website:

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται μαζί με το ρευστό, έτσι ώστε οι συντεταγμένες τυχαίου σημείου του ρευστού να μην μεταβάλλονται. Τανυστής παραμόρφωσης ονομάζεται ο τανυστής με συνιστώσες: ɛ ij = 1 2 (g ij g ij ), i, j = 1, 2, 3, (1) όπου τα g ij και g ij τα στοιχεία του μετρικού τανυστή πριν και μετά την παραμόρφωση. Ο τανυστής παραμόρφωσης έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Είναι συμμετρικός. 2. Τα μεγέθη ɛ ij είναι διαφορετικά του μηδενός μόνο όταν η περιοχή του σημείου που μελετάμε παραμορφώνεται. Αν η περιοχή μετατοπιζόταν ως στερεό σώμα ή παρέμενε ακίνηση τότε ɛ ij = 0, για i, j = 1, 2, 3. email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com 1

3. Τα μεγέθη ɛ ij σχετίζονται με την παραμόρφωση μόνο της περιοχής του σημείου που μελετάμε, όπως την αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής που μετέχει στην κίνηση της περιοχής αυτής. Είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων ξ i και συνεπώς είναι διαφορετικά για τα διάφορα σημεία του ρευστού. 4. Ο τανυστής παραμόρφωσης αναφέρεται στην παραμόρφωση από μια αρχική σε μια τελική κατάσταση. Ο χρόνος δεν υπεισέρχεται άμεσα στην παραμόρφωση, δεν μας ενδιαφέρει δηλαδή πόσο χρονικό διάστημα πέρασε μεταξύ της αρχικής και τελικής κατάστασης. Αν θεωρήσουμε δύο σωματίδια ενός ρευστού M και M σε απόσταση ds πριν την παραμόρφωση τότε ορίζουμε τον συντελεστή σχετικής επιμήκυνσης l ως το λόγο l = ds ds, (2) ds όπου ds η απόσταση μεταξύ των σημείων μετά την παραμόρφωση. Ο συντελεστής παραμόρφωσης εξαρτάται από το θεωρούμενο σημείο και είναι γενικά διαφορετικός για διαφορετικές διευθύνσεις. Αν θεωρήσουμε τον στοιχείωδη όγκο dv πριν και dv μετά τη παραμόρφωση τότε ορίζουμε τον συντελεστή κυβικής διαστολής ως το λόγο θ = dv dv dv. (3) Τα διαγώνια στοιχεία του τανυστή παραμόρφωσης σχετίζονται με την μεταβολή των μηκών κατά μήκος των αξόνων (συντεταγμένων γραμμών) του συνοδεύοντος συστήματος. Ειδικά στην απειροστή παραμόρφωση 1 τα διαγώνια στοιχεία του τανυστή παραμόρφωσης είναι ίσα προς τον συντελεστή σχετικής επιμήκυνσης κατά μήκος του αντίστοιχου άξονα. Τα μη διαγώνια στοιχεία του τανυστή παραμόρφωσης σχετίζονται με τη μεταβολή της γωνίας των συντεταγμένων γραμμών του συνοδεύοντος συστήματος. Ειδικά στην απειροστή παραμόρφωση τα μη διαγώνια στοιχεία είναι 1 Απειροστή παραμορφωση ονομάζουμε την παραμόρφωση στην οποία μπορούμε να παραλείψουμε όρους δεύτερης και μεγαλύτερης τάξης ως προς μια παραμέτρο. 2

ίσα προς το μισό της εκτροπής της γωνίας των αντίστοιχων αξόνων από την καθετότητα. Οι συνιστώσες του ταυνστή παραμόρφωσης αναφέρονται στο συνοδεύον σύστημα και εκφράζουν την παραμόρφωση όπως την αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής που κινείται μαζί με συνοδεύον σύστημα. Ο τανυστής παραμόρφωσης μπορεί να βρεθεί και από το διάνυσμα της μετατόπισης w = r r. (4) Οι συνιστώσες του τανυστή παραμόρφωσης δίνονται από τις σχέσεις: ɛ ij = 1 2 [ w i + w j + w m w m ] (i, j = 1, 2, 3). (5) x j x i x i x j Σε κάθε σημείο ενός ρευστού η παραμόρφωση είναι ισοδύναμη προς συμπίεση ή έκταση κατά μήκος τριών κάθετων μεταξύ τους διευθύνσεων που συμπίπτουν με τα ιδιοδιανύσματα του τανυστή παραμόρφωσης στο σημείο αυτό. 2 Τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης Η ταχύτητα με την οποία γίνεται μια παραμόρφωση έχει μεγάλη σημασία ιδιαίτερα στα ρευστά (αέρια και υγρά). Ο τανυστής που περιγράφει την ταχύτητα με την οποία γίνεται η παραμόρφωση ονομάζεται τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης και οι συνιστώσες του δίνονται από τις σχέσεις e ij = 1 2 ( u i x j + u j x i ). (6) Ο τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης είναι συμμετρικός, υπάρχει πάντοτε ένα ορθογώνιο σύστημα τη στιγμή t ώστε ο τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης να είναι διαγώνιος σε ένα ορισμένο σημείο. Οι διευθύνσεις των αξόνων αυτού του συστήματος ονομάζονται κύριες διευθύνσεις του τανυστή ρυθμού παραμοφωσης και συμπίπτουν με τα ιδιοδιανύσματα του τανυστή στο σημείο. Η γεωμετρική σημασία των συνιστωσών του τανυστή ρυθμού παραμόρφω- 3

σης είναι ανάλογη προς εκείνη του τανυστή παραμόρφωσης. Τα διαγώνια στοιχεία αντιστοιχούν στην ταχύτητα μεταβολής των μηκών υλικών γραμμών παράλληλων προς τους άξονες x i και τα μη διαγώνια στοιχεία στην ταχύτητα μεταβολής μεταξύ δύο υλικών γραμμών παράλληλων αρχικά προς δύο άξονες x i. Ο τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης δίνει τον ρυθμό μεταβολής του ρευστού ως προς το συνοδεύον σύστημα και εκφράζουν το ρυθμό παραμόρφωσης όπως την αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής που κινείται μαζί με συνοδεύον σύστημα. 3 Γραμμές ροής, τροχιές σωματιδίων και ι- νώδεις φλέβες Εστω πεδίο ταχυτήτων ρευστού εκφρασμένο με τις μεταβλητές του Euler u i = u i (x 1, x 2, x 3, t) όπου i = 1, 2, 3. Γραμμή ροής ονομάζεται η γραμμή που έχει ιδιότητα το διάνυσμα της ταχύτητας την στιγμή t 0 σε κάθε σημείο τους, να είναι εφαπτόμενο στην αντίστοιχη γραμμή. Η γραμμή ροής βρίσκεται από τις σχέσεις dx 1 u 1 = dx 2 u 2 = dx 3 u 3 = dλ, (7) όπου λ παράμετρος και (x 1, x 2, x 3 ) οι χωρικές συντεταγμένες. Η παραπάνω σχέση εκφράζει ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα μετατόπισης d r στη γραμμή ροής είναι παράλληλο προς το διάνυσμα της ταχύτητας, d r = ūdλ. Η λύση του παραπάνω συστήματος θα δώσει την παραμετρική μορφή των εξισώσεων των γραμμών ροής στο σύστημα x i του παρατηρητή τη στιγμή t 0 με παράμετρο λ. Τροχιά ονομάζεται η διαδρομή την οποία ακολουθεί ένα συγκεκριμένο σωματίδιο του ρευστού καθώς κινείται μέσα στο πεδίο ροής για ένα χρονικό διάστημα. Οι γραμμές ροής δεν συμπίπτουν με τις τροχιές των σωματιδίων του ρευστού 4

οι οποίες προκύπτουν από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων dx 1 u 1 = dx 2 u 2 = dx 3 u 3 = dt. (8) Οι γραμμές ροής συμπίπτουν με τις τροχιές των σωματιδίων του ρευστού μόνο όταν το πεδίο ταχυτήτητων είναι ανεξάρτητο του χρόνου, ū = 0. Αυτό t συμβαίνει όταν έχουμε μόνιμη ροή και στην οποία όλες οι τοπικοί παράγωγοι όλων των μεγεθών που χαρακτηρίζουν την κίνηση είναι ίσες προς μηδέν. Αν οι ταχύτητες του ρευστού είναι συνεχείς συναρτήσεις των μεταβλητών (x 1, x 2, x 3 ) με συνεχείς παραγώγους στην περιοχή ενός σημείου τότε από το σημείο αυτό περνάει μόνο μια γραμμή ροής. Τα σημεία στα οποία περνάν περισσότερες από μία γραμμές ροής ονομάζονται ανώμαλα ή κρίσιμα σημεία και είναι τα σημεία στα οποία το πεδίο ταχυτήτητων είναι ίσο με μηδέν. Ινώδης φλέβα ονομάζεται μια νοητή γραμμή πάνω στην οποία βρίσκεται το σύνολο των σωματιδίων του ρευστού τα οποία πέρασαν, πριν από μια δεδομένη χρονική στιγμή t, από ένα ορισμένο σημείο του πεδίου ροής. 4 Δυναμική ροή, στροβιλώδης κίνηση και κυκλοφορία ταχύτητας Λέμε ότι ένα πεδίο ταχυτήτων προέρχεται από δυναμικό και η ροή είναι δυναμική ροή όταν υπάρχει συνάρτηση Φ(x 1, x 2, x 3, t) τέτοια που το πεδίο ταχυτήτων να εκφράζεται με τη μορφή ū = gradφ. (9) Η συνάρτηση Φ ονομάζεται δυναμικό του πεδίου ταχυτήτων. Οι συνιστώσες της ταχύτητας στη δυναμική ροή δίνονται από τις σχέσεις: u 1 = Φ x 1, u 2 = Φ x 2, u 3 = Φ x 3. (10) Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να προέρχεται το πεδιό ταχυτήτων από 5

δυναμικό είναι να ισχύει η σχέση rotū = 0. (11) Στην περίπτωση που τα σωματίδια ενός ρευστού εκτελούν περιστροφική κίνηση με στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ω τότε ορίζεται ένα διανυσματικό πεδίο ω που ονομάζεται πεδίο στροβιλών. Οταν το πεδίο στροβιλών δεν είναι μηδέν τότε η κίνηση του ρευστού ονομάζεται στροβιλώδης κίνηση. Οταν το πεδίο στροβιλών ισούται με μηδέν τότε η κίνηση ονομάζεται αστρόβιλη. Η σχέση του πεδίου στροβιλών με το πεδίο ταχυτήτων δίνεται από τη σχέση ω = 1 rotū. (12) 2 Στην περιπτωση που το πεδίο ταχυτήτων της ροής προέρχεται από δυναμικό τότε ω = 0 (αφού rot gradφ = 0) και η ροή είναι αστρόβιλη. Ισχύει επίσης ότι η αστρόβιλη κίνηση είναι δυναμική. Κυκλοφορία του διανύσματος της ταχύτητας ονομάζεται το ε- πικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατα μήκος της καμπύλης c μεταξύ δύο σημείων A, B του χώρου στον οποίο κινείται ένα ρευστό K = ūd r. (13) Στην περίπτωση δυναμικής ροής η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος και άρα και η κυκλοφορία της ταχύτητας του ρευστού εξαρτώνται μόνο από τα ακραία σημεία A, B της κίνησης του ρευστού. c 5 Είδη ροής Στην παρούσα παράγραφο κάνουμε αναφορά στα είδη ροής με βάση τη χωροχρονική μεταβολή των ιδιοτήτων του ρευστού και βασικά το πεδίο ταχυτήτων. Ομοιόμορφη ροή ονομάζουμε τη ροή στην οποία το μέτρο και η διεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας είναι σταθερά κατά μήκος οποιασδήποτε γραμμής του πεδίου ροής. Αντίθετα ανομοιόμορφη ροή ονομάζουμε την 6

ροή στην οποία το μήτρο ή η διεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας μεταβάλλονται από σε σημείο σε σημείο κατα μήκος μιας γραμμής του πεδίου ροής. Μόνιμη ροή ονομάζουμε τη ροή στην οποία το μέτρο και η διεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας σε ένα δεδομένο σημείο δε μεταβάλλονται ως προς το χρόνο. Στην περίπτωση της μόνιμης ροής η ταχύτητα του ρευστού μπορεί να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο μέσα στο χώρο αλλά σε κάθε σημείο το μέτρο και η διεύθνση της ταχύτητας παραμένουν σταθερά. Η ταχύτητα είναι συνάρτηση μόνο των (x 1, x 2, x 3 ). Αντίστοιχα ισχύει και για όλες τις ιδιότητες του ρευστού (πυκνότητα, πίεση, θερμοκρασία κλπ...). Μη μόνιμη ροή ονομάζουμε τη ροή στην οποία το μέτρο ή η διεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας (ή οποιασδήποτε άλλης ιδιότητας του ρευστού) σε ένα δεδομένο σημείο μεταβάλλονται ως προς το χρόνο. Στην περίπτωση της μη μόνιμης ροής η ταχύτητα είναι συνάρτηση των (x 1, x 2, x 3 ) και του χρόνου. 6 Ασκήσεις 1. Εστω ρευστό που παραμορφώνεται με βάση τις παρακάτω σχέσεις: x 1 = x 10 + kx 2 20, x 2 = x 20, x 3 = x 30, (14) όπου (x 10, x 20, x 30 ) είναι οι συντεταγμένες τυχαίου σημείου του ρευστού πριν από την παραμόρφωση, ως προς το σύστημα του παρατηρητή x i και (x 1, x 2, x 3 ) οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου μετά την παραμόρφωση στο σύστημα x i. Να βρείτε τις συνιστώσες του τανυστή παραμόρφωσης του συγκεκριμένου σημείου. 2. Να βρείτε τον τανυστή παραμόρφωσης για την παραμόρφωση που δίνεται από το διάνυσμα μετατόπισης w 1 = kx 2 2, w 2 = 0, w 3 = 0. 3. Να βρείτε τα ιδιοδιανύσματα του τανυστή παραμόρφωσης για την παρα- 7

μόρφωση που δίνεται από τις σχέσεις x 1 = x 1 + ax 2, x 2 = x 2, x 3 = x 3, a << 1. 4. Το πεδίο ταχύτητας μιας ροής περιγράφεται από την εξίσωση: ū = [A(1 y y2 ) + B(1 a b )]ī, 2 όπου A, a, B, b σταθερές. α)να υπολογιστούν οι τιμές των ρυθμών γραμμικής και γωνιακής παραμόρφωσης του ρευστού στο σημείο (0, b 2 ) του χώρου. β) Να βρεθεί ο τανυστής ρυθμού παραμοφωσης. 5. Να βρείτε τις γραμμές ροής και τις τροχιές του συστήματος της μη μόνιμης ροής u 1 = 1, u 2 = 1 + t. 6. Το πεδίο ταχύτητας μιας ροής περιγράφεται από την εξίσωση ū = 2yī + x j. α) Να βρεθεί η εξίσωση των γραμμών ροής. β) Να σχεδιαστεί ένας αριθμός γραμμών ροής. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής ροής η οποία διέρχεται από το σημείο (3, 1) και η κλίση της στο σημείο αυτό. 7. Το πεδίο ταχύτητας ενός ανεμστρόβιλου περιγράφεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες από την εξίσωση ū = a r e r + b r e θ, όπου a, b σταθερές. Να βρεθούν α) Η εξίσωση των γραμμών ροής. β) Η εξίσωση της τροχιάς του σωματιδίου του αέρα το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στο σημείο (r 0, θ 0 ). 8. Να βρεθεί το δυναμικό του πεδίου ταχυτήτων ū = (x 2 ē 1 +x 1 ē 2 +(2x 3 + 1)ē 3 ). 8