΓ 1. ηµ ω+ συν ω= 1 (ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΣ) Ω ΝΟ. ηµω συνω εφω =, συνω 0 και σφω, ηµω 0. συνω = ηµω. εφω σφω = 1. Σχέσεις ου δίνουν το ηµω και το συνω συναρτήσει της εφω είναι: ηµ ω εφ ω = συν ω 1 = 1 + εφ ω 1 + εφ ω Μ ΕΤ Ι Μέθοδος Εύρεση τριγωνοµετρικών αριθµών 1η ερίτωση: Γνωρίζουµε ηµίτονο ή συνηµίτονο, οότε: (α) χρησιµοοιούµε την ηµ ω+ συν ω= 1 και βρίσκουµε συνηµίτονο ή ηµίτονο ηµω 1 (β) χρησιµοοιούµε εφω =, σφω = και βρίσκουµε εφατοµένη, συνεφατοµένη. συνω εφω η ερίτωση: Γνωρίζουµε εφατοµένη ή συνεφατοµένη, οότε: (α) χρησιµοοιούµε συν ω 1 = και βρίσκουµε συνηµίτονο 1 + εφ ω ηµω (β) χρησιµοοιούµε εφω = ηµω= εφω συνω και βρίσκουµε ηµίτονο. συνω Προσοχή στα ρόσηµα, ανάλογα µε τα τεταρτηµόρια!!! 1

14 ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 0. ν συνx = και < x<, να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad. 5 Έχουµε: 9 ηµ x+ συν x = 1 ηµ x+ = 1 ηµ x+ = ηµ x= 1 ηµ x= ηµx =± Εειδή x < <, η γωνία βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο όου ηµx<0, άρα ηµx =. 5 ηµx Είσης, εφx 5 1 = = = και σφx = =. συνx εφx 5 1. ν σφx = και < x <, να υολογίσετε την τιµή της αράστασης συνx ηµx =. ηµx συνx Είναι σφx =, άρα εφx =. Υολογίζουµε τα συνx και ηµx: συν x = 1 = 1 = 1 = 1 = 16 συνx =±. 1+ εφ x Aλλά < x <, δηλαδή η γωνία x βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο όου συνx<0, άρα συνx =. 5 ηµx Είσης: εφx = ηµx = εφx συνx ηµx = =. συνx συνx ηµx 5 5 Οότε: A= = = 5 5 = 0. ηµx συνx

15 . ν εφx = σφx και < x<, να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad. Έχουµε: εφx σφx εφx = αορρίτεται γιατί < x< = 1 εφx = εφ x = σφx = εφx εφx εφx= Τ ΙΓ Ω ΝΟ Άρα, συν x = 1+ εφ x = 1 + ( ) = 1+ = 5 o τεταρτηµόριο 1 5 συνx =± συνx =+ 5 5 Μ ΕΤ και ηµx 5 5 εφx = ηµx = εφxσυνx ηµx = ( ) ηµx =. συνx 5 5 Ι. ν ηµx + συνx= 5, x 0,, να υολογίσετε την εφx. Εειδή δεν γνωρίζουµε κανέναν τριγωνοµετρικό αριθµό και συνx 0(γιατί x 0, ), διαιρούµε και τα δύο µέλη µε συνx για να σχηµατίσουµε την εφx. Οότε: ηµx συνx = εφx+ = 5 συνx συνx συνx συνx Υψώνουµε στο τετράγωνο και έχουµε: 1 (εφx+ ) = 5 συν x 1 =+ συνx 1 εφ x 9εφ x+ εφx+ 16= 5(1+ εφ x) 9εφ x+ εφx+ 16= 5+ 5εφ x 16εφ x εφx+ 9= 0 (εφx ) = 0 εφx = 0 εφx =. 1 Τότε αό τη σχέση συν x = ροκύτει ότι 1 + εφ x συνx = και 5 ΣΧΟΛΙΟ Υψώνουµε και τα δύο µέλη στο τετράγωνο, µια µέθοδος ου εφαρµόζεται συχνά στην τριγωνοµετρία και µας βοηθά στην είλυση των α- σκήσεων. Στο τέλος κάνουµε εαλήθευση των ριζών στην αρχική εξίσωση. ηµx = ου είναι δεκτές τιµές. 5

16 ΕΞΣΚΗΣΗ 1. ν ηµθ = και < θ<, να υολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 1 θ rad (.: συνθ =, εφθ =, σφθ = ) ν σφx = και < x <, να υολογίσετε την τιµή της αράστασης συνx + ηµx K =. σφx + εφx 6 5 (.: K = ) 5 6. ν 9 ω 5 < < και 16σφ ω = 9, να υολογίσετε την τιµή της αράστασης 1+ εφω Κ =. ηµω + συνω (.: 5 Κ = ) 7. ν συν x ηµ x= 0και < x <, να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x rad. 1 (.: συνx =, ηµx =, εφx =, σφx = ) 8. ν 6συνx 8ηµx = 10 και x,, να βρείτε την εφx. (.: εφx = )

17 Μέθοδος όδειξη τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων και ανισοτήτων Για να αοδείξουµε µια τριγωνοµετρική ταυτότητα εργαζόµαστε µε έναν αό τους αρακάτω τρόους: 1 ος τρόος: ρχίζουµε αό το ιο ολύλοκο µέλος, και καταλήγουµε κάνοντας ράξεις και ε- φαρµόζοντας τις βασικές ταυτότητες καταλήγουµε στο άλλο µέλος. ος τρόος: Κάνοντας ράξεις ξεχωριστά στα δύο µέλη καταλήγουµε στην ίδια αράσταση (αοτέλεσµα). ος τρόος: ρχίζουµε αό γνωστή ταυτότητα και µε µετασχηµατισµούς εµφανίζουµε την ισότητα ου µας ζητείται. ος τρόος: Κάνουµε ράξεις ταυτόχρονα και στα δύο µέλη και κρατώντας τις ισοδυναµίες καταλήγουµε σε ροφανή ισότητα. Όταν ρόκειται για τριγωνοµετρική ανισότητα, τότε ξεκινώντας αό αυτή µε ισοδυναµίες καταλήγουµε σε κάτι ου ισχύει. Θα αναφερθούµε ιο κάτω σε κάοια αό τα συνηθέστερα «τεχνάσµατα» ου χρησιµοοιούµε στην είλυση ασκήσεων τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων. 1. ό τον θεµελιώδη νόµο αντικαθιστούµε ανάλογα: ηµ x= 1 συν x, συν x= 1 ηµ x Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι. ν έχουµε σε άσκηση εφx, σφx, ηµx ή συνx, τότε αντικαθιστούµε: ηµx συνx εφx =, σφx = συνx ηµx. Προσαθούµε να εµφανίσουµε εφx σφx= 1 ή να εκφράσουµε: 1 1 εφx = ή σφx = σφx εφx. ν έχουµε αραστάσεις των µορφών 1± ηµθ ή 1± συνθ, ολλαλασιάζουµε και διαιρούµε µε τις συζυγείς τους αραστάσεις 1 ηµθ ή 1 συνθ για να εµφανίσουµε µε τη βοήθεια της ταυτότητας (α β)(α + β) = α β τέλεια τετράγωνα. 5. οδεικνύεται εύκολα και µορούµε να χρησιµοοιούµε σε ασκήσεις ότι: 1 1 = 1 + εφ x, = 1+ σφ x συν x ηµ x 6. Όου χρειάζεται µορούµε να χρησιµοοιήσουµε τους µετασχηµατισµούς ταυτοτήτων: έτσι, ώστε να εµφανίσουµε το µορούµε να το εκφράσουµε µε α + β = (α+ β) αβ α + β = (α+ β) αβ(α+ β) ηµ x+ συν x = 1. Όµως και αντιστρόφως αν εµφανίζεται το 1 ηµ x+ συν x, για αράδειγµα: 1± ηµxσυνx = ηµ x+ συν x± ηµxσυνx = (ηµx ± συνx). 5

18 ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 9. Για οιες τιµές του α υάρχει γωνία θ για την οοία ισχύει: α α + Ι. ηµθ = και συνθ = α + α + α α ΙΙ. εφθ = και σφθ =. 1 α α + Ι. Για α θα ρέει να ισχύει: ηµ θ+ συν θ= 1 α α + (α ) (α + ) + = 1 + = 1 α + α + (α + ) (α + ) Άρα: (α ) + (α + ) = (α + ) α 6α α + α + = α + 8α + 16 α 10α = 0, 10 ± ± ± 7 α = = = α = 5+ 7 ή α = 5 7 δεκτές ΙΙ. Με την ροϋόθεση ότι ορίζονται εφθ και σφθ, θα ρέει Εειδή εφω σφω = 1, έχουµε: α α α = 1 = 1 1 α α+ α + α α α 1 1 α 0 και α + 0 α α = α+ α α α + α 1= 0, = 5 οότε: 1± 5 α= 6 α = 1 ή α = εκτές 6

19 0. Να αοδειχθούν οι ισότητες: Ι. (ηµx εφx) + (συνx 1) = 1 συνx συν x εφx ΙΙ. + = σφx. ηµx 1 + εφ x 1 Ι. Θα ξεκινήσουµε αό το α µέλος ανατύσσοντας τις ταυτότητες και αντικαθιστώντας ηµx εφx =, έχουµε: συνx (ηµx εφx) + (συνx 1) = ηµ x ηµxεφx + εφ x + συν x συνx+ 1= ηµx ηµ x = ηµ x ηµx συν x συνx 1 συνx + συν x + + = (γνωρίζουµε ότι ηµ x+συν x=1) Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι ηµ x ηµ x = + συνx = συν x συν x (εειδή στο β µέλος έχουµε συνx αντικαθιστούµε ηµ x= 1 συν x) 1 συν x 1 συν x = + συνx = συνx συν x συνx + 1 συνx = 1 + συνx+ συνx = συνx συν x συνx συν x 1 1 = 1 + = 1 συνx συν x συνx. 1 ΙΙ. Θα ξεκινήσουµε αό το α µέλος και θα αντικαταστήσουµε το συν x =. 1 + εφ x Έχουµε: ηµx ηµx ηµx συν x 1 συνx συνx + εφx = συν x + εφxσυν x = συν x + εφx = 1+ εφ x συνx ηµx συν x + ηµ x 1 = συν x + = συν x συν x ηµx συνx = = ηµx συνx ηµx συνx συνx = = σφx. ηµx 7

20 1 συνω 1 συνω 1. ν 0 < ω < και K = +, Λ =. 1 συνω 1 + συνω Να αοδείξετε ότι: Κ Λ = σφω. Θα ρέει τα Κ, Λ να τα φέρουµε σε µορφή τετραγώνων για να αλοοιηθούν τα ριζικά: Κ 1+ συνω (1 + συνω) (1+ συνω) (1+ συνω) = = = = 1 συνω (1 συνω)(1 συνω) 1 συν ω ηµ + ω (ολ/ζω µε τη συζυγή αράσταση του αρονοµαστή για να εµφανίσω διαφορά τετραγώνων) Έχουµε: Λ 1+ συνω (1 συνω) (1 συνω) = = = 1 συνω (1 συνω)(1 συνω) ηµ + + ω (1 + συνω) (1 συνω) Κ Λ = = ηµ ω ηµ ω. 1+ συνω 1 συνω = όµως ηµω ηµω 1 + συνω 0 1 συνω 1 1 συνω 0 και εειδή 0<ω< ηµω > 0, έχουµε: Κ Λ = 1+ συνω 1 συνω = 1 + συνω 1 + συνω = συνω = σφω. ηµω ηµω ηµω ηµω 6 6. Να βρείτε το α, ώστε η αράσταση Κ = ηµx+ συν x + α(ηµ x+ συν x) να είναι ανεξάρτητη του x και στη συνέχεια να βρείτε την τιµή της αράστασης Κ. ό τον µετασχηµατισµό της ταυτότητας α + β = (α+ β) αβ έχουµε: ηµ x+ συν x = (ηµ x) + (συν x) = (ηµ x+ συν x) ηµ xσυν x = 1 ηµ xσυν x (1) Είσης αό τον µετασχηµατισµό α + β = (α+ β) αβ(α+ β) έχουµε: 6 6 ηµ x+ συν x = (ηµ x) + (συν x) = = (ηµ x+ συν x) ηµ xσυν x(ηµ x+ συν x) = 1 ηµ xσυν x () ό τις σχέσεις (1) και () η αράσταση Κ γίνεται: K = 1 ηµ xσυν x + α(1 ηµ xσυν x) = 1 ηµ xσυν x + α αηµ xσυν x = = 1+ α ( + α)ηµ xσυν x. 8

21 Για να είναι ανεξάρτητη του x, θα ρέει + α = 0 Για α = έχουµε 1 Κ = 1+ K =. ν εφx = κ, να αοδείξετε ότι: α =. (κ 1)(κ ) συν x + ηµ x ηµxσυνx =. κ + 1 Για να εµφανίσουµε την εφx, την οοία γνωρίζουµε, βγάζουµε κοινό αράγοντα το συν x και έχουµε: ηµ x ηµχσυνx + = + = συν συν συν Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι 1 = συν x(+ εφ x εφx) = (εφ x εφx+ ) = 1+ εφ x 1 (κ 1)(κ ) = (κ κ + ) =. 1+ κ κ + 1 9

22 ΕΞΣΚΗΣΗ. Να αοδείξετε ότι: Ι. 1 1 ηµx εφx = συνx 1+ ηµx συνx ηµ x ΙΙΙ. συνx ηµx 1 εφx συνx ηµx = + ΙΙ. ΙV. 1 ηµx ηµx 1 + = εφ x 1 ηµx συν x ηµ x+ ηµ xσυν x συν x = 1. ηµ x 1 5. ν = αηµx και B = βσυνx, να αοδείξετε ότι: (β) + (αβ) = αβ. 6. Να βρείτε τις τιµές της αραµέτρου α έτσι, ώστε ηµx = α + 1 α και συνx = α α 7. Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή. 8. Να αοδείξετε ότι: 6 6 f(x) = ηµ x+ συν x ηµ x συν x ηµ xσυν x συν x + συν y+ ηµx ηµy για κάθε x,y. (.: α = 0 ή α = -1) (.: f(x) = 0) 9. Να αοδείξετε ότι: 1 I. ηµασυνα II. εφα + σφα όταν 0 < α <. 0. Να αοδείξετε ότι οι αρακάτω αραστάσεις είναι ανεξάρτητες του ω: I. 1 ηµ ω + (συνω ηµω) + ηµω(συνω + ηµω) 1+ συν ω 1+ ηµ ω II. + + εφ ω + σφ ω 1 1 III. ηµ ωσυν ω + 1 συν ω(1 + ηµ ω) 1 ηµ ω(1 + συν ω) (.: I., II. 1, III. 1) 0

23 1. ν ρ 1,ρ είναι ρίζες της εξίσωσης (1 + ηµφ)x (1 + ηµ φ)x + (1 ηµφ)ηµφ = 0, ηµφ 1 τότε να δείξετε ότι: ρ 1 +ρ +ρ 1 ρ = 1.. Να αοδείξετε ότι: 1 1 I. = (εφx σφx) συν x ηµ x II. (ηµ x+ συν x)(εφx + σφx) = εφ x + σφ x ηµ x+ ηµ xσυν x + συν x III = 1 συν x + ηµ xσυν x + ηµ x. ν εφx + σφx = κ, να υολογίσετε µε τη βοήθεια του κ τις αραστάσεις: I. ηµxσυνx III. εφ x + σφ x II. ηµx + συνx IV. εφ x + σφ x (.: I. 1 κ, II. κ + κ, III. κ, IV. κ κ) Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι. ν < ω<, να αοδείξετε ότι: 1 εφω εφω 1 συν ω + = ν ηµθ = ηµφσυνφ, να αοδείξετε ότι συν θ ηµ θ = (ηµ φ συν φ). 6. ν εφx = κ, να υολογίσετε συναρτήσει του κ την αράσταση: Π = ηµ x+ συν x 5ηµxσυνx. (.: (κ )(κ 1) Π = ) 1+ κ 7. Να αοδείξετε ότι: 5 συνx + ηµx 5. 1

24 ΝΓΩΓΗ ΣΤΟ 1Ο ΤΕΤΤΗΜΟΙΟ Κάθε τριγωνοµετρικός αριθµός οοιασδήοτε γωνίας ισούται µε κάοιον τριγωνοµετρικό αριθµό γωνίας 0 µέχρι 90. Με τη βοήθεια του τριγωνοµετρικού κύκλου και της Γεωµετρίας αοδεικνύονται τα αρακάτω τα οοία θα δώσουµε µε τη µορφή ίνακα: ΕΙ Η ΓΩΝΙΩΝ ντίθετες Παραληρωµατικές Γωνίες διαφοράς Γωνίες µε άθροισµα ω ω + ω ω ηµ ηµω ηµω ηµω ηµω συν συνω συνω συνω συνω εφ εφω εφω εφω εφω σφ σφω σφω σφω σφω Συµληρωµατικές Γωνίες διαφοράς Γωνίες µε άθροισµα Γωνίες διαφοράς ω + ω ω + ω ηµ συνω συνω συνω συνω συν ηµω ηµω ηµω ηµω εφ σφω σφω σφω σφω σφ εφω εφω εφω εφω

25 Μέθοδος Εύρεση τριγωνοµετρικών αριθµών Γωνίες τριγώνου Εειδή για τις γωνίες έχουµε +Β+Γ = 180, τότε + Β = 180 Γ, οότε: ηµ(+ Β) = ηµ(180 Γ) = ηµγ συν(+ Β) = συν(180 Γ) = συνγ Γενικά το ηµίτονο του αθροίσµατος δύο γωνιών ισούται µε το ηµίτονο της τρίτης γωνίας, ενώ το συνηµίτονο, η εφατοµένη και η συνεφατοµένη του αθροίσµατος δύο γωνιών τριγώνου ισούται µε το αντίθετο του συνηµιτόνου, της εφατοµένης ή της συνεφατοµένης αντίστοιχα. Είσης, έχουµε: + Β + Γ = 90 A + B = 90 Γ + Β Γ Γ Οότε: ηµ = ηµ 90 = συν + Β Γ Γ εφ = εφ 90 = σφ. Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι ηλαδή, το ηµίτονο του ηµιαθροίσµατος δύο γωνιών τριγώνου ισούται µε το συνηµίτονο του µισού της τρίτης γωνίας και αντίστροφα. ντίστοιχα, εναλλάσσονται η εφατοµένη και η συνεφατοµένη. ΛΥΜΕΝΗ ΣΚΗΣΗ 8. Σε κάθε τρίγωνο ΒΓ να αοδείξετε ότι: Γ + Β Ι. εφβ + εφ(+ Γ) = 0 ΙΙ. ηµ + ηµ = 1. Ι. Έχουµε + Β+ Γ= Γ= 180 Β οότε εφ(+ Γ) = εφ(180 Β) = εφβ (1) άρα ΙΙ. Ισχύει οότε (1) εφβ + εφ(+ Γ) = εφβ εφβ = 0. Β Γ A B Γ + + = 90 + = 90 άρα + Β Γ Γ ηµ = ηµ 90 = συν () () Γ + Β Γ Γ ηµ + ηµ = ηµ + συν = 1.

26 ΝΓΩΓΗ ΣΤΟ 1O ΤΕΤΤΗΜΟΙΟ ΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΣΤΣΕΩΝ Όταν το τόξο δίνεται σε rad και είναι της µορφής, τότε κάνουµε τη διαίρεση :δ. Έστω κ το δ υ ηλίκο και υ το υόλοιο, τότε αίρνει τη µορφή κ +. δ ν ο κ είναι άρτιος, τότε οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας είναι ίσοι µε τους τριγωνοµετρικούς αριθδ µούς της γωνίας υ, ενώ αν ο κ είναι εριττός τότε θα είναι ίσοι µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας δ υ +. δ Όταν η γωνία ου καταλήγουµε βρίσκεται στο: ο τεταρτηµόριο, τη φέρνουµε στη µορφή θ ο τεταρτηµόριο, τη φέρνουµε στη µορφή + θ ο τεταρτηµόριο, τη φέρνουµε στη µορφή θ Την αραάνω µεθοδολογία τη χρησιµοοιούµε και για την αλοοίηση τριγωνοµετρικών αριθ- µών της µορφής (κ ± ω), αν: κ άρτιος, θα ισούται µε τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό της γωνίας κ εριττός, θα ισούται µε τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό της γωνίας ± ω. Το ρόσηµο ου ροκύτει εξαρτάται αό το ρόσηµο ου έχει ο τριγωνοµετρικός αριθµός στο τεταρτηµόριο ου βρίσκεται. λ Όταν έχουµε τριγωνοµετρικούς αριθµούς τόξων ου είναι της µορφής ± ω, τότε εκτελούµε τη διαίρεση λ: και έστω κ το ηλίκο. ν κ = ρ (άρτιος), τότε ισούται µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ± ω, γιατί λ ± ω = κ+ ± ω = ρ + ± ω ± ω

27 κ = ρ+1 (εριττός), τότε ισούται µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω ±,γιατί λ ± ω = λ ± ω = κ+ ± ω = = ρ + + ± ω = ρ + ± ω. (ρ + 1)+ ± ω = Στην αλοοίηση των τριγωνοµετρικών αριθµών των γωνιών ± ω και ± ω έχουµε ε- ναλλαγή τών: ηµίτονο συνηµίτονο εφατοµένη συνεφατοµένη Το ρόσηµο ου θα ροκύψει εξαρτάται αό το ρόσηµο ου έχει ο αρχικός τριγωνοµετρικός αριθµός και όχι αό το ρόσηµο του τριγωνοµετρικού αριθµού ου θα ροκύψει αό την εναλλαγή. Ο τριγωνοµετρικός κύκλος ου αραθέτουµε αναφέρεται σε γωνία ω, η οοία είναι 0 < ω <. Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι Όλα όµως τα ροηγούµενα ισχύουν για οοιαδήοτε γωνία ω. Όταν τα τόξα έχουν αρνητικό ρόσηµο τότε ρώτα βγάζουµε το ( ) µε βάση το ρόσηµο των αντίθετων γωνιών και στη συνέχεια εργαζόµαστε σύµφωνα µε τις ροηγούµενες µεθοδολογίες. Σε ασκήσεις, όου εµφανίζονται σε αθροίσµατα ή γινόµενα τριγωνοµετρικοί αριθµοί οι οοίοι δεν είναι βασικοί, τότε ροσαθούµε να τους άρουµε ως ζεύγη, ειλέγοντας έτσι τα τόξα ώστε να είναι συµληρωµατικά ή αραληρωµατικά ή τόξα διαφοράς αλοοιήσουµε µε βάση τις ροηγούµενες µεθοδολογίες. ή τόξα διαφοράς και να τα ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 9. Να υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των αρακάτω γωνιών: Ι. 00 ΙΙ. 1 rad. Ι. Εκτελώντας τη διαίρεση 00 : 60 ροκύτει ότι 00 = Εειδή η γωνία είναι αρνητική, ρώτα θα ααλλαγούµε αό το ( ) µέσα σε κάθε τριγωνο- µετρικό αριθµό και στη συνέχεια θα υοβιβάσουµε τις µοίρες. Τα αντίθετα τόξα έχουν ίδιο συνηµίτονο και αντίθετους όλους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Οότε: ηµ( 00 ) = ηµ00 = ηµ( ) = 5

28 1 = ηµ150 = ηµ(180 0 ) = ηµ0 = συν( 00 ) = συν00 = συν150 = = συν(180 0 ) = συν0 = εφ( 00 ) = εφ00 = εφ150 = = εφ(180 0 ) = ( εφ0 ) = εφ0 =, και σφ( 00 ) = σφ00 = σφ150 = σφ(180 0 ) = σφ0 =. 1 ΙΙ. Εκτελούµε τη διαίρεση 1: και ροκύτει ότι 1 = 7 +, οότε = 7 +. Εειδή το 7 είναι εριττό ολλαλάσιο του, οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου 1 θα είναι ίσοι µε 7 τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του τόξου + =. Οότε: 1 7 ηµ ηµ ηµ = = = ηµ = 1 7 συν συν συν = = = συν = 1 7 εφ = εφ = εφ = εφ = 1, και 1 7 σφ = σφ = σφ = σφ = 1. 6

29 50. Να αοδείξετε ότι: 7 7 σφ( 5+ ω)σφ ω συν ω ηµ( 8 ω) + + Κ = = 1. 5 ηµ ω συν( ω) Θα αλοοιήσουµε ρώτα ξεχωριστά κάθε τριγωνοµετρικό αριθµό και στη συνέχεια θα κάνουµε αντικατάσταση. Έχουµε: [ ] 5 εριττός σφ( 5+ ω) = σφ (5 ω) = σφ(5 ω) = σφ( ω) = ( σφω) = σφω 7 7 σφ ω = σφ + ω = σφ + + ω = Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι = σφ + ω = ( εφω) = εφω (το είναι εριττός.) 7 συν + ω = συν + + ω = συν + ω = ηµω 8άρτιος ηµ( 8 ω) = ηµ(8+ ω) = ηµω 5 5 ηµ ω = ηµ ω = ηµ + ω = ηµ ω = συνω. Οότε η αράσταση γίνεται: εριττός συν( ω) = συν(+ ω) = συν(+ ω) = συνω σφωεφω + ηµω( ηµω) 1 ηµ ω συν ω Κ = = = = 1. ( συνω)( συνω) συν ω συν ω 7

30 51. ν Έχουµε: 0 < ω <, να δειχθεί ότι: 5 συν + ω εφ(+ ω) > 1 ηµ ω. συν + ω = ηµω εφ(+ ω) = εφω 5 ηµ ω = ηµ + ω = = ηµ ω = συνω Οότε η ανίσωση γίνεται: ηµω εφω> (1 συνω) Εειδή ηµω ηµω (1 συνω) συνω >. 0 < ω <, συνω>0, οότε ολλαλασιάζοντας µε συνω και η ανίσωση γίνεται: ηµ ω > συνω(1 συνω) ηµ ω > συνω συν ω ηµ ω + συν ω συνω > 0 ηµ ω+ συν ω+ συν ω συνω > 0 1+ συν ω συνω > 0 (συνω 1) > 0 ου ισχύει. 5. Να υολογιστούν οι τιµές των κ,λ, ώστε η αράσταση Π= λ συνx+ ληµ x + συν( x) κσυν(9 x) να είναι ανεξάρτητη του x. Θα αλοοιήσουµε ρώτα τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Είναι: ηµ x = ηµ 11 + x 11εριττός = ηµ x = συνx συν( x) = συνx 9 εριττός συν(9 x) = συν( x) = συνx. 8

31 Οότε η αράσταση γίνεται: Π= λ συνx λσυνx+ συνx κ ( συνx) = Π = λσυνx λσυνx+ συνx + κσυνx = (λ λ + + κ ) συνx Για να είναι ανεξάρτητη του x θα ρέει: λ λ + + κ = 0 (λ ) + κ = 0 Τ ΙΓ Εειδή (λ ) 0 και κ 0 ρέει λ = 0 λ = κ = 0 κ = 0 Ω ΝΟ Μ ΕΤ 5. ν 1 ηµ + α ηµ α + =, να υολογιστεί η αράσταση Π= συν + α συν α. Ι Παρατηρούµε ότι Έχουµε: + α + α =, δηλαδή τα τόξα + α, α είναι συµληρωµατικά. 1 1 ηµ + α + ηµ α = ηµ + α + συν α = 1 ηµ + α + συν + α = Άρα: 1 ηµ + α + συν + α + ηµ + α συν + α = ηµ + α συν + α = ηµ + α συν + α = 9 9 ηµ + α συν + α = συν + α συν + α = 9 9 συν α συν + α = Π =

32 5. Να υολογίσετε τις αραστάσεις: Ι. A = συν0 + συν0 + συν0 + συν60 + συν80 + συν100 + συν10 + συν συν160 + συν180 ΙΙ. Β= σφ1 σφ...σφ8 σφ9. Ι. Παίρνουµε τα ζεύγη ου έχουν αραληρωµατικά τόξα και η αράσταση γίνεται: = (συν0 + συν180 ) + (συν0 + συν160 ) + (συν0 + συν10 ) + (συν60 + συν10 ) + [ ] + (συν80 + συν100 ) = 1 ( 1) συν0 συν(180 0 ) = συν0 + συν(180 0 ) + ( ) + συν60 + συν( ) + (συν80 + συν100 ) = = 0 + (συν0 συν0 ) + (συν0 συν0 ) + (συν60 συν60 ) + (συν80 συν80 ) = 0. ΙΙ. Παίρνουµε τα ζεύγη ου είναι συµληρωµατικά τόξα, οότε η αράσταση Β γίνεται: Β= σφ1 σφ...σφ5...σφ8 σφ9 = = (σφ1 σφ9 ) (σφ σφ8 )...(σφ σφ6 ) σφ5 = σφ1 σφ(90 1 ) = σφ σφ(90 )... σφ σφ(90 1 = = (σφ1 εφ1 )(σφ εφ )...(σφ εφ ) = = 1. 0

33 ΕΞΣΚΗΣΗ 55. ν, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου, να αοδείξετε ότι: + Γ Β Ι. συν(β+ Γ) + συν = 0 ΙΙ. εφ εφ = 1 Β+ Γ ΙΙΙ. ηµ + ηµ = 1. ΙV. συν + συν(+ Β+ Γ) = Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών: I. 10 II III. 15 IV (.: I. ηµ10 =,..., II. ηµ( 1050 ) = ηµ0 =..., III. ηµ15 =..., IV. ηµ750 = ηµ150 =...) Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι 57. Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των αρακάτω γωνιών: I. 7 rad 6 II. rad III. 007 rad IV. 7 rad 6 III. 7 1 (.: I. ηµ = ηµ + =..., II. ηµ = ηµ =..., ηµ = ηµ = 1..., IV. ηµ = ηµ 6 + =...) Να υολογίσετε τις αραστάσεις: ηµ( θ)συν(5+ θ)εφ(006 θ)σφ(007 θ) A = συν( 61 θ)εφ(7+ θ)σφ(11+ θ)ηµ(1+ θ) ηµ + θ συν + θ εφ + θ σφ + θ Β = εφ θ ηµ θ σφ θ συν θ (.: = εφθ, Β = 1) 59. Να δείξετε ότι: 1 7 ηµ(θ 9)συν θ εφ θ σφ θ 9 συν(θ 11)εφ + θ ( ) = ηµθ 1

34 60. Να υολογίσετε όσες διαφορικές τιµές αίρνει η αράσταση κ ηµ, όταν ο κ αίρνει όλες τις ακέραιες τιµές. (Υόδειξη: ιακρίνετε εριτώσεις κ = 6ρ + υ, µε υ = 0,1,...,5) (.: 0,, ) 61. Να υολογίσετε τις τιµές της κ σφ, για τις διάφορες τιµές του κ. (.: 0, 1, 1, δεν ορίζεται) 6. ν σφ α + σφ + α = 5, να υολογίσετε την τιµή της αράστασης: 5 10 σφ α + σφ + α (.: ) 1 6. ίνεται συν α + συν + α =. Να βρείτε τις τιµές των αραστάσεων: I. Π1 = ηµ + α + ηµ α II. Π = ηµ α ηµ + α (.: I. Π 1 = 1, II. Π = ) Να βρεθούν οι τιµές των κ,λ, ώστε η αράσταση 9 Π= ληµ(11 + x) + συν + x + κσυν(007 + x) + ληµ + x να έχει σταθερή τιµή. 1 (.: λ = 1, κ = ). 65. Να αοδείξετε ότι: I. συν0 + συν1 + συν συν179 + συν180 = 0 II. ηµ0 + ηµ1 + ηµ ηµ59 = ν < x< 5, να αοδείξετε ότι: 7 ηµ x εφ + x > ηµ(9 + x).

35 5 67. ν εφ x + εφ + x =, να υολογιστούν οι τιµές των αραστάσεων = σφ x + σφ + x B = εφ x + εφ + x ίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = εφx + σφx 1 και Να αοδείξετε ότι: I. φ( + x) = φ(x) II. 69. Σε κάθε τρίγωνο ΒΓ να δειχθεί ότι: I. συν (+ Β) + ηµ Γ = 0 II. (.: =, Β = ) φ(x) = ηµ x ηµxσυνx + συν x 1. f( + x) = f x. ηµ Β+ Γ σφ = Β+ Γ 1+ σφ Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι 70. ν ηµx ηµ x= 0και 0< x<, να βρεθεί η τιµή της αράστασης: 007 ηµ x εφ + x =. συν(7 + x) σφ( + x) (.: A = ) ν 1 συν + x ηµ + x =, να υολογιστεί η αράσταση Π= εφ x + σφ x. (.: 6 Π = ). 9

36 ΕΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε οιες αό τις αρακάτω ροτάσεις είναι σωστές (Σ) και οιες είναι λάθος (Λ): Σ Λ 1. Σε ισόλευρο τρίγωνο ΒΓ έχουµε συν + συνβ + συνγ =.. Ισχύει 17 5 συν συν 6 6 =.. Όταν < x <, τότε είναι ηµx ηµx. Ισχύει ότι 5. Ισχύει ότι =. ( συνx) + (ηµx + 1) = 0. ( + συνx) + (ηµω 1) = Ισχύει ότι 5 ηµ ηµ =. 7. Ισχύει άντοτε εφ x = εφx. 8. ν ω φ, + = τότε συνω = ηµφ. 9. Σε κάθε κυρτό τετράλευρο ΒΓ έχουµε συν(+ Γ) = συν(β+ ). 10. Υάρχουν α, β µε α = β, ώστε ηµα = ηµβ. 11. ν ω < <, τότε είναι συν ω > συνω. 1. Ισχύει (1 συνα)(1 + συν0α) 0, για κάθε α.

37 Β. Να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση σε καθεµιά αό τις αρακάτω ερωτήσεις: 1. Η αράσταση ω = συν έχει τη µικρότερη τιµή όταν το ω είναι:. Β. Γ. 0. Ε.. Όταν x < <, η τιµή της αράστασης συν x συν x ισούται µε: συνx. συνx B. 0. συνx E. συνx.. Τόξο κύκλου ακτίνας 10 έχει µήκος 0. Η αντίστοιχη είκεντρη γωνία έχει µέτρο:. rad Β. 00 Γ.. rad Ε. rad Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι. ν ηµx + συνx =, τότε η γωνία x ισούται µε:. 0 Β. 90 Γ Ε. Κανένα αό τα ροηγούµενα. 5. Η αράσταση ηµ x+ ηµ x ισούται µε:. Β. 0 Γ. ηµ x. 1. Ε. 1 ηµ x 6. ν α = 5ηµx, β = 5συνx, τότε x + y =. 5 Β. 5 Γ Ε Το ηµ 6. 1 ισούται µε: Β. 1 Γ. 0. Ε. 8. Η αράσταση συνx ηµ x 1+ συνx (συνx 1) ισούται µε:. συνx συν x Β. συνx+συν x Γ. ηµx+συν x. συνx ηµ x E. ηµx συν x 9. Μια γωνία 1 rad είναι ίση µε:. 60 Β. 60 Γ 57,. 90 Ε. 1 5

38 Γ. Στην ρώτη στήλη του αρακάτω ίνακα δίνεται µια γωνία και στη δεύτερη στήλη η γωνία ου έχει την ίδια τελική λευρά µε την αντίστοιχη της ρώτης στήλης. Να συνδέσετε τις γωνίες αυτές. Στήλη α β. 8 8 γ. 7 6 δ. 8 ε. 7 Στήλη Β Να συνδέσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της στήλης µε τους ίσους τους στη στήλη Β. Στήλη Στήλη Β α. 7 ηµ + ω β. εφ(007 ω) 7 γ. συν + ω 11 δ. σφ ω 1. ηµω. συνω. συνω. ηµω 5. εφω 6. εφω 6

39 1.. ΟΙ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f µε εδίο ορισµού λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύει: x+ T A, x T A f(x+ T) = f(x T) = f(x). Ο αριθµός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f. Μελέτη της f(x) = ηµx Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι Πεδίο ορισµού: Σύνολο τιµών: [ 1,1] Περιοδική µε ερίοδο Τ =, γιατί ηµ(x + ) = ηµ(x ) = ηµx. Οότε θα τη µελετήσουµε στο διάστηµα [0,]. Μονοτονία: ό τον τριγωνοµετρικό κύκλο διαιστώνουµε ότι: κρότατα: µέγιστο για x = το ηµ 1 = ελάχιστο για x = το ηµ 1 =. Συµµετρίες: Ισχύει ότι f( x) = ηµ( x) = ηµx = f (x), άρα η συνάρτηση είναι εριττή και η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων (0,0). Σηµεία τοµής µε άξονες: Τέµνει τον xx στα σηµεία (0,0), (,0), (,0) και γενικά τέµνει τον xx στα σηµεία (κ,0), µε κ, ενώ τέµνει τον yy στο σηµείο (0,0). 7

40 Γραφική αράσταση: Μελέτη της f(x) = συνx Πεδίο ορισµού: Σύνολο τιµών: [ 1,1]. Περιοδική µε ερίοδο Τ =, γιατί συν(x + ) = συνx(x ) = συνx, οότε θα τη µελετήσου- µε στο διάστηµα [0,]. Μονοτονία: ό τον τριγωνοµετρικό κύκλο διαιστώνουµε ότι: κρότατα: µέγιστο για x = 0 και x = την τιµή συν0 = συν = 1 ελάχιστο για x = το συν = 1. Συµµετρίες: Ισχύει ότι: f( x) = συν( x) = συνx = f(x), άρα η συνάρτηση είναι άρτια και η γραφική της αράσταση έχει άξονα συµµετρίας τον yy. Σηµεία τοµής µε άξονες: Τέµνει τον άξονα xx στα σηµεία,0 και,0 και γενικά στα σηµεία κ +,0 µε κ τέµνει τον άξονα yy στο σηµείο (0,1). 8

41 εφατομένη ημίτονο Γραφική αράσταση: Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Μελέτη της f(x) = εφx Πεδίο ορισµού: A= x /x κ +,κ, εξαιρούνται τα σηµεία ου µηδενίζεται το συνη- µίτονο. Σύνολο τιµών: Περιοδική µε ερίοδο Τ =, γιατί εφ(x + ) = εφ(x ) = εφx, οότε θα τη µελετήσουµε σε διάστηµα λάτους. Εειδή δεν ορίζεται στα σηµεία κ +, κ, ειλέγουµε να τη µελετήσουµε στο διάστηµα, το οοίο έχει λάτος και δεν διακότεται σε αυτό η γραφική αράσταση. Μονοτονία: ό τον τριγωνοµετρικό κύκλο διαιστώνουµε y ότι: συνεφατομένη 1 1 Ι x συνημίτονο x 1 y Παρατήρηση: Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το εδίο ορισµού της ου είναι ένωση διαστηµάτων. κρότατα: εν αρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο. σύµτωτες: οι ευθείες x = και x = είναι ασύµτωτες της γραφικής αράστασης. Συµµετρίες: Ισχύει ότι f( x) = εφ( x) = εφx = f(x), οότε η συνάρτηση είναι εριττή και η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συµµετρίας το (0,0). Σηµεία τοµής µε άξονες: Τέµνει τους άξονες xx και yy στο (0,0) και γενικά τέµνει τον άξονα xx στα σηµεία (κ,0) µε κ. 9

42 Γραφική αράσταση: Μελέτη της f(x) = σφx Πεδίο ορισµού: A= { x /x κ,κ }, εξαιρούνται τα σηµεία ου µηδενίζεται το ηµίτονο. Σύνολο τιµών:. Περιοδική µε ερίοδο Τ =, γιατί σφ(x + ) = σφ(x ) = σφx, οότε θα τη µελετήσουµε σε διάστηµα λάτους, δηλαδή (0,). Μονοτονία: ό τον τριγωνοµετρικό κύκλο διαιστώνουµε ότι: Παρατήρηση: Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το εδίο ορισµού της ου είναι ένωση διαστηµάτων. κρότατα: εν αρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο. σύµτωτες: οι ευθείες x = 0 και x = είναι ασύµτωτες της γραφικής αράστασης. Συµµετρίες: Παρατηρούµε ότι: f( x) = σφ( x) = σφx = f(x) οότε η συνάρτηση είναι εριττή και η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συµµετρίας το (0,0). 50

43 Σηµεία τοµής µε άξονες: εν τέµνει τον άξονα yy, ενώ τέµνει τον xx στο κ +,0 µε κ. Γραφική αράσταση:,0 και γενικά στα σηµεία Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι Παρατήρηση: Έστω η συνάρτηση f µε γραφική αράσταση C f. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης y= f(x) ± c, c>0, είναι µετατοισµένη αράλληλα µε τον άξονα x x κατά +c (ρος τα άνω) ή κατά c (ρος τα κάτω). Η γραφική αράσταση της y = f(x) είναι η συµµετρική της C f ως ρος τον άξονα xx. Η γραφική αράσταση της y= f(x) ταυτίζεται µε το αντίστοιχο τµήµα της C f όταν f(x) 0, ενώ είναι ο συµµετρικός κλάδος ως ρος τον xx, του αντίστοιχου τµήµατος της C f ό- ταν f(x) < 0. 51

44 Μέθοδος Περιοδική συνάρτηση Για να δείξουµε ότι µια συνάρτηση f µε εδίο ορισµού έχει ερίοδο Τ>0 θα ρέει να διαιστώνουµε ότι για κάθε x A ότι x+ T A και x T A και στη συνέχεια να δείχνουµε ότι f(x+ T) = f(x) (1) ν αυτό ισχύει, τότε θα αοδεικνύουµε ότι και f(x T) = f(x) ως ακολούθως: Θέτουµε στην (1) όου x το x T, οότε έχουµε: f(x T+ T) = f(x T) f(x) = f(x T). Άρα, θα εαληθεύεται η συνθήκη του ορισµού ότι για κάθε x A ισχύει: f(x+ T) = f(x T) = f(x). Όταν µια συνάρτηση είναι ορισµένη στο, τότε ροφανώς για κάθε Τ>0 ισχύει και x+ T, x T, οότε θα είναι εριοδική όταν και µόνο όταν για κάθε x ισχύει f(x+ T) = f(x). Παρατηρήσεις: ν το εδίο ορισµού µιας συνάρτησης είναι διάστηµα µε ραγµατικά άκρα, ανοικτά ή κλειστά, τότε η συνάρτηση δεν µορεί να είναι εριοδική. ν µια συνάρτηση είναι εριοδική, τότε το διάγραµµα της γραφικής της αράστασης εαναλαµβάνεται σε διάστηµα λάτους µιας εριόδου και τη µελετάµε σε ένα τέτοιο διάστηµα. Η εριοδική συνάρτηση είναι εκείνη ου αίρνει τις ίδιες τιµές και έχει γενικώς την ίδια συ- µεριφορά όταν η µεταβλητή x αυξάνεται κάθε φορά κατά σταθερό αριθµό. * ν ο αριθµός Τ είναι ερίοδος της f, τότε και κάθε αριθµός κτ µε κ είναι είσης ερίοδος της f και ο µικρότερος θετικός αριθµός αό το σύνολο των εριόδων λέγεται βασική ερίοδος της f. ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 1.1. Να αοδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = ηµx + συν6x είναι εριοδική µε ερίοδο Τ =. Η συνάρτηση f(x) = ηµx + συν6x έχει εδίο ορισµού και ροφανώς x +,x. Είσης: f(x+ ) = ηµ [ (x+ ) ] + συν[ 6(x + ) ] = = ηµ(x + ) + συν(6x + 6) = ηµx + συν6x = f(x). 5

45 είξαµε ότι f(x+ ) = f(x) (1). ν στην (1) θέσουµε όου x το x, έχουµε: f(x + ) = f(x ) f(x) = f(x ) () Άρα, αό (1), () έχουµε f(x+ ) = f(x ) = f(x). 1.. Έστω συνάρτηση f: ου για κάθε x ικανοοιεί τη σχέση: f(x) + f(x+ 1) + f(x+ ) f(x+ 006) = 0. Να αοδειχθεί ότι η f είναι εριοδική µε ερίοδο Τ = 007. Εειδή το εδίο ορισµού της f είναι το, ροφανώς x+ 007 και x 007, οότε αρκεί να δείξουµε ότι f(x+ 007) = f(x 007) = f(x). ό την υόθεση έχουµε ότι: f(x) + f(x+ 1) + f(x+ ) f(x+ 006) = 0 (1) Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι Για να εµφανιστεί ο αράγοντας x+007 θέτουµε στην (1) όου x το x+1, οότε έχουµε: f(x+ 1) + f(x+ ) + f(x+ ) f(x+ 007) = 0 () φαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () ροκύτει ότι: f(x) + f (x+ 1) + f(x+ ) f (x + 006) f(x+ 1) f(x+ ) f(x+ )... f ( + 007) = f(x) f(x+ 007) = 0 f(x+ 007) = f(x) () ν θέσουµε τώρα στην () όου x το x 007, έχουµε: f(x ) = f(x 007) f(x) = f(x 007). Άρα, τελικώς έχουµε: f(x+ 007) = f(x 007) = f(x). 5

46 ΕΞΣΚΗΣΗ 1.. Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = ηµ x+ έχει ερίοδο. 1.. Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ηµx + συνx είναι εριοδική και έχει ερίοδο Τ = Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση T =. h(x) = ηµ x+ συν x είναι εριοδική και έχει ερίοδο 1.6. Να αοδείξετε ότι καθεµιά αό τις αρακάτω συναρτήσεις έχει ερίοδο : Ι. f(x) = συνx ΙΙ. g(x) = ηµx συνx ΙΙΙ. h(x) = εφx+ 5σφx Έστω συνάρτηση g: ου ικανοοιεί τη σχέση: g(x) + g(x + 1) + g(x + ) + g(x + ) = 0,για κάθε x. Να αοδειχθεί ότι η g είναι εριοδική µε ερίοδο Τ = Να αοδείξετε ότι κάθε ερίοδος µιας εριοδικής συνάρτησης f µε τύο y= f(x) είναι ερίοδος και της h(x) = f(λx + µ), λ,µ. * (Υόδειξη: ν η f έχει ερίοδο Τ, θα έχει και ερίοδο λτ µε * λ ). 5

47 Μέθοδος Χάραξη και µελέτη των f(x) = ρηµx, g(x) = ρηµ(αx), h(x) = ρηµ(αx) + c. Για τη µελέτη και χάραξη των γραφικών αραστάσεων των αραάνω συναρτήσεων θα αναφέρουµε µια µεθοδολογία, σύµφωνα µε την οοία κάνουµε τα εξής βήµατα: 1. Κατασκευή ίνακα τιµών. Γραφική αράσταση βάσει του ίνακα τιµών. Συµεράσµατα βάσει της γραφικής αράστασης. Η συνάρτηση f έχει ερίοδο Τ =, ενώ οι συναρτήσεις g, h έχουν ερίοδο T =. α Χωρίζουµε το διάστηµα λάτους µιας εριόδου σε τέσσερα ίσα διαστήµατα µε τα σηµεία ου φαίνονται στους αρακάτω ίνακες, όταν α>0: Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι f(x) = ρηµx T =, Σ.Τ.: [ ρ, ρ ] g(x) = ρηµx(αx) Τ =, Σ.Τ.: [ ρ, ρ ] α h(x) = ρηµx(αx) + c Τ =, Σ.Τ.: [ ρ + c, ρ + c] α Στη συνέχεια βρίσκουµε στο ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων τα σηµεία των οοίων οι συντεταγµένες δίνονται αό την ρώτη και τελευταία σειρά των αραάνω ινάκων και κάνουµε την γραφική αράσταση. ν ζητούνται µόνο τα ακρότατα της συνάρτησης, τα υολογίζουµε κατασκευαστικά, γνωρίζοντας ότι 1 ηµ(αx) 1 και χρησιµοοιώντας τις ιδιότητες της διάταξης. 55

48 Όταν ρ,α>0 για τις συναρτήσεις f και g έχουµε: Η f(x) = ρηµx έχει: Η g(x) = ρηµ(αx) έχει: Περίοδο: Περίοδο: Γνησίως αύξουσα στα: Γνησίως φθίνουσα στο: Μέγιστη τιµή ρ στο: Ελάχιστη τιµή ρ στο: 0,,,, Γνησίως αύξουσα στα: Γνησίως φθίνουσα στο: Μέγιστη τιµή ρ στο: Ελάχιστη τιµή -ρ στο: Τέµνει τον x x στα: 0,, Τέµνει τον x x στα: α 0,,, α α α, α α α α 0,, α α ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 1.9. Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση εριόδου. 1 f(x) = ηµx, σε λάτος µιας Η συνάρτηση έχει εδίο ορισµού το και ερίοδο Τ =. Έχουµε τον ίνακα: 56

49 ιαιστώνουµε ότι: είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα 0, και, είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα, έχει µέγιστο το 1 για 1 x = και ελάχιστο το για x = τέµνει τον xx στα σηµεία: (0,0), (,0) και (,0) Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση x f(x) = ηµ. Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισµού το και ερίοδο οία χωρίζουµε το διάστηµα λάτους µιας εριόδου είναι: 9 = =, = = και = =. α 1 α 1 1 α T= = 6. Τα αντίστοιχα σηµεία στα ο- 1 Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι Έχουµε τον ίνακα και την αντίστοιχη γραφική αράσταση Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = ηµ( x), όταν 0 x. Η συνάρτηση f έχει ερίοδο Τ= = = =. O τύος της γίνεται: α f(x) = ηµ( x) = ηµx. Έχουµε τον ίνακα τιµών: x 0 ημx ημx

50 Όταν 0 x, εειδή η ερίοδος της συνάρτησης είναι, τότε η γραφική αράσταση της συνάρτησης εαναλαµβάνεται δύο φορές. ιαιστώνουµε ότι: Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα: 5 7,,,. Ειναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα: 5 7 0,,,,,. 7 Έχει µέγιστο το για x = και x =. 5 Έχει ελάχιστο το για x = και x = Να αρασταθεί γραφικά και να µελετηθεί η συνάρτηση εριόδου. Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισµού το και ερίοδο Για ακρότατα έχουµε: T= =. 1 x f(x) = ηµ, σε λάτος µιας x x x 1 ηµ 1 ηµ 7 ηµ 1 1 f(x) 7. Κατασκευάζουµε τον ίνακα τιµών και τη γραφική αράσταση. ό τη γραφική αράσταση διαιστώνουµε ότι η συνάρτηση f: είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (,) είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα (0,) και (,) έχει µέγιστη τιµή το 7 για x = και ελάχιστη τιµή το 1 για x =. 58

51 Μέθοδος Χάραξη και µελέτη των f(x) = ρσυνx, g(x) = ρσυν(αx), h(x) = ρσυν(αx) + c Η συνάρτηση f έχει ερίοδο Τ =, ενώ οι συναρτήσεις g, h έχουν ερίοδο Τ =. α f(x) = ρσυνx T =, Σ.Τ.: ρ, ρ g(x) = ρσυνx(αx) Τ =, Σ.Τ.: ρ, ρ α Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι h(x) = ρσυνx(αx) + c Τ =, Σ.Τ.: ρ + c, ρ + c α Όταν ρ,α>0, για τις συναρτήσεις f και g έχουµε: Η f(x) = ρσυνx έχει: Η g(x) = ρσυν(αx) έχει: Περίοδο: Περίοδο: α Γνησίως φθίνουσα στο: (0,) Γνησίως φθίνουσα στο: 0, α Γνησίως αύξουσα στο: (,) Γνησίως αύξουσα στο:, α α Μέγιστη τιµή ρ στα: 0, Μέγιστη τιµή ρ στα: 0, α Ελάχιστη τιµή ρ στο: Ελάχιστη τιµή ρ στο: α Τέµνει τον x x στα:, Τέµνει τον x x στα:, α α 59

52 ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 1.1. Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η 1 f(x) = συνx, σε λάτος µιας εριόδου. Η συνάρτηση f έχει εδίο ορισµού το και η ερίοδος είναι T = =. Τα αντίστοιχα σηµεία, στα οοία χωρίζουµε το διάστηµα λάτους µιας εριόδου, είναι:,, α = = α = α = = Οότε έχουµε τον ίνακα και τη γραφική αράσταση: x 0 συνx συνx Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. Είναι γνησίως αύξουσα στο,. Έχει µέγιστο το 1 για x = 0 και x =, ενώ έχει ελάχιστο το 1 για x =. 60

53 ίνεται η συνάρτηση: g(x) = συν( x) + ηµ + x. I. Να βρεθεί το εδίο ορισµού της g και να αλοοιηθεί ο τύος της. II. Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η g(x), όταν 0 x. I. Η συνάρτηση g έχει εδίο ορισµού το. Είσης: συν( x) = συνx και 7 ηµ + x = ηµ + + x = ηµ + + x = ηµ + x = συνx. Οότε η g(x) γίνεται: g(x) = συνx συνx = συνx. II. Η g(x) = συνx έχει ερίοδο T =. Για τον ίνακα τιµών έχουµε: Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι Στο διάστηµα [0,] η γραφική αράσταση της g εαναλαµβάνεται φορές, γιατί =. Άρα: 5 Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα 0,,,,,. 5 Είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα:,,,,,. 5 Έχει µέγιστο το για x =, x = και x =, ενώ έχει ελάχιστο το για x = 0, x =, x = και x =. 61

54 1.15. Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση g(x) = συνx 5, σε λάτος µιας εριόδου. Η συνάρτηση g έχει εδίο ορισµού το και ερίοδο T =. Για τα ακρότατα έχουµε: 1 συνx 1 συνx 7 συνx 5. Κατασκευάζουµε τον ίνακα τιµών και τη γραφική αράσταση. ό τη γραφική αράσταση διαιστώνουµε ότι η συνάρτηση g: Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα 0,. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα,. Έχει µέγιστη τιµή για x = 0 και x =, ενώ έχει ελάχιστη τιµή το 7 για x = Να αρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: I. f(x) = ηµ x II. g(x) = συν x III. h(x) = εφ x. ηµx, x 0 ηµx, x 0 I. Έχουµε f(x) = f(x) = ηµ( x), x < 0 ηµx, x < 0 Παρατηρούµε ότι f( x) = ηµ x = ηµ x= f(x), δηλαδή η συνάρτηση είναι άρτια, οότε η γραφική της αράσταση θα είναι η γνωστή γραφική αράσταση της ηµx για x 0 και η συµµετρική της ως ρος την yy για x<0. 6

55 Τ ΙΓ Ω ΝΟ συνx, x 0 όµως ΙΙ. Έχουµε g(x) = g(x) = συνx, για κάθε x. συν( x), x< 0 συν( x) = συνx Άρα, είναι η γνωστή συνηµιτονοειδής καµύλη, η οοία έχει και άξονα συµµετρίας τον yy γιατί η g(x) = συν x, εύκολα διαιστώνουµε ότι είναι άρτια. Μ ΕΤ Ι εφx, x 0 εφx, x 0 ΙΙΙ. Έχουµε h(x) = h(x) = εφ( x), x< 0 εφx, x< 0 Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση είναι άρτια, αφού για κάθε x A= x /x κ +, κ θα έχουµε και x A και h( x) = εφ x = εφ x = h(x). Οότε η γραφική αράσταση της h(x) θα αοτελείται αό τη γνωστή αράσταση της εφx για x>0 και αό τη συµµετρική της ως ρος τον yy για x<0. 6

56 1.17. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x) = συνx + συνx 1 όταν 0 x. Θα ρέει να ααλλάξουµε την συνάρτηση αό την αόλυτη τιµή και αυτό θα εξαρτηθεί αό το τεταρτηµόριο ου θα βρίσκεται το τόξο x. ν 0< x< 0< x< τότε συνx > 0 όως και όταν x < < x < < είναι f(x) = συνx + συνx 1= συνx 1. ν x x τότε συνx 0 και f(x) = συνx + συνx 1= 1. συνx 1, x 0,, Άρα, f(x) = 1, x, Θα σχεδιάσουµε τη γραφική αράσταση της συνx 1, αλλά θα ειλέξουµε τα τµήµατα ου αντιστοιχούν στα διαστήµατα 0, και, ενώ όταν x, η γραφική αράσταση είναι η ευθεία y = 1. Για την f(x) = συνx 1 έχουµε ερίοδο T = =, οότε: 6

57 ΕΞΣΚΗΣΗ Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = ηµx, σε διάστηµα λάτους µιας εριόδου. (.: στα 0, 6 και,, στο, 6 ) Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση x g(x) = συν, σε διάστηµα λά- τους µιας εριόδου. (.: στο (0,), στο (,)). Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι 1.0. ίνεται η συνάρτηση: Ι. Να αοδείξετε ότι h(x) = ηµx. h(x) = συν + x ηµ(x ) ΙΙ. Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση h(x), όταν 0 x. ΙΙΙ. Να βρείτε όσες λύσεις έχει η εξίσωση h(x) = 1 όταν 0 x. (.: ΙΙ. στα 0, και,, στο,, ΙΙΙ. Έχει λύσεις) Να κάνετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: f(x) = συνx, g(x) = συνx, h(x) συνx = µε x [ 0,]. 1.. Να βρείτε την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή των συναρτήσεων: Ι. f (x) = 006ηµx + 5 ΙΙ. g(x) = ηµx + 1 ΙΙΙ. h(x) = συν x+ 5 8 ΙV. φ(x) = ηµ5x (.: Ι. 001 f (x) 011, ΙΙ. g(x) ΙΙΙ. 7 h(x), ΙV.1 φ(x) 7 ) 65

58 1.. Να βρείτε τα ακρότατα και την ερίοδο των συναρτήσεων: I. f(x) = 5ηµ ( x) II. x g(x) = συν (.: Ι. συν. τιµών: [ 5,5], T =, ΙI. συν. τιµών,, T = ). 1.. Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = συνx, σε λάτος µιας εριόδου Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση x g(x) = ηµ 1, σε λάτος µιας ε- ριόδου Να αρασταθούν γραφικά, στο ίδιο σύστηµα αξόνων, οι συναρτήσεις: f(x) = ηµx, g(x) = ηµx, φ(x) = ηµx + 1 µε 0 x Να σχεδιαστούν στο ίδιο σύστηµα αξόνων µε 0 x οι συναρτήσεις: 1 f(x) = συνx 1 και x g(x) = συν Να αρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: I. f(x) = συνx II. g(x) = εφx IΙI. h(x) = σφ x 1.9. Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x) = 1+ ηµx ηµx όταν 0 x. 66

59 Μέθοδος Μελέτη και χάραξη των συναρτήσεων f(x) = ρεφ(αx), g(x) = ρσφ(αx), α > 0 ) Η συνάρτηση f(x) = ρεφ(αx) έχει ε- ρίοδο Τ = και τη µελετούµε σε ένα α διάστηµα λάτους µιας εριόδου, ου αυτό είναι συνήθως το, α α. Όταν ρ > 0: Είναι γνησίως αύξουσα στο,, ενώ δεν είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το εδίο α α ορισµού της. εν έχει ακρότατα. Έχει κατακόρυφες ασύµτωτες τις ευθείες Όταν το x «λησιάζει» στο, α x = και α x =. α τότε η ρεφ(αx) τείνει στο +, ενώ όταν το x «λησιάζει» στο, τότε η ρεφ(αx) τείνει στο. α Είναι εριττή και η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συµµετρίας το (0,0). Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι Όταν ρ < 0: Η γραφική αράσταση είναι συµµετρική ως ρος τον xx και η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και τα υόλοια συµεράσµατα διαµορφώνονται ανάλογα. α α ηλαδή: 67

60 Β) Η συνάρτηση f(x) = ρσφ(αx) έχει ερίοδο T = και τη µελετούµε σε ένα διάστηµα λάτους α µιας εριόδου, το οοίο είναι συνήθως το 0, α. Όταν ρ > 0: Είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, α, ενώ δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το εδίο ορισµού της. εν αρουσιάζει ακρότατα. Έχει κατακόρυφες ασύµτωτες τις ευθείες x = 0 και x =. α Όταν το x «λησιάζει» στο 0, τότε η ρσφ(αx) τείνει στο +, ενώ όταν το x «λησιάζει» στο, τότε η α ρσφ(αx) τείνει στο. Είναι εριττή και η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συµµετρίας το (0,0). Όταν ρ < 0: Η γραφική της αράσταση είναι συµµετρική ως ρος τον xx, η συνάρτηση είναι γνη- σίως αύξουσα στο 0, και τα υόλοια συµεράσµατα διαµορφώνονται ανάλογα. Η γραφική αράσταση ου ροκύτει τότε α είναι: Για να κάνουµε καλύτερα τις γραφικές αραστάσεις των αραάνω συναρτήσεων, καλό είναι να κάνουµε ίνακα τιµών, δίνοντας στο x χαρακτηριστικές τιµές σε διάστηµα λάτους µιας εριόδου ου µελετούµε την κάθε συνάρτηση, και να βρούµε τις αντίστοιχες τιµές της συνάρτησης. 68

61 ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ 1.0. Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση, ( ) x f x = εφ σε διάστηµα λά- τους µιας εριόδου. Θα ρέει x κ + x κ +, κ. = x /x κ +, κ. Οότε το εδίο ορισµού της f είναι { } Η ερίοδος της συνάρτησης είναι T= =, οότε µελετούµε σε διάστηµα λάτους, 1 δηλαδή στο (,). Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ακρότατα. Κατασκευάζουµε ίνακα τιµών, δίνοντας χαρακτηριστικές τιµές του x για να βρούµε τα σηµεία αό τα οοία διέρχεται: Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ Ι Άρα η γραφική της αράσταση είναι: 1.1. Να µελετηθεί και να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση 1 g(x) = σφx. Πρέει κ x κ x. Οότε το εδίο ορισµού της συνάρτηση είναι κ A= x /x,κ. 69

62 Η συνάρτηση έχει ερίοδο T =. Θα σχεδιάσουµε ρώτα τη γραφική αράσταση της g(x) είναι η συµµετρική ως ρος τον άξονα xx. 1 f(x) = σφx. Η γραφική αράσταση της 70

63 ΕΞΣΚΗΣΗ 1.. Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(x) = εφx. 1.. Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση x g(x) = εφ. (.: στο, 6 6 ) Τ ΙΓ Ω ΝΟ Μ ΕΤ (.: στο, ) Ι 1.. Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση x h(x) = σφ. (.: στο (0,)) 1.5. Να µελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση 1 φ(x) = σφx. (.: στο 0, ) 71

64 Μέθοδος Είλυση ανισώσεων µε τη βοήθεια της µονοτονίας των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. f αx β f γx δ, όου f µια τριγωνο- Όταν θέλουµε να λύσουµε µια ανίσωση της µορφής ( + ) ( + ) µετρική συνάρτηση, τότε: διαιστώνουµε κατασκευαστικά σε οιο διάστηµα βρίσκονται τα τόξα αx + β, γx + δ και ανάλογα µε τη µονοτονία της συνάρτησης f στο αντίστοιχο διάστηµα ερνάµε σε µια αλγεβρική ανίσωση της µορφής αx + β γx + δ. Στους αρακάτω ίνακες υενθυµίζουµε τη µονοτονία των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων: x 0 x 0 ημx συνx x 0 εφx x 0 σφx Να θυµίσουµε ότι ισχύει: f x < f x x < x '' '' ( ) ( ) f 1 l f x < f x x > x '' '' ( ) ( ) f 1 l ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ x1 x 1.6. ν 0< x1 < x <, να συγκριθούν οι αριθµοί σφ και σφ. Έχουµε 0< x1 < x < 0> x1 > x > > x1 > x > 0 x1 Οότε οι αριθµοί x x x x < < <. 1 1 > > > 0 0, x 0,, δηλαδή ανήκουν στο 1ο τεταρτηµόριο, όου η συνάρ- τηση f(x) = σφx είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα, έχουµε: x x x x < σφ > σφ 1 1 7