ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 28--3 Μ. Παπαδημητράκης.
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ. Αν η σειρά + = x συγκλίνει απολύτως, τότε συγκλίνει και + x x. = = Δεν θα παρουσιάσω την απόδειξη. Διαβάστε την στο βιβλίο. Έχουμε, δηλαδή, την συνεπαγωγή απόλυτη σύγκλιση σειράς σύγκλιση σειράς Όπως είδαμε στην προηγούμενη διάλεξη, η σειρά + ( ) = συγκλίνει αλλά δεν συγκλίνει απολύτως. Άρα δεν ισχύει το αντίστροφο του κριτηρίου απόλυτης σύγκλισης. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ισχύει x y για κάθε. Αν η σειρά + = y συγκλίνει, τότε και η σειρά + = x συγκλίνει απολύτως και, επομένως, συγκλίνει. Επίσης, είναι + x y. = Απόδειξη. Από προηγούμενη Πρόταση για σειρές με μη-αρνητικούς προσθετέους και από το Κριτήριο Απόλυτης Σύγκλισης συνεπάγεται ότι, αν η σειρά + = y συγκλίνει τότε και η σειρά + = x συγκλίνει, οπότε και η σειρά + = x συγκλίνει, και = = = + x x = y. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ισχύει y > 0 για κάθε και έστω ότι η ακολουθία ( x ) y είναι φραγμένη (ή, ειδικώτερα, ότι συγκλίνει). Αν η σειρά + = y συγκλίνει, τότε η σειρά + = x συγκλίνει απολύτως και, επομένως, συγκλίνει. Απόδειξη. Άμεση συνέπεια μιας προηγούμενης Πρότασης για σειρές με μη-αρνητικούς προσθετέους και του Κριτηρίου Απόλυτης Σύγκλισης. Παράδειγμα. Θεωρούμε τη σειρά = ( ) + 3 + 2 2 + 4. Βλέπουμε ότι η απόλυτη τιμή του -οστού προσθετέου της σειράς είναι ( ) + + = 3 + 2 2 + 4 3 + 2 2 + 4 και συμπεριφέρεται όπως ο λόγος 3 = 2. Τώρα, βρίσκουμε ότι Επειδή η σειρά + = 2 ( ) + 3 +2 2 +4 = 2 ( + )2 3 + 2 2 + 4. συγκλίνει, η αρχική μας σειρά συγκλίνει απολύτως. 2
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΛΟΓΟΥ. Έστω x 0 για κάθε. (i) Αν lim x + x <, τότε η σειρά + = x συγκλίνει απολύτως. (ii) Αν < lim x + x, τότε η σειρά + = x αποκλίνει. (iii) Αν lim x + x lim x +, x τότε δεν υπάρχει γενικό συμπέρασμα για τη σειρά + = x. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΡΙΖΑΣ. (i) Αν lim x <, τότε η σειρά + = x συγκλίνει απολύτως. (ii) Αν < lim x, τότε η σειρά + = x αποκλίνει. (iii) Αν lim x =, τότε δεν υπάρχει γενικό συμπέρασμα για τη σειρά + = x. Απόδειξη. (i) Θεωρούμε έναν οποιονδήποτε a τέτοιον ώστε lim x < a <. Επειδή lim x < a, συνεπάγεται ότι ισχύει τελικά x a. Δηλαδή υπάρχει κάποιος 0 ώστε να ισχύει x a ή, ισοδύναμα, x a για κάθε 0. Επειδή 0 a <, η σειρά + = 0 a συγκλίνει, οπότε και η σειρά + = 0 x συγκλίνει. Άρα η σειρά + = x συγκλίνει. (ii) Επειδή < lim x, συνεπάγεται ότι ισχύει x ή, ισοδύναμα, x για άπειρους. Άρα δεν ισχύει x 0, οπότε η σειρά + = x αποκλίνει. (iii) Θεωρούμε τις σειρές =, + = 2. Με x = έχουμε x = και, επομένως, lim x =. Ομοίως, με x = έχουμε 2 x = ( ) 2 και, επομένως, lim x =. Δηλαδή, έχουμε δυο σειρές που η μια αποκλίνει και η άλλη συγκλίνει παρά το ότι και για τις δυο σειρές ισχύει lim x =. Δεν θα αποδείξουμε το κριτήριο λόγου. Η απόδειξή του είναι παρόμοια με την απόδειξη του κριτηρίου ρίζας αλλά λίγο πιο τεχνική. Στην εφαρμογή των κριτηρίων λόγου και ρίζας σε συγκεκριμένες σειρές + = x, τις περισσότερες φορές υπάρχουν τα όρια lim + x + x, lim + x. Τότε, όπως γνωρίζουμε είναι lim = lim = lim. 3
Παράδειγμα. Θεωρούμε τη σειρά = Θα εφαρμόσουμε πρώτα το κριτήριο λόγου. Αν a = 0, η σειρά γράφεται + = 0 και, προφανώς, συγκλίνει απολύτως. Αν a 0, τότε με x = a έχουμε x + a+ = + a = a x + a. Άρα, αν 0 < a <, η σειρά συγκλίνει απολύτως και, αν a >, η σειρά αποκλίνει. Αν a =, το κριτήριο λόγου δεν δίνει συμπέρασμα, οπότε μελετάμε τις σειρές που προκύπτουν σ αυτήν την περίπτωση ανεξάρτητα από το κριτήριo λόγου. Αν a =, η σειρά είναι η + =, η οποία αποκλίνει. Αν a =, η σειρά είναι η + ( ) =, η οποία συγκλίνει (αλλά όχι απολύτως). Τώρα θα εφαρμόσουμε το κριτήριο ρίζας. Είναι a x = = a a. a. Από εδώ και πέρα τα συμπεράσματα είναι τα ίδια με τα συμπεράσματα του κριτηρίου λόγου. Και με τα δυο κριτήρια, λοιπόν, καταλήγουμε στο ότι η σειρά + a = συγκλίνει αν και μόνο αν a < και συγκλίνει απολύτως αν και μόνο αν < a <. Παράδειγμα. Στη σειρά =0 a! = + a + a2 2! + a3 3! + εφαρμόζουμε κατ αρχάς το κριτήριο λόγου. Αν a = 0, η σειρά είναι η + 0 + 0 + και συγκλίνει απολύτως. Αν a 0, τότε με x = a! έχουμε a+ = x + x (+)! a! = a + 0 <. Άρα η σειρά συγκλίνει απολύτως για κάθε a. Η εφαρμογή του κριτηρίου ρίζας είναι πιο δύσκολη. Είναι a x = = a! 0 <,! διότι μπορεί να αποδειχθεί ότι! +. Αυτό το τελευταίο όριο δεν είναι τόσο εύκολο και δεν θα το αποδείξω εδώ. Μπορείτε να το διαβάσετε στο βιβλίο. Άρα και με το κριτήριο ρίζας συμπεραίνουμε ότι η σειρά + a =0 συγκλίνει απολύτως! για κάθε a. 4
Υπάρχει μια άτυπη αρχή που λέει ότι όταν ο -οστός όρος μιας σειράς περιέχει παραγοντικά τότε συνήθως η εφαρμογή του κριτηρίου λόγου είναι πιο εύκολη από το κριτήριο ρίζας. Αυτό το είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, όπου ο υπολογισμός του ορίου που προκύπτει από το κριτήριο λόγου είναι πιο εύκολος από τον υπολογισμό του ορίου που προκύπτει από το κριτήριο ρίζας. Παράδειγμα. Τώρα θεωρούμε τη σειρά k=0 ( ) k a2k (2k)! = a2 2! + a4 4! a6 6! + a8 8!. Μπορούμε να γράψουμε αυτήν την σειρά στη μορφή =0 όπου ο -οστός προσθετέος έχει τύπο 0, αν ο είναι περιττός x = ( ) 2 a, αν ο είναι άρτιος! Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο λόγου, διότι υπάρχουν (άπειροι) προσθετέοι ίσοι με 0. Για το κριτήριο ρίζας έχουμε x, 0, αν ο είναι περιττός x = αν ο είναι άρτιος a!, Χρησιμοποιώντας το όριο! + που είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, βλέπουμε ότι η υποακολουθία των άρτιων δεικτών της ( x ) συγκλίνει στο 0. Η υποακολουθία των περιττών δεικτών συγκλίνει κι αυτή στο 0, οπότε x 0 <. Άρα η σειρά συγκλίνει απολύτως για κάθε a. Παράδειγμα. Τέλος, θεωρούμε τη σειρά k= a 2k 2k = a + a3 3 + a5 5 + a7 7 +. Κι αυτήν την σειρά μπορούμε να την γράψουμε στη μορφή =0 x, όπου ο -οστός προσθετέος έχει τύπο 0, αν ο είναι άρτιος x = a, αν ο είναι περιττός 5
Πάλι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο λόγου, διότι υπάρχουν (άπειροι) προσθετέοι ίσοι με 0. Για το κριτήριο ρίζας έχουμε 0, αν ο είναι άρτιος x = αν ο είναι περιττός a, Τώρα, η υποακολουθία των άρτιων δεικτών της ( x ) συγκλίνει στο 0 και η υποακολουθία των περιττών δεικτών συγκλίνει στο a. Επειδή 0 a, συνεπάγεται ότι lim x = a. Άρα η σειρά συγκλίνει απολύτως αν a < και αποκλίνει αν a >. Την περίπτωση a = την εξετάζουμε ανεξάρτητα από το κριτήριο ρίζας. Αν a =, η σειρά είναι η + 3 + 5 + 7 +. Με ένα απλό κόλπο σύγκρισης θα αναγάγουμε αυτήν την σειρά στην αρμονική σειρά: + 3 + 5 + 7 + 2 + 4 + 6 + 8 + = ( + 2 2 + 3 + ) 4 + = +. (Αυξάνουμε κάθε παρονομαστή της αρχικής σειράς κατά.) Άρα η σειρά αποκλίνει όταν a =. Το ίδιο ισχύει για a =, διότι τότε η σειρά είναι η 3 5 7 = ( + 3 + 5 + 7 + ) =. Άρα η σειρά συγκλίνει (απολύτως) αν και μόνο αν < a <. 6