ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων (I) 1. Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 21/3/2018
ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (1/4) Παραδοχές: o Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων o Εξέλιξη της κατάστασης - πληθυσμού n(t) βασισμένη μόνο στο παρόν (Ιδιότητα Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών Κατάσταση ισορροπίας (steady state) Την χρονική στιγμή t το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n(t) = k Μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t Δt, Δt 0 : Μία άφιξη στο διάστημα Δt, με πιθανότητα λ k 1 Δt αν k > 0 Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ k+1 Δt αν υπάρχει η k + 1 (σε περίπτωση περιορισμού μέγιστου πληθυσμού K μπορούμε να θεωρήσουμε μ k+1 = 0) Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1 (λ k + μ k )Δt αν k > 0 ή 1 λ 0 Δt αν k = 0 Οι εξισώσεις μετάβασης (Chapman - Kolmogorov) προκύπτουν από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P k t = λ k 1 ΔtP k 1 t Δt + μ k+1 ΔtP k+1 t Δt + 1 λ k + μ k Δt P k t Δt P 0 (t) = μ 1 Δt P 1 (t Δt) + (1 λ 0 Δt) P 0 (t Δt) με αρχικές συνθήκες P k 0 και οριακές συνθήκες P k t = 1, t k 2
ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (2/4) Στο όριο, Δt 0, P k t P k (t Δt) Δt εξισώσεων διαφορών: dp k(t) και προκύπτει το γραμμικό σύστημα διαφορικών dp k(t) dp 0(t) = λ k 1 P k 1 t + μ k+1 P k+1 t λ k + μ k P k t, k > 0 = μ 1 P 1 t λ 0 P 0 t με αρχικές συνθήκες P k 0 και οριακές συνθήκες P k t = 1, t k Όταν t και κάτω από ορισμένες συνθήκες το σύστημα συγκλίνει σε σταθερή κατάσταση. Το μεταβατικό φαινόμενο παρέρχεται για καταστάσεις n t = k απείρως επισκέψιμες - positive recurrent, ξεχνιέται η αρχική συνθήκη P k 0 και οι πιθανότητές P k t συγκλίνουν στις οριακές πιθανότητες P k > 0 : Για t, dp k(t) = 0, P k t P k > 0 : Εργοδικές Οριακές Πιθανότητες Σημείωση: Ισχύει η εργοδική ιδιότητα και οι οριακές πιθανότητες μπορούν να προσεγγισθούν σαν P k = lim { T k } όπου T T T k είναι το σχετικό συνολικό χρονικό διάστημα T k όταν n t ορίζοντα T μιας καταγραφής της ανέλιξης n t σε ισορροπία. = k σε μεγάλο χρονικό Οι εργοδικές οριακές πιθανότητες προκύπτουν από τις γραμμικά ανεξάρτητες Εξισώσεις Ισορροπίας: λ k + μ k P k = λ k 1 P k 1 + μ k+1 P k+1, k > 1 λ 0 P 0 = μ 1P 1 P 0 + P 1 + + P k + = 1 3
ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (3/4) Εφαρμογή σε Απλή Ουρά Μ/Μ/1 Αφίξεις Poisson με μέσο ρυθμό λ αφίξεις/sec: λ k = λ, k = 0,1,2,3, Χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί με μέση τιμή E s = 1 μ sec: μ k = μ, k = 1,2,3, ρ = λ < 1 Erlang (συνθήκη για οριακή ισορροπία εργοδικότητα) μ H εξέλιξη των πιθανοτήτων P n t = k = P k (t) προκύπτει από το σύστημα διαφορικών εξισώσεων: dp k(t) dp 0(t) = λp k 1 t + μp k+1 t λ + μ P k t, k > 0 = μp 1 t λp 0 t με αρχικές συνθήκες P k 0 και οριακές συνθήκες k=0 P k t = 1 t 0 Στο όριο t, dp k(t) = 0, P k t P k > 0, τις εργοδικές πιθανότητες που προκύπτουν από τις εξισώσεις ισορροπίας: λp 0 = μp 1 ή P 1 = λ μ P 0 = ρp 0 λ + μ P 1 = λp 0 + μp 2 ή P 2 = ρ 2 P 0 και γενικά P k = ρ k P 0, k > 0 P 0 + P 1 + + P k + = 1 = P 0 1 + ρ + ρ 2 + ρ 3 + Εφόσον 0 < ρ < 1 η άπειρη δυναμοσειρά 1 + ρ + ρ 2 + ρ 3 + 1 1 ρ P 0( 1 1 ρ ) = 1 και P 0 = 1 ρ, P k = 1 ρ ρ k, k > 0 Μέσο μήκος ουράς Μ/Μ/1 σε ισορροπία: E n t kp k = ρ k=1 1 ρ 4
ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (4/4) Χρονική Εξέλιξη Πιθανοτήτων Κατάστασης Απλής Ουράς Μ/Μ/1 ρ = λ = 0.5 Erlangs μ Αρχικές Συνθήκες: P 0 0 = 1, P k 0 = 0 Οριακές Εργοδικες Πιθανότητες: lim 0(t) = P 0 = 1 ρ = 0.500 t lim 1(t) = P 1 = t 1 ρ ρ = 0.250 lim 2(t) = P 2 = t 1 ρ ρ 2 = 0.125 5
ΟΥΡΑ MARKOV Μ/Μ/1 Αφίξεις Poisson με μέσο ρυθμό λ αφίξεις/sec: λ k = λ = γ, k = 0,1,2,3, Χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί με μέση τιμή E s = 1 sec: μ μ k = μ, k = 1,2,3, ρ = u = λ < 1 Erlang (συνθήκη για οριακή ισορροπία εργοδικότητα) μ Οι εργοδικές πιθανότητες προκύπτουν από τις εξισώσεις ισορροπίας: E[n t ] λp = μp 0 1 ή P 1 = λ P μ 0 = ρp 0 λ + μ P 1 = λp 0 + μp 2 ή P 2 = ρ 2 P 0 και P k = ρ k P 0, k > 0 P 0 + P 1 + + P k + = 1 = P 0 1 + ρ + ρ 2 + ρ 3 + Με 0 < ρ < 1 η άπειρη δυναμοσειρά συγκλίνει, P 0 1 1 ρ = 1 P 0 = 1 ρ, P k = 1 ρ ρ k, k > 0 και P n t > 0 = 1 P 0 = ρ Μέση κατάσταση συστήματος Μ/Μ/1 σε ισορροπία: E T ρ E n t = kp k = ρ 1 ρ k=1 Μέσος χρόνος καθυστέρησης: Τύπος Little E T = E n t γ = E n t λ = 1/μ 1 ρ Μέσο μήκος ουράς & μέσος χρόνος αναμονής Μ/Μ/1: E n q t = E n t ρ, E W = E T 1/μ 6 ρ