ΠΝΗΠΤΙ ΘΜΤ ΜΘΗΜΤΙΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΘΜ 1 ίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις x 1 3 x x 1 10x 19 και B x x 5 x 4. α) Να κάνετε τις πράξεις και να δείξετε ότι A x 3x 9x 7 και B 3x 6x 7x 54. β) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις και. γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζεται το κλάσμα B 3A. δ) ια τις τιμές του x που ορίζεται, να δείξετε ότι : B x x 6 3A x 9. ΘΜ ίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις x 1x 11 x και 3 B 5 x x 10x 5x. α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις και. A B β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση 8x x 1 5 x γ) ια τις τιμές του x που ορίζεται, να δείξετε ότι : A B 8x x 5 x 1 5 x. ΘΜ 3 ίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις 3 x 3 x x 6x 31x 39 και B x 3 x x x 3 x 3 6x 15x 14. α) Να κάνετε τις πράξεις και να δείξετε ότι A x 4 και x 1 x β) Να λυθεί η εξίσωση. A x B B x x. 1
ΘΜ 4 α) Να λυθεί η εξίσωση 1 x 0 x 1 x x 1 β) Να δείξετε ότι το σημείο (x, 0), όπου x είναι η λύση της εξίσωσης του ερωτήματος (α) είναι το σημείο τομής της ευθείας (ε) : y = x + με τον άξονα x x.. ΘΜ 5 x 1 y 1 α) Να λυθεί το σύστημα 3 3 3 y x 1 β) Να δείξετε ότι το σημείο (x, y), όπου (x, y) είναι η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α), είναι σημείο της ευθείας (ε) : y = x + 3. ΘΜ 6 x 1 y x y 3 6 α) Να λυθεί το σύστημα 5 y x y β) ίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση ( ) : y x. Η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία (x, 0) και (0,y), όπου x και y είναι οι αριθμοί του ζεύγους (x, y) που αποτελεί τη λύση του συστήματος του ερωτήματος (α). Να βρείτε τους αριθμούς κ και λ. ΘΜ 7 1 1 α) Να λυθεί το σύστημα 3 3 1 5 β) Να δείξετε ότι για τις τιμές των κ και λ, που βρήκατε στο ερώτημα (α) οι ευθείες 1 : y x και : y x 5 είναι μεταξύ τους παράλληλες.
ΘΜ 8 3x 1 y 1 y 8 α) Να λυθεί το σύστημα ( Σ 1 ) 3 x x 3 y 1 3 x y β) ίνεται ότι το σύστημα ( Σ ) έχει την ίδια λύση (x, y) με x 4 y 0 το σύστημα ( Σ 1 ). Να βρείτε πόσα ζεύγη (α, β) επαληθεύουν το σύστημα ( Σ ). ΘΜ 9 Ένα μικρό ξενοδοχείο έχει συνολικά 6 δωμάτια δίκλινα και τρίκλινα. Το ξενοδοχείο διαθέτει συνολικά 6 κρεβάτια. Πόσα δίκλινα και πόσα τρίκλινα δωμάτια έχει το ξενοδοχείο ; ΘΜ 10 Ένας πατέρας είναι σήμερα 8 χρόνια μεγαλύτερος από το γιό του. Σε 18 χρόνια από σήμερα η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιού του. Πόσων ετών είναι σήμερα ο πατέρας και πόσων ετών είναι σήμερα ο γιός του ; ΘΜ 11 Το διπλανό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 100m. ν αυξήσουμε το μήκος του κατά 5m και ελαττώσουμε το πλάτος του κατά 4m, τότε το εμβαδόν του ελαττώνεται κατά 40m. Να βρεθούν οι διαστάσεις x και y του ορθογωνίου. y x 3
ΘΜ 1 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και προεκτείνουμε τη βάση κατά ίσα μήκη =. Τα σημεία και είναι τα μέσα των πλευρών και, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι =. ΘΜ 13 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές του και κατά ίσα μήκη =. Το σημείο Μ είναι το μέσον της βάσης. Να δείξετε ότι Μ =Μ. Μ ΘΜ 14 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Τα σημεία και είναι τα μέσα των και, αντίστοιχα. Φέρνουμε και. Να δείξετε ότι =. 4
ΘΜ 15 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και το ύψος του. Φέρνουμε και, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι =. ΘΜ 16 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές του και κατά ίσα μήκη =. Φέρνουμε και. Να δείξετε ότι =. ΘΜ 17 Στο διπλανό σχήμα οι γωνίες Â και ˆ είναι ορθές. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα Ο και Ο είναι όμοια. β) ίνεται ότι Ο = 3, Ο =, = x και = x +. Να υπολογίσετε το μήκος x. x 3 Ο x+ 5
ΘΜ 18 0 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ( Â 90 ) φέρνουμε το ύψος. ίνεται ότι = 64cm και = 80cm. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας. β) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς και το μήκος του ύψους. ΘΜ 19 3 ίνεται μια αμβλεία γωνία ˆ με. 5 α) Να υπολογίσετε το συνω και την εφω. 1 β) Να υπολογίσετε την τιμή του κλάσματος 1 με το. Τι παρατηρείτε ; και να τη συγκρίνετε ΘΜ 0 α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι 0 0 10 150 0. 0 0 60 150 1. γ) Να δείξετε ότι 10 30. 0 0 1 ( ίνεται ότι 30 60 ). 0 0 1 ΘΜ 1 α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι γ) Να δείξετε ότι. 1 1. 4 4 1. 6