0,0. Ε π α ν α λ η π τ ι κ ή Ε ξ έ τ α σ η σ τ η Φ Υ Σ Ι Κ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ο Υ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Ϊ Ο Σ ΘΕΜΑ Α

Ε π α ν α λ η π τ ι κ ή Ε ξ έ τ α σ η σ τ η Φ Υ Σ Ι Κ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ο Υ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Ϊ Ο Σ 0 6 ΘΕΜΑ Α Για τις ερωτήσεις Α έως Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα πο αποτελεί τη σωστή απάντηση Α. Υλικό σηµείο εκτελεί Α.Α.Τ µε περίοδο Τ και εξίσωση x= Aηµω t. Το χρονικό διάστηµα πο χρειάζεται για να µεταβεί από τη θέση ισορροπίας στη θέση µε αποµάκρνση α) T t= β) 4 T t= γ) 8 T t= δ) T t= 6 A x= είναι: Α. Ένα σώµα εκτελεί αρµονική ταλάντωση της οποίας η εξίσωση αποµάκρνσης προκύπτει από τη 5π π σύνθεση των εξισώσεων: x = Aηµ ( ωt+ ) και x = Aηµ ( ωt+ ). Τη χρονική στιγµή 6 6 αποµάκρνση το σώµατος είναι ίση µε: α) A x= β) x= A γ) A x= δ) A x= T t=, η Α. Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσο χ χ, διαδίδονται δύο όµοια εγκάρσια αρµονικά κύµατα y και y. Το y διαδίδεται κατά τη θετική φορά το άξονα, θέτοντας κάθε σηµείο το µέσο σε αρµονική ταλάντωση ξεκινώντας προς τα πάνω. Το y διαδίδεται κατά την αρνητική φορά το άξονα, θέτοντας κάθε σηµείο το µέσο σε αρµονική ταλάντωση ξεκινώντας προς τα κάτω. Τα δύο κύµατα τη χρονική στιγµή t=0, σναντώνται σε σηµείο το µέσο, το οποίο θεωρούµαι ως αρχή το άξονα, χ=0 και αρχίζον να σµβάλλον. Αποτέλεσµα της σµβολής είναι η δηµιοργία στάσιµο κατά µήκος το µέσο χ χ. y 0,0 x

Το πλάτος ταλάντωσης το σηµείο το µέσο το οποίο λάβαµε ως αρχή το άξονα, χ=0, είναι: α) A ' = 0 β) A' = A γ) 0 < A' < A δ) A< A' < A Α4. Σε ελαστική χορδή ορισµένο µήκος L, η οποία έχει τα δύο άκρα της ακλόνητα στερεωµένα, σχηµατίζεται στάσιµο κύµα από τη σµβολή δύο αρµονικών κµάτων ορισµένης σχνότητας f. Στη χορδή πάρχον δύο ακίνητα σηµεία, τα ακλόνητα άκρα της. Για να σχηµατισθεί στη χορδή στάσιµο κύµα µε τέσσερα ακίνητα σηµεία, σµπεριλαµβανοµένων των δύο άκρων της, θα πρέπει η σχνότητα των κµάτων πο σµβάλον να: α) διπλασιασθεί β) τριπλασιασθεί γ) τετραπλασιασθεί δ) ποτριπλασιασθεί Α5. Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµεί ένα σώµα Σ µάζας δεµένο στο άκρο οριζόντιο ελατηρίο σταθεράς k. Στο σώµα Σ έχει προσδεθεί ένας δέκτης ήχο, αµελητέας µάζας. Σε απόσταση d πάρχει µια πηγή Π πο παράγει αρµονικό ήχο σχνότητας f, όπως στο σχήµα. Εκτρέποµε το σώµα Σ προς τα αριστερά κατά A< d και τη χρονική στιγµή t=0 το αφήνοµε να εκτελέσει ΑΑΤ. Αν η προς τα δεξιά κατεύθνση θεωρείται θετική και η ταχύτητα το ήχο ως προς τον ακίνητο αέρα είναι, η σχνότητα το ήχο f πο καταγράφει ο δέκτης δίνεται από τη σχέση: α) γ) f f π ω Aσν ( ωt+ ) = f β) π ω Aσν ( ωt+ ) = f δ) f π + ωaσν ( ωt+ ) = f f = f π ω Aσν ( ωt+ ) Μονάδες 5 5= 5 ΘΕΜΑ Β Β. Στην επιφάνεια ενός γρού διαδίδονται δύο κύµατα πο προέρχονται από δύο σύγχρονες πηγές, Ο και Ο,οι οποίες εκτελούν αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση αποµάκρνσης y =y =Aηµωt. Για τα κύµατα ατά δεχόµαστε ότι διατηρούν σταθερό πλάτος. Ένα σηµείο Μ απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r

και r, όπο r > r.το επόµενο σχήµα δείχνει την αποµάκρνση y M το σηµείο Μ, από τη στιγµή t=0, οπότε αρχίζον να ταλαντώνονται οι πηγές, µέχρι τη στιγµή t, οπότε φθάνει στο Μ το κύµα από την πιο µακρινή πηγή Ο. y M r r t r H εξίσωση αποµάκρνσης το Μ, µετά τη σµβολή των κµάτων σε ατό, δηλαδή για t, δίνεται από τη σχέση: t r + r α) y M = 0 β) ym = Aηµ π ( ) + π T λ t r + r ηµ π ( ) T λ γ) ym = A Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες +6=8 Β. Οµογενής δοκός βάρος W και µήκος L ισορροπεί στηριζόµενη στο οριζόντιο δάπεδο και σε λείο κατακόρφο τοίχο, όταν η γωνία πο σχηµατίζει µε το οριζόντιο δάπεδο είναι τολάχιστον θ, όπο σνθ=0,8 και ηµθ=0,6. Φέρνοµε τη δοκό σε τέτοια θέση ώστε να σχηµατίζει µε το οριζόντιο δάπεδο γωνία φ, όπο φ>θ, µε σνφ=0,6 και ηµφ=0,8. ϕ

Ο λόγος της τριβής πο δέχεται η δοκός από το οριζόντιο δάπεδο στη θέση ατή, προς την οριακή τιµή της είναι: α) T 9 = β) T ορ 6 T = γ) T ορ 8 T 4 = T ορ 9 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες +6=8 Β. Λεία σφαίρα µάζας =Μ και ακτίνας R, κλά χωρίς να γλιστρά σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα το ΚΜ της είναι, ενώ η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής γύρω από άξονα πο διέρχεται από το κέντρο της είναι ω. Η σφαίρα σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε ακίνητη επίσης λεία σφαίρα µάζας =Μ και ίδιας ακτίνας R. Τι από τα επόµενα θα σµβεί, µετά την κρούση; ω α) Η σφαίρα µάζας =Μ θα σνεχίσει να κλά χωρίς να γλιστρά, αλλάζοντας φορά κίνησης µε ταχύτητα µέτρο ' = ενώ η σφαίρα µάζας =Μ θα ολισθήσει προς τα δεξιά µε ταχύτητα ' = β) Τόσο η σφαίρα µάζας =Μ όσο και η σφαίρα µάζας =Μ θα περιστρέφονται, ενώ η πρώτη θα κινείται προς τ αριστερά µε ταχύτητα µέτρο ' = και η δεύτερη προς τα δεξιά µε ταχύτητα ' = γ) Η σφαίρα µάζας =Μ θα περιστρέφεται και τατόχρονα θα κινείται προς τ αριστερά µε ταχύτητα µέτρο ' =, ενώ η σφαίρα µάζας =Μ θα ολισθήσει προς τα δεξιά µε ταχύτητα ' = Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες +7=9 ΘΕΜΑ Γ Σε ένα µεγάλο κατακόρφο σωλήνα ηρεµούν δύο γρά, το κάτω είναι νερό µε πκνότητα ρ =.000kg/ και το πάνω είναι λάδι πκνότητας ρ, όπως στο σχήµα, όπο h = και h =. Μια τάπα, κλείνει µια οπή το δοχείο, h 4 h

εµβαδού Α=0,4c, η οποία βρίσκεται σε ύψος h=0, από την βάση το σωλήνα. Το επόµενο διάγραµµα παριστάνει τη µεταβολή της πίεσης σε σνάρτηση µε το βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια το λαδιού. N 4 ( 0 ) Γ. Να πολογίσετε την πκνότητα το λαδιού και την πίεση στο πθµένα το δοχείο Γ. Να πολογίσετε τη δύναµη πο δέχεται η τάπα από τα τοιχώµατα το σωλήνα, θεωρώντας αµελητέο το βάρος της καθώς και ότι το εµβαδόν της είναι πολύ µικρό, ώστε να µπορούµε να δεχτούµε ότι σε όλα τα σηµεία της, επικρατεί η ίδια πίεση p Γ. Σε µια στιγµή βγάζοµε την τάπα, οπότε µέσα σε ελάχιστο χρόνο, αποκαθίσταται µια µόνιµη και στρωτή ροή. Να πολογιστεί η ταχύτητα εκροής, θεωρώντας ότι η διατοµή το σωλήνα, είναι πολύ µεγαλύτερη από τη διατοµή της οπής. Η ταχύτητα εκροής το νερού δεν θα παραµένει σταθερή, αλλά θα µειώνεται καθώς θα κατεβαίνει η στάθµη το λαδιού, οπότε γενικά, η ροή δεν θα είναι µόνιµη. Η ζητούµενη ταχύτητα εκροής, είναι ατή πο θα αποκατασταθεί µέσα σε ελάχιστο χρόνο, µόλις αποµακρνθεί η τάπα και την οποία για ένα µικρό διάστηµα µπορούµε να θεωρήσοµε σταθερή. ίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g=0/ Μονάδες (5+4)+7+9=5 ΘΕΜΑ Ο αρχικά ακίνητος οµογενής κύλινδρος µάζας =Kg, ακτίνας R=0,, φέρει λεπτή εγκοπή βάθος R r=, στην οποία είναι τλιγµένο νήµα αµελητέο πάχος. Για τη γωνία κλίσης ξέροµε ότι ηµθ=0,6 και σνθ=0,8. Κάποια στιγµή ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος. 5

ϑ. Να πολογίσετε την ελάχιστη τιµή το σντελεστή οριακής τριβής µεταξύ το κλίνδρο και το πλάγιο επιπέδο, ώστε ο κύλινδρος να ισορροπεί. Έστω ότι ο σντελεστής οριακής τριβής είναι ίσος µε το σντελεστή τριβής ολίσθησης και έχει τιµή µ = µ = = 0,. Να πολογίσετε την ταχύτητα το άξονα το κλίνδρο καθώς και τη γωνιακή 5 ταχύτητα περιστροφής ω το κλίνδρο γύρω από τον άξονά το, 0 µετά τη στιγµή πο ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος. Να πολογίσετε τη στροφορµή το κλίνδρο ως προς το σηµείο Κ, στο οποίο το νήµα είναι δεµένο στον τοίχο, 0 µετά τη στιγµή πο ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος 4. Να πολογίσετε την απώλεια µηχανικής ενέργειας το κλίνδρο από τη στιγµή πο αφήνεται ελεύθερος µέχρι και 0 µετά τη στιγµή ατή. ίνεται η ροπή αδράνειας το κλίνδρο ως προς τον άξονά το: I = R και η επιτάχνση της βαρύτητας g=0/ Μονάδες 6+8+6+5=5 Θοδωρής Παπασγορίδης papagou@gail.co 6

Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α T A Α. γ) t = Κατά τη µετάβαση από τη θέση ισορροπίας στη θέση µε αποµάκρνση x =, π ϕ η φάση της ΑΑΤ αξάνει κατά φ=π/6, οπότε: t 6 Τ ω = = t = t π Τ Α. β) x = A Η στιγµιαία αποµάκρνση είναι ίση µε: 5 5 A A x = x + x = Aηµ ( π + π ) + Aηµ ( π + π ) = Aηµ π Aηµ = = A 6 6 6 6 π t π x x Α. α) A ' = 0 Το κύµα y περιγράφεται από την εξίσωση: y = Aηµ ( ) µε t ενώ το T λ π t π x x κύµα y από την εξίσωση: y = Aηµ ( + + π ) µε t όπο χ η τετµηµένη θέσης. T λ Από τη σµβολή των δύο κµάτων προκύπτει στάσιµο: π t π x π t π x y = y + y = A ηµ ( ) + ηµ ( + + π )... T λ T λ π x π π t π y = Aσν ( + ) ηµ ( + ) λ T µε t x t Για το σηµείο στη θέση χ=0, το πλάτος είναι ίσο: π x π π A Aσν A Aσν λ x= 0 ' = ( + ) ' = = 0 Α4. β) τριπλασιασθεί Αρχικά Τελικά λ L = = f = f L L λ ' ' f ' f = = = = L f Α5. α) f π ω Aσν ( ωt + ) = f αφού f f π = και A ( t ) = ω σν ω + µε k ω = ΘΕΜΑ Β t r + r Β. β) ym = Aηµ π ( ) + π T λ, r t Για κάθε σηµείο της επιφάνειας το γρού, µετά τη σµβολή ισχύει:

r r ( t t) t A = Aσν ( π ) A = Aσν π A Aσν ( π ) λ = λ λ t A = Aσν ( π ) T όπο t η χρονική διαφορά µε την οποία φθάνον στο σηµείο το µέσο, τα κύµατα από τις δύο πηγές. Για το σηµείο Μ, t=τ, άρα: A = Aσν π = A. Οπότε: t r r t r r ym A ηµ π + ( ) ym A ( ) T ηµ π + λ T λ π = = + Β. α) T 9 = T ορ 6 Εφόσον η δοκός ισορροπεί όταν η γωνία πο σχηµατίζει µε το οριζόντιο δάπεδο είναι τολάχιστον θ, σµπεραίνοµε ότι για γωνία µικρότερη της θ επίκειται ολίσθηση, άρα όταν η γωνία είναι θ η στατική τριβή λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της Τ ορ. Έστω Κ το σηµείο επαφής µε το οριζόντιο δάπεδο και θ η γωνία πο σχηµατίζει η δοκός µε ατό. Τότε: F w N θ Κ T ορ L Σ τ ( ) 0 FL W 0 F W σνθ Κ = ηµθ σνθ = = ηµθ Όµως: σνθ 0,8 F = Tορ Tορ = W Tορ = W Tορ = W ηµθ 0,6 Όταν φέροµε τη δοκό σε τέτοια θέση ώστε να σχηµατίζει µε το οριζόντιο δάπεδο γωνία φ>θέχοµε: F Γ A w N T ϕ

F 0,6 = T T = W σνϕ T = ηµϕ W 0,8 T = 8 W Άρα: T 9 = T ορ 6 Β. γ) Η σφαίρα µάζας =Μ θα περιστρέφεται και τατόχρονα θα κινείται προς τ αριστερά µε ταχύτητα µέτρο ' =, ενώ η σφαίρα µάζας =Μ θα ολισθήσει προς τα δεξιά µε ταχύτητα ' = Κατά τη διάρκεια της κρούσης, οι δνάµεις µεταξύ των σφαιρών βρίσκονται πάνω στην οριζόντια διάµετρο (κεντρικές). Έτσι δεν προκαλούν ροπή ως προς το νοητό άξονα περιστροφής, οπότε η στροφορµή κάθε σφαίρας, διατηρείται σταθερή. Έτσι η σφαίρα µάζας =Μ σνεχίζει να στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω, ενώ η σφαίρα µάζας =Μ δεν αποκτά γωνιακή ταχύτητα. ω F F Οι δνάµεις επαφής όµως θα µεταβάλλον την ορµή κάθε σφαίρας, οπότε οι ταχύτητες το ΚΜ κάθε σφαίρας µετά την ελαστική κρούση, πολογίζονται: ω pολ ( πριν ) = pολ ( µετα ) = ' + ' ΑΟ: Ελαστική: ½ + ½ Ι ω = ½ + ½ Ι ω + ½ ½ = ½ + + ½ εφόσον η σφαίρα µάζας =Μ σνεχίζει να στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω. Με επίλση το σστήµατος βρίσκοµε ότι: ' = και ' =

Άρα η σφαίρα µάζας =Μ θα σνεχίσει να στρέφεται δεξιόστροφα, ενώ τατόχρονα κινούµενη προς τ αριστερά µε ταχύτητα µέτρο ' =, θα γλιστρά. Η σφαίρα µάζας =Μ θα ολισθήσει προς τα δεξιά, µε ταχύτητα ' = ΘΕΜΑ Γ Γ. Από το διάγραµµα βλέποµε πως η πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια το λαδιού έχει τιµή: 4 N 5 N p = 0 0 0 =, όπο προφανώς ατή είναι η τιµή της ατµοσφαιρικής πίεσης 5 N pat = 0. Σε βάθος y=h = από την ελεύθερη επιφάνεια το λαδιού η πίεση έχει τιµή: 4 N 5 N p = 0, 7 Γ 0, 07 0 = pγ pat 7 0 Kg Kg Ισχύει όµως: pγ = pat + ρgh ρ = ρ = ρ = 700 gh 0 N ( 0 ) p 4 B h Γ 0,7 0 h Η 0,0 y() Η πίεση στον πθµένα το δοχείο έχει τιµή: 5 N 4 N pη pγ = ρgh pη = pγ + ρgh pη =, 07 0 + 0 5 N 4 N pη =,7 0 p, 7 0 Η = Γ. Θεωρώντας πολύ µικρό το εµβαδόν της τάπας µπορούµε να δεχτούµε ότι σε όλα τα σηµεία της, επικρατεί η ίδια πίεση p, όπο: 4 N 4 N p pγ = ρg( h h) p = pγ + ρg( h h) p = 0,7 0 + 0 0,8 4 N p =,5 0 4

Η τάπα δέχεται µια οριζόντια δύναµη από το νερό µέτρο: 4 N 4 F = p A F =,5 0 0, 4 0 F = 4, 6N Ενώ επίσης δέχεται από την ατµόσφαιρα οριζόντια δύναµη: h B F =p at Α=0 5 0,4 0-4 Ν=4Ν. Γ Αλλά η τάπα ισορροπεί, οπότε για τη δύναµη F τοιχώµατα το σωλήνα, ισχύει: πο δέχεται από τα h F F F F =F +F F =F -F =4,6Ν-4Ν=0,6Ν. Γ. Αφαιρώντας την τάπα, το νερό χύνεται µε ταχύτητα εκροής. εχόµενοι ότι ο σωλήνας έχει πολύ µεγαλύτερη διατοµή, από την οπή, θεωρούµε ότι η επιφάνεια το λαδιού, παραµένει σε σταθερό ύψος και το λάδι ηρεµεί, οπότε Γ =0. Ισχύει ότι: p = p + Γ at ρgh B h Γ h Εφαρµόζοντας την εξίσωση Bernoulli κατά µήκος της ρεµατικής γραµµής Γ, έχοµε (θεωρούµε h=0 τον πθµένα το σωλήνα) : pγ + ρ Γ + ρgh = p + ρ + ρgh (pat + ρgh ) + ρgh = pat + ρ + ρgh ρ = + = + = gh g( h h) 4 6 0 ρ ΘΕΜΑ. Για να παραµείνει ο κύλινδρος ακίνητος θα πρέπει: Σ τ ( O) = 0 Tr = T r T = T και x Σ F = 0 gηµθ = T + T gηµθ = T T = gηµθ 5

w ϑ Πρέπει: T Tορ gηµθ µ gσνθ µ = 0,5 µ (in) = = 0, 5 4 4. Εφόσον µ = µ = = 0,< 0, 5 ο κύλινδρος αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο 5 Το σηµείο Α όπως και το ακλόνητο Κ όµως έχει µηδενική ταχύτητα ϑ Για να σµβαίνει ατό θα πρέπει να έχει γραµµική ταχύτητα αντίθετη της µεταφορικής, δηλαδή ο κύλινδρος να στρέφεται αριστερόστροφα: d d( ωr) dω = 0 = ωr Α r a aγων r dt = dt = dt = () 6

Κ α γων Τ Ο Α r N α Τ Γ w ϑ Η τριβή λοιπόν θα είναι τριβή ολίσθησης: T = µ gσνθ = gσνθ T =,6 N 5 Για τη µεταφορική κίνηση: Σ Fx = gηµθ T T = a Για την περιστροφική: Σ τ ( Ο ) = T r T r = Iaγων T r T r = 4r aγων T T = a gηµθ T 6 4,8 Προσθέτοντας κατά µέλη: gηµθ T = a a = a = = 0, 4 a 0,4 rad () aγων = aγων = = 8 r 0,05 rad rad Οπότε: = a t = 0, 4 0 = 4 και ω = a 8 0 80 γων t ω = ω =. Από τη γενικεµένη µορφή το ο ΝΝ έχοµε: dl dl dl dt dt dt Οπότε: K K K =Σ τ ( K ) = gηµθ r T r = (6 0,05,6 0,5) Kg = 0,06Kg LK L 0 = 0,06Kg = 0,06Kg L = 0,6Kg t 0 φορά προς τον αναγνώστη K K µε διεύθνση κάθετη στη σελίδα και 7

Κ LK ω Τ Ο Α r N Τ Γ w ϑ 4. Σε χρονικό διάστηµα t=0 ο άξονας το κλίνδρο έχει µετατοπιστεί κατά: 0,4 00 0 x = at x = x = Οπότε έχει ψοµετρική διαφορά σε σχέση µε την αρχική το θέση: h ηµθ = h = x Η απώλεια µηχανικής ενέργειας το κλίνδρο είναι ίση µε: h χ θ gh = + Ι ω + Ε Ε = gh Ιω Ε = 0J 8J 6J Ε = 96J Θοδωρής Παπασγορίδης papagou@gail.co 8