Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

Transcript

1 Περιγραφή Συστηµάτων στο Είεδο Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

2 Rmindr Ο Μετασχηµατισµός Ζ µιας ακολουθίας xn διακριτού χρόνου ορίζεται αό την σχέση: X x n n n Η µιγαδική µεταβλητή ονοµάζεται Μιγαδική συχνότητα ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

3 Μιγαδικό είεδο -To εδίο ορισµού της Χ Im είεδο- R ω µοναδιαίος κύκλος Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

4 Περιοχή Σύγκλισης rgion of convrgnc ROC Το σύνολο των τιµών του ου ο Χ υάρχει ονοµάζεται εριοχή σύγκλισης Kαθορίζεται αό δύο θετικούς αριθµούς R x και R x- : R x- < <R x Im ROC R x Η µορφή του ROC είναι άντα ένας ανοιχτός ή κλειστός δακτύλιος R R x - Το είεδο, και ένα γενικό ROC Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

5 Πόλοι-µηδενισµοί ιδιότητες του ROC Οι ρίζες του αρονοµαστού και οι ρίζες του αριθµητού µίας συνάρτησης Χ ονοµάζονται αντίστοιχα όλοι και µηδενισµοί της Χ Ισχύει ότι το ROC δεν µορεί να ερικλείει ένα όλο της Χ Tο ROC είναι µία συνεκτική εριοχή δηλ. δεν µορεί να αοτελείται αό σύνολο εί µέρους τµηµάτων. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

6 Πίνακας Μετασχηµατισµών Ζ και εριοχών σύγκλισης δ n un > n a un a > a nun > a u n < n b u n b < b - n a n a u n - a > a Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

7 Γραµµικότητα Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Ζ ax n by n ax by Z Kαθυστέρηση -µετατόιση στο χρόνο Αν η xn έχει µετασχηµατισµό τον X τότε : m x n m X Θεώρηµα συνέλιξης [ ]* [ ] x n x n X X Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7

8 Συνάρτηση µεταφοράς Transfr-function LTI-Συστήµατος Ορίζουµε ως συνάρτηση συστήµατος το -transform της κρουστικής αόκρισής του : H Z{hn} hn n Λόγω της ιδιότητας της συνέλιξης η αόκριση Y του συστήµατος αυτού σε σήµα εισόδου X είναι : Y H X Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8

9 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9 αό την Εξίσωση ιαφορών 0 m n x b k n y a n y M m m N k k 0 X b Y a Y m M m m N k k k Υολογίζεται η N k k k m M 0 m m a b X Y H και η H: N k k M m m M N b X Y H 0 Ησυνάρτηση αυτή µορεί να γραφτεί µε τον ακόλουθο τρόο µηδενισµοί όλοι

10 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 0

11 Πόλοι µηδενισµοί - Παράδειγµα εδοµένων των όλων και µηδενισµών µορεί εύκολα να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς x Μοναδιαίος κύκλος x 7 o x Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

12 Και κάθε σήµα εριγράφεται στο εδίο- αό όλους και µηδενισµούς χ. η un - plan [ ] un Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

13 H αλληλείδραση των όλων & µηδενισµών του σήµατος µε αυτών του συστήµατος ροσδιορίζουν την έξοδο αόκριση του συστήµατος Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

14 Ευστάθεια στο είεδο Ζ Ευστάθεια γραµµικών συστηµάτων στο εδίο του χρόνου: hn hk < Στο εδίο του µετασχ.- έχουµε αντίστοιχη σχέση: Σύµφωνα µε το θεώρηµα των γραµµικών αιτιατών συστηµάτων ένα σύστηµα είναι ευσταθές όταν οι όλοι του ευρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

15 Ευστάθεια στο είεδο Ζ - Παράδειγµα H Y X a Σύµφωνα µε το ροηγούµενο θεώρηµα το σύστηµα είναι ευσταθές εάν α< εαλήθευση : hnz - { a } a n- un- hn[0 a a a...] Είναι ροφανές ότι για ευστάθεια ρέει a< Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5

16 Ευστάθεια στο είεδο Ζ - Παράδειγµα H Y Y X [ ] a [ ] [ ] [ ] a a Y X yn yn xn hn 4 6 0, 0,, 0, a, 0, a, 0, a,... ευστάθεια a < Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

17 Ευστάθεια στο είεδο Ζ συνέχεια Για ένα σύστηµα ας τάξεως µε ραγµατική hn οι όλοι έχουν τη µορφή, r ±θ, οότε: H a θ θ * r r r cosθ r ευστάθεια r < Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7

18 Συστήµατα στο -domain Κάθε σύστηµα υψηλής τάξεως µορεί να αρασταθεί αό συστήµατα ης και ας τάξεως σε διαδοχική ή αράλληλη σύνδεση. Συνάρτηση ρώτης τάξεως H p χ. H a Συνάρτηση ας τάξεως H b o r bo b r cosθ b θ b r r b θ H rcosθ Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8 r

19 Γεωµετρικός υολογισµός Αόκρισης συχνότητας DTFT Παράδειγµα ω ω 0.8 ω 0.8 H H ω H ω ω ω Είεδο ω β ω α ω ω0 Η α/β Η ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9

20 Συστήµατα ης τάξεως Ηγενική συνάρτηση του είναι H p Ηαόκριση συχνότητας Η ω σχετίζεται µε τον όλο της συνάρτησης. H Ειλέγουµε σαν συνάρτηση την a Εάν ο όλος a είναι θετικός το σύστηµα θα έχει µέγιστο G στη συχνότητα ω0 και µία συνεχή τώση µέχρι ω όου είναι ελάχιστο G ηλαδή είναι ένα βαθυερατό φίλτρο G 0 G 0 a a a a Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 0

21 Συστήµατα ης τάξεως - συνέχεια a είεδο a Εάν οι όλοι κινούνται ιο κοντά στον µοναδιαίο κύκλο: Hω Hω η «κορυφή» αυξάνει- G G το εύρος ζώνης µειώνεται - και η κρουστική αόκριση εξασθενεί ιο αργά. G ω G ω Εάν ο όλος a είναι αρνητικός τότε το µέγιστο θα είναι στο ω και το ελάχιστο στο ω0. ηλ. είναι ένα ηψιερατό φίλτρο. hn hn Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

22 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ Συστήµατα ας τάξεως Τα συστήµατα ας τάξεως αντιστοιχούν στην συνάρτηση: o a a b b b H - Εάν οι όλοι είναι ραγµατικοί, η ανάλυση του ανάγεται σε συστήµατα της ης τάξεως. - Εάν οι όλοι είναι µιγαδικοί r θ, η Η αίρνει τη µορφή o o r r cos b b b r r b b b H θ θ θ

23 Συστήµατα ας τάξεως συνέχεια Αόκριση συχνότητας Ας θεωρήσουµε µόνο µηδενισµούς στο 0. θα έχουµε τηνµορφή Μερικά συµεράσµατα: H r cosθ r r η αόκριση γίνεται οξεία και το εύρος ζώνης ελαττώνεται. Η κρουστική αόκριση έχει µικρότερο ρυθµό εξασθένησης. r έχουµε σύστηµα ταλαντωτή. θ0 βαθυερατό φίλτρο θ υψιερατό. Σε ενδιάµεσα θ έχουµε ζωνοδιαβατά φίλτρα. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ

24 Αοκρίσεις για διαφορετικές τιµές του r και του θ. Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 4

25 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 5 Παράδειγµα όλοι άνω στο µοναδιαίο κύκλο ίνεται η εξ. διαφορών: yn yn- - yn- xn xn- / / H 4cos / / / / / / / / n u n n u n u n h n n Ανάλυση σε αλά κλάσµατα Αντίστροφος-

26 αράδειγµα - Συνέχεια hn n Παρατήρηση: Η συχνότητα του ταλαντωτή είναι / Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 6

27 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 7 Παράδειγµα όλοι µέσα στο µοναδιαίο κύκλο Για το σύστηµα µε εξ. διαφορών yn/yn--/4yn-xn έχουµε: 4 H x x un 6 n cos hn n / 6 / / 6 / Παρατήρηση: Η εξασθένηση εξαρτάται αό την αόσταση του όλου αό το µοναδιαίο κύκλο εριφέρεια

28 Ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Χαρακτηριστικά ζωνοδιαβατά φίλτρα: εχουν όλους λησίον του µοναδιαίου κύκλου και µηδενισµούς στο ω0 και ω ή ισοδύναµα στο και -. H H ω.44 cos ω.58cosω.6cos ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 8

29 H m H m ω ω ο Γραφική αράσταση της αόκρισης συχνότητας του ζωνοδιαβατού φίλτρου του αραδείγµατος ιακρίνεται η κεντρική συχνότητα ω ο και το εύρος ζώνης ω. Είσης οι µηδενισµοί στο ω0 και ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 9

30 συνέχεια Ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Tελικά H ω ο Ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο ης τάξης χαρακτηρίζεται αό: κεντρική συχνότητα εύρος ζώνης H ω ο ω 0 0 ω Νοέµβριος 005 ΨΕΣ 0

31 Νοέµβριος 005 ΨΕΣ