«Πρόβλεψη» «Forecasting»

«Πρόβλεψη» «Forecasting» Σηµειώσεις για το µάθηµα του 6 ου εξαµήνου «Αρχές ιοίκησης και Οργάνωση Παραγωγής» 2005 Μιχάλης Βαϊδάνης 1

I. Πρόβλεψη (Forecasting) Η πρόβλεψη είναι µια από τις σηµαντικότερες λειτουργίες µέσα σε µια επιχείρηση και εν γένει σε έναν οργανισµό, για τη λήψη κάθε κρίσιµης απόφασης: ο έλεγχος του κόστους, ο σχεδιασµός νέων προϊόντων, η πρόσληψη προσωπικού, ο όγκος της παραγωγής, το ύψος των αποθεµάτων, όλα καθορίζονται από την πρόβλεψη. Χωρίς αυτήν, κάθε απόφαση θα λαµβανόταν στην τύχη. Η πρόβλεψη µπορεί να είναι βραχυπρόθεσµη, µεσοπρόθεσµη ή µακροπρόθεσµη ανάλογα µε τον χρονικό ορίζοντα στον οποίο αναφέρεται. Π.χ. η πρόβλεψη των πωλήσεων Βωξίτη για το επόµενο τρίµηνο µπορεί να θεωρηθεί βραχυπρόθεσµη ενώ η πρόβλεψη της τιµής του νικελίου, στη διεθνή αγορά, σε µια τριετία από τώρα µπορεί να θεωρηθεί ως µακροπρόθεσµη. Αρχές της Πρόβλεψης 1. Καµία πρόβλεψη δεν είναι τέλεια: καθώς περιλαµβάνει το στοιχείο της αβεβαιότητας, η πρόβλεψη θα περιέχει κάποιο σφάλµα (δηλ, τη διαφορά µεταξύ της πρόβλεψης και της πραγµατικότητας). Με βάση αυτό, στόχος της διαδικασίας πρόβλεψης είναι η ελαχιστοποίηση του σφάλµατος για την όσο το δυνατόν ακριβέστερη προσέγγιση της πραγµατικότητας. 2. Μια πρόβλεψη είναι περισσότερο ακριβής για οµάδες στοιχείων παρά για µεµονωµένα στοιχεία: π.χ. η πρόβλεψη της συνολικής ζήτησης για βιοµηχανικά ορυκτά (καολίνης, µπεντονίτης, περλίτης κτλ) για το επόµενο έτος θα είναι ακριβέστερη από την ζήτηση για ένα συγκεκριµένο ορυκτό (π.χ. του περλίτη) και η τελευταία θα είναι µε τη σειρά της ακριβέστερη από την πρόβλεψη της ζήτησης για ένα ορυκτό µε ορισµένη ποιότητα (π.χ. περλίτης συγκεκριµένης κοκκοµετρίας). Αυτό συµβαίνει γιατί οι µέγιστες και ελάχιστες τιµές των διαφόρων στοιχείων (π.χ. ορυκτών) αλληλοεξουδετερώνονται µε αποτέλεσµα η οµάδα το στοιχείων να έχει σταθερή συµπεριφορά ακόµα και αν τα µεµονωµένα στοιχεία συµπεριφέρονται µε ασταθή τρόπο. 3. Η πρόβλεψη είναι περισσότερο ακριβής όταν είναι βραχυπρόθεσµη παρά όταν είναι µακροπρόθεσµη: όσο κοντινότερος είναι ο χρονικός ορίζοντας της πρόγνωσης τόσο µικρότερος είναι ο βαθµός αβεβαιότητας και άρα τόσο µικρότερο το σφάλµα που θα περιέχει. Ένα κλασσικό παράδειγµα αφορά στην πρόβλεψη του καιρού: ένα µετεωρολογικό δελτίο για τις επόµενες δύο ή τρεις µέρες είναι πάρα πολύ πιθανό να είναι βγει αληθινό. Αντίθετα, η πρόγνωση για τον καιρό του επόµενου µήνα έχει µεγάλες πιθανότητες να αποδειχτεί λανθασµένη. 2

II. Τύποι Μεθόδων Πρόβλεψης Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες µεθόδων πρόβλεψης: Ποιοτική πρόβλεψη (qualitative ή judgmental forecasting): Στην κατηγορία αυτή περιλαµβάνονται µέθοδοι στις οποίες η πρόβλεψη γίνεται από έναν ή περισσότερους ειδικούς µε βάση την γνώση, την εµπειρία και το ένστικτο τους. Αυτού του είδους η πρόβλεψη είναι υποκειµενική και περιλαµβάνει το στοιχείο της προκατάληψης (bias). Ποσοτική πρόβλεψη (quantitative forecasting): Οι µέθοδοι αυτές βασίζονται στη µαθηµατική µοντελοποίηση και άρα είναι αντικειµενικές και επαναλήψιµες (δηλ, παράγουν το ίδιο αποτέλεσµα κάθε φορά που εισάγουµε τα ίδια δεδοµένα). Οι ποσοτικές µέθοδοι απαιτούν µια σειρά από αριθµητικά δεδοµένα που όµως δεν είναι πάντα διαθέσιµα ή αξιόπιστα. Οι ποσοτικές µέθοδοι µπορούν να διακριθούν σε αυτές που βασίζονται σε µοντέλα χρονοσειρών (time series models) και σε αυτές που βασίζονται σε αιτιακά µοντέλα (causal models). Τα πρώτα προϋποθέτουν ότι η απαραίτητη πληροφορία για την πρόβλεψη περιέχεται στη χρονοσειρά των στοιχείων. Χρονοσειρά είναι µια σειρά παρατηρήσεων που λαµβάνονται σε κανονικά διαστήµατα µέσα σε ένα καθορισµένο χρονικό διάστηµα. Για παράδειγµα, αν καταγράφουµε τις µηνιαίες τιµές του χρυσού στο χρηµατιστήριο µετάλλων του Λονδίνου για χρονικό διάστηµα 5 ετών, τότε έχουµε στη διάθεσή µας µια χρονοσειρά των µηνιαίων τιµών του χρυσού. Η ανάλυση χρονοσειράς κάνει την υπόθεση ότι µπορεί να γίνει πρόβλεψη µε βάση τα µοτίβα (patterns) των διαθέσιµων δεδοµένων. Έτσι, η ανάλυση αυτή αναζητάει τάσεις, κυκλικότητα, περιοδικότητα κτλ στα δεδοµένα προκειµένου να δηµιουργήσει ένα µοντέλο πρόβλεψης. Τα αιτιακά µοντέλα χρησιµοποιούν µια αρκετά διαφορετική προσέγγιση για την δηµιουργία πρόβλεψης: θεωρούν ότι η µεταβλητή για την οποία θέλουµε να κάνουµε πρόβλεψη είναι εξαρτηµένη µε κάποιο τρόπο από µία ή περισσότερες παραµέτρους. Η δυσκολία έγκειται στην εύρεση της µαθηµατικής σχέσης µε την οποία επηρεάζεται η ζητούµενη µεταβλητή από τις παραµέτρους αυτές. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε ότι η ζήτηση για σίδηρο οπλισµού εξαρτάται: α) από τη χρηµατική αξία των συµβάσεων για δηµόσια έργα που υπογράφονται µεταξύ του ΥΠΕΧΩ Ε και των κατασκευαστικών εταιρειών και β) από τον αριθµό των οικοδοµικών αδειών που εκδίδονται από τις πολεοδοµίες της χώρας, τότε αν βρούµε τη µαθηµατική τους σχέση µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα µαθηµατικό µοντέλο πρόβλεψης για την ζήτηση σε σίδηρο οπλισµού. Είναι προφανές ότι τα αιτιακά µοντέλα µπορεί να είναι πολύ περίπλοκα, ειδικά στην περίπτωση που λαµβάνονται υπ όψιν πολλές παράµετροι. 3

III. Ποιοτικές Μέθοδοι Πάνελ Η µέθοδος αυτή βασίζεται στο γεγονός ότι µια πολυπληθής οµάδα ανθρώπων από διαφορετικές θέσεις µπορεί να κάνει µια πιο αξιόπιστη πρόβλεψη απ ότι ένας µεµονωµένος ή λίγοι άνθρωποι. Έτσι, διοργανώνονται ανοιχτές συναντήσεις µε ελεύθερη ανταλλαγή απόψεων µεταξύ ανθρώπων από όλο το φάσµα των θέσεων ενός οργανισµού. Ένα µειονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ότι η άποψη των υφιστάµενων «σκεδάζεται» ή υποβαθµίζεται από την άποψη των ανώτερων στην ιεραρχία. Αυτό το µειονέκτηµα προσπαθεί να διορθώσει η µέθοδος Delphi. Μέθοδος Delphi Η µέθοδος αυτή είναι µια τεχνική πρόβλεψης, στόχος της οποίας είναι η προσέγγιση µιας συµφωνίας µεταξύ µιας οµάδας ειδικών, διατηρώντας την ανωνυµία τους. Η ιδέα πίσω από αυτήν είναι ότι ενώ οι ειδικοί δεν θα συµφωνήσουν σε όλα τα ζητήµατα, εντούτοις σε ότι συµφωνήσουν αυτά κατά πάσα πιθανότητα θα συµβούν. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή: 1. γίνεται επιλογή των συµµετεχόντων, συνήθως ειδικών από διαφορετικές θέσεις ή επιστηµονικά υπόβαθρα, 2. µέσω ενός ερωτηµατολογίου συλλέγονται οι απόψεις όλων (χωρίς ο ένας να δει ή να γνωρίζει τους υπόλοιπους συµµετέχοντες), 3. οι απαντήσεις όλων ταξινοµούνται και επανατροφοδοτούνται (feedback) στους συµµετέχοντες µαζί µε ένα καινούργιο ερωτηµατολόγιο, 4. το βήµα 3 επαναλαµβάνεται όσες φορές κρίνεται απαραίτητο προκειµένου να επιτευχθεί µια συµφωνία µεταξύ των συµµετεχόντων. Συνήθως 3 ή 4 «γύροι» είναι αρκετοί. Λόγω της ανωνυµίας του καθενός και της ίδιας βαρύτητας όλων των απόψεων, µε τη µέθοδο Delphi αποφεύγεται το µειονέκτηµα της πρώτης µεθόδου (πάνελ). Από την άλλη, η µέθοδος είναι σχετικά χρονοβόρα. Έρευνα αγοράς Αποτελεί µια προσέγγιση που χρησιµοποιεί ερωτηµατολόγια και συνεντεύξεις για τον καθορισµό των αναγκών, των προτιµήσεων, των επιλογών κτλ, µιας οµάδας στόχου (π.χ. των καταναλωτών). Η µέθοδος χρησιµοποιείται ευρέως για την βελτίωση και την δηµιουργία καινούργιων προϊόντων. Σηµαντικό στοιχείο για την επιτυχία της µεθόδου είναι ο σχεδιασµός των ερωτηµατολογίων (ή των συνεντεύξεων). 4

IV. Ποσοτικές Μέθοδοι Ανάλυση Χρονοσειράς Για την ανάλυση χρονοσειράς εντοπίζουµε τα µοτίβα των διαθέσιµων δεδοµένων (δηλ, της χρονοσειράς) προκειµένου να καταλάβουµε τον τρόπο µε τον οποίο συµπεριφέρονται. Ακριβώς σε αυτή τη συµπεριφορά βασίζεται η πρόβλεψη. Αυτά τα µοτίβα µπορεί να είναι: 1. επίπεδο (level): ένα τέτοιο µοτίβο υπάρχει όταν τα δεδοµένα κυµαίνονται γύρω από µία µέση τιµή. 2. τάση (trend): είναι η σταδιακή ανοδική ή πτωτική κίνηση των δεδοµένων στο χρόνο. Η κίνηση αυτή µπορεί να είναι γραµµική, εκθετική κτλ. 5

3. εποχικότητα (seasonality): είναι η κανονικά επαναλαµβανόµενη κίνηση των δεδοµένων µέσα σε σχετικά µικρό χρονικό διάστηµα (συνήθως µέσα σε ένα χρόνο). Τέτοιο µοτίβο µπορεί να παρουσιάζουν οι µεταβλητές που επηρεάζονται από εποχικούς παράγοντες: π.χ. οι πωλήσεις παγωτών αυξάνουν κατά τους ζεστούς µήνες και µειώνονται κατά τους κρύους. 4. κυκλικότητα (cycle): είναι (όπως και η εποχικότητα) η επαναλαµβανόµενη αυξοµείωση των δεδοµένων, µε µεγαλύτερο όµως χρονικό ορίζοντα (5-10 χρόνια), και είναι συνήθως συνδεδεµένη µε τις διακυµάνσεις στο επίπεδο της συνολικής οικονοµίας (γνωστές ως περίοδοι οικονοµικής ύφεσης και οικονοµικής ανάπτυξης). 5. τυχαιότητα (randomness): είναι η κίνηση των δεδοµένων που δεν παρουσιάζει καµία κανονικότητα. 6

Αν εξετάσουµε µια οποιαδήποτε χρονοσειρά, διαπιστώνουµε ότι αποτελεί συνδυασµό ενός ή περισσότερων από τα παραπάνω στοιχεία. Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται µια χρονοσειρά µε εµφανή την ύπαρξη αυξητικής τάσης και, ταυτόχρονα, εποχικότητας. γραµµική αυξητική τάση εποχικότητα Στην ανάλυση χρονοσειράς χρησιµοποιούνται, κατά περίπτωση, διάφορες τεχνικές. Ορισµένες από τις πιο απλές είναι οι ακόλουθες. Απλός Μέσος Όρος (simple mean) Όταν υποπτευόµαστε ότι η µεταβλητή που θέλουµε να προβλέψουµε παρουσιάζει επίπεδο µοτίβο, τότε η µέθοδος αυτή µπορεί να µας δώσει µια καλή εκτίµηση της µεταβλητής. Η πρόβλεψη γίνεται µε τον υπολογισµό της µέσης τιµής των δεδοµένων: Ati F t + 1= n (σχέση 1) Όπου F t+1 η πρόβλεψη για το επόµενο χρονικό διάστηµα, A ti οι διαθέσιµες τιµές της µεταβλητής και n το πλήθος των διαθέσιµων τιµών της µεταβλητής. Παράδειγµα 1 Ένα λατοµείο θέλει να προβλέψει τις πωλήσεις του για το επόµενο δίµηνο έχοντας στη διάθεσή του τις πραγµατοποιηθείσες (δηλ, τις πραγµατικές) πωλήσεις για τα προηγούµενα πέντε δίµηνα. ίµηνο Πραγµατικές πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Πρόβλεψη για επόµενο δίµηνο (σε χιλιάδες τόνους) 1 o Γενάρης-Φλεβάρης 2004 51 2 o Μάρτης-Απρίλης 2004 53 3 o Μάης-Ιούνιος 2004 48 4 o Ιούλιος-Αύγουστος 2004 52 5 o Σεπτέµβρης-Οκτώβρης 2004 50 6 o Νοέµβρης- εκέµβρης 2004 ; 50,8 7

Η λύση, µε βάση τη σχέση 1, έχει ως εξής: F 6 ου = (Α 1 ου +Α 2 ου +Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου )/5 = (51+53+48+52+50)/5 = 254/5 F 6 ου = 50,8 χιλιάδες τόνοι Όταν παρέλθει το 6 ο δίµηνο και µάθουµε τις πραγµατικές πωλήσεις γι αυτό (έστω ότι ήταν 49 χιλ. τόνοι), επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία για την πρόβλεψη του 7 ου δίµηνου αυτή τη φορά µε n=6: F 7 ου = (Α 1 ου +Α 2 ου +Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου +Α 6 ου )/6 = (51+53+48+52+50+49)/6 = 303/6 F 7 ου = 50,5 χιλιάδες τόνοι Απλός Κινούµενος Μέσος Όρος (simple moving average) Είναι όµοια µέθοδος µε την προηγούµενη µε τη διαφορά ότι δεν βρίσκουµε το µέσο όρο όλων των διαθέσιµων στοιχείων, αλλά λαµβάνουµε υπ όψιν µόνο τα στοιχεία των n πιο πρόσφατων περιόδων. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι για την πρόβλεψη δίνουµε βαρύτητα µόνο στα n πιο πρόσφατα δεδοµένα και συνεπώς είναι κρίσιµη η επιλογή του n. Όπως και στον απλό µέσο όρο, έτσι και εδώ, η πρόβλεψη είναι καλή µόνο όταν έχουµε επίπεδο µοτίβο στα δεδοµένα. F t + 1= A + At 1 + At 2 +... At n + n t + 1 (σχέση 2) Όπου στην περίπτωση αυτή: A t, A t-1,, A t-n+1 είναι τα πιο πρόσφατα στοιχεία και n το πλήθος των πιο πρόσφατων περιόδων. Παράδειγµα 2 Αν θέλουµε να υπολογίσουµε τον απλό κινούµενο µέσο όρο τριών περιόδων (δηλ, επιλέγουµε n=3) για τα δεδοµένα του παραδείγµατος 1, θα λάβουµε υπ όψιν µόνο τις πωλήσεις των τριών τελευταίων διµήνων (δηλ, του 3 ου, 4 ου και 5 ου ). Άρα: F 6 ου = (Α 3 ου +Α 4 ου +Α 5 ου )/3 = (48+52+50)/3 = 150/3 F 6 ου = 50 χιλιάδες τόνοι, για n=3 (βλέπε σηµείωση) Κάθε φορά που παίρνουµε καινούργια δεδοµένα (π.χ. αν οι πωλήσεις για το 6 ο δίµηνο ήταν 49 χιλ. τόνοι) λαµβάνουµε πλέον αυτά υπ όψιν και δεν συνυπολογίζουµε την Είναι προφανές ότι αν επιθυµούµε την πρόβλεψη για τέσσερις περιόδους (άρα n=4) θα έχουµε: F ου 6 = (Α ου 2 +Α ου 3 +Α ου 4 +Α ου 5 )/4 = (53+48+52+50)/4 = 203/4 F ου 6 = 50,75 χιλιάδες τόνοι, για n=4 8

παλαιότερη περίοδο. Έτσι, όταν γίνουν διαθέσιµα τα πραγµατικά στοιχεία για το 6 ο δίµηνο, τότε (πάντα για n=3) θα χρησιµοποιήσουµε τα στοιχεία του 4 ου, 5 ου και 6 ου διµήνου, µη λαµβάνοντας πλέον υπ όψιν το 3 ο κ.ο.κ. Για το λόγο αυτό άλλωστε λέµε ότι ο µέσος όρος είναι «κινούµενος». F 7 ου = (Α 4 ου +Α 5 ου +Α 6 ου )/3 = (52+50+49)/3 = 151/3 = 50,3 χιλ. τόνοι. Οµοίως αν η πραγµατικές πωλήσεις για το 7 ο δίµηνο ήταν 51 χιλ. τόνοι, τότε αντίστοιχα για το 8 ο η πρόβλεψη θα είναι: F 8 ου = (Α 5 ου +Α 6 ου +Α 7 ου )/3 = (50+49+51)/3 = 150/3 = 50 χιλ. τόνοι. Το 2 ο παράδειγµα συνοψίζεται στον παρακάτω πίνακα και το διάγραµµα: ίµηνο Πραγµατικές πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Πρόβλεψη (σε χιλιάδες τόνους) 1 o Γενάρης-Φλεβάρης 2004 51 2 o Μάρτης-Απρίλης 2004 53 3 o Μάης-Ιούνιος 2004 48 4 o Ιούλιος-Αύγουστος 2004 52 5 o Σεπτέµβρης-Οκτώβρης 2004 50 6 o Νοέµβρης- εκέµβρης 2004 49 50 7 ο Γενάρης-Φλεβάρης 2005 51 50,3 8 ο Μάρτης-Απρίλης 2005 50 60 55 πωλήσεις 50 45 40 1 2 3 4 5 6 7 8 δίµηνο πρόβλεψη µε κιν. µ.ο. τριών περιόδων 9

Εκθετική Εξοµάλυνση Μια άλλη τεχνική για δεδοµένα µε επίπεδο µοτίβο είναι η εκθετική εξοµάλυνση. Το πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ότι απαιτεί ελάχιστα στοιχεία για τον υπολογισµό της πρόβλεψης. Χρειαζόµαστε: 1. την πρόβλεψη της προηγούµενης περιόδου, 2. την πραγµατική τιµή της προηγούµενης περιόδου και 3. την τιµή της σταθεράς εξοµάλυνσης α (0 α 1). Η εξίσωση υπολογισµού είναι: Πρόβλεψη επόµενης περιόδου = α(πραγµατική τιµή προηγούµενης) + + (1-α)(πρόβλεψη προηγούµενης) Ή µε µαθηµατικούς όρους: F t+1 = αa t + (1-α)F t (σχέση 3) Από την σχέση 3 φαίνεται ότι η σταθερά α είναι ένα µέτρο της βαρύτητας της πιο πρόσφατης πραγµατικής τιµής σε σχέση µε την πιο πρόσφατη πρόβλεψη. Όσο πιο µεγάλο το α, τόσο µεγαλύτερη βαρύτητα θα έχει η πραγµατική τιµή (A t ) και τόσο µικρότερη η προηγούµενη πρόβλεψη (F t ). Η τιµή του α καθορίζεται τόσο από την εµπειρία αυτού που κάνει την πρόβλεψη όσο και από τα χαρακτηριστικά του µεγέθους που θέλουµε να προβλέψουµε: αν εκτιµούµε ότι το µέγεθος έχει σχετική σταθερότητα στο χρόνο τότε θα δώσουµε στο α µικρή τιµή ( 0.05-0.2), αν αντίθετα περιµένουµε έντονες µεταβολές τότε τα α θα πάρει µεγαλύτερες τιµές. Όλη η δυσκολία της µεθόδου, λοιπόν, έγκειται στην επιλογή της καταλληλότερης, κάθε φορά, τιµής του α προκειµένου να έχουµε µια ακριβή πρόβλεψη. Τα κυριότερα πλεονεκτήµατα της µεθόδου που την κάνουν ευρέως χρησιµοποιούµενη είναι: 1. η µεγάλη ακρίβεια πρόβλεψης, 2. η ευκολία υπολογισµού, 3. η απαίτηση ελάχιστων δεδοµένων για τον υπολογισµό. Παράδειγµα 3 Ένα λατοµείο χρησιµοποιεί την µέθοδο του κινητού µέσου όρου µε τέσσερις περιόδους για να προβλέψει το κόστος µεταφοράς του επόµενου µήνα. Όµως, λόγω της µεγάλης αύξησης τον τελευταίο καιρό, διαπιστώνει ότι η εκτιµήσεις του δεν έχουν µεγάλη ακρίβεια, όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα. Έτσι, αποφασίζει να δώσει µεγαλύτερη βαρύτητα στα δεδοµένα του τελευταίου µήνα και προτιµά τη µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης. Με βάση την εµπειρία του, ο υπεύθυνος του λατοµείου αποφασίζει να επιλέξει α = 0,85. 10

Μήνας Κόστος µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη κόστους µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Γενάρης 0,18 Φλεβάρης 0,19 Μάρτης 0,18 Απρίλης 0,19 Μάης 0,21 0,185 Ιούνιος 0,23 0,193 * Ιούλιος 0,24 0,203 * Αύγουστος ; Για να βρούµε την πρόβλεψη για τον Αύγουστο µε χρήση εκθετικής εξοµάλυνσης θα χρησιµοποιήσουµε τη σχέση 3, µε α = 0,85: F Αύγουστος = 0,85Α Ιουλίου + (1-0,85)F Ιουλίου F Αύγουστος = 0,85(0,24) + (1-0,85)0,203 [κάνουµε χρήση της πρόβλεψης του κινούµενου µ.ο.] F Αύγουστος = 0,235 /τονοχιλίοµετρο Κατά την πρώτη εφαρµογή της εκθετικής εξοµάλυνσης και επειδή µπορεί να µην έχουµε ακόµα στη διάθεσή µας καµία πρόβλεψη για την προηγούµενη περίοδο, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µια πρόβλεψη από άλλες απλούστερες µεθόδους όπως του απλού µ.ο. ή του κινούµενου µ.ο. Ακριβώς αυτό κάναµε και στο παραπάνω παράδειγµα χρησιµοποιώντας ως F Ιουλίου την πρόβλεψη που είχαµε κάνει µε τη µέθοδο του κινούµενου µ.ο. Με την πάροδο του Αυγούστου, το πραγµατικό κόστος για το µήνα αυτό αποδείχτηκε ότι ήταν 0,25. Αν το λατοµείο εξακολουθούσε να χρησιµοποιεί τη µέθοδο του κινητού µέσου όρου τεσσάρων περιόδων, η πρόβλεψη για τον Αύγουστο θα ήταν 0,218. Είναι φανερό ότι η εκτίµηση µε την µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης ήταν στη συγκεκριµένη περίπτωση πολύ πιο κοντά στην πραγµατικότητα από τη µέθοδο του κινούµενο µέσου όρου. Τι θα γινόταν όµως αν είχε επιλεγεί α = 0,1; Τότε, θα είχαµε: F Αύγουστος = 0,1Α Ιουλίου + (1-0,1)F Ιουλίου F Αύγουστος = 0,1(0,24) + (1-0,1). 0,203 F Αύγουστος = 0,207 /τονοχιλίοµετρο ηλαδή, για α = 0,1 η εκτίµηση µε εκθετική εξοµάλυνση ( 0,207) θα ήταν χειρότερη από αυτή µε κινούµενο µ.ο. τεσσάρων περιόδων ( 0,218). Αυτό το παράδειγµα κάνει σαφές ότι η επιλογή του α είναι µια κρίσιµη υποκειµενική διαδικασία που απαιτεί µεγάλη εµπειρία. πρόβλεψη µε χρήση κινητού µέσου όρου τεσσάρων περιόδων 11

Τα συγκριτικά αποτελέσµατα για το παραπάνω παράδειγµα φαίνονται στον πίνακα: Μήνας Κόστος µεταφοράς ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη µε εκθετική εξοµάλυνση ( /τονοχιλιόµετρο) Πρόβλεψη µε κινούµενο µ.ο. 4 περιόδων ( /τονοχιλιόµετρο) α = 0,85 α = 0,1 Γενάρης 0,18 Φλεβάρης 0,19 Μάρτης 0,18 Απρίλης 0,19 Μάης 0,21 0,185 Ιούνιος 0,23 0,193 Ιούλιος 0,24 0,203 Αύγουστος 0,25 0,235 0,207 0,218 Παρατηρούµε ότι στο παραπάνω παράδειγµα τόσο οι προβλέψεις µε εκθετική εξοµάλυνση όσο, ακόµα περισσότερο, µε κινούµενο µ.ο. «υστερούν» των πραγµατικών τιµών. Αυτό συµβαίνει γιατί οι µέθοδοι αυτές είναι κατάλληλες για χρονοσειρές µε επίπεδο µοτίβο. Στην περίπτωση, όπως εδώ, που υπάρχει τάση (στην περίπτωσή µας αυξητική) τότε πρέπει να κάνουµε χρήση άλλων µεθόδων. Μια τέτοια µέθοδος, για γραµµική τάση, περιγράφεται στην παράγραφο: «χρήση γραµµικής παλινδρόµησης για ανάλυση χρονοσειράς». Στην περίπτωση ύπαρξης άλλων µοτίβων (εποχικότητα, κυκλικότητα, µη γραµµική τάση κτλ) χρησιµοποιούνται µέθοδοι που όµως δεν θα εξετάσουµε στα πλαίσια αυτών των σηµειώσεων. 12

V. Αιτιακά Μοντέλα Όπως ειπώθηκε, τα µοντέλα αυτά θεωρούν ότι η µεταβλητή που µας ενδιαφέρει να προβλέψουµε (εξαρτηµένη µεταβλητή) είναι συνάρτηση µίας ή περισσότερων άλλων µεταβλητών (ανεξάρτητες µεταβλητές). Η απλούστερη µορφή τέτοιου µοντέλου είναι η απλή γραµµική παλινδρόµηση (linear regression). Γραµµική Παλινδρόµηση Σε αυτήν η σχέση µεταξύ εξαρτηµένης και ανεξάρτητης µεταβλητής είναι γραµµική και µπορεί να παραστεί από τη σχέση: y = a + bx (σχέση 4) Όπου: y η εξαρτηµένη µεταβλητή (το µέγεθος που θέλουµε να προβλέψουµε), x η ανεξάρτητη µεταβλητή (της οποίας τα δεδοµένα γνωρίζουµε), a και b σταθερές της εξίσωσης που πρέπει να υπολογιστούν. Ο υπολογισµός των a και b γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Τα τέσσερα βήµατα για τον υπολογισµό της πρόβλεψης είναι τα εξής: Βήµα 1 ο : υπολογίζουµε το b από τη σχέση: b = ( xy) nx y ( x 2 ) nx 2 (σχέση 5) Βήµα 2 ο : υπολογίζουµε το a από τη σχέση: a = y bx (σχέση 6) Βήµα 3 ο : υποκαθιστούµε τα a και b που υπολογίσαµε, στη σχέση 4 Βήµα 4 ο : κάνουµε χρήση της εξίσωσης που κατασκευάσαµε για να βρούµε την πρόβλεψη για το y. Στις παραπάνω σχέσεις είναι: x η µέση τιµή των x, y η µέση τιµή των y. Παράδειγµα 4 Μια ιαπωνική χαλυβουργία καταγράφει τη σχέση µεταξύ των εγχώριων πωλήσεών της σε πλατέα προϊόντα (ρόλλους και ελάσµατα χάλυβα) και της ολικής 13

χωρητικότητας των πλοίων που βρίσκονται στο στάδιο του σχεδιασµού στα ιαπωνικά ναυπηγεία. Τα στοιχεία για τα προηγούµενα τέσσερα χρόνια φαίνονται στον πίνακα: Πωλήσεις (σε χιλιάδες τόνους) Ολική χωρητικότητα (σε εκατ. κ.ο.χ. ) 130 48 151 52 150 50 158 55 Η χαλυβουργία θέλει να χρησιµοποιήσει γραµµική παλινδρόµηση για να κάνει εκτίµηση των πωλήσεών της αν το επίπεδο της ναυπήγησης νέων πλοίων πέσει στους 53 εκατοµµύρια κ.ο.χ. Στην περίπτωση αυτή υποθέτουµε ότι υπάρχει γραµµική σχέση µε εξαρτηµένη µεταβλητή (y) τις πωλήσεις και ανεξάρτητη (x) τη χωρητικότητα. Για τον υπολογισµό της εξίσωσης της γραµµικής παλινδρόµησης κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα: x y xy x 2 48 130 6.240 2.304 52 151 7.852 2.704 50 150 7.500 2.500 55 158 8.690 3.025 Σύνολα 205 589 30.282 10.533 Υπολογίζουµε και τις µέσες τιµές x και y : x = xi = 205/4 = 51,25 και y = n yi = 589/4 = 147,25 n Τώρα ακολουθούµε τα τέσσερα βήµατα: ( 1. b = ( xy) nx y x 2 ) nx 2 = [30.282-4(51,25)(147,25)]/[10.533 4(51,25) 2 ] = =(95,75)/(26,75) = 3,6 2. a = y bx = 147,25 (3,6)(51,25) = -37,25 3. y = a + bx y = -37,25 + 3,6x 4. Για να βρούµε την πρόβλεψη πωλήσεων για χωρητικότητα 53 εκατοµµύρια κ.ο.χ. αντικαθιστούµε στην εξίσωση που υπολογίσαµε, όπου x = 53: y = -37,25 + 3,6 (53) = 153,55 χιλιάδες τόνοι ή 153.550 τόνοι κ.ο.χ. = κόροι ολικής χωρητικότητας 14

Χρήση της γραµµικής παλινδρόµησης στην ανάλυση χρονοσειράς Όταν σε µια χρονοσειρά υπάρχει µια γραµµική τάση (ανοδική ή καθοδική), τότε µπορούµε να κάνουµε χρήση της γραµµικής παλινδρόµησης για να ποσοτικοποιήσουµε την τάση αυτή και να τη χρησιµοποιήσουµε για την πρόβλεψη. Αυτό µπορεί να γίνει θεωρώντας ως ανεξάρτητη µεταβλητή (x) τον χρόνο. Παράδειγµα 5 Η ετήσια ζήτηση για παλαιοσίδηρο (scrap) τα τελευταία τέσσερα χρόνια φαίνεται στον πίνακα: Έτος Ζήτηση scrap (χιλιάδες τόνοι) 1 2.300 2 2.400 3 2.300 4 2.500 Θα χρησιµοποιήσουµε γραµµική παλινδρόµηση για να προβλέψουµε τη ζήτηση για το 2005. Όπως και πρoηγούµενα, φτιάχνουµε τον ακόλουθο πίνακα: Έτος Ζήτηση x y xy x 2 1 2.300 2.300 1 2 2.400 4.800 4 3 2.300 6.900 9 4 2.500 10.000 16 Σύνολα 10 9.500 24.000 30 x = 2.5 και y = 2.375 ( 1. b = ( xy) nx y x 2 ) nx 2 = [24.000 4(2,5)(2.375)]/[30 4(2,5) 2 ] = 250/5 = 50 2. a = y bx = 2.375 (50)(2,5) = 2.250 3. y = a + bx = 2.250 + 50x 4. Για τον πέµπτο χρόνο (x = 5) η ζήτηση θα είναι: y = 2.250 + 50(5) = 2.500 χιλιάδες τόνοι. 15

VI. Ακρίβεια Πρόβλεψης Σφάλµα Πρόβλεψης Είναι η διαφορά µεταξύ πρόβλεψης και πραγµατικής τιµής για µια δεδοµένη περίοδο: Όπου: E t το σφάλµα για την περίοδο t, A t η πραγµατική τιµή για την περίοδο t, F t η πρόβλεψη για την περίοδο t. MAD και MSE E t = A t - F t (σχέση 7) Για να έχουµε µια πληρέστερη εικόνα του σφάλµατος σε βάθος χρόνου χρησιµοποιούµε τα µεγέθη της Μέσης Απόλυτης Απόκλισης (mean absolute deviation, MAD) ή/και του Μέσου Τετραγωνισµένου Σφάλµατος (mean squared error, MSE). Όσο µικρότερη είναι η τιµή των µεγεθών αυτόν, τόσο µεγαλύτερη η ακρίβεια. Με τα µεγέθη αυτά µπορούµε να ελέγξουµε την ακρίβεια των µεθόδων πρόβλεψης και να επιλέξουµε τη βελτιστότερη. MAD = MSE = E t (σχέση 8) n 2 E t (σχέση 9) n 1 Όπου: E t το σφάλµα για την περίοδο t, n το πλήθος των περιόδων που χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό. Παράδειγµα 6 Ο µηχανικός ασφαλείας ενός εργοστάσιου θέλει να συγκρίνει την ακρίβεια δύο µεθόδων (Α και Β) που χρησιµοποίησε για την πρόβλεψη του αριθµού ελαφρών τραυµατισµών του προσωπικού κατά τα πέντε προηγούµενα δίµηνα (άρα n = 5). Τα στοιχεία φαίνονται στον πίνακα: 16

ίµηνο Τραυµατισµοί Μέθοδος Α Μέθοδος Β (πλήθος) Πρόβλεψη Σφάλµα Et 2 E t Πρόβλεψη Σφάλµα Et 2 E t A t F t E t (A t -F t ) F t E t (A t -F t ) 1 ο 30 28 2 2 4 30 0 0 0 2 ο 26 25 1 1 1 28-2 2 4 3 ο 32 32 0 0 0 36-4 4 16 4 ο 29 30-1 1 1 30-1 1 1 5 ο 31 30 1 1 1 28 3 3 9 Σύνολα 3 5 7-4 10 30 Ακρίβεια για τη µέθοδο Α: MAD = MSE = E t = 5/5 = 1 n 2 E t = 7/4 = 1,75 n 1 Ακρίβεια για τη µέθοδο Β: MAD = MSE = E t = 10/5 = 2 n 2 E t = 30/4 = 7,5 n 1 Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της µεθόδου Α είναι καλύτερη τόσο µε τη µορφή του MAD όσο και του MSE αφού έχουν και τα δύο µικρότερη τιµή από τα αντίστοιχα της µεθόδου Β. 17

VII. Βιβλιογραφία Chase, R., Aquilano, N., Jacobs, R. (1998). Production and Operations Management: Manufacturing and Services, 8 th edition, Irwin McGraw-Hill. Heizer, J., Render, B. (1991). Production and Operations Management, 2 nd edition, Allyn & Bacon publishers. Reid, D, Sanders, N. (2002). Operations Management, 1 st edition, John Wiley & Sons.! Τα δύο πρώτα βιβλία, καθώς και πολλά άλλα βιβλία σχετικά µε την επιστήµη της πρόβλεψης και εν γένει το operations management είναι διαθέσιµα από την Κεντρική Βιβλιοθήκη του Ε.Μ.Π. 18