ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΔΒΡΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜ/ΝΙΑ 4 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ 08 ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΩΡΔ ΘΔΜΑ Α Α i 9 4 8 8 5 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 4 Η ύζε είλαη,, 6 6 6 5 7 0 5 Γηα 5 ε εμίζωζε 7 Η ύζε είλαη,, 5 γίλεηαη : 5 7 5 7 i 4 4 4 4 4 4 6 6 6 4 4 8 4 4 4 4 4 8 4 4 4 8 6 4 4 9 7 Η ύζε είλαη,,
A i 4 6 8 4 8 6 4 4 4 0 6 8 Είλαη θαη 4 8 4 8 4 0, άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην 8 4 4 4 4 0 4 Είλαη, 0 θαη 4 4 4 0, άξα 4 ην ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ύζεηο Μνξθή ύζεωλ: Έρνπκε Γηα θ, είλαη θ, θ R Οη άπεηξεο ύζεηο είλαη ηεο κνξθήο, θ,θ, θ R ΘΔΜΑ Β i 4 z () z 9 () z () Απαείθνπκε ην από ηηο εμηζώζεηο (), () θη έρνπκε: 4 z 4 z z 9 4 6 4z 8 7 7z 7 z (4) Απαείθνπκε ην από ηηο εμηζώζεηο (), () θη έρνπκε : 4 z 4 z z 4 4 4 4z 7z (5) Λύλνπκε ην ζύζηεκα ηωλ εμηζώζεωλ (4), (5) θη έρνπκε : z z z z 7z z 7z z 7z 0z 0 z z z Γηα, z από ηελ () έρνπκε: Η ύζε είλαη,,z,,
() z () z 7 () Πξνζζέηνπκε θαηά κέε ηηο (), (), () θη έρνπκε : z 8 z 4 z 4 z όγω () Γηα z από () έρνπκε : Γηα z από () έρνπκε : 7 5 Η ύζε είλαη,,z 5,, i 4 0 0 5 5 Γηα από ηελ εμίζωζε έρνπκε : Η ύζε είλαη,, ΘΔΜΑ Γ Γ Έρνπκε ην ζύζηεκα ην νπνίν έρεη :
Δηαθξίλνπκε πεξηπηώζεηο γηα ηελ νξίδνπζα ε: Αλ 0 0 0 θαη 0 0 θαη, ηόηε ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ύζε ηελ :, Άξα,, ε: Αλ 0 0 0 ή 0 0 ή, ηόηε : i Γηα 0 είλαη 0 0, άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην Γηα είλαη 0 4 0 0, άξα ην ζύζηεκα είλαη, αόξηζην Μνξθή ύζεωλ : Γηα είλαη Οπόηε γηα θ παίξλνπκε θ, θ R Οη άπεηξεο ύζεηο είλαη ηεο κνξθήο, θ,θ, θ R Γ Τν ζύζηεκα Γηα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην όηαλ αθνύ ηόηε γίλεηαη γίλεηαη, πνπ έρεη 4 άπεηξεο ύζεηο ηεο κνξθήο, θ, θ, θ R Γ Είλαη 0 0 0 0 θαη 0 θαη 0 θαη θαη θαη θαη 0 άξα ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ύζε ηελ :, Άξα,, 4
ΘΔΜΑ Γ Γi 7 7 7 7 () 6 7 6 7 6 7 6 0 () Γηα λα ύζνπκε ηελ εμίζωζε (), έρνπκε Δ 7 4 6 49 4 5 0 άξα, 75 7 5 7 5 6 75 Γηα 6 από ηελ () έρνπκε 7 6 Γηα από ηελ () έρνπκε 7 6 Οη ύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ηα δεύγε 6, θαη, 6 Γεωκεηξηθή εξκελεία: Η πξώηε εμίζωζε ηνπ ζπζηήκαηνο 7 παξηζηάλεη επζεία ελώ ε δεύηεξε εμίζωζε 6 παξηζηάλεη ηελ ππεξβνή 6 Επνκέλωο νη ζπληεηαγκέλεο ηωλ θνηλώλ ζεκείωλ ηεο επζείαο θαη ηεο ππεξβνήο είλαη νη ύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο 0 0 6 4 8 6 8 ή 8 8 νπόηε ηα, ζα είλαη νη ύζεηο ηεο εμίζωζεο ω ω 8 0 ή ηεο ω ω 8 0 νπόηε ζύκθωλα κε ηελ πξώηε κνξθή έρνπκε: 4 4 ή ή ή 4 4 Οη ύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ηα δεύγε 4,,, 4, 4,,, 4 Γεωκεηξηθή εξκελεία : Η πξώηε εμίζωζε ηνπ ζπζηήκαηνο 5 0 παξηζηάλεη θύθν κε θέληξν Ο(0,0) θαη αθηίλα ξ 0, ελώ ε δεύηεξε εμίζωζε 8 8 παξηζηάλεη ηελ ππεξβνή Επνκέλωο νη ζπληεηαγκέλεο ηωλ ζεκείωλ ηνκήο ηνπ θύθνπ θαη ηεο ππεξβνήο ζα καο δώζνπλ ηε ύζε ηνπ ζπζηήκαηνο
i 7 9 4 49 0 7 7 7 7 7 () 0 4 6 0 5 8 0 () Γηα λα ύζνπκε ηελ εμίζωζε (), έρνπκε Δ 4 5 8 4460 8 0 Άξα, 9 0 8 9 0 0 5 0 9 6 0 0 5 Γηα από ηελ () έρνπκε 7 9 7 Γηα 6 από ηελ () έρνπκε 5 5 6 8 7 8 5 7 7 5 5 5 5 5 6 7 Οη ύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ηα δεύγε,,, 5 5 Γεωκεηξηθή εξκελεία : Η πξώηε εμίζωζε ηνπ ζπζηήκαηνο παξηζηάλεη θύθν κε θέληξν ην Ο(0,0) θαη αθηίλα ξ, ελώ ε δεύηεξε εμίζωζε παξηζηάλεη επζεία Επνκέλωο νη ζπληεηαγκέλεο ηωλ θνηλώλ ζεκείωλ ηνπ θύθνπ θαη ηεο επζείαο ζα καο δώζνπλ ηε ύζε ηνπ ζπζηήκαηνο iv 0 0 0 Άξα ε ύζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ην δεύγνο, Γεωκεηξηθή εξκελεία : Η πξώηε εμίζωζε ηνπ ζπζηήκαηνο παξηζηάλεη παξαβνή κε θέληξν ην Ο(0,0), ελώ ε δεύηεξε εμίζωζε παξηζηάλεη επζεία Επνκέλωο νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ θνηλνύ ζεκείνπ ηεο παξαβνήο θαη ηεο επζείαο καο δίλνπλ ηε ύζε ηνπ ζπζηήκαηνο 6
Γ 4 4 6 9 6 () 6 4 0 0 () Γηα λα ύζνπκε ηελ (), έρνπκε Δ 4 9 8 0 άξα, 4 Γηα από ηελ () έρνπκε Γηα από ηελ () έρνπκε Οη ύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ηα δεύγε,,, 7