οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει και δεύτερος τρόπος παραγοντοποίησης: ) Άθροισμα δυνάμεων με ίδιο περιττό εκθέτη (ΠΡΟΣΟΧΗ! ισχύει ΜΟΝΟ για περιττούς εκθέτες): ) Το διώνυμο του Νεύτωνα: Μερικές χρήσιμες παρατηρήσεις στο διώνυμο του Νεύτωνα Οι δυνάμεις του α ξεκινούν από το ν και ελαττώνονται κατά ένα μέχρι να γίνουν 0, ενώ οι δυνάμεις του β ξεκινούν από το 0 και αυξάνουν κατά ένα μέχρι να γίνουν ν Σε κάθε όρο το άθροισµα των εκθετών του α και του β είναι σταθερό και ίσο µε ν Το πλήθος των όρων του αναπτύγματος είναι ίσο µε ν+ 4 Οι όροι του αναπτύγµατος που ισαπέχουν από τα άκρα έχουν ίσους συντελεστές Αν ο ν είναι άρτιος αριθµός, τότε το πλήθος των όρων του αναπτύγματος είναι περιττός αριθµός και υπάρχει ένας µόνο µεσαίος όρος που έχει τον µεγαλύτερο συντελεστή και οι εκθέτες των α και β είναι ίσοι 6 Αν ο ν είναι περιττός αριθµός, τότε το πλήθος των όρων του αναπτύγµατος είναι άρτιος αριθµός και υπάρχουν δύο µεσαίοι όροι που έχουν τον ίδιο συντελεστή, που είναι και ο µεγαλύτερος του αναπτύγµατος 7 Στο ανάπτυγµα όλοι οι όροι έχουν θετικό πρόσηµο, ενώ στο ανάπτυγµα το πρόσηµο των όρων είναι εναλλάξ θετικό και αρνητικό 8 Κάθε συντελεστής προκύπτει αν λάβουµε το γινόµενο του συντελεστή επί τον εκθέτη του προηγούµενου όρου και διαιρέσουµε µε τον αριθµό που δηλώνει την τάξη του προηγούµενου όρου 4) Ταυτότητα του Lagrange για τέσσερεις όρους: y y y ) Ταυτότητα του Euler: Εφαρμογή της ταυτότητας του Euler: ή 0 6) Εφαρμογές ταυτοτήτων:,,, 4 4 7) Να αποδείξετε ότι: (α β) + (β γ) + (γ α) = (α β)(β γ)(γ α) 8) Να κάνετε γινόμενο παραγόντων την παράσταση: 9) Αν ν: φυσικός αριθμός να δείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 6 0) Δίνονται οι μη μηδενικοί ακέραιοι α, β, για τους οποίους ισχύει: α Να αποδείξετε ότι ή β Αν ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:
Μέθοδος απόδειξης: «απαγωγή σε άτοπο» Η μέθοδος αυτή δουλεύει ως εξής: Ισχυριζόμαστε ότι «δεν ισχύει το συμπέρασμα» Δεχόμαστε δηλαδή ότι ισχύει το αντίθετο του συμπεράσματος Προχωρούμε κάνοντας λογικές πράξεις χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της άσκησης Αν φτάσουμε σε κάτι λάθος τότε απορρίπτουμε τον αρχικό μας ισχυρισμό ότι δηλαδή «δεν ισχύει το συμπέρασμα», άρα δεχόμαστε ότι «ισχύει το συμπέρασμα» Με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο να αποδείξετε ότι: ) αν ο ακέραιος α είναι άρτιος τότε το α είναι άρτιος, ) αν ο ακέραιος α είναι περιττός τότε το α είναι περιττός, 4) αν και, τότε, ) αν * και, τότε, 6) ο αριθμός είναι άρρητος, 7) αν 4, τότε Με τη μέθοδο του αντιπαραδείγματος να αποδείξετε ότι: 8) για κάθε αριθμό α είναι ψευδής, 9) για οποιουσδήποτε αριθμούς α και β είναι ψευδής άλλες ασκήσεις στις ταυτότητες και στις πράξεις 0) Αν για τους αριθμούς, y ισχύουν y 4 και y, να βρείτε το λ, το και το y ) Αν οι αριθμοί α, β είναι ανάλογοι των αριθμών, τότε: α) γράψτε την ισότητα των λόγων που προκύπτει β) Αν ο κάθε λόγος του (α) ερωτήματος είναι λ, να εκφράσετε σε σχέση με το λ τους λόγους 6, 6 ) α) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθμός β) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο ενός περιττού ακεραίου μπορεί να γραφεί στη μορφή 8λ +, όπου λ κάποιος ακέραιος γ) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο ενός περιττού ακεραίου δεν διαιρείται με το 8 ) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο δύο διαδοχικών άρτιων αυξημένο κατά ένα ισούται με το τετράγωνο του περιττού ακεραίου που βρίσκεται μεταξύ αυτών 4) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο δύο διαδοχικών περιττών αυξημένο κατά ένα ισούται με το τετράγωνο του άρτιου ακεραίου που βρίσκεται μεταξύ αυτών ) Αν 4 4 A 6 6, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 6) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: B ( )( ) ( )( ) ( )(, ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 7) Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 6 6, y E, Z 9 4 y y, H, 4 4 4 8) Αν α + β + γ αβ βγ γα = 0, να αποδείξετε ότι α = β = γ 9) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων αυξημένο κατά είναι τέλειο τετράγωνο ενός ακεραίου αριθμού 0) Αν, να δείξετε ότι
διάταξη πραγματικών αριθμών ) Κατασκευάστε μερικά ορθογώνια με διαστάσεις y, που να έχουν άθροισμα ίσο με 0 cm (Για παράδειγμα: 9 cm και y cm ή 8 cm και y cm ή ή cm και y cm ) α Διαπιστώστε ότι: Τα εμβαδά τους είναι όλα μικρότερα ή ίσα των cm Τα εμβαδά των τετραγώνων με πλευρές τις διαγώνιες των ορθογωνίων είναι μεγαλύτερα ή ίσα των 0 cm β Αποδείξτε ότι τα παραπάνω συμπεράσματα ισχύουν για κάθε ορθογώνιο με διαστάσεις y, των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με 0 cm,ακολουθώντας τα επόμενα βήματα: Εκφράστε το y συναρτήσει του Εκφράστε το εμβαδόν του ορθογωνίου συναρτήσει του και αποδείξτε ότι αυτό είναι μικρότερο ή ίσο των cm Εκφράστε το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά τη διαγώνιο του ορθογωνίου συναρτήσει του και αποδείξτε ότι αυτό είναι μεγαλύτερο ή των 0 cm ) Αν 0, να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς:,, 0,,,, ) Ελέγξτε αν καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) α Αν y τότε y y 0 Σ Λ β Αν τότε Σ Λ γ Αν τότε Σ Λ δ Αν 0 y τότε y Σ Λ ε Αν 0 y και (φυσικοί) τότε y Σ Λ 4) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν:, < α <, και, β, Κάθε παράσταση της πρώτης στήλης ανήκει σε ένα μόνο διάστημα της δεύτερης στήλης Συνδέστε με μία γραμμή κάθε παράσταση της πρώτης στήλης με το αντίστοιχο διάστημα της δεύτερης στήλης: Στήλη Α Στήλη Β 4,9 4,9 4,,6 0, 4 0, 4 ) Έστω α, β, δύο πραγματικοί αριθμοί ώστε α 0, β > α Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς: β +, α, β +, α +, β, α, β 6) Έστω α, β, δύο πραγματικοί αριθμοί ώστε α, β > α Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:,,, β, α,,,, α, β
7) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β με α < β α Να δείξετε ότι 0 β Να δείξετε ότι 0 γ Να τοποθετήσετε από τον μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς δ Να δείξετε ότι ο αριθμός, α, β βρίσκεται στο μέσο του διαστήματος [α, β] 8) α Δύο θετικοί και αντίστροφοι αριθμοί έχουν άθροισμα (Επιλέξτε την σωστή απάντηση) Α: μεγαλύτερο ή ίσο του Β: μικρότερο του Γ: μικρότερο ή ίσο του Δ: δεν μπορούμε να γνωρίζουμε β Δύο αρνητικοί και αντίστροφοι αριθμοί έχουν άθροισμα (Επιλέξτε την σωστή απάντηση) Α: μεγαλύτερο ή ίσο του Β: μεγαλύτερο του Γ: μικρότερο ή ίσο του Δ: δεν μπορούμε να γνωρίζουμε γ Αν α, β, γ τρεις αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι: 6 Πότε ισχύει το ίσον; δ Αν α, β, γ τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι: 6 Πότε ισχύει το ίσον; 9) Αν, να δείξετε ότι : 40) Αν 0, να δείξετε ότι: 4) Αν 0, να δείξετε ότι: 4) Να δείξετε ότι για κάθε, ισχύουν: α 4 0 β 0 γ 0 δ 0 ε 4 6 Πότε ισχύει η ισότητα; 4) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, y ώστε να ισχύει: α y 0 4y 9 β y y γ 44) Αν, 0 και, να δείξετε ότι: y 4y α β (πότε ισχύει το =;) γ (πότε ισχύει το =;) 4) Αν,9, και 0, y 0,8, να εκτιμήσετε την περίμετρο του παρακάτω σχήματος: 4
απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού ασκήσεις απ την τράπεζα θεμάτων 46) α) Να λύσετε την ανίσωση β) Να λύσετε την ανίσωση γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δυο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων 47) Αν ο πραγµατικός αριθµός ικανοποιεί τη σχέση, τότε: α) να δείξετε ότι, β) να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης είναι ανεξάρτητη του 48) ίνεται η παράσταση, µε, για τους οποίους ισχύει και Να δείξετε ότι: α) β) 49) Για τους πραγµατικούς αριθµούς ισχύει ότι και α) Να αποδειχθεί ότι β) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται ο γ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση δ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση 0) α) Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει β) Θεωρούµε πραγµατικό αριθµό που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγµατικών αριθµών είναι µικρότερη από i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθµού αυτού από το 4 είναι µεγαλύτερη του και µικρότερη του ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιµή της απόστασης του από το ) ίνεται η παράσταση, α) Να δείξετε ότι: i) για τότε, ii) για τότε β) Αν, να δείξετε ότι ) ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί και για τους οποίους ισχύει η ανίσωση α) Να αποδείξετε ότι το είναι µεταξύ των β) Αν επιπλέον, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωµετρικά είτε αλγεβρικά ) Για κάθε πραγµατικό αριθµό µε την ιδιότητα : α) να γράψετε τις παραστάσεις και χωρίς απόλυτες τιµές, β) να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 4) ίνεται η παράσταση α) Για, να δείξετε ότι β) Για, να δείξετε ότι η παράσταση έχει σταθερή τιµή (ανεξάρτητη του ), την οποία και να προσδιορίσετε ) Σε έναν άξονα τα σηµεία Α, Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθµούς και αντίστοιχα α) Να διατυπώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία των παραστάσεων και β) Αν ισχύει, i) Ποια γεωµετρική ιδιότητα του σηµείου Μ αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας
ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό που παριστάνει το σηµείο Μ Να επιβεβαιώσετε µε αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας 6) ίνονται οι παραστάσεις και, όπου ο είναι πραγµατικός αριθµός α) Για κάθε να αποδείξετε ότι β) Υπάρχει ώστε να ισχύει ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 7) Για τον πραγµατικό αριθµό ισχύει α) Να αποδείξετε ότι β) Αν να αποδείξετε ότι η παράσταση είναι ανεξάρτητη του 8) ίνεται πραγµατικός αριθµός για τον οποίο ισχύει α) Να αποδείξετε ότι β) Να απλοποιήσετε την παράσταση 9) ίνονται πραγµατικοί αριθµοί, για τους οποίους ισχύει α) Να αποδείξετε ότι β) Να απλοποιήσετε την παράσταση 60) ίνονται τα σηµεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγµατικών αριθµών τους αριθµούς και αντίστοιχα, µε α) Να διατυπώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία των παραστάσεων και β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του αθροίσµατος γ) Να βρείτε την τιµή της παράστασης γεωµετρικά δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούµενο συµπέρασµα 6) ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός που ικανοποιεί τη σχέση α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά β) Με χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών, να παραστήσετε σε µορφή διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του γ) Να γράψετε τη σχέση µε το σύµβολο της απόλυτης τιµής και να επιβεβαιώσετε µε αλγεβρικό τρόπο το συµπέρασµα του ερωτήµατος (β) δ) Να χρησιµοποιήσετε το συµπέρασµα του ερωτήµατος (γ) για να δείξετε ότι ερωτήσεις Σωστού Λάθους 6) Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές ή λάθος Να γράψετε στο τέλος της κάθε πρότασης Σ αν αυτή είναι σωστή ή Λ αν είναι λάθος i Αν ένας αρνητικός πραγματικός αριθμός τότε: ii Ισχύει ( ) και iii Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ισχύει: 0 και 0 iv Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ισχύει: v Αν τότε πρέπει = 00 vi Ο μοναδικός ακέραιος αριθμός για τον οποίο ισχύει: είναι το vii Αν α αρνητικός αριθμός τότε ισχύει: viii Αν α, β δύο αρνητικοί αριθμοί με α < β τότε i Ο αριθμός α απέχει από την αρχή του άξονα περισσότερο απ ότι απέχει ένας άλλος αριθμός β τότε θα ισχύει α > β Αν α + β = 0 τότε 6
ρίζες ασκήσεις απ την τράπεζα θεμάτων 6) ίνεται η παράσταση α) Να βρείτε για ποιες τιµές του ορίζεται η παράσταση β) Αν, να δείξετε ότι 64) ίνεται η παράσταση α) Να βρείτε για ποιες τιµές του ορίζεται η παράσταση β) Αν, να δείξετε ότι 6) ίνεται η παράσταση α) Να βρείτε για ποιες τιµές του ορίζεται η παράσταση β) Αν, να δείξετε ότι 66) ίνονται οι αριθµοί και α) Να δείξετε ότι β) Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθµούς και 67) ίνεται η παράσταση α) Για ποιες τιµές του ορίζεται η παράσταση ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του 68) α) Να δείξετε ότι β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς και 69) ίνεται η παράσταση α) Για ποιες τιµές του ορίζεται η παράσταση ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του σε µορφή διαστήµατος β) Για,να αποδείξετε ότι 70) ίνεται η παράσταση α) Να βρεθούν οι τιµές που πρέπει να πάρει το, ώστε η παράσταση να έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού β) Αν, να αποδείξετε ότι παράσταση είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του 7) ίνονται οι αριθµητικές παραστάσεις και α) Να δείξετε ότι β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς και Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 7) ίνονται οι παραστάσεις: και, όπου πραγµατικός αριθµός α) Για ποιες τιµές του ορίζεται η παράσταση ; β) Για ποιες τιµές του ορίζεται η παράσταση ; γ) Nα δείξετε ότι, για κάθε, ισχύει 7) Αν είναι, και, τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς 74) Αν είναι,, τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 7) Στον πίνακα της τάξης σας είναι γραµµένες οι παρακάτω πληροφορίες (προσεγγίσεις):,,, α) Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε τα παραπάνω δεδοµένα (όποια θεωρείτε κατάλληλα) και να υπολογίσετε µε προσέγγιση εκατοστού τους αριθµούς: 7
β) Αν δεν υπήρχαν στον πίνακα οι προσεγγιστικές τιµές των ριζών πώς θα µπορούσατε να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης ; 76) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: i Νιοστή ρίζα ενός πραγματικού αριθμού α ονομάζουμε τον πραγματικό αριθμό ο οποίος όταν στην ν μας δίνει τον αριθμό α Δηλαδή:, με α, ii Αν μη αρνητικός πραγματικός αριθμός και ν θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: = iii Αν μη αρνητικός πραγματικός αριθμός και ν θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: iv Αν μη αρνητικός πραγματικός αριθμός και ν θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: v Αν πραγματικός αριθμός και ν θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: = vi Αν, y μη αρνητικοί αριθμοί και ν θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: y vii Αν, y μη αρνητικοί αριθμοί με y 0 και ν θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: viii Αν, y μη αρνητικοί αριθμοί και ν θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: y = = y i Αν μη αρνητικός πραγματικός αριθμός και ν, κ θετικοί ακέραιοι, τότε ισχύει: = Αν, y αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί και ν άρτιος θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: y i Αν μη αρνητικός πραγματικός αριθμός και ν, μ θετικοί ακέραιοι, τότε ισχύει: ii Αν ισχύει, τότε πρέπει ο να είναι πραγματικός αριθμός και ο ν να είναι ακέραιος iii Αν ισχύει, τότε πρέπει ο να είναι πραγματικός αριθμός και ο ν να είναι ακέραιος iv Ο μοναδικός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει είναι ο αριθμός = v Αν θετικός πραγματικός αριθμός και ν, μ θετικοί ακέραιοι, με ν > μ τότε ισχύει: 77) Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές ή λάθος Να γράψετε στο τέλος της κάθε πρότασης Σ αν αυτή είναι σωστή ή Λ αν είναι λάθος i Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ισχύει: ii iii iv Αν, y μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει: Αν, y αρνητικοί αριθμοί, ισχύει: Η y y ( y) y έχει νόημα μόνον εφόσον ο αριθμός είναι μη αρνητικός αριθμός v Η 8 είναι το γιατί vi Η 4 μπορεί να είναι το γιατί 4 4 vii Ισχύει ( ) viii Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ισχύει: i Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό χ ισχύει: 6 8
78) Κάθε κλάσμα της στήλης Α, στον παρακάτω πίνακα, είναι ισοδύναμο με ένα μόνο κλάσμα της στήλης Β Να αντιστοιχίσετε τα ισοδύναμα κλάσματα Στη συνέχεια να κάνετε ρητοποίηση στα κλάσματα που υπάρχουν στις δύο τελευταίες στήλες Στήλη (Α) Στήλη (Β) Α Β 7 0 Γ 4 8 4 6 7 Δ 7 Ε ΣΤ 7 Ζ 7 79) Στον παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Αριθμός σε ένα μόνο στοιχείο της στήλης Τετραγωνική ρίζα αριθμού Αριθμός Τετραγωνική ρίζα αριθμού 48 Α 00 7 Β 4 8 Γ 0 4 00 Δ 8 0000 Ε 80) Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: 00 4 A 4 B 4 4 9 8) Αν και 4 8) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: A 6 4 00 9, να υπολογίσετε την διαφορά B 8 4 8 0 8 6 E 7 0 700 8) Αν θετικοί αριθμοί με να δείξετε ότι: 4 4 4 4 9
84) Αν θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι: α και να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα, β 4, γ και να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα, δ 6 6 8) Για θετικούς αριθμούς α, β με α<β να αποδείξετε ότι: α β γ 86) Αν και y να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: α β γ δ ε 87) Για θετικούς αριθμούς με : 88) Αν α Να βρείτε το ανάπτυγμα : β Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: α Να υπολογίσετε το β Να δείξετε ότι 89) Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i 6 ii _ 6 iii iv v 0 vi 0 vii 7 4 viii 7 4 i 8 8 90) Αν να απλοποιήστε την παράσταση: f 9) Να απλοποιηθούν τα ριζικά: 4 4 8 4 4, α β, 6α β,, α α α, 9) Να γίνουν οι πράξεις: 0 69 6 4 0 7 8 7 α α,, 7 4 8 4 9) Να γίνουν οι πράξεις: α α α, α α,, α α α 6 6 7 7 4 7 0 94) Ομοίως: 4 9 8 6 0 0 α : α, α : α, : 0