ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει ραγματικό μέρος φανταστικό μέρος u( x, y) xcos y και v( x, y) xsi y Αό την θεωρία γνωρίζουμε ότι η f ( ) έχει αράγωγο σε κάοιο σημείο x + iy αν και μόνο αν σε αυτό το σημείο οι ρώτες μερικές αράγωγοι των u ( x, y) και v ( x, y) είναι συνεχείς και ικανοοιούνται εκεί οι εξισώσεις auchy-iema Για την f ( ) έχουμε cos y, v x si y, xsi y, xcos y Οι συναρτήσεις αυτές είναι u y v y ροφανώς συνεχείς σε όλα τα σημεία του ειέδου εομένως η f ( ) u x x, y και θα έχει αράγωγο μόνο στα σημεία ου ικανοοιούνται οι εξισώσεις auchy-iema Στην ερίτωσή μας οι εξισώσεις αυτές δίνουν u, u x v y y v x ( x )cos y και ( x )si y Συμεραίνουμε λοιόν ότι η f ( ) έχει αράγωγο μόνο άνω στην ευθεία ( x, y ) ή ισοδύναμα + iy με y Στα σημεία αυτά η αράγωγος γράφεται f ( ) u + iv cos y + isi y e iy x x Αν θεωρήσουμε μια γειτονιά ενός οοιουδήοτε σημείου αυτής της ευθείας διαιστώνουμε ότι άντα υάρχουν σημεία αυτής της γειτονιάς ου δεν ανήκουν στην ευθεία και βέβαια σε αυτά τα σημεία η f ( ) δεν έχει αράγωγο Άρα η f ( ) σημείο του μιγαδικού ειέδου Ας εξετάσουμε τώρα την δεν είναι αναλυτική σε κανένα f ( ) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση cos είναι ακεραία αναλυτική Εομένως η f ( ) είναι αναλυτική (και αραγωγίσιμη βέβαια) σε όλα τα σημεία του μιγαδικού ειέδου εκτός αό τα σημεία για τα οοία + i Εειδή iθ θέτουμε e και έτσι σε ολική μορφή αυτή η εξίσωση iθ i( / + k ) γράφεται e e αό την οοία θ /+ k με k ακέραιος Δίνοντας στον k τις διαδοχικές τιμές,,-
βρίσκουμε για το όρισμα θ τις τιμές θ / 6, θ /, θ 5 / 6 αό τις οοίες λαμβάνουμε για το τις αντίστοιχες i / 6 τιμές e i / i5 / 6 ( ) /, e i, e ( + ) / i i Σε όλα τα σημεία του μιγαδικού ειέδου εκτός αό τα η αράγωγος της si cos f( ) γράφεται f ( ) + i ( + i) β) Υολογισμός του ολοκληρώματος f ( ) d :,, Καταρχήν υολογίζουμε τις αραμετρικές εξισώσεις των ευθύγραμμων ροσανατολισμένων τμημάτων ΟΑ, ΑΒ, και ΒΟ Τμήμα ΟΑ: ( x) x, με x Εδώ y και f [ ( x)] x Τμήμα ΑΒ: f [ ( x)] e iy Τμήμα ΒΟ: f ( x)] [ ix xe ( y) + iy, με y Εδώ x και ( x) x + ix, με x Εδώ y x και Στην συνέχεια υολογίζουμε ξεχωριστά τα δρομικά ολοκληρώματα άνω στα ΟΑ, ΑΒ, και ΒΟ OA AB f( ) d xdx / iy iy i f ( ) d e idy e ( e ) BO f( ) d xe ix ( + i) dx ( + i)( ix) e ( + i)( i ) + + ( ) i ix ( + i) i [ ( i ) e ] Τελικά f ( ) d f( ) d + f( ) d + f( ) d + + ( ) i OA β) Υολογισμός του ολοκληρώματος AB BO f ( ) d :
Η ( ) δεν είναι αναλυτική μόνο στα σημεία,, τα οοία f βρίσκονται στο εξωτερικό του βρόχου Έτσι δυνάμει του θεωρήματος auchy-goursat θα έχουμε f ( ) d ΘΕΜΑ α) Η συνάρτηση f ( ) ως ρητή δεν είναι αναλυτική μόνο στα σημεία και ου μηδενίζουν τον αρονομαστή Στον εσωτερικό κυκλικό δίσκο του δακτυλιοειδούς χωρίου (ου εριέχει το σημείο ) η f ( ) δεν είναι αντού αναλυτική αφού δεν είναι αναλυτική στο Εομένως το ανάτυγμα της f ( ) σε σειρά δυνάμεων του στο εν λόγω χωρίο θα είναι ένα ανάτυγμα Lauret Αναλύουμε καταρχήν την f ( ) σε αλά κλάσματα: f( ) ( )( ) Τα αλά κλάσματα ανατύσσονται σε σειρά ως εξής: + + + +, διότι /, διότι + + / Τελικά η ζητούμενη σειρά Lauret γράφεται f( ) + + < < β) Η f( ) ανατύσσεται σε σειρά MacLauri διότι είναι αναλυτική στο σημείο Η ακτίνα σύγκλισης της σειράς ισούται με την αόσταση αό το λησιέστερα ρος το
4 ανώμαλο σημείο ου είναι το Δηλαδή η ακτίνα σύγκλισης ισούται με και ο δίσκος σύγκλισης είναι ο < Στον δίσκο σύγκλισης έχουμε + Γνωρίζουμε ότι κάθε δυναμοσειρά συγκλίνει ομοιόμορφα (ομαλά) σε μια αναλυτική συνάρτηση f ( ) στο δίσκο σύγκλισής της Γι αυτό μορεί να αραγωγισθεί όρο ρος όρο και η αραγωγισμένη σειρά συγκλίνει και αυτή ομοιόμορφα στον ίδιο δίσκο σύγκλισης ρος τη συνάρτηση f ( ) (Βλέε σημειώσεις θεώρημα 68 σελ 45) Εδώ θα έχουμε + ( ), ή ισοδύναμα, ( ) + + + ( ) + Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση είναι ακεραία αναλυτική και έχει άνω σε όλο το μιγαδικό είεδο ένα ανάτυγμα MacLauri e +! Παρατηρούμε όυι η f( ) γράφεται σαν το γινόμενο δύο σειρών MacLauri ου ροφανώς και αυτό είναι μια σειρά MacLauri Δηλαδή f a a a + + ( ) ( + ) + + +! Μας ζητείται να υολογίσουμε τους τρεις ρώτους όρους της σειράς, δηλαδή τους συντελεστές και a Εκτελούμε το a, a γινόμενο των δύο σειρών MacLauri κρατώντας μέχρι και τους τετραγωνικούς όρους:
5 + + + ( + + + ) + + + + +! ( ) + Τελικά έχουμε 7 f ( ) + + + γ) Πρώτος τρόος Η συνάρτηση f( ) si( )/( ) είναι αναλυτική σε όλο το μιγαδικό είεδο εκτός αό το σημείο Το σημείο αυτό βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου ο οοίος έχει κέντρο το σημείο (,) και ακτίνα Εί λέον η συνάρτηση si( ) είναι αναλυτική άνω και στο εσωτερικό του Με εφαρμογή του ολοκληρωτικού τύου του auchy για την ρώτη αράγωγο αίρνουμε si( ) d i i ( ) [ si( )] Δεύτερος τρόος Σημειώστε ότι το σημείο είναι αλός όλος της f ( ) Πράγματι, η g ( ) si( )/ ( ) si[ ( )]/ ( ) είναι αναλυτική στο σημείο με g () Το σημείο αυτό είναι ένα αιρόμενο ανώμαλο σημείο για την g ( ) Εειδή λοιόν f ( ) g( )/( ) το σημείο είναι ένας αλός όλος για την f ( ) Εφαρμόζοντας το θεώρημα των ολοκληρωτικών υολοίων για την f ( ) και τον βρόχο αίρνουμε 7 f ( d ) ies f( ) Όμως, es f( ) g(), και έτσι ξαναβρήκαμε με άλλο τρόο το ζητούμενο
6 ΘΕΜΑ α) Θεωρούμε την συνάρτηση f( ) ( + ) ( + + ) και το δρομικό της ολοκλήρωμα f ( d ) άνω στον βρόχο ου αοτελείται αό το ημικύκλιο ( ) εί του άξονα των x κέντρου Ο και την διάμετρό του y O x Η συνάρτηση f ( ) είναι ρητή και ως εκ τούτου δεν είναι αναλυτική μόνο στα σημεία ου αντιστοιχούν στις ρίζες της εξίσωσης ( + ) ( + + ) Αό αυτές καμμία δεν βρίσκεται άνω στον ραγματικό άξονα (δεν υαρχει ραγματική ρίζα) ενώ μόνο η i ου είναι διλή και η + i βρίσκονται στο άνω ( y > ) ημιείεδο Οι άλλες δύο, η διλή i και η αλή 4 βρίσκονται στο κάτω ημιείεδο Λαμβάνουμε > έτσι ώστε ο να ερικλείει τα σημεία και Τότε το θεώρημα των i ολοκληρωτικών υολοίων εφαρμοζόμενο για το βρόχο και την συνάρτηση f ( ) μας δίνει f ( d ) f ( d ) + f ( xdx ) i es f ( ) + es f ( )
7 Αφήνουμε την ακτίνα να τείνει ρος το άειρο και η ιο άνω σχέση γίνεται + lim f ( ) d+ f( x) dx i es f( ) + es f( ) () Τώρα υολογίζουμε τα ολοκληρωτικά υόλοια της f ( ) στα σημεία και d ( + + ) + ( + i)( + ) es f( ) i d ( + i) ( + + ) ( + i) ( + + ) 8+ 9i i i 4+ i es f( ) ( + ) ( + ) ( i + ) i 5 Αντικαθιστούμε τα ανωτέρω ολοκληρωτικά υόλοια στην σχέση () ου έτσι γράφεται + lim f( ) d f( x) dx + 5 Τώρα θα δείξουμε ότι lim f( ) d Γι αυτό το σκοό αρατηρούμε ότι άνω στον δρόμο ακόλουθες ανισότητες: (όου + 4 4 ) ισχύουν οι ( ) + + Αό αυτές ροκύτει ότι άνω στον εξής: f( ) η f ( ) φράσσεται ως ( ) ( ) Εφαρμόζουμε την ανισότητα του Darboux για την f ( ) και τον δρόμο αίρνουμε λαμβάνοντας υόψη ότι το μήκος του είναι και
8 f( ) d ( ) ( ) Καταλήξαμε λοιόν στο ότι Αλλά τότε και Τελικά lim f( ) d lim f( ) d lim f( ) d + f( x) dx 5 β) Η αραμετρική εξίσωση του θετικά ροσανατολισμένου μοναδιαίου κύκλου με κέντρο την αρχή των καρτεσιανών αξόνων γράφεται i e θ με θ Πάνω στον θα έχουμε iθ iθ e + e + d cos θ, dθ i Το ολοκλήρωμα ου θέλουμε να υολογίσουμε ροκύτει αό την αραμετροοίηση άνω στον του ολοκληρώματος της συνάρτησης 4i f( ) + i + + + 4 Δηλαδή 4 ( ) 6 dθ 4i d + 4 + cos θ + 6 Η συνάρτηση f ( ) έχει τέσσερεις αλούς όλους ου αντιστοιχούν στις τέσσερεις αλές ρίζες της διτετράγωνης
9 εξίσωσης είναι οι + 6 + Εύκολα βρίσκουμε ότι οι ρίζες αυτές 4 ( ) i, ( ) i, ( + ) i, 4 ( ) + i Είναι ροφανές ότι < και άρα τα σημεία, βρίσκονται στο εσωτερικό του Όμως τα, βρίσκονται έξω αό τον αφού 4 4 > Εφαρμόζουμε τώρα το θεώρημα των ολοκληρωτικών υολοίων για τον βρόχο και την συνάρτηση f ( ) και αίρνουμε ( ) f ( ) d i es f( ) + es f( ) Όμως es f ( ) 4i i i, 4 + + 4 es f ( ) i i, + 4 και έτσι f( ) d Τελικά λοιόν dθ + cos θ Παρατηρείστε ότι + + και
ΘΕΜΑ 4 Ας συμβολίσουμε με Ukt (, ) την μετασχηματισμένη Fourier (ως ρος την ανεξάρτητη μεταβλητή x ) της ρος ροσδιορισμό συνάρτησης uxt (, ) Δηλαδή ikx F [ uxt (,)] Ukt (,) uxte (,) dx + Αν δράσουμε άνω στην εξίσωση θερμότητας με τον μετασχηματισμό Fourier F και χρησιμοοιήσουμε την ιδιότητα μετασχηματισμού της αραγώγου (βλέε στο e-course το «Συμλήρωμα σημειώσεων Μιγαδικού Λογισμού», σελ) αίρνουμε U ku, t της οοίας η ολοκλήρωση μας δίνει Ukt (, ) Uk (,) e kt όμως αό την αρχική συνθήκη ux (,) δ ( x) ροκύτει ότι (βλέε στο e-course το «Συμλήρωμα σημειώσεων Μιγαδικού Λογισμού», Παράδειγμα σελ) Uk (,) F[ ux (,)] F [ δ ( x)] και έτσι kt Ukt (, ) e Η ζητούμενη λύση ροκύτει με την βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier: uxt F Ukt F e kt (, ) [ (, )] [ ]
Ο υολογισμός της kt F [ e ] είναι εύκολος και εκτίθεται στο «Συμλήρωμα σημειώσεων Μιγαδικού Λογισμού» Παράδειγμα 4 σελ Τελικά, x /4t e uxt (, ) t Σημείωση: Τη λύση της εξίσωσης θερμότητας στο άειρο χωρικό διάστημα με αρχική τιμή την συνάρτηση δέλτα του Dirac θα την βρείτε διεξοδικά εξηγημένη στο βιβλίο «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις» του Στέφανου Τραχανά, σελ 96