Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )=α. β +α. γ Δ= δ. π+ υ 1.3 Δπλάκεηο θπζηθώλ αξηζκώλ Πνιιέο θνξέο ζπλαληάκε γηλόκελα ησλ νπνίσλ όινη νη παξάγνληεο είλαη ίζνη. Γηα παξάδεηγκα, αο ππνζέζνπκε όηη ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ην εκβαδόλ έδξαο θύβνπ θαη ηνλ όγθν ηνπ, γηα δηάθνξεο ηηκέο ηεο αθκήο ηνπ. Ο κύβος είλαη έλα γεσκεηξηθό ζηεξεό ζώκα κε επίπεδεο επηθάλεηεο πνπ έρνπλ ζρήκα ηεηξαγώλνπ θαη ιέγνληαη έδρες. Ακμή είλαη ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ελώλεη δύν έδξεο.
2 Τν εκβαδόλ ηεηξαγώλνπ πιεπξάο α δίλεηαη από ηνλ ηύπν Ε = α α. Επνκέλσο, το εμβαδόν έδρας κύβοσ ακμής α δίλεηαη από ηνλ ηύπν Ε = α α. αθκή έδξα αθκή Ο όγκος ηνπ θύβνπ είλαη ίζνο κε ην γηλόκελν ησλ αθκώλ πνπ εθθξάδνπλ ην κήθνο, ην πιάηνο θαη ην ύςνο ηνπ. Επεηδή νη αθκέο ηνπ θύβνπ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο, απηό εθθξάδεηαη ζύληνκα κε ηνλ ηύπν: Ο (θύβνπ) = α α α (ή V κύβοσ = α α α, όπνπ V ν δηεζλήο ζπκβνιηζκόο ηνπ όγθνπ (αξρηθό ηεο ιέμεο Volume = όγθνο). Δθαξκόδνληαο ηνπο ηύπνπο ππνινγηζκνύ ηνπ εκβαδνύ έδξαο θαη όγθνπ θύβνπ, βξίζθνπκε όηη: Γηα αθκή α = 2 είλαη: Δ = 2 2 = 4 η.κ. θαη V = 2 2 2 = 8 θ.κ. Γηα αθκή α = 3 είλαη: Δ = 3 3 = 9 η.κ. θαη V = 3 3 3 =27 θ.κ. Γηα αθκή α = 4 είλαη: Δ =4 4 = 16 η.κ. θαη V = 4 4 4 = 64 θ.κ. Γηα αθκή α = 5 είλαη: Δ = 5 5 =25 η.κ. θαη V = 5 5 5 = 125 θ.κ. Παξαηεξνύκε όηη, γεληθά, γηα λα ππνινγίζνπκε ην εκβαδόλ κηαο έδξαο θύβνπ (ηεηξαγώλνπ), πνιιαπιαζηάδνπκε δύν ίζνπο αξηζκνύο θαη γηα λα ππνινγίζνπκε ηνλ όγθν ελόο θύβνπ πνιιαπιαζηάδνπκε ηξεηο ίζνπο αξηζκνύο. Γειαδή, ππνινγίδνπκε γηλόκελα απνηεινύκελα από δύν θαη ηξεηο αληίζηνηρα, ίζνπο παξάγνληεο. Αο δνύκε έλα αθόκε παξάδεηγκα... Αλαξσηεζήθαηε πνηέ πόζνη είλαη νη δπλαηνί ηεηξαςήθηνη θσδηθνί pin ελόο θηλεηνύ ηειεθώλνπ; Γελ είλαη δύζθνιν λα ηνπο ππνινγίζνπκε. Έζησ ινηπόλ έλαο ηεηξαςήθηνο θσδηθόο pin Α Β Γ Γ Πξνθαλώο, ζηε ζέζε Α κπνξεί λα κπεη θαζέλαο από ηνπο αξηζκνύο 0, 1, 2, 3,,9 νη νπνίνη είλαη ζπλνιηθά 10. Γηα θάζε κία από ηηο 10 απηέο επηινγέο γηα ηε ζέζε Α, ππάξρνπλ 10 επηινγέο γηα ηε ζέζε Β. Γειαδή, κόλν γηα ηα δύν πξώηα ςεθία ππάξρνπλ 10 10 = 100 επηινγέο.
3 Πξάγκαηη, αλ ζηε ζέζε Α κπεη ην 0, ππάξρνπλ 10 επηινγέο (0-9) γηα ηε ζέζε Β. Αλ ζηε ζέζε Α κπεη ην 1, ππάξρνπλ 10 επηινγέο (0-9) γηα ηε ζέζε Β, θ.ν.θ. Οπόηε όιεο νη δπλαηέο πεξηπηώζεηο είλαη 10 + 10 + + 10 = 10. 10 = 100 10 θνξέο Με ηελ ίδηα ινγηθή, γηα θάζε κία από ηηο 100 δπλαηέο επηινγέο γηα ηηο ζέζεηο Α θαη Β, ππάξρνπλ 10 επηινγέο γηα ηε ζέζε Γ. Γειαδή, κόλν γηα ηα ηξία πξώηα ςεθία, ππάξρνπλ 10 10 10 = 100 10 = 1000 επηινγέο. Τειηθά, επεηδή γηα θάζε κία από ηηο 1000 δπλαηέο επηινγέο γηα ηηο ζέζεηο Α, Β θαη Γ ππάξρνπλ 10 γηα ηε ζέζε Γ, γηα έλα ηεηξαςήθην θσδηθό pin ππάξρνπλ 10 10 10 10 = 1000 10 = 10000 επηινγέο. Καη πάιη είρακε λα ππνινγίζνπκε έλα γηλόκελν απνηεινύκελν από 4 ίζνπο παξάγνληεο. Θα κπνξνύζακε λα ζπλερίδνπκε λα δίλνπκε παξαδείγκαηα ζηα νπνία ζα εκθαλίδνληαλ γηλόκελα νζσλδήπνηε κεηαμύ ηνπο παξαγόλησλ. Γελ ζα είρε θάπνην ηδηαίηεξν λόεκα είκαζηε ζίγνπξνη αθελόο όηη ππάξρνπλ θαη αθεηέξνπ όηη κπνξνύκε λα ηα θαηαζθεπάζνπκε. Από έλαλ αξηζκό παξαγόλησλ θαη πέξα, είλαη εύθνιν λα αληηιεθζνύκε ηηο δπζθνιίεο πνπ ζα ζπλαληνύζακε γηα λα ηα γξάςνπκε (θαη θαηόπηλ, βέβαηα, λα ηα ππνινγίζνπκε). Τα καζεκαηηθά είλαη γλσζηό όηη δηαθξίλνληαη (ή αλ πξνηηκάηε, πξέπεη λα δηαθξίλνληαη) από αθξίβεηα, ζαθήλεηα, ιηηόηεηα θαη θνκςόηεηα ζηελ έθθξαζε (ζηε καζεκαηηθή, όρη ζηε ιεθηηθή εξκελεία ηεο). Απηό απαηηεί θαη επηβάιιεη ηελ εθηεηακέλε ρξήζε νξηζκώλ θαη ελλνηώλ, πνπ ζπρλά ζπλνδεύνληαη θαη από ηα αληίζηνηρα ζύκβνια. Τν απνηέιεζκα είλαη ε κεγηζηνπνίεζε ησλ καζεκαηηθώλ εθθξαζηηθώλ δπλαηνηήησλ, ε νπνία κπνξεί ηαπηόρξνλα λα γίλεη δίθνπν καραίξη γηα όπνηνλ δελ απνθσδηθνπνηεί ζσζηά όξνπο θαη ζύκβνια (γη απηό πξνζνρή θαη εγξήγνξζε!!!). Σηελ πεξίπησζε ελόο γηλνκέλνπ ίζσλ παξαγόλησλ, εηζάγνπκε ηελ έλλνηα ηεο δύλακεο ζπλνδεπόκελε από ηνλ αληίζηνηρν ζπκβνιηζκό. Ολνκάδνπκε δύλακε κε βάζε ην (θπζηθό) αξηζκό α θαη εθζέηε ην θπζηθό αξηζκό λ (λ > 1) θαη ζπκβνιίδνπκε κε α λ ην γηλόκελν λ παξαγόλησλ ίζσλ κε α. Γειαδή α λ = α. α. α α λ θνξέο Τν ζύκβνιν α λ δηαβάδεηαη επίζεο «α ζηε ληνζηή» ή «α ζηε λ».
4 Ονίδμομε επηπιέμκ όηη α 1 = α, γηα θάζε (θοζηθό) ανηζμό α (θαζώξ επίζεξ θαη α 0 = 1, γηα θάζε α δηάθμνμ ημο μεδεκόξ, όπςξ ζα δμύμε ζε επόμεκμ θεθάιαημ, πνμξ ημ ηέιμξ αοηήξ ηεξ πνμκηάξ). Μπμνεί κα θαίκεηαη πανάδμλμξ μ μνηζμόξ ηςκ δοκάμεςκ α 1 θαη α 0, αθμύ γηα κα έπμομε γηκόμεκμ πνεηαδόμαζηε ημοιάπηζημκ 2 πανάγμκηεξ!!! Καζώξ όμςξ ζα εμπιμοηίδμομε ηηξ γκώζεηξ μαξ πάκς ζημοξ ανηζμμύξ, ζηηξ δοκάμεηξ θαη ζηηξ πνάλεηξ με αοηέξ, ζα γίκεη θακενή ηόζμ ε ακαγθαηόηεηα ηεξ ζομπιήνςζεξ ημο μνηζμμύ θαηά ημκ ηνόπμ αοηό, όζμ θαη ε ιμγηθή ημο. Μεηά θαη ηεκ επέθηαζε ημο μνηζμμύ ηεξ δύκαμεξ γηα εθζέηε μπμημκδήπμηε θοζηθό, πνμθακώξ ηζπύεη: 1 κ =1, γηα θάζε κ θοζηθό. Δειαδή όιεξ μη δοκάμεηξ ημο 1 είκαη ίζεξ με 1. Επίζεξ είκαη: 0 κ = 0, γηα θάζε θοζηθό κ 0. Δειαδή όιεξ μη (δηάθμνεξ ηεξ μεδεκηθήξ) δοκάμεηξ ημο 0 είκαη ίζεξ με 0. Τμ ζύμβμιμ 0 0 δεκ έπεη κόεμα (δεκ μνίδεηαη ε μεδεκηθή δύκαμε ημο μεδεκόξ. Σε επόμεκμ θεθάιαημ, ζα γίκεη θακενό θαη ημ γηαηί). Εκδηαθένμκ επίζεξ, πανμοζηάδμοκ θαη μη δοκάμεηξ ημο 10. Είκαη: 10 1 = 10 (1 μεδεκηθό) 10 2 = 10 10 = 100 (2 μεδεκηθά) 10 3 = 10 10 10 = 1000 (3 μεδεκηθά)... θαη γεκηθά 10 κ = 1000 0 Δειαδή: κ μεδεκηθά Γηα κα ζπεμαηίζμομε μηα μπμηαδήπμηε δύκαμε ημο 10, ανθεί κα γνάρμομε ημ 1, θαη δεληά ημο ηόζα μεδεκηθά όζμξ είκαη θαη μ εθζέηεξ ηεξ δύκαμεξ. Η δύκαμε είκαη έκαξ ζύκημμμξ ηνόπμξ γηα κα γνάρμομε έκα γηκόμεκμ ίζςκ παναγόκηςκ, αθνηβώξ όπςξ ημ γηκόμεκμ είκαη έκαξ ζύκημμμξ ηνόπμξ γηα κα γνάρμομε έκα άζνμηζμα ίζςκ πνμζζεηέςκ. Έηζη, ε δύκαμε α θ εθθνάδεη ημ γηκόμεκμ θ παναγόκηςκ ίζςκ με α, εκώ ημ γηκόμεκμ θ α εθθνάδεη ημ άζνμηζμα θ πνμζζεηέςκ ίζςκ με α. Δειαδή είκαη: α.α.α α=α θ, αιιά α+α+α +α = θ. α θ θνξέο θ θνξέο
5 Πνέπεη ιμηπόκ κα είμαζηε πμιύ πνμζεθηηθμί θαη κα μεκ ηα μπενδεύμομε. Πνάγμαηη έκα πμιύ ζοκεζηζμέκμ ιάζμξ πμο γίκεηαη θαηά ημκ οπμιμγηζμό δοκάμεςκ είκαη κα πμιιαπιαζηάζμομε ηε βάζε με ημκ εθζέηε. Πνμζμπή ιμηπόκ!!! Γηα πανάδεηγμα είκαη: 4 3 = 4 4 4 = 64 ΠΟΤΕ 3 4 43 12 Υπάνπεη ε πενίπηςζε έκα γηκόμεκμ κα απμηειείηαη από δύμ ή θαη πενηζζόηενμοξ δηαθμνεηηθμύξ πανάγμκηεξ πμο μ έκαξ ημοιάπηζημκ επακαιαμβάκεηαη (ημοιάπηζημκ δύμ θμνέξ). Τόηε, ημ γηκόμεκμ αοηό μπμνεί κα γναθεί ςξ γηκόμεκμ ανηζμμύ με δύκαμε ή γηκόμεκμ δοκάμεςκ. Γηα πανάδεηγμα: 4. 5. 5. 5 = 4. 5 3 6. 6. 6. 2. 2. 2. 2. 2 = 6 3. 2 5 3 θνξέο 3 θνξέο 5 θνξέο 2. 2. 3. 3. 3. 4. 4. 4. 4. 5. 5. 5. 6. 6 = 2 2. 3 3. 4 4. 5 3. 6 2 2 θνξέο 3 θνξέο 4 θνξέο 3 θνξέο 2 θνξέο Πνμθακώξ, όπςξ μπμνμύμε κα γνάρμομε έκα γηκόμεκμ ίζςκ παναγόκηςκ με ηε μμνθή δύκαμεξ, έηζη μπμνμύμε κα ακαιύζμομε μηα δύκαμε ζε γηκόμεκμ (ίζςκ) παναγόκηςκ θαη κα μπμνέζμομε κα ηεκ οπμιμγίζμομε. Γηα πανάδεηγμα: 7 3 =7 7 7 = 49 7 =343 4 5 = 4 4 4 4 4 =16 16 4 =256 4 = 1024 αθμύ, ζύμθςκα με ηεκ πνμζεηαηνηζηηθή ηδηόηεηα ημο πμιιαπιαζηαζμμύ, μπμνμύμε κα ακηηθαηαζηζημύμε πανάγμκηεξ με ημ γηκόμεκό ημοξ (ή κα ακαιύμομε έκα πανάγμκηα ζε γηκόμεκμ). Εηδηθά γηα ηε δεύηενε θαη ηνίηε δύκαμε εκόξ ανηζμμύ α (α 2 θαη α 3 ακηίζημηπα) έπμοκ θαζηενςζεί, επηπιέμκ, θάπμηεξ ηδηαίηενεξ μκμμαζίεξ. Καηά θακόκα, ιμηπόκ ηε δύκαμε α 2 ηεκ απμθαιμύμε α ζημ ηεηνάγςκμ (εθηόξ ηςκ μκμμαζηώκ «δεύηενε δύκαμε» θαη «α ζηε δεοηένα»). Η μκμμαζία αοηή μθείιεηαη ζημ γεγμκόξ όηη ε δύκαμε α 2 εθθνάδεη ημ εμβαδόκ ηεηναγώκμο πιεονάξ α. Θομεζείηε: Τμ εμβαδόκ ηεηναγώκμο πιεονάξ α δίκεηαη από ημκ ηύπμ: Ε = α α = α 2 Ληγόηενμ ζοπκά, ηε δύκαμε α 3 ηεκ απμθαιμύμε «α ζημκ θύβμ» (εθηόξ ηςκ μκμμαζηώκ «ηνίηε δύκαμε» θαη «α ζηεκ ηνίηε»). Η μκμμαζία αοηή μθείιεηαη ζημ γεγμκόξ όηη ε δύκαμε α 3 εθθνάδεη ημκ όγθμ
6 θύβμο πιεονάξ α. Θομεζείηε: Ο όγθμξ θύβμο αθμήξ a δίκεηαη από ημκ ηύπμ: V = a a a = a 3 Αριθμητική παράσταση Αριθμητική παράσταση είναι μια ζειπά απιθμών πος ζςνδέονηαι μεηαξύ ηοςρ με ηα ζύμβολα ηων ππάξεων (ππόζθεζηρ, αθαίπεζηρ, πολλαπλαζιαζμού, διαίπεζηρ) και ζηην οποία πιθανόν να ςπάπσοςν και παπενθέζειρ. π.ρ. 3 4 2 8 : 2 + 5 (7 + 3) 9 (12 : 4 2) 5 + 7 (8 5) 2-2 Τιμή ηηρ απιθμηηικήρ παπάζηαζηρ λέγεηαι ηο αποηέλεζμα πος βπίζκοςμε όηαν εκηελέζοςμε ηιρ ππάξειρ πος ζημειώνονηαι. Η ηηκή κηαο αξηζκεηηθήο παξάζηαζεο νξίδεηαη κνλνζήκαληα (δειαδή ζε θάζε αξηζκεηηθή παξάζηαζε αληηζηνηρεί κόλν κία ηηκή). Δπνκέλσο, όηαλ ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή κηαο αξηζκεηηθήο παξάζηαζεο, νθείινπκε, εθηόο από ην λα θάλνπκε ζσζηά ηηο πξάμεηο, λα ηηο θάλνπκε θαη κε κηα ζπγθεθξηκέλε, πξνζπκθσλεκέλε ζεηξά, ώζηε λα θαηαιήγνπκε όινη πάληα ζην ίδην απνηέιεζκα. Όπσο αθξηβώο, ν Κώδηθαο Οδηθήο Κπθινθνξίαο νξίδεη πνην απηνθίλεην έρεη πξνηεξαηόηεηα ζε κηα δηαζηαύξσζε αλάινγα κε ηελ πεξίπησζε (απνπζία ζήκαλζεο, ύπαξμε εηδηθήο ζήκαλζεο, εηζαγσγή ζε θπθιηθή πνξεία, θ.ιπ.) έηζη γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή κηαο αξηζκεηηθήο παξάζηαζεο εθηεινύκε ηηο πξάμεηο ζύκθσλα κε ηελ παξαθάησ ζεηξά :
7 Προτεραιότητα των πράξεων 1 ν : Δπλάκεηο 2 ν : Πνιιαπιαζηαζκνί δηαηξέζεηο 3 ν : Πξνζζέζεηο αθαηξέζεηο Αλ ππάξρνπλ παξελζέζεηο, εθηεινύκε πξώηα ηηο πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο κε ηελ παξαπάλσ ζεηξά. Πξάμεηο κε ηελ ίδηα πξνηεξαηόηεηα (πνιιαπιαζηαζκνί δηαηξέζεηο θαη πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο) γίλνληαη από ηα αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά. Όηαλ έρνπκε κόλν πξνζζέζεηο ή κόλν πνιιαπιαζηαζκνύο, κπνξνύκε λα ηηο/ ηνπο εθηειέζνπκε κε όπνηα ζεηξά ζέινπκε, ιόγσ ηεο αληηκεηαζεηηθήο θαη ηεο πξνζεηαηξηζηηθήο ηδηόηεηαο ηεο πξόζζεζεο θαη ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ αληίζηνηρα. Θα εθηειέζνπκε ηηο πξάμεηο ζηηο αξηζκεηηθέο παξαζηάζεηο πνπ αλαθέξακε πξνεγνπκέλσο θαη ζα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή ηνπο. Θα νλνκάζνπκε ηελ πξώηε αξηζκεηηθή παξάζηαζε κε Α θαη ηε δεύηεξε κε Β. Α = 3 4 2 8 : 2 + 5 (7 + 3) 9 = 3 4 2 8 : 2 + 5 10 9 Κάλνπκε ηελ πξάμε ηεο παξέλζεζεο = 3 16 8 : 2 + 5 10 9 Υπνινγίδνπκε ηε δύλακε: 4 2 = 4 4 = 16 = 48 4 + 50 9 Κάλνπκε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο θαη ηηο δηαηξέζεηο = 44 + 50 9 Δθηεινύκε ηηο πξνζζέζεηο θαη ηηο αθαηξέζεηο = 94 9 κε ηε ζεηξά από αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά = 85 Η ηηκή ηεο αξηζκεηηθήο παξάζηαζεο Α είλαη 85 Β = (12 : 4 2) 5 + 7 (8 5) 2 2
8 = (3 2) 5 + 7 (8 5) 2 2 Κάλνπκε πξάμεηο ζηηο παξελζέζεηο, πξώηα θάλνπκε ηε δηαίξεζε = 1 5 + 7 3 2 2 θαη κεηά ηηο αθαηξέζεηο = 1 5 + 7 9 2 Υπνινγίδνπκε ηε δύλακε: 3 2 = 3 3 = 9 = 5 + 63 2 Κάλνπκε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο = 68 2 Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε = 66 Κάλνπκε ηελ αθαίξεζε Η ηηκή ηεο αξηζκεηηθήο παξάζηαζεο Β είλαη 66. 1 Να γίλνπλ νη πξάμεηο α) (2 3) 2, β) (2 3 ) 2 Πξώηα ζα γίλνπλ νη πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο θαη έπεηηα ζα ππνινγίζνπκε ηηο δπλάκεηο. Λύση Κάλνπκε πξώηα ηηο πξάμεηο πνπ είλαη κέζα ζηηο παξελζέζεηο θαη έπεηηα ππνινγίδνπκε ηε δύλακε πνπ πξνθύπηεη: α) (2 3) 2 = 6 2 = 6 6 = 36 β) (2 3 ) 2 = (2 2 2) 2 = (4 2) 2 = 8 2 = 8 8 = 64 2 Να βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο: Α = 15 : 3 + 2 3 5 4 2 : 8
9 Αθνινπζνύκε ηε ζεηξά ησλ πξάμεσλ. 1. Δπλάκεηο 2. Πνιιαπιαζηαζκνί - δηαηξέζεηο κε ηε ζεηξά από αξηζηεξά πξνο δεμηά 3. Πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο κε ηε ζεηξά από αξηζηεξά πξνο δεμηά. Λύση Α = 15 : 3 + 2 3 5 4 2 : 8 = 15 : 3 + 8 5 16 : 8 ππνινγίδνπκε πξώηα ηηο δπλάκεηο: 2 3 = 2 2 2 = 4 2 = 8 θαη 4 2 = 4 4 = 16 = 5 + 40 2 θάλνπκε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο θαη ηηο δηαηξέζεηο = 45 2 θάλνπκε ηελ πξόζζεζε = 43 θάλνπκε ηελ αθαίξεζε
10 Με ηε βμήζεηα ειεθηνμκηθμύ οπμιμγηζηή ηζέπεξ οπμιμγίζηε ηηξ παναθάης δοκάμεηξ: 11 2 = 111 2 = 1111 2 = Χςνίξ ηε βμήζεηα ημο ειεθηνμκηθμύ οπμιμγηζηή ηζέπεξ, μπμνείηε κα οπμιμγίζεηε ηηξ παναθάης δοκάμεηξ; 11111 2 = 111111 2 = 1111111 2 = Η Λύζε βξίζθεηαη ζην ηέινο ηνπ ηεύρνπο.
11 Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Ολνκάδνπκε δύλακε κε βάζε ην (θπζηθό) αξηζκό α θαη εθζέηε ην θπζηθό αξηζκό λ (λ > 1) θαη ζπκβνιίδνπκε κε α λ ην γηλόκελν λ παξαγόλησλ ίζσλ κε α. Γειαδή α λ =α. α. α α Οξίδνπκε επηπιένλ όηη α 1 = α, γηα θάζε (θπζηθό) αξηζκό α (θαζώο επίζεο θαη α 0 = λ θνξέο 1, γηα θάζε α δηάθνξν ηνπ κεδελόο). 1 λ =1, γηα θάζε λ θπζηθό. Γειαδή όιεο νη δπλάκεηο ηνπ 1 είλαη ίζεο κε 1. 0 λ = 0, γηα θάζε θπζηθό λ 0. Γειαδή όιεο νη (δηάθνξεο ηεο κεδεληθήο) δπλάκεηο ηνπ 0 είλαη ίζεο κε 0. Τν ζύκβνιν 0 0 κεδελόο). δελ έρεη λόεκα (δελ νξίδεηαη ε κεδεληθή δύλακε ηνπ 10 λ = 1000 0 Γειαδή: λ κεδεληθά Γηα λα ζρεκαηίζνπκε κηα νπνηαδήπνηε δύλακε ηνπ 10, αξθεί λα γξάςνπκε ην 1, θαη δεμηά ηνπ ηόζα κεδεληθά όζνο είλαη θαη ν εθζέηεο ηεο δύλακεο. Η δύλακε είλαη έλαο ζύληνκνο ηξόπνο γηα λα γξάςνπκε έλα γηλόκελν ίζσλ παξαγόλησλ, αθξηβώο όπσο ην γηλόκελν είλαη έλαο ζύληνκνο ηξόπνο γηα λα γξάςνπκε έλα άζξνηζκα ίζσλ πξνζζεηέσλ. α α α...α θ α, αιιά θ θνξέο α α α... α θ α θ θνξέο Τε δύλακε α 2 ηελ απνθαινύκε α ζην ηεηξάγσλν (εθηόο ησλ νλνκαζηώλ «δεύηεξε δύλακε» θαη «α ζηε δεπηέξα»). Τε δύλακε α 3 δύλακε» θαη «α ζηελ ηξίηε»). ηελ απνθαινύκε «α ζηνλ θύβν» (εθηόο ησλ νλνκαζηώλ «ηξίηε
12 Αξηζκεηηθή παξάζηαζε είλαη κηα ζεηξά αξηζκώλ πνπ ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε ηα ζύκβνια ησλ πξάμεσλ (πξόζζεζεο, αθαίξεζεο, πνιιαπιαζηαζκνύ, δηαίξεζεο) θαη ζηελ νπνία πηζαλόλ λα ππάξρνπλ θαη παξελζέζεηο. Τηκή ηεο αξηζκεηηθήο παξάζηαζεο ιέγεηαη ην απνηέιεζκα πνπ βξίζθνπκε όηαλ εθηειέζνπκε ηηο πξάμεηο πνπ ζεκεηώλνληαη. Πξνηεξαηόηεηα πξάμεσλ Όηαλ εθηεινύκε ηηο πξάμεηο ζε κηα αξηζκεηηθή παξάζηαζε, πξέπεη λα ηεξνύκε ηελ εμήο ζεηξά: 1. Υπνινγίδνπκε ηηο δπλάκεηο 2. Δθηεινύκε πνιιαπιαζηαζκνύο θαη δηαηξέζεηο 3. Δθηεινύκε πξνζζέζεηο θαη αθαηξέζεηο. Αλ ππάξρνπλ παξελζέζεηο εθηεινύκε πξώηα ηηο πξάμεηο ζ απηέο κε ηελ ίδηα ζεηξά. Όηαλ πξόθεηηαη γηα πξάμεηο κε ηελ ίδηα πξνηεξαηόηεηα (πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο, πνιιαπιαζηαζκνύο - δηαηξέζεηο), ηηο εθηεινύκε, από αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά. Καη εμαίξεζε, όηαλ έρνπκε κόλν πξνζζέζεηο ή κόλν πνιιαπιαζηαζκνύο, κπνξνύκε λα ηηο εθηειέζνπκε κε όπνηα ζεηξά ζέινπκε, ιόγσ ηεο αληηκεηαζεηηθήο θαη ηεο πξνζεηαηξηζηηθήο ηδηόηεηαο ηεο πξόζζεζεο θαη ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ αληίζηνηρα.
13 1. Να ζομπιενςζμύκ ηα θεκά ζηηξ παναθάης πνμηάζεηξ: i) Έζης α θαη κ θοζηθμί με κ > 1. Τμ ζύμβμιμ α κ μκμμάδεηαη με α θαη κ θαη εθθνάδεη ημ. ii) Επεθηείκμκηαξ ημκ μνηζμό ηεξ δύκαμεξ γηα εθζέηε μπμημκδήπμηε θοζηθό δηαθμνεηηθό ημο μεδεκόξ, μνίδμομε επηπιέμκ όηη: α 1 = iii) Η δύκαμε είκαη έκαξ ζύκημμμξ ηνόπμξ γηα κα γνάρμομε έκα ίζςκ, αθνηβώξ όπςξ ημ γηκόμεκμ είκαη έκαξ ζύκημμμξ ηνόπμξ γηα κα γνάρμομε έκα ίζςκ. iv) Σοκεζίδμομε κα απμθαιμύμε ηε δεύηενε δύκαμε εκόξ ανηζμμύ α, επεηδή ημ α 2 εθθνάδεη.. v) Η ηνίηε δύκαμε εκόξ ανηζμμύ α απμθαιείηαη επίζεξ επεηδή ημ α 3 εθθνάδεη. vi) Γηα κα ζπεμαηίζμομε μπμηαδήπμηε δύκαμε ημο 10, ανθεί κα γνάρμομε ηε μμκάδα θαη δεληά ηεξ. vii) Ιζπύεη: 1 κ =, γηα θάζε κ θοζηθό θαη 0 κ = γηα θάζε κ θοζηθό ημο μεδεκόξ. 2. Να ακηηζημηπίζεηε ηα ζημηπεία ηεξ ανηζηενήξ ζηήιεξ με ηα ζημηπεία ηεξ δεληάξ. 3 3 3 2 2 3 2 + 2 3 3 3 3 + 2 2 2 3 2 + 3 2 2 3 3 + 3 2 2 3 3 2 2 3 3 + 2 2 2 3 2 + 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 + 2 2 2 3 3 + 3 2 2 3 2 2 3
14 3. Να ζομπιενώζεηε ηα ηεηνάγςκα με ημοξ θαηάιιειμοξ ανηζμμύξ, ώζηε κα ηζπύμοκ μη ηζόηεηεξ: i) 10 5 + 7 10 4 + 10 2 + 3 =1 9 3 ii) 8 10 4 + 10 3 + 2 10 = 4 iii) 7 10 + 10 3 + 10 + 5 = 7 4 2 4. Να παναθηενίζεηε με Σςζηό ή Λάζμξ ηηξ παναθάης πνμηάζεηξ: Σ Λ i) Σηε δύκαμε 3 2 ε βάζε είκαη ημ 2 θαη μ εθζέηεξ ημ 3 ii) Ιζπύεη (5+1) 5-1 2 2 < 5 2 + 1 iii) Η δύκαμε 8 4 εθθνάδεη ημ γηκόμεκμ 4 παναγόκηςκ ίζςκ με 8. iv) Κάζε ανηζμόξ πμο ηειεηώκεη ζε έκα ή πενηζζόηενα μεδεκηθά μπμνεί κα γναθεί ςξ γηκόμεκμ με πανάγμκηα μία ημοιάπηζημκ δύκαμε ημο 10. v) Η δύκαμε είκαη έκαξ ζύκημμμξ ηνόπμξ γηα κα εθθνάζμομε ημ άζνμηζμα ίδηςκ (ίζςκ) πνμζζεηέςκ.
15 1. Να ζομπιενςζμύκ ηα θεκά ζηηξ παναθάης πνμηάζεηξ: i) Έζης α θαη κ θοζηθμί με κ > 1. Τμ ζύμβμιμ α κ μκμμάδεηαη δύκαμε με βάζε α θαη εθζέηε κ θαη εθθνάδεη ημ γηκόμεκμ κ παναγόκηςκ ίζςκ με α. ii) Επεθηείκμκηαξ ημκ μνηζμό ηεξ δύκαμεξ γηα εθζέηε μπμημκδήπμηε θοζηθό δηαθμνεηηθό ημο μεδεκόξ, μνίδμομε επηπιέμκ όηη: α 1 = α. iii) Η δύκαμε είκαη έκαξ ζύκημμμξ ηνόπμξ γηα κα γνάρμομε έκα γηκόμεκμ ίζςκ παναγόκηςκ, αθνηβώξ όπςξ ημ γηκόμεκμ είκαη έκαξ ζύκημμμξ ηνόπμξ γηα κα γνάρμομε έκα άζνμηζμα ίζςκ πνμζζεηέςκ. iv) Σοκεζίδμομε κα απμθαιμύμε ηε δεύηενε δύκαμε εκόξ ανηζμμύ α «α ζημ ηεηνάγςκμ», επεηδή ημ α 2 εθθνάδεη ημ εμβαδόκ ηεηναγώκμο πιεονάξ α. v) Η ηνίηε δύκαμε εκόξ ανηζμμύ α απμθαιείηαη επίζεξ «α ζημκ θύβμ» επεηδή ημ α 3 εθθνάδεη ημκ όγθμ θύβμο αθμήξ α. vi) Γηα κα ζπεμαηίζμομε μπμηαδήπμηε δύκαμε ημο 10, ανθεί κα γνάρμομε ηε μμκάδα θαη δεληά ηεξ ηόζα μεδεκηθά όζμξ είκαη θαη μ εθζέηεξ ηεξ δύκαμεξ. vii) Ιζπύεη: 1 κ =1, γηα θάζε κ θοζηθό θαη 0 κ =0 γηα θάζε κ θοζηθό δηαθμνεηηθό/ μεγαιύηενμ ημο μεδεκόξ. 2. Να ακηηζημηπίζεηε ηα ζημηπεία ηεξ ανηζηενήξ ζηήιεξ με ηα ζημηπεία ηεξ δεληάξ. 3 3 3 2 2 3 2 + 2 3 3 3 3 + 2 2 2 3 2 + 3 2 2 3 3 + 3 2 2 3 3 2 2 3 3 + 2 2 2 3 2 + 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 + 2 2 2 3 3 + 3 2 2 3 2 2 3
16 3. Να ζομπιενώζεηε ηα ηεηνάγςκα με ημοξ θαηάιιειμοξ ανηζμμύξ, ώζηε κα ηζπύμοκ μη ηζόηεηεξ: i) 1 10 5 + 7 10 4 + 9 10 2 + 3 =1 7 0 9 0 3 ii) 8 10 4 + 4 10 3 + 2 10 =8 4 0 2 0 iii) 7 10 6 + 4 10 3 + 2 10 1 + 5 = 7 0 0 4 0 2 5 4. Να παναθηενίζεηε με Σςζηό ή Λάζμξ ηηξ παναθάης πνμηάζεηξ: Σ Λ i) Σηε δύκαμε 3 2 ε βάζε είκαη ημ 2 θαη μ εθζέηεξ ημ 3 Χ ii) Ιζπύεη (5+1) 5-1 2 2 < 5 2 + 1 Χ iii) Η δύκαμε 8 4 εθθνάδεη ημ γηκόμεκμ 4 παναγόκηςκ ίζςκ με 8. Χ iv) Κάζε ανηζμόξ πμο ηειεηώκεη ζε έκα ή πενηζζόηενα μεδεκηθά μπμνεί κα γναθεί ςξ γηκόμεκμ με πανάγμκηα μία ημοιάπηζημκ δύκαμε ημο 10. Χ v) Η δύκαμε είκαη έκαξ ζύκημμμξ ηνόπμξ γηα κα εθθνάζμομε ημ άζνμηζμα ίδηςκ (ίζςκ) πνμζζεηέςκ. Χ
17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ν «Φπζηθνί αξηζκνί» 1.3 Δπλάκεηο θπζηθώλ αξηζκώλ ζει. 1 Γηα δηαζθέδαζε 10 Δξσηήζεηο εκπέδσζεο 13 Γξαζηεξηόηεηεο ηνπ βηβιίνπ 19 Μεζνδνινγία ησλ αζθήζεσλ 26 Δθαξκνγέο παξαδείγκαηα ηνπ βηβιίνπ 28 Αζθήζεηο ηνπ βηβιίνπ 32 Γξαζηεξηόηεηεο γηα ην ζπίηη 56 Λπκέλεο αζθήζεηο εθηόο βηβιίνπ 65 Άιπηεο αζθήζεηο εθηόο βηβιίνπ 68 Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό πεξηιακβάλεη ην 1 ν ηκήκα ηεο παξαγξάθνπ 1.3 Γπλάκεηο θπζηθώλ αξηζκώλ ζει. 1-9 Γηα δηαζθέδαζε ζει. 10 Θπκόκαζηε καζαίλνπκε ζει. 11-12 Δξσηήζεηο εκπέδσζεο ζει. 13-14 Απαληήζεηο ζει. 15-16