ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x.

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα f a f,. Αν η f είναι συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας,, τέτοιος ώστε: f. Μονάδες 7 τουλάχιστον f f A. Πότε η ευθεία y λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ; Μονάδες 4 Α3. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Rolle και να δώσετε την γεωμετρική του ερμηνεία Μονάδες 4 Α4. Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κ ο λ ο υ θ ο ύ ν, γ ρ ά φ ο ν τ α ς σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς δ ί π λ α σ τ ο γ ρ ά μ μ α π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ ά θ ε π ρ ό τ α σ η τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό, α ν η π ρ ό τ α σ η ε ί ν α ι σ ω σ τ ή ή Λ ά θ ο ς, α ν η π ρ ό τ α σ η ε ί ν α ι λ α ν θ α σ μ έ ν η. i) Μια συνάρτηση f :A R είναι - όταν για κάθε, ισχύει η συνεπαγωγή: f f τότε. ii) Αν υπάρχει το και είναι lim f lim f, τότε υπάρχει το όριο της f στο iii) Αν η f είναι συνεχής στο, τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά ακρότατα τα f και f. iv) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και f (β) μέγιστη τιμή της συνάρτησης, τότε κατ ανάγκη θα είναι f '( ). v) Αν limf () f για κάθε, όπου Δ διάστημα Μονάδες για κάθε τότε

2 ΘΕΜΑ Β Έστω η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : R Β. Να εξετάσετε πότε η συνάρτηση f R με f () lim 8 4 είναι συνεχής και πότε όχι, στο Β. Αν δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R,τότε i) ii) iii) να υπολογίσετε το f και το όριο να υπολογίσετε το όριο να δείξετε ότι η εξίσωση στο διάστημα,3 lim 7 3 f () f () 3 lim f 3 4 f f 4 έχει μοναδική λύση Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7. ΘΕΜΑ Γ f Θεωρούμε την συνάρτηση f :, R με f f για κάθε. e και f Α. Να δείξετε ότι f ln για κάθε. Μονάδες 5 Β. Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε τα, R πλάγια ασύμπτωτος της Δ. Έ σ τ ω α π ό τ η ν ώστε η ευθεία y e να είναι Cf στο. Μονάδες 7 τ ο ε μ β α δ ό τ ο υ χ ω ρ ί ο υ π ο υ π ε ρ ι κ λ ε ί ε τ α ι C f, τ ο ν ά ξ ο ν α κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς κ α ι, ό π ο υ. Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο ό ρ ι ο E lim Μονάδες 7

3 ΘΕΜΑ Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R f f για κάθε R R,για την οποία ισχύουν : f,η fείναι συνεχής και. Α. Να δείξετε ότι f e Μονάδες 4 Β. Να δείξετε ότι f Μονάδες 5 Γ. Να λύσετε στο R την εξίσωση f f 5 f f 6 Δ. Να δείξετε ότι για κάθε R ισχύει ότι Ε. Να βρείτε το όριο Μονάδες 5 f f f f 3 Μονάδες 6 lim f 3 e d 7 ln f d 5 Μονάδες 5 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγρ άφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

4 A A A3 Θεωρία Θεωρία Θεωρία ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A4 Σ - Σ - Λ - Λ - Σ Β Έστω Είναι f () g() 4 ΘΕΜΑ Β τότε lim g() 8 f () ( 4)g() limf () lim( 4)g() lim ( 4) 8 4 Άρα lim f () 4 οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν f () 4 τότε συνεχής στο χ= Αν f () 4 τότε συνεχής στο = () limf () f () και κατά συνέπεια η f δεν είναι () limf () f () και κατά συνέπεια η f είναι Β Αφού η f είναι συνεχής,τότε : i) f limf () 4 (3) Είναι 3 και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα προκύπτει : f 4 f f f 3 f 4 f 3 f 3 4 οπότε άρα και () f 3 4, f f 3 4 f 3 4 f 3 4 f 3 4 : lim lim lim f f 4 f 4 f 4 ii) Είναι : f () f () [( 4)g() ] ( 4) lim lim lim (),( ) / ( )( )g() ( )( 4) ( ) ( )g() ( 4) 6 3 lim ( ) 8 ( 4)(3 3) 8 =

5 . iii) Είναι f 4 f f και λόγω μονοτονίας η λύση είναι μοναδική σχόλιο Μπορούμε να εργαστούμε επίσης με Θ Βolzano ή με σύνολο τιμών ΘΕΜΑ Γ Α. Πολλαπλασιάζουμε την δοσμένη σχέση με f () e και έχουμε : f () f f f f () f () e f e f e e f ()e f ()e Θέτουμε f () e e γράφεται f () (e ) g και η σχέση f () g() g() για παίρνουμε g () ( )g() g () g() ( ) () c Απο την g( ) f ( ) c c e c c e και απο την f () ln f g() e f () ln( ) f (),. ln ( ln( )) Β. Η παράγωγος είναι f (),οπότε f () ln( ) ln( ) n( ) lne e e και για το πρόσημο της f () λύνουμε την ανίσωση f () ln( ) ln( ) lne e e παίρνουμε - f () + -e f() οε και στο e, και η μονοτονία της είναι f στο (, e] Έχει δε ολικό ελάχιστο στο e το f ( e) / e. Γ. Θα πρέπει f e lim και lim f e Όμως ln f ln e lim lim lim lim lim DH

6 και ln lim f e lim f lim lim DH και έτσι παίρνουμε e e αφού ως γνωστόν (θέλει απόδειξη) η εξίσωση έχει μοναδική λύση την e λ Δ. Γ ι α τ ο ε μ β α δ ό έ χ ο υ μ ε : f d Ό μ ω ς e λ κ α ι α π ό Α. ε ρ ώ τ η μ α η e,, ο π ό τ ε : f f ε ί ν α ι f f f κ α ι έ τ σ ι π α ί ρ ν ο υ μ ε : λ λ λ λ ln f d d ln d ln ln d λ ln ln λ ln ln λ. Δ η λ α δ ή τ ο ε μ β α δ ό ε ί ν α ι σ υ ν ά ρ τ η σ η τ ο υ E λ ln λ και σ τ ο λ κ α ι έ τ σ ι έ χ ο υ μ ε E ln ln ln lim lim lim lim lim 4 DLH DLH 3 lim lim Α. Είναι ΘΕΜΑ Δ e f () f () e e e f (). Η f είναι συνεχής,οπότε θα εξετάσουμε αν είναι μη μηδενιζόμενη. Θέτουμε στην δοσμένη σχέση όπου το Έστω υπάρχει με f ( Είναι Τότε από την και παίρνουμε ff αφού για παίρνουμε f f αδύνατο. * Άρα f R κι επειδή f είναι Αφού όμως η f είναι παραγωγίσιμη στο R f ) f R. θα είναι και συνεχής με f R, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Όμως f () R f, άρα

7 Β. Ισχύει από υπόθεση ff και από την έχουμε f f Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω έχουμε: Άρα έχουμε: :f f f f f f f f f f f f f f f f f f f c c f f f f f και με αντικατάσταση στην δοσμένη σχέση f f f f f f c και αφού f τότε c= f Άρα Γ. Είναι f f f f f f 5 f f 6 f f f 5 f 6 () Η () επαληθεύεται για και κατά συνέπεια η είναι λύση. Εξετάζουμε αν υπάρχουν κι άλλες λύσεις διαφορετικές του μηδενός. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων και με f και πίνακα μονοτονίας: f f + Οπότε για είναι : f f f f f f f 5 f 6 f 5 f 6 ( ) f f f 5 f 6 Ενώ για είναι : f f f f f f f 5 f 6 f 5 f 6 ( ) f f f 5 f 6

8 Άρα για κάθε έχουμε f f f 5 f 6. Επομένως η δοσμένη εξίσωση έχει για μοναδική λύση την. σχόλιο Μπορούμε να εργαστούμε επίσης με ΘΜΤ Δ. Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται : f f f f 3 f f f 3 f () Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R άρα και σε καθένα από τα υποδιαστήματα:, και, 3. Από Θ.Μ.Τ. στο ώστε: Από Θ.Μ.Τ. στο τέτοιο ώστε: f', υπάρχει ένα τουλάχιστον, f f f ' f f τέτοιο, 3 υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 3 f 3 f f ' f 3 f () (3) Όμως η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση και πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: ' ' ' f ''() Οπότε η f' είναι γνησίως αύξουσα στο R. Είναι: R. f' (), (3) f' f f f 3 3 f' f Ε. Στο ζητούμενο όριο,δεν μπορούμε αρχικά να χρησιμοποιήσουμε όριο πηλίκου,αφού δεν γνωρίζουμε αν οι παραστάσεις ολοκληρωμάτων μέσα στις παρενθέσεις είναι μη μηδενικές. Έτσι λοιπόν : Για το ολοκλήρωμα του αριθμητή είναι: f () e e e e

9 Α τρόπος Έστω η συνεχής και παραγωγίσιμη στο R φ e και πίνακα μονοτονίας: φ e με συνάρτηση + Είναι και, e e άρα Β τρόπος Από την γνωστή ανισότητα αντικατάσταση αντί για το παίρνουμε f () e d () e για κάθε R (θέλει απόδειξη) με f,οπότε και () e e Για το ολοκλήρωμα του παρονομαστή είναι: e d Α τρόπος ln f () ln f () ln ln ln Έστω η συνεχής και παραγωγίσιμη στο φ ln ' και πίνακα μονοτονίας: + Είναι, συνάρτηση φ ln με, ln ln Αφού δε η παραπάνω δεν είναι παντού μηδενιζόμενη,θα είναι και ln f () d ()

10 Β τρόπος Από την γνωστή ανισότητα (εφαρμογή Σχολικού Βιβλίου ) ln για κάθε με αντικατάσταση αντί για το παίρνουμε R ln ln Αφού δε η παραπάνω δεν είναι παντού μηδενιζόμενη,θα είναι και ln f () d Έτσι έχουμε e d 7 e d ( ή) lim lim ln f () d 5 ln f () d f () 3 f () 3 f () f () e d e d lim lim ln f () d ln f () d αφού οι όροι του κλάσματος είναι ετερόσημοι και δίνουν πηλίκο αρνητικό σχόλιο Οι αρχικές πληκτρολογήσεις στο Δ Θέμα έγιναν από την συνάδελφο Έλενα Γαλανοπούλου,την οποία και ευχαριστώ.