Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες Σειρές Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα για τις Ακολουθίες και Σειρές γνησίως αύξουσα : αν Μία ακολουθία λέγεται : γνησίως φθίνουσα : αν άνω φραγμένη : αν υπάρχει Μ ώστε κάτω φραγμένη : αν υπάρχει Μ ώστε M M φραγμένη : αν υπάρχουν mμ ώστε m M supa : το ελάχιστο άνω φράγμα ifa : το μέγιστο κάτω φράγμα Τεχνικές για μονοτονία : Υπολόγισε την ποσότητα και σύγκρινε με το 0 ή την ποσότητα ιδιαίτερη προσοχή θέλει αν οι όροι είναι αρνητικοί γιατί τότε και για με το (στο πηλίκο Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση όπου η ακολουθία μας επιτρέπει να θεωρήσουμε συνάρτηση στη l v l θέση της και να βρούμε τη μονοτονία. Π.χ. για v f ( ) v v Προσοχή σε περίπτωση αναδρομικού τύπου ακολούθησε μέθοδο μαθηματικής επαγωγής δηλαδή : για αύξουσα Βρίσκεις Δέχεσαι ότι Δείχνεις ότι
Ασκήσεις :. Να βρεις την μονοτονία των ακολουθιών :....! 5... () Να βρεις την μονοτονία των ακολουθιών : 46.... ( ) 4 4 4. Να βρεις τη μονοτονία της : 0 4 5. Να βρεις τη μονοτονία της : 5 4 Τεχνικές για φραγμένη : Ο καλύτερος τρόπος είναι να καταφέρεις... M οπότε θα έχεις βρει κάτω φράγμα το Μ και άνω φράγμα το Μ. Έξυπνο είναι να παρατηρείς μονοτονία και τιμές της ακολουθίας ώστε να βγάζεις συμπεράσματα για φράγματα. Η αύξουσα έχει τον πρώτο της όρο κάτω φράγμα ενώ η φθίνουσα άνω φράγμα Κάθε απολύτως φραγμένη ακολουθία είναι φραγμένη και αντίστροφα 5 6. Ν.δ.ο. είναι φραγμένες οι ακολουθίες : 5 8 4 7 Υπόδ :Στις δύο τελευταίες θα χρειαστείς ανίσωση Beroulli:Αν α>- δηλαδή 7. Ν.δ.ο. δεν είναι φραγμένες οι ακολουθίες : 5 5 (υπόδ: έστω ότι είναι και θα καταλήγεις σε άτοπο) 8. Ν.δ.ο. είναι φραγμένη η ακολουθία : 0 9. Ομοίως : 5 4 4 Λέμε ότι η ακολουθία Το όριο της είναι μοναδικό Σύγκλιση ακολουθίας συγκλίνει στον πραγματικό αριθμό α : lim lim 0
Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη Μηδενική ακολουθία : 0. Προσοχή : 0 0 Το γινόμενο μηδενικής ακολουθίας επί φραγμένη είναι μηδενική : 0 b M b 0 Αν b b k mb k mb Προφανώς : τότε δεν είναι άνω φραγμένη Προφανώς : b b Αν η ακολουθία Υπακολουθία συγκλίνει στο α τότε κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στο α Κάθε φραγμένη ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία Αν για την ακολουθία αποκλίνει βρεις δύο υπακολουθίες της που συγκλίνουν σε διαφορετικό αριθμό τότε η Η διαφορά δύο όρων της ακολουθίας 0 m Μία ακολουθία o o m Βασική ακολουθία Cuchy και μετά είναι μηδενική δηλαδή λέγεται συστολική αν c c Τεχνικές για όρια : Μάθε ότι : lim lim lim e. Προσοχή αν η ακολουθία έχει όριο καλείται συγκλίνουσα ενώ αν το όριο είναι 0 καλείται μηδενική ακολουθία Υπολόγισε τα όρια των ακολουθιών : 0.... lim lim lim lim lim lim 4 lim lim lim lim
Υπολόγισε τα όρια των ακολουθιών : 4. 5. 4 5 4 6. 7. 54 5 9 4 4 4 0.5 4 5 8. 9. 0. 4 7 0.9 5. 5.. Αν lim klim b m lim b ; Τεχνικές για μηδενική : Μάθε ότι : αν... b και καταφέρεις ν.δ.ο. η b 0 0 ή Δείξε ότι είναι φθίνουσα οπότε φραγμένη άρα συγκλίνουσα. Για το όριο π.χ.... οπότε με όριο και στα δύο μέλη θα το βρεις 0 4. Ν.δ.ο. η ακολουθία (Υπόδ: Πάρε το... 5 είναι μηδενική. 4 b οπότε δείξε ότι το δεύτερο μέλος είναι μηδενική. Για την θα χρειαστείς Beroulli) 5. Ν.δ.ο. είναι μηδενικές οι ακολουθίες :!! 6. Ν.δ.ο. είναι μηδενικές οι ακολουθίες :! Με η τεχνική λύνονται οι ασκήσεις
7. Να βρεις το όριο της ακολουθίας με 4 5 8. Αν (Υπόδ : δες πρόσημο όρων βρες μονοτονία δείξε ότι είναι φραγμένη άρα συγκλίνουσα και για να βρεις όριο : παντού ; και ν.δ.ο. είναι μηδενική 9. Αν lim (Υπόδ: Φτιάξε τις σχέσεις για η=η=...η και πολ/σε κατά μέλη) ; και ν.δ.ο. είναι μηδενική (Υπόδ: Φτιάξε τις σχέσεις για η=η=...η και πολ/σε κατά μέλη) lim lim ) και επιπλέον ισχύει : 0. Αν lim ; lim ;. Αν. Αν lim ; 9. Αν ακολουθία : και ακολουθία b : b 8 4. Αν ακολουθία (Υπόδ: όπως 6) (Υπόδ: όπως 6) (Υπόδ: όπως 6) ν.δ.ο. η β είναι αριθμητική πρόοδος να βρεις την α και να βρεις το όριό της : 5 και ακολουθία b : b ν.δ.ο. η β είναι γεωμετρική πρόοδος να βρεις την α και να βρεις το όριό της Πιθανά θέματα ακολουθιών : 5. Έστω η ακολουθία :. Ν.δ.ο. 0. Ν.δ.ο. 0. Να βρεις το όριο αυτής αν αυτή συγκλίνει 5 6. Έστω ακολουθία : βρεις και το όριο της ακολουθίας 7. Να βρεις το όριο των ακολουθιών :. Ν.δ.ο. και ότι είναι γνησίως αύξουσα. Να 5!! 7! 8. Να μελετήσεις ως προς την σύγκλιση τις ακολουθίες : k 5 k k 9. Να βρεις το όριο της 4 7 5
40. Ν.δ.ο.... 4. Ν.δ.ο.... 6 Επαγωγική μέθοδος : Εξετάζεις αν η σχέση ισχύει για συγκεκριμένο η Δέχεσαι ότι ισχύει για η Εξετάζεις αν ισχύει για η+ 4. Ν.δ.ο.... 4 4. Ν.δ.ο.... 44. Ν.δ.ο.... 45. Ν.δ.ο.... 46. Να αποδείξεις την ανισότητα Beroulli : Αν πάρεις το μερικό άθροισμα S Υπολογισμός Σειράς : i συγκλίνει στο S και θα λέμε το S:άθροισμα Η σειρά αποκλίνει όταν lim S i και αυτό συγκλίνει στο S τότε όλη η σειρά θα S ή ή όταν δεν υπάρχει το όριο Όταν η σειρά συγκλίνει απόλυτα τότε η σειρά συγκλίνει Αν S s S s & S S 0 Το νου σου : αν το έχει μορφή κλάσματος μπορείς να εφαρμόσεις τεχνική ΑΒ (όπως Γ Λυκείου) και να βρεις το άθροισμα Γεωμετρική σειρά : r r τότε συγκλίνει : 0 Θυμίζω τυπολόγιο Γ.Π. από Λύκειο : 0 r r S S 6
Τηλεσκοπική σειρά : b b b limb Αρμονική σειρά : Αν η σειρά συγκλίνει για ρ> αποκλίνει για ρ< και για ρ= συγκλίνει τότε η ακολουθία είναι μηδενική Αν η ακολουθία δεν είναι μηδενική τότε η σειρά Π.χ. Θυμίζω : 47. Υπολόγισε τη σειρά(γεωμετρική) : 48. Υπολόγισε τη σειρά(τηλεσκοπική) : αποκλίνει αφού αποκλίνει ενώ 49. Υπολόγισε τη σειρά (τηλεσκοπική) : 0 50. Υπολόγισε τη σειρά ( γεωμετρικές αν σπάσεις το κλάσμα) : 5. Υπολόγισε τη σειρά : 5. Ν.δ.ο. η σειρά απειρίζεται αρνητικά :. Προσοχή αν αποκλίνει 0 δε σημαίνει ότι συγκλίνει (Υπόδ: θα χρειαστεί η 5) 5. Να βρεις τα αθροίσματα των σειρών : e 0 (Απάν: 0 e ) 9 e Κριτήρια σύγκλισης σειράς : Γενικό κριτήριο σύγκλισης Cuchy : Αν μία σειρά συγκλίνει τότε lim 0 Π.χ. η σειρά αποκλίνει S S... 0 Κριτήριο Cuchy : Αν lim k k τότε συγκλίνει (κ> : αποκλίνει) 7
Π.χ. συγκλίνει Κριτήριο D Alembert : Αν Π.χ. συγκλίνει! lim e lim kk lim 0 b 8 τότε συγκλίνει (κ> : αποκλίνει) Κριτήριο σύγκρισης : Αν 0 και συγκλίνει η η τότε συγκλίνει και η η ενώ αν αποκλίνει η η θα αποκλίνει και η η Κριτήριο Leibiz : η εναλλάσουσα σειρά συγκλίνει όταν 0 0 Κριτήριο σύγκρισης στο όριο : Έστω δύο ακολουθίες 0lim b c όπου διακρίνω b τις εξής περιπτώσεις : Αν c 0 b συγκλίνει τότε συγκλίνει και η Αν c 0 b συγκλίνει τότε συγκλίνει και η ενώ αν αποκλίνει τότε αποκλίνει και η b Αν c συγκλίνει τότε συγκλίνει και η b ενώ αν αποκλίνει και η Π.χ. 4 5 αποκλίνει η σειρά αφού για b lim b b αποκλίνει τότε Κριτήριο του Rbe : Έστω σειρά και lim k συγκλίνει για κ> και αποκλίνει για κ< Π.χ. συγκλίνει 5... 9 lim 46...( ) 6 Κριτήριο του ολοκληρώματος : Έστω συνάρτηση f : θετική και φθίνουσα τότε οι ακολουθίες Π.χ. αποκλίνει συγκλίνουν ή αποκλίνουν μαζί k f ( k) b f ( ) d f ( ) f ( ) d l l Το νου σου(): 0 αποκλίνει (το αντίστροφο δεν ισχύει) Το νου σου(): Γραμμικός συνδυασμός σειρών.αν δύο σειρές συγκλίνουν τότε συγκλίνει οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους. Δηλαδή : i i i i i i i k b k b
Το νου σου() : Αν μία τουλάχιστον από τις σειρά της μορφής 54. Ν.δ.ο. η αρμονική σειρά k ισχύει το αντίστροφο του «το νου σου ()») 55. Ν.δ.ο. η σειρά 56. Ν.δ.ο. η σειρά 57. Ν.δ.ο. η σειρά 58. Ν.δ.ο. η σειρά 59. Ν.δ.ο. η σειρά! mb b αποκλίνει τότε αποκλίνει και οποιαδήποτε αποκλίνει (Υπόδ: χρησιμοποίησε το γενικό κριτήριο σύγκλισης επιπλέον παρατήρησε ότι δεν αποκλίνει (υπόδ : παρατήρησε το όριο της συγκλίνει (υπόδ: κριτήριο D Alembert) και η σειρά ( ) συγκλίνει (υπόδ: κριτήριο D Alembert) ) αποκλίνουν(υπόδ: παρατήρησε ότι log συγκλίνει (υπόδ: παρατήρησε ότι log 60. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση τις σειρές : 6. Να εξετάσεις ως προς σύγκλιση τις σειρές : 6. Ν.δ.ο. η σειρά 4! )!!! ( )! συγκλίνει (Υπόδ: κριτήριο ολοκληρώματος) e ) ( ) (υπόδ: κριτήριο Cuchy) 6. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση με το κριτήριο του ολοκληρώματος τις σειρές : p si log e p 64. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση τις σειρές με το κριτήριο της σύγκρισης :! 65. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση τις σειρές με το κριτήριο D Alembert: 5 4! 66. Να εξετάσεις με το κριτήριο Cuchy ως προς τη σύγκλιση τις σειρές : log si e 4 67. Να εξετάσεις με το κριτήριο σύγκρισης στο όριο της σειρές : cos rct rct si si log 0si (υπόδ: κριτήριο D Alembert) 9
68. Ν.δ.ο. η σειρά συγκλίνει log 69. Ν.δ.ο. η σειρά 70. Ν.δ.ο. η σειρά συγκλίνει συγκλίνει 5 0 7. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση τις σειρές : 7. Ομοίως :! 5 7. Ομοίως : 74. Ομοίως : 75. Ομοίως : 0! 5 7 76. Ομοίως : e 5 5 0 0 77. Να ελεγχθεί η σύγκλιση της σειράς! e Κριτήριο λόγου: lim... lim... άρα συγκλίνει e 78. Να ελεγχθεί ως προς σύγκλιση η σειρά (και με τι ισούται) 4 4 (τηλεσκοπική σειρά) Μπορείς να αποδείξεις ότι... 4 4 4 4 4 δηλαδή ότι αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων. Οπότε S... 4 4 στον αριθμό άρα η σειρά συγκλίνει 0
79. Να αποδείξετε ότι: (τηλεσκοπική σειρά) 4 Προφανώς μπορείς να αναλύσεις σε άθροισμα απλών κλασμάτων :... 4 Οπότε S... άρα η σειρά συγκλίνει στον αριθμό 80. Να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση κάθε μια από τις παρακάτω σειρές:! 5 7 η με κριτήριο λόγου : η με κριτήριο ρίζας : lim... lim άρα αποκλίνει 5 lim lim lim... e η με σύγκριση : 7 άρα συγκλίνει αφού συγκλίνει η 4 8. Να υπολογισθούν τα αθροίσματα: (τηλεσκοπικές σειρές). Άρα συγκλίνει η :... ( ) άρα S... η : 4... 8. Nα μελετήσετε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές: άρα S...!! η : με κριτήριο λόγου : lim... lim 0 άρα συγκλίνει ( )( )( ) η : με κριτήριο ρίζας : lim lim άρα συγκλίνει 8. Nα μελετήσετε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές:
84. άρα συγκλίνει lim lim 0 άρα αποκλίνει η : με σύγκριση : η : με όριο : η : με ρίζα : lim lim lim 4 άρα αποκλίνει Δυναμοσειρές : με κέντρο το 0 : Με κέντρο το : o o 0 Ακτίνα σύγκλισης: για τις σειρές : 0 o είναι 0 0 διάστημα σύγκλισης το διάστημα RRή R R και τη σύγκλιση στα άκρα Ιδιότητες : Δύο δυναμοσειρές 0 b R mi R R o o R lim με lim.χρήσιμο θα είναι να εξετάζεις b με ακτίνες σύγκλισης 0 0 R R τότε Κάθε δυναμοσειρά που συγκλίνει : μπορεί να παραγωγιθεί όρο προς όρο ή να ολοκληρωθεί όρο προς όρο : ' & 0 0 t dt 0 0 0 85. Να βρεις το διάστημα σύγκλισης των δυναμοσειρών : ( ) 86. Ομοίως : 87. Ομοίως : 0 5 0 88. Ομοίως : 0 4! 4 0
89. Να βρεις το διάστημα σύγκλισης και ακτίνα των δυναμοσειρών! ( ) η : κριτήριο της ρίζας : R lim lim έχει άπειρη ακτίνα σύγκλισης και συγκλίνει για 90.. η : κριτήριο λόγου : συγκλίνει. η : κριτήριο λόγου :. 4 η : κριτήριο λόγου : :. R lim... lim άρα έχει άπειρη ακτίνα σύγκλισης και R lim... lim άρα έχει ακτίνα σύγκλισης το και συγκλίνει R lim... lim άρα έχει ακτίνα σύγκλισης το και συγκλίνει Tylor - McLuri f '( ) f ''( ) f '''( ) ( ) ( )...!!! f '(0) f ''(0) f '''(0) McLuri: f ( ) f (0)...!!! Tylor: f f 5 7 si...! 5! 7!! 0 4 6 cos...! 4! 6!! 0 5 7 7 t... 5 5 rc t... 5 7 5 7 0 5 7 sih...! 5! 7!! 0
4 6 cosh...! 4! 6!! 4 l...!! 4! e 0 4...!! 4!! 4 e...!! 4! 0 0 0 0 l l 0 9. Με τη βοήθεια του αναπτύγματος Mcluri της συνάρτησης f ( ) cos να υπολογιστεί το όριο cos lim 0. Επομένως το ανάπτυγμα Mcluri της f έως και όρους τέταρτης τάξης : 4 cos lim lim... 0 f ( ) 4 άρα 9. Να υπολογισθεί προσεγγιστικά το ολοκλήρωμα Με ανάπτυγμα Mc Luri θα έχεις si I e d 0 f ( )... I e d d... si 0 0 6 4
5