Επζνδυςθ είναι θ παροφςα κατάκεςθ χρθμάτων με ςκοπό τθν απόκτθςθ περιςςότερων χρθμάτων ςτο μζλλον.

Επζνδυςθ είναι θ παροφςα κατάκεςθ χρθμάτων με ςκοπό τθν απόκτθςθ περιςςότερων χρθμάτων ςτο μζλλον. Χρθματορροι είναι οι κακαρζσ απολαβζσ ςε κάκε χρονικι περίοδο. π.χ. (-1, 0,10, 0,10,0,10, 1,10). Ντετερμινιςτικζσ χρθματοροζσ Επιτόκιο Θεωρία Εάν επενδφςετε 1 ευρϊ ςε ζνα τραπεηικό λογαριαςμό ο οποίοσ πλθρϊνει 8% τόκο το χρόνο, τότε ςτο τζλοσ του πρϊτου ζτουσ κα ζχετε το κεφάλαιο του 1 ευρϊ ςυν τον τόκο του 0,08 ςυνολικά 1,08 ευρϊ. Εάν επενδφςετε Α ευρϊ ςτο τζλοσ του ζτουσ κα ζχετε Α 1,08 ευρϊ. Γενικά εάν το επιτόκιο είναι r τότε κα ζχετε Α (1 + r) ευρϊ. Απλόσ τόκοσ Εάν ζνα ποςό Α κατατίκεται ςε ζνα λογαριαςμό με απλό τόκο r τότε θ ςυνολικι αξία μετά από n χρόνια κα είναι: Σφνκετοσ τόκοσ (compound interest) Οι περιςςότερεσ τράπεηεσ εφαρμόηουν ανατοκιςμό. Ζςτω ζνασ τραπεηικόσ λογαριαςμόσ που πλθρϊνει τόκο r το χρόνο. Για ετιςιο ανατοκιςμό, τα χριματα που είναι ςτο λογαριαςμό πολλαπλαςιάηονται με το (1 + r) μετά από ζνα χρόνο. Στο δεφτερο ζτοσ τα χριματα πολλαπλαςιάηονται πάλι με (1 + r) δθλαδι ζχουμε (1 + r) 2. Μετά από n χρόνια ο λογαριαςμόσ κα ζχει αυξθκεί κατά (1 + r) n επί τθν αρχικι αξία. Ανατοκιςμόσ ςε διάφορα διαςτιματα Ζςτω τριμθνιαίωσ ανατοκιςμόσ με επιτόκιο r το χρόνο. Αυτό ςθμαίνει ότι επιτόκιο r/4 εφαρμόηεται ςε κάκε τρίμθνο. Τα χριματα αυξάνονται κατά (1 + r/4) για ζνα τρίμθνο. Μετά από ζνα χρόνο (4 τρίμθνα) το ποςό κα ζχει αυξθκεί κατά (1 + r/4) 4. Ζςτω τϊρα επιτόκιο r για ζνα χρόνο. Ρόςο πρζπει να είναι για να ζχει ςυςςωρευτεί το ίδιο ποςό μετά από ζνα χρόνο; Ζςτω r = 8%... 1

r : πραγματικό ετιςιο επιτόκιο. r: ονομαςτικό επιτόκιο. Ανατοκιςμόσ μπορεί να εφαρμοςτεί με κάκε ςυχνότθτα. Θ γενικι μζκοδοσ είναι ότι το ζτοσ διαιρείται ςε κακοριςμζνο αρικμό περιόδων, π.χ. m περίοδοι. Το επιτόκιο για κάκε περίοδο είναι r/m. Το πραγματικό ετιςιο επιτόκιο βρίςκεται λφνοντασ τθν εξίςωςθ: [ ] Άςκθςθ Υπολογίςτε τα πραγματικά ετιςια επιτόκια για Α) 3% ανατοκιηόμενο μθνιαίωσ Β) 18% ανατοκιηόμενο μθνιαίωσ Γ) 18% ανατοκιηόμενο τριμθνιαίωσ Λφςθ Α) Β) 2

Γ) Για να βροφμε το πραγματικό ετιςιο επιτόκιο, ςτο Excel καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ EFFECT. Στο κελί Ονομαςτικό_επιτόκιο βάηουμε το ονομαςτικό επιτόκιο (το επιτόκιο το οποίο δίνεται). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων_ανά_ζτοσ βάηουμε τον αρικμό των περιόδων ανατοκιςμοφ. Παροφςα αξία (Present Value) Κεωριςτε δυο περιπτϊςεισ: Α) Απόκτθςθ 110 ευρϊ ςε ζνα χρόνο. Β) Απόκτθςθ 100 ευρϊ και τοποκζτθςθ ςε ζνα τραπεηικό λογαριαςμό για ζνα χρόνο με επιτόκιο r = 10%. Οι δφο περιπτϊςεισ είναι ιςοδφναμεσ. Ζτςι λζμε ότι τα 110 ευρϊ που πρόκειται να αποκτθκοφν ςε ζνα χρόνο ζχουν παροφςα αξία 100 ευρϊ. Γενικά θ παροφςα αξία (PV) ενόσ ποςοφ Α ςε ζνα χρόνο από τϊρα ιςοφται με Α/1+r. Θ παροφςα αξία ενόσ ποςοφ A ςε n χρόνια από τϊρα ιςοφται με Το Excel για τον υπολογιςμό τθσ παροφςασ αξίασ λαμβάνει υπόψθ τισ χρθματορροζσ τόςο για τον δανειςτι όςο και για τον δανειηόμενο. PV Δανειηόμενοσ 0 n Σχιμα 1α FV 3

Δανειςτισ FV 0 PV Σχιμα 1β n Στθν περίπτωςθ του δανειηόμενου, ζνα ποςό PV δανειηόμαςτε ςιμερα (άρα κετικόσ αρικμόσ) και ζνα ποςό FV επιςτρζφουμε μετά από n περιόδουσ (άρα αρνθτικόσ αρικμόσ). Στθν περίπτωςθ του δανειςτι, ζνα ποςό PV κατακζτουμε ςιμερα (άρα αρνθτικόσ αρικμόσ) και ζνα ποςό FV λαμβάνουμε μετά από n περιόδουσ (άρα κετικόσ αρικμόσ). Παράδειγμα Για παράδειγμα, προκειμζνου να ςυγκεντρωκεί ποςό Α = FV = 1216,7 ευρϊ ςε 5 χρόνια με ετιςιο επιτόκιο 4% πρζπει να κατατεκεί ςιμερα ποςό. Χρθςιμοποιϊντασ τθν ςυνάρτθςθ PV του Excel ζχουμε: ςτο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 4%). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα ο αρικμόσ των περιόδων (ζτθ) είναι 5). Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε το μελλοντικό ποςό που κζλουμε να ςυγκεντρωκεί (δθλαδι το Α = FV = 1216,7 ευρϊ). Στο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το ποςό αυτό είναι 1216,7 ευρϊ. Το Excel μασ επιςτρζφει τθν τιμι -1000 ευρϊ. Θ αρνθτικι τιμι ςθμαίνει ότι πρζπει να κατακζςουμε 1000 ευρϊ ςιμερα για να ςυγκεντρωκεί ποςό 1216,7 ευρϊ ςε 5 χρόνια (είμαςτε δθλαδι ςτθν περίπτωςθ β του ςχιματοσ 1, αυτό του δανειςτι). Αλλά θ παροφςα αξία (PV) του 1216,7 δεν είναι -1000 αλλά 1000 (δθλαδι το ποςό που μου επιςτρζφει θ PV πολλαπλαςιαςμζνο επί -1.) Εναλλακτικά μποροφμε να ποφμε ότι θ παροφςα αξία των 1216,7 ευρϊ ςε 5 χρόνια από τϊρα 4

με επιτόκιο 4% είναι 1000 ευρϊ κακϊσ μου είναι αδιάφορο εάν λάβω 1000 ευρϊ ςιμερα ι 1216,7 ςε 5 χρόνια κακϊσ μπορϊ να πάρω τα 1000 ευρϊ ςιμερα να τα κατακζςω ςε ζνα τραπεηικό λογαριαςμό με επιτόκιο 4% και να πάρω 1216,7 ευρϊ ςε 5 χρόνια. Άρα θ παροφςα αξία ενόσ κετικοφ αρικμοφ ςτο μζλλον δεν είναι αρνθτικόσ αρικμόσ. Συνεπϊσ για να βροφμε τθν παροφςα αξία ενόσ ποςοφ ςτο μζλλον με τθν ςυνάρτθςθ PV του excel πρζπει να πολλαπλαςιάςουμε τθν τιμι που μασ επιςτρζφει θ ςυνάρτθςθ PV του excel με -1. Παροφςα αξία (Present Value) Ροιο ποςό PV πρζπει να κατατεκεί ςιμερα ϊςτε φςτερα από n περιόδουσ να ςυγκεντρωκεί ποςό FV όταν το επιτόκιο είναι r; Θ απάντθςθ είναι: Παράδειγμα Ζςτω ότι κζλουμε να ςυγκεντρωκεί ζνα ποςό FV = 1000 ευρϊ ςτον λογαριαςμό μασ φςτερα από n ζτθ όταν το επιτόκιο είναι ςτακερό και ίςο με 9%. Το ποςό που πρζπει να κατατεκεί ςιμερα ςτον λογαριαςμό είναι: Για ποιο ςφνκετεσ χρθματορροζσ, ζςτω θ χρθματορροι (x 0, x 1,,x n ) και επιτόκιο r για κάκε περίοδο θ παροφςα αξία τθσ χρθματορροισ είναι: Ρωσ καταλιξαμε ςε αυτι τθ ςχζςθ; Καταρχιν θ παροφςα αξία PV μιασ χρθματορροθσ είναι το άκροιςμα τθσ παροφςασ αξίασ κάκε ποςοφ. Άρα πάμε να βροφμε τθν παροφςα αξία κάκε ποςοφ. Το ποςό x 0 βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 0 (ςτο παρόν). Το δεφτερο ποςό (το x 1 ) 5

βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 1. Πςο πθγαίνουμε από αριςτερά προσ τα δεξιά για κάκε ποςό ανεβαίνουμε και μια χρονικι ςτιγμι (αρχίηοντασ πάντα από το μθδζν). Ζτςι το x 2 βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 2 και το x n ςτθ χρονικι ςτιγμι n. Για να βροφμε τθν παροφςα αξία τθσ χρθματορροισ πρζπει, όπωσ είπαμε, να υπολογίςουμε τθν παροφςα αξία κάκε ποςοφ και μετά να τα ακροίςουμε. Θ ςχζςθ που ςυνδζει τθν παροφςα αξία με τθν μελλοντικι αξία είναι όπου n είναι θ χρονικι ςτιγμι που βρίςκεται το μελλοντικό ποςό. Για το πρϊτο ποςό, το x 0, είπαμε ότι βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 0, άρα n = 0. Άρα από τθν ςχζςθ για n = 0 και για FV = x 0 ζχουμε. Για το δεφτερο ποςό, το x 1, είπαμε ότι βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 1. Άρα είναι ζνα μελλοντικό ποςό το οποίο βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι 1. Άρα από τθν ςχζςθ για n = 1 και για FV = x 1 ζχουμε. Για το τρίτο ποςό, το x 2, είπαμε ότι βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 2. Άρα είναι ζνα μελλοντικό ποςό το οποίο βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι 2. Άρα από τθν ςχζςθ για n = 2 και για FV = x 2 ζχουμε. Για το τελευταίο ποςό, το x n, είπαμε ότι βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι n. Άρα είναι ζνα μελλοντικό ποςό το οποίο βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι n. Άρα από τθν ςχζςθ για n = n και για FV = x n ζχουμε Δθλαδι, θ παροφςα αξία PV μιασ χρθματορροθσ είναι το άκροιςμα τθσ παροφςασ αξίασ κάκε ποςοφ. Άρα θ παροφςα αξία τθσ χρθματορροισ είναι: Παράδειγμα Για τθν χρθματορροι (-2, 1, 1, 1) και επιτόκιο 10% ζχουμε: 6

Σχζςθ παροφςασ αξίασ και μελλοντικισ αξίασ Για να βροφμε τθν παροφςα αξία τθσ χρθματορροισ ςτο excel καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ PV για κάκε ζνα ποςό που ζχουμε ςτθν χρθματορροι ϊςτε να βροφμε τθν παροφςα αξία κάκε ποςοφ και ςτθν ςυνζχεια ακροίηουμε όλεσ τισ παροφςεσ αξίεσ. Για το παράδειγμά μασ καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ PV για το πρϊτο ποςό το -2. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10%, άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων όπου βρίςκεται αυτό το ποςό ςε ςχζςθ με το παρόν (ςτο ςυγκεκριμζνο ο αρικμόσ των περιόδων είναι 0 αφοφ ψάχνω τθν παροφςα αξία του πρϊτου ποςοφ και αυτό βρίςκεται ιδθ ςτθν χρονικι ςτιγμι 0). Για τθν παροφςα αξία του δεφτερου ποςοφ κα βάλουμε τθν τιμι 1 αφοφ βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι ζνα. Προςοχι θ χρθματορροι ξεκινάει από τθν χρονικι ςτιγμι μθδζν. Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το -2 (είναι το μελλοντικό ποςό του οποίου τθν παροφςα αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι παροφςα αξία του ποςοφ. Τϊρα, ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ PV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το δεφτερο ποςό το 1. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (δθλαδι πάλι το 10%). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων όπου βρίςκεται αυτό το ποςό ςε ςχζςθ με το παρόν (το ποςό αυτό βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι ζνα άρα βάηουμε τον αρικμό 1 ςτθν ςυνάρτθςθ). Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι 1 (είναι το μελλοντικό ποςό του οποίου τθν παροφςα αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι παροφςα αξία του ποςοφ. Ξανακαλοφμε τϊρα τθν ςυνάρτθςθ PV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το τρίτο ποςό που είναι 1 πάλι. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (δθλαδι πάλι το 7

10%). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων όπου βρίςκεται αυτό το ποςό ςε ςχζςθ με το παρόν (το ποςό αυτό βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι δφο άρα βάηουμε τον αρικμό 2 ςτθν ςυνάρτθςθ). Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι 1 (είναι το μελλοντικό ποςό του οποίου τθν παροφςα αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι παροφςα αξία του ποςοφ. Συνεχίηουμε για τα υπόλοιπα ποςά βάηοντασ τον κατάλλθλο αρικμό περιόδων κάκε φορά. Για να βροφμε τϊρα τθν παροφςα αξία τθσ χρθματορροισ πρζπει να ακροίςουμε όλα τα ποςά τα οποία βρικαμε από τθν ςυνάρτθςθ PV. Για τθν άκροιςθ των ποςϊν καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ SUM και επιλζγουμε τισ παροφςεσ αξίεσ, δθλαδι τισ τιμζσ τισ οποίεσ βρικαμε από τθν προθγοφμενθ διαδικαςία. Μελλοντικι αξία (Future Value) Θ απλοφςτερθ περίπτωςθ είναι αυτι κατά τθν οποία κατατίκεται ζνα ποςό PV για n περιόδουσ με επιτόκιο r. Ροιο ποςό κα ςυγκεντρωκεί ςτο τζλοσ τθσ n-ςτθσ περιόδου, αν δεν γζνει καμία ανάλθψθ; Θ περίπτωςθ αυτι απεικονίηεται ςτο ςχιμα 1β και είναι θ περίπτωςθ του δανειςτι (δανείηουμε-κατακζτουμε ζνα ποςό PV ςιμερα και παίρνουμε ζνα ποςό FV ςε n χρόνια). Θ απάντθςθ είναι. Παράδειγμα 1 Κατακζτεται ςιμερα ζνα ποςό 1000 ευρϊ για 5 χρόνια με ετιςιο επιτόκιο 4%. Στο τζλοσ του 5 ου ζτουσ κα ζχει ςυγκεντρωκεί ποςό Χρθςιμοποιϊντασ τθν ςυνάρτθςθ FV του Excel ζχουμε: ςτο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 4%). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα ο 8

αρικμόσ των περιόδων (ζτθ) είναι 5). Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό που κατακζτεται (-1000 ευρϊ). Επειδι είναι χριμα που φεφγει από εμάσ βάηουμε αρνθτικό αρικμό, δθλαδι -1000 ευρϊ (κατάκεςθ 1000 ευρϊ). Το excel μασ επιςτρζφει τθν τιμι 1216,7 ευρϊ. Αλλά θ μελλοντικι αξία ενόσ αρνθτικοφ αρικμοφ ςιμερα (ςτο παράδειγμά μασ το -1000) δεν είναι κετικόσ αρικμόσ αλλά αρνθτικόσ αρικμόσ. Συνεπϊσ για να βροφμε τθν μελλοντικι αξία ενόσ ςθμερινοφ ποςοφ πολλαπλαςιάηουμε τθν τιμι που μασ επιςτρζφει θ ςυνάρτθςθ FV του excel με -1. Για ποιο ςφνκετεσ χρθματορροζσ, ζςτω θ χρθματορροι (x 0, x 1,,x n ) και το επιτόκιο r για κάκε περίοδο, θ μελλοντικι αξία τθσ ςειράσ είναι: FV = x 0 (1+r) n + x 1 (1+r) n-1 + +x n Ρωσ καταλιξαμε ςε αυτι τθ ςχζςθ; Καταρχιν θ μελλοντικι αξία FV μιασ χρθματορροθσ είναι το άκροιςμα τθσ μελλοντικισ αξίασ κάκε ποςοφ. Άρα πάμε να βροφμε τθν μελλοντικι αξία κάκε ποςοφ. Θ ςχζςθ που ςυνδζει τθν μελλοντικι αξία με τθν παροφςα αξία είναι όπου n είναι οι χρονικζσ περίοδοι όπου βρίςκεται επενδυμζνο το ποςό. Για το πρϊτο ποςό, το x 0, κζλουμε να βροφμε τθν μελλοντικι του αξία ςτθν n-ςτθ περίοδο δθλαδι τθν χρονικι ςτιγμι n. Το ποςό αυτό κα μείνει επενδυμζνο για n περιόδουσ από τθν περίοδο 0 μζχρι τθν n. Άρα από τθ ςχζςθ όπου PV = x 0, ζχουμε τθν μελλοντικι αξία του ποςοφ.. Για το δεφτερο ποςό, το x 1, είπαμε ότι βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 1. Το ποςό αυτό κα μείνει επενδυμζνο για n - 1 περιόδουσ από τθν περίοδο 1 μζχρι τθν n. Άρα από τθ ςχζςθ όπου PV = x 1, και όπου n βάηουμε το n 1 ζχουμε τθν μελλοντικι αξία του ποςοφ.. Τζλοσ για το n- ςτο ποςό είπαμε ότι βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι n. Το ποςό αυτό κα μείνει επενδυμζνο για 0 περιόδουσ (βρίςκεται ιδθ ςτθν χρονικι ςτιγμι n άρα μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι n θ απόςταςθ είναι 0). Άρα από τθ ςχζςθ όπου PV = x n, και όπου n βάηουμε το 0 ζχουμε τθν μελλοντικι αξία του ποςοφ.. Ακροίηοντασ λοιπόν τισ μελλοντικζσ αξίεσ καταλιγουμε ςτθ ςχζςθ 9

FV = x 0 (1+r) n + x 1 (1+r) n-1 + +x n Δθλαδι, θ μελλοντικι αξία FV μιασ χρθματορροθσ είναι το άκροιςμα τθσ μελλοντικισ αξίασ κάκε ποςοφ. Παράδειγμα 2 Ζςτω θ χρθματορροι (-2, 1, 1, 1) και το επιτόκιο 10%. Θ μελλοντικι αξία ιςοφται με: FV = -2(1 + r) 3 + (1 + r) 2 + (1 + r) + 1, FV = -2(1,1) 3 + (1,1) 2 + 1,1 + 1 = 0,648. Για να βροφμε τθν μελλοντικι αξία τθσ χρθματορροισ ςτο excel καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV για κάκε ζνα ποςό που ζχουμε ςτθν χρθματορροι ϊςτε να βροφμε τθν μελλοντικι αξία κάκε ποςοφ και ςτθν ςυνζχεια ακροίηουμε όλεσ τισ μελλοντικζσ αξίεσ. Για το παράδειγμά μασ καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV για το πρϊτο ποςό το -2. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων που μεςολαβοφν από τθ χρονικι ςτιγμι που βρίςκεται το ποςό του οποίου ψάχνω τθν μελλοντικι αξία, μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι όπου βρίςκεται το τελευταίο ποςό. Για το πρϊτο ποςό, το -2, ο αρικμόσ περιόδων είναι 3 γιατί από τθ χρονικι ςτιγμι 0 όπου βρίςκεται το -2 το ανάγω ςτθν χρονικι ςτιγμι 3 (όπου βρίςκεται το τελευταίο ποςό) άρα μεςολαβοφν 3 περίοδοι. Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το -2 (είναι το ποςό του οποίου τθν μελλοντικι αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι μελλοντικι αξία του ποςοφ. Τϊρα, ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το δεφτερο ποςό το 1. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (δθλαδι πάλι το 10% = 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε 2 γιατί μεςολαβοφν 2 περίοδοι από τθν χρονικι ςτιγμι όπου βρίςκεται το δεφτερο ποςό το 1 (που βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι 1) μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι 3 όπου βρίςκεται το τελευταίο ποςό. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό 10

που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 1 (είναι το ποςό του οποίου τθν μελλοντικι αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι μελλοντικι αξία του ποςοφ. Τϊρα, ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το τρίτο ποςό που είναι πάλι 1. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (δθλαδι πάλι το 10%). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε 1 γιατί μεςολαβεί μία περίοδοσ από τθν χρονικι ςτιγμι όπου βρίςκεται το τρίτο ποςό (βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι 2) μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι 3 όπου βρίςκεται το τελευταίο ποςό. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 1 (είναι το ποςό του οποίου τθν μελλοντικι αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι μελλοντικι αξία του ποςοφ. Τϊρα, ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το τζταρτο ποςό που είναι πάλι 1. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (δθλαδι πάλι το 10%). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε 0 γιατί το ποςό αυτό βρίςκεται ιδθ ςτθ χρονικι ςτιγμι 3, άρα δεν μεςολαβεί καμία περίοδοσ από τθ χρονικι ςτιγμι 3 μζχρι τθ χρονικι ςτιγμι 3. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 1 (είναι το ποςό του οποίου τθν μελλοντικι αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι μελλοντικι αξία του ποςοφ. Για να βροφμε τϊρα τθν μελλοντικι αξία τθσ χρθματορροισ πρζπει να ακροίςουμε όλα τα ποςά τα οποία βρικαμε από τθν ςυνάρτθςθ FV. Για τθν άκροιςθ των ποςϊν καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ SUM και επιλζγουμε τισ μελλοντικζσ αξίεσ, δθλαδι τισ τιμζσ τισ οποίεσ βρικαμε από τθν προθγοφμενθ διαδικαςία. Άςκθςθ Να βρεκεί θ παροφςα αξία και θ μελλοντικι αξία τθσ χρθματορροισ (-2000,1000,1500,3000) όταν το επιτόκιο είναι 10%. Λφςθ 11

Καταρχιν το ποςό -2000 βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 0 (ςτο παρόν). Το δεφτερο ποςό (το 1000) βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 1. Πςο πθγαίνουμε από αριςτερά προσ τα δεξιά για κάκε ποςό ανεβαίνουμε και μια χρονικι ςτιγμι (αρχίηοντασ πάντα από το μθδζν). Ζτςι το 1500 βρίςκεται ςτθ χρονικι ςτιγμι 2 και το 3000 ςτθ χρονικι ςτιγμι 3. Τϊρα για να βροφμε τθν παροφςα αξία τθσ χρθματορροισ ςτο excel καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ PV για κάκε ζνα ποςό που ζχουμε ςτθν χρθματορροι ϊςτε να βροφμε τθν παροφςα αξία κάκε ποςοφ και ςτθν ςυνζχεια ακροίηουμε όλεσ τισ παροφςεσ αξίεσ. Για το παράδειγμά μασ καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ PV για το πρϊτο ποςό το -2000. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων όπου βρίςκεται αυτό το ποςό ςε ςχζςθ με το παρόν (ςτο ςυγκεκριμζνο ο αρικμόσ των περιόδων είναι 0 αφοφ ψάχνω τθν παροφςα αξία του πρϊτου ποςοφ και αυτό βρίςκεται ιδθ ςτθν χρονικι ςτιγμι 0). Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το -2000 (είναι το μελλοντικό ποςό του οποίου τθν παροφςα αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι παροφςα αξία του ποςοφ. Τϊρα για το δεφτερο ποςό το 1000. Ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ PV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το δεφτερο ποςό το 1000. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων όπου βρίςκεται αυτό το ποςό ςε ςχζςθ με το παρόν (το ποςό αυτό βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι ζνα άρα βάηουμε τον αρικμό 1 ςτθν ςυνάρτθςθ). Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 1000 (είναι το μελλοντικό ποςό του οποίου τθν παροφςα αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι παροφςα αξία του ποςοφ. Για το τρίτο ποςό το 1500. Ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ PV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το τρίτο ποςό το 1500. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί 12

Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων όπου βρίςκεται αυτό το ποςό ςε ςχζςθ με το παρόν (το ποςό αυτό βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι 2 άρα βάηουμε τον αρικμό 2 ςτθν ςυνάρτθςθ). Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 1500 (είναι το μελλοντικό ποςό του οποίου τθν παροφςα αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι παροφςα αξία του ποςοφ. Τζλοσ για το τελευταίο ποςό το 3000. Ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ PV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το τζταρτο ποςό το 3000. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων όπου βρίςκεται αυτό το ποςό ςε ςχζςθ με το παρόν (το ποςό αυτό βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι 3 άρα βάηουμε τον αρικμό 3 ςτθν ςυνάρτθςθ). Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 3000 (είναι το μελλοντικό ποςό του οποίου τθν παροφςα αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι παροφςα αξία του ποςοφ. Για να βροφμε τϊρα τθν παροφςα αξία τθσ χρθματορροισ πρζπει να ακροίςουμε όλα τα ποςά τα οποία βρικαμε από τθν ςυνάρτθςθ PV. Για τθν άκροιςθ των ποςϊν καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ SUM και επιλζγουμε τισ παροφςεσ αξίεσ, δθλαδι τισ τιμζσ τισ οποίεσ βρικαμε από τθν προθγοφμενθ διαδικαςία. Θ απάντθςθ είναι 2.402,7. Για να βροφμε τθν μελλοντικι αξία τθσ χρθματορροισ ςτο excel καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV για κάκε ζνα ποςό που ζχουμε ςτθν χρθματορροι ϊςτε να βροφμε τθν μελλοντικι αξία κάκε ποςοφ και ςτθν ςυνζχεια ακροίηουμε όλεσ τισ μελλοντικζσ αξίεσ. Για το παράδειγμά μασ καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV για το πρϊτο ποςό το -2000. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων που μεςολαβοφν από τθ χρονικι ςτιγμι που βρίςκεται το ποςό του οποίου ψάχνω τθν μελλοντικι αξία, μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι όπου βρίςκεται το τελευταίο ποςό (δθλαδι πόςεσ περιόδουσ μζνει το ποςό αυτό επενδυμζνο). Για το πρϊτο ποςό, το -2000, ο αρικμόσ περιόδων είναι 3 13

γιατί από τθ χρονικι ςτιγμι 0 όπου βρίςκεται το -2000 το ανάγω (το μεταφζρω) ςτθν χρονικι ςτιγμι 3 (όπου βρίςκεται το τελευταίο ποςό) άρα μεςολαβοφν 3 περίοδοι. Το κελί Πλθρωμι το αφινουμε κενό. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το -2000 (είναι το ποςό του οποίου τθν μελλοντικι αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι μελλοντικι αξία του ποςοφ. Τϊρα για το δεφτερο ποςό το 1000. Ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το δεφτερο ποςό το 1000. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε 2 γιατί μεςολαβοφν 2 περίοδοι από τθν χρονικι ςτιγμι όπου βρίςκεται το δεφτερο ποςό, το 1000 (που βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι 1) μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι 3 όπου βρίςκεται το τελευταίο ποςό. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 1000 (είναι το ποςό του οποίου τθν μελλοντικι αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι μελλοντικι αξία του ποςοφ. Για το τρίτο ποςό το 1500. Ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το τρίτο ποςό το 1500. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε 1 γιατί μεςολαβεί μία περίοδοσ από τθν χρονικι ςτιγμι όπου βρίςκεται το τρίτο ποςό (βρίςκεται ςτθν χρονικι ςτιγμι 2) μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι 3 όπου βρίςκεται το τελευταίο ποςό. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 1500 (είναι το ποςό του οποίου τθν μελλοντικι αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι μελλοντικι αξία του ποςοφ. Τζλοσ για το τελευταίο ποςό το 3000. Ξανακαλοφμε τθν ςυνάρτθςθ FV ςε διαφορετικό κελί από το προθγοφμενο για το τζταρτο ποςό το 3000. Στο κελί Επιτόκιο βάηουμε το επιτόκιο ανά περίοδο (ςτο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα το επιτόκιο είναι 10% άρα βάηουμε 0,1). Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε 0 γιατί το ποςό αυτό βρίςκεται ιδθ ςτθ χρονικι ςτιγμι 3, άρα 14

δεν μεςολαβεί καμία περίοδοσ από τθ χρονικι ςτιγμι 3 μζχρι τθ χρονικι ςτιγμι 3. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε το ποςό που μασ δίνεται ςτθν χρθματορροι δθλαδι το 3000 (είναι το ποςό του οποίου τθν μελλοντικι αξία ψάχνουμε). Επιπλζον, πολλαπλαςιάηουμε με το -1 τθν τιμι που μασ επζςτρεψε θ ςυνάρτθςθ για να βροφμε τθν πραγματικι μελλοντικι αξία του ποςοφ. Για να βροφμε τϊρα τθν μελλοντικι αξία τθσ χρθματορροισ πρζπει να ακροίςουμε όλα τα ποςά τα οποία βρικαμε από τθν ςυνάρτθςθ FV. Για τθν άκροιςθ των ποςϊν καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ SUM και επιλζγουμε τισ μελλοντικζσ αξίεσ, δθλαδι τισ τιμζσ τισ οποίεσ βρικαμε από τθν προθγοφμενθ διαδικαςία. Θ απάντθςθ είναι 3.198. Παράδειγμα Ροια είναι θ μελλοντικι αξία ενόσ ποςοφ 1000 ευρϊ, φςτερα από τρία χρόνια, το οποίο τοκίηεται με ετιςιο ονομαςτικό επιτόκιο 6% και ανατοκίηεται ανά τετράμθνο. Λφςθ Αν για τουσ υπολογιςμοφσ χρθςιμοποιθκεί ωσ περίοδοσ το τετράμθνο, ο αρικμόσ των τετραμινων είναι 3 3 = 9 και το πραγματικό επιτόκιο ανά περίοδο είναι 6% 3 = 2%. Άρα ζχουμε: Αν για τουσ υπολογιςμοφσ χρθςιμοποιθκεί ωσ περίοδοσ το ζτοσ, το πραγματικό ετιςιο επιτόκιο είναι ( ) και θ μελλοντικι αξία ίςθ με: Συχνόσ ανατοκιςμόσ r: ονομαςτικό ετιςιο επιτόκιο 15

m: οι περίοδοι ανατοκιςμοφ n: ο ςυνολικόσ αρικμόσ περιόδων. Ζςτω θ χρθματοροι (x 0, x 1,,x n ). Θ παροφςα αξία ιςοφται: [ ] Αξιολόγθςθ μιασ επζνδυςθσ Το κριτιριο τθσ κακαρισ παροφςασ αξίασ (NPV) Συμφϊνα με το κριτιριο NPV (Net Present Value) όλα τα ποςά ανάγονται ςτο παρόν και υπολογίηεται το αλγεβρικό άκροιςμά τουσ. Άπαξ και υπολογιςτεί θ NPV, θ αποδοχι ι μθ μιασ επζνδυςθσ βαςίηεται ςτουσ εξισ κανόνεσ: Αν NPV > 0, θ επζνδυςθ είναι αποδεκτι. Αν NPV = 0, θ επζνδυςθ είναι αδιάφορθ. Αν NPV < 0, θ επζνδυςθ δεν είναι αποδεκτι. Μεταξφ περιςςοτζρων επενδφςεων επιλζγουμε εκείνθ με τθν μεγαλφτερθ κακαρι παροφςα αξία NPV. Για τθν χρθματορροι (x 0, x 1,,x n ) και επιτόκιο r για κάκε περίοδο θ κακαρι παροφςα αξία (NPV) τθσ χρθματορροισ είναι: Παράδειγμα Μια επζνδυςθ αρχικισ δαπάνθσ 3500 ευρϊ εμφανίηει τισ ταμειακζσ ροεσ του επόμενου πίνακα. Ρερίοδοσ 0 1 2 3 4 5 16

Ειςροζσ 0 1000 2000 2500 3000 4000 Εκροζσ 3500 500 500 1000 1000 1500 Ταμειακι ροθ -3500 500 1500 1500 2000 2500 Κεωροφμε ότι το επιτόκιο είναι ίςο με 12%. Θ κακαρι παροφςα αξία τθσ επζνδυςθσ είναι ίςθ με Και επειδι είναι κετικι, θ επζνδυςθ είναι αποδεκτι. Χρθςιμοποιϊντασ τθν ςυνάρτθςθ του excel NPV ζχουμε: Στο κελί Rate βάηουμε το επιτόκιο (ςτο παράδειγμά μασ 12%). Στο κελί Value1 βάηουμε τθν ταμειακι ροι τθσ πρϊτθσ περιόδου (ςτο παράδειγμά μασ 500). Στο κελί Value2 βάηουμε τθν ταμειακι ροι τθσ δεφτερθσ περιόδου (ςτο παράδειγμά μασ 1500) και οφτω κακεξισ. Προςοχι: τθν αρχικι δαπάνθ τθν προςκζτουμε μετά ςτθν τιμι που μασ επιςτρζφει θ ςυνάρτθςθ NPV. Εςωτερικόσ βακμόσ απόδοςθσ (Internal rate of return, IRR) Ζςτω (x 0, x 1,,x n ) θ χρθματορροι. Ο εςωτερικόσ βακμόσ απόδοςθσ (ΕΒΑ) τθσ χρθματορροισ είναι το επιτόκιο r που κάνει τθν παροφςα αξία τθσ χρθματορροισ ίςθ με μθδζν. Στο παραπάνω παράδειγμα ο εςωτερικόσ βακμόσ απόδοςθσ υπολογίηεται ωσ εξισ: Χρθςιμοποιϊντασ τθν ςυνάρτθςθ IRR του excel βρίςκουμε r = IRR = 27,9%. 17

Αξιόγραφα ςτακεροφ ειςοδιματοσ (fixed-income securities) λζγονται τα αξιόγραφα τα οποία καταβάλουν ζνα κακοριςμζνο ποςό χρθμάτων ςτον κάτοχό τουσ, το οποίο είναι ςτακερό για όλο το χρονικό διάςτθμα τθσ ηωισ τουσ. Ομολογίεσ (Bonds) είναι ζνα μζςο δανειςμοφ το οποίο αντιπροςωπεφει μια νομικι υποχρζωςθ του εκδότθ του να πλθρϊςει ςτον κάτοχο του ζνα ςυγκεκριμζνο τόκο κατά περιοδικά χρονικά διαςτιματα και να αποπλθρϊςει το αρχικό κεφάλαιο που δανείςτθκε κατά τθν θμερομθνία λιξθσ του. Χαρακτθριςτικά ομολογιϊν Χρονικι διάρκεια (maturity) μιασ ομολογίασ είναι το διάςτθμα που μεςολαβεί από τθν ζκδοςθ τθσ ομολογίασ μζχρι τθν λιξθ τθσ. Θ ονομαςτικι αξία (face value or par value) μιασ ομολογίασ είναι θ οριςμζνθ αξία θ οποία αναγράφεται ςτο αξιόγραφο και τθν οποία κα ειςπράξει ο κάτοχοσ του όταν το αξιόγραφο λιξθ. Τιμι αγοράσ (market price) μιασ ομολογίασ είναι θ αξία που ζχει μια ομολογία ςτθν αγορά κεφαλαίου. Ονομαςτικό επιτόκιο ι επιτόκιο τοκομεριδίου ι εκδοτικό επιτόκιο (coupon interest rate) είναι το οριςμζνο επιτόκιο το οποίο αναγράφετε πάνω ςτθν ομολογία και πολλαπλαςιαηόμενο με τθν ονομαςτικι αξία τθσ ομολογίασ, κακορίηει το φψοσ του τοκομεριδίου που κα ειςπράξει ο κάτοχοσ τθσ ομολογίασ. Τοκομερίδιο, είναι το κακοριςμζνο ποςό που ειςπράττει ο κάτοχοσ τθσ ομολογίασ ςε κάκε περίοδο μζχρι τθ λιξθ τθσ. Απόδοςθ ςτθ λιξθ (yield to maturity) είναι θ απόδοςθ που κα ζχει ο ομολογιοφχοσ ο οποίοσ αγόραςε τθν ομολογία ςτθν τρζχουςα τιμι αγοράσ τθσ και κα τθν κρατιςει μζχρι τθν λιξθ τθσ. Αποτίμθςθ αξιογράφων ςτακεροφ ειςοδιματοσ Με τον όρο αποτίμθςθ (valuation) εννοοφμε τον τρόπο με τον οποίο κακορίηεται θ τιμι που ζχει ζνα αξιόγραφο ςτθν αγορά. 18

Εφλογθ ι δίκαιθ αξία ενόσ αξιογράφου είναι θ παροφςα αξία των αναμενόμενων ταμειακϊν ροϊν του αξιογράφου. Υπολογίηεται από τον τφπο: Ππου: IV: θ εφλογθ ι δίκαιθ αξία τθσ ομολογίασ C: το ετιςιο τοκομερίδιο ςε ευρϊ n: ο αρικμόσ των ετϊν που διαρκεί μια ομολογία F: θ ονομαςτικι αξία τθσ ομολογίασ r: το κατάλλθλο προεξοφλθτικό επιτόκιο Παράδειγμα Θ ομολογία Α ζχει διάρκεια ηωισ τρία ακόμθ ζτθ. Θ ονομαςτικι τθσ αξία είναι 1.000 ευρϊ και το εκδοτικό επιτόκιο 10%. Το κατάλλθλο προεξοφλθτικό επιτόκιο όπωσ υπολογίηεται από τθν αγορά είναι ςιμερα 8% δθλαδι, r = 8%. Να βρεκεί θ εφλογθ αξία τθσ ομολογίασ. Λφςθ C = 10% 1.000 = 100 ευρϊ. Ρολλαπλαςιάηουμε το εκδοτικό επιτόκιο με τθν ονομαςτικι αξία τθσ ομολογίασ. Άρα: Ρολλζσ ομολογίεσ καταβάλλουν τοκομερίδια ςτουσ ομολογιοφχουσ δφο φορζσ το χρόνο, οπότε ζχουμε εξαμθνιαίο ανατοκιςμό. Στθν περίπτωςθ αυτι θ εφλογθ αξία των ομολογιϊν ιςοφται με: 19

Παράδειγμα Να βρεκεί θ εφλογθ αξία τθσ ομολογίασ του προθγοφμενου παραδείγματοσ, υποκζτοντασ ότι τα τοκομερίδια πλθρϊνονται δφο φορζσ το χρόνο. C = 10% 1.000 = 100 ευρϊ. Λφςθ H απόδοςθ ςτθ λιξθ (yield to maturity) βρίςκεται από τον τφπο: Ππου: P 0 : θ τρζχουςα τιμι τθσ ομολογίασ ςτθν αγορά YTM: θ απόδοςθ ςτθ λιξθ. Για να βροφμε τθν απόδοςθ ςτθ λιξθ καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ RATE. Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τον αρικμό των περιόδων μζχρι τθν λιξθ τθσ ομολογίασ. Στο κελί Πλθρωμι βάηουμε το ετιςιο τοκομερίδιο. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε τθν τιμι αγοράσ τθσ ομολογίασ. Επειδι αγοράηουμε τθν ομολογία, δθλαδι πλθρϊνουμε ζνα ποςό αυτό πρζπει να είναι αρνθτικό. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε τθν ονομαςτικι αξία τθσ ομολογίασ, δθλαδι το ποςό που ειςπράττουμε ςτθ λιξθ τθσ ομολογίασ. Παράδειγμα Ζνασ επενδυτισ αγοράηει μια τριετι ομολογία ονομαςτικισ αξίασ 1000 ευρϊ, 900 ευρϊ. Δθλαδι τθν αγοράηει-πλθρϊνει 900 ευρϊ. Το εκδοτικό επιτόκιο είναι 8%. Να βρεκεί θ απόδοςθ ςτθ λιξθ τθσ ομολογίασ. Λφςθ Καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ RATE. Στο κελί Αρικμόσ_περιόδων βάηουμε τισ περιόδουσ μζχρι τθν λιξθ τθσ ομολογίασ δθλαδι 3 (επειδι θ ομολογία είναι τριετισ). Στο κελί Πλθρωμι βάηουμε το 20

τοκομερίδιο. Δθλαδι (ονομαςτικι αξία) (εκδοτικό επιτόκιο) = 1000 0,08 = 80. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε τθν τιμι αγοράσ τθσ ομολογίασ. Επειδι τθν αγοράηουμε, δθλαδι πλθρϊνουμε ζνα ποςό βάηουμε αρνθτικό αρικμό. Δθλαδι ςτο παράδειγμά μασ -900. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε τθν ονομαςτικι αξία τθσ ομολογίασ. Θ απόδοςθ ςτθ λιξθ είναι 12,8%. Παράδειγμα Ζνασ επενδυτισ αγοράηει μια πενταετι ομολογία ςτο άρτιο πλθρϊνοντασ 1.000 ευρϊ (αγορά ςτο άρτιο ςθμαίνει ότι θ τιμι τθσ ομολογίασ ιςοφται με τθν ονομαςτικι τθσ αξία). Το εκδοτικό επιτόκιο είναι 12%. Άρα, και θ απόδοςθ ςτθ λιξθ είναι 12%. Μετά τθν είςπραξι του δεφτερου τοκομεριδίου, ο επενδυτισ χρειάηεται χριματα και αποφαςίηει να πουλιςει τθν ομολογία ςτθν δευτερογενι αγορά. Το επίπεδο των επιτοκίων τθν περίοδο αυτι ζχει διαμορφωκεί ςε χαμθλότερα επίπεδα, ζτςι ϊςτε τα νζα αξιόγραφα τα οποία ζχουν τα ίδια χαρακτθριςτικά με το εξεταηόμενο αποδίδουν 9%. Να βρεκοφν: Α) Ροια κα είναι θ νζα τιμι τθσ ομολογίασ ςτθν αγορά; Β) Εάν πουλιςει ο επενδυτισ τθν ομολογία ςτθ νζα τιμι ποια κα είναι θ απόδοςθ του επενδυτι; Λφςθ Α) Θ νζα τιμι τθσ ομολογίασ πρζπει να ιςοφται με τθν εφλογθ τθσ αξία, θ οποία είναι ίςθ με: Β) Θ απόδοςθ του επενδυτι άμα πουλιςει τθν ομολογία βρίςκεται λφνοντασ τθν παρακάτω εξίςωςθ: Καλοφμε τθν ςυνάρτθςθ RATE. Στο κελί αρικμόσ περιόδων βάηουμε τον αρικμό 2 (δθλαδι τον αρικμό των περιόδων που κρατάμε τθν ομολογία). Στο κελί Πλθρωμι βάηουμε το ετιςιο τοκομερίδιο, δθλαδι 120. Στο κελί Παροφςα_αξία βάηουμε τθν τιμι αγοράσ τθσ ομολογίασ. Επειδι αγοράηουμε τθν ομολογία, δθλαδι πλθρϊνουμε ζνα ποςό αυτό πρζπει να είναι αρνθτικό. Δθλαδι ςτο παράδειγμά μασ -1000. Στο κελί Μελλοντικι_αξία βάηουμε τθν τιμι πϊλθςθσ τθσ ομολογίασ δθλαδι ςτο παράδειγμά μασ 1075,94 (δθλαδι το ποςό που ειςπράττουμε ςτθν περίοδο 2). 21

Παράδειγμα Να βρεκοφν τα Α, Β όταν θ απαιτοφμενθ απόδοςθ ςτθ λιξθ είναι 15%. Ροιο είναι το ςυμπζραςμα; Θ νζα τιμι κα ιςοφται με τθν εφλογθ τθσ αξία Λφςθ Εάν πουλιςει τθν ομολογία προσ 931,5 ευρϊ, θ απόδοςθ του κα είναι Λφνοντασ με excel βρίςκουμε ότι θ απόδοςθ ιςοφται με 8,72%. Συμπζραςμα Θ τιμι τθσ ομολογίασ κινείται αντίςτροφα από τθν απόδοςθ ςτθ λιξθ τθσ (και του αντίςτοιχου με αυτι επιτόκιο). Γενικά, άνοδοσ (πτϊςθ) του επιτοκίου επιφζρει πτϊςθ (άνοδο) ςτισ τιμζσ των ομολογιϊν. Διάρκεια (duration) του Macaulay είναι ο ςτακμικόσ μζςοσ αρικμόσ των ετϊν ο οποίοσ απαιτείται για να ειςπράξει ο κάτοχοσ μιασ ομολογίασ τθν ονομαςτικι τθσ αξία και τα τοκομερίδια τθσ, όπου οι ςτακμίςεισ αντιπροςωπεφουν τθ ςχετικι παροφςα αξία τθσ κάκε ταμειακισ ειςροισ. Θ διάρκεια του Macaulay κεωρείται καλφτεροσ τρόποσ μζτρθςθσ τθσ χρονικισ διάρκρωςθσ μιασ ομολογίασ, απ ότι ο χρόνοσ λιξθσ τθσ, διότι αντικατοπτρίηει το φψοσ αλλά και το χρόνο καταβολισ τθσ κάκε ταμειακισ ειςροισ. Ο κάτοχοσ μιασ ομολογίασ με υψθλά τοκομερίδια κα ειςπράξει ζνα μεγάλο μζροσ τθσ απόδοςθσ του πολφ πιο γριγορα από τον κάτοχο μιασ ομολογίασ με χαμθλά τοκομερίδια. Επίςθσ, ο κάτοχοσ μιασ βραχυπρόκεςμθσ ομολογίασ κα ειςπράξει τθν απόδοςθ του πιο γριγορα από τον κάτοχο μιασ μακροπρόκεςμθσ ομολογίασ. [ ] [ ] D: Θ διάρκεια του Macaulay 22

c t : οι ταμειακζσ ειςροζσ τθσ περιόδου t r: θ απόδοςθ ςτθ λιξθ τθσ ομολογίασ : θ παροφςα αξία των ταμειακϊν ειςροϊν τθσ ομολογίασ (θ αρχικι τθσ τιμι). Κίνδυνοσ επιτοκίων είναι θ πικανι μεταβλθτότθτα των αποδόςεων μιασ επζνδυςθσ, θ οποία προκαλείται από μεταβολζσ των επιτοκίων τθσ αγοράσ. Διάρκεια είναι ζνα μζτρο που δείχνει τθν ευαιςκθςία των τιμϊν των ομολογιϊν ςε μεταβολζσ των επιτοκίων. Παράδειγμα Ζνασ επενδυτισ αγοράηει ςιμερα μια ομολογία θ οποία λιγει ςε 3 ζτθ και θ οποία ζχει ονομαςτικι αξία 1000 ευρϊ και εκδοτικό επιτόκιο 10%. Τα τοκομερίδια πλθρϊνονται μια φορά το χρόνο. Ο επενδυτισ κατζβαλε 1051,5 ευρϊ για τθν αγορά τθσ ομολογίασ. Να βρεκεί θ απόδοςθ ςτθ λιξθ και θ διάρκεια του Macaulay. Λφςθ Με χριςθ τθσ ςυνάρτθςθσ RATE του excel βρίςκουμε ότι θ απόδοςθ ςτθ λιξθ είναι 8%. Με χριςθ τθσ ςυνάρτθςθσ DURATION μποροφμε να βροφμε τθν διάρκεια τθσ ομολογίασ. Στο κελί Εκκακάριςθ βάηουμε τθν θμερομθνία ζναρξθσ τθσ ομολογίασ. Ράντα κα βάηουμε τθν θμερομθνία 1-1-2000 ωσ το ζτοσ 0. Στο κελί Λιξθ βάηουμε τθν θμερομθνία λιξθσ τθσ ομολογίασ. Εδϊ κα βάηουμε τθν θμερομθνία 1-1-200X όπου το X κα εξαρτάται από το πόςα χρόνια χρειάηονται μζχρι τθν λιξθ τθσ ομολογίασ. Στο ςυγκεκριμζνο παράδειγμα θ ομολογία είναι 3ετθσ άρα κα λιξει ςε 3 χρόνια από τθν χρονικι ςτιγμι μθδζν, δθλαδι ςε 3 χρόνια από τθν θμερομθνία αγοράσ τθσ που είναι θ 1-1-2000 άρα τθν θμερομθνία 1-1-2003. Στο κελί Τοκομερίδιο βάηουμε το εκδοτικό επιτόκιο. Στο κελί Απόδοςθ βάηουμε τθν απόδοςθ ςτθ λιξθ ι το ςχετικό με αυτι επιτόκιο. Στο κελί Συχνότθτα βάηουμε τον αρικμό των πλθρωμϊν των τοκομεριδίων κατ ζτοσ. Το κελί Βάςθ το αφινουμε κενό. Βάηοντασ τα κατάλλθλα νοφμερα Εκκακάριςθ 1-1-2000 ωσ το ζτοσ 0. Λιξθ 1-1-2003 ωσ το ζτοσ 3. Προςοχι! Για να περαςτεί θ θμερομθνία ςωςτά πρζπει να τθν ειςάγουμε πρϊτα ςε ζνα κελί ςτο φφλλο του excel και κατόπιν επιλζγοντασ τθν να περαςτεί ςτθν ςυνάρτθςθ που ζχουμε καλζςει. Δθλαδι, δεν γράφουμε κατευκείαν τθν θμερομθνία ςτθν ςυνάρτθςθ που καλοφμε. 23

Τοκομερίδιο 10% = 0,1 Απόδοςθ 8% = 0,08 Συχνότθτα 1 βρίςκουμε ότι θ διάρκεια του Macaulay είναι 2,7423. Οριςμζνοι αναλυτζσ προτιμοφν να χρθςιμοποιοφν μια προςαρμοςμζνθ μορφι τθσ διάρκειασ για να προςεγγίςουν τθ μεταβλθτότθτα των τιμϊν των ομολογιϊν ςε μεταβολζσ των επιτοκίων. Θ προςαρμοςμζνθ αυτι διάρκεια λζγεται τροποποιθμζνθ διάρκεια. Θ Τροποποιθμζνθ διάρκεια υπολογίηεται από τθ ςχζςθ: Ππου D θ διάρκεια του Macaulay, r θ απόδοςθ ςτθ λιξθ τθσ ομολογίασ. Και θ διάρκεια του Macaulay και θ τροποποιθμζνθ διάρκεια μετροφν τθν ευαιςκθςία τθσ τιμισ μιασ ομολογίασ ςε μεταβολζσ των επιτοκίων τθσ αγοράσ. Μακθματικά, θ τροποποιθμζνθ διάρκεια είναι το πθλίκο τθσ διαίρεςθσ τθσ πρϊτθσ παραγϊγου τθσ τιμισ ωσ προσ τθν απόδοςθ ςτθ λιξθ dp/dr, δια τθσ τιμισ (P). Δθλαδι ιςχφει: Θ ςχζςθ αυτι δείχνει ότι θ τροποποιθμζνθ διάρκεια είναι θ ποςοςτιαία μεταβολι τθσ τιμισ μιασ ομολογίασ, θ οποία οφείλεται ςε μια ονομαςτικι μεταβολι τθσ απόδοςθσ. Άρα, θ τροποποιθμζνθ διάρκεια μετρά τθν κλίςθ τθσ καμπφλθσ ςχζςθσ (μεταξφ τιμισ μιασ ομολογίασ και απόδοςθσ ςτθ λιξθ), που αντιςτοιχεί ςε μια δεδομζνθ απόδοςθ. Θ ποςοςτιαία μεταβολι τθσ τιμισ μιασ ομολογίασ είναι κατά προςζγγιςθ ίςθ με το γινόμενο τθσ τροποποιθμζνθσ διάρκειασ (με αρνθτικό πρόςθμο) επί τθν μεταβολι των επιτοκίων ςε δεκαδικι μορφι. Δθλαδι, για να υπολογίςουμε τθν ποςοςτιαία μεταβολι τθσ τιμισ μιασ ομολογίασ εφαρμόηουμε τθν παρακάτω ςχζςθ: 24

Ππου ΔP = (P 1 P 0 ) = θ μεταβολι ςτθν τιμι τθσ ομολογίασ, P 0 θ αρχικι τιμι τθσ ομολογίασ, P 1 θ νζα τιμι τθσ ομολογίασ, D θ διάρκεια του Macaulay, r 0 θ απόδοςθ ςτθ λιξθ που αντιςτοιχεί ςτο αρχικό επιτόκιο, r 1 το νζο επιτόκιο, Δr = (r 1 r 0 ) = θ μεταβολι των επιτοκίων ςε δεκαδικι μορφι. Παράδειγμα Μια ομολογία με ονομαςτικι αξία 1.000 ευρϊ, εκδοτικό επιτόκιο 10%, λιγει ςε τρία ζτθ και πωλείται ςιμερα 1.051,5 ευρϊ. Άρα θ ομολογία ζχει απόδοςθ ςτθ λιξθ 8% και διάρκεια 2,7423 ζτθ. Να βρεκεί θ μεταβολι ςτθν τιμι τθσ ομολογίασ, θ οποία κα προζλκει από μια μείωςθ των επιτοκίων από 8% ςε 7,5%. Από τθν ςχζςθ Λφςθ ζχουμε: Άρα θ τιμι τθσ ομολογίασ κα αυξθκεί περίπου 1,27%. Παράδειγμα Ζνασ επενδυτισ αγοράηει ςιμερα μια ομολογία θ οποία λιγει ςε τρία ζτθ και θ οποία ζχει ονομαςτικι αξία 1.000 ευρϊ και εκδοτικό επιτόκιο 7%. Τα τοκομερίδια πλθρϊνονται μία φορά το χρόνο. Ομολογίεσ με τα ίδια χαρακτθριςτικά με τθν ανωτζρω ομολογία προςφζρουν ςτουσ ομολογιοφχουσ αποδόςεισ ςτθ λιξθ 6%. Να βρεκοφν: Α) Θ τιμι αγοράσ τθσ ομολογίασ. Β) Θ διάρκεια του Macaulay τθσ ομολογίασ. Γ) Θ μεταβολι ςτθν τιμι τθσ ομολογίασ θ οποία κα προζλκει από μια αφξθςθ των επιτοκίων από 6% ςε 6,2%, χρθςιμοποιϊντασ τθν τροποποιθμζνθ διάρκεια. Ροια κα είναι θ νζα τιμι τθσ ομολογίασ; Λφςθ 25

Α) Το φψοσ του τοκομεριδίου είναι C = 7% 1.000 = 70 ευρϊ. Θ τιμι αγοράσ τθσ ομολογίασ ιςοφται με τθν εφλογι τθσ αξία: Β) Θ διάρκεια του Macaulay ιςοφται με: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ι βρίςκεται καλϊντασ τθν ςυνάρτθςθ DURATION του excel και βάηοντασ τα κατάλλθλα νοφμερα. Εκκακάριςθ 1-1-2000 ωσ το ζτοσ 0. Λιξθ 1-1-2003 ωσ το ζτοσ 3. Προςοχι! Για να περαςτεί θ θμερομθνία ςωςτά πρζπει να τθν ειςάγουμε πρϊτα ςε ζνα κελί ςτο φφλλο του excel και κατόπιν επιλζγοντασ τθν να περαςτεί ςτθν ςυνάρτθςθ που ζχουμε καλζςει. Δθλαδι δεν γράφουμε κατευκείαν τθν θμερομθνία ςτθν ςυνάρτθςθ που καλοφμε. Τοκομερίδιο 7% = 0,07 Απόδοςθ 6% = 0,06 Συχνότθτα 1 Γ) Από τθ ςχζςθ ζχουμε: 26

Άρα θ τιμι τθσ ομολογίασ κα μειωκεί περίπου κατά 0,53%. Επειδι θ τιμι τθσ ομολογίασ ςτθν αγορά πριν από τθν αφξθςθ των επιτοκίων ιταν 1.026,73 ευρϊ, τϊρα κα είναι κατά προςζγγιςθ ίςθ με 1.026,73 (1,0 0.0053) = 1.021,27 ευρϊ. Θ τροποποιθμζνθ διάρκεια μασ παρζχει τθ δυνατότθτα να εκτιμιςουμε τθ μεταβολι τθσ τιμισ μιασ ομολογίασ ςτθν αγορά, που οφείλεται ςε μεταβολι των επιτοκίων. Θ ςχζςθ όμωσ αυτι είναι ακριβισ για πολφ μικρζσ μεταβολζσ των επιτοκίων. Θ ικανότθτα ακριβοφσ εκτίμθςθσ υποβακμίηεται όςο μεγαλφτερθ είναι θ μεταβολι των επιτοκίων. Αυτό οφείλεται ςτο ότι θ εξίςωςθ τθσ τροποποιθμζνθσ διάρκειασ παράγει ςυμμετρικζσ ποςοςτιαίεσ μεταβολζσ. Δθλαδι θ ανωτζρω εξίςωςθ αποτελεί μια γραμμικι προςζγγιςθ τθσ μεταβολισ τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ, ενϊ ςτθν πραγματικότθτα θ ςχζςθ μεταξφ τιμισ ομολογίασ και απόδοςθσ ςτθ λιξθ είναι κυρτι. Θ κυρτότθτα μιασ ομολογίασ (bond s convexity) είναι ζνα μζτρο τθσ καμπφλωςθσ τθσ ςχζςθσ μεταξφ τιμισ ομολογίασ και απόδοςθσ ςτθ λιξθ και μετρά κατά πόςο θ ςχζςθ τιμισ-απόδοςθσ μιασ ομολογίασ αποκλίνει από τθν γραμμικι προςζγγιςθ τθσ καμπφλθσ αυτισ. Εάν θ μεταβολι των επιτοκίων είναι μεγάλθ, τότε ςτθ μεταβολι τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ θ οποία υπολογίηεται από τθν τροποποιθμζνθ διάρκεια κα πρζπει να προςκζςουμε και τθν μεταβολι τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ θ οποία οφείλεται ςτθ κυρτότθτά τθσ. Ο υπολογιςμόσ τθσ κυρτότθτασ μιασ ομολογίασ μπορεί να γίνει ωσ εξισ: και [ ] Ππου P = θ τιμι τθσ ομολογίασ, CF t = οι ταμειακζσ ειςροζσ τθσ περιόδου t, r = θ απόδοςθ ςτθ λιξθ τθσ ομολογίασ και t = θ χρονικι περίοδοσ που πραγματοποιείται θ κάκε πλθρωμι. Για να υπολογίςουμε τθν ποςοςτιαία μεταβολι τθσ τιμισ μιασ ομολογίασ θ οποία οφείλεται ςτθν κυρτότθτα, εφαρμόηουμε τθν εξισ ςχζςθ: Παράδειγμα 27

Ζνασ επενδυτισ αγοράηει ςιμερα μια ομολογία θ οποία λιγει ςε τρία ζτθ και θ οποία ζχει ονομαςτικι αξία 1.000 ευρϊ και εκδοτικό επιτόκιο 10%. Τα τοκομερίδια πλθρϊνονται μια φορά το χρόνο. Ο επενδυτισ κατζβαλε 1.051,5 ευρϊ για τθν αγορά τθσ ομολογίασ, που ςθμαίνει ότι θ απόδοςθ ςτθ λιξθ τθσ ομολογίασ είναι 8%. Θ διάρκεια τθσ ομολογίασ είναι 2,7423 ζτθ. Ασ υποκζςουμε ότι τα επιτόκια μειϊνονται από 8% ςε 7,5%. Ηθτείται: Α) Να βρεκεί θ νζα τιμι τθσ ομολογίασ χωρίσ τθν χρθςιμοποίθςθ τθσ διάρκειασ τθσ. Ροια είναι θ πραγματικι ποςοςτιαία μεταβολι τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ, λόγω τθσ μεταβολισ των επιτοκίων; Β) Να βρεκεί θ κυρτότθτα τθσ ομολογίασ. Γ) Να βρεκεί θ ποςοςτιαία μεταβολι τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ θ οποία οφείλεται ςτθν κυρτότθτα, κακϊσ επίςθσ και θ ςυνολικι ποςοςτιαία μεταβολι τθσ ομολογίασ. Α) Θ νζα τιμι τθσ ομολογίασ είναι: Λφςθ Άρα θ πραγματικι ποςοςτιαία μεταβολισ τθσ ομολογία είναι: Β)Θ κυρτότθτα τθσ ομολογίασ υπολογίηεται ωσ εξισ: [ ] Άρα κυρτότθτα = 9.583,09 / 1.051,5 = 9,1137. Γ) Θ ποςοςτιαία μεταβολι τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ θ οποία οφείλεται ςτθν κυρτότθτα υπολογίηεται ωσ εξισ: Θ ποςοςτιαία μεταβολι τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ θ οποία οφείλεται ςτθν τροποποιθμζνθ διάρκεια υπολογίηεται ωσ εξισ: 28

Άρα, θ ςυνολικι ποςοςτιαία μεταβολι τθσ ομολογίασ είναι Δθλαδι θ ςυνολικι ποςοςτιαία μεταβολι τθσ ομολογίασ είναι το άκροιςμα τθσ μεταβολισ τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ θ οποία οφείλεται ςτθ διάρκεια τθσ και τθσ μεταβολισ τθσ τιμισ τθσ ομολογίασ θ οποία οφείλεται ςτθν κυρτότθτα. Άρα, θ ςυνολικι ποςοςτιαία μεταβολι τθσ ομολογίασ είναι: Ειςαγωγι ςτθν οικονομετρία Οικονομετρία είναι θ ςυςτθματικι ποςοτικι εξζταςθ οικονομικϊν φαινομζνων, τάςεων και ςχζςεων με βάςθ παρατθροφμενα δεδομζνα και χρθςιμοποιϊντασ ςτατιςτικζσ τεχνικζσ. Με τον όρο «ποςοτικι εξζταςθ» εννοοφμε τθν καταςκευι «υποδειγμάτων» τα οποία «μετροφν» τθν οικονομικι κεωρία ςε εμπειρικό επίπεδο. Θ μετάβαςθ από τθ κεωρία ςτο υπόδειγμα ςκοπό ζχει 1. Τον ζλεγχο οικονομικϊν κεωριϊν. 2. Τθν ποςοτικοποίθςθ/μζτρθςθ ςχζςεων μεταξφ οικονομικϊν μεταβλθτϊν. 3. Τθν πρόβλεψθ οριςμζνων μεταβλθτϊν. Τφποι δεδομζνων Διαςτρωματικά δεδομζνα (cross section data) Τα διαςτρωματικά δεδομζνα αφοροφν μετριςεισ τυχαίων μεταβλθτϊν που αναφζρονται ςε οικονομικζσ μονάδεσ. Θ οικονομικι μονάδα μπορεί να αντιςτοιχεί ςε άτομα, επιχειριςεισ, νομοφσ, χϊρεσ. Θ διαςτρωμάτωςθ χαρακτθρίηεται από τον υποδείκτθ, ενϊ το μζγεκοσ του δείγματοσ ςθμειϊνεται ςυνικωσ με το ςφμβολο ι. Για παράδειγμα, ζςτω ότι ςυμβολίηει το ωρομίςκιο όπωσ καταγράφθκε ςε ζρευνα που διεξιχκθ τυχαία ςε 4258 εργαηομζνουσ, άρα όπου. Επίςθσ ο 29

οικονομζτρθσ ζχει ςτοιχεία (παρατθριςεισ) για τθ μεταβλθτι, θ οποία αντιςτοιχεί ςτα ζτθ εκπαίδευςθσ του εργαηομζνου. Το ςφνολο των παρατθριςεων αποτελεί το «δείγμα» και όταν θ ςυλλογι των δεδομζνων επετεφχκθκε μζςω τυχαίασ δειγματολθψίασ τότε κεωροφμε ότι τα αποτελοφν τυχαίεσ εμφανίςεισ από τθν ίδια υποκείμενθ κατανομι πικανότθτασ και λζμε ότι είναι i.i.d (independent and identically distributed) δθλαδι ανεξάρτθτα και ομοιογενϊσ κατανεμθμζνα. Ο όροσ «ανεξάρτθτα» χαρακτθρίηει το ηεφγοσ από το ηεφγοσ ( ) και όχι τθν ανεξαρτθςία των και. Χρονοςειρζσ (time series data) Τα δεδομζνα χρονοςειρϊν αφοροφν τθν εξζλιξθ ςτο χρόνο ςυγκεκριμζνων οικονομικϊν μεταβλθτϊν. Για παράδειγμα θ χρονοςειρά ςυμβολίηει τισ τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτο χρόνο μζχρι Ο δείκτθσ του χρόνου είναι πάντα ακζραιοσ με να ςυμβολίηει τθν πρϊτθ παρατιρθςθ του δείγματοσ και να ςυμβολίηει τθν τελευταία. Στισ χρονοςειρζσ θ υπόκεςθ τθσ τυχαίασ δειγματολθψίασ δεν ιςχφει (αν ίςχυε κα υποκζταμε ότι θ ακολουκία των τυχαίων μεταβλθτϊν είναι ανεξάρτθτθ ). Πμωσ θ «πρόςφατθ» ιςτορικι πορεία μιασ οικονομικισ χρονοςειράσ τθ μελλοντικι χρονικι τθσ πορεία επθρεάηει Διαμόρφωςθ βαςικοφ οικονομετρικοφ υποδείγματοσ Θ οικονομικι κεωρία προβλζπει ποικίλεσ ςχζςεισ μεταξφ οικονομικϊν μεταβλθτϊν. Θ κεωρία όμωσ παραμζνει ςτισ περιςςότερεσ περιπτϊςεισ αόριςτθ ςχετικά με τθν ακριβι μακθματικι ςχζςθ μεταβλθτϊν ενδιαφζροντοσ. Στθν οικονομετρία ςυχνά προχωροφμε ςε «απλοποίθςθ ι γραμμικοποίθςθ» τθσ ςχζςθσ μεταξφ των μεταβλθτϊν. Άρα το κεωρθτικό οικονομετρικό υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ωσ εξισ: θ Ππου οι δείκτεσ και υποδθλϊνουν ότι θ ανωτζρω εξίςωςθ ιςχφει για κάκε οικονομικι μονάδα ι για κάκε ζτοσ ςτο δείγμα. Με αυτό τον τρόπο ςυνδζουμε τισ μεταβλθτζσ του υποδείγματοσ με οικονομικζσ μονάδεσ (άτομα, επιχειριςεισ, χϊρεσ κτλ.) ι τον χρόνο και υποδθλϊνουμε τθν φπαρξθ ετερογζνειασ ι δυναμικισ ςτισ οικονομικζσ μεταβλθτζσ. 30

Τζλοσ, προςκζτουμε ςτθν παραπάνω εξίςωςθ το διαταρακτικό όρο ο οποίοσ είναι μία τυχαία μεταβλθτι για κάκε (αναφζρεται επίςθσ και ωσ ςτοχαςτικόσ όροσ ι όροσ ςφάλματοσ) ϊςτε να εξθγιςουμε τθν πικανι διατάραξθ τθσ τζλειασ γραμμικισ ςχζςθσ όταν απεικονίηουμε πραγματικά οικονομικά δεδομζνα. Ζτςι, το απλοφςτερο οικονομετρικό υπόδειγμα δίνεται από τθ ςχζςθ: ι Θ μεταβλθτι που βρίςκεται αριςτερά τθσ ιςότθτασ ονομάηεται εξαρτθμζνθ μεταβλθτι ενϊ οι μεταβλθτζσ δεξιά τθσ ιςότθτασ ονομάηονται ανεξάρτθτεσ ι ερμθνευτικζσ μεταβλθτζσ. Απαραίτθτθ προχπόκεςθ τθν οποία πάντα πλθροί ο διαταρακτικόσ όροσ είναι ότι θ μζςθ αναμενόμενθ τιμι του είναι μθδζν Άρα θ διατάραξθ ςτθ γραμμικι ςχζςθ μπορεί να είναι ενίοτε κετικι ι αρνθτικι αλλά πάντοτε ζχει μζςθ τιμι μθδζν. Ο διαταρακτικόσ όροσ είναι μια μθ παρατθριςιμθ μεταβλθτι ςε αντίκεςθ με τισ και. Μθ παρατθριςιμεσ είναι και οι τιμζσ των παραμζτρων,. Θ παρουςία του διαταρακτικοφ όρου επιςθμαίνει ότι τα οικονομετρικά υποδείγματα παρζχουν «μερικι» εξιγθςθ των δεδομζνων. Ο «κόςμοσ» δεν περιγράφεται επακριβϊσ από τζλειεσ γραμμικζσ ςυναρτιςεισ ι τζλειεσ ευκείεσ. Ο διαταρακτικόσ όροσ αντιπροςωπεφει (α) τθν επιρροι όλων των παραγόντων (μεταβλθτϊν) που επθρεάηουν τθν εξαρτθμζνθ μεταβλθτι και δεν ζχουν ειςαχκεί ςτο υπόδειγμα (β) τθν επιρροι ςφαλμάτων μζτρθςθσ ςτισ μεταβλθτζσ του υποδείγματοσ (γ) τθν επιλογι λανκαςμζνθσ ςυναρτθςιακισ εξειδίκευςθσ, για παράδειγμα θ γραμμικι ςχζςθ μπορεί να αποδίδει «φτωχά» τθν πραγματικι ςχζςθ των μεταβλθτϊν. Θ παράμετροσ ονομάηεται και ςυντελεςτισ κλίςθσ ι ςυντελεςτισ τθσ μεταβλθτισ. 31

Άςκθςθ Δθμιουργιςτε δφο τυχαία δείγματα για με από τισ τυχαίεσ μεταβλθτζσ και όπου και ενϊ ο διαταρακτικόσ όροσ ζχει τθν ίδια τυπικι απόκλιςθ με αυτι τθσ ερμθνευτικισ μεταβλθτισ. Οι μεταβλθτζσ, είναι αμοιβαία ανεξάρτθτεσ. Στθ ςυνζχεια δθμιουργιςτε τθν εξαρτθμζνθ μεταβλθτι ωσ Με α = 500 και (α) β = 2 και (β) β = -2. Σχεδιάςτε το διάγραμμα διαςποράσ των, και ςτισ δφο περιπτϊςεισ. Επαναλάβατε τθν άςκθςθ για τιμζσ του και. Τι παρατθρείται ςε κάκε υποπερίπτωςθ; Λφςθ Στθν επιλογι «Δεδομζνα» του μενοφ του Excel, επιλζξτε «Ανάλυςθ Δεδομζνων» και κατόπιν επιλζξτε «Γεννιτρια τυχαίων αρικμϊν». Για να δθμιουργιςουμε τθν μεταβλθτι βάηουμε πλικοσ μεταβλθτϊν: 1. Ρλικοσ τυχαίων αρικμϊν: 125. Κατανομι: κανονικι. Μζςοσ και τυπικι απόκλιςθ τισ τιμζσ που δίνονται (δθλαδι για τον μζςο τθν τιμι -0,5 και για τθν τυπικι απόκλιςθ τθν τιμι 1). Στθν περιοχι «Επιλογζσ Εξόδου» επιλζγουμε τθν περιοχι εξόδου και επιλζγουμε τθν ςτιλθ Α. Κάνουμε το ίδιο για τθν μεταβλθτι βάηοντασ τα κατάλλθλα νοφμερα ςτθ τυπικι απόκλιςθ και ςτον μζςο. Στθν περιοχι «Επιλογζσ Εξόδου» επιλζγουμε τθν περιοχι εξόδου και επιλζγουμε τθν ςτιλθ Β. Στθ ςυνζχεια δθμιουργοφμε τθν εξαρτθμζνθ μεταβλθτι. Ρατάμε ςτο κελί C1 και πλθκτρολογοφμε =500 + 2*Α1 + Β1. Στθ ςυνζχεια πιάνουμε το κελί C1 (ςτο κάτω δεξιό άκρο του κελιοφ μζχρι να γίνει ο ςταυρόσ μαφροσ) και το ςζρνουμε μζχρι το 125 για να αντιγράψουμε τθν ίδια ςχζςθ ςε όλα τα κελιά. Για να κάνουμε τα διαγράμματα. Στθν επιλογι «Ειςαγωγι» επιλζγουμε από τα γραφιματα αυτό τθσ «διαςποράσ». Κάνουμε δεξί κλικ ςτο γράφθμα και πατάμε επιλογι δεδομζνων. Στθ ςυνζχεια πατάμε προςκικθ και επιλζγουμε ςτισ «Τιμζσ ςειράσ Χ» τα κελιά όπου βρίςκεται θ μεταβλθτι δθλαδι τθν ςτιλθ Α (Επιλζγω τα κελιά από το Α1 μζχρι το Α125). Και ςτισ «Τιμζσ ςειράσ Y» τα κελιά όπου βρίςκεται θ μεταβλθτι δθλαδι τθν ςτιλθ C από το C1 μζχρι το C125. Μζκοδοσ εκτίμθςθσ ελαχίςτων τετραγϊνων (ΕΤ) Ζςτω το απλό γραμμικό υπόδειγμα, 32

Αρχικόσ ςκοπόσ μασ είναι να εκτιμιςουμε τισ παραμζτρουσ,. Με βάςθ λοιπόν ζνα περιοριςμζνο δείγμα τιμϊν που ζχουμε για τισ μεταβλθτζσ, κα προςπακιςουμε να εκτιμιςουμε τισ άγνωςτεσ παραμζτρουσ και. Οι εκτιμθτζσ των, ςυμβολίηονται με, και αποτελοφν μακθματικοφσ τφπουσ που βαςίηονται ςτα δεδομζνα του δείγματοσ. Κεωρθτικά υπάρχει ζνασ τεράςτιοσ αρικμόσ δειγμάτων που κα μποροφςαμε να λάβουμε υπόψθ. Επιλζγοντασ ζνα νζο δείγμα (ίδιου μεγζκουσ) κα άλλαηε και θ τιμι του εκτιμθτι. Ουςιαςτικά λοιπόν, αντιμετωπίηουμε τουσ εκτιμθτζσ ωσ τυχαίεσ μεταβλθτζσ και τισ κατανομζσ ςτισ οποίεσ υπόκεινται τισ ονομάηουμε κατανομζσ δειγματολθψίασ. Από τον τεράςτιο αρικμό εκτιμθτϊν των ςυντελεςτϊν, επιλζγουμε τον εκτιμθτι ελαχίςτων τετραγϊνων (ΕΤ) λόγω των ελκυςτικϊν ςτατιςτικϊν ιδιοτιτων που ζχει. Θ μζκοδοσ εκτίμθςθσ ελαχίςτων τετραγϊνων κα δϊςει, όπωσ είπαμε, εκτιμθτζσ των παραμζτρων, τουσ οποίουσ κα ςυμβολίηουμε με,. Θ διαδικαςία εκτίμθςθσ ονομάηεται «ελάχιςτα τετράγωνα» αφοφ βαςίηεται ςτθν ελαχιςτοποίθςθ του ακροίςματοσ των τετραγϊνων των καταλοίπων, ( ) Αν γνωρίηουμε δφο εκτιμθτζσ, τότε οι όροι μποροφν να υπολογιςτοφν από τισ ιςότθτεσ και ονομάηονται κατάλοιπα (όχι διαταρακτικοί όροι). Άρα πρζπει να βροφμε τουσ εκτιμθτζσ ΕΤ που λφνουν το παρακάτω πρόβλθμα ελαχιςτοποίθςθσ. ( ) ( ) 33

Για να ελαχιςτοποιοφν το άκροιςμα ( ) κα πρζπει οι εκτιμθτζσ να λφνουν το ςφςτθμα των εξιςϊςεων ( ) ( ) Οι δφο παραπάνω εξιςϊςεισ αποτελοφν τισ ςυνκικεσ πρϊτθσ τάξθσ (απαραίτθτεσ ςυνκικεσ) για ελάχιςτο. Τα, και που ικανοποιοφν τισ παραπάνω εξιςϊςεισ μαηί με τθν τιμι τθσ ( ) αποτελοφν το λεγόμενο ςτάςιμο ςθμείο. Επιπλζον, πρζπει να ικανοποιοφνται οι ςυνκικεσ δεφτερθσ τάξθσ (ικανζσ ςυνκικεσ) για ελάχιςτο. Δθλαδι θ εςςιανι μιτρα [ ] των δεφτερων μερικϊν παραγϊγων υπολογιςμζνθ ςτο ςτάςιμο ςθμείο κα πρζπει να είναι κετικά οριςμζνθ. Χρθςιμοποιοφμε τουσ ςυμβολιςμοφσ, και Θ εςςιανι μιτρα είναι κετικά οριςμζνθ όταν και θ ορίηουςα τθσ είναι κετικι δθλαδι. Θ ορίηουςα δίνεται από ( ) Αφοφ. Λφνοντασ τισ εξιςϊςεισ των ςυνκθκϊν πρϊτθσ τάξθσ (1) και (2) για να βροφμε τουσ εκτιμθτζσ, ζχουμε από τθν (1) ( ) ( ) 34