Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 4 Ασκήσεις Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Ασκήσεις Περιεχόμενα Άδειες Χρήσης... 2 Χρηματοδότηση... 2 Ενότητα 2η και Ενότητα 3η... 4 Ενότητα 5η και Ενότητα 6η... 4 Ενότητα 7η... 6 Ενότητα 8η και Ενότητα 9η... 7 Ενότητα 2η... 7 Ενότητα 3η... 8 Ενότητα 4η... 8 Ενότητα 6η... 9 Ενότητα 7η... Ενότητα 8η... Ενότητα 9η... 3
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ενότητα 2η και Ενότητα 3η Δείξτε ότι μια ευθεία του R 2 ή ένα επίπεδο του R 3 είναι μέτρου μηδέν. Ας είναι f: [,] 2 R η κλιμακωτή συνάρτηση Δείξτε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη. f(x, y) = n 2, x ( n +, ], y [,]. n Ας είναι f: [a, b] R αύξουσα. Δείξτε ότι για κάθε x, x 2,, x n [a, b], διάφορα μεταξύ τους, ω(f, x j ) f(b) f(a). j n Ας είναι f: [a, b] R αύξουσα και φραγμένη. Δείξτε ότι το σύνολο των ασυναχειών της είναι μέτρου μηδέν και συνεπώς η f είναι ολοκληρώσιμη. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση, δείξτε ότι το σύνολο B n = {x: ω(f, x) > }είναι πεπερασμένο.) n Ενότητα 5η και Ενότητα 6η Αν Π = [,] [,3], να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα e x+y dxdy Π, συν πx πy συν 2 2 dxdy. Αν = { x, y x}, να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα x 3 ydxdy Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: όπου η περιοχή μεταξύ των καμπύλων Π, (y + ημπx 2 )dxdy. (x 2 + 3y 2 )dxdy, όπου = {x 2 + y 2 }, ye x dxdy, όπου = { y, x y 2 }. 3x 2 y 2 dxdy, y = x, y = x, x [,], 4
Ασκήσεις και (x 4 + y 2 )dxdy, όπου η περιοχή μεταξύ των καμπύλων y = x 3 και y = x 2. Σχεδιάστε το χωρίο όπου γίνεται η ολοκλήρωση στα παρακάτω ολοκληρώματα, αλλάξτε την σειρά ολοκλήρωσης, και υπολογίστε τα: ημ ( y3 + ) dydx, x 2 dxdy, 2 2 x logy e x Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: dydx, x 2 y+ y+ x 3 dxdy. x 4 + y 2 e y x dxdy, e ημx dxdy, y συν x 2 e y2 dydx, x 2 e y4 dydx. x (Εναλλαγή παραγώγισης και ολοκλήρωσης) Αν η f(x, y) είναι C, δείξτε ότι και συμπεράνετε ότι x b f (t, y)dydt = f (t, y)dtdy x x a x b ( f(x, y) a a b x b x dy) = f (x, y)dy. x (Το θεώρημα του chwarz) Αν η f(x, y) είναι C 2, δείξτε με την βοήθεια του Fubini ότι Υπόδειξη: Αν για κάποιο (x, y ), xy f(x, y) = yx f(x, y). xy f(x, y ) yx f(x, y ) >, τότε από την C 2 συνέχεια της f, υπάρχει ένα μικρό ορθογώνιο = [a, b] [c, d] που περιέχει το (x, y ) τ.ω. Αλλά xy f(x, y) yx f(x, y) >, (x, y). a ( xy f(x, y) yx f(x, y)) dxdy =. 5
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ενότητα 7η Να υπολογιστεί ο όγκος του τετραέδρου Τ με κορυφές τα σημεία (,,), (,,), (,,), και (,,). Να υπολογιστεί η μάζα του ως άνω τετραέδρου αν η πυκνότητα του είναι ίση με xy (δηλαδή να υπολογιστεί το T xydxdydz.) Να υπολογιστεί η μάζα του κυλίνδρου με βάση τον δίσκο (, r) και ύψος h, αν η πυκνότητα του σε κάθε σημείο είναι ανάλογη με την απόσταση του σημείου από την βάση. Να ολοκληρωθεί η συνάρτηση f(x, y, z) xy + yz + zx επί του χωρίου του πρώτου ογδοημορίου που περικλείεται από το ελλειψοειδές x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =. Να ολοκληρωθεί η συνάρτηση f(x, y, z) = x επί της μοναδιαίας μπάλλας. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που φράσσεται από πάνω από το επίπεδο z = y, και από κάτω από το παραβολοειδές z = x 2 + y 2. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που φράσσεται από το επίπεδο z = 3 και το ημισφαίριο z = 25 (x 2 + y 2 ). Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που φράσσεται από πάνω από την επιφάνεια z = x 3 y, και από κάτω από το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (,), (2,) και (,). Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που φράσσεται από πάνω από την z = x 2 + y 2 και από κάτω από τον δίσκο x 2 + y 2. Ας είναι το στερεό με όγκο V = dxdydz 2 = dx 9 x 2 dy 2 x dz Να σχεδιαστεί το και να βρεθούν τα όρια στα παραπάτω ολοκληρώματα. V = dy dx dz, V = dy dz dx, V = dz dy dx, V = dz dx dy. 6
Ασκήσεις Ενότητα 8η και Ενότητα 9η Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: (,a) (,a) e (x2 +y 2) dxdy. (x 2 + y 2 ) 3/2 dxdy. T ( + x 2 + y 2 dxdy, ) 3/2 όπου Τ είναι το ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (,), (,), και (,). Να ολοκληρωθεί η g(x, y) επί του (,): ) g(x, y) = συν(x 2 + y 2 ), 2) g(x, y) = ημ x 2 + y 2. Με πολικές, να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που φράσσεται από κάτω από το επίπεδο z =, από πάνω από το ελλειψοειδές και στα πλευρά από τον κύλινδρο b 2 x 2 + b 2 y 2 + a 2 z 2 = a 2 b 2, x 2 + y 2 ay =. Ενότητα 2η Υπολογίστε τα παρακάτω ολοκληρώματα: και dxdy, dy [,] 2 xy e y logxdx, xy e (x2 +y 2) dxdy, x, y ydxdy, x όπου το ορίζεται από τις ευθείες x =, x = y, και x = 2y. Δείξτε ότι το (,) ημ 2 (x y) dxdy (x 2 + y 2 ) 7
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα υπάρχει. Δείξτε ότι το δεν υπάρχει. e x2 +y 2 dxdy x y x, y x Με αλλαγή μεταβλητών, υπολογίστε τα μη γνήσια ολοκληρώματα και B(,) c dxdydz (x 2 + y 2 + z 2 ) (x2 + y 2 + z 2 ) /4 z + (x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz, 2 όπου είναι το πρώτο ογδοημόριο της μπάλας x 2 + y 2 + z 2 a 2. Για ποια α το μη γνήσιο ολοκλήρωμα συγκλίνει; [, ) [,] dxdy x a ( + y 2 ) Ενότητα 3η Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του πεδίου F επί της καμπύλης γ, όταν: ) F(x, y) = yi + xj και γ(t) = ti + t 2 j, t [,]. 2) F(x, y) = y 2 xi + 2j και γ(t) = e t i + e t j, t [,]. 3) F(x, y) = (x y)i + xyj και γ(t) το ευθύγραμμο τμήμα από το (,2) στο (2,3). 4) F(x, y) = e x i + ημ(πx)j και γ(t) το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (,), (,), και (-,). Ενότητα 4η Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Green, υπολογίστε τα επικαμπύλια ολοκληρώματα: ) xy 2 dx + x 2 ydy. (,r) 2) ( + xy + y 2 )dx + (6xy + 5x 2 )dy, όπου Τ είναι το τετράγωνο με κορυφές τα T σημεία (,), (r, ), (r, r), (, r). 8
Ασκήσεις 3) (4xy + y 2 )dx (xy + 3x 2 )dy. ((,2),3) Αν γ είναι μια απλή, κλειστή και λεία καμπύλη, δείξτε ότι τα ολοκληρώματα xdy, ydx γ γ δίδουν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείει η γ. Να βρεθεί η κλειστή καμπύλη γ που μεγιστοποιεί το ολοκλήρωμα y 3 dx + (3x x 3 )dy. γ Έστω F = Pi + Qj ένα C διανυσματικό πεδίο εκτός των σημείων A και A 2 όπου δεν ορίζεται. Aν τα σημεία A και A 2 ανήκουν στο εσωτερικό του κύκλου (, R) και το πεδίο ικανοποιεί x Q = y P, να βρεθεί η σχέση μεταξύ των ολοκληρωμάτων (,R) Pdx + Qdy, Pdx + Qdy (A,ε) και Αν η f είναι αρμονική ( x 2 f + y 2 f = )στο χωρίο, δείξτε ότι y fdx x fdy Αν η f είναι C 2 στο χωρίο, δείξτε την ταυτότητα f f, n =. (A 2,ε) = (f f + f, f )dxdy. Pdx + Qdy. Ενότητα 6η Υπολογίστε το y 2, όπου είναι η μοναδιαία σφαίρα. Υπολογίστε το xy, όπου είναι η επιφάνεια του τετραέδρου με πλευρές z =, y =, x + z =, και x = y. Να υπολογιστεί το εμβαδόν της περιοχής της σφαίρας 2 (, r) που βρίσκεται μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων που απέχουν μεταξύ τους απόσταση α. (Υπόδειξη: θεωρείστε την ως επιφάνεια εκ περιστροφής). Έστω Φ R 3, Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), μία παραμετρικοποίηση της επιφάνειας. Θέτουμε 9
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Δείξτε ότι E = T u 2, F = T u, T v, G = T v 2. = EG F 2. Έστω Φ R 3 μια παραμετρικοποίηση της επιφάνειας. Το συναρτησοειδές του irichlet της είναι το ολοκλήρωμα: Δείξτε ότι J(Φ) = 2 ( T u 2 + T v 2 )dudv. J(Φ). Ενότητα 7η Αν T(x, y, z) = 3x 2 + 3y 2 είναι η θερμοκρασία ενός σημείου στον R 3, να υπολογιστεί η ροή της θερμότητας δια μέσου του κυλίνδρου : x 2 + y 2 = 2, y 2. (Να υπολογιστεί δηλαδή το ολοκλήρωμα T.) Έστω η επιφάνεια που ορίζεται από το ημισφαίριο x 2 + y 2 + z 2 =, z. και την βάση του x 2 + y 2. Αν F = 2xi + 2yj + 3zk να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα F. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα F, όπου και η μισή σφάιρα F = (x + 3y 5 )i + (y + xz)j + (z xy)k x 2 + y 2 + z 2 = 6, z. Ενότητα 8η Επαληθεύστε το θεώρημα του tokes για το άνω ημισφαίριο z = x 2 y 2 και για το πεδίο F = 2xi + yj + zk.
Ασκήσεις Υπολογίστε το ολοκλήρωμα rotf, όπου είναι το τμήμα της μοναδιαίας σφαίρας που βρίσκεται πάνω από το επίπεδο x + y + z = και F = xi + yj + zk. Με την βοήθεια του tokes, να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα F, όπου F = xi + yj + zk και το άνω ημισφαίριο x 2 + y 2 + z 2 =, z. Έστω μια λεία επιφάνεια και F ένα διανυσματικό πεδίο κάθετο στην καμπύλη. Δείξτε ότι rotf Αν και 2 είναι δύο επιφάνειες με το ίδιο σύνορο (ας πούμε την κλειστή καμπύλη γ), περιγράψτε με ένα πρόχειρο σχήμα τον προσανατολισμό που πρέπει να έχουν οι και 2, ώστε να ισχύει rotf =. = rotf 2 Με την βοήθεια της παραπάνω άσκησης, δείξτε ότι αν η είναι κλειστή επιφάνεια, τότε rotf =. Ενότητα 9η Αν 2 (,) είναι η μοναδιαία σφαίρα και F = x 2 i + 2yj + z 2 k, μέσω Gauss, να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 2 (,) Με το θεώρημα του Gauss, να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 2 (,) F. (x + y 2 + z). Αν Α είναι ο μοναδιαίος κύβος, να υπολογιστεί με απ ευθείας υπολογισμό το επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα όπου F είναι το διανυσματικό πεδίο F, A
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ) F = i + j + k, 2) F = x 2 i + y 2 j + z 2 k, 3) F = x 3 i + y 3 j + z 3 k. Να γίνει επαλήθευση των αποτελεσμάτων με την βοήθεια του θεωρήματος του Gauss. Αν η είναι κλειστή και λεία επιφάνεια, και F ένα C 2 διανυσματικό πεδίο, δείξτε ότι rotf Αν είναι κλειστή επιφάνεια, r = xi + yj + zk, και n η εξωτερική κάθετος, δείξτε ότι το ολοκλήρωμα r, n =. ισούται με το τριπλάσιο του όγκου του στερεού που περικλείει η. Αν F = z 3 i + 3x 2 yj + 3xy 2 k, υπολογίστε το Αποδείξτε τις ταυτότητες του Green: 2 (,) F. και f g, n Ω = {f g f, g }, Ω f g g f, n Ω = {f g g f}. Ω Αν το διανυσματικό πεδίο F εφάπτεται του συνόρου Ω του Ω, δείξτε ότι divf Ω =. 2