x (a 1 + a 2 ) mod 9, y (a 1 a 2 ) mod 9.

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 311: Διακριτη Αναλυση και Δομες Χειμερινό Εξάμηνο 2017-2018 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Τελική Εξέταση Πέμπτη, 14 Δεκεμβρίου, 2017, 16:30-19:30, ΧΩΔ01-006 Οδηγίες: Η εξέταση απαρτίζεται από 15 ανεξάρτητες ασκήσεις για σύνολο 100 μονάδων. Η κάθε ά- σκηση αξίζει διαφορετικές μονάδες και έχει διαφορετικό βαθμό δυσκολίας (οι μονάδες της κάθε άσκησης κατανέμονται ισόποσα εκτός αν αναφέρονται οι μονάδες του κάθε μέρους ξεχωριστά). Στις απαντήσεις σας, ακολουθείστε την σειρά που σας βολεύει πιο πολύ ανάλογα με τις δυνατότητές σας και τον περιορισμό χρόνου. Οι απαντήσεις σας πρέπει να περιέχουν ξεκάθαρες επεξηγήσεις (ειδικά όταν αυτές ζητούνται), διαφορετικά κινδυνεύετε να χάσετε μονάδες. ΔΕΝ επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής ούτε και κινητού τηλέφωνου. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! Ονομα Φοιτητή: Αρ. Ταυτότητας: 1

Πρόβλημα 1 (6 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει τρία ανεξάρτητα μέρη. (α) Είναι οι προτάσεις (p q) και p q λογικά ισοδύναμες; (β) Είναι η πρόταση (q p) (p q) ταυτολογία; Αν όχι, βρείτε μια πιο απλή λογικά ισοδύναμη πρόταση. (γ) Για κατηγορήματα P (x) και Q(x), είναι οι προτάσεις x(p (x) Q(x)) και x(p (x) Q(x)) λογικά ισοδύναμες; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πρόβλημα 2 (2 μονάδες): Για σύνολα A, B, και C, ισχύει η σχέση A (B C) = (A B) (A C); Δικαιολογείστε την απάντησή σας με απόδειξη (αν ισχύει) ή με αντιπαράδειγμα (αν δεν ισχύει). Πρόβλημα 3 (6 μονάδες): Η συνάρτηση f : A A A A (όπου A = {0, 1, 2, 3, 4,..., 8} είναι το σύνολο των μη αρνητικών ακέραιων αριθμών μικρότερων του 9) ορίζεται ως f(a 1, a 2 ) = (x, y), όπου x (a 1 + a 2 ) mod 9, y (a 1 a 2 ) mod 9. (α) (4 μονάδες) Είναι η συνάρτηση f απεικόνιση (επί); Δικαιολογείστε την απάντησή σας δείχνοντας ότι για (x, y) A A μπορούμε να βρούμε (a 1, a 2 ) A A τέτοιο ώστε f(a 1, a 2 ) = (x, y) (αν ισχύει) ή με αντιπαράδειγμα (αν δεν ισχύει). (β) (2 μονάδες) Είναι η συνάρτηση f αντιστοιχία (ένα προς ένα); Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πρόβλημα 4 (6 μονάδες): Η άσκηση αυτή αποτελείται από δύο ανεξάρτητα μέρη. (α) Η σχέση R πάνω στους θετικούς ακέραιους αριθμούς μεγαλύτερους του 1 ορίζεται σαν: n 1 Rn 2 ανν gcd(n 1, n 2 ) = 1. Είναι η σχέση R αυτοπαθής (reflexive) ή/και συμμετρική (symmetric) ή/και μεταβατική (transitive); Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας με αποδείξεις ή με αντιπαραδείγματα. (β) Η σχέση S πάνω στους θετικούς ακέραιους αριθμούς μεγαλύτερους του 1 ορίζεται σαν: n 1 Rn 2 ανν 12 (n 2 1n 2 ). Είναι η σχέση S αυτοπαθής (reflexive) ή/και συμμετρική (symmetric) ή/και μεταβατική (transitive); Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας με αποδείξεις ή με αντιπαραδείγματα. 2

Πρόβλημα 5 (6 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει τρία ανεξάρτητα μέρη. Οι σχέσεις R και S ορίζονται στο σύνολο {1, 2, 3} ως εξής: R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}, S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}. (α) Είναι η σχέση R αυτοπαθής (reflexive); Είναι η σχέση R συμμετρική (symmetric); Είναι η σχέση R μεταβατική (transitive); (β) Είναι η σχέση S αυτοπαθής (reflexive); Είναι η σχέση S συμμετρική (symmetric); Είναι η σχέση S μεταβατική (transitive); (γ) Η σχέση T ορίζεται ως T = R S; Είναι η σχέση T σχέση ισοδυναμίας; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πρόβλημα 6 (4 μονάδες): Η άσκηση αυτή αποτελείται από δύο ανεξάρτητα μέρη. Αν n είναι θετικός ακέραιος, δείξτε ότι τα ακόλουθα ισχύουν ή δεν ισχύουν. Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας με αποδείξεις ή με αντιπαραδείγματα.. (α) 5 n 5 n (β) 3 n 4 + 2n Πρόβλημα 7 (6 μονάδες): Η άσκηση αυτή αποτελείται από δύο ανεξάρτητα μέρη. Για κάθε μια από τις πιο κάτω εξισώσεις (ξεχωριστά), βρείτε όλες τις λύσεις x, όπου x είναι μη αρνητικός ακέραιος μικρότερος του 30. Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας. (α) 3x 5 mod 11 (β) x 4 4 mod 7 Πρόβλημα 8 (4 μονάδες): Βρείτε μια λύση x, όπου x είναι μη αρνητικός ακέραιος μικρότερος του 180, για το πιο κάτω σύστημα εξισώσεων. Είναι η λύση που βρήκατε μοναδική; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Πρόβλημα 9 (5 μονάδες): Με χρήση μαθηματικής επαγωγής αποδείξτε ότι x 3 mod 4, x 4 mod 5, x 5 mod 9. 1 3 + 2 3 + 3 3 +... + n 3 = n2 (n + 1) 2, n 1. 4 Δηλώστε κατά πόσο χρησιμοποιείτε ισχυρή επαγωγή ή όχι. 3

Πρόβλημα 10 (7 μονάδες): Για σταθερές a, b, και c, η συνάρτηση f ορίζεται αναδρομικά ως f(0) = a, f(1) = b, f(2) = c, και f(n) = 2f(n 1) + f(n 2) 2f(n 3) για n = 3, 4, 5,... Τα πιο κάτω ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν ανεξάρτητα. (α) (2 μονάδες) Αν a = b = c = 1, βρείτε τις τιμές f(n) για n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. (β) (2 μονάδες) Αν a = c = 1 και b = 1, αποδείξτε ότι f(n) = ( 1) n για n = 0, 1, 2,... (γ) (3 μονάδες) Αν a = 1, b = 2, και c = 4, αποδείξτε ότι f(n) = 2 n για n = 0, 1, 2,... Πρόβλημα 11 (11 μονάδες): Το μη κατευθυνόμενο απλό γράφημα (undirected simple graph) G n,k = (V, E) έχει 2 n (για n 2) κορυφές τις οποίες ονομάζουμε με τα 2 n binary strings μήκους n (00..00, 00...01,..., 11...11). Το γράφημα έχει ακμές μεταξύ δυο κορυφών των οποίων τα strings διαφέρουν σε ακριβώς k θέσεις. Για παράδειγμα, αν n = 4 και k = 3, τότε η κορυφή 0000 έχει ακμές με τις κορυφές 1110, 1101, 1011, και 0111. Τα πιο κάτω ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν ανεξάρτητα. (α) (2 μονάδες) Πόσες ακμές έχει το γράφημα G n,k ; (β) (3 μονάδες) Είναι το γράφημα G 3,1 είναι συνδεδεμένο; Εχει το γράφημα G 3,1 Euler κύκλο ή Euler μονοπάτι; Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. (γ) (6 μονάδες) Για ποιες τιμές του n (n = 3, 4,...), το μη κατευθυνόμενο γράφημα G n,2 είναι συνδεδεμένο; Για ποιες από αυτές τις τιμές (για τις οποίες το G n,2 είναι συνδεδεμένο) έχει το G n,2 Euler κύκλο ή Euler μονοπάτι; Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας. Πρόβλημα 12 (10 μονάδες): Ο μη κατευθυνόμενος απλός γράφος (undirected simple graph) G = (V, E) έχει κορυφές και ακμές V = {v 0, v 1, v 2,..., v 104 } E = {(v i, v j ) v i v j, i j 0 mod 3 ή i j 0 mod 5 ή i j 0 mod 7}. Τα πιο κάτω ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν ανεξάρτητα. (α) (4 μονάδες) Ποιός είναι ο αριθμός των ακμών της κορυφής v 0 του γράφου G; Ποιός είναι ο αριθμός των ακμών του γράφου G; Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας. (β) (6 μονάδες) Είναι ο γράφος G συνδεδεμένος; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. 4

Πρόβλημα 13 (8 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει δύο ανεξάρτητα μέρη. Για το κάθε μέρος, αποφασίστε αν τα γραφήματα G 1 = (V 1, E 1 ) και G 2 = (V 2, E 2 ) με τους δεδομένους πίνακες γειτνίασης είναι ισομορφικά (isomorhpic). Αν ναι, υποδείξτε την ένα προς ένα και επί συνάρτηση f : V 1 V 2 με τις απαραίτητες ιδιότητες. Αν δεν είναι ισομορφικά, εξηγείστε γιατί. [Θεωρείστε ότι V 1 = {A, B, C, D} με σειρά από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς δεξιά στον πίνακα γειτνίασης του G 1, και ότι V 2 = {a, b, c, d} με σειρά από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς δεξιά στον πίνακα γειτνίασης του G 2.] (α) Πίνακας γειτνίασης G 1 : 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0, πίνακας γειτνίασης G 2: σε αυτή την περίπτωση είναι μη κατευθυνόμενα (undirected). 0 0 1 1 (β) Πίνακας γειτνίασης G 1 : 1 0 1 0 1 1 0 0, πίνακας γειτνίασης G 2: 0 0 1 0 σε αυτή την περίπτωση είναι κατευθυνόμενα (directed). 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0. Τα γραφήματα. Τα γραφήματα Πρόβλημα 14 (8 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει δύο ανεξάρτητα μέρη. Καθορίστε κατά πόσο τα δύο πιο κάτω γραφήματα έχουν Euler circuit ή/και Euler path. Δημιουργήστε τα αν αυτά υπάρχουν, διαφορετικά εξηγείστε γιατί δεν υπάρχουν. A B A B E F E F D C D C 5

Πρόβλημα 15 (11 μονάδες): Η άσκηση αυτή περιλαμβάνει τέσσερα ανεξάρτητα μέρη. (Α) (2 μονάδες) Διαλέξετε τη σωστή απάντηση: ο αριθμός των συμμετρικών σχέσεων S πάνω στο σύνολο {1, 2, 3} που περιέχουν τη σχέση R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} (δηλαδή R S) είναι (α) 3. (β) 8. (γ) 15. (δ) 64. (ε) Κανένα από τα πιο πάνω. (Β) (4 μονάδες) Απαντήστε ορθό (Ο) ή λάθος (Λ) για την καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις. (α) 5 277 5(mod7), Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (β) 2 501 3(mod5), Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (Γ) (2 μονάδες) Το κατηγόρημα P (n) ισχύει για P (0) και P (3). Επίσης, για κάθε μη αρνητικό ακέραιο n, έχουμε ότι αν το P (n) ισχύει, τότε το P (n + 2) ισχύει. Απαντήστε ορθό (Ο) ή λάθος (Λ) για τη καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις. (α) P (n) ισχύει για n = 3k, όπου k μη αρνητικός ακέραιος, Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (β) P (n) ισχύει για n 2, Ορθό (Ο) ή Λάθος (Λ); (Δ) (3 μονάδες) Διαλέξετε τη σωστή απάντηση: το σύστημα εξισώσεων έχει (α) Μία λύση x τέτοια ώστε 0 x 44. (β) Τρεις λύσεις x τέτοιες ώστε 0 x 44. x 3 1(mod9), x 2 4(mod5) (γ) Τέσσερεις λύσεις x τέτοιες ώστε 0 x 44. (δ) Εξι λύσεις x τέτοιες ώστε 0 x 44. (ε) Κανένα από τα πιο πάνω. 6