Ψηφιακά Συστήματα 4. Άλγεβρα Boole & Τεχνικές Σχεδίασης Λογικών Κυκλωμάτων
Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L., Ψηφιακά ηλεκτρονικά, ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2007. [14795] 3. Πογαρίδης Δ., Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων, ΙΩΝ, 2004. 4. Κ. Φανουράκης, Γ. Πάτσης, Ο. Τσακιρίδης, Σημειώσεις Θεωρίας, Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, 2014. 2
Άλγεβρα Boole: Εισαγωγή Τα Ψηφιακά συστήματα (Ψ.Σ.): έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται λογικά δεδομένα - απλές ή σύνθετες λογικές προτάσεις. Μια πρόταση λέγεται λογική, όταν μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής. Ο χαρακτηρισμός αυτός ονομάζεται τιμή αλήθειας ή λογικό επίπεδο. Για παράδειγμα: Ο αριθμός 4 είναι άρτιος αριθμός αληθής πρόταση Τη νύχτα βγαίνει ο ήλιος ψευδής πρόταση Το δώδεκα διαιρείται με το 3 και το 4 αληθής πρόταση Ο πρώτος που διατύπωσε τους βασικούς κανόνες με τους οποίους οι λογικές προτάσεις μπορούν να παρουσιαστούν με μαθηματικά σύμβολα, ήταν ο Άγγλος μαθηματικός George Boole. Οι κανόνες αυτοί αποτελούν τμήμα της Άλγεβρας Λογικής ή Άλγεβρας Boole και χρησιμοποιούνται για να επιλύουμε λογικά προβλήματα. 3
Άλγεβρα Boole: Θεωρήματα Βασικά Θεωρήματα και αξιώματα της Άλγεβρας Boole 1. Α 0 = 0 2. Α + 0 = Α 3. Α 1 = Α 4. Α + 1 = 1 5. Α Α = Α 6. Α + Α = Α 7. Α Α = 0 8. Α + Α = 1 9. Α Β = Β Α 10. Α + Β = Β + Α Αντιμεταθετική Ιδιότητα 11. Α (Β C) = (Α Β) C 12. Α + (Β + C) = (Α + Β) + C Προσεταιριστική Ιδιότητα 13. Α + (Β C) = (Α + Β) (Α + C) 14. Α (Β + C) = Α Β + Α C Επιμεριστική Ιδιότητα 15. (Α Β) = Α + Β 16. (Α + Β) = Α Β Θεώρημα De Morgan 17. Α (A+Β) = A 18. Α + (A Β) = A Θεώρημα Απορρόφησης 19. Α + (A Β) = A+B 20. (Α ) = Α Διπλή Άρνηση Αρχή του Δυϊσμού: αν στην 1 η στήλη αντικαταστήσουμε τα (+) με ( ) και τα 0 με 1 παίρνουμε τα θεωρήματα της 2 ης στήλης. 4
Άλγεβρα Boole Προτεραιότητα πράξεων: Από τον πίνακα προτεραιότητας των πράξεων είναι εμφανές ότι στην άλγεβρα Boole εκτελούνται πρώτα οι πράξεις στις παρενθέσεις, μετά υπολογίζονται τα συμπληρώματα, στη συνέχεια οι πράξεις AND και τέλος οι πράξεις OR. Προτεραιότητα Πράξη 1 ( ) 2 NOT 3 AND 4 OR 5
Λογικές Συναρτήσεις: Αλγεβρική έκφραση Μια Λ.Σ. : είναι μια έκφραση που σχηματίζεται από δυαδικές μεταβλητές, τους τελεστές OR ( Η), AND (KAI), και NOT (ΟΧΙ), παρενθέσεις και ένα ίσον. Για μια δεδομένη τιμή των μεταβλητών, η συνάρτηση μπορεί να είναι είτε 0 είτε 1. Έστω Λ.Σ.: F 1 = XYZ. H F1 θα είναι 1 εάν Χ=1 και Υ=1 και Ζ =1 (δηλαδή Ζ=0), διαφορετικά θα είναι 0. Αυτή η έκφραση της F1 είναι ένα παράδειγμα συνάρτησης Boole που ορίζεται με αλγεβρική έκφραση. Μια Λ.Σ. μπορεί επίσης να οριστεί ή να περιγραφεί με έναν πίνακα αλήθειας. 6
Λογικές Συναρτήσεις: Πίνακας Αλήθειας Λ.Σ. με Π.Α.: είναι Για να παραστήσουμε συνάρτηση με έναν τέτοιο τρόπο χρειαζόμαστε ένα κατάλογο των 2 n συνδυασμένων άσσων και μηδενικών των n μεταβλητών της και μια στήλη που να δείχνει για κάθε συνδυασμό εάν η συνάρτηση ισούται με 1 ή με 0. Για 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ υπάρχουν 2 3 =8 δυνατοί συνδυασμοί άσσων και μηδενικών. Προσέξτε πως εναλλάσσονται οι άσσοι και τα μηδενικά σε κάθε στήλη του πίνακα. Για παράδειγμα για τη στήλη της μεταβλητής Z εναλλάσσονται ανά μια φορά, για την στήλη της μεταβλητής Υ εναλλάσσονται ανά 2 φορές. Όμοια για της στήλη της μεταβλητής Χ εναλλάσσονται ανά 4 φορές...κοκ 7
Λογικές Συναρτήσεις: Πίνακας Αλήθειας Παράδειγμα 4.1.: Θεωρήστε τη συνάρτηση: F 2 =x+y z. Η συνάρτηση F 2 =1, εάν x=1 ή y =1 ( y=0) και συγχρόνως z=1. Στον Πίνακα αλήθειας έχουμε το x=1 στις τέσσερις τελευταίες σειρές και το yz=01 στις σειρές 001 και 101. Ο τελευταίος συνδυασμός ισχύει επίσης για x=1. Άρα υπάρχουν πέντε συνδυασμοί που κάνουν την F 2 =1. 8
Λογικές Συναρτήσεις: Κυματομορφές Κυματομορφές (Waveforms): Ένας τρίτος τρόπος με τον οποίο μπορεί να παρασταθεί μια Λ.Σ. είναι ο γραφικός τρόπος με κυματομορφές (Waveforms). Για παράδειγμα η συνάρτηση F1=xyz μπορεί να αποδοθεί ως εξής: 9
Πίνακες Αληθείας Παράδειγμα 4.1: Να αποδειχθεί με Πίνακα Αληθείας ότι Α+Α Β = Α+Β Α Β Α Α Β Α + Α Β Α + Β 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 Με Άλγεβρα Boole : A + A B = A*1 + A B = A*(1+B) + A B = A + AB + A B = A + B*(A+A ) = = A + B*1 = A+B Δυϊκότητα της άλγεβρας Boole (Duality): για να αποδείξουμε μία σχέση άλγεβρας Boole είναι αρκετό να αποδείξουμε τη δυϊκή της. Π.χ. για το παράδειγμα 4.1 αρκεί να αποδείξουμε ότι: A*(A +B) = A*B 10
Υλοποίηση Συναρτήσεων Boole Κάθε μεταβλητή της συνάρτησης Boole αντιστοιχεί σε μια είσοδο μιας πύλης και κάθε όρος παραγόντων υλοποιείται με μια πύλη. Η ελαχιστοποίηση του αριθμού των παραγόντων και του αριθμού των όρων της συνάρτησης μας δίνουν ένα "ελαχιστοποιημένο" κύκλωμα. Ο αριθμός των παραγόντων σε μια συνάρτηση Boole είναι δυνατό να ελαχιστοποιηθεί με χρήση της άλγεβρας Boole. Είναι απαραίτητο λοιπόν να γνωρίζουμε και να χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα και αξιώματα της άλγεβρας Boole. 11
Υλοποίηση Συναρτήσεων Boole Παράδειγμα 4.2: Θεωρήστε τη παρακάτω έκφραση Boole: F = A BC + AB C + A B C + AB C + ABC (Προσέξτε ότι Α =Ā). Η υλοποίηση της παραπάνω συνάρτησης έχει ως εξής: 0 0 0 A B C A'BC AB'C' A'B'C' AB'C ABC Κάθε μεταβλητή της συνάρτησης Boole αντιστοιχεί σε μια είσοδο μιας πύλης και κάθε όρος παραγόντων υλοποιείται με μια πύλη. Έτσι η συνάρτηση F χωρίς απλοποίηση αποτελείται από 5 πύλες AND (των 3 εισόδων) και μία πύλη OR (των 5 εισόδων). 12
Υλοποίηση Συναρτήσεων Boole Παράδειγμα 4.2 (συνέχεια): Η απλοποίηση της συνάρτησης με χρήση άλγεβρας Boole γίνεται: F = A BC + AB C + A B C + AB C + ABC 13
Υλοποίηση Συναρτήσεων Boole Παράδειγμα 4.2 (συνέχεια): Άρα με χρήση της άλγεβρας Boole επιτυγχάνουμε ελαχιστοποίηση του αριθμού των όρων και του αριθμού των παραγόντων και από την αρχική υλοποίηση της συνάρτησης καταλήγουμε στην υλοποίηση της απλοποιημένης συνάρτησης F = BC + AB + B C 0 A AB' F B 0 BC C B'C' 0 14
Υλοποίηση Συναρτήσεων Boole Παράδειγμα 4.3: Να εφαρμοστεί το θεώρημα De Morgan στις ακόλουθες εκφράσεις: a) A + B + C D και b) ABC Λύση + DEF a) Θέτουμε A+B+C = X και D = Y. Οπότε η Boolean έκφραση γράφεται ως εξής: Χ Υ = തΧ + ഥΥ Έτσι η έκφραση ξαναγράφεται A + B + C D = A + B + C + ഥD Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα De Morgan για κάθε όρο ξεχωριστά A + B + C = Aҧ തB Cҧ Συνεπώς έχουμε: A + B + C D = A + B + C + ഥD = Aҧ തB C ҧ + ഥD b) Θέτουμε ΑΒC=X και DEF=Y. Οπότε η Boolean έκφραση γράφεται ως εξής: A B C + D E F = Χ + Υ = തX തY και ξαναγράφεται: A B C + D E F = (A B C) (D E F) και ξαναγράφεται: Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα De Morgan για κάθε όρο ξεχωριστά (A B C) D E F = ( A ҧ + തB + C) ҧ (ഥD + തE + തF) 15
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.1: Να βρεθεί το συμπλήρωμα της Λ.Σ. f και να απλοποιηθεί ΛΥΣΗ αλγεβρικά. f = (AC +A B ) { [(B +C ) D ] + D } 16
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.1: Να βρεθεί το συμπλήρωμα της Λ.Σ. f και να απλοποιηθεί ΛΥΣΗ αλγεβρικά. f = (AC +A B ) { [(B +C ) D ] + D } ҧ f = ഥAB + AC 17
Ισοδύναμα Κυκλώματα: Εισαγωγή NAND και NOR: Είναι πολύ σημαντικές, αφού μόνο με αυτές μπορούμε να σχεδιάσουμε οποιοδήποτε κύκλωμα, αρκεί να αντικαταστήσουμε οπωσδήποτε όλες τις πύλες AND, OR, NOT μόνο με NAND ή μόνο με NOR. Δηλαδή να αντικαταστήσουμε τρία διαφορετικά IC (Integrated Circuits Ολοκληρωμένα Κυκλώματα) που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε σε ένα απλό κύκλωμα που απαιτεί έστω και μια μόνο πύλη από τις AND, OR, NOT, βάζοντας στην θέση τους ένα μόνο IC (NAND ή NOR) και χρησιμοποιώντας όλες τις πύλες του στη θέση των αντίστοιχων απλών πυλών 18
Ισοδύναμα Κυκλώματα: NAND NAND και NOR: Τα ισοδύναμα κυκλώματα των πυλών NOT, AND, OR σχεδιασμένα μόνο με πύλες NAND ή NOR και η απόδειξη της ισοδυναμίας: Με πύλες NAND Α Ζ ΝΟΤ Z = AA = ഥA Z = A + A = ഥA Α Β Ζ AND Z = AB = A B Z = ഥA + ഥB = A B Α Β Ζ ΟR Z = ഥA ഥB = A + B Z = A + B = A + B 19
Αντικατάσταση πυλών με ισοδύναμα κυκλώματα Αντιστροφή εισόδων/εξόδων AND, NOR, NAND, OR: ഥA ഥB = ഥA + ഥB = Α + Β OR ഥA + ഥB = ҧ A + തB NAND ഥA ഥB = ҧ A തB = A + B NOR ഥA + ഥB = ഥA ഥB = Α Β AND 20
Αντικατάσταση πύλης πολλών εισόδων πρακτική διαδικασία: από μελέτη προβλήματος προκύπτει η αντικατάσταση μιας πύλης πολλών εισόδων με άλλες πύλες ίδιου τύπου αλλά με λιγότερες εισόδους. Με την χρήση της ιδιότητας του προσεταιρισμού (στο άθροισμα και το γινόμενο) μπορούμε να αντικαταστήσουμε μια πύλη OR ή AND πολλών εισόδων με πύλες OR ή AND με λιγότερες εισόδους π.χ. μια αντικατασταθεί από πύλες ΑΝD δυο εισόδων. πύλη AND έξι εισόδων να Προσοχή δεν ισχύει άμεσα στις πύλες NAND,NOR γιατί είναι σύνθετες πύλες 21
Αντικατάσταση πύλης πολλών εισόδων Παράδειγμα 4.4: α) ABCDE b) A+B+C+D+E 22
Κανονική Μορφή Λογικής Συνάρτησης Κ.Μ.Λ.Σ.: Σε μία Λ.Σ. f(a,b,c,...) στην άλγεβρα Boole υπάρχουν εκφράσεις που είναι βολικές για τη κατασκευή του αντίστοιχου κυκλώματος που πραγματοποιεί τη συνάρτηση. Τέτοιες εκφράσεις ή μορφές είναι το άθροισμα γινομένων ή Ελάχιστοι όροι (minterms, Ελαχιστόροι-mi) που πραγματοποιούνται με συνδυασμούς πυλών AND-OR και το γινόμενο αθροισμάτων ή Μέγιστοι όροι (Maxterms, Μεγιστόροι-Mi) που πραγματοποιούνται με συνδυασμούς OR-AND. Οι ελαχιστόροι είναι το γινόμενο όλων των μεταβλητών σε κανονική ή συμπληρωματική μορφή. Οι μεγιστόροι είναι το συμπλήρωμα των αντίστοιχων ελαχιστόρων με τον ίδιο δείκτη. 23
Κανονική Μορφή Λογικής Συνάρτησης Κ.Μ.Λ.Σ. (συνέχεια): Στον πίνακα αληθείας φαίνονται οι ελάχιστοι και οι μέγιστοι όροι μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών της f(a,b). α/α Μεταβλητές Ελάχιστοι Όροι A B mi Μέγιστοι Όροι Mi 0 Α Β Α Β = m 0 Α + Β = M 0 1 Α Β Α Β = m 1 Α + Β = M 1 2 Α Β Α Β = m 2 Α + Β = M 2 3 Α Β Α Β = m 3 Α + Β = M 3!!! Ο πίνακας αληθείας είναι μοναδικός ενώ η μορφή της συνάρτησης δεν είναι. 24
Κανονική Μορφή Λογικής Συνάρτησης Κ.Μ.Λ.Σ. (συνέχεια): Αν μία συνάρτηση είναι εκφρασμένη σε μία από τις δύο αυτές μορφές λέμε ότι βρίσκεται σε Κανονική Μορφή. Ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα: Θ1. Για n μεταβλητές της Boole υπάρχουν ακριβώς 2 n min & 2 n Max όροι. Θ2. Κάθε ελάχιστος min όρος είναι το συμπλήρωμα ενός μέγιστου Max όρου και αντίστροφα. Δηλαδή : m i = Mi και M i = mi. Θ3. Το λογικό άθροισμα όλων των min όρων μιας λογικής συνάρτησης είναι ίσο με ένα 1 : σ2 n 1 i=0 m i = 1 όπου : n = ο αριθμός των μεταβλητών. Θ4. Το λογικό γινόμενο όλων των Max όρων μιας λογικής συνάρτησης είναι ίσο 2 με μηδέν 0 : ς n 1 i=0 (M i ) = 0 όπου : n = ο αριθμός των μεταβλητών. Αν τώρα οι τιμές της συνάρτησης είναι γνωστές τότε είναι εύκολο να εκφράσουμε τη συνάρτηση στην "ΚΑΝΟΝΙΚΗ" της μορφή σε μια από τις δυο εκφράσεις. 25
Κανονική Μορφή Λογικής Συνάρτησης Κ.Μ.Λ.Σ. (συνέχεια): Αν οι τιμές της συνάρτησης είναι γνωστές τότε είναι εύκολο να εκφράσουμε τη συνάρτηση στην ΚΑΝΟΝΙΚΗ της μορφή σε μια από τις δυο εκφράσεις. Π.x: Έστω η Z(A,B,C) με τιμές που δίνονται στο πίνακα που ακολουθεί. Μεταβλητές Ελάχιστοι Όροι Μέγιστοι Όροι A B C mi Mi Z Α Β C m 0 = Α Β C M 0 =Α + Β + C 0 Α Β C m 1 =Α Β C M 1 =Α + Β + C 0 Α Β C m 2 =Α Β C M 2 =Α + Β + C 1 Α Β C m 3 =Α Β C M 3 =Α + Β + C 1 Α Β C m 4 =Α Β C M 4 =Α + Β + C 0 Α Β C m 5 =Α Β C M 5 =Α + Β + C 0 Α Β C m 6 =Α Β C M 6 =Α + Β + C 1 Α Β C m 7 =Α Β C M 7 =Α + Β + C 0 Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι για κάθε συνδυασμό των τιμών των μεταβλητών A,B,C σχηματίζουμε ένα "Ελάχιστο" όρο και ένα "Μέγιστο" όρο. 26
Κανονική Μορφή Λογικής Συνάρτησης Μεταβλητές Ελάχιστοι Όροι Μέγιστοι Όροι A B C mi Mi Z Α Β C m 0 = Α Β C M 0 =Α + Β + C 0 Α Β C m 1 =Α Β C M 1 =Α + Β + C 0 Α Β C m 2 =Α Β C M 2 =Α + Β + C 1 Α Β C m 3 =Α Β C M 3 =Α + Β + C 1 Α Β C m 4 =Α Β C M 4 =Α + Β + C 0 Α Β C m 5 =Α Β C M 5 =Α + Β + C 0 Α Β C m 6 =Α Β C M 6 =Α + Β + C 1 Α Β C m 7 =Α Β C M 7 =Α + Β + C 0 Η κανονική μορφή, μιας συνάρτησης, δεν είναι και η πιο απλή μορφή της. Η Κ.Μ.Λ.Σ. με άθροισμα γινομένων (Α.Γ) προκύπτει αν αθροίσουμε τους ελαχιστόρους που αντιστοιχούν στους άσους 1 π.χ. Z = A B ҧ C. ҧ A B ҧ C + ҧ A B C + Η Κ.Μ.Λ.Σ. με γινόμενο αθροισμάτων (Γ.Α.) προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τους μεγιστόρους που αντιστοιχούν στα μηδενικά 0 π.χ. Z = A + B + C A B ҧ C ҧ A B C ҧ A B C ҧ ( Aҧ തB ҧ C). 28
Κανονική Μορφή Λογικής Συνάρτησης Κ.Μ.Λ.Σ.: άρα KANONIKH είναι η συνάρτηση στην οποία οι μεταβλητές ή το συμπλήρωμα τους εμφανίζεται μόνο μια φορά σε κάθε όρο της στη μορφή αθροίσματος των ελαχίστων όρων ή το γινόμενο μέγιστων όρων. Παράδειγμα 4.5α στην μορφή ΑΕΟ (ή Α.Γ): Η μορφή της Z 1 = κανονική ενώ η Z 2 = AC + B δεν είναι κανονική. ҧ AB + A തB είναι Για να φέρουμε τη συνάρτηση σε κανονική μορφή πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο με τη μεταβλητή Χ που λείπει από αυτόν, με τη μορφή X + തX = 1 Δηλαδή: Z = AC + B = AC B + തB + A + ҧ A B C + ҧ ABC + AB ҧ Cҧ ҧ C = ABC + A തBC + ABC + AB ҧ C + 29
Κανονική Μορφή Λογικής Συνάρτησης Παράδειγμα 4.5b στην μορφή ΓΜΟ (ή Γ.Α): Η μορφή της Z 1 = ( ҧ A + B)(A + തB) είναι κανονική ενώ η Z 2 = ( ҧ A + തB)(Β + ҧ C) δεν είναι κανονική. Για να φέρουμε τη συνάρτηση σε κανονική μορφή προσθέτουμε σε κάθε όρο τη μεταβλητή Χ που λείπει από αυτόν, με τη μορφή X തX = 0 Δηλαδή: Z 2 = A ҧ + തB Β + C ҧ = A ҧ + തB + CCҧ AA ҧ + Β + C ҧ = χρήση επιμεριστικής ιδιότητας 13: Α + (Β C) = (Α + Β) (Α + C) = ҧ A + തB + C ҧ A + തB + Cҧ A + B + Cҧ ҧ A + B + ҧ C 30
Έκφραση Λογικής Συνάρτησης με τα βάρη της Λ.Σ.: μπορεί να παρασταθεί με τα βάρη της εφόσον αντικαταστήσουμε κάθε όρο της με το δεκαδικό ισοδύναμό του, αν για κάθε μεταβλητή, με την σειρά που γράφεται, θέσουμε ένα βάρος σύμφωνα με τον βασικό κώδικα BCD-8421. Παράδειγμα 4.6α στην μορφή ΑΕΟ (ή Α.Γ): τα βάρη είναι A=2 2 =4, B=2 1 =2, C=2 0 =1 και έστω η έκφραση της λογικής συνάρτησης είναι: Z 1 = ABC + A തBC + AB ҧ C + ҧ ABC + AB ҧ Cҧ = 111 + 101 + 110 + 011 + 010 δεν είναι πράξη = 4+2+1 4+0+1 4+2+0 0+2+1 0+2+0 = {m 7, m 5, m 6, m 3, m 2 } ή Z = Σ(2, 3, 5, 6, 7) δηλαδή η Λ.Σ αληθεύει στις θέσεις 2,3,5,6,7 των m i 31
Έκφραση Λογικής Συνάρτησης με τα βάρη της Παράδειγμα 4.6β στην μορφή ΓΜΟ (ή Γ.Α.): τα βάρη πάλι είναι A=2 2 =4, B=2 1 =2, C=2 0 =1 και έστω η έκφραση της λογικής συνάρτησης είναι: Z 2 = ҧ A + തB + C ҧ A + തB + Cҧ A + B + Cҧ ҧ A + B + = 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 δεν είναι πράξη = 4+2+0 4+2+1 0+0+1 4+0+1 = {M 6, M 7, M 1, M 5 } ή Z 2 = Π(1, 5, 6, 7) δηλαδή η Λ.Σ είναι 0 στις θέσεις 1,5,6,7 των M i ҧ C 32
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.2: Μετατρέψτε τη Λ.Σ. σεα.ε.ο. f = AB C+A B +ABC D ΛΥΣΗ 33
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.2: Μετατρέψτε τη Λ.Σ. σεα.ε.ο. f = AB C+A B +ABC D ΛΥΣΗ AB C + A B + ABC D = = AB CD + AB CD + A B CD + A B CD + A B C D + A B C D + ABC D 34
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.3: Μετατρέψτε τη Λ.Σ. σε Γ.Μ.Ο. f = (A+B +C)(B +C+D )(A+B +C +D) ΛΥΣΗ 35
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.3: Μετατρέψτε τη Λ.Σ. σε Γ.Μ.Ο. f = (A+B +C)(B +C+D )(A+B +C +D) ΛΥΣΗ (A+B +C)(B +C+D )(A+B +C +D)= = (A + B + C + D)(A + B + C + D )(A + B + C + D )(A + B + C + D )(A + B + C +D) 36
Τεχνικές Σχεδίασης Λογικών Κυκλωμάτων Τεχνική (ή λογική) σχεδίασης NAND για συνάρτηση σε Α.Γ: Z = AB + Το λογικό κύκλωμα σχεδιασμένο με πύλες NOT, AND, OR φαίνεται στο σχήμα 1 ҧ CD Z = AB + ҧ CD = ҧ ҧ Z=(AB + CD) ҧ = (AB) ( CD) ҧ De Morgan 1 NAND για (AB), 1 NAND για ( ҧ CD), 1 NAND για ҧ C, 1 NAND για ( ) Άρα: για κάθε ένα όρο της συνάρτησης μια πύλη NAND, με εισόδους το πλήθος των μεταβλητών του όρου και μια πύλη NAND για το τελικό άθροισμα A Σχήμα 1: Σχεδίαση με AND-OR A A Σχήμα 2: Σχεδίαση με NAND A B B 2 B B 4 C C 1 3 C C 6 5 D D D D 37
Τεχνικές Σχεδίασης Λογικών Κυκλωμάτων Τεχνική (ή λογική) σχεδίασης NOR για συνάρτηση σε Γ. Α: Z = (A + B)( ҧ C + D) Το λογικό κύκλωμα σχεδιασμένο με πύλες NOT, AND, OR φαίνεται στο σχήμα 1 Z = ҧ ҧ Z= A + B ҧ C + D = (A + B)( ҧ C + D) De Morgan 1 NOR για (A + B), 1 NOR για ( ҧ C + D), 1 NOR για ҧ C, 1 NOR για ( ) Άρα: για κάθε ένα όρο της συνάρτησης μια πύλη NOR, με εισόδους το πλήθος των μεταβλητών του όρου και μια πύλη NOR για το τελικό άθροισμα Σχήμα 1: Σχεδίαση με OR-AND A1 A1 2 B1 B1 A2 B2 Σχήμα 2: Σχεδίαση με NOR A2 4 B2 C1 C1 1 3 C2 C2 6 5 D1 D1 D2 D2 38
Τεχνικές Σχεδίασης Λογικών Κυκλωμάτων Αν το σχεδιασμένο κύκλωμα δεν είναι της λογικής AND-OR ή της λογικής OR- AND τότε δεν μπορούμε να το επανασχεδιάσουμε άμεσα. Πρέπει να εξαγάγουμε τη λογική συνάρτηση που υλοποιεί να την απλοποιήσουμε οπότε να προκύψει μια από τις δυο μορφές της Α.Γ ή Γ.Α και στη συνέχεια να επανασχεδιάσουμε το νέο κύκλωμα με λογική NAND ή NOR όπως προηγουμένως. Αν το σχεδιασμένο κύκλωμα είναι της λογικής AND-OR τότε μπορούμε για να σχεδιάσουμε το νέο κύκλωμα με λογική NAND αν αντικαταστήσουμε όλες τις απλές πύλες NOT,AND,OR, του κυκλώματος με πύλες NAND. Αν το σχεδιασμένο κύκλωμα είναι της λογικής OR-AND τότε μπορούμε για να σχεδιάσουμε το νέο κύκλωμα με λογική NOR αν αντικαταστήσουμε όλες τις απλές πύλες NOT,AND,OR, του κυκλώματος με πύλες NOR. 39
Σχεδίαση και Ανάλυση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Σε πολλές εφαρμογές δεν είναι γνωστή η λογική συνάρτηση και πρέπει να την εκφράσουμε από τα δεδομένα του προβλήματος. Η διαδικασία για την εξαγωγή της λογικής συνάρτησης είναι: Πίνακα καταστάσεων (Π.Κ). Γράφουμε σε αυτόν την έξοδο του κυκλώματος για όλους τους συνδυασμούς του πλήθους των μεταβλητών της εισόδου. Εξαγωγή της λογικής συνάρτησης από τον Π.Κ. Εξάγουμε τη λογική συνάρτηση είτε στη μορφή Α.Γ είτε στη μορφή Γ.Α. Απλοποίηση της λογικής συνάρτησης (Α.Λ.Σ). Απλοποιούμε την εξαχθείσα λογική συνάρτηση. Σχεδίαση του λογικού κυκλώματος της Α.Λ.Σ. με μια από τις τεχνικές (λογικές) σχεδίασης 40
Σχεδίαση και Ανάλυση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων Παράδειγμα 4.7: Να σχεδιαστεί το λογικό κύκλωμα του οποίου η έξοδος είναι ένα στις περιπτώσεις που φαίνονται στον Π.Κ με λογική σχεδίασης NAND. Λύση: 1. Από το Π.Κ γράφουμε τη λογική συνάρτηση στη μορφή Α.Γ 0 0 1 0 1 1 δηλαδή για τις μονάδες του πίνακα οπότε έχουμε 1 0 0 Z = Aҧ തB + Aҧ B + A B 1 1 1 2. Απλοποιούμε τη συνάρτηση οπότε έχουμε με τη βοήθεια της Boole και έχουμε : Z = Aҧ B + തB + A B = A ҧ + A B = ҧ A + B 3. Σχεδιάζουμε την τελική έκφραση ή αλλιώς την έκφραση της Α.Λ.Σ με την λογική σχεδίασης NAND A B B 3 Α Β Z ҧ A 1 γιατί ;;;: 2 A 1 + B + A B. 41
Τεχνικές Σχεδίασης Λογικών Κυκλωμάτων Διάγραμμα Πίνακας Αλήθειας Λογική Συνάρτηση: Διάταξη των 3 ανά 2 ν κ = ν! (ν κ)! δίνει 6 πιθανά σενάρια: 1. Δίνεται η Λ.Σ. και ζητείται ο Π.Α. 2. Δίνεται η Λ.Σ. και ζητείται το Λ.Κ. 3. Δίνεται ο Π.Α. και ζητείται η Λ.Σ. 4. Δίνεται ο Π.Α. και ζητείται το Λ.Κ. 5. Δίνεται το Λ.Κ. και ζητείται ο Π.Α. 6. Δίνεται το Λ.Κ. και ζητείται η Λ.Σ. 42
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.4: Να σχεδιάσετε το κύκλωμα των λογικών συναρτήσεων με πύλες ΛΥΣΗ NAND 1. Z 1 = A B C, 2. Z 2 = A + B + C, 3. Z 3 = A തB + 4. Z 4 = ҧ A + B C + തB ҧ C ҧ A C 43
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.4: Να σχεδιάσετε το κύκλωμα των λογικών συναρτήσεων με πύλες NAND 1. Z 1 = A B C, 2. Z 2 = A + B + C, 3. Z 3 = A തB + 4. Z 4 = ҧ A + B C + തB ҧ C ҧ A C ΛΥΣΗ 1. A1 2. B1 C1 A2 B2 C2 3. 4. A3 B3 C3 44
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.5: Να εκφραστούν σε κανονική μορφή και άθροισμα των βαρών ΛΥΣΗ τους. 1. Z 1 = AB C + A C D + A B, 2. Z 2 = (A + B + C )(A + C + D)(A + B) 45
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.5: Να εκφραστούν σε κανονική μορφή και άθροισμα των βαρών ΛΥΣΗ τους. 1. Z 1 = AB C + A C D + A B, 2. Z 2 = (A + B + C )(A + C + D)(A + B) 1. Z1 A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D και Ζ 1 =Σ(1,4,5,6,7,8,9) 2. Z2 (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) και Ζ 2 =Π(1,4,5,6,7,8,9) 46
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.6: Να απλοποιηθούν οι παρακάτω λογικές συναρτήσεις 1. Z 1 = A + B + BC + A C, 2. Z 2 = A C(BC + AB + A B),3.Z 3 = (A + BC)(A + B) 4. Z 4 = B + ABC + A B ΛΥΣΗ 47
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.6: Να απλοποιηθούν οι παρακάτω λογικές συναρτήσεις 1. Z 1 = A + B + BC + A C, 2. Z 2 = A C(BC + AB + A B),3.Z 3 = (A + BC)(A + B) 4. Z 4 = B + ABC + A B ΛΥΣΗ 1. Ζ 1 = A+B +C 2. Ζ 2 = A BC 3. Ζ 3 = A +BC 4. Ζ 4 = A +B +C 48
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.7: Να δημιουργηθούν οι Πίνακες Αλήθειας των εκφράσεων 1. με Γ.Α. Z = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C )(A + B + C )(A + B + C) 2. με Α.Γ. Z = A B C + AB C + ABC ΛΥΣΗ 49
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.7: Να δημιουργηθούν οι Πίνακες Αλήθειας των εκφράσεων 1. με Γ.Α. Z = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C )(A + B + C )(A + B + C) 2. με Α.Γ. Z = A B C + AB C + ABC ΛΥΣΗ 50
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.8: Να δοθούν οι συναρτήσεις ως 1. Α.Γ. και 2. Γ.Α. του παρακάτω ΛΥΣΗ Πίνακα Αληθείας 51
Άλγεβρα Boole: Λογικές Συναρτήσεις Άσκηση 4.8: Να δοθούν οι συναρτήσεις ως 1. Α.Γ. και 2. Γ.Α. του παρακάτω ΛΥΣΗ Πίνακα Αληθείας 52
Αναφορές 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L., Ψηφιακά ηλεκτρονικά, ΣΤΕΛΛΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΟΕ, 2007. [14795] 3. Κ. Φανουράκης, Γ. Πάτσης, Ο. Τσακιρίδης, Σημειώσεις Θεωρίας, Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, 2014. 4. Δ. Ψούνης, ΠΛΗ10, Μάθημα 1.3, https://youtu.be/iqy71uvfsnk 53