ΓΦΑΡΜΟΓΓ ΣΟΤ ΔΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Γ ΓΓΩΜΓΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ

ΓΦΑΡΜΟΓΓ ΣΟΤ ΔΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Γ ΓΓΩΜΓΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Γιζήηζη Νικ. Ιωζηθίδη ζηημ η Μθημηική Γβδομάδ Πρζκευή 7 Μρηίου 008 Ξεμοδοχείο Porto Palace, Θεζζλομίκη

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΗΑΝΤΜΑΣΗΚΟΤ ΛΟΓΗΜΟΤ Δ ΓΔΧΜΔΣΡΗΚΑ ΠΡΟΒΛΖΜΑΣΑ Νίθνο Ησζεθίδεο, Μζεκηηθόο ΒΔΡΟΗΑ e-mail: iossifid@yahoo.gr ΠΔΡΗΛΖΦΖ ην άξζξν πηό πξνπζηάδνληη λένη ηξόπνη εθξκνήο ηνπ δηλπζκηηθνύ ινηζκνύ ζηελ πόδεημε εσκεηξηθώλ πξνηάζεσλ. Απνηειείηη πό κέξε: Σν ν κέξνο ζρνιείηη κε ηελ εύξεζε πνζηάζεσλ δηθόξσλ ρξθηεξηζηηθώλ ζεκείσλ ελόο ηξηώλνπ, πόδεημε ληζνηήησλ ζη ηξίσλ, πόδεημε θζεηόηεηο, πξιιειίο, πνδείμεηο ζπλεπζεηθώλ ζεκείσλ θ.ι.π. Σν ν κέξνο ζρνιείηη κε ηελ εύξεζε εκβδώλ ηξηώλσλ πνπ έρνπλ θνξπθέο ρξθηεξηζηηθά ζεκεί ελόο ηξηώλνπ. Σν ν κέξνο ζρνιείηη κε ηελ εύξεζε όθσλ ηεηξέδξσλ. Ζ εξζί εθπνλήζεθε ην 969. Κάπνη κέξε ηεο δεκνζηεύζεθλ ζην ΠΑΡΑΡΣΖΜΑ ΣΟΤ ΓΔΛΣΗΟΤ ΣΖ ΔΜΔ η έηε 970-97. θνπόο ηνπ άξζξνπ πηνύ είλη λ εμιείςεη ηηο δπλκίεο ηεο Δπθιείδεηο Γεσκεηξίο ζηελ επίιπζε δηθόξσλ πξνβιεκάησλ όπσο είλη: ) Ζ κε εληθή κέζνδνο, ιιά ν μερσξηζηόο ζε θάζε πεξίπησζε ηξόπνο εξζίο. β) Ο δηθνξεηηθόο ηξόπνο πόδεημεο η ην ίδην πξόβιεκ πνπ εμξηηέηη πό ην εθάζηνηε ζρήκ, π.ρ νμπώλην κβιπώλην ηξίσλν ή ζεκείν εληόο εθηόο ηξηώλνπ θ.ι.π. ) Σν πνιύπινθν πνιιέο θνξέο ζρήκ πνπ θάλεη ηηο πνδείμεηο δπζθνιόηεξεο. δ) Ζ πξλόεζε ή πξπιάλεζε εμηηίο ελόο κε θξηβνύο ζρήκηνο. ε) Ζ δπζθνιί θηλόεζεο ελόο πνιύπινθνπ ζρήκηνο ζην ρώξν. (ην άξζξν πηό δελ ζ επεθηζνύκε ζε πξνβιήκη ζην ρώξν, όκσο ν ηξόπνο εξζίο πνπ εθηίζεηη εδώ κπνξεί λ εθξκνζηεί θη ζε πξνβιήκη ηνπ ρώξνπ ρσξίο νπζηζηηθέο ιιέο). ει.

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 είλη: Σ πιενλεθηήκη ηνπ άξζξνπ πηνύ ζηελ επίιπζε εσκεηξηθώλ πξνβιεκάησλ ) Ζ κε ρξήζε εσκεηξηθώλ ζεσξεκάησλ (πιελ ειρίζησλ ζηελ ξρή κόλν ηνπ άξζξνπ). β) Ζ λεμξηεζί ησλ πνδείμεσλ ηνπ ελόο πό ην άιιν πξόβιεκ. ) Ζ κε ρξήζε ζρεκάησλ. δ) Ζ κε δηάθξηζε ησλ ηξηώλσλ ζε νμπώλη κβιπώλη θη ην ζεκληηθόηεξν: ε) Οη πό κλήκεο ππνινηζκνί πνζηάζεσλ δύν ρξθηεξηζηηθώλ ζεκείσλ θζώο θη ν ππνινηζκόο ησλ εκβδώλ ηξηώλσλ πνπ έρνπλ σο θνξπθέο ρξθηεξηζηηθά ζεκεί ηξηώλνπ. Έηζη ε πόζηζε ηνπ βξπθέληξνπ G πό ην έθεληξν Η ελόο ηξηώλνπ ζπλξηήζεη ησλ πιεπξώλ ηνπ, ζηε ζει. 45 δίλεηη πό κλήκεο πό ηνλ ηύπν: β d (G,I) x y z β β β όπνπ: x (β ) y ( β ) z ( β ) Ζ έθθξζε πηή δίλεηη πηόκη ρσξίο λ πξνεεζνύλ πξάμεηο ή ζπιινηζκνί. Ο ηύπνο κπνξεί θηόπηλ λ πάξεη πινύζηεξε κνξθή λ ίλνπλ θάπνηεο πξάμεηο θη θηιήεη: d (G, I) β (β )( β)( β ) 5β 9( β ) Σ πιενλεθηήκη ηνπ άξζξνπ πηνύ ίλνληη θηλνεηά λ πξνζπζήζεη θλείο λ πνδείμεη ηελ πξνενύκελε ζρέζε κε η λσζηά ζεσξήκη ηεο Δπθιείδεηο Γεσκεηξίο ή λ πξνζπζήζεη λ θάλεη έλ πνιύπινθν ζρήκ. Π.ρ έλ πό η πξνβιήκη πνπ ιύλνπκε είλη ε εύξεζε ηνπ εκβδνύ ηνπ ηξηώλνπ GG G όπνπ: G ην βξύθεληξν ηξηώλνπ ΑΑΑ, G ην βξύθεληξν ηνπ ηξηώλνπ πνπ έρεη θνξπθέο η ζεκεί επθήο ηνπ εεξκκέλνπ θύθινπ κε ηηο πιεπξέο ηνπ ηξηώλνπ θη ει.

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ G ην βξύθεληξν ηνπ ηξηώλνπ πνπ έρεη σο θνξπθέο η ζεκεί ηνκήο ησλ (κ,δ β), (κ β,δ ) θη (κ,δ ). Ο ππνινηζκόο ίλεηη ρσξίο ηε ρξήζε θλελόο ζεσξήκηνο ηεο Γεσκεηξίο. Σν ληίζηνηρν ζρήκ θίλεηη πξθάησ. Σν ζρήκ δελ είλη νινθιεξσκέλν επεηδή νη πξόζζεηεο ξκκέο πνπ ρξεηάδνληη ζ επηθάιππηλ ηηο ήδε ππάξρνπζεο. Υξεηάδνληη δει. επηπιένλ νη δηάκεζνη ηνπ ηξηώλνπ ΚΛΜ η ηελ εύξεζε ηνπ θ.β G, θηόπηλ ρξεηάδνληη λέεο βνεζεηηθέο ξκκέο η ηε ιύζε θη βεβίσο θηόπηλ ρξεηάδεηη ε ιύζε!!! Α Ζ Α Μ Μ K Α' Μ G G G Λ Ζ Α Ζ Α' Μ Α Σν εκβδόλ ηνπ ηξηώλνπ GGG ππνινίδεηη ζην πξόλ άξζξν ζηε ζει. 86 ρσξίο ηε βνήζεη ηνπ ζρήκηνο, ρσξίο ηε ρξήζε εσκεηξηθώλ ζεσξεκάησλ ή ηύπσλ θη βξίζθεηη ζπλξηήζεη ησλ πιεπξώλ, β, θη ηνπ εκβδνύ Δ ηνπ ηξηώλνπ Α Α Α ίζν κε: ι κ ι κ (GGG ) κ λ κ λ ι ι λ Δ όπνπ κ κ β β β λ β β 6 β β β 6 β β β β ει.

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 SUMMARY: This article presents new ways of applying vector calculus for proving geometric proposals. It is made up of parts: The st part deals with the calculation of distances between various characteristic points of a triangle, proving verticality, parallelism, collinear points etc. The nd part deals with the calculation of area of triangles that have as vertices characteristic points of a triangle. The rd part deals with the calculation of volume of tetrahedrons. The paper was drafted in 969. Some parts of it were published in the periodical of the Hellenic Mathematical Society in 970-97. The purpose of this article is to eliminate the weaknesses of Euclidean Geometry in solving various problems, such as: a) Using a unique work method due to lack of a generic method. b) Different method of proof for the same problem that depends on the specific shape, e.g. acute or obtuse triangle, point outside a triangle etc. c) A complicated shape that complicates proofs. d) The misunderstanding or misleading nature of an imprecise shape. e) The difficulty of understanding a complicated shape in space. (In this article we will not extend to problems in space, but the work method presented here can be applied to special problems without substantial changes). The benefits of this article in solving geometrical problems are: a) Non-use of geometric theorems (except for a few at the beginning of the article). b) The independence of proof between problems. c) Non-use of shapes. d) Not distinguishing between acute and obtuse triangles and the most important; ει. 4

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ e) Calculating from memory the distance between two characteristic points and also surface area of triangles that have as their peaks characteristic points of a triangle. The distance of the centre of weight G from the incenter I of a triangle in function of the sides a, b, c of the triangle is calculated (page 45) from memory using the following formula: where: β a b c a b c a b c y= (c +a -b ) z= (a +b -c ) d (G,I) ( - ) x ( - ) y ( - ) z x= (b +c -a ) This expression can be presented automatically without any prior calculations or reasoning. The formula can then take on a simpler form if some calculations take place and concludes as: 9(a b c) d (G,I) a b c (b c -a)(c a -b)(a b -c)- 5abc The benefits of this article are understood if one is to try and prove the previous relationship using well-known theorems of Euclidian Geometry or if one tries to make a complex shape. For example, one of the problems solved is calculation of the surface area of triangle GG G where: G is the centre of weight of triangle A A A, G is the centre of weight of the triangle that has as vertices the points of contact of the inscribed circle with the sides of the triangle and; G is the centre of weight of the triangle that has as its vertices the points of intersection of (m a,d b), (m b,d c) and (m c,d a). The calculation is performed without the use of any Geometry theorems. The relevant shape appears below. The shape is not complete because the additional lines required would cover the existing ones. The medians of triangle ΚΛΜ are needed for the calculation of the centre of weight of G, auxiliary lines are needed for the solution and of course the solution is also required!!! ει. 5

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Α Ζ Α Μ Μ K Α' Μ G G G Λ Ζ Α Ζ Α' Μ Α The area of triangle GG G is calculated (page 86) in this article without the help of the shape, without the use of geometric theorems or formulas, in function to the sides a, b, c and the area S of triangle A A A equaling: x - y (GGG ) = y - z x - y y - z S where a + b - c a + c - b x = y = + 6 b c b + c -a b + a -c x = y = 6 c a a b a b b c z = + z = + b + a c + b a + c b + a c + b a + c ει. 6

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΜΔΡΟ ν ΑΠΟΣΑΔΗ ΣΧΝ ΚΤΡΗΧΝ ΖΜΔΗΧΝ ΣΡΗΓΧΝΟΤ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΣΧΝ ΠΛΔΤΡΧΝ ΣΟΤ Κύξη ζεκεί ηξηώλνπ Οξηζκνί: Κύξη ζεκεί ηξηώλνπ νλνκάδνληη: ) νη θνξπθέο ηνπ Α, Α, Α, ) η κέζ ησλ πιεπξώλ ηνπ Μ,Μ,Μ, ) η ίρλε ησλ εζσηεξηθώλ δηρνηόκσλ ηνπ Α, Α, Α, 4) η ίρλε ησλ εμσηεξηθώλ δηρνηόκσλ ηνπ Α, Α, Α, 5) η ίρλε ησλ πςώλ ηνπ Ζ,Ζ,Ζ, 6) η ζεκεί επθήο ηνπ εεξκκέλνπ θύθινπ κε ηηο πιεπξέο ηνπ Ε,Ε,Ε, 7) η θέληξ ησλ πξεεξκκέλσλ θύθισλ Ο,Ο,Ο, 8) ην θ. βάξνπο ηνπ G, 9) ην έθεληξό ηνπ Η, 0) ην πεξίθεληξό ηνπ Ο, ) ην νξζόθεληξό ηνπ Ζ θη ) ην θέληξν ηνπ θύθινπ ηνπ Euler Ο 9 [Γη επθνιί πξιείςκε ηελ πηνλόεηε ληηζηνηρί, όηη δει. ην Μ είλη ην κέζν ηεο πιεπξάο ΑΑ θ.ι.π] Σ ζεκεί πηά είλη ζε πιήζνο 6. Πξθάησ ζ βξνύκε ηηο πνζηάζεηο πηώλ λά δύν ζπλξηήζεη ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηώλνπ (ΑΑ ), β (ΑΑ ), (ΑΑ ). Σν πιήζνο ησλ πνζηάζεσλ πηώλ 6 είλη όζνη θη νη ζπλδπζκνί ησλ 6 ζεκείσλ λά δύν, δει. είλη ίζν κε 5. Μί επζεί πνπ ζπλδέεη δύν θύξη ζεκεί ελόο ηξηώλνπ ιέεηη θύξη επζεί. Σν ζεκείν ηνκήο δύν θπξίσλ επζεηώλ εθόζνλ δε ζπκπίπηεη κε θάπνην πό η θύξη ζεκεί ηνπ ηξηώλνπ ιέεηη δεπηεξεύνλ ζεκείν. ει. 7

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Μη επζεί πνπ νξίδεηη πό δύν δεπηεξεύνλη ζεκεί ή έλ θύξην ζεκείν θη έλ δεπηεξεύνλ θη δελ ηπηίδεηη κε θύξη επζεί, ιέεηη δεπηεξεύνπζ επζεί. Σ ζεκεί ηνκήο δεπηεξεπνπζώλ επζεηώλ, εθόζνλ δελ ηπηίδνληη κε θύξη ή δεπηεξεύνλη ζεκεί, ιένληη ηξηηεύνλη ζεκεί. Σ θύξη, δεπηεξεύνλη θη ηξηηεύνλη ζεκεί ελόο ηξηώλνπ ιένληη ρξθηεξηζηηθά ζεκεί ηνπ ηξηώλνπ. Σν ζύλνιν ησλ ρξθηεξηζηηθώλ ζεκείσλ ελόο ηξηώλνπ ζ ην ζπκβνιίδνπκε κε L Αλ Α,Β L, ηελ πόζηζή ηνπο ζ ηε ζπκβνιίδνπκε κε d(α,β) Τπνινηζκόο ηεο πόζηζεο δύν ρξθηεξηζηηθώλ ζεκείσλ ελόο ηξηώλνπ Αλ Α, Β δύν ζεκεί ηνπ L ν ππνινηζκόο ηεο πόζηζήο ηνπο ίλεηη σο εμήο: Δθθξάδνπκε ην δηάλπζκ ΑΒ σο ξκκηθό ζπλδπζκό δύν ή ηξηώλ δηλπζκάησλ ησλ νπνίσλ λσξίδνπκε η κέηξ θη ηηο σλίεο λά δύν. Αλ π.ρ ΑΒ ιr ιr ιr θη (r,r ) ζ, (r,r ) ζ, (r,r ) ζ, ηόηε: d (A,B) (ΑΒ) (ιr ιr ιr ) ι r ι r ι r ι ι (r r ) ι ι (r r ) ι ι (r r ) ι r ι r ι r ιι r r ζπλζ ιι r r ζπλζ ιι r r ζπλζ λ δηλύζκη r,r,r ζ επηιέμνπκε ηξί δηλύζκη κε θνηλή ξρή Ο θη πέξη A,A,A. Δίλη θλεξό όηη ξθεί λ εθθξζηνύλ η δηλύζκη ζέζεσο OA θη OB σο ξκκηθόο ζπλδπζκόο ησλ, νπόηε θη ην δηάλπζκ AB OB OA εθθξάδεηη σο ξκκηθόο ζπλδπζκόο ησλ r,r,r. Ζ επηινή ηνπ Ο ζ είλη ε θηάιιειε ζε θάζε πεξίπησζε, ώζηε νη πξάμεηο λ είλη θηά ην δπληόλ ιηόηεξεο. πλήζσο πίξλνπκε σο ξρή κη πό ηηο θνξπθέο A,A,A ή ην πεξίθεληξν Κ. Αλ ζλ ξρή πάξνπκε ην Κ, ηόηε KA KA KA R όπνπ ε θηίλ R ζ ππνινηζηεί πξθάησ ζπλξηήζεη ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηώλνπ θη ει. 8

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ (KA,KA ) Α, (KA,KA ) A, (KA,KA ) A η νμπώλην ηξίσλν, π ελώ η κβιπώλην ή νξζνώλην ηξίσλν κε A είλη: (KA,KA ) π A, (KA,KA ) A, (KA,KA ) A ε θάζε πεξίπησζε είλη: KA KA R ζπλα, KA KA R ζπλα, KA KA R ζπλα Γη ηελ εύξεζε ησλ δηλπζκάησλ ζέζεσο ησλ θπξίσλ ζεκείσλ ελόο ηξηώλνπ ζηεξηδόκζηε ζηηο δύν πξθάησ πξνηάζεηο: Πξόηζε Αλ ην ζεκείν Μ λήθεη ζηελ επζεί ΑΒ (εζσηεξηθό ή εμσηεξηθό ζεκείν ηνπ ηκήκηνο ΑΒ) θη MA ι MB (), ην δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ Μ σο πξνο ηπρί ξρή Ο δίλεηη πό ηε ζρέζε: Απόδεημε Ο ΟΑ ιοβ ΟΜ ι MA ι MA ιμβ MB ΟΑ ΟΜ ι(οβ ΟΜ) ΟΑ ιοβ ΟΜ ι Α Σχ Μ Β Πξόηζε Έζησ ηξίσλν ΑΒΓ, Κ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ θη Ο ηπρί δηλ. ξρή (ζην επίπεδό ηνπ ή θη έμσ πό πηό). Ολνκάδνπκε Δ,Δ,Δ η εκβδά ησλ ηξηώλσλ ΚΒΓ, ΚΓΑ, ΚΑΒ ληίζηνηρ θη Δ ην εκβδόλ ηνπ ηξηώλνπ ΑΒΓ. Σν δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ Κ δίλεηη ηόηε πό ηηο ζρέζεηο: Γη η ζπξκκηθά δηλύζκη θη β 0 νξίδνπκε: ι β ιβ Δίλη θλεξό όηη η θάζε ζεκείν Μ ηεο επζείο ΑΒ είλη: MA ει. 9 MB ι Πξάκηη, λ ι πξνθύπηεη: ΜΑ = ΜΒ ΜΑ ΜΒ 0 ΒΑ 0 άηνπν

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 ΔΟΑ ΔΟΒ ΔΟΓ ΟΚ Δ Δ Δ ΔΟΑ ΔΟΒ ΔΟΓ Δ λ ην Κ βξίζθεηη ζην εζσηεξηθό ηνπ ηξηώλνπ ή ζηελ πεξίκεηξό ηνπ, ΔΟΒ ΔΟΓ ΔΟΑ ΟΚ Δ Δ Δ ΔΟΓ ΔΟΑ ΔΟΒ ΟΚ Δ Δ Δ ΔΟΑ ΔΟΒ ΔΟΓ ΟΚ Δ Δ Δ λ ην Κ βξίζθεηη ζην εμσηεξηθό ηνπ ηξηώλνπ θη ) κέζ ζηε σλί Α ή ηελ θηθνξπθήλ ηεο β) κέζ ζηε σλί Β ή ηελ θηθνξπθήλ ηεο ) κέζ ζηε σλί Γ ή ηελ θηθνξπθήλ ηεο ληίζηνηρ. Απόδεημε Σν Κ βξίζθεηη κέζ ζην ηξίσλν ή ζηελ πεξίκεηξό ηνπ Έζησ Γ ΑΚ ΒΓ Δίλη: (ΓΒ) (ΑΒΓ) (ΚΒΓ) (ΑΒΓ) (ΚΒΓ) (ΚΑΒ) Δ (ΓΓ) (ΑΓΓ) (ΚΓΓ) (ΑΓΓ) (ΚΓΓ) (ΚΓΑ) Δ ΓΒ Δ Δπνκέλσο: ΓΓ Δ θη ζύκθσλ κε ηελ πξόηζε ζ είλη: Δ ΟΒ ΟΓ Δ ΔΟΒ ΔΟΓ ΟΓ Δ Δ Δ Δ Αιιά: (ΑΚ) (ΚΓ) Δ Δ Δ () (ΑΒΚ) (ΑΓΚ) (ΒΚΓ) (ΓΚΓ) (ΑΒΚ) (ΑΓΚ) (ΒΚΓ) (ΓΚΓ) ΚΑ Δ Δ Άξ θη ζύκθσλ πάιη κε ηελ ΚΓ Δ πξόηζε ζ είλη: Β Α Κ Γ Γ Ο ει. 0 Σχ

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Δ Δ ΟΑ ΟΓ () Δ ΟΚ Δ Δ Δ ΔΟΑ ΔΟΒ ΔΟΓ Δ Δ Δ ΔΟΑ ΔΟΒ ΔΟΓ Δ ηελ εηδηθή πεξίπησζε πνπ ην Κ βξίζθεηη ζηελ πεξίκεηξν ηνπ ηξηώλνπ ΑΒΓ π.ρ ην Κ βξίζθεηη ζηε ζέζε ηνπ Γ, ηόηε Δ 0 θη ν ηύπνο ίλεηη: Δ ΟΒ Δ ΟΓ ΟΚ Δ πξπάλσ. πνπ ηζρύεη όπσο πξνθύπηεη πό ηε ζρέζε () πνπ βξήθκε Σν Κ βξίζθεηη έμσ πό ην Α Ο ηξίσλν, ιιά κέζ ζηε σλί Α Έζησ Γ ΑΚ ΒΓ Δίλη: (ΓΒ) (ΑΒΓ) (ΚΒΓ) (ΓΓ) (ΑΓΓ) (ΚΓΓ) (ΑΒΓ) (ΚΒΓ) (ΚΑΒ) (ΑΓΓ) (ΚΓΓ) (ΚΓΑ) Δ Δ Β Γ Γ ΓΒ Δ Δπνκέλσο: θη ζύκθσλ κε ΓΓ Δ ηελ πξόηζε ζ είλη: ΔΟΒ ΔΟΓ ΟΓ () Δ Δ Δίλη επίζεο: (ΚΑ) (ΚΑΒ) (ΚΓΑ) (ΚΓ) (ΚΒΓ) (ΚΓΓ) (ΚΑΒ) (ΚΑΓ) Δ (ΚΒΓ) (ΚΓΓ) Δ Δ ΚΑ Δ Δ Άξ θη ζύκθσλ πάιη κε ηελ πξόηζε ζ είλη: ΚΓ Δ Δ Δ ΟΑ ΟΓ () Δ ΔΟΒ ΔΟΓ ΔΟΑ ΟΚ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Σν Κ βξίζθεηη έμσ πό ην ηξίσλν ΑΒΓ, ιιά κέζ ζηελ θηθνξπθήλ σλί ηεο Α Κ Κ Σχ Έζησ πάιη Γ ΑΚ ΒΓ Α Ο ει. Β Γ Γ Σχ 4

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Δίλη: (ΓΒ) (ΚΒΓ) (ΑΒΓ) (ΓΓ) (ΚΓΓ) (ΑΓΓ) (ΚΒΓ) (ΑΒΓ) (ΚΓΓ) (ΑΓΓ) (ΚΑΒ) (ΚΓΑ) Δ Δ ΓΒ Δ Δπνκέλσο: ΓΓ Δ ΔΟΒ ΔΟΓ ΟΓ Δ Δ θη ζύκθσλ κε ηελ πξόηζε ζ είλη: () Δίλη επίζεο: (ΚΑ) (ΚΑΒ) (ΚΓΑ) (ΚΓ) (ΚΒΓ) (ΚΓΓ) (ΚΑΒ) (ΚΑΓ) (ΚΒΓ) (ΚΓΓ) Δ Δ Δ ΚΑ Δ Δ Άξ θη ζύκθσλ πάιη κε ηελ πξόηζε ζ είλη: ΚΓ Δ Δ Δ ΟΑ ΟΓ () Δ ΟΚ Δ Δ Δ ΔΟΒ ΔΟΓ ΔΟΑ Δ Δ Δ Όκνη πνδεηθλύνληη θη νη άιιεο πεξηπηώζεηο. Γηλύζκη ζέζεσο ησλ θύξησλ ζεκείσλ ελόο ηξηώλνπ Με ηε βνήζεη ησλ πξνηάζεσλ () θη () κπνξνύκε λ ππνινίζνπκε η δηλύζκη ζέζεσο ησλ θπξίσλ ζεκείσλ ελόο ηξηώλνπ όπσο δείρλνπκε κέζσο. ) Σσλ Μ,Μ,Μ Α Δπεηδή είλη: ΜΑ ΜΑ, ζύκθσλ κε ηελ πξόηζε ζ Μ Α Α ει.

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΟΜ ΟΜ ΟΜ ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ (Η) ) Σσλ Α, Α, Α ΑΑ Δπεηδή ΑΑ β πξόηζε ζ είλη:, ζύκθσλ κε ηελ Α βοα ΟΑ ΟΑ β ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ βοα ΟΑ β (ΗΗ) Α Α Α ) Σσλ Α, Α, Α Αλ β, ε εμσηεξηθή δηρνηόκνο ηεο σλίο Α ηέκλεη ηελ AA ζην A θη ηζρύεη: ΑΑ (ζεώξεκ εμσηεξηθήο ΑΑ β δηρνηόκνπ) ύκθσλ επνκέλσο κε ηελ πξόηζε ζ είλη: Α Α Α Α βοα - ΟΑ ΟΑ β - ΟΑ - ΟΑ ΟΑ - ΟΑ - βοα ΟΑ - β (III) εθόζνλ β, ή β ληίζηνηρ. 4) Σσλ Ζ,Ζ,Ζ ει.

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Α Α Α υ β υ β = _υ β Α Η Α Η ω Α Α Α =Η _ Α Σχ. Γηθξίλνπκε ηηο πεξηπηώζεηο: Σχ. β Σχ. π π Α, Α (ρ. ) Σόηε ην ίρλνο ηνπ ύςνπο πό ην Α βξίζθεηη κεημύ Α θη Α. Δίλη: (ΖΑ ) πζθα, (ΖΑ ) πζθα (ΖΑ ) Άξ: (Ζ Α ) ζθα ζθα εθα εθα ΖΑ εθα ΖΑ εθα Άξ: ΟΖ εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα π Α (ρ. β) Σόηε ην ίρλνο ηνπ ύςνπο πό ηελ θνξπθή Α βξίζθεηη ζηελ πξνέθηζε ηεο ΑΑ πξνο ην κέξνο ηνπ Α. Σώξ είλη: (ΖΑ ) πζθσ πζθα, (ΖΑ ) πζθα Άξ: ΖΑ ΖΑ ζθα εθα, ζθα εθα άξ είλη πάιη: ΟΖ εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα π Α Όκνη ηζρύεη ε ίδη ζρέζε π Α (ρ. ) Σόηε Ζ Α, άξ ΟΖ ΟΑ Ο ηύπνο ΟΖ εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα όηλ Α π δίλεη: ει. 4

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ εθα εθα (ΟΑ ΟΑ ) εθα lim ΟΖ lim ΟΑ π π Α Α εθα εθα ( ) εθα Έηζη κπνξνύκε λ πνύκε όηη ν ηύπνο ΟΖ εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα π πεξίπησζε Α, ξθεί λ λννύκε ζηελ πεξίπησζε πηή ην ν κέινο σο εθαοα εθαοα lim π Α εθα εθα ηζρύεη θη ζηελ π Α Όκνη βξίζθνπκε όηη ηζρύεη ν ίδηνο ηύπνο. Γειδή ζε θάζε πεξίπησζε είλη: ΟΖ ΟΖ ΟΖ εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα (IV) η κε νξζνώλην ηξίσλν Με Α π, Α π είλη: β εκα εθα R β ζπλα β R( β ) β θη όκνη εθα R( β ) Δπνκέλσο ν ηύπνο ΟΖ εθα ΟΑ εθα εθα ΟΑ εθα ( β )ΟΑ ( β )ΟΑ ίλεηη: ΟΖ () π π Με ηελ ηειεπηί κνξθή ηζρύεη ζε θάζε πεξίπησζε, δει. θη όηλ Α ή Α π Πξάκηη, όηλ Α ηόηε β θη ε () δίλεη: β ΟΖ ΟΑ ΟΑ ΟΑ ει. 5

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 πνπ ηζρύεη δηόηη ηόηε ην ίρλνο ηνπ ύςνπο Ζ ηπηίδεηη κε ην Α. π Όκνη θη όηλ Α Έηζη η η ζεκεί Ζ,Ζ θη Ζ έρνπκε θη ηνπο πξθάησ ηύπνπο πνπ ηζρύνπλ ζε θάζε πεξίπησζε ( β - )ΟΑ ( - β )ΟΑ ΟΖ (β - )ΟΑ (β - )ΟΑ ΟΖ β ( - β )ΟΑ ( β - )ΟΑ ΟΖ (IV ) 5) Σσλ Ε,Ε,Ε Δίλη: ΕΑ η β, ΕΑ η, όπνπ β η ΕΑ ηβ Δπνκέλσο: ΕΑ η (η )ΟΑ (η β)οα Άξ: ΟΕ θη ηειηθά: (η ) (η β) Ζ Α Α Ζ β Ζ Α η ΟΑ η βοα ΟΕ η ΟΑ η ΟΑ ΟΕ β η βοαη ΟΑ ΟΕ (V) 6) Σσλ Ο,Ο,Ο ύκθσλ κε ηελ πξόηζε ζ είλη: ΔΟΑ ΔΟΑ ΔΟΑ ΟΟ Δ Δ Δ β Όπνπ: d(α,α ) [β β β β β ει. 6

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Άξ: ΟΟ ΟΟ ΟΟ Δ (Ο Α Α ) βξ Δ (Ο Α Α ) ξ βοα ΟΑ ΟΑ ΟΑ - ΟΑ β - ΟΑ - βοα - β βοα - ΟΑ β - (VI) Α Δ Α Α Ζ ρ ρ ρ Ο Ε 7) Σνπ G Δίλη: Δ (GAA ) E Δ (GAA ) E Δ (GAA ) E όπνπ E (AAA ) ύκθσλ επνκέλσο κε ηελ ε πξόηζε ζ είλη: ΔΟΑ ΔΟΑ ΔΟΑ OG ή Δ Δ Δ OA OA OA ΟG (VII) 8) Σνπ Η Δίλη: E (IAA ) ξ E (IAA ) βξ E (IAA ) ξ ΔΟΑ ΔΟΑ ΔΟΑ Άξ: OΗ Δ Δ Δ ΟΑ βοα ΟΑ ΟΗ β (VIII) ή Α Θ ρ ρ β ρ Α Α 9) Σνπ Κ Γηθξίλνπκε εδώ πεξηπηώζεηο: ει. 7

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Α Α Α Κ Α Α Σχ. Α Κ Σχ. β Α Α Κ Α Σχ. ) Σν ηξίσλν είλη νμπώλην Σόηε ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηώλνπ βξίζθεηη κέζ ζην ηξίσλν (ρ. ) θη είλη: Δ (ΚΑΑ ) (ΚΑ )(ΚΑ )εκακα R εκα Δ (ΚΑΑ ) R εκα Δ (ΚΑΑ ) R εκα ύκθσλ επνκέλσο κε ηελ πξόηζε ζ είλη: εκα OA εκα OA εκα OA ΟΚ εκα εκα εκα β) Σν ηξίσλν είλη κβιπώλην π Έζησ Α (ρ. β) Σόηε ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηώλνπ βξίζθεηη έμσ πό ην ηξίσλν θη είλη: Α ΚΑ π Α, άξ: Δ (ΚΑ Α ) (ΚΑ )(ΚΑ )εκα ΚΑ R εκα Δ (ΚΑΑ ) R εκα Δ (ΚΑΑ ) R εκα επνκέλσο ζύκθσλ πάιη κε ηελ πξόηζε ζ είλη: εκαοα εκαοα εκαοα ΟΚ εκα εκα εκα ) Σν ηξίσλν είλη νξζνώλην π Έζησ π.ρ Α (ρ. ) ει. 8

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΟΑ ΟΑ Σόηε ην Κ είλη ην κέζν ηεο πιεπξάο ΑΑ. Άξ ΟΚ π π Ο ηύπνο πνπ βξέζεθε ζηελ () θη (β) πεξίπησζε όηλ Α νπόηε Α Α ΟΑ ΟΑ ΑΑ π εκα εκα δίλεη ΟΚ, δειδή ν ίδηνο ηύπνο ηζρύεη θη ζηελ πεξίπησζε ηνπ νξζνσλίνπ ηξηώλνπ. Γειδή ζε θάζε πεξίπησζε ηζρύεη: ΟΚ εκαοα εκαοα εκαοα εκα εκα εκα (IX) 0) Σνπ Ζ Γηθξίλνπκε ηηο πεξηπηώζεηο: ) Σν ηξίσλν είλη νμπώλην Α Ζ Α Ζ Α Α Ζ Α Α Ζ Α Α Ζ Α ρ. ρ. β ρ. Σόηε ην Ζ βξίζθεηη κέζ ζην ηξίσλν (ρ. ) θη ηζρύεη: ΖΖ RζπλΑ ζπλα ΑΖ RεκΑ εκα Άξ: Δ (ΖΑΑ ) ΖΖ RζπλΑζπλΑ ζθα ζθα Δ (Α Α Α ) Α Ζ RεκΑ εκα Άξ: Δ ΔζθΑ ζθα, όκνη: Δ ΔζθΑ ζθα Δ Δπνκέλσο: ΔζθΑ ζθα ΔΟΑ ΔΟΑ ΔΟΑ ΟΖ Δ Δ Δ ή ει. 9

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 εθα OA εθα OA εθα OA ΟΖ εθα εθα εθα β) Σν ηξίσλν είλη κβιπώλην π Έζησ Α (ρ. β) Σόηε ην νξζόθεληξν Ζ βξίζθεηη έμσ πό ην ηξίσλν θη κέζ ζηελ θηθνξπθήλ σλί ηεο Α. Πάιη είλη: ΖΖ RζπλΑ ζπλα θη ΑΖ RεκΑ εκα Άξ: Δ (ΖΑΑ ) ΖΖ RζπλΑζπλΑ ζθαζθα Δ (Α Α Α ) Α Ζ RεκΑ εκα Δ ΔζθΑ ζθα Όκνη βξίζθνπκε: Δ ΔζθΑ ζθα Δ ΔζθΑζθΑ ύκθσλ επνκέλσο κε ηελ πξόηζε ζ είλη ΔΟΑ ΔΟΑ ΔΟΑ ΟΖ Δ Δ Δ ) Σν ηξίσλν είλη νξζνώλην. π Έζησ π.ρ Α (ρ. ) Σόηε Ζ Α, άξ ΟΖ ΟΑ εθαοα εθαοα εθαοα εθα εθα εθα Ο ηύπνο πνπ βξήθκε ζηηο δύν πξνενύκελεο πεξηπηώζεηο, όηλ Α π δίλεη: lim ΟΖ π A εθαοα εθαοα εθαοα lim εθα εθα εθα π A εθα εθα εθαοα ΟΑ ΟΑ εθα εθα lim ΟΑ π A εθα εθα εθα εθα εθα Έηζη κπνξνύκε λ πνύκε όηη ν ίδηνο ηύπνο ηζρύεη ζε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο, ξθεί ζηελ π πεξίπησζε Α λ λννύκε ην ν εθαoa εθαoa εθαoa κέινο ζλ lim π A εθα εθα εθα Γειδή ζε θάζε πεξίπησζε ηζρύεη: ει. 0

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ εθαοα εθαοα εθα ΟΑ ΟΖ εθαεθαεθα (X) Ο ηύπνο πηόο κε Α π, Α π, Α π, λ ζέζνπκε εθα εκα R ζπλα β β yzoa zxoa xyoa ΟΖ yz zx xy β R(β ) (X ) θ.ι.π, ξάθεηη: όπνπ x β, y β, z β Με ηελ ηειεπηί κνξθή ν ηύπνο ηζρύεη ζε θάζε πεξίπησζε, δειδή θη όηλ π π π Α ή Α ή Α π Πξάκηη, όηλ Α ηόηε β x 0 θη ν ηύπνο Υ ζηελ πεξίπησζε πηή δίλεη ΟΖ ΟΑ πνπ ηζρύεη δηόηη Ζ Α ) Σνπ Ο 9 Δίλη λσζηό όηη ην Ο 9 είλη ην κέζν ηνπ ηκήκηνο ΚΖ. Δπνκέλσο ΟΟ 9 (ΟΚ ΟΖ) θη ληηθζηζηώληο η ΟΚ θη ΟΖ πό ηνπο ηύπνπο ΗΥ θη Υ ζ έρνπκε: OO 9 (εθα Γ)ΟΑ (εθα Γ)ΟΑ (εθα Γ)ΟΑ (ΥΗ) 4εθΑεθΑ εθα όπνπ Γ εθαεθα εθα η κε νξζνώλην ηξίσλν Οη ηύπνη Υ θη ΥΗ κπνξνύλ λ πινπνηεζνύλ λ σο ξρή πάξνπκε ην πεξίθεληξν Κ Πξάκηη, ζε θάζε πεξίπησζε (νμπώλην, κβιπώλην ή νξζνώλην ηξίσλν) ηζρύεη: ΑΖ ΚΜ ΚΑ ΚΑ θη επνκέλσο ΚΖ ΚΑ ΑΖ ή ΚΖ ΚΑ ΚΑ ΚΑ (Υ β ) θη ΚΟ 9 (ΚΖ ΚΚ) ΚΟ 9 (ΚΑ ΚΑ ΚΑ ) (ΥΗ ) Οη άιινη ηύπνη Η σο ΗΥ πξκέλνπλ όπσο είλη ει.

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Απνζηάζεηο ησλ θύξησλ ζεκείσλ ελόο ηξηώλνπ Όπσο λθέξκε ζηελ ξρή ηνπ άξζξνπ πηνύ, έλο πό ηνπο ζθνπνύο ηνπ άξζξνπ είλη ν ππνινηζκόο ησλ πνζηάζεσλ θύξησλ ζεκείσλ ηξηώλνπ ζπλξηήζεη ησλ πιεπξώλ ηνπ. Κάλνπκε ηνλ ππνινηζκό πηό ελδεηθηηθά η κεξηθά δεύε ζεκείσλ θη θηόπηλ ζ δώζνπκε έλ ηππνιόην κε ηηο πνζηάζεηο όισλ ησλ δπληώλ δεπώλ πνπ όπσο έρνπκε πεη είλη 5. Γη ηνλ ππνινηζκό ησλ πνζηάζεσλ ζ ζεσξήζνπκε λσζηνύο ηνπο πξθάησ ηύπνπο: β R (Νόκνο ησλ εκηηόλσλ) εκα εκα εκα β βζπλa (Νόκνο ησλ ζπλεκηηόλσλ) εκ Α (η β)(η ) ζπλ β Α η(η ) β Γη ηελ πινύζηεπζε ησλ ζρέζεσλ ζ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνπο ηύπνπο: 4 4 4 6Δ β β β β Δ 4R Έλο θόκε ηύπνο πνπ ζ ρξεζηκνπνηήζνπκε πνιιέο θνξέο είλη ν AA.A A =βζπλα =β + - Πξδείκη ) Τπνινηζκόο ηεο δηκέζνπ ΑΜ Γη ηπρί ξρή Ο είλη: ΟΜ = (ΟΑ +ΟΑ ) Κη λ ζλ ξρή πάξνπκε ηελ θνξπθή Α : ΑΜ = (Α Α +Α Α ) Τςώλνληο ηε ζρέζε πηή ζην ηεηξάσλν βξίζθνπκε ει.

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ( β βζπλα ) 4 4 d (A,M ) (ΑΑ Α Α Α Α Α Α ) ( β β ) 4 ή d (A,M ) = (β + - ) 4 ) Τπνινηζκόο ηεο δηρνηόκνπ AA Γη ηπρί ξρή Ο ηζρύεη: βοα +ΟΑ ΟΑ = β+ θη λ πάξνπκε ζλ ξρή ηελ θνξπθή A : θη πςώλνληο ζην ηεηξάσλν: βα Α +Α Α ΑΑ = β+ d (A,A ) β β β(β (β ) β (β ) β β Δθηειώληο θηάιιει ηηο πξάμεηο κπνξνύκε λ θηιήμνπκε ζηνπο λσζηνύο ηύπνπο: δ = β+ βη(η-) θη β Α δ = ζπλ β+ ηεο Γεσκεηξίο θη ηεο Σξησλνκεηξίο ληίζηνηρ. Έηζη πό ηε ζρέζε d (A,A ) β Α Α Α Α βa A.A A ζηελ νπνί θηάζκε πξηλ, (β ) ληηθζηζηώληο όπνπ A A.A A = βζπλα, έρνπκε β d (A,A ) β β ζπλα (β ) (β ) (ζπλα ) β Α ζπλ (β ) β Α Άξ (Α Α ) ζπλ β Ο ληίζηνηρνο εσκεηξηθόο ηύπνο πξνθύπηεη ληηθζηζηώληο όπνπ Α η(η ) ζπλ β β ή πό ηελ ηειηθή ζρέζε d (A,A ) β β λ ξάςνπκε: (β ) β β (β ) (β )(β ) η(η ) 4η(η ) όπνπ η β ει.

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 ) Τπνινηζκόο ηεο d(z,o ) ηνπ ζεκείνπ επθήο ηνπ εεξκκέλνπ θύθινπ κε ηελ πιεπξά AA πό ην θέληξν ηνπ πξεεξκκέλνπ θύθινπ ζηελ πιεπξά AA (η )ΟΑ (η β)οα Δίλη: ΟΕ θη ΟΟ Άξ: Ε Ο ΟΟ ΟΕ ΟΑ ΟΑ βοα β β η η β ΟΑ ( )ΟΑ ( )ΟΑ β β β θη λ ζλ ξρή πάξνπκε ην A δειδή O A, ηόηε: β η η β ΕΟ ( )Α Α ( )Α Α β β β η η β d (Z,O ) ( ) ( )β β β β η η β ( )( )ΑΑ Α Α β β θη κεηά ηηο πξάμεηο: 4 ( β) d (Z,O ) 4 4 4 4 6 β 6 β ) (6 β 8 β 8 β 8 β 4) Τπνινηζκόο ηεο πόζηζεο d(g,i) ηνπ θ.β πό ην έθεληξν Γη ηπρί ξρή Ο είλη: OA +βoa +OA ΟG= (OA +OA +OA ) θη ΟI=, +β+ άξ: GI OI OG ( )ΟΑ β ( )ΟΑ ( )ΟΑ β β β θη λ ζλ ξρή πάξνπκε ην A δειδή O A, ηόηε β GI ( )ΑΑ ( )Α Α β β β d (G,I) ( ) ΑΑ ( ) Α Α β β β ( )( )ΑΑ Α Α β β ην ΠΑΡΑΡΣΖΜΑ ΣΟΤ ΓΔΛΣΗΟΤ ΣΖ ΔΜΔ δεκνζηεύζεθε ζλ πξνηεηλόκελε ζηνλ ηόκν Γ, ηεύρνο -, επη-οθη 970, ζει. 69. Ζ ιύζε δεκνζηεύζεθε ζηνλ ηόκν Γ, ηεύρνο 8, Απξ 97, ζει. ει. 4

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ θη επεηδή A A.A A β d (G,I), κεηά ηηο πξάμεηο βξίζθνπκε: 9( β ) [4( β β ) 5β( β ) ( β )( β )] θη πινπνηώληο δη β βξίζθνπκε: 4 4 4 ( β ) d (G, I)= [ +β + +(β+-)(+-β)(+β-)-5β] 9(+β+) (Υξεζηκνπνηήζκε ηελ ηπηόηεη 4 4 4 β β β ( β )(β )( β)( β ) ) 5) Τπνινηζκόο ηεο θηίλο R d(a,k) Δίλη: A : εκαοα εκαοα εκα ΟΑ ΟΚ εκα εκα εκα εκααα εκαα Α ΑΚ εκα εκα εκα (εκα εκα εκα ) εκ Α 4εκ Αζπλ Α d (A,K) Δίλη όκσο: εκ Α β εκ Α βεκα εκα ζπλα β β β 4 ( β ), R 4 R εκ Α ( β ) 4 β R βεκα εκαζπλα (βζπλα ) 4εκΑ εκαζπλα ζπλα (β ) 4 4 R β R R β β β (β )( β )( β ) θη εκα εκα εκα 4εκΑεκΑ εκα β β R R R 8R άξ ε () ίλεηη: d (A,K) 6 θη λ σο ξρή πάξνπκε ην β ( β ) ( β ) (β )( β )( β ) 4 R 4 R 4 R β 4R () ει. 5

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 R R 4 R 4 [β ( β ) ( β ) β (β )( β )( β )] β ή R 4 4 4 β β β όπνπ, όπσο έρνπκε πεη: E η(η )(η β)(η ) β 6Δ 4 4 4 6E β β β ή β R 4Δ ην ηππνιόην πνπ ζ θνινπζήζεη ζ ρξεζηκνπνηήζνπκε ην Δ η ην η(η )(η β)(η ) θη ην R η ην β ώζηε νη ηύπνη λ έρνπλ πινύζηεξε κνξθή. 4Δ 6) Τπνινηζκόο ηεο d(a,o 9) π ύκθσλ κε ηνλ ηύπν (ΥΗ) κε Α,Α,Α είλη: εθα ΓΟΑ εθα ΓΟΑ εθα ΓΟΑ ΟΟ εθα εθα εθα θη λ Ο Α, ηόηε: όπνπ Γ εθαεθα εθα εθα ΓΑΑ εθα ΓΑΑ ΑΟ εθαεθα εθα ΑO = ( )Α 9 Α ( )Α Α 4 εθαεθα 4 εθαεθα 6d (A,O 9) ( ) ( ) β εθαεθα εθαεθα ( )( )Α Α Α Α () εθα εθα εθα εθα β β Όκσο: εθαεθα ζπλαζπλα εκαεκα β β R R (β )( β )R β β β 4 4 4 Θέηνπκε όπνπ R θη E ( β β β ), άξ: 4Δ 6 εθαεθα (β )( β ) 6Δ = κεηά ηηο πξάμεηο 6Δ 4 4 ( β β ) 8E Όκνη βξίζθνπκε: εθα εθα 4 4 ( β β β ) 8Δ θη ει. 6

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Α Α Α Α β Ζ () ινηπόλ ίλεηη: 6d (A,O 9) ( β β ) 4 4 4 64Δ ( β β β ) β 4 4 4 64Δ 4 4 4 ( β β ) 64Δ 4 4 ( β β β ) θη κεηά ηηο πξάμεηο: 0 0 0 8 4 [β 5 (β ) 8 β (β ) 04Δ 6 4 4 4 4 4 4 4 6 6 0 (β ) β (β ) β (β ) 0 (β ) d (A,O 9) 4 (β ) 6 6 6 8 8 4 4 β β (β ) 5 (β ) 4 β ] () Όπσο ζ δνύκε πξθάησ, ν ίδηνο ηύπνο ηζρύεη ζε θάζε πεξίπησζε, δειδή θη όηλ ην ηξίσλν είλη νξζνώλην. Γείρλνπκε ηώξ ηνλ ίδην ππνινηζκό πίξλνληο ζλ ξρή ην ζεκείν Κ. Δίλη: ΚΟ ΚΑ ΚΑ ΚΑ η θάζε ηξίσλν (νξζνώλην ή κε) (ηύπνο ΥΗ ). Άξ: ΑΟ ΚΟ 9 9 ΚΑ ΚΑ ΚΑ ΚΑ ΚΑ ΚΑ ΚΑ ΚΑ θη πςώλνληο ζην ηεηξάσλν: d (A,O 9) (R R R R ζπλα R ζπλα R ζπλα ) 4 Αληηθζηζηώληο όπνπ ζπλα εκ Α θ.ι.π βξίζθνπκε: R d (A,O 9) (R β ) () 4 Σν πξάδεηκ πηό δείρλεη πόζν κπνξεί λ πινπζηεπζεί ε δηδηθζί, ιιά θη η πνηειέζκη ησλ ππνινηζκώλ ζε πνιιέο πεξηπηώζεηο λ ζλ ξρή πάξνπκε ην Κ. β Αλ ζηνλ ηειεπηίν ηύπν ληηθηζηήζνπκε ην R θη 4Δ 4 4 4 6Δ β β β βξίζθνπκε: 6 4 4 4 6 6 4 4 d (A,O 9) (β ) (β β ) β β β 64E () ει. 7

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Απηό ζεκίλεη όηη ν πξνενύκελνο πνιύπινθνο ηύπνο () κπνξεί λ πινπνηεζεί. Πξάκηη ην πνιπώλπκν 0 νπ βζκνύ ηνπ νπ κέινπο δηηξείηη θξηβώο δη 4 4 4 6Δ β β β θη δίλεη πειίθν 6 4 4 4 6 6 4 4 (β ) (β β ) β β β Έηζη ν πξπάλσ ηύπνο () θηιήεη ζηνλ ηειεπηίν πινύζηεξν ηύπν () η πξθάησ 4 πξδείκη ζλ ξρή πίξλνπκε ην Κ, ώζηε νη πξάμεηο λ είλη θηά ην δπληόλ ιηόηεξεο. 7) Τπνινηζκόο ηεο d(k,h ) Ο ππνινηζκόο ζ ίλεη η κε νξζνώλην ηξίσλν. Όπσο πξνθύπηεη πό ζεώξεκ πνπ ζ πξζέζνπκε ζη επόκελ, ν ίδηνο ηύπνο ηζρύεη θη ζε νξζνώλην ηξίσλν. Γη ηπρί ξρή Ο είλη: ΟΖ εθα ΟΑ εθα Αλ ζλ ξρή πάξνπκε ην Κ, ζ έρνπκε: d(κ,ζ ) εθα εθα εθα εθα εθα εθα Δίλη όκσο: ( ) R ( ) R εθα εθα εθα εθα Όκνη: εθα εθα εκα ζπλα εκα εκα ζπλα ζπλα β εθα ΟΑ εθα ΚΖ εθα ΚΑ εθα εθα ΚΑ εθα εθαεθα ΚΑ ΚΑ (εθα εθα ) β R β β R R β β β Δπίζεο: ΚΑ ΚΑ R ζπλα R ( εκ Α ) R ( ) R Άξ ε () ίλεηη: d(κ,ζ ) β β ( ) R ( ) R θη κεηά ηηο πξάμεηο: β () ( β )( β ) R ( ) 4 4 R ( β )( β ) R d(κ,ζ ) 4 ει. 8

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 8) Τπνινηζκόο ηεο πόζηζεο d(ο,o 9) ύκθσλ κε ηνπο ηύπνπο VI θη XI, δειδή λ πάξνπκε σο ξρή ην Κ ζ είλη: βκα ΚΑ ΚΑ ΚΟ β ΚΟ 9 (ΚΑ ΚΑ ΚΑ ), άξ ΟΟ ΚΟ 9 9 ΚΟ ( )ΚΑ β ( )ΚΑ ( )ΚΑ β β β ΟΟ [( β )ΚΑ 9 ( β )ΚΑ ( β)κα ] (β ) d (O,O 9) [( β ) R ( β ) R ( β) R 4(β ) ( β )( β )ΚΑ ΚΑ ( β )( β)κα ΚΑ ( β )( β)κακα ] θη επεηδή KA KA R ζπλα R ( εκ Α ) R ( ) R β KA KA R ( ), KA KA R ( ) R R κεηά πξάμεηο βξίζθνπκε: ή d (O,O 9) R 4 4(β ) 4 4 4 [ (β ) β(β ) (β ) β β] 9) Τπνινηζκόο ηεο πόζηζεο d(g,h) ηνπ θ.β πό ην νξζόθεληξν Αλ ζλ ξρή πάξνπκε ην Κ, ηόηε: ΚG= (ΚΑ +ΚΑ +ΚΑ ) θη ΚΖ ΚΑ ΚΑ ΚΑ, άξ: GH KH KG ΚΑ ΚΑ ΚΑ d (G,H) 4 (R R R KΑ KΑ KΑ KΑ KΑ KΑ ) 9 4 [R R (ζπλα ζπλα ζπλα )] 9 θη επεηδή ζπλα εκ Α θ.ι.π βξίζθνπκε: R 4 d (G,H) = 4R - ( + β + ) 9 ει. 9

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 0) Τπνινηζκόο ηεο d(i,h) Αλ πάξνπκε σο ξρή ην Κ, είλη: ΚΑ βκα ΚΑ ΚΗ β ΚΖ ΚΑ ΚΑ ΚΑ, άξ β ΗΖ ΚΖ ΚΗ ( )ΚΑ ( )ΚΑ ( )ΚΑ β β β [(β )ΚΑ ( )ΚΑ ( β)κα ] β d(η,ζ) [(β ) R ( ) R ( β) R ( β ) (β )( )R ζπλα (β )( β)r ζπλα ( )( β)r ζπλα ] θη ζέηνληο όπνπ ζπλα εκ Α θ.ι.π βξίζθνπκε R 4 4 4 d(η, Ζ) [4R ( β ) ( β ) β( β ) ( β ) (β ) β ( ) ( β)] θη πινπνηώληο δη β βξίζθνπκε ηειηθά: β β d(η, Ζ) 4R β ει. 0

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Γηάλπζκ ζέζεσο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο δύν θπξίσλ ή δεπηεξεπνπζώλ επζεηώλ. Θεώξεκ Αλ η ζεκεί Α, Β, Γ, Γ βξίζθνληη ζην επίπεδν ηνπ ηξηώλνπ AAA θη η κη ξρή Ο είλη: ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΒ β ΟΑ β ΟΑ β ΟΑ ΟΓ ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΓ δ ΟΑ δ ΟΑ δ ΟΑ ηόηε: ) β β δ δ β β δ δ β β δ δ β) Έζησ Γ ε θνηλή ηηκή ησλ πξπάλσ νξηδνπζώλ. Οη επζείεο ΑΒ θη ΓΓ ηέκλνληη λ θη κόλν λ Γ 0. Σν δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο Μ ησλ δύν επζεηώλ δίλεηη πό ηε ζρέζε: β β β Γ δ δ δ ΟΜ ΟΑ ΟΑ ΟΑ β β β β β β δ δ δ δ δ δ Απόδεημε Αλ ην ζεκείν Ο επηιεεί εθηόο ηνπ επηπέδνπ (AAA ) ηόηε είλη λσζηό όηη: β β β δ δ δ Δπεηδή Μ ΑΒ ζ R :ΑΜ ζαβ, άξ ΟΜ ΟΑ ΑΜ ΟΑ ζαβ ΟΜ ζ(οβ ΟΑ) ( ζ)οα ζοβ ( ζ)( ΟΑ ΟΑ ΟΑ ) ζ(β ΟΑ β ΟΑ β ΟΑ ) [( ζ)i ζβ i]οα i () i Όκνη, επεηδή ην ΜΓΓ η R : ΓΜ ηγγ θη όπσο θη πξνενπκέλσο ζ είλη: i i i () i ΟΜ [( η) ηδ ]ΟΑ Από ηηο () θη () πξνθύπηεη: ει.

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 i i i i i [( ζ) ζβ ]ΟΑ [( η) ηδ ]ΟΑ i θη επεηδή η δηλύζκη ΟΑ,ΟΑ,ΟΑ είλη ξκκηθώο λεμάξηεη δηόηη Ο (Α Α Α ), πξνθύπηεη: ( ζ) ζβ ( η) ηδ, i,, i i i i i i Γειδή: (β )ζ (δ )η ( ) 0 (β )ζ (δ )η ( ) 0 (β )ζ (δ )η ( ) 0 Σν πξπάλσ ζύζηεκ x έρεη νξίδνπζ β (δ ) ( ) D β δ ) ( ) 0 β (δ ) ( ) όπσο πξνθύπηεη λ ζη ζηνηρεί ηεο εο ξκκήο πξνζζέζνπκε η ζηνηρεί ησλ δύν άιισλ ξκκώλ θη πάξνπκε ππόςε όηη: β β β δ δ δ, νπόηε ζηε λέ νξίδνπζ η ζηνηρεί ηεο εο ξκκήο είλη όι ίζ κε κεδέλ. Δπίζεο λ ππνηεζεί όηη νη ΑΒ θη ΓΓ ηέκλνληη, ηόηε: β δ Γ β δ β δ β δ β δ β δ 0 Πξάκηη: β δ β δ β β ( ) δ δ ( ) β δ β ( ) δ ( ) β δ (β ) (δ ) β δ β δ β δ (όκνη) β δ β δ θη είλη Γ 0 δηόηη λ Γ 0 η δηλύζκη ΑΒ ΟΒ ΟΑ (β )ΟΑ (β )ΟΑ (β )ΟΑ θη ΓΓ ΟΓ ΟΓ (δ )ΟΑ (δ )ΟΑ (δ )ΟΑ ζ ήζλ πξάιιει. Δπνκέλσο ην ζύζηεκ έρεη κνλδηθή ιύζε: ει.

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ δ δ δ δ ζ Γ Γ θη κε ληηθηάζηζε ηνπ ζ ζηελ () βξίζθνπκε: δ δ δ δ ΟΜ i βiοαi i Γ Γ Δίλη: δ δ δ δ β Γ Γ β δ δ δ β Γ β δ δ δ β δ δ Γ β δ δ β β δ β β δ Γ β δ β β δ β δ Γ β β β δ [( δ δ )(β ) ( β β )(δ )] Γ Γ β β β δ δ δ Όκνη η ηνπο ζπληειεζηέο ησλ ΟΑ θη ΟΑ βξίζθνπκε ληίζηνηρ: ( ζ) ζβ Γ β β β δ δ δ ( ζ ) ζβ Γ άξ ε () ίλεηη: ΟΜ β β β δ δ δ ει.

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 β β β β β β β β β ΟΑ ΟΑ ΟΑ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δειδή πνδείρζεθε ε πξόηζε η ηπρίν ζεκείν Ο εθηόο ηνπ επηπέδνπ (AAA ). Θ πνδείμνπκε ηώξ όηη ε ίδη ζρέζε ηζρύεη θη η ηπρίν ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηώλνπ AAA. Πξάκηη, επεηδή Μ (AAA ), ε ηειεπηί ζρέζε ξάθεηη: ΟΜ ι ΟΑ ι ΟΑ ι ΟΑ κε ι ι ι όπνπ: ι Γ β β β δ δ δ θ.ι.π Δπνκέλσο λ ζλ ξρή πάξνπκε ην Ρ (AAA ) ζ είλη: ΡΜ ΟΜ ΟΡ ιοα ιοα ιοα (ι ι ι )ΟΡ ι (ΟΑ ΟΡ) ι (ΟΑ ΟΡ) ι (ΟΑ ΟΡ) ι ΡΑ ι ΡΑ ι ΡΑ Γειδή ε πξόηζε ηζρύεη θη η ην ζεκείν Ρ (AAA ). Πξδείκη ) Ν βξεζεί ην δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ θ.β G ηξηώλνπ AAA ζπλξηήζεη ησλ δηλπζκάησλ ζέζεσο ησλ θνξπθώλ ηνπ. Λύζε Δίλη: G AM AM Γη ηπρί ξρή Ο είλη: ΟΑ.ΟΑ 0.ΟΑ 0.ΟΑ ΟΜ 0ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ 0ΟΑ ΟΑ 0 ΟΑ ΟΜ ΟΑ 0ΟΑ ΟΑ Με εθξκνή επνκέλσο ηνπ ηύπνπ ηεο ζει. η ην G βξίζθνπκε: OG (OA OA OA ) ει. 4

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ) i) Πνη ζρέζε πξέπεη λ ηζρύεη κεημύ ησλ πιεπξώλ,β, ηξηώλνπ AAA ώζηε νη επζείεο ΑΜ θη ΗΕ λ ηέκλνληη; ii) ηελ πεξίπησζε πνπ νη πξπάλσ επζείεο ηέκλνληη, λ βξεζεί ην δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηνπο ζπλξηήζεη ησλ δηλπζκάησλ ζέζεσο ησλ θνξπθώλ ηνπ ηξηώλνπ A A A. Λύζε i) Δίλη: ΟΑ.ΟΑ 0.ΟΑ 0.ΟΑ Πξέπεη ΟΜ 0.ΟΑ ΟΑ ΟΑ β ΟΗ ΟΑ ΟΑ ΟΑ β β β η β η ΟΕ ΟΑ ΟΑ 0.ΟΑ β β Γ 0 δ δ όπνπ: β ηβ η, 0, β 0, β,,, δ, δ, β β όπνπ η ( β ) άξ ε ζρέζε Γ 0 β ) ii) Με εθξκνή ηνπ ηύπνπ ηεο ζει. βξίζθνπκε όηη ην δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ ζεκείνπ Μ είλη: β β (β ) (β ) ΟΜ ΟΑ ΟΑ ΟΑ β β β ) Ν βξεζεί ε πόζηζε d(m,o ) όπνπ M AM IZ Λύζε Βξέζεθε ζην πξνενύκελν πξάδεηκ όηη: β β (β ) (β ) ΟΜ ΟΑ ΟΑ ΟΑ β β β β Δίλη επίζεο: ΟΟ ΟΑ ΟΑ ΟΑ β β β ΜΟ ΟΟ ΟΜ ι ΟΑ ι ΟΑ ι ΟΑ, όπνπ: άξ ει. 5

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 ι β β β β ι β (β ) β β ι (β ) β β θη λ πάξνπκε σο ξρή ην A δει O A, ηόηε ΜΟ ι Α Α ι Α Α θη πςώλνληο ζην ηεηξάσλν: d (M,O ) ι ι β ι ι Α Α Α Α ή d (M,O ) ι ι β ι ι (β ) Θεώξεκ Αλ Α θη Β είλη δύν ρξθηεξηζηηθά ζεκεί ηνπ ηξηώλνπ AAA, ην d (A,B) είλη ξεηή πξάζηζε ησλ πιεπξώλ ηνπ, β, θη λεμάξηεηε ηνπ είδνπο ηνπ ηξηώλνπ. Απόδεημε Απνδεηθλύνπκε πξώη όηη λ Ρ είλη έλ θύξην ζεκείν ηξηώλνπ, ηόηε ζηελ έθθξζε ΟΡ ιοα ιοα ιοα, νη ζπληειεζηέο ι,ι,ι είλη ξεηέο εθθξάζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηώλνπ. Πξάκηη, η ηηο θνξπθέο A,A,A, η ζεκεί Μ,Μ,Μ, Α, Α, Α, Α, Α, Α, Ζ,Ζ,Ζ, Ε, Ε, Ε, Ο,Ο,Ο, G, Η θη Ζ είλη θλεξό πό ηνπο ηύπνπο Η, ΗΗ, ΗΗΗ, IV, V, VI, VII, VIII θη Υ. Απνκέλεη λ πνδεηρζεί η η ζεκεί Κ θη Ο 9. Γη ην Κ είλη: εκα εκα ζπλα εκα OA + εκα OA + εκα OA ΟΚ = εκα + εκα + εκα β R β ζπληειεζηέο ησλ ΟΑ,ΟΑ,ΟΑ ξεηέο εθθξάζεηο ησλ, β,. Σέινο η ην Ο 9 είλη: θη λ ζέζνπκε: θη πινπνηήζνπκε η R πξνθύπηνπλ ζλ ει. 6

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ θη επεηδή ζην ΟΚ ιοα ιοα ιοα θη ζην ΟΖ κοα κοα κοα νη ζπληειεζηέο ι,ι,ι, κ,κ,κ είλη ξεηέο ΟΟ9 ΟΚ ΟΖ πξζηάζεηο ησλ, β,, ην ίδην ζ ζπκβίλεη θη η ην ΟΟ 9. Από ηνλ ηύπν πάιη ηνπ ζεκείνπ ηνκήο δύν θπξίσλ επζεηώλ: β β β β β β β β β δ δ δ δ δ δ δ δ δ ΟΜ ΟΑ ΟΑ ΟΑ πξνθύπηεη όηη νη ζπληειεζηέο ησλ ΟΑ,ΟΑ,ΟΑ είλη επίζεο ξεηέο πξζηάζεηο ησλ, β,. Γη ηνλ ίδην ιόν, λ Ρ είλη ηξηηεύνλ ζεκείν, ζηελ έθθξζε ΟΡ ιοα ιοα ιοα, η ι,ι,ι είλη ξεηέο εθθξάζεηο ησλ, β,. Έζησ ηώξ Α, Β L. Σόηε ζηηο εθθξάζεηο ΟΑ ι ΟΑ ι ΟΑ ι ΟΑ ΟΒ κ ΟΑ κ ΟΑ κ ΟΑ νη ζπληειεζηέο ι,ι,ι, κ,κ,κ είλη ξεηέο πξζηάζεηο ησλ, β, άξ θη ζηελ πξάζηζε: ΑΒ ΟΒ ΟΑ (κ ι )ΟΑ (κ ι )ΟΑ (κ ι )ΟΑ ζοα ζοα ζοα νη ζπληειεζηέο ζ,ζ,ζ είλη ξεηέο πξζηάζεηο ησλ, β,. Αλ ηώξ πάξνπκε Ο Α, ηόηε: ΑΒ ζ Α Α ζ Α Α d (A,B) ζ ζ β ζ ζ (Α Α Α Α ) ζ ζ β ζ ζ (β ) δειδή ην d (A,B) είλη ξεηή πξάζηζε ησλ, β,. Δπεηδή ηώξ νη ζπληειεζηέο ι,ι,ι, κ,κ,κ ζλ ξεηέο πξζηάζεηο ησλ, β, είλη νη ίδηνη ζε θάζε είδνπο ηξίσλν άξ θη νη ζ θη ζ είλη νη ίδηνη ζε θάζε είδνπο ηξίσλν, πξνθύπηεη όηη θη ην d (A,B) δίλεηη πό ηελ ίδη ζρέζε ζε θάζε είδνπο ηξίσλν (νμπώλην, κβιπώλην, νξζνώλην). ει. 7

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Υξήζε ησλ δηλπζκάησλ ζέζεσο ζηηο πνδείμεηο εσκεηξηθώλ πξνηάζεσλ. πλζήθε ώζηε δύν επζείεο λ είλη πξάιιειεο. Γη λ είλη νη επζείεο ΑΒ θη ΓΓ πξάιιειεο πξέπεη θη ξθεί: ΑΒ ΓΓ ΑΒ ΓΓ ζπλ(αβ,γγ) ΑΒ ΓΓ ή ηζνδύλκ: (ΟΒ ΟΑ) (ΟΓ ΟΓ) ΑΒ ΓΓ όπνπ ΑΒ d(a,b) ΓΓ d(γ,γ) Δπίζεο ΑΒ / /ΓΓ ΑΒx ΓΓ 0 ή ηζνδύλκ (ΟΒ ΟΑ) x (ΟΓ ΟΓ) 0. πλζήθε ώζηε δύν επζείεο λ είλη θάζεηεο. Γη λ είλη ΑΒ ΓΓ πξέπεη θη ξθεί ΑΒΓΓ 0 (ΟΒ ΟΑ) (ΟΓ ΟΓ) 0 ή ABx ΓΓ ΑΒ ΓΓ (ΟΒ ΟΑ) x (ΟΓ ΟΓ) ΑΒ ΓΓ όπνπ πάιη ΑΒ d(a, B) θη ΓΓ d(γ,γ). πλζήθε ώζηε δύν επζείεο λ ζρεκηίδνπλ σλί θ π Γη λ ζρεκηίδνπλ δύν επζείεο ΑΒ θη ΓΓ σλί θ, θ [0, ], πξέπεη θη ξθεί ΑΒΓΓ ΑΒ ΓΓ ζπλθ ή ΑΒx ΓΓ ΑΒ ΓΓ εκθ 4. πλζήθε ώζηε ηξεηο επζείεο λ πεξλνύλ πό ην ίδην ζεκείν. Γη λ πνδείμνπκε όηη ηξεηο επζείεο ΑΒ, ΓΓ, ΔΕ πεξλνύλ πό ην ίδην ζεκείν, ξθεί λ πνδείμνπκε όηη ην δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο Μ ησλ ΑΒ, ΓΓ ζπκπίπηεη κε ην δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ ΑΒ θη ΔΕ ή όηη ην δηάλπζκ ΔΜ είλη ζπξκκηθό κε ην ΔΕ. Πξδείκη ) Ν πνδεηρζεί όηη ε δηάκεζνο ηζνζθεινύο ηξηώλνπ πό ηελ θνξπθή ηνπ είλη θάζεηε ζηε βάζε ηνπ. Απόδεημε Θέινπκε λ πνδείμνπκε όηη ζην ηζνζθειέο ηξίσλν AAA (β ) είλη: Α Μ Α Α. Αξθεί λ πνδείμνπκε όηη Α Μ Α Α 0 (ΟΜ ΟΑ ) (ΟΑ ΟΑ ) 0 ει. 8

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ θη λ ζλ ξρή πάξνπκε ην Α : Α Α Α Α Α Α Α Α 0 β 0 πνπ ηζρύεη. Α Μ Α Α Α Α 0 Α Α Α Α 0. Πνη ζρέζε πξέπεη λ ηζρύεη κεημύ ησλ πιεπξώλ, β, νμπσλίνπ θη ηζνζθεινύο ηξηώλνπ ΑΑΑ β ώζηε ΚΖ ΑΑ ; Λύζε Πξέπεη ΚΖ x ΑΑ 0 () Πίξλνπκε ζλ ξρή ην Κ. Σόηε ΚΖ ΚΑ ΚΑ ΚΑ θη ΑΑ ΚΑ ΚΑ άξ ε () ίλεηη ΚΑ ΚΑ ΚΑ x ΚΑ ΚΑ 0 ΚΑ x ΚΑ ΚΑ x KA KA x KA 0 δηόηη KA x KA KA x KA Αλ ηώξ πάξνπκε ζλ ζεηηθή θνξά επί ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηώλνπ ηελ Α Α Α θη νλνκάζνπκε 0 ην κνλδηίν δηάλπζκ ην θάζεην ζην επίπεδν ηνπ ηξηώλνπ πνπ έρεη θνξά ηελ θνξά ηνπ δηλύζκηνο KAx KA ηόηε πξνενύκελε ζρέζε ξάθεηη: R εκα R εκα R εκα 0 0 εκα εκα εκα εκα ζπλα εκα ζπλα εκα ζπλα β β β β R β R R β θη κεηά ηηο πξάμεηο: β β. Πνη ζρέζε πξέπεη λ ηζρύεη κεημύ ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηώλνπ ΑΑΑ ώζηε ε σλί ησλ επζεηώλ ΑΑ θη ΑΑ λ είλη Λύζε Πξέπεη Α Α Α Α Α Α Α Α ζπλ60 ν ν 60 ; ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ d Α Α d Α Α βοα ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ d ΑΑ d ΑΑ β θη λ πάξνπκε ζλ ξρή ην Α : ει. 9

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 ΑΑ ΑΑ dα Α dαα βαα Α Α β Όκσο dα,α βηη β βαα Α Α Α Α Α Α, dα,α β βα Α β Α Α β β Α Α Α Α άξ ε () ίλεηη: θη () βα Α Α Α β β Α Α Α Α βη η κεηά ηηο πξάμεηο βξίζθνπκε: θη επεηδή ΑΑ Α Α β 4η η β β 4. Πνη ζρέζε πξέπεη λ ηζρύεη κεημύ ησλ πιεπξώλ, β, νμπσλίνπ ηξηώλνπ Α Α Α ώζηε η ζεκεί Η, G, Κ λ είλη ζπλεπζεηθά; Λύζε Πξέπεη θη ξθεί: ΚΗ x ΚG 0 ΚΑ βκα ΚΑ x ΚΑ ΚΑ ΚΑ 0 β β ΚΑ x ΚΑ β ΚΑ x ΚΑ ΚΑ x ΚΑ 0 () Αλ ηώξ πάξνπκε ζλ ζεηηθή θνξά ηελ Α Α Α θη 0 ην κνλδηίν δηάλπζκ ην θάζεην ζην επίπεδν ηνπ ηξηώλνπ ΑΑΑ κε θνξά ηελ θνξά ηνπ KAx KA ε () ίλεηη: R βεκα R β εκα R εκα 0 0 β εκα β εκα εκα 0 θη ζέηνληο όπνπ β εκα εκαζπλα R β θη όκνη η η εκα θη εκα θη εθηειώληο ηηο πξάμεηο βξίζθνπκε f,β, β β β β β β 0 Πξηεξνύκε όηη f β,β, 0 άξ ην θπθιηθώο ζπκκεηξηθό, δηηξείηη δη ββ, επνκέλσο ζ έρνπκε f,β, δηηξείηη δη -β θη επεηδή είλη β β β β β β ββ ι β κβ β ει. 40

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Θέηνληο ζ πηήλ όπνπ,β, 0,, θη,β,,,0 βξίζθνπκε κ, ι άξ f,β, β β β β β 0 ββ β 0 β β δειδή πξέπεη θη ξθεί ην ηξίσλν λ είλη ηζνζθειέο. 5. Ν πνδεηρζεί όηη η ζεκεί Α, Α, Α είλη ζπλεπζεηθά (ππνηίζεηη β ). Απόδεημε Δίλη βοα ΟΑ ΟΑ β ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ βοα ΟΑ β άξ Α Α x Α Α ΟΑΟΑ x ΟΑΟΑ ΟΑ βοα ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ βοα ΟΑ x 0 β β κεηά ηηο πξάμεηο. Άξ η ΑΑ, ΑΑ είλη ζπξκκηθά, επνκέλσο η ζεκεί Α,Α,Α είλη ζπλεπζεηθά. 6. Ν πνδεηρζεί όηη νη ηξεηο εζσηεξηθέο δηρνηόκνη θάζε ηξηώλνπ πεξλνύλ πό ην ίδην ζεκείν. Απόδεημε Αξθεί λ πνδεηρζεί όηη ην ζεκείν Κ ΑΑ ΑΑ ηπηίδεηη κε ην ζεκείν Λ Α Α Α Α Δίλη ΟΑ ΟΑ 0ΟΑ 0 ΟΑ β ΟΑ 0ΟΑ ΟΑ ΟΑ β β ΟΑ 0ΟΑ ΟΑ 0 ΟΑ ΟΑ ΟΑ 0ΟΑ ΟΑ επνκέλσο πό ηνλ ηύπν ηνπ ζεκείνπ ηνκήο δύν επζεηώλ ηεο ζει. βξίζθνπκε ΟΚ ΟΑ β ΟΑ ΟΑ β Δληειώο όκνη βξίζθνπκε ει. 4

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 ΟΛ ΟΑ β ΟΑ ΟΑ β Γειδή Κ Λ άξ νη ηξείο δηρνηόκνη ΑΑ, ΑΑ, ΑΑ πεξλνύλ πό ην ίδην ζεκείν. Τπνινηζκόο ησλ πνζηάζεσλ θύξησλ ε δεπηεξεπόλησλ ζεκείσλ πό κλήκεο Ο ππνινηζκόο ησλ πνζηάζεσλ πό κλήκεο ζηεξίδεηη ζηηο δύν πξθάησ πξνηάζεηο: Πξόηζε Γη θάζε νμπώλην ηξίσλν AAA ππάξρνπλ δύν ζεκεί θη ηνπ ρώξνπ ηέηνη, ώζηε: π π AΑ A Α A Α θη A Α A Α A Α Οη πνζηάζεηο ησλ ζεκείσλ πηώλ πό ηηο θνξπθέο ηνπ ηξηώλνπ δίλνληη πό ηηο ζρέζεηο: (Α ) = ( Α ) = x = (β + - ) (Α ) = ( Α ) = y = ( + -β ) (Α ) = ( Α ) = z = ( + β - ) Σ δηλύζκη ζέζεσο ησλ ζεκείσλ πηώλ δίλνληη πό ηνπο ηύπνπο yzοαz x ΟΑ x y ΟΑ xyz Ο ΟΑ xοα ΟΑ x ΟΑ ΟΑ xοα y z z x x y 4Δ yzοαz x ΟΑ x y ΟΑ xyz Ο ΟΑ xοα ΟΑ x ΟΑ ΟΑ xοα y z z x x y 4Δ Απόδεημε π Αλ ππάξρεη πξάκηη ηέηνην ζεκείν δειδή ΑΑ ΑΑ ΑΑ θη ζέζνπκε Α x, Α y, Α z πό η νξζνώλη ηξίσλ ΑΑ, ΑΑ, ΑΑ έρνπκε: ει. 4

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ x y y z z x β z θη ιύλνληο ην ζύζηεκ βξίζθνπκε x β y β z β Δπεηδή ην ηξίσλν είλη νμπώλην, β νξίδνληη η x, y, z Α x β ' Ζ y Α Α x β y β z β Σν ινηπόλ βξίζθεηη ζηελ ηνκή ηξηώλ ζθηξώλ κε θέληξ η Α,Α,Α θη θηίλεο x, y, z ληίζηνηρ. Οη ζθίξεο πηέο ηέκλνληη ζε δύν ζεκεί θη ζπκκεηξηθά σο πξνο ην επίπεδν ηνπ ηξηώλνπ ΑΑΑ δηόηη π.ρ. είλη: x y x y x y xy x y xy x y xy x y x y xy πνπ πξνθλώο ηζρύεη. Ζ ηέκλεη ινηπόλ ην επίπεδν ηνπ ηξηώλνπ ΑΑΑ ζε θάπνην ζεκείν Ζ. Θ πνδείμνπκε όηη ην Ζ είλη ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηώλνπ ΑΑΑ. Πξάκηη, λ Ζ είλη ην νξζόθεληξν ηνπ ΑΑΑ ζ πνδείμνπκε όηη Ζ Α Α Α ύκθσλ κε ηνλ ηύπν X ηεο ζει. ζ είλη yzα z x Α x y Α Ζ y z z x x y θη ΑΑ Α Α yzα άξ z x Α x y Α Ζ Α Α Α Α y z z x x y zxα y z Α z x y y z x y z z x x y y z z x x y 0 ει. 4

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 άξ Ζ ΑΑ θη όκνη, Ζ ΑΑ, άξ ΖΑΑΑ Ζ Ζ νξζ νξζ Σν δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ σο πξνο ηπρί ξρή Ο δίλεηη πό ηε ζρέζε Ο ΟΖ Ζ () Όκσο yzοα z x ΟΑ x y ΟΑ ΟΖ y z z x x y Ζ Ζ () 0 Όπνπ ην κνλδηίν δηάλπζκ ην θάζεην ζην επίπεδν ηνπ ηξηώλνπ 0 ΑΑΑ θηά ηε θνξά ηνπ Ζ Έλ δηάλπζκ θάζεην ζην επίπεδν ηνπ ηξηώλνπ ΑΑΑ θηά ηε θνξά ηνπ Ζ είλη ην Α Α x Α Α ΟΑ ΟΑ x ΟΑ ΟΑ ΟΑ x ΟΑ ΟΑ x ΟΑ ΟΑ x ΟΑ θη επεηδή ΑΑ x Α Α () Δ, ην κνλδηίν δηάλπζκ ην θάζεην ζην επίπεδν ηξηώλνπ ΑΑΑ είλη ην 0 ΟΑ x ΟΑ ΟΑ x ΟΑ ΟΑ x ΟΑ Δ (4) κε θνξά ηνπ Ζ Σν κέηξν ηνπ Ζ βξίζθεηη σο εμήο: Ο όθνο ηνπ ηεηξέδξνπ ΑΑ Α λ ζλ βάζε πάξνπκε ην ηξίσλν ΑΑ θη ύςνο ην Α είλη: V ΑΑ Α xyz 6 Κη λ ζλ βάζε πάξνπκε ην ηξίσλν ΑΑΑ είλη: V ΑΑΑ Ζ ΔΖ xyz Άξ xyz ΔΖ Ζ (5) 6 Δ Λόσ ησλ (), (), (4), (5) ε () ίλεηη: yzοαz x ΟΑ x y ΟΑ xyz Ο ΟΑ x ΟΑ ΟΑ x ΟΑ ΟΑ x ΟΑ y z z x x y 4Δ Σν δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ είλη Ο ΟΖ Ζ ΟΖ Ζ yzοαz x ΟΑ x y ΟΑ xyz ΟΑ x ΟΑ ΟΑ x ΟΑ ΟΑ x ΟΑ y z z x x y 4Δ ει. 44

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Με ηελ βνήζεη ηνπ πξπάλσ ζεσξήκηνο κπνξνύκε λ ππνινίζνπκε ηελ πόζηζε δύν ρξθηεξηζηηθώλ ζεκείσλ ηξηώλνπ ζπλξηήζεη ησλ πιεπξώλ ηνπ πό κλήκεο. Πξάκηη, λ P θη Q δύν ζεκεί ηνπ L ελόο νμπσλίνπ ηξηώλνπ AAA θη πάξνπκε σο ξρή ην, ζ είλη: Ρ Σόηε: ιi Αi θη i Q κi Α i i PQ Q P (κ ι )Α Κη πςώλνληο ζην ηεηξάσλν i i i i i i i i= θνύ κε i j είλη: Αi Α j άξ ΑiΑ j 0 d (P,Q) = (κ - ι ) (Α ) () Ο ηύπνο () δίλεη ην ηεηξάσλν ηεο πόζηζεο δύν ζεκείσλ ηνπ L δηόηη νη ζπληειεζηέο ιi θη κ i είλη λσζηέο πξζηάζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηώλνπ θη (Α ) x (β ) (Α ) y ( β ) (Α ) z ( β ) Δπεηδή ηώξ ε πόζηζε δύν ζεκείσλ ηνπ L δίλεηη πό ηελ ίδη ζρέζε η θάζε ηξίσλν (νμπώλην, κβιπώλην ή νξζνώλην), ν ηύπνο () ηζρύεη ζε θάζε ηξίσλν (ελώ η κβιπώλην ηξίσλν δελ ππάξρνπλ η ζεκεί θη ). Πξάδεηκ Τπνινηζκόο ηεο πόζηζεο d(g,i) πό κλήκεο Τπνινίδνπκε ηελ πόζηζε πηή ζε νμπώλην ηξίσλν. Ο ίδηνο ηύπνο ηζρύεη ζε θάζε ηξίσλν. Δίλη: G = (A + A + A ) θη β Η Α Α Α, β β β άξ ε πόζηζε ησλ ζεκείσλ G θη Η ζύκθσλ κε ηνλ ηύπν () είλη: β d (G,I) = ( - ) x + ( - ) y + ( - ) z + β + + β + + β + όπνπ:, x (β ), y ( β ) z ( β ) ει. 45

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 Ο ηύπνο κπνξεί κε ηηο θηάιιειεο πξάμεηο λ πάξεη ηε κνξθή πνπ βξήθκε θη κε ηνλ θιζηθό ηξόπν, δει. κεηά ηηο πξάμεηο βξίζθνπκε: d (G,I) = [ + β + + (β + -)( + -β)( + β - )- 5β] 9( + β + ) πνπ βξήθκε ζηε ζει. 5 Όπσο εύθνι ληηικβάλεηη θλείο, ν ππνινηζκόο ησλ 5 πνζηάζεσλ ησλ θπξίσλ ζεκείσλ ηξηώλνπ κεημύ ηνπο λά δύν είλη πιένλ άκεζνο. Γεληθόηεξ, ν ππνινηζκόο ηεο πόζηζεο δύν ρξθηεξηζηηθώλ ζεκείσλ κπνξεί επίζεο λ ίλεη πό κλήκεο, όκσο λ η ζεκεί δελ είλη θύξη ζ πξέπεη πξώη λ βξεζνύλ η δηλύζκη ζέζεώο ηνπο θη θηόπηλ λ ίλεη ε εθξκνή ηνπ ηύπνπ. Γίλνπκε έλ ζρεηηθό Πξάδεηκ Ν βξεζεί ε πόζηζε ΣΡ όπνπ Σ ΑΜ ΑΑ θη Ρ ΑΜ ΑΑ Λύζε Θ βξνύκε ηελ πόζηζε πηή η νμπώλην ηξίσλν. Ο ίδηνο ηύπνο ηζρύεη η νπνηνδήπνηε ηξίσλν. Δίλη: ΟΑ ΟΑ 0ΟΑ 0ΟΑ ΟΜ 0ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΑ 0ΟΑ ΟΑ 0ΟΑ ΟΑ ΟΑ 0ΟΑ ΟΑ Δθξκόδνπκε ηνλ ηύπν ηεο ζει. (βι. πιήξε πόδεημε ζηε ζει. 86) η ην δηάλπζκ ζέζεσο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο δύν επζεηώλ. Βξίζθνπκε: ΟΣ ΟΑ ΟΑ ΟΑ Όκνη, η ην ζεκείν Ρ βξίζθνπκε: β ΟΡ ΟΑ ΟΑ ΟΑ β β β ύκθσλ κε ηνλ ηύπν i i i i= d (P,Q) = (κ - ι ) (Α ) ππνινηζκό ηεο πόζηζεο δύν ζεκείσλ, είλη: ηεο ζει. 45 η ηνλ πό κλήκεο β d (T,Ρ) ( )x ( )y ( )z β β β όπνπ x (β ), y ( β ), z ( β ) ει. 46

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Γίλνπκε πξθάησ έλλ πίλθ κε ηηο πνζηάζεηο ησλ 6 θύξησλ ζεκείσλ ηξηώλνπ ζπλξηήζεη ησλ πιεπξώλ ηνπ. Όπνπ ρξεηάδεηη (η ηελ πινύζηεπζε ησλ ηύπσλ) έρνπκε ρξεζηκνπνηήζεη ηελ θηίλ R ηνπ πεξηεξκκέλνπ θύθινπ ή ην εκβδόλ Δ ηνπ ηξηώλνπ, η νπνί όκσο (R θη Δ) είλη λσζηέο πξζηάζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηώλνπ. Σππνιόην Απνζηάζεηο ησλ Α, Α, Α πό η ππόινηπ ζεκεί ) d(α,α ) ) d(α,α ) β ) d(α,α ) 4) d(α,μ ) (β ) 4 β 5) d(α,μ ) 6) d(α,μ ) 7) d(α,μ ) 8) d(α,μ ) ( β ) 4 9) d(α,μ ) 0) d(α,μ ) β ) d(α,μ ) ) d(α,μ ) ( β ) 4 ) d(α,α ) βη(η ) β β 4) d(α,α ) β 5) d(α,α ) β 6) d(α,α ) β ει. 47

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 7) d(α,α ) η(η β) 8) d(α,α ) β β 9) d(α,α ) β β 0) d(α,α ) ) d(α,α ) βη(η ) β ) d(α,α ) β(η β)(η ) β ) d(α,α ) 4) d(α,α ) 5) d(α,α ) β β β β 6) d(α,α ) (η )(η ) 7) d(α,α ) 8) d(α,α ) 9) d(α,α ) β β β β 0) d(α,α ) β(η )(η β) β Δ ) d(α,ζ ) η(η )(η β)(η ) β ) d(α,ζ ) β ) d(α,ζ ) β 4) d(α,ζ ) β Δ 5) d(α,ζ ) η(η )(η β)(η ) β β ει. 48

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 6) 7) 8) d(α,ζ ) d(α,ζ ) d(α,ζ ) β β β β Δ 9) d(α,ζ ) η(η )(η β)(η ) 4 40) d(α, Ε ) β β β β β 4) d(α,ε ) η 4) d(α,ε ) η 4) d(α,ε ) η β 4β d(α, Ε ) β β β 44) 45) d(α,ε ) η β 46) d(α,ε ) η 47) d(α,ε ) η 4 d(α, Ε ) β β β β β 48) 49) d(α,ο ) 50) d(α,ο ) 5) d(α,ο ) ηβ η β(η ) ηβ β(η β) η ει. 49

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 5) d(α,ο ) 5) d(α,ο ) (η ) η η ηβ 54) 55) 56) d(α,ο ) d(α,ο ) d(α,ο ) η η β η β η β η ηβ 57) d(α,ο ) ηβ η 9 58) d(α,g) β 9 59) d(α,g) β 9 60) d(α,g) β 6) 6) 6) d(α,η) d(α,η) d(α,η) β η η η β η β η η 64) 65) β d(α,κ) R 4Δ 4 η η η β η β β β d(α,κ) R 4Δ 4 η η η β η ει. 50

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 66) β d(α,κ) R 4Δ 4 η η η β η β 67) d(α,ζ) β β R 68) d(α,ζ) β R 69) d(α,ζ) β β R 70) d (A,O 9) (R β ) = 4 64E 6 4 4 4 6 6 4 4 (β ) (β β ) β β β 7) d (O,O 9) (R β ) = 4 64Δ 6 4 4 4 6 6 4 4 β ( )β ( )β 7) d(α,ο 9) (R β ) = 4 64Δ 6 4 4 4 6 6 4 4 ( β ) ( β β ) β β β Απνζηάζεηο ησλ Μ,Μ,Μ πό η ππόινηπ ζεκεί 7) d(μ,μ ) β 74) d(μ,μ ) 75) d(μ,μ ) 76) β d(μ,α ) β ει. 5

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 77) 78) 79) 80) 8) 8) 8) 84) 85) 86) 87) 88) 89) β β 4 d(μ,α ) 4 β β β 4 d(μ,α ) 4 β β β β β β 4 d(μ,α ) β d(μ,α ) 4 β β β β β β 4 d(μ,α ) 4 β β β β 4 d(μ,α ) 4 β β β 4 d(μ,α ) β d(μ,α ) β d(μ,α ) β β 4 β β 4 d(μ,α ) 4 β β β 4 d(μ,α ) 4 β β β β β β 4 d(μ,α ) β d(μ,α ) 4 β ει. 5

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 90) 9) 9) 9) β β β β β 4 d(μ,α ) 4 β β β β 4 d(μ,α ) 4 β β β 4 d(μ,α ) β d(μ,α ) β 4 94) d(μ,ζ ) β 95) d(μ,ζ ) 96) d(μ,ζ ) β 97) d(μ,ζ ) 98) d(μ,ζ ) β β 99) d(μ,ζ ) 00) d(μ,ζ ) 0) d(μ,ζ ) 0) d(μ,ζ ) β β 0) d(μ, Ε ) ει. 5

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 d(μ, Ε ) β β β β 4β 04) d(μ, Ε ) β β β β β β 4 05) d(μ, Ε ) β β β β β β 4 06) 07) d(μ, Ε ) d(μ, Ε ) β β β β β β 4 08) d(μ, Ε ) β β β β β β 4 09) d(μ, Ε ) β β β β 4β 0) ) d(μ, Ε ) β ) ) 4) 5) 6) 7) d(μ,ο ) (β ) (β ) 4 β β β β β β 4 d(μ,ο ) 4 β β β β β β 4 d(μ,ο ) 4 β β β β β β 4 d(μ,ο ) d(μ,ο ) 4 β β ( )β ( ) β 4 β β β β β β 4 d(μ,ο ) 4 β ει. 54

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 8) 9) 0) β β β β β 4 d(μ,ο ) 4 β β β β β β 4 d(μ,ο ) d(μ,ο ) 4 β ( β) ( β) 4 β 6 ) d(μ,g) β 6 ) d(μ,g) β 6 ) d(μ,g) β 4) 5) 6) 4 β β β β β d(μ,η) 4 β 4 β β β β β d(μ,η) 4 β 4 β β β β β d(μ,η) 4 β 7) 8) 9) R β d(μ,κ) β R β d(μ,κ) R β d(μ,κ) β 6 6 4 4 6 d(μ,ζ) 6 β β β β β 64Δ 0) 6 6 4 4 6 d(μ,ζ) 6β β β 64Δ ) ει. 55

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 6 6 4 4 6 d(μ,ζ) 6 β β β β β 64Δ ) R ) d(μ,ο 9) R 4) d(μ,ο 9) R 5) d(μ,ο 9) Απνζηάζεηο ησλ Α, Α, Α πό η ππόινηπ ζεκεί 6) β d(α,α ) [β β β β β 4 β ] 7) d(α,α ) [β β β β β β β β 4 β β β ] 8) β d(α,α ) [β β β β β 4 β ] β d(α,α ) β 9) 40) β d(α,α ) [β β β β β 4 β β ] 4) d(α,α ) [ β β β β β β β β 4 β β β β ] ει. 56

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 4) β d(α,α ) [β β β β β β 4 β ] β 4) d(α,α ) 44) β d(α,α ) [β β β β β β 4 β ] 45) d(α,α ) [ β β β β β β β β 4 β β β β ] 46) β d(α,α ) [β β β β β 4 β β ] β d(α,α ) β 47) 48) d(α,ζ ) β β β β 49) 4 4 6 4 4 d(α,ζ ) [ β 4 β β 4β β 4 6 4 β β β ] 50) 4 4 6 4 4 d(α,ζ ) [ β β β 4 β β β 4 β 4 6 4 ] 5) 4 4 6 4 4 d(α,ζ ) [β 4 β β 4 ει. 57

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 4 6 4 β β ] 5) d(α,ζ ) β β β 5) d(α,ζ ) [β 4 β β 4 4 4 6 4 4 4 6 4 β β ] 54) 4 4 6 4 4 d(α,ζ ) [ β β β 4β β β 4 β 4 6 4 ] 55) 4 4 6 4 4 d(α,ζ ) [ β 4β β 4β β 4 6 4 β β β ] 56) 57) d(α,ζ ) d(α, Ε ) β β β β β β β 58) 59) 60) 4 4 β β β β β d(α, Ε ) 4 β 4 4 β β β β β d(α, Ε ) 4 β 4 4 β β β d(α, Ε ) 4 6) d(α, Ε ) β 6) 4 4 β β β d(α, Ε ) 4 ει. 58

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 6) 64) 4 4 β β β β β d(α, Ε ) 4 β 4 4 β β β β β d(α, Ε ) 4 β 65) d(α, Ε ) β β β ηβ 66) d(α,ο ) β η 67) 68) 69) β d(α,ο ) [6 β β β β β β 4 β β ] β d(α,ο ) [6 β β β β β β 4 β β ] d(α,ο ) [6β β β β 4 β β β ] β η 70) d(α,ο ) η β 7) 7) d(α,ο ) [6β β β β 4 β β β ] β d(α,ο ) [6 β β β β ββ 4 β β ] ει. 59

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 7) β d(α,ο ) [6 β β β β ββ 4 β β ] ηβ 74) d(α,ο ) β η 75) 76) 77) 4 4 d(α,g) [β β β β 4β 5 β] 9 β 4 4 d(α, G) [ β 4 5β ] 9 4 4 d(α,g) [β β β β 4 β 5 β] 9 β 78) dα,η 79) dα,η 80) dα,η 8) β η β η β η β η β η β η β d Α,Κ R 8) β β d Α,Κ R 8) β d Α,Κ R β β 84) d Α,Ζ 4R β β 85) d Α,Ζ 4R β β ει. 60

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ β 86) d Α,Ζ 4R β β 87) d Α,Ο R β β β 4 β 9 88) d Α,Ο R β 4 9 89) d Α,Ο R β β 4 β 9 Απνζηάζεηο ησλ Α, Α, Α πό η ππόινηπ ζεκεί β d Α,Α [β β β β 90) β 4 β β ] d Α,Α [β β β 9) ββ 4 β β β ] β d Α,Α [β β β β 9) β 4 β β ] 9) dα,ζ 94) β β β β β 4 6 6 d Α,Ζ [ β β β β 4β β 4 β 4 4 β ] ει. 6

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 4 6 6 d Α,Ζ [ β β β β 4 β 95) β 4 4 4 β ] 96) 4 6 6 d Α,Ζ [β 4 β 4 4 4 β ] 97) dα,ζ 98) β β 4 6 6 d Α,Ζ [β 4 β 4 4 4 β ] 99) 4 6 6 d Α,Ζ [ β β β β 4 β β 4 4 4 β ] 00) 4 6 6 d Α,Ζ [ β β β β 4β β 4 β 4 4 β ] 0) dα,ζ β β β β β 0) dα, Ε β β β 4 d Α, Ε [ β β β 6β 8β 4 β 0) 4 4β 8β 4 β ] ει. 6

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 4 d Α, Ε [ β β 6 β 8β 4 β 04) 4 β 4 β 8β 4β β] 05) 4 d Α, Ε [β β β 6 8 4 4 4β 8β 4β β β ] 06) dα, Ε β β 4 d Α, Ε [β β β 6 8 4 07) 4 4β 8β 4β β β ] 08) 4 d Α, Ε [ β β 6 β 8β 4 β 4 β 4 β 8β 4β β] 09) 4 d Α, Ε [ β β β 6β 8β 4 β 4 4β 8β 4 β ] 0) dα, Ε β β β β d Α,Ο [β 4β (β ) ] ) ) dα,ο ) dα,ο β β β η β η β β η β β η ει. 6

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 4) dα,ο β η η β d Α,Ο [ 4 β( ) β ] 5) 6) dα,ο β β η η 7) dα,ο β η β β η 8) dα,ο 9) β η β η β β β β d Α,Ο [ β 4β ( β) ] 4 4 d Α,G [5 β 4β β β β β ] 9 β 0) ) 4 4 d Α, G [5β 4 β ] 9 ) 4 4 d Α,G [5 β 4 β β β β β ] 9 β ) β d Α,Η [ 6 β β β 4 β β β β β ] d Α, Η [β 6β β 4) 4 β β β β ] β d Α,Η [ 6 β β β 5) 4 β β ει. 64

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ β β β ] β d Α,Κ R 6) 7) β β d Α,Κ R 8) β d Α,Κ R 9) β β d Α,Ζ 4R β β 0) β β d Α,Ζ 4R ) β d Α,Ζ 4R β β ) d Α,Ο R β β β 4 β 9 ) d Α,Ο R β 4 9 4) d Α,Ο R β β 4 β 9 Απνζηάζεηο ησλ Ζ,Ζ,Ζ πό η ππόινηπ ζεκεί d Ζ,Ζ β β 5) β d Ζ,Ζ β 6) d Ζ,Ζ β β 7) ει. 65

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 8) dζ, Ε β β 4 4 5 4 d Ζ, Ε [ β β β β β 4 β 9) 4 5 4 β β β ] 4 4 5 4 d Ζ, Ε [ β β β β 4 40) 4 5 4 β β β β β β ] 4 4 5 4 d Ζ, Ε [β β β β β β 4β 4) 4 5 4 β β β β β ] 4) dζ, Ε β β 4 4 5 4 d Ζ, Ε [β β β β β β 4β 4) 4 5 4 β β β β β ] 4 4 5 4 d Ζ, Ε [ β β β β 4 44) 4 5 4 β β β β β β ] 4 4 5 4 d Ζ, Ε [ β β β β β 4 β 45) 4 5 4 β β β ] 46) dζ, Ε β β d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6 β β 4 β β 4 4 β 47) 4 4 4 4 4 6 β β β β β β ] ει. 66

Νικ. Ιωζηθίδης. ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΟΤ ΓΙΑΝΤΜΑΣΙΚΟΤ ΛΟΓΙΜΟΤ Δ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6 β β 4 β β 4 4 β 48) 4 4 4 4 4 6 β β β β β β ] d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6 β β 4 β β 4 4 β 49) 4 4 4 4 4 6 β β β β β β ] d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6β β 4β β β 4 4β β 50) 4 4 4 4 4 6 β β β β ] d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6β β 4β β β 4 4β β 5) 4 4 4 4 4 6 β β β β ] d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6β β 4β β β 4 4β β 5) 4 4 4 4 4 6 β β β β ] d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6 β β 4 β β 4 4 β 5) 4 4 4 4 4 6 β β β β β β ] d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6 β β 4 β β 4 4 β 54) 4 4 4 4 4 6 β β β β β β ] d Ζ 4 6 8 6 6,Ο [6 β β 4 β β 4 4 β 55) 4 4 4 4 4 6 β β β β β β ] ει. 67

η Μθημηική Δβδομάδ. Θεζζλονίκη 7 Μρηίοσ 008 4 4 4 d Ζ,G β β 6β 6 56) 4 4 4 d Ζ,G β 6 β 6β 57) 4 4 4 d Ζ,G β β 6 β 6 58) d Ζ 4 6 8 6,Η [6 β β 4 β β 4 4 β 59) 6 6 4 4 4 4 4 β β β β β β ] d Ζ 4 6 8 6,Η [6β β β 4β β 4 4β β 60) 6 6 4 4 4 4 4 β β β β ] d Ζ 4 6 8 6,Η [6 β β 4 β β 4 4 β 6) 6 6 4 4 4 4 4 β β β β β β ] d Ζ,Κ R 6) β β d Ζ,Κ R 6) 4 β β d Ζ,Κ R 64) 4β β β 4 R d Ζ,Ζ β β β 65) R d Ζ,Ζ β β β 66) R d Ζ,Ζ β β β 67) ει. 68