ΑΠΟΦΥΓΗ ΕΜΠΟ ΙΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΟΛΟΝΟΜΩΝ ΒΑΣΕΩΝ ΜΕ ΒΡΑΧΙΟΝΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ M.K. & A.E. Eργαστήριο Aυτοµάτου Eλέγχου Μεταπτυχιακή Εργασία ΑΠΟΦΥΓΗ ΕΜΠΟ ΙΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΟΛΟΝΟΜΩΝ ΒΑΣΕΩΝ ΜΕ ΒΡΑΧΙΟΝΑ Ιωάννης Πουλακάκης Eπιβλέπων Kαθηγητής: E. Γ. Παπαδόπουλος ΑΘΗΝΑ 2001

Περίληψη Τα συστήµατα έντροχων ροµποτικών βραχίονων που αποτελούνται από ένα η περισσότερους βραχίονες εδρασµένους κατάλληλα σε κινούµενες βάσεις παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε πλήθος εφαρµογές. Τα συστήµατα που µελετώνται στη παρούσα εργασία αποτελούνται από έναν βραχίονα δύο βαθµών ελευθερίας που είναι προσαρµοσµένος σε µη ολόνοµα έντροχα οχήµατα. Θεωρούνται δύο τύποι οχηµάτων: ένα διαφορικά οδηγούµενο όχηµα και ένα όχηµα µε οδηγό τροχό. Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται µία µεθοδολογία για το σχεδιασµό τροχιάς στην περίπτωση που υπάρχουν εµπόδια στο χώρο εργασίας του ροµπότ. Η µεθοδολογία χρησιµοποιεί λείες και συνεχείς συναρτήσεις όπως πολυώνυµα. Η µέθοδος οδηγεί στον υπολογισµό των κινηµατικών εισόδων που απαιτούνται για την οδήγηση του βραχίονα και της πλατφόρµας σε κάποιο επιθυµητό σηµείο και βασίζεται στην απεικόνιση του µη ολόνοµου περιορισµού σε έναν χώρο όπου µπορεί να ικανοποιηθεί µε τετριµµένο τρόπο. Εµπόδια που υπάρχουν στον καρτεσιανό χώρο απεικονίζονται επίσης στον χώρο αυτόν όπου µπορούν να αποφευχθούν µε αύξηση της τάξης των χρησιµοποιούµενων πολυωνύµων. Οι επιπλέον παράµετροι που απαιτούνται υπολογίζονται συστηµατικά ενώ ταυτόχρονα το υπολογιστικό κόστος αυξάνεται γραµµικά µε τον αριθµό εµποδίων και τη πολυπλοκότητα του σχήµατος του ροµπότ. Επιπλέον η µέθοδος επιτρέπει τον άµεσο έλεγχο του προσανατολισµού του οχήµατος. Επίσης παρουσιάζεται µία µέθοδος για το σχεδιασµό και την παρακολούθηση τροχιάς, που επιτρέπει στο τελικό στοιχείο δράσης και στο όχηµα να ακολουθούν καρτεσιανές τροχιές που δεν παραβιάζουν τον µη ολόνοµο περιορισµό. Εφαρµόζεται ένας αλγόριθµος µη γραµµικού ελέγχου βασισµένου στο δυναµικό µοντέλο ώστε να µηδενίζονται τυχόν σφάλµατα που υπεισέρχονται κατά την κίνηση του συστήµατος. Τα απαιτούµενα κέρδη δεν είναι µεγάλα και εξετάζεται η ευαισθησία του προτεινόµενου κατευθυντή στην περίπτωση που οι δυναµικές παράµετροι δεν είναι πλήρως γνωστές. Τέλος παρατίθενται αποτελέσµατα προσοµοιώσεων που δείχνουν την αποτελεσµατικότητα των αναπτυσσόµενων µεθόδων. ii

Περιεχόµενα Περίληψη...ii Περιεχόµενα... iii Κατάλογος Σχηµάτων...v 1. Εισαγωγή...1 1.1. Σηµασία του Προβλήµατος...1 1.2. Περιγραφή των υπό Μελέτη Συστηµάτων...3 1.3. Εξεταζόµενα Προβλήµατα και Ταξινόµηση της Ύλης σε Κεφάλαια...5 1.4. Ανασκόπηση της Βιβλιογραφίας...7 1.4.1. Σχεδιασµός Τροχιάς σε Μη Ολόνοµα Συστήµατα... 7 1.4.2. Σχεδιασµός Tροχιάς µε Aποφυγή Eµποδίων... 11 1.4.3. Βραχίονες Τοποθετηµένοι σε Κινούµενες βάσεις... 16 1.5. Συνεισφορά της Εργασίας...19 2. Κινηµατική Μελέτη Έντροχων Ροµποτικών Βραχιόνων...20 2.1. Εισαγωγή...20 2.2. Περιγραφή Οχηµάτων...20 2.2.1. Όχηµα µε ιαφορικά Οδηγούµενους Τροχούς... 20 2.3. Όχηµα µε Οδηγό Τροχό...25 2.4. Ολοκληρωµένο Σύστηµα Οχήµατος και Βραχίονα...27 2.4.1. Ευθύ Κινηµατικό Μοντέλο και Γεωµετρική Αντιστροφή της Εξίσωσης... 28 2.4.2. Εξισώσεις ιαφορικής Κινηµατικής... 30 3. Σχεδιασµός ρόµου και Αποφυγή Εµποδίων σε Μη Ολόνοµα Οχήµατα...34 3.1. Εισαγωγή...34 3.2. Ορισµός του Προβλήµατος...35 3.3. Σχεδιασµός του ρόµου...37 3.3.1. Περιγραφή της Μεθόδου για Σχεδιασµό του ρόµου... 37 3.3.2 Εφαρµογή της Μεθόδου στο Σχεδιασµό Τροχιάς... 40 3.3.3. Αποτελέσµατα Εφαρµογής της Μεθόδου... 42 iii

3.4. Απεικόνιση Εµποδίων...46 3.5. Βασικός Αλγόριθµος Αποφυγής Εµποδίων...49 3.5.1. Περίπτωση Μοναδικού Εµποδίου... 50 3.5.2. Πολλαπλά Εµπόδια... 56 4. Σχεδιασµός Τροχιάς και Μη Γραµµικός Έλεγχος Έντροχου Ροµποτικού Βραχίονα σε ιαφορικά Οδηγούµενο Όχηµα...59 4.1. Εισαγωγή...59 4.2. Σχεδιασµός Τροχιάς για Πλήρωση Ρωγµών...60 4.2.1. Προσοµοίωση Συστήµατος Αποτελέσµατα... 63 4.3. υναµική Ανάλυση Βραχίονα σε ιαφορικά Οδηγούµενο Όχηµα...64 4.4. Μη Γραµµικός Έλεγχος Βασισµένος στο Μοντέλο...69 4.4.1. Εφαρµογή Μη Γραµµικού Ελέγχου στην Πλήρωση Ρωγµών: Ακριβής Γνώση υναµικών Παραµέτρων... 72 4.4.2. Εφαρµογή Μη Γραµµικού Ελέγχου στην Πλήρωση Ρωγµών: Ελλιπής Γνώση υναµικών Παραµέτρων... 74 5. Σχεδιασµός Τροχιάς και Μη Γραµµικός Έλεγχος Έντροχου Βραχίονα σε Όχηµα µε Οδηγό Τροχό...78 5.1. Εισαγωγή...78 5.2. Σχεδιασµός Τροχιάς και Πλήρωση Ρωγµών...78 5.2.1. Προσοµοίωση Συστήµατος Αποτελέσµατα... 80 5.3. υναµική Μοντελοποίηση...82 5.4. Μη Γραµµικός Έλεγχος Βασισµένος στο Μοντέλο...89 6. Αξιολόγηση των Μεθόδων και Συµπεράσµατα...92 6.1. Συµπεράσµατα...92 6.2. Μελλοντική Εργασία...94 Βιβλιογραφία...95 Α. Μοντέλα Προσοµοίωσης Εξεταζόµενων Συστηµάτων...101 Α.1. Βραχίονας σε ιαφορικά Οδηγούµενο Όχηµα...101 Α.2. Βραχίονας σε Όχηµα µε Οδηγό Τροχό...105 iv

Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 2.1. Όχηµα µε δύο ανεξάρτητα οδηγούµενους τροχούς...21 Σχήµα 2.2. Όχηµα µε οδηγό τροχό και βασικές διαστάσεις...25 Σχήµα 2.3. Βραχίονας τοποθετηµένος σε κινούµενη βάση....28 Σχήµα 2.4. Βραχίονας τοποθετηµένος σε διαφορικά οδηγούµενο όχηµα....30 Σχήµα 2.5. Βραχίονας προσαρµοσµένος σε όχηµα µε οδηγό τροχό....32 Σχήµα 3.1. Βραχίονας τοποθετηµένος σε διαφορικά οδηγούµενο όχηµα....40 Σχήµα 3.2. Προσοµοίωση έντροχου ροµποτικού βραχίονα....44 Σχήµα 3.3. Κινηµατικές είσοδοι στο σύστηµα για τον δρόµο του Σχ. 3.2....45 Σχήµα 3.4. Εµπόδια στον Καρτεσιανό χώρο και στον χώρο u-v-w....49 Σχήµα 3.5. Ο αρχικά υπολογισµένος δρόµος τέµνει ένα κυκλικό εµπόδιο...54 Σχήµα 3.6. Εφικτά b 4 για την αποφυγή του εµποδίου του Σχ. 3.5....54 Σχήµα 3.7. Μετασχηµατισµένος δρόµος που αποφεύγει το εµπόδιο....55 Σχήµα 3.8. Είσοδοι στο σύστηµα για τον δρόµο του Σχ. 3.7....55 Σχήµα 3.9. ιάταξη εµποδίων στη γειτονιά του ροµπότ....57 Σχήµα 3.10. Περιοχή εφικτών τιµών για τη διάταξη των εµποδίων του Σχ. 3.9...57 Σχήµα 3.11. Μετασχηµατισµένος δρόµος που αποφεύγει τα εµπόδια του Σχ. 3.9....58 Σχήµα 3.12. Είσοδοι στο σύστηµα για την παραγωγή του δρόµου του Σχ. 3.11....58 Σχήµα 4.1. Βραχίονας προσαρµοσµένος σε διαφορικά οδηγούµενο όχηµα και γεωµετρία του συστήµατος... 61 Σχήµα 4.2. Επιθυµητές τροχιές του εµπρός σηµείου του οχήµατος και του τελικού στοιχείου δράσης.... 63 Σχήµα 4.3. Προσοµοίωση βραχίονα προσαρµοσµένου σε όχηµα µε οδηγό τροχό...64 Σχήµα 4.4. Εξέλιξη σφαλµάτων µε αβεβαιότητα στις δυναµικές παραµέτρους....73 Σχήµα 4.5. Ροπές εφαρµοζόµενες στους τροχούς του οχήµατος...74 Σχήµα 4.6. Ροπές εφαρµοζόµενες στις αρθρώσεις του βραχίονα...74 Σχήµα 4.7. Εξέλιξη σφαλµάτων µε αβεβαιότητα στις δυναµικές παραµέτρους....76 Σχήµα 4.8. Ροπές εφαρµοζόµενες στους τροχούς του οχήµατος...77 Σχήµα 4.9. Ροπές εφαρµοζόµενες στις αρθρώσεις του βραχίονα...77 v

Σχήµα 5.1. Βραχίονας προσαρµοσµένος σε όχηµα µε οδηγό τροχό και γεωµετρία του συστήµατος... 79 Σχήµα 5.2. Προσοµοίωση βραχίονα προσαρµοσµένου σε όχηµα µε οδηγό τροχό...82 Σχήµα 5.3. Κατευθύνσεις δράσης των δυνάµεων των περιορισµών....85 vi

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1. Σηµασία του Προβλήµατος Η εξέλιξη της ροµποτικής σήµερα οφείλεται κυρίως στην πρακτική σηµασία της κατασκευής µηχανών, οι οποίες θα έχουν την ικανότητα να αλληλεπιδρούν µε το περιβάλλον στο οποίο εργάζονται. Πράγµατι, ένα ροµπότ εκτελεί εργασίες οι οποίες διέπονται από κανόνες που σχετίζονται όχι µόνο µε την εσωτερική δοµή και λειτουργία της ίδιας της µηχανής αλλά και από την αλληλεπίδραση της µε το περιβάλλον στο οποίο δρα. Οι αρχικές εφαρµογές οδήγησαν στην κατασκευή ροµπότ τα οποία ήταν στέρεα συνδεδεµένα σε κάποιο σηµείο και είχαν τη δυνατότητα να εκτελούν ένα σύνολο επαναλαµβανόµενων εργασιών σε ένα δοµηµένο περιβάλλον, δηλαδή σε ένα περιβάλλον του οποίου η φυσική και γεωµετρική απεικόνιση είναι εκ των προτέρων γνωστή. Τα ροµπότ αυτά, που συνήθως περιλαµβάνουν τα καλούµενα βιοµηχανικά ροµπότ (industrial robots), χρησιµοποιήθηκαν και χρησιµοποιούνται µε µεγάλη επιτυχία στην αυτοµατοποίηση ορισµένων διαδικασιών της παραγωγής στη σύγχρονη βιοµηχανία. Η χρήση των ροµπότ στη βιοµηχανική παραγωγή είχε ευεργετικά αποτελέσµατα όσον αφορά στη µείωση του κόστους παραγωγής, στην αύξηση της παραγωγικότητας, στη βελτίωση της ποιότητας του προϊόντος καθώς επίσης και στην αντικατάσταση του ανθρώπου σε εργασίες που είναι επικίνδυνες και επιβλαβείς. Η σύγχρονη τάση που επικρατεί στη ροµποτική είναι η κατασκευή συστηµάτων τα οποία θα είναι ικανά να δράσουν σε περιβάλλοντα που δεν είναι εκ των προτέρων γνωστά (µη δοµηµένα περιβάλλοντα). Η εξέλιξη αυτή απαιτεί αύξηση της αυτονοµίας του ροµπότ, δηλαδή της ικανότητάς του, να αντιλαµβάνεται το περιβάλλον στο οποίο επιχειρεί να αντλεί πληροφορίες από αυτό και να τις αξιοποιεί κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο για την λήψη µιας απόφασης. Τα συστήµατα αυτά κατασκευάζονται συνήθως µε την τοποθέτηση ροµποτικών βραχιόνων, παρόµοιων µε αυτούς που χρησιµοποιούνται στις βιοµηχανικές εφαρµογές, πάνω σε κινούµενες βάσεις. Οι βάσεις αυτές παρουσιάζουν µεγάλη ποικιλία όσον αφορά στο σύστηµα κίνησης που διαθέτουν: Μπορούν να κινούνται µε τη βοήθεια τροχών (wheeled 1

mobile robots), µε τη βοήθεια ποδιών (legged robots), µε τη βοήθεια προωθητήρων στο διάστηµα µε τη βοήθεια προωθητήρων (free flying space robots) ή µε τη βοήθεα ελίκων κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας (underwater robots). Η σηµασία τέτοιων συστηµάτων είναι πολύ µεγάλη [7], [35]. Ροµπότ αυτής της κατηγορίας έχουν τη δυνατότητα να επιθεωρούν, να επιδιορθώνουν και να καθαρίζουν πυρηνικούς σταθµούς παραγωγής ενέργειας [6], [35], [64], να διενεργούν δειγµατοληψίες, αναλύσεις, εκτιµήσεις, εξκαφές και καθαρισµούς σε χώρους αποθήκευσης υλικών που είναι επικίνδυνα για τον άνθρωπο (π.χ. χηµικές βιοµηχανίες), να ανιχνεύουν και να απενεργοποιούν εκρηκτικούς µηχανισµούς, να ανιχνεύουν και καθαρίζουν παράκτιες πετρελαιοκηλίδες και άλλου είδους µολύνσεις, να διεξάγουν υποθαλάσσια έρευνα για λογαριασµό ερευνητικών φορέων, και τέλος µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην εξερεύνηση του διαστήµατος στην κατασκευή και διαχείριση διαστηµικών σταθµών, δορυφόρων [1], [31], [66]. Επίσης ροµπότ της κατηγορίας αυτής µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην εξόρυξη µεταλλευµάτων από ορυχεία [60], για την αυτοµατοποίηση της κατασκευής δρόµων [13], [40], [61] και για την αυτοµατοποίηση εργασιών της αγροτικής παραγωγής [24], [59]. Η περίπτωση της επιθεώρησης των πυρηνικών σταθµών και γενικότερα της διαχείρισης των πυρηνικών καυσίµων µετά τη χρήση τους, είναι καθοριστική και αναδεικνύει τη σηµασία της κατασκευής τέτοιων ροµπότ. Στα αµέσως επόµενα χρόνια η κυβέρνηση των Η.Π.Α. πρέπει να θέσει εκτός λειτουργίας πάνω από εκατό γερασµένους πυρηνικούς σταθµούς και να αποσύρει εκατοντάδες εκατοµµύρια κυβικά µέτρα πυρηνικών αποβλήτων, που προέρχονται από πυρηνικά όπλα. Η θερµοκρασία αυτών των αποβλήτων φθάνει τους 300 0 C και µπορεί να εκθέσει τον άνθρωπο σε µεγάλες δόσεις ραδιενέργειας. Η χρήση ροµπότ είναι µονόδροµος. Οι προσπάθειες προς την κατεύθυνση αυτή έχουν ήδη ξεκινήσει, βλ. για παράδειγµα [64], όπου περιγράφεται το ροµπότ ROSEE, το οποίο σχεδιάστηκε ειδικά για τον καθαρισµό της δεξαµενής τοποθέτησης του πυρηνικού καυσίµου. Μία άλλη ελκυστική περιοχή χρήσης ροµποτικών συστήµατων τοποθετηµένων σε κινούµενες βάσεις είναι η εξερεύνηση της επιφάνειας πλανητών, βλ. π.χ. [1], [31], [66]. Ήδη έχει σταλεί στον Άρη το πιο διάσηµο ίσως ροµπότ της κατηγορίας αυτής: ο pathfinder. Στόχος του pathfinder είναι η συλλογή πληροφοριών από την επιφάνεια και την ατµόσφαιρα του Άρη, η αξιολόγησή τους από το ίδιο το ροµπότ και η αποστολή των αποτελεσµάτων της αρχικής αυτής εκτίµησης στη Γη για περαιτέρω έρευνα. Η κατασκευή τέτοιων ροµπότ αποτελεί πράγµατι µία πρόκληση 2

κυρίως λόγω της πολύ µεγάλης απόστασης του ροµπότ από το κέντρο ελέγχου. Η διαπλανητική επικοινωνία είναι ιδιαίτερα δύσκολη, για παράδειγµα ο χρόνος για να φθάσει ένα σήµα στον Άρη, όπου δρα το pathfinder, µεταβάλλεται από 6 µέχρι 41 min, µε αποτέλεσµα µεγάλες χρονικές καθυστερήσεις από τη στιγµή που θα δοθεί µια εντολή µέχρι τη στιγµή που θα φθάσει στο ροµπότ. Συνεπώς, είναι ιδιαίτερα σηµαντική η κατασκευή ενός ροµπότ µε υψηλό βαθµό αυτονοµίας. Από την άλλη πλευρά όµως, τίθενται περιορισµοί που αφορούν στην αυτόνοµη πλοήγηση του ροµπότ και οι οποίοι σχετίζονται µε τις περιορισµένες δυνατότητες εκτέλεσης πράξεων που έχουν οι χρησιµοποιούµενοι υπολογιστές σε συνδυασµό µε τις αυξηµένες απαιτήσεις από πλευράς υπολογιστικής ισχύος που έχουν οι διάφοροι αλγόριθµοι, που εφαρµόζονται για σχεδιασµό τροχιάς, αποφυγή εµποδίων κ.λ.π. Οι παράγοντες αυτοί καθιστούν το πρόβληµα του σχεδιασµού τέτοιων αυτόνοµων ή ηµιαυτόνοµων µηχανών αρκετά σύνθετο και ταυτόχρονα ενδιαφέρον. Είναι σαφές ότι οι σύγχρονες ανάγκες της επιστήµης και της τεχνολογίας επιβάλλουν την λύση προβληµάτων που σχετίζονται µε την κατασκευή µηχανών, οι οποίες θα είναι ικανές να δρούν σε χώρους αφιλόξενους και επικίνδυνους για τον άνθρωπο, ενώ ο χειριστής θα µπορεί να επιβλέπει την εκτέλεση της επιθυµητής εργασίας µε ασφάλεια, ευρισκόµενος µακρυά από τον χώρο διεξαγωγής της εργασίας. Στόχος της παρούσας µεταπτυχιακής εργασίας είναι η µελέτη µιας συγκεκριµένης κατηγορίας συστηµάτων, που έχουν την ικανότητα να δρούν µε κάποιο βαθµό αυτονοµίας και η σχεδίαση επαρκών νόµων ελέγχου. Τα συστήµατα αυτά αποτελούνται από ροµποτικούς βραχίονες που είναι προσαρµοσµένοι πάνω σε τροχοφόρα οχήµατα. 1.2. Περιγραφή των υπό Μελέτη Συστηµάτων Είναι γεγονός ότι τα έντροχα οχήµατα είναι ευρέως διαδεδοµένα και χρησιµοποιούνται σήµερα σε πολλές εφαρµογές. Οχήµατα τα οποία προωθούνται µε τη βοήθεια ποδιών έχουν µελετηθεί αλλά δεν χρησιµοποιούνται σε πρακτικές εφαρµογές λόγω κυρίως του ότι είναι δυσκολότερο να ελεγχθούν, έχουν προβλήµατα ευστάθειας και απαιτούν περισσότερη ενέργεια ανά µονάδα διανυόµενης απόστασης σε σύγκριση µε τα έντροχα οχήµατα. Όπως ήδη έχει αναφερθεί στην παρούσα εργασία µελετώνται οχήµατα που κινούνται µε την βοήθεια τροχών. 3

Τα έντροχα ροµποτικά οχήµατα µπορούν να ταξινοµηθούν ανάλογα µε το σύστηµα κίνησης που διαθέτουν σε ιαφορικά οδηγούµενα (differential drive) όπου οι τροχοί είναι τοποθετηµένοι στις δύο άκρες κοινού άξονα και ελέγχονται από διαφορετικούς κινητήρες. Ο µηχανισµός αυτός κίνησης είναι ο λιγότερο πολύπλοκος. Σύγχρονης οδήγησης (synchro drive) όπου κάθε τροχός είναι οδηγός τροχός δηλαδή µπορούµε να ελέγξουµε τη γωνία προσανατολισµού του καθώς επίσης και την ταχύτητα πρόωσης του. Συνήθως αποτελούνται από τρείς τροχούς τοποθετηµένους στις γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου. Όλοι οι τροχοί κινούνται µε την ίδια ταχύτητα κατά την ίδια κατέυθυνση. Βασικό πρόβληµα των οχηµάτων αυτών είναι ότι µικρές ανωµαλίες στο έδαφος µπορεί να οδηγήσουν σε προβλήµατα ευθυγράµµισης των τροχών. Τρίκυκλα οχήµατα µε οδηγό τροχό (tricycle drive robots) τα οποία αποτελούνται από τρείς τροχούς από τους οποίους ο εµπρός τροχός είναι υπεύθυνος για την πρόωση και τον προσανατολισµό του οχήµατος. Βασικό χαρακτηριστικό του οχήµατος αυτού είναι ότι είναι αδύνατο να αλλάξει τον προσανατολισµό του επιτόπου. Οχήµατα µε µηχανισµό οδήγησης Ackerman (car like drive robots) τα οποία αποτελούνται από 4 τροχούς. Ο τύπος αυτός προτιµάται κυρίως από οχήµατα που χρησιµοποιούνται στη µεταφορά βαρέων αντικειµένων. Μπορεί πάντως να γίνει η παραδοχή ότι το ζεύγος των τροχών που είναι υπεύθυνοι για την κίνηση και τον προσανατολισµό του οχήµατος είναι ισοδύναµο µε την ύπαρξη ένος τροχού τοποθετηµένου στο µέσον του αντίστοιχου άξονα, οπότε το όχηµα εµπίπτει πλέον στην προηγούµενη κατηγορία. Τα συστήµατα που θα µελετηθούν στη συγκεκριµένη εργασία αποτελούνται από έναν βραχίονα δύο βαθµών ελευθερίας, ο οποίος είναι προσαρµοσµένος σε κινούµενο όχηµα. Θεωρούνται δύο περιπτώσεις οχήµατων ανάλογα µε το σύστηµα κίνησης που διαθέτουν: Ένα όχηµα µε δύο ανεξάρτητα οδηγούµενους τροχούς, το οποίο όπως προαναφέρθηκε ονοµάζεται και διαφορικά οδηγούµενο όχηµα και ένα τρίκυκλο όχηµα µε οδηγό τροχό. Η επιλογή των οχηµάτων αυτού του τύπου υπαγορεύθηκε από το ότι αυτά είναι τα πιο συχνά απαντώµενα οχήµατα στην πράξη και στην καθηµερινή εµπειρία. Ο βραχίονας που επιλέχθηκε είναι σχετικά απλός χωρίς όµως αυτό να σηµαίνει ότι οι 4

χρησιµοποιούµενες µέθοδοι δεν µπορούν να γενικευθούν ώστε να περιλάβουν και άλλους βραχίονες µε περισσότερους βαθµούς ελευθερίας. Το συνολικό σύστηµα θεωρείται ότι δρα σε οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή το όχηµα θεωρείται ότι κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο ενώ ο βραχίονας δρα σε επίπεδο παράλληλο προς αυτό. Μοντέλα τριβής δεν χρησιµοποιούνται στη µοντελοποίηση του συστήµατος. Για το λόγο αυτό γίνεται η παραδοχή ότι το όχηµα κινείται µε χαµηλές ταχύτητες ώστε να µην δηµιουργούνται προβλήµατα ολίσθησης των τροχών κ.λ.π. 1.3. Εξεταζόµενα Προβλήµατα και Ταξινόµηση της Ύλης σε Κεφάλαια Αρχικά τα υπό µελέτη συστήµατα µοντελοποιούνται κινηµατικά, δηλαδή εξάγονται οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κινηµατική συµπεριφορά τους. Μπορεί να αποδειχθεί, βλ [50], ότι η κινούµενη βάση και στις δύο περιπτώσεις των υπό µελέτη συστηµάτων διέπεται από µία ειδική κατηγορία περιορισµών, που εκφράζονται µε σχέσεις µεταξύ των ταχυτήτων του συστήµατος και ονοµάζονται µη ολόνοµοι περιορισµοί (nonholonomic constraints). Η παρουσία των περιορισµών αυτών δυσκολεύει κατά πολύ την εφαρµογή των γνωστών µεθοδολογιών που έχουν προταθεί για τη λύση των αντίστοιχων προβληµάτων σε ολόνοµα συστήµατα. Στο Κεφάλαιο 2 εξάγονται αρχικά και στη συνέχεια αναλύονται οι κινηµατικές εξισώσεις και οι εξισώσεις των περιορισµών που διέπουν τα υπό µελέτη συστήµατα. Ένα σηµαντικό πρόβληµα, ίσως από τα πιο θεµελιώδη προβλήµατα της ροµποτικής, είναι ο σχεδιασµός του δρόµου που θα ακολουθήσει το σύστηµα για να µεταβεί από ένα αρχικό σε ένα τελικό σηµείο. Το πρόβληµα αυτό στην περίπτωση συστηµάτων που υπόκεινται σε µη ολόνοµους περιρισµούς δεν είναι τετριµένο. Πράγµατι, δεν αρκεί µόνο να υπολογισθεί µία τροχιά που θα συνδέει την αρχική µε την τελική επιθυµητή θέση του ροµπότ, γεγονός που στην περίπτωση των ολόνοµων συστηµάτων είναι πάντοτε εφικτό αρκεί να µην παρεµβάλλονται εµπόδια, αλλά πρέπει η υπολογισθείσα τροχιά να ικανοποιεί τον µη ολόνοµο περιορισµό. Το πρόβληµα γίνεται ακόµα περισσότερο περίπλοκο όταν στο χώρο εργασίας του ροµπότ βρίσκονται εµπόδια τα οποία πρέπει να αποφευχθούν. Η κατάσταση αυτή συµβαίνει πολύ συχνά σε πολλές πρακτικές εφαρµογές και συνεπώς έχει µεγάλη σηµασία η κατασκευή αλγορίθµων για την επίλυση του προβλήµατος της αποφυγής εµποδίων. 5

Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται αρχικά µια µέθοδος για τον σχεδιασµό του δρόµου στην περίπτωση που δεν υπάρχουν εµπόδια στο χώρο εργασίας του ροµπότ και στη συνέχεια η µέθοδος αυτή επεκτείνεται ώστε να συµπεριλάβει την περίπτωση της ύπαρξης εµποδίων. Ένα διαφορετικό πρόβληµα είναι ο σχεδιασµός της τροχιάς δηλαδή η χρονική παραµετρικοποίηση του δρόµου που πρέπει να ακολουθήσει το ροµπότ. Στο Κεφάλαιο 4 για το σύστηµα του βραχίονα σε διαφορικά οδηγούµενο όχηµα και στο Κεφάλαιο 5 για το σύστηµα του βραχίονα σε όχηµα µε οδηγό τροχό, προτείνεται µία µέθοδος για τον σχεδιασµό της τροχιάς του τελικού στοιχείου δράσης του βραχίονα και του οχήµατος. Η βασική διαφορά της µεθόδου αυτής σε σχέση µε την µέθοδο που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 3 είναι ότι στην περίπτωση αυτή έχουµε απόλυτο έλεγχο στον δρόµο που ακολουθεί το σύστηµα στον καρτεσιανό χώρο χωρίς όµως να µπορούµε να καθορίσουµε την τελική τιµή του προσανατολισµού του οχήµατος εκ των προτέρων, η οποία τελικά εξαρτάται από τη µορφή του δρόµου που σχεδιάσθηκε. Από τη στιγµή που υπολογίσθηκε η τροχιά που πρέπει να ακολουθήσει το σύστηµα για να εκπληρώσει την επιθυµητή κάθε φορά εργασία, ακολουθεί ο υπολογισµός των κινητήριων ροπών που πρέπει να εφαρµοσθούν στο σύστηµα. Ο υπολογισµός των ροπών αυτών γίνεται µε τη βοήθεια του δυναµικού µοντέλου χρησιµοποιώντας και κάποιον αλγόριθµο ελέγχου, ώστε να εξασφαλίζεται ο µηδενισµός των σφαλµάτων που τυχόν εµφανίζονται. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιείται αλγόριθµος ελέγχου βασισµένος στο µοντέλο. Οι διαφορές µεταξύ των δύο υπό µελέτη συστηµάτων όσον αφορά στην µοντελοποίηση και στην εφαρµογή του προτεινόµενου αλγόριθµου ελέγχου παρουσιάζονται στα Κεφάλαια 4 και 5. Τέλος το Κεφάλαιο 6 είναι αφιερωµένο στη σύνοψη των αποτελεσµάτων και των συµπερασµάτων που προέκυψαν στην εργασία αυτή. Αναφορά γίνεται επίσης στα πρωτότυπα σηµεία που προέκυψαν κατά τη µελέτη των συστηµάτων, µε τα οποία ασχοληθήκαµε, αλλά και σε προτάσεις για περαιτέρω έρευνα. 6

1.4. Ανασκόπηση της Βιβλιογραφίας 1.4.1. Σχεδιασµός Τροχιάς σε Μη Ολόνοµα Συστήµατα Αν το σύστηµα είναι ελέγξιµο τότε το πρόβληµα που τίθεται είναι να βρεθεί ένας αλγόριθµος σχεδιασµού του δρόµου που θα συνδέει το αρχικό µε το τελικό σηµείο και θα ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς που επιβάλλονται στο πρόβληµα είτε από το σύστηµα είτε από το περιβάλλον του. Για την επίλυση του προβλήµατος αυτού έχουν προταθεί διάφορες µέθοδοι οι οποίες συνθέτουν δρόµους που συνδέουν τα δύο σηµεία, αρχικό και τελικό (constructive methods). Το βιβλίο των Li και Canny [32] περιέχει µια συλλογή από µεθόδους που έχουν προταθεί σχετικά πρόσφατα, ενώ το βιβλίο των Murray, Li και Sastry [39] καθώς και το βιβλίο του Latombe [29] περιέχουν κεφάλαια εισαγωγικού χαρακτήρα για την επίλυση του προβλήµατος. Περισσότερες παραποµπές µπορούν να βρεθούν στους Kolmanovsky και McClamroch [25]. Οι µεθοδολογίες σχεδιασµού τροχιάς, ανάλογα µε τα µαθηµατικά εργαλεία που χρησιµοποιούν, κατατάσσονται σε: α) τεχνικές διαφορικής γεωµετρίας και διαφορικής άλγεβρας, β) µεθόδους γεωµετρικής φάσης, γ) µεθόδους µε παραµετρικοποίηση της εισόδου και δ) µεθόδους που χρησιµοποιούν τεχνικές βελτίστου ελέγχου. Τονίζεται εδώ ότι ο διαχωρισµός που γίνεται δεν είναι ακριβής διότι υπάρχουν µέθοδοι για παράδειγµα γεωµετρικής φάσης που ταυτόχρονα χρησιµοποιούν τεχνικές βελτίστου ελέγχου. α) Σχεδιασµός τροχιάς µε χρήση τεχνικών διαφορικής γεωµετρίας. Μεγάλο πλήθος των µεθόδων που έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση του προβλήµατος του σχεδιασµού της τροχιάς συστηµάτων που υπόκεινται σε µη ολόνοµους περιορισµούς χρησιµοποιεί τεχνικές προερχόµενες από την άλγεβρα Lie και την διαφορική γεωµετρία. Συστατικό στοιχείο όλων αυτών των µεθόδων είναι η πράξη της αγκύλης Lie (Lie bracket) και η φυσική ερµηνεία της. Οι Lafferriere και Sussmann [27], [28], ανέπτυξαν µία µέθοδο γενικού χαρακτήρα αξιοποιώντας την ιδέα της χρήσης συνδυασµού τµηµατικά σταθερών εισόδων (piecewise constant inputs) για την δηµιουργία κίνησης κατά µήκος των κατευθύνσεων των αγκύλων Lie. Ο αλγόριθµος στηρίζεται στην έκφραση της ροής, που προκύπτει από την επιβολή των παραπάνω εισόδων, σε τυπική εκθετική µορφή 7

εµπλέκοντας τις αγκύλες Lie που απαιτούνται γα την περιγραφή της CLA (Control Lie Algebra). Οι Lafferriere και Sussmann επέκτειναν το αρχικό µη ολόνοµο σύστηµα ώστε να συµπεριλάβει και τις Lie brackets των διανυσµατικών πεδίων εισάγοντας "εικονικές εισόδους" και λαµβάνοντας τελικά ένα "εκτεταµένο" σύστηµα (extended system). Στη συνέχεια οδηγούν το "εκτεταµένο" σύστηµα στην επιθυµητή θέση ακολουθώντας µια τυχαία καµπύλη αρκεί αυτή να ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες οπότε λαµβάνονται οι εικονικές είσοδοι (συνήθως µε τη χρήση ψευδοαντίστροφου). Τέλος, αξιοποιώντας τη φυσική ερµηνεία της Lie bracket, την εκθετική µορφή των εµπλεκόµενων ροών και τον τύπο των Campbell - Baker- Hausdorff, βλ. Isidori [21] σελ. 115 και σελ. 500 και Murray-Li-Sastry [39] σελ. 381, υλοποιούν τελικά τους "εικονικούς" ελέγχους µε τη βοήθεια των πραγµατικών ελέγχων. Ο προτεινόµενος αλγόριθµος οδηγεί το σύστηµα ακριβώς στο επιθυµητό σηµείο µόνο στην περίπτωση που αυτό είναι µηδενοδύναµο, δηλαδή όταν όλα τα γινόµενα Lie (Lie products) µήκους µεγαλύτερου από έναν αριθµό είναι µηδέν. Σε περιπτώσεις όµως που δεν ισχύει η παραπάνω ιδιότητα είναι ορισµένες φορές δυνατόν, µε τη χρήση κατάλληλου µετασχηµατισµού ελέγχου, να µετατραπεί το σύστηµα σε µηδενοδύναµο. Αν αυτό δεν είναι δυνατό τότε επαναληπτική χρήση της µεθόδου φέρνει το σύστηµα αυθαίρετα κοντά στο τελικό σηµείο. Μία άλλη κατηγορία λύσεων στο πρόβληµα χρησιµοποιεί τεχνικές βασισµένες στην averaging theory. Οι Gurvits [14] και Gurvits, Li [15] χρησιµοποιούν ένα βασικό θεώρηµα (βλ. [32] σελ.68) της θεωρίας αυτής για να προσδιορίσουν την ασυµπτωτική συµπεριφορά ενός µη ολόνοµου συστήµατος όταν σ' αυτό επιβληθούν υψίσυχνες περιοδικές είσοδοι µεγάλου πλάτους. Το σύστηµα που λαµβάνεται στο όριο των συχνοτήτων αυτών (averaged system) οδηγείται ακριβώς στην επιθυµητή θέση ενώ το αρχικό σύστηµα οδηγείται προσεγγιστικά µε την επιθυµητή ακρίβεια. Η χρήση averaging τεχνικών υπαγορεύεται από την φύση των µη ολόνοµων συστηµάτων όπου η κίνηση κατά µήκος των επιτρεπτών διευθύνσεων είναι ταχύτερη από την κίνηση κατά µήκος των αγκύλων Lie. Η µέθοδος που αναπτύσσουν οι Gurvits και Li στην ουσία εκφυλλίζει το πρόβληµα του σχεδιασµού τροχιάς για µη ολόνοµα συστήµατα στο αντίστοιχο πρόβληµα για ολόνοµα συστήµατα µε όλες τις ευεργετικές δυνατότητες που αυτό συνεπάγεται (βλ. παρακάτω στο πρόβληµα της αποφυγής εµποδίων). Είναι σαφές όµως ότι επειδή το averaged system λαµβάνεται στο όριο των συχνοτήτων των 8

ελέγχων υπάρχει πρόβληµα υλοποίησης τέτοιων εισόδων. Το πρόβληµα αυτό µερικώς µπορεί να ξεπερασθεί επιλέγοντας το χρονικό διάστηµα στο οποίο οδηγείται προσεγγιστικά το σύστηµα να είναι µεγάλο. β) Σχεδιασµός τροχιάς µε χρήση γεωµετρικών φάσεων. Μια άλλη γενική κατηγορία µεθόδων για τον σχεδιασµό τροχιάς µη ολόνοµων συστηµάτων, χρησιµοποιεί την έννοια της γεωµετρικής φάσης (geometric phaseholonomy) π.χ. Krishnaprasad, Yang [26]. Κατά τις µεθόδους αυτές αξιοποιείται το γεγονός ότι όταν το διάνυσµα των άµεσα ελέγξιµων µεταβλητών κινείται πάνω σε κλειστή καµπύλη γ(t) κατά τρόπο ώστε να επιστρέφει στην αρχική θέση, τότε η µεταβολή στο διάνυσµα των υπολοίπων µεταβλητών µπορεί να γραφεί σαν ένα επικαµπύλιο ολοκλήρωµα κατά µήκος της γ(t). Το ολοκλήρωµα αυτό είναι ανεξάρτητο της παραµετρικοποίησης και εξαρτάται µόνο από τη γεωµετρία της καµπύλης γ(t), γι' αυτό και αναφέρεται ως γεωµετρική φάση. Έτσι το πρόβληµα ταυτίζεται πλέον µε την εύρεση της κατάλληλης κλειστής καµπύλης στο χώρο των ανεξάρτητων µεταβλητών που παράγει την επιδιωκόµενη γεωµετρική φάση. Για τη λύση του προβλήµατος αυτού έχει χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία το θεώρηµα του Stokes. Οι Mukherjee και Anderson [37] αξιοποιώντας το γεγονός ότι τα συστήµατα που υπόκεινται σε µη ολόνοµους περιορισµούς απαιτούν για την περιγραφή τους αριθµό συντεταγµένων µεγαλύτερο από τον αριθµό των βαθµών ελευθερίας που διαθέτουν προτείνουν τον εξής τρόπο. Αρχικά οι ανεξάρτητες συντεταγµένες οδηγούνται στις επιθυµητές τελικές θέσεις τους αδιαφορώντας για την εξέλιξη των εξαρτηµένων µεταβλητών. Στη συνέχεια αναζητείται µία κλειστή µεταβολή των ανεξάρτητων µεταβλητών η οποία θα οδηγεί τις υπόλοιπες µεταβλητές στις επιθυµητές θέσεις τους, δηλαδή αναζητείται µία κλειστή καµπύλη στο χώρο των ανεξάρτητων µεταβλητών, η οποία θα έχει τέτοιο µήκος ώστε οι υπόλοιπες µεταβλητές του συστήµατος να λαµβάνουν τις τελικές τιµές τους. Το πρόβληµα του εντοπισµού µιας τέτοιας καµπύλης µετασχηµατίζεται µε τη χρήση του θεωρήµατος του Stokes σε πρόβληµα εύρεσης µιας επιφάνειας κατάλληλου εµβαδού, της οποίας η προηγούµενη καµπύλη αποτελεί σύνορο. γ) Σχεδιασµός τροχιάς µε παραµετρικοποίηση των εισόδων Οι Murray και Sastry [38], προτείνουν µία µέθοδο για τη λύση του προβλήµατος του σχεδιασµού τροχιάς, η οποία µπορεί να εφαρµοσθεί σε µια γενική κατηγορία συστηµάτων που υπόκεινται σε µη ολόνοµους περιορισµούς. Χρησιµοποιώντας το 9

αποτέλεσµα του Brockett, ότι οι βέλτιστοι έλεγχοι σε µια κατηγορία κανονικών συστηµάτων 1 είναι συνηµιτονοειδείς συναρτήσεις, οι συγγραφείς παράγουν ηµιβέλτιστες τροχιές (suboptimal trajectories) για συστήµατα τα οποία δεν έχουν κανονική µορφή, δηλαδή για συστήµατα που εµπλέκουν µεγαλύτερης τάξης αγκύλες Lie για να ληφθεί η ελεγξιµότητα. Οι τροχιές αυτές είναι συνηµιτονοειδή µε ολοκληρωτικά σχετιζόµενες µεταξύ τους συχνότητες, ώστε να παράγεται κάθε φορά κίνηση κατά µήκος της διεύθυνσης µιας συγκεκριµένης αγκύλης Lie. Η προτεινόµενη µέθοδος µπορεί να εφαρµοσθεί σε µια κατηγορία συστηµάτων τα οποία έχουν η µπορούν να πάρουν µια συγκεκριµένη µορφή, που ονοµάζεται από τους συγγραφείς µορφή αλυσίδας (chain form). Επίσης, παρέχονται οι ικανές συνθήκες για να είναι δυνατή η µετατροπή ενός συστήµατος µε δύο εισόδους στη µορφή αυτή και αποδεικνύεται ότι το σύνολο αυτών των συνθηκών παρέχει µία µέθοδο για την εύρεση ενός µετασχηµατισµού ανάδρασης (feedback transformation) που θα φέρνει το σύστηµα σε µορφή αλυσίδας. Η βασική ιδέα της µεθόδου στηρίζεται στην ιδιότητα της ορθογωνιότητας των ηµιτόνων και συνηµιτόνων και στην ιδιαίτερη µορφή των συστηµάτων, στα οποία είναι δυνατή η εφαρµογή της. Πράγµατι, αφού αρχικά οδηγηθούν οι άµεσα ελεγχόµενες µεταβλητές στην επιθυµητή θέση στη συνέχεια οδηγούνται οι υπόλοιπες µεταβλητές χωρίς να επηρεάζονται αυτές που ήδη έχουν λάβει την επιθυµητή θέση. Αυτό διασφαλίζεται από το γεγονός ότι το ολοκλήρωµα του γινοµένου δύο τριγωνοµετρικών συναρτήσεων µε διαφορετικές συχνότητες είναι µηδέν σε µια περίοδο. Τέλος, η εφαρµογή της προτεινόµενης µεθόδου στο σύστηµα ενός οχήµατος που σύρει ένα άλλο παρουσιάζεται από τους Bushnell, Tilbury και Sastry [5], όπου παρέχεται και µια γενίκευση του θεωρήµατος για το µετασχηµατισµό ενός συστήµατος µε περισσότερες από δύο εισόδους σε µορφή αλυσίδας. δ) Σχεδιασµός τροχιάς µε τεχνικές βέλτιστου ελέγχου. Παρά το γεγονός ότι οι µέθοδοι που αναφέρθηκαν παραπάνω λύνουν το πρόβληµα του σχεδιασµού τροχιάς συστηµάτων που υπόκεινται σε µη ολόνοµους περιορισµούς, συχνά υπάρχουν πολλαπλές λύσεις. Κατά συνέπεια η χρήση τεχνικών 1 Στα κανονικά συστήµατα (canonical systems) ο εφαπτοµενικός χώρος σε ένα σηµείο της πολλαπλότητας θέσεων γεννιέται από τα διανυσµατικά πεδία εισόδου και από τις πρώτης τάξης αγκύλες Lie αυτών. Τα συστήµατα αυτά ονοµάζονται και συστήµατα Brockett (Brocketts' systems). 10

βελτιστοποίησης µπορεί να οδηγήσει στην επιλογή µιας λύσης, η οποία είναι η "καλύτερη" σε σχέση µε κάποιο κριτήριο. Αρχικά ο Brockett (βλ. [39] σελ.358) θεώρησε µία ειδική κατηγορία συστηµάτων (Brockett's system) στα οποία ο εφαπτοµενικός χώρος (tangent space) στην πολλαπλότητα θέσεων (configuration manifold) "γεννιέται" από τα διανυσµατικά πεδία εισόδων (input vector fields) και τις πρώτης τάξης αγκύλες Lie αυτών. Ο συγγραφέας θέτει το κριτήριο της ελαχιστοποίησης του µέτρου των εισόδων και αποδεικνύει ότι η λύση του προβλήµατος αυτού είναι ηµιτονοειδείς και συνηµιτονοειδείς συναρτήσεις. Στη συνέχεια οι Brockett και Dai [4] επέκτειναν το αρχικό σύστηµα ώστε να συµπεριλάβουν συστήµατα µε περισσότερες εισόδους και χώρο κατάστασης µεγαλύτερης διάστασης. Με τη χρήση κλασσικών τεχνικών βέλτιστου ελέγχου, αναζητείται η λύση που ελαχιστοποιεί το µέτρο των εισόδων και αποδεικνύεται η σηµασία των ελλειπτικών συναρτήσεων (elliptic functions) στην αναλυτική επίλυση του προβλήµατος αυτού. Επειδή το πρόβληµα της βελτιστοποίησης σχετίζεται µε το µήκος του τόξου µιας καµπύλης στον ευκλείδιο χώρο, το οποίο ως γνωστόν είναι αναλλοίωτο κάτω από ευκλείδιο µατασχηµατισµό (στροφή και µεταφορά), οι συγγραφείς προτείνουν τη χρήση τέτοιων µετασχηµατισµών για την απλοποίηση του προβλήµατος. Οι Brockett και Dai εφαρµόζουν την προτεινόµενη µέθοδο στην επίλυση του προβλήµατος µιας σφαίρας η οποία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει µεταξύ δύο λείων επιπέδων. Οι Krishnaprasad και Yang [26] διερευνούν τον ρόλο των γεωµετρικών φάσεων και των συνδεόµενων µ' αυτές προβληµάτων βέλτιστου ελέγχου. Οι συγγραφείς αναζητούν τις κλειστές καµπύλες γ(t) οι οποίες οδηγούν στην επιθυµητή γεωµετρική φάση ελαχιστοποιώντας το µέτρο των ελέγχων (isoholonomy problem). 1.4.2. Σχεδιασµός Tροχιάς µε Aποφυγή Eµποδίων Το πρόβληµα της κίνησης ενός ροµπότ σε περιορισµένο χώρο στον οποίο υπάρχουν εµπόδια έχει τεθεί και µε επαρκή τρόπο λυθεί στην περίπτωση συστηµάτων που υπόκεινται σε ολόνοµους περιορισµούς. Στο βιβλίο του Latombe [29] περιέχεται αναλυτική περιγραφή των µεθόδων που χρησιµοποιούνται για την επίλυση του προβλήµατος αυτού. Στην περίπτωση, όµως, συστηµάτων που υπόκεινται σε µη ολόνοµους περιορισµούς, οι προτεινόµενες µέθοδοι είναι ανεπαρκείς διότι µία αυθαίρετα παραγόµενη τροχιά που ικανοποιεί την απαίτηση για αποφυγή των 11

εµποδίων συνήθως δεν αντιστοιχεί σε τροχιά που είναι δυνατόν να ακολουθήσει το µη ολόνοµο σύστηµα. Αυτό συµβαίνει διότι ο µη ολόνοµος περιορισµός δεν περιορίζει τις θέσεις που είναι προσπελάσιµες αλλά τους δρόµους µε τους οποίους µπορεί το σύστηµα να µεταβεί από µια αρχική σε µια τελική θέση. Ένας τρόπος για την επίλυση του προβλήµατος έχει προταθεί από τους Jacobs και Canny [22]. Οι συγγραφείς ορίζουν ένα σύνολο από κανονικές τροχιές οι οποίες ικανοποιούν τους περιορισµούς, δηλαδή τον µη ολόνοµο περιορισµό και τους περιορισµούς καµπυλότητας και κατασκευάζουν έναν αντίστοιχο χώρο θέσεων όπου απεικονίζονται τα εµπόδια. Οι κανονικές τροχιές που χρησιµοποιούν είναι συνδυασµός ευθυγράµµων τµηµάτων και κυκλικών τόξων (οι τροχιές αυτές είναι γνωστές σαν "δρόµοι του Dubins"). Οι τροχιές αυτές έχουν το µειονέκτηµα ότι είναι κλάσης C 1, που σηµαίνει ότι αντιστοιχούν σε ασυνέχειες στις επιταχύνσεις, κάτι που από πρακτική άποψη είναι ανεπιθύµητο. Στη συνέχεια προτείνουν έναν αλγόριθµο για την εύρεση του ζητούµενου δρόµου συνδέοντας γειτονικά σηµεία που ικανοποιούν τις απαιτήσεις και ελαχιστοποιούν το µήκος του προκύπτοντος δρόµου. Οι Jacobs και Canny παραθέτουν ακόµα και έναν βελτιωµένο αλγόριθµο σε σχέση µε τον προήγουµενο. Ο αλγόριθµος αυτός παράγει τροχιές που είναι "στιβαρές" (robust) ως προς διαταραχές που συµβαίνουν στον προσανατολισµό µια και στην πράξη κανένα σύστηµα δεν ακολουθεί ακριβώς την δεδοµένη τροχιά. Μια περισσότερο λεπτοµερής ανάλυση της µεθόδου δίνεται από τους Jacobs και Canny στο [23]. Οι Mirtich και Canny [36] προτείνουν µια µέθοδο που στηρίζεται στην κατασκευή ενός µονοδιάστατου υποσυνόλου του χώρου θέσεων (skeleton), του οποίου κάθε σηµείο απέχει από τα εµπόδια µέγιστη απόσταση. Η µέγιστη απόσταση είναι αναγκαία για την κατασκευή δρόµου µε µικρή πολυπλοκότητα διότι το skeleton δεν µπορεί να ακολουθηθεί ακριβώς από το σύστηµα (µπορεί να περιέχει τµήµατα που δεν υπακούουν στον µη ολόνοµο περιορισµό), οπότε είναι υποχρεωτική η χρήση ενδιαµέσων σηµείων, που δεν ανήκουν στο skeleton, τα οποία όσο λιγότερα είναι τόσο πιο απλός είναι ο παραγόµενος δρόµος. Οι συγγραφείς εισάγουν ένα νέο µέτρο (µέτρο SP-Shortest easible Path) για την µέτρηση της απόστασης, το οποίο έχει τη δυνατότητα να χρησιµοποιεί πληροφορίες από τον µη ολόνοµο περιορισµό. Επειδή ένα σύστηµα που υπόκειται σε τέτοιου είδους περιορισµούς δεν µπορεί να κινηθεί κατά µήκος οποιασδήποτε κατεύθυνσης, θα υπάρχουν εµπόδια, τα οποία ενώ απέχουν µικρή Ευκλείδια απόσταση, στην ουσία βρίσκονται µακρύτερα, επειδή είναι τοποθετηµένα σε κατεύθυνση κατά την οποία δεν µπορεί να κινηθεί το ροµπότ. Για 12

τον υπολογισµό του µέτρου SP είναι αναγκαίο η µορφή των τροχιών του ροµπότ να είναι γνωστή εκ των προτέρων, γεγονός που περιορίζει τη χρήση της µεθόδου, η οποία δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί γενικά στην περίπτωση άλλων µη ολόνοµων συστηµάτων. Ευτυχώς, για την περίπτωση των ροµποτικών οχηµάτων, οι µορφές των δρόµων ελαχίστου µήκους έχουν καθορισθεί από τον Dubins και από τους Reeds και Shepp, [32]. Ο αλγόριθµος των Mirtich και Canny διαφοροποιείται από τον αντίστοιχο των Jacobs και Canny στο ότι χρησιµοποιεί δρόµους Reeds και Shepp αντί για δρόµους Dubins, µε αποτέλεσµα την δηµιουργία απλούστερων και χωρίς πολλές µανούβρες δρόµων. Μια άλλη κατηγορία µεθόδων, η οποία εµπλέκει τις µεθοδολογίες που χρησιµοποιούνται στην περίπτωση των ολόνοµων συστηµάτων, συνίσταται στον προσδιορισµό ενός δρόµου που αποφεύγει τα εµπόδια χωρίς να λαµβάνεται υπ' όψη ο µη ολόνοµος περιορισµός και στη συνέχεια το σύστηµα καλείται να ακολουθήσει προσεγγιστικά την εξαγόµενη τροχιά ικανοποιώντας τους περιορισµούς. Οι Laumond, Jacobs, Taix και Murray [30] προτείνουν έναν αλγόριθµο τριών βηµάτων για την οδήγηση ενός οχήµατος που υπόκειται σε µη ολόνοµο περιορισµό και σε περιορισµούς ακτίνας στροφής. Αρχικά χρησιµοποιείται µία οποιαδήποτε µέθοδος σχεδιασµού τροχιάς, η οποία λύνει το πρόβληµα της αποφυγής εµποδίων που υπάρχουν στο χώρο εργασίας του οχήµατος, χωρίς να λαµβάνονται υπ' όψη οι υπόλοιποι περιορισµοί. Στη συνέχεια, η παραγόµενη τροχιά µετασχηµατίζεται σε προσπελάσιµη για το όχηµα µε διαδοχική υποδιαίρεση της σε ενδιάµεσα σηµεία, τα οποία συνδεόνται µε δρόµους ελαχίστου µήκους (χρησιµοποιούνται δρόµοι Reeds και Shepp). Η διαδικασία αυτή έχει σαν αποτελέσµα την αποµάκρυνση του οχήµατος από τον αρχικό δρόµο που αποφεύγει τα εµπόδια, οπότε υπάρχει πρόβληµα ενδεχόµενης σύγκρουσης µε κάποιο εµπόδιο. Για το λόγο αυτό πρέπει η προκύπτουσα τροχιά να προσεγγίζει καλύτερα την αρχική, γεγονός που επιτυγχάνεται µε τη χρήση περισσότερων ενδιαµέσων σηµείων. Έτσι η υποδιαίρεση της αρχικής τροχιάς συνεχίζεται µέχρι την οριακή περίπτωση όπου προκύπτει επαφή της τροχιάς µε εµπόδιο. Ο δρόµος που παράγεται µε τον τρόπο αυτόν παρουσιάζει µεγάλη εξάρτηση από την αρχική "ολόνοµη" τροχιά γι αυτό στη συνέχεια βελτιστοποιείται παρέχοντας πιο κοµψές τροχιές. Η ακολουθούµενη διαδικασία συνίσταται στην αντικατάσταση τµηµάτων του προκύπτοντος προσπελάσιµου δρόµου µε άλλα µικρότερου µήκους που δεν τέµνουν τα εµπόδια. Λόγω ακριβώς του "τµηµατικού" χαρακτήρα της αντικατάστασης, ο προκύπτων τελικά δρόµος δεν είναι καθολικά αλλά τοπικά 13

ελάχιστου µήκους. Τέλος πρέπει να τονισθεί ότι η µέθοδος αυτή δεν έχει γενικό χαρακτήρα για τα µη ολόνοµα συστήµατα, αφού για την εφαρµογή της απαιτείται η εκ των προτέρων γνώση της µορφής των τροχιών (π.χ. Dubins ή Reeds και Shepp που είναι συνδυασµός ευθυγράµµων τµηµάτων και κυκλικών τόξων) πρόβληµα που έχει λυθεί για την περίπτωση των mobile robots αλλά όχι και για άλλα µη ολόνοµα συστήµατα. Όλες οι µέθοδοι που αναφέρθηκαν παραπάνω [23], [36], [30] χρησιµοποιούν συγκεκριµένες οικογένειες δρόµων καταλήγοντας σε τροχιές που δεν είναι ελάχιστου µήκους, ούτε ελάχιστης πολυπλοκότητας. Ένα µέτρο για την πολυπλοκότητα της παραγόµενης τροχιάς είναι ο αριθµός των σηµείων όπου υπάρχει ασυνέχεια στην ταχύτητα (cusps). Οι Shkell και Lumelsky [58] προτείνουν µια διαδικασία για την εύρεση µιας τροχιάς που θα έχει ελάχιστο µήκος και θα περιέχει ελάχιστο αριθµό σηµείων ασυνέχειας ταχύτητας. Η µέθοδός τους βασίζεται στην εισαγωγή ενός τελεστή, που τον ονοµάζουν τελεστή RU (Reflective Unfolding operator), ο οποίος έχει την ιδιότητα να µετασχηµατίζει το πρόβληµα της σχεδίασης τροχιάς µε αναστροφές σε έναν περιορισµένο χώρο στο πρόβληµα της σχεδίασης µιας λείας τροχιάς σε απεριόριστο περιβάλλον. Στη συνέχεια η προκύπτουσα τροχιά αντιστοιχίζεται πίσω στον περιορισµένο πραγµατικό χώρο εργασίας και η όλη διαδικάσια εγγυάται ότι ο δρόµος που προκύπτει θα έχει ελάχιστο αριθµό αντιστροφών (cusps) και ελάχιστο µήκος. Ένα κοινό χαρακτηριστικό των τρόπων που έχουν προταθεί για την επίλυση του προβλήµατος της οδήγησης σε περιβάλλον µε εµπόδια οχηµάτων που υπόκεινται σε µη ολόνοµους περιορισµούς, είναι ότι χρησιµοποιούν οικογένειες καµπυλών οι οποίες αποτελούνται από συνδυασµούς ευθύγραµµων τµηµάτων και κυκλικών τόξων. Οι προκύπτουσες τροχιές παρουσιάζουν ασυνέχειες στο προφίλ καµπυλότητας γεγονός ανεπιθύµητο, αφ' ενός διότι µπορεί να προκαλέσει ολίσθηση των τροχών (η καµπυλότητα συνδέεται άµεσα µε την στιγµιαία κεντροµόλο επιτάχυνση) και αφ' ετέρου επειδή για να ακολουθήσει ένα πραγµατικό όχηµα µια τέτοια τροχιά θα πρέπει να σταµατάει και να επαναπροσανατολίζει τους εµπρός τροχούς του κάθε φορά που συναντάει ένα τέτοιο σηµείο ασυνέχειας. Για την επίλυση του προβλήµατος αυτού οι Scheuer και raichard [54] προτείνουν, αντί για χρήση συνδυασµών ευθύγραµµων τµηµάτων και κυκλικών τόξων, τη χρήση καµπυλών, των οποίων η καµπυλότητα είναι γραµµική συνάρτηση του µήκους τους σε κάθε χρονική στιγµή, οπότε αποφεύγονται τα µειονεκτήµατα που 14

σχετίζονται µε τις ασυνέχειες καµπυλότητας. Οι καµπύλες αυτές ονοµάζονται κλωθοειδή και µπορεί να µην είναι βέλτιστου µήκους αλλά δίνουν τροχιές µε συνεχές προφίλ καµπυλότητας ενώ ταυτόχρονα ικανοποιούν τους περιορισµούς που επιβάλλονται από τα όρια των αρθρώσεων (joint limits) και τους µη ολόνοµους συνδέσµους. Οι συγγραφείς χρησιµοποιούν δρόµους που αποτελούνται από δύο συµµετρικά κλωθοειδή και κατασκευάζουν έναν απλοποιηµένο, µη πλήρη path planner, ο οποίος χρησιµοποιείται ως υπορουτίνα σε άλλα καθολικού χαρακτήρα σχήµατα για σχεδιασµό τροχιάς (π.χ. Ariadne 's Clew Algorithm και Probabilistic Path Planning). Ένα βασικό µειονέκτηµα των παραπάνω µεθόδων είναι είναι ότι δεν µπορούν να εφαρµοσθούν σε γενικά µη ολόνοµα συστήµατα. Πράγµατι, όλες οι παραπάνω µέθοδοι απαιτούν a priori γνώση των δρόµων που είναι εφικτοί για το σύστηµα, γεγονός το οποίο δεν συµβαίνει. Η πιο γενική µέθοδος που έχει εφαρµοσθεί είναι των Sekhavat και Laumond [56]. Οι συγγραφείς επεκτείνουν τον αλγόριθµο που αναπτύχθηκε στο [30] σε µη ολόνοµα συστήµατα που είναι ή που µπορούν να µατσχηµατισθούν σε µια συγκεκριµένη µορφή που είναι γνώστη ώς µορφή αλυσίδας (chained form). Η βασική ιδέα έγκειται στην αντικατάσαση των βελτίστων στοιχειωδών τµηµάτων που συνθέτουν το τελικό δρόµο από τµήµατα που προκύπτουν από κάποιον τοπικό αλγόριθµο σχεδιασµού δρόµου, όπως αυτός του [38] τα οποία όµως θα ικανοποιούν µια τοπολογική ιδιότητα. Οι Gurvitz [14] και Gurvitz και Li [15], όπως έχει παραπάνω αναφερθεί, απέδειξαν ότι η ασυµπτωτική συµπεριφορά µη ολόνοµων συστηµάτων στο όριο υψίσυχνων µεγάλου πλάτους περιοδικών εισόδων, είναι ισοδύναµη µε την συµπεριφορά ολόνοµου συστήµατος. Έτσι µε κατάλληλη επιλογή του ολόνοµου συστήµατος ώστε να αποφεύγονται τα εµπόδια που υπάρχουν στο χώρο εργασίας του ροµπότ και µε εφαρµογή των προβλεπόµενων από τη µέθοδο εισόδων στο µη ολόνοµο σύστηµα, αυτό ακολουθεί, µέσα σε προκαθορισµένα όρια σφάλµατος, την τροχιά του ολόνοµου συστήµατος. Η µέθοδος αυτή είναι γενικού χαρακτήρα, µε την έννοια ότι µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε κάθε σύστηµα που υπόκειται σε µη ολόνοµους περιορισµούς, αλλά έχει το µειονέκτηµα της δύσκολης υλοποιήσης των εισόδων που απαιτούνται. Μια διαφορετική κατηγορία λύσεων στηρίζεται στην διακριτοποιήση του χώρου εργασίας του οχήµατος. Οι Barraquand και Latombe [2] θεωρούν τον χώρο θέσεων ως ένα rectangloid το οποίο αναλύεται σε υπολογιστικές κυψέλες (cell 15

decomposition). Ο planner ψάχνει ένα γράφηµα, του οποίου οι κόµβοι είναι οι υπολογιστικές κυψέλες. ύο κυψέλες χαρακτηρίζονται γειτονικές αν υπάρχει µεταξύ τους κάποιος δυνατός δρόµος, ο οποίος κατασκευάζεται ως εξής: Με δεδοµένη µία θέση q ο planner "γεννάει" το πολύ µέχρι 6 διαδοχικές θέσεις θέτοντας τους ελέγχους (ταχύτητα πρόωσης και γωνία οδήγησης) σε µια περιοχή τιµών και ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις κίνησης, οπότε προκύπτουν τα τόξα του γραφήµατος. Το γράφηµα σαρώνεται µε τη βοήθεια ενός αλγόριθµου, ο οποίος χρησιµοποιεί ως συνάρτηση υπολογισµού (evaluating function) τον αριθµό των αντιστροφών κίνησης στοχεύοντας σε τελικές τροχιές µε µικρότερο αριθµό τέτοιων κινήσεων. Οι συγγραφείς παρουσιάζουν µεγάλο αριθµό παραδειγµάτων συµπεριλαµβάνοντας και την περίπτωση του οχήµατος που ρυµουλκεί ένα άλλο όχηµα καθώς επίσης και εφαρµογές µε διάφορους περιορισµούς στις αρθρώσεις (π.χ. όχηµα που στρίβει µόνο προς µία κατεύθυνση κ.λ.π.) αποδεικνύοντας έτσι µε πρακτικό τρόπο τα θεωρητικά συµπεράσµατα του άρθρου. υστυχώς, όµως, ο προτεινόµενος planner δεν µπορεί να εφαρµοσθεί στην περίπτωση οχήµατος που ρυµουλκεί περισσότερα από ένα οχήµατα λόγω του απαγορευτικά µεγάλου απαιτούµενου υπολογιστικού χρόνου. Συµπληρωµατικά προς τις παραπάνω µεθόδους για τον σχεδιασµό τροχιών που µπορούν να αποφεύγουν τα εµπόδια που υπάρχουν στον χώρο εργασίας τίθεται το εξής πρόβληµα: Με δεδοµένη την τροχιά που προκύπτει από κάποιον planner πως είναι δυνατόν αυτή να ακολουθηθεί σε ελάχιστο χρόνο. Είναι σαφές ότι το πρόβληµα σχετίζεται µε την ισχύ των επενεργητών. Οι Weiguo, Huitang και Peng-Yung [65] προτείνουν µια µέθοδο που στηρίζεται στη πλήρη εκµετάλευση της ισχύος που παρέχεται από τους επενεργητές, µε αποτέλεσµα η τροχιά να διαγράφεται µε τη µέγιστη δυνατή ταχύτητα, ενώ ταυτόχρονα έχουν ληφθεί υπόψη τα όρια που εισάγονται από τη δυναµική του προβλήµατος, ώστε η συνθήκη της κύλισης χωρίς ολίσθηση να ικανοποιείται πάντοτε. Αν δεν ίσχυε η συνθήκη αυτή η ροπή που εισάγεται από τους κινητήρες θα οδηγούσε σε ολίσθηση των τροχών µε άµεσο αποτέλεσµα το όχηµα να µην ακολουθεί την επιθυµητή τροχιά. Η µέθοδος εφαρµόζεται σε ένα όχηµα µε διαφορική κίνηση. 1.4.3. Βραχίονες Τοποθετηµένοι σε Κινούµενες βάσεις Όπως αναφέρθηκε στην Παράγραφο 1.1 του κεφαλαίου αυτού τα συστήµατα βραχιόνων που είναι προσαρµοσµένα σε κινούµενες βάσεις έχουν πολύ µεγάλη σηµασία για την εκτέλεση εργασιών που δεν µπορούν λόγω των ιδιαίτερων συνθηκών 16

να εκτελεσθούν από ανθρώπους. Πέραν της µεγάλης πρακτικής τους σηµασίας τα συστήµατα αυτά παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον λόγω των περιορισµών που υπάρχουν και λόγω της σύζευξης µεταξύ του βραχίονα και της κινούµενης βάσης. Ο Seraji [57] προτείνει µία µέθοδο για την έκφραση του συστήµατος της κινούµενης βάσης και του βραχίονα µε εννιαίο τρόπο χρησιµοποιώντας προσαυξηµένους Ιακωβιανούς πίνακες. Η προτεινόµενη µέθοδος µπορεί να εφαρµοσθεί µε ανάλογο τρόπο σε συστήµατα µε ή χωρίς µη ολόνοµους περιορισµούς. Πράγµατι, αν υπάρχει µη ολόνοµος περιορισµός τότε εµπεριέχεται στους Ιακωβιανούς πίνακες οπότε διασφαλίζεται η ικανοποίηση του. Το προτεινόµενο σχήµα ελέγχου κάνει χρήση του γεγονότος ότι το σύστηµα έχει πλεονάζοντες βαθµούς ελευθερίας και εισάγονται πρόσθετες απαιτήσεις (additional tasks) που επιβάλλονται από το χρήστη και οδηγούν στην "τετραγωνοποίηση" του Ιακωβιανού µητρώου. Ο συγγραφέας αποδεικνύει ότι για συγκεκριµένη επιλογή των πρόσθετων απαιτήσεων µπορεί να εξαλειφθούν οι ιδιόµορφες καταστάσεις στις οποίες είναι δυνατόν να βρεθεί το σύστηµα κατά τη διάρκεια της κίνησής του. Αντίστοιχη µέθοδος περιγράφεται από τους Lim και Seraji [33] για την περίπτωση ενός βραχίονα 7 βαθµών ελευθερίας ο οποίος είναι εδρασµένος σε µία ολόνοµη κινούµενη βάση ενός βαθµού ελευθερίας. Το συνολικό σύστηµα παριστάνεται µε τη βοήθεια µιας µη τετραγωνικής Ιακωβιανής µήτρας, η οποία αντιστρέφεται µε τη χρήση ψευδοαντίστροφου. Οι Perrier, Dauchez και Pierrot [49], προτείνουν µια µέθοδο για τον καθορισµό ενός δρόµου που θα συνδέει δύο δεδοµένες θέσεις και ο οποίος θα είναι δυνατός για το σύστηµα. Οι συγγραφείς δεν διαχωρίζουν το συνολικό σύστηµα σε δύο υποσυστήµατα, το βραχίονα και το όχηµα, αλλά το µελετούν µε ενιαίο τρόπο. Πράγµατι, κάθε ένα από τα δύο υποσυστήµατα έχει διαφορετικά χαρακτηριστικά: Ο βραχίονας είναι ολόνοµος αλλά έχει περιορισµένο χώρο εργασίας ενώ το όχηµα είναι µη ολόνοµο αλλά έχει απεριόριστο χώρο εργασίας. Εποµένως µια µέθοδος που θα οδηγούσε στο σχεδιασµό του δρόµου µε αποσύζευξη των δύο υποσυστήµατων δεν θα εκµεταλευόταν πλήρως τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Η προτεινόµενη µέθοδος κάνει χρήση της σχετικής θέσης των συστηµάτων συντεταγµένων βραχίονα, βάσης βραχίονα και οχήµατος, η οποία µπορεί να παρουσιασθεί είτε µέσω οµογενών πινάκων µετασχηµατισµού (homogeneous transformation matrices) είτε µέσω δυαδικών τετράδων (dual quaternions). Η βασική ιδέα είναι η παράσταση της αρχικής και της επιθυµητής τελικής θέσης του συστήµατος µε κάποιον από του παραπάνω 17

τρόπους και στη συνέχεια η κίνηση του συστήµατος κατά τρόπο ώστε να µειώνεται το µεταξύ τους σφάλµα. Τέλος, αναφέρεται ότι η µέθοδος αυτή λαµβάνει υπόψη περιορισµούς που τίθενται στον οδηγό τροχό λόγω κατασκευαστικών απαιτήσεων. Το πρόβληµα της οδήγησης ενός έντροχου ροµποτικού βραχίονα σε περιβάλλον µε εµπόδια δεν έχει εξετασθεί επαρκώς στη βιβλιογραφία. Οι Yamamoto και Yun προτείνουν έναν αλγόριθµο θεωρώντας το πρόβληµα της αποφυγής εµποδίου ταυτόχρονα µε το πρόβληµα της συνεργασίας βραχίονα-πλατφόρµας, [68]. Η προτεινόµενη µέθοδος επιτρέπει στο σύστηµα να λαµβάνει βέλτιστες θέσεις καθώς ο βραχίονας αποφεύγει εµπόδια µε χρήση συναρτήσεων δυναµικού. Στην προσέγγιση τους θεωρούν ότι µόνο ο βραχίονας µπορεί να συγκρουσθεί µε εµπόδιο, ενώ οι Tanner και Kyriakopoulos εξετάζουν το πρόβληµα της αποφυγής εµποδίου από το συνολικό σύστηµα, [62]. Ο αλγόριθµος τους βασίζεται σε έναν ασυνεχή νόµο ανάδρασης υπό την επίδραση ενός δυναµικού πεδίου. Ένα πολύ ενδιαφέρον ζήτηµα στην µελέτη των οχηµάτων που φέρουν βραχίονες είναι η εύρεση της κατάλληλης θέσης του οχήµατος σε σχέση µε το βραχίονα όταν αυτός εκτελεί µια συγκεκριµένη εργασία. Οι κλασσικές προσεγγίσεις στο πρόβληµα αυτό κάνουν χρήση του κριτηρίου επιδεξιότητας (manipulability measure) βλ. για παράδειγµα Yamamoto και Yun [69]. Το κριτήριο αυτό στηρίζεται στην έννοια του ελλειψοειδούς επιδεξιότητας (manipulability elipsoid, βλ. Sciavicco, Siciliano [55], σελ. 109). Οι Papadopoulos και Gonthier [41] αναλύουν το πρόβληµα της εφαρµογής µεγάλων δυνάµεων και ροπών από ένα σύστηµα µε περιορισµένης ισχύος κινητήρες. Ένα τέτοιο σύστηµα είναι δυνατόν να ασκήσει δυνάµεις και ροπές µόνο για κάποιες θέσεις του, αλλά η δυνατότητά του αυτή είναι δυνατόν να βελτιωθεί κάνοντας χρήση της κινούµενης βάσης. Οι συγγραφείς χρησιµοποιούν έναν αλγόριθµο για τη γέννηση του χώρου εργασίας δυνάµεων (orce Workspace) του συστήµατος και στη συνέχεια εφαρµόζουν τον αλγόριθµο αυτόν για να σχεδιάσουν µία τροχιά, που θα είναι τέτοια ώστε η κινούµενη βάση να λαµβάνει "ευνοϊκή" θέση σε σχέση µε κάποια εργασία που απαιτεί µεγάλες δυνάµεις. Αν η µέθοδος αυτή δεν δώσει αποτέλεσµα τότε η εργασία αυτή δεν είναι δυνατόν να εκτελεσθεί ή πρέπει να χωρισθεί σε δύο υπο-εργασίες, οι οποίες για να εκτελεσθούν απαιτούν κίνηση της βάσης κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης. Επιπλέον θεωρείται η περίπτωση όπου απαιτείται άσκηση δύναµης κατά µήκος µιας δεδοµένης τροχιάς. Αποδεικνύεται ότι ο χώρος των θέσεων (Task Workspace) που είναι πιθανές θέσεις εκκίνησης του συστήµατος για την εκτέλεση της 18

εργασίας είναι υποσύνολο του χώρου εργασίας δυνάµεων. Ο προσδιορισµός του Task Workspace οδηγεί στην εύρεση των θέσεων που µπορεί να λάβει η βάση ώστε να είναι δυνατή η εκτέλεση της συγκεκριµένης εργασίας κατά µήκος του δεδοµένου δρόµου. Τέλος, για το σχεδιασµό τροχιάς για την εκτέλεση εργασιών µε µεγάλες απαιτήσεις από πλευράς άσκησης δυνάµεων, στην περίπτωση βραχιόνων µε πλεονάζοντες βαθµούς ελευθερίας, προτείνεται ένα σχήµα min-max βελτιστοποίησης, το οποίο διασφαλίζει ότι όλες οι ασκούµενες ροπές θα είναι εντός των ορίων των χρησιµοποιούµενων κινητήρων. Άλλα θέµατα που σχετίζονται µε συστήµατα βραχιόνων προσαρµοσµένων σε οχήµατα είναι η ευστάθεια κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης µιας εργασίας, ώστε να µην ανατραπεί το όχηµα, βλ. για παράδειγµα Papadopoulos και Rey [48] και Huang, Sugano και Tanie [19], η µελέτη της αλληλεπίδρασης του βραχίονα και της βάσης λόγω της σηµαντικής ενδοτικότητας που παρουσιάζει το όχηµα εξ' αιτίας των αναρτήσεων και της αλληλεπίδρασης τροχών/εδάφους, βλ. Hootsmans και Dubowsky [17] και Hootsmans, Dubowsky και Mo [18] και άλλα. 1.5. Συνεισφορά της Εργασίας Οι κύριες συνεισφορές της παρούσας εργασίας είναι Σχεδιασµός του δρόµου σε µη ολόνοµα οχήµατα και αποφυγή εµποδίων. Σχεδιασµός τροχιάς και έλεγχος βασισµένος στο µοντέλο στο σύστηµα έντροχου ροµποτικού βραχίονα σε διαφορικά οδηγούµενο όχηµα. Εξέταση του προτεινόµενου καευθυντή στην περίπτωση αβεβαιότητας των δυναµικών παραµέτρων του συστήµατος. Σχεδιασµός τροχιάς και δυναµική µοντελοποίηση του συστήµατος έντροχου ροµποτικού βραχίονα σε όχηµα µε οδηγό τροχό. Τα παραπάνω αποτελέσµατα έχουν µερικώς δηµοσιευθεί σε πρακτικά διεθνών συνεδρίων και σε διεθνή περιοδικά, βλ. [42], [43], [44], [45], [46], [47]. 19

Κεφάλαιο 2 Κινηµατική Μελέτη Έντροχων Ροµποτικών Βραχιόνων 2.1. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό εξάγονται οι κινηµατικές εξισώσεις που περιγράφουν τα συστήµατα που θα µελετηθούν στη συνέχεια. Οι εξισώσεις αυτές είναι ιδιαίτερα σηµαντικές, διότι παρέχουν σχέσεις µεταξύ των εµπλεκόµενων µεταβλητών σε γεωµετρικό και κινηµατικό επίπεδο, οι οποίες είναι άµεσα συνδεδεµένες µε κάθε προσπάθεια σχεδιασµού ελεγκτών κίνησης. Τα εξεταζόµενα ροµποτικά συστήµατα αποτελούνται από έναν βραχίονα δύο βαθµών ελευθερίας προσαρµοσµένο σε ένα έντροχο όχηµα. Στη συγκεκριµένη εργασία µελετώνται δύο διαφορετικοί τύποι οχηµάτων που είναι ευρέως διαδεδοµένοι σε τέτοιου τύπου εφαρµογές: ένα διαφορικά οδηγούµενο όχηµα και ένα όχηµα µε οδηγό τροχό. Η βασική διαφορά µεταξύ των δύο αυτών συστηµάτων είναι στο σύστηµα κίνησης, µε αποτέλεσµα τα δύο οχήµατα να παρουσιάζουν κάποιες ιδιαιτερότητες όσον αφορά στο κινηµατικό µοντέλο. Η δοµή του κεφαλαίου αυτού έχει ως εξής: Στην Παράγραφο 2.2 αναπτύσσονται οι κινηµατικές εξισώσεις που χαρακτηρίζουν την κίνηση του διαφορικά οδηγούµενου οχήµατος, ενώ στην Παράγραφο 2.3 η ίδια διαδικασία ακολουθείται για το όχηµα µε οδηγό τροχό. Στις παραγράφους αυτές δεν εξετάζεται ο βραχίονας. Στην συνέχεια στην Παράγραφο 2.4 παρέχονται οι κινηµατικές εξισώσεις του ολοκληρωµένου συστήµατος: δηλαδή της βάσης µαζί µε τον βραχίονα και γίνεται γεωµετρική αντιστροφή των εξισώσεων αυτών. Στο δεύτερο µέρος της Παραγράφου 2.4 εξάγονται τα µοντέλα διαφορικής κινηµατικής για τα θεωρούµενα συστήµατα. 2.2. Περιγραφή Οχηµάτων 2.2.1. Όχηµα µε ιαφορικά Οδηγούµενους Τροχούς Τα οχήµατα του τύπου αυτού φέρουν δύο τροχούς, οι οποίοι είναι υπεύθυνοι για την πρόωση και τον προσανατολισµό του οχήµατος. Οι τροχοί αυτοί κινούνται ανεξάρτητα µεταξύ τους, ενώ άλλοι µικρότεροι παθητικοί τροχοί προστίθενται για 20

λόγους ευστάθειας. Στη συνέχεια θεωρείται το όχηµα που απεικονίζεται στο Σχήµα 2.1, όπου οι παθητικοί τροχοί δεν έχουν σχεδιαστεί και δεν λαµβάνονται υπ όψη µια και δεν έχουν καµµία συµµετοχή στην οδήγηση του οχήµατος. Η κίνηση του οχήµατος θεωρείται στο επίπεδο. l =0.30m b =0.30m r =0.10m r Οδηγός Τροχός y Y b G (x,y ) x ϕ ϕ X Οδηγός Τροχός l Σχήµα 2.1. Όχηµα µε δύο ανεξάρτητα οδηγούµενους τροχούς. Στο Σχ. 2.1 µε συµβολίζεται το εµπρός σηµείο του οχήµατος, µε G το µέσο του τµήµατος που συνδέει τους δύο τροχούς ενώ ϕ είναι η γωνία που σχηµατίζει ο άξονας του οχήµατος µε την οριζόντιο (γωνία προσανατολισµού). Οι βασικές διαστάσεις του οχήµατος δίνονται στο ίδιο σχήµα. Το όχηµα θεωρείται ότι κινείται σε οριζόντιο επίπεδο. Είναι σαφές ότι για την πλήρη γνώση της συµπεριφοράς του οχήµατος απαιτούνται τρείς µεταβλητές: οι συντεταγµένες κάποιου σηµείου, για την γνώση της θέσης του σε κάθε χρονική στιγµή, και η γωνία προσανατολισµού ϕ. Στη συνέχεια επιλέγεται ως σηµείο περιγραφής της κίνησης το σηµείο G µε συντεταγµένες ( xg, y G). Κάνοντας την παραδοχή ότι το όχηµα κινείται µε χαµηλές ταχύτητες, µπορεί να υποτεθεί ότι η πλευρική ολίσθηση των τροχών είναι αµελητέα και συνεπώς η ταχύτητα υ G του σηµείου G είναι παράλληλη προς τον κύριο άξονα του οχήµατος. Οι κατά x και y συνιστώσες της ταχύτητας υ G είναι x = υ cosϕ G G (2.1 α) y = υ sinϕ (2.1 β) G G 21

ιαγράφοντας το υ G από τις παραπάνω εξισώσεις, λαµβάνεται η εξίσωση x sinϕ y cosϕ = 0 (2.2) G G Η Εξ. (2.2) είναι ένας περιορισµός ταχυτήτων 2 και εκφράζει το γεγονός ότι οι δύο τροχοί δεν µπορούν να ολισθήσουν πλευρικά. Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν ο περιορισµός αυτός είναι ολοκληρώσιµoς, δηλαδή αν είναι δυνατόν να βρεθεί µέσω αναλυτικής ολοκλήρωσης της διαφορικής εξίσωσης (2.2), ένας αντίστοιχος περιορισµός στο επίπεδο θέσεων. Μπορεί να αποδειχθεί, βλ. [50], ότι η Εξ. (2.2) είναι µη ολοκληρώσιµη: Είναι αδύνατο να ολοκληρώσουµε αναλυτικά την Εξ. (2.2) και να βρούµε έναν αντίστοιχο περιορισµό µεταξύ θέσεων. Τέτοιου είδους περιορισµοί είναι γνωστοί ως µη ολόνοµοι περιορισµοί και απαντώνται πολύ συχνά σε µηχανολογικά συστήµατα, όπως αναφέρθηκε στo Κεφάλαιο 1. Πρέπει εδώ να τονισθεί ότι η αριθµητική ολοκλήρωση της Εξ. (2.2) είναι δυνατή προσδιορίζοντας δύο από τις τρείς παραµέτρους, για παράδειγµα τα x, y, και ολοκληρώνοντας ως προς την τρίτη µεταβλητή, δηλαδή το ϕ. Στην περίπτωση αυτή όµως είναι αδύνατο να προσδιοριστούν εκ των προτέρων οι τελικές συνθήκες και για τις τρείς µεταβλητές και η τελική τιµή της παραµέτρου ως προς την οποία γίνεται η αριθµητική ολοκλήρωση εξαρτάται από τις υπόλοιπες, δηλαδή στο συγκεκριµένο παράδειγµα η τελική τιµή του προσανατολισµού ϕ εξαρτάται από το G G δρόµο x, G y που επιλέχθηκε. G Όπως είναι αναµενόµενο η παρουσία µη ολόνοµων περιορισµών αυξάνει την πολυπλοκότητα του προβλήµατος ελέγχου διότι κλασσικές µέθοδοι για την οδήγηση και των έλεγχο ολόνοµων συστηµάτων δεν µπορούν να εφαρµοσθούν. Πράγµατι, το όχηµα δεν µπορεί να ακολουθήσει δρόµους που δεν ικανοποιούν τον µη ολόνοµο περιορισµό και συνεπώς ένας αυθαίρετα υπολογισµένος µπορεί να µην είναι εφικτός. Το βασικό πρόβληµα είναι ότι είναι αδύνατο να ορισθεί ένα σύνολο ανεξάρτητων γενικευµένων συντεταγµένων που θα περιγράφει πλήρως το σύστηµα. Περισσότερα για τα παραπάνω µπορούν να βρεθούν στα [50], [39]. Στη συνέχεια θεωρείται ως σηµείo αναφοράς για την περιγραφή της κίνησης του οχήµατος το σηµείο. Η επιλογή αυτή οφείλεται στο ότι το σηµείο αυτό θα επιλεγεί και ως η θέση στην οποία θα προσαρµοσθεί ο βραχίονας. Είναι, λοιπόν, σκόπιµο να γραφεί η Εξ. (2.2) σε σχέση µε το σηµείο αυτό, έτσι έχουµε 2 Τέτοιου τύπου περιορισµοί αναφέρονται συχνά στη βιβλιογραφία σαν περιορισµοί τύπου Pfaff, [39]. 22

x sinϕ y cosϕ + ϕl = 0 (2.3) Όπως είναι φανερό από την Εξ. (2.3) η επιλογή του συγκεκριµένου σηµείου οδηγεί στην εµφάνιση ενός τρίτου διαφορικού στην εξίσωση του µη ολόνοµου περιορισµού γεγονός που περιπλέκει ακόµα περισσότερο το πρόβληµα ελέγχου, όπως αναλυτικά θα φανεί στο Κεφάλαιο 3. Παρακάτω εξάγονται οι εξισώσεις διαφορικής κινηµατικής του οχήµατος. Όι εξισώσεις αυτές συνδέουν την καρτεσιανή ταχύτητα του σηµείου αναφοράς και τον ρυθµό µεταβολής της γωνίας προσανατολισµού του οχήµατος µε τις ταχύτητες εισόδου δηλαδή τις ταχύτητες των δύο τροχών. Αρχικά οι εξισώσεις βρίσκονται µε βάση το σηµείο G ( x, y ). Έχουµε όπου, ωr G G r r x G = cosϕ ω + cosϕ ω r 2 2 (2.4 α) r r y G = sinϕ ω + sinϕ ω r 2 2 (2.4 β) r r ϕ = ω + ω r b b (2.4 γ) ω είναι οι γωνιακές ταχύτητες του αριστερού και δεξιού τροχού αντίστοιχα και τα υπόλοιπα σύµβολα έχουν την σηµασία που τους αποδίδεται στο Σχ. 2.1. Εάν οι Εξ. (2.4) γραφούν σε µητρωική µορφή λαµβάνεται r r cosϕ cosϕ 2 2 x G r r ω y G = sinϕ sinϕ 2 2 ω r ϕ r r b b (2.5) Αν µε A συµβολίσουµε τον πίνακα που εµπλέκεται στην Εξ. (2.5) διαπιστώνεται ότι 4 det( ) T AA = 0 2 b που σηµαίνει ότι ο A είναι πλήρους τάξης ανεξάρτητα από την τιµή του προσανατολισµού ϕ. Η φυσική ερµηνεία του γεγονότος αυτού είναι ότι αν µία από τις ταχύτητες των τροχών είναι µη µηδενική τότε αυτό θα αρχίσει να κινείται (π.χ. για ω = 0 και ωr 0 το όχηµα γράφει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Α). Η παρατήρηση 23

αυτή δεν ισχύει για το όχηµα µε οδηγό τροχό, όπως θα φανεί στην επόµενη παράγραφο. Για τον υπολογισµό των εισόδων ω, ωr από τις Εξ. (2.4) έχουµε 3 b x G 1 2 2 ωr = ϕ + sgn x G + y G (2.6) 2r cosϕ r b x G 1 2 2 ω = ϕ sgn x G + y G (2.7) 2r cosϕ r Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του συστήµατος θεωρώντας σαν σηµείο αναφοράς το σηµείο είναι r lr r lr cosϕ + sinϕ cosϕ sinϕ 2 b 2 b x r lr r lr y ω sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ = + 2 b 2 b ω r ϕ r r b b (2.8) Η Εξ. (2.8) µπορεί να γραφεί και σε κανονική µορφή r lr r lr cosϕ + sinϕ cos sin 2 b ϕ ϕ x 2 b r lr r lr y sinϕ cosϕω sinϕ cosϕ = + + ωr 2 b 2 b ϕ r r b b = + (2.9) q g 1(q) u 1 g 2(q)u2 Η παραπάνω µορφή επιτρέπει την διατύπωση του προβλήµατος σαν κλασσικό πρόβληµα µη γραµµικού ελέγχου επιτρέποντας έτσι την εφαρµογή γενικότερων µεθοδολογιών. Πρέπει εδώ να αναφερθεί ότι σύµφωνα µε την Εξ. (2.9) ο ρυθµός µεταβολής των γενικευµένων µεταβλητών του συστήµατος πρέπει να είναι γραµµικός συνδυασµός των διανυσµατικών πεδίων g 1 και g 2, τα οποία είναι ουσιαστικά οι κατευθύνσεις κατά µήκος των οποίων είναι δυνατή η κίνηση του συστήµατος. x 3 Η σχέσεις (3.5) ισχύουν για φ π/2, ενώ όταν φ=π/2 χρησιµοποιείται sgn G sinϕ 24

2.3. Όχηµα µε Οδηγό Τροχό Στην παράγραφο αυτή θεωρείται το όχηµα του Σχ. 2.2, το οποίο κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, και αποτελείται από τρεις συνολικά τροχούς: δύο πίσω τροχούς παράλληλους µε τον άξονα της πλατφόρµας και έναν εµπρός τροχό, ο οποίος µπορεί να στρέφεται ως προς κατακόρυφο άξονα και είναι υπεύθυνος για την κίνηση του οχήµατος. Οι βασικές διαστάσεις του οχήµατος φαίνονται στο Σχήµα 2.2. Για ευκολία στη µοντελοποίηση του οχήµατος, οι δύο πίσω τροχοί αντικαθίστανται από έναν "ισοδύναµο" τροχό τοποθετηµένο στο σηµείο R. Υποθέτοντας ότι δεν επιτρέπεται πλευρική ολίσθηση των πίσω τροχών και ακολουθώντας την ίδια µεθοδοδογία µε την προηγούµενη παράγραφο, καταλήγουµε στην σχέση y Y l = 0.30m b =0.30m l =0.5m ϕ x r =0.10m b ϕ r R Τροχός G m 0 (x, y ) I 0 Οδηγός Τροχός γ X Τροχός l l Σχήµα 2.2. Όχηµα µε οδηγό τροχό και βασικές διαστάσεις. x sinϕ y cosϕ = 0 (2.10) R R όπου x, y είναι οι κατά x και y συνιστώσες της γραµµικής ταχύτητας του πίσω R R σηµείου R και ϕ είναι ο προσανατολισµός του οχήµατος. Όπως και στην περίπτωση του διαφορικά οδηγούµενου οχήµατος η Εξ. (2.10) µπορεί να γραφεί για το σηµείο ως εξής x sinϕ y cosϕ + ϕl = 0 (2.11) 25

όπου x, y είναι οι κατά x και y συνιστώσες της γραµµικής ταχύτητας του εµπρός σηµείου. Είναι προφανές ότι η Εξ. (2.11) έχει την ίδια µορφή µε την Εξ. (2.3) που αντιστοιχεί στο διαφορικά οδηγούµενο όχηµα και εκφράζει το γεγονός ότι το όχηµα δεν µπορεί να ολισθήσει πλευρικά, δηλαδή κατά κατεύθυνση κάθετη προς τον άξονα του. Χρησιµοποιώντας θεωρήµατα για την ολοκληρωσιµότητα διαφορικών εξισώσεων εξάγεται το σύµπερασµα ότι η Εξ. (2.11) εκπροσωπεί έναν µη ολόνοµο περιορισµό, δηλαδή είναι αδύνατο να ολοκληρωθεί αναλυτικά ώστε να προκύψει ένας αντίστοιχος περιορισµός µεταξυ θέσεων. Αν µε υ συµβολισθεί η γραµµική ταχύτητα του σηµείου, τότε είναι προφανείς οι παρακάτω σχέσεις x = υ cos( ϕ + γ) = θ rcos( ϕ + γ) (2.12 α) sw y = υ sin( ϕ + γ) = θ rsin( ϕ + γ) (2.12 β) sw υ θ sw r ϕ = sinγ = sinγ (2.12 γ) l l όπου γ είναι η γωνία οδήγησης (γωνία που σχηµατίζει ο εµπρός τροχός µε τον άξονα του οχήµατος), υ = θswr η ταχύτητα του σηµείου, θ sw η γωνιακή ταχύτητα του εµπρός τροχού και r η ακτίνα του. Τονίζεται εδώ ότι η Εξ. (2.12 γ) βρέθηκε χρησιµοποιώντας τον µη ολόνοµο περιορισµό της Εξ. (2.11) και εποµένως αποτελεί µια ισοδύναµη µορφή του, δηλαδή εκφράζει το γεγονός ότι δεν επιτρέπεται πλευρική ολίσθηση. Οι Εξ. (2.12) µπορούν να γραφούν σε µητρωική µορφή x r cos( ϕ + γ) 0 θ sw y r sin( ϕ γ) 0 = + 1 γ ϕ l sinγ 0 (2.13) Από την Εξ. (2.13) είναι φανερό ότι η είσοδος γ επηρεάζει την συµπεριφορά του οχήµατος µόνο όταν θ sw 0. Πράγµατι, στροφή του εµπρός τροχού χωρίς πρόωση στους κινητήριους τροχούς δεν αλλάζει ούτε την θέση ούτε τον προσανατολισµό της πλατφόρµας. Αυτό δεν συµβαίνει στην περίπτωση του οχήµατος µε διαφορικά οδηγούµενους τροχούς όπου αν κάποια από τις εισόδους είναι διάφορη του µηδενός, τότε το όχηµα κινείται αλλάζοντας τη θέση και τον προσανατολισµό του. Το γεγονός αυτό αποτελεί µια βασική διαφορά µεταξύ των δύο οχηµάτων, η οποία δεν επιτρέπει στο όχηµα µε οδηγό τροχό να αλλάζει τον προσανατολισµό του 26

επιτόπου (σε αντίθεση µε τον άλλο τύπο οχήµατος όπου αυτό είναι εφικτό). Η συµπεριφορά αυτή του συγκεκριµένου οχήµατος, σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι δεν υπάρχει άµεση σύνδεση της ταχύτητας στροφής του οδηγού τροχού γ µε τις ταχύτητες εξόδου µε συνέπεια να είναι δύσκολο να βρεθεί µια µη ιδιόµορφη Ιακωβιανή, περιπλέκει ιδιαίτερα το πρόβληµα ελέγχου, όπως θα φανεί στο Κεφάλαιο 5. Άµεσο αποτέλεσµα των παραπάνω είναι ότι για την πλήρη περιγραφή του οχήµατος οι προηγούµενες εξισώσεις δεν αρκούν. Πράγµατι, εκτός από την θέση και τον προσανατολισµό του οχήµατος, που είναι γνωστά µέσω των x, y και ϕ, πρέπει να γνωρίζουµε και τον προσανατολισµό του εµπρός τροχού, δηλαδή το γ, το οποίο δεν εξαρτάται από τις υπόλοιπες µεταβλητές. Εποµένως ο χώρος θέσεων του συστήµατος δεν είναι τρισδιάστατος, όπως στην περίπτωση του οχήµατος µε δύο ανεξάρτητα επιταχυνόµενους τροχούς, αλλά τετραδιάστατος. Οι κινηµατικές εξισώσεις γράφονται σε κανονική µορφή είναι x r cos( ϕ + γ) 0 y r sin( ϕ γ) 0 + = θsw + γ q = g 1(q) u1+ g 2(q) γ 0 1 1 ϕ l sinγ 0 u 2 (2.14) όπου τα διανυσµατικά πεδία g 1 και g 2 περιγράφουν τις κατευθύνσεις στον χώρο κατάστασης κατά µήκος των οποίων είναι δυνατόν να κινηθεί το όχηµα. Η Εξ. (2.14) είναι σε κατάλληλη µορφή για τη διατύπωση του προβλήµατος ως κλασσικού προβλήµατος µη γραµµικού ελέγχου επιτρέποντας τη χρήση γενικότερων αποτελεσµάτων της θεωρίας ελέγχου. 2.4. Ολοκληρωµένο Σύστηµα Οχήµατος και Βραχίονα Στην παράγραφο αυτή µελετάται το πλήρες σύστηµα οχήµατος που φέρει έναν βραχίονα δύο βαθµών ελευθερίας. Αρχικά καταστρώνεται το ευθύ κινηµατικό µοντέλο, το οποίο και αντιστρέφεται στο επίπεδο των θέσεων. Στη συνέχεια εξάγεται το διαφορικό κινηµατικό µοντέλο στην περίπτωση των δύο οχήµατων χρησιµοποιώντας έναν ευρύτατα διαδεδοµένο τρόπο για την µοντελοποίηση τέτοιων συστηµάτων, βλ. Seraji [57]. Οι προκύπτουσες κινηµατικές σχέσεις συνδέουν την 27

έξοδο, που είναι η ταχύτητα του τελικού στοιχείου δράσης, µε την είσοδο, που είναι οι ταχύτητες στους κινητήρες των τροχών και των αρθρώσεων του ροµπότ. 2.4.1. Ευθύ Κινηµατικό Μοντέλο και Γεωµετρική Αντιστροφή της Εξίσωσης Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρείται ότι ο βραχίονας είναι τοποθετηµένος στο εµπρός σηµείο της πλατφόρµας, όπως φαίνεται στο Σχ. 2.3. Στο Σχ. 2.3 δεν έχει σχεδιασθεί το σύστηµα κίνησης του οχήµατος που φέρει το βραχίονα διότι δεν επηρεάζει τη µορφή του κινηµατικού µοντέλου σε επίπεδο θέσεων. Πράγµατι, οι αντίστοιχες εξισώσεις για το σύστηµα του βραχίονα σε όχηµα µε δύο ανεξάρτητα οδηγούµενους τροχούς και για το σύστηµα του βραχίονα σε όχηµα µε οδηγό τροχό είναι ίδιες. Η διαφορά υπεισέρχεται µόνο στα µοντέλα διαφορικής κινηµατικής, όπως θα φανεί στην Παράγραφο 2.4.2, λόγω προφανώς του διαφορετικού συστήµατος κίνησης που διαθέτουν. l 1 l 2 = 0.20m = 0.25m (x E,y E ) E l 2 Βραχίονας θ 2 Y (x, y ) θ 1 l 1 y G x ϕ ϕ X Σχήµα 2.3. Βραχίονας τοποθετηµένος σε κινούµενη βάση. Το ευθύ κινηµατικό µοντέλο του πλήρους συστήµατος δίνεται από τις εξισώσεις xe = x + l1 ϕ + ϑ1 + l2 ϕ + ϑ1+ϑ2 cos( ) cos( ) (2.15 α) y = y + l sin( ϕ + ϑ ) + l sin( ϕ + ϑ +ϑ ) (2.15 β) E 1 1 2 1 2 28

Στην παράγραφο αυτή ενδιαφέρει ο υπολογισµός των ϑ 1, ϑ 2, όταν είναι γνωστή η θέση του βραχίονα ( x, y, και η θέση και ο προσανατολισµός του οχήµατος E E ) ( x, y και ϕ αντίστοιχα. Η αλγεβρική επίλυση των Εξ. (2.15 α) και (2.15 β) δίνει ) { } ϑ2 = Atan2 sin ϑ2,cosϑ 2 (2.16) όπου 1 2 2 2 1 2 2 2 ( xe x) + ( ye y) l l cosϑ2 = (2.16 α) 2ll 1 2 2 ϑ2 =± θ 2 sin 1 cos (2.16 β) και { } ϑ = Atan2 sin( ϕ + ϑ ),cos( ϕ + ϑ ) ϕ (2.17) 1 1 1 όπου sin( ϕ + ϑ ) = cos( ϕ + ϑ ) = ( l1+ l2cosϑ2)( ye y) l2sinϑ2( xe x) ( x x ) + ( y y ) 1 2 2 E E ( l1+ l2cosϑ2)( xe x) + l2sinϑ2( ye y) ( x x ) + ( y y ) 1 2 2 E E (2.17 α) (2.17 β) Στην Εξ. (2.16 α) το πρόσηµο (+) αντιστοιχεί στην περίπτωση που ο αγκώνας του βραχίονα είναι προς τα κάτω (elbow-down posture) και το (-) στην περίπτωση που ο αγκώνας είναι προς τα πάνω (elbow-up posture). Είναι σαφές ότι για να έχει νόηµα η Εξ. (2.16 β) πρέπει 2 2 ( ) ( ) ( cosϕ 1 xe x + ye y l + l ) 2 1 2 Όταν οι συντεταγµένες ( x E, y ) και (, E x ) y είναι τέτοιες ώστε να µην ικανοποιείται η προηγούµενη ανίσωση, τότε το σηµείο-στόχος είναι εκτός του χώρου εργασίας του βραχίονα. Συγκρίνοντας τις παραπάνω εξισώσεις µε αυτές που προκύπτουν από την επίλυση του αντίστροφου προβλήµατος σε έναν βραχίονα δύο βαθµών ελευθερίας (βλ. Sciavicco, Siciliano [55], σελ.58) διαπιστώνεται η σηµασία της πλατφόρµας. Πράγµατι, η κινούµενη βάση εισάγει τις µεταβλητές ( x, y ), οπότε αν ο στόχος είναι αρχικά εκτός του χώρου εργασίας του βραχίονα µπορούµε αλλάζοντας τις συντεταγµένες αυτές (µε κίνηση της βάσης) να φέρουµε το τελικό στοιχείο δράσης σε τέτοια θέση ώστε να είναι δυνατή η εκτέλεση της επιθυµητής εργασίας. 29

2.4.2. Εξισώσεις ιαφορικής Κινηµατικής 2.4.2.1. Βραχίονας Τοποθετηµένος σε ιαφορικά Οδηγούµενο Όχηµα Το πλήρες σύστηµα στην περίπτωση του βραχίονα που είναι προσαρµοσµένος σε όχηµα µε δύο ανεξάρτητα οδηγούµενους τροχούς παρουσιάζεται στο Σχήµα 2.4, όπου φαίνονται και οι βασικές διαστάσεις του. Το διαφορικό κινηµατικό µοντέλο του οχήµατος χωρίς το βραχίονα δίνεται από την Εξ. (2.10) r lr r lr cosϕ + sinϕ cosϕ sinϕ 2 b 2 b x r lr r lr y ω sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ = + 2 b 2 b ω r ϕ r r b b ενώ ο µη ολόνοµος περιορισµός στον οποίον υπόκειται η βάση είναι (2.8) x sinϕ y cosϕ + ϕl = 0 (2.3) l 1 l 2 = 0.20m = 0.25m l = 0.30m b =0.30m r = 0.10m r Οδηγός Τροχός (x E,y E ) Βραχίονας θ 2 E l 2 y Y b G (x, y ) θ 1 l 1 x ϕ ϕ X Οδηγός Τροχός l Σχήµα 2.4. Βραχίονας τοποθετηµένος σε διαφορικά οδηγούµενο όχηµα. Αν στην Εξ. (2.3) θέσουµε τις εξισώσεις που προκύπτουν από τις δύο πρώτες γραµµές της Εξ. (2.8), τότε προκύπτει η τρίτη γραµµή της Εξ. (2.8), η οποία είναι ισοδύναµη µε τον µη ολόνοµο περιορισµό που διέπει το σύστηµα. Παραγωγίζοντας τις Εξ. (2.15) ως προς το χρόνο έχουµε x = x l sin( ϕ + ϑ )( ϕ + ϑ ) l sin( ϕ + ϑ + ϑ )( ϕ+ ϑ + ϑ ) E 1 1 1 2 1 2 1 2 (2.18 α) y = y + l cos( ϕ + ϑ )( ϕ + ϑ ) + l cos( ϕ + ϑ + ϑ )( ϕ+ ϑ + ϑ ) (2.18 β) E 1 1 1 2 1 2 1 2 30

Οι Εξ. (2.3) και (2.18) µπορούν να γραφούν σε µητρωική µορφή ως εξής x 0 sinϕ cosϕ l 0 0 y x = 1 0 j j j ϕ E 23 24 25 y E 0 1 j33 j34 j 35 ϑ1 ϑ 2 (2.19) όπου j = j = l sin( ϕ + ϑ ) l sin( ϕ + ϑ +ϑ ) (2.19 α) 23 24 1 1 2 1 2 j = l sin( ϕ + ϑ + ϑ ) (2.19 β) 25 2 1 2 j = j = l cos( ϕ + ϑ ) + l cos( ϕ + ϑ +ϑ ) (2.19 γ) 33 34 1 1 2 1 2 j = l cos( ϕ + ϑ + ϑ ) (2.19 δ) 35 2 1 2 Η Εξ. (2.19) παρέχει το ενοποιηµένο µοντέλο του πλήρους συστήµατος. Ο µη ολόνοµος περιορισµός έχει ενσωµατωθεί στον εµπλεκόµενο πίνακα. Αντικαθιστώντας την Εξ. (2.4) στην Εξ. (2.19), το µοντέλο του συστήµατος γίνεται rcosϕ l rsinϕ r rcosϕ l rsinϕ r ω + j23 + j23 j24 j25 x E 2 b b 2 b b ω r y = E rsinϕ lrcos ϕ r rsinϕ lrcos ϕ r ϑ1 j33 j33 j34 j 35 + + 2 b b 2 b b ϑ2 (2.20) όπου τα σύµβολα έχουν την σηµασία που τους αποδόθηκε προηγουµένως. Ο υποβιβασµός του εµπλεκόµενου στην Εξ. (2.19) πίνακα από 3 5 σε 2 4 οφείλεται στην εξάρτηση που υπάρχει µεταξύ των ταχυτήτων λόγω του µη ολόνοµου περιορισµού. Η Εξ. (2.20) συνδέει τις πραγµατικές εισόδους (όπως αυτές δίνονται από τους κινητήρες) και τις εξόδους του συστήµατος. Όπως µπορεί να διαπιστώσει κανείς ο αριθµός των εισόδων είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό των εξόδων του συστήµατος. Το γεγονός αυτό αποτελεί µια σηµαντική ιδιότητα του υπό µελέτη συστήµατος διότι επιτρέπει τη χρήση των επιπλέον εισόδων για να ικανοποιηθούν άλλα πρόσθετα κριτήρια ανάλογα µε την επιθυµητή εργασία. 2.4.2.2. Βραχίονας Τοποθετηµένος σε Όχηµα µε Οδηγό Τροχό Όπως και στην προηγούµενη παράγραφο θεωρείται ότι ο βραχίονας είναι τοποθετηµένος στο εµπρός σηµείο της πλατφόρµας, βλ. Σχήµα 2.5. 31

l 1 y l = 0.5m l 1 = 0.30m l 2 = 0.35m Y l =0.30m b = 0.30m r =0.10m b r Τροχός G Οδηγός Τροχός (x, y ) θ 1 (x E, y E ) Βραχίονας γ θ 2 E l 2 x ϕ ϕ X Τροχός l l Σχήµα 2.5. Βραχίονας προσαρµοσµένος σε όχηµα µε οδηγό τροχό. είναι Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κινηµατική συµπεριφορά της πλατφόρµας x = υ cos( ϕ + γ) = ωrcos( ϕ + γ) (2.12 α) y = υ sin( ϕ + γ) = ωrsin( ϕ + γ) (2.12 β) υ ω r ϕ = sinγ = sinγ (2.12 γ) l l ενώ ο µη ολόνοµος περιορισµός στον οποίον υπόκειται η πλατφόρµα είναι x sinϕ y cosϕ + ϕl = 0 (2.11) όπου όπως έχει ήδη αναφερθεί η Εξ. (2.12 γ) είναι ισοδύναµη µε την Εξ. (2.11), αφού υπολογίζει το ϕ ώστε για κάθε συνδυασµό των υπολοίπων µεταβλητών να ικανοποιείται ο µη ολόνοµος περιορισµός. Με τη βοήθεια του Σχ. 2.5 και µε τον ίδιο τρόπο, όπως και στην προηγούµενη παράγραφο, καταλήγουµε στην εξίσωση x 0 sinϕ cosϕ l 0 0 y x = 1 0 j j j ϕ E 23 24 25 y E 0 1 j33 j34 j 35 ϑ1 ϑ 2 (2.21) όπου τα j 23, 24, j 25 j, j 33, j 34, j 35 δίνονται από την Εξ. (2.19). Η Εξ. (2.21) παρέχει το ενοποιηµένο µοντέλο του πλήρους συστήµατος. Ο µη ολόνοµος περιορισµός έχει 32

ενσωµατωθεί στον εµπλεκόµενο πίνακα. Αντικαθιστώντας τις Εξ. (2.12 α) και (2.12 β) στην Εξ. (2.21), το πλήρες µοντέλο του συστήµατος µπορεί να γραφεί ω xe rcos( ϕ γ) j23 j24 j 25 ϕ + = y rsin( ϕ + γ) j j j ϑ 33 34 35 1 ϑ2 (2.22) όπου τα σύµβολα έχουν την σηµασία που τους αποδόθηκε προηγουµένως, ενώ ο υποβιβασµός του εµπλεκόµενου πίνακα στην Εξ. (2.21) από 3 5 σε 2 4 οφείλεται στους λόγους που αναφέρθηκαν προηγουµένως. Ένα σηµαντικό σηµείο που διαφοροποιεί το σύστηµα του οχήµατος µε οδηγό τροχό από το σύστηµα που µελετήθηκε στην προηγούµενη πάραγραφο είναι το γεγονός ότι οι είσοδοι στην Εξ. (2.22) δεν είναι οι πραγµατικές είσοδοι του συστήµατος. Πράγµατι, ο ρυθµός µεταβολής ϕ του προσανατολισµού του συστήµατος δεν είναι άµεσα ελεγχόµενη είσοδος από κάποιον κινητήρα όπως είναι το γ, το οποίο όµως δεν εµφανίζεται στην παραπάνω σχέση. Αυτό οφείλεται στο ότι δεν υπάρχει σχέση µεταξύ των ϕ και γ (υπάρχει µόνο η Εξ. (2.12 γ) που συνδέει ϕ µε το γ ), αφού το γ επηρεάζει την συµπεριφορά του οχήµατος µόνο όταν το όχηµα κινείται (µηδενική στήλη στον πίνακα της σχέσης Εξ. (2.12)). 33

Κεφάλαιο 3 Σχεδιασµός ρόµου και Αποφυγή Εµποδίων σε Μη Ολόνοµα Οχήµατα 3.1. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό µελετάται το πρόβληµα του σχεδιασµού του δρόµου σε συστήµατα που υπόκεινται σε µη ολόνοµους περιορισµούς. Ο σχεδιασµός του δρόµου στην περίπτωση των µη ολόνοµων συστηµάτων περιέχει πρόσθετες δυσκολίες σε σχέση µε το αντίστοιχο πρόβληµα για τα ολόνοµα συστήµατα. Οι δυσκολίες αυτές οφείλονται στη φύση των µη ολόνοµων περιορισµών, η παρουσία των οποίων δεν επιτρέπει την επιλογή ενός συνόλου γραµµικά ανεξάρτητων µεταβλητών για την περιγραφή του συστήµατος. Υπάρχει εκτεταµένη βιβλιογραφία σχετικά µε το πρόβληµα του σχεδιασµού του δρόµου σε µη ολόνοµα οχήµατα. Οι εργασίες που έχουν δηµοσιευθεί στον τοµέα αυτόν µπορεί να χωρισθούν σε δύο κατηγορίες: σε δηµοσιεύσεις που αφορούν στον προσδιορισµό ενός δρόµου, ο οποίος συνδέει δύο σηµεία του χώρου θέσεων και ικανοποιεί το µη ολόνοµο περιορισµό και σε δηµοσιεύσεις που αφορούν στο πρόβληµα της αποφυγής εµποδίων που πιθανόν να υπάρχουν στον χώρο εργασίας του ροµπότ. Πρέπει να τονισθεί εδώ ότι τα συστήµατα που µελετώνται στις παραπάνω δηµοσιεύσεις είναι έντροχα ροµποτικά οχήµατα χωρίς βραχίονα. Είναι συνεπώς πολύ σηµαντική η ανάπτυξη µιας µεθοδολογίας για το σχεδιασµό του δρόµου έντροχων ροµποτικών συστηµάτων που διαθέτουν βραχίονα, που θα οδηγούν το σύστηµα στην επιθυµητή θέση σε χώρους που περιέχουν εµπόδια. Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύσσεται µία µεθοδολογία η οποία χρησιµοποιεί λείες συναρτήσεις, όπως για παράδειγµα πολυώνυµα, για τον υπολογισµό του δρόµου ενός έντροχου ροµποτικού βραχίονα ανάµεσα σε εµπόδια. Η προτεινόµενη µέθοδος δεν έχει υπολογιστικό κόστος, είναι εύκολη στην εφαρµογή της και στηρίζεται στην αποσύζευξη του οχήµατος από τον βραχίονα. Η βασική ιδέα είναι η κατασκευή ενός µετασχηµατισµού που απεικονίζει τον µη ολόνοµο περιορισµό από τον Καρτεσιανό χώρο σε έναν χώρο στον οποίο µπορεί να ικανοποιηθεί µε τετριµµένο τρόπο. Επειδή ο προτεινόµενος µετασχηµατισµός είναι λείος και οι συναρτήσεις που 34

χρησιµοποιούνται είναι λείες ο παραγόµενος δρόµος θα είναι λείος. Επίσης, ο συγκεκριµένος µετασχηµατισµός επιτρέπει τον άµεσο έλεγχο του προσανατολισµού του οχήµατος επιτρέποντας έτσι την κατασκευή δρόµων µε ελάχιστο αριθµό ή καθόλου cusps. Ο προτεινόµενος µετασχηµατισµός απεικονίζει επίσης εµπόδια από τον Καρτεσιανό χώρο στο χώρο εργασίας και επιτρέπει την αποφυγή τους αυξάνοντας την τάξη των χρησιµοποιούµενων πολυωνύµων. Εγγράφοντας εµπόδια σε απλά γεωµετρικά σχήµατα όπως ελλείψεις και κύκλοι διευκολύνει τους υπολογισµούς των πρόσθετων παραµέτρων που απαιτούνται. Η µέθοδος µπορεί να επεκταθεί και στην αποφυγή εµποδίων οποιουδήποτε αριθµού και σχήµατος. Η δοµή του κεφαλαίου αυτού έχει ως εξής: Στην Παράγραφο 3.2 ορίζεται µαθηµατικά το πλήρες πρόβληµα του σχεδιασµού τροχιάς. Στην Παράγραφο 3.3 εξετάζεται αρχικά η κινούµενη βάση χωρίς το βραχίονα και αναλύεται µια µέθοδος για τον µετασχηµατισµό του µη ολόνοµου περιορισµού σε µια µορφή που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το σχεδιασµό τροχιάς. Στην ίδια παράγραφο παρατίθενται αποτελέσµατα από την εφαρµογή της µεθόδου σε όχηµα µε ανεξάρτητα ελεγχόµενους τροχούς που φέρει έναν βραχίονα δύο βαθµών ελευθερίας. Στην Παράγραφο 3.4 παρουσιάζεται η εφαρµογή του µετασχηµατισµού για την απεικόνιση εµποδίων που υπάρχουν στον χώρο εργασίας και τέλος στην Παράγραφο 3.5 αναλύεται η µέθοδος αποφυγής ενός αρχικά και πολλαπλών στη συνέχεια εµποδίων και παρουσιάζονται παραδείγµατα από την εφαρµογή της µεθόδου. 3.2. Ορισµός του Προβλήµατος Το πρόβληµα του σχεδιασµού τροχιάς ενός συστήµατος συνίσταται σε δύο επιµέρους προβλήµατα: Πρόβληµα 1: οθέντων δύο σηµείων στον χώρο θέσεων του ροµπότ να βρεθεί αν υπάρχει τροχιά που συνδέει τα δύο αυτά σηµεία και ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς του προβλήµατος. Πρόβληµα 2: Αν υπάρχει µια τέτοια τροχιά τότε να υπολογισθεί. Η επίλυση του πρώτου προβλήµατος έχει αναλυτικά µελετηθεί στο [53]. Πράγµατι, µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του robenius µπορεί να βρεθεί αν ένα 35

σύνολο περιορισµών τύπου Pfaff είναι ολοκληρώσιµο ή όχι. Στη συνέχεια µε χρήση του θεωρήµατος του Chow µπορεί να δoθεί απάντηση στο ερώτηµα αν το σύστηµα είναι τοπικά ελέγξιµο, δηλαδή αν δοθέντων δύο σηµείων του χώρου θέσεων υπάρχει δρόµος που συνδέει τα σηµεία αυτά και ικανοποιεί τον µη ολόνοµο περιορισµό. Το πρόβληµα της εύρεσης του δρόµου στην περίπτωση των µη ολόνοµων συστηµάτων µπορεί µαθηµατικά να διατυπωθεί ως εξής Σχεδιασµός τροχιάς µη ολόνοµων συστηµάτων Έστω ότι C έιναι o n-διάστατος χώρος θέσεων ενός συστήµατος και x, x δύο 0 f δοσµένες αρχικές και τελικές θέσεις, n m B(x) R µια m-διάστατη πλήρως µη ολόνοµη κατανοµή, η οποία µετατρέπει το σύστηµα σε ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων της µορφής: x = b1( x) u 1 +... + bm( x) um = B(x) u (4.1) και C ( x) 0, i=1,,l i ένα σύνολο περιορισµών που αντιστοιχούν σε εµπόδια που υπάρχουν στο χώρο θέσεων. Να υπολογισθεί ένα σύνολο εισόδων u(t), t [0,T], πιθανώς µε ελαχιστοποίηση κάποιου κριτηρίου, τέτοιο ώστε η προκύπτουσα τροχιά x(t) C, t [0,T] να συνδέει τα x0, x, χωρίς να προσκρούει σε κάποιο εµπόδιο. f Το πρόβληµα του σχεδιασµού τροχιάς στα µη ολόνοµα συστήµατα παρουσιάζει πρόσθετες δυσκολίες σε σχέση µε το αντίστοιχο πρόβληµα στα συστήµατα που υπόκεινται σε ολόνοµους περιορισµούς. Πράγµατι, στα ολόνοµα συστήµατα είναι δυνατόν να βρεθεί ένα σύνολο ανεξάρτητων γενικευµένων µεταβλητών και άρα µπορεί να υπολογισθεί µία αυθαίρετη κίνηση στο χώρο των ανεξάρτητων µεταβλητών. Στην περίπτωση των µη ολόνοµων συστηµάτων ένα τέτοιο σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων µεταβλητών δεν υπάρχει και εποµένως δεν είναι εφικτή για το σύστηµα µια οποιαδήποτε τροχιά. Πάντως, όπως αποδείχθηκε στο [50], στην περίπτωση των πλήρως µη ολόνοµων συστηµάτων υπάρχει τροχιά που θα ικανοποιεί τον µη ολόνοµο περιορισµό και θα συνδέει τις επιθυµητές θέσεις. 36

3.3. Σχεδιασµός του ρόµου Στην παράγραφο αυτή µελετάται το πρόβληµα του υπολογισµού ενός δρόµου, ο οποίος θα συνδέει δύο αυθαίρετα επιλεγµένες θέσεις ( x in, y in in, ϕ ) και ( x fin, y fin, ϕ fin ), κατά τρόπο ώστε να ικανοποιείται ο µη ολόνοµος περιορισµός. Η προτεινόµενη µέθοδος αναλύθηκε διεξοδικά στο Κεφάλαιο 4 του [50] και παρουσιάζεται εδώ επειδή είναι συνιφασµένη µε την ανάπτυξη της µεθόδου για την αποφυγή εµποδίων. Βασίζεται στον µετασχηµατισµό της αρχικής διαφορικής εξίσωσης, που εκφράζει τον µη ολόνοµο περιορισµό, σε µία µορφή απλούστερη, η οποία µπορεί µε κατάλληλη επιλογή των εµπλεκόµενων συναρτήσεων να ικανοποιείται ταυτοτικά. Ο προκύπτον δρόµος µεταξύ δύο θέσεων εξαρτάται µόνο από τις χρησιµοποιούµενες συναρτήσεις και από τις αρχικές και τελικές συνθήκες και συνεπώς δεν είναι δυνατός ο άµεσος έλεγχος στο καρτεσιανό επίπεδο. Τέλος στην παράγραφο αυτή θεωρείται ότι στο χώρο, στον οποίο κινείται το όχηµα, δεν υπάρχουν εµπόδια. 3.3.1. Περιγραφή της Μεθόδου για Σχεδιασµό του ρόµου Θεωρείται η διαφορική εξίσωση τριών µεταβλητών P ( x, y, z) dx + Q( x, y, z) dy + R( x, y, z) dz = 0 (3.2) όπου υποτίθεται ότι δεν ισχύει η συνθήκη της ολοκληρωσιµότητας. Αναζητείται ένας µετασχηµατισµός u = u( x, y, z) (3.3 α) v = v( x, y, z) (3.3 β) w = w( x, y, z) (3.3 γ) ώστε η Εξ. (3.2) να λάβει τη µορφή P ( x, y, z) dx + Q( x, y, z) dy + R( x, y, z) dz = du + vdw= 0 (3.4) Είναι προφανές ότι οι u, v, w θα πρέπει να ικανοποιούν τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: u w u w P = + v, Q = + v, x x y y u w R = + v (3.5) z z και εποµένως θέτοντας 37

y R z Q P =, z P x R Q =, x Q y P R = (3.6) µε αντικατάσταση λαµβάνεται z w y v y w z v P = (3.7 α) x w z v z w x v Q = (3.7 β) y w x v x w y v R = (3.7 γ) Πολλαπλασιάζοντας τις Εξ. (3.7) µε x w, y w, z w, αντίστοιχα, λαµβάνεται η εξίσωση = 0 + + z w R y w Q x w P (3.8) ενώ πολλαπλασιάζοντας πάλι τις Εξ. (3.7) µε x v, y v, z v, αντίστοιχα λαµβάνεται η εξίσωση = 0 + + z v R y v Q x v P (3.9) Επίσης ισχύει = 0 + + = + + z w R y w Q x w P v R z u R Q y u Q P x u P απ όπου προκύπτει η ακόλουθη διαφορική εξίσωση RR QQ PP z u R y u Q x u P + + = + + (3.10) Το δεξιό µέλος της Εξ. (3.10) είναι η συνθήκη ολοκληρωσιµότητας της Εξ. (3.2), βλ. Κεφάλαιο 2, [50], η οποία είναι διάφορη του µηδενός, αφού η διαφορική εξίσωση Εξ. (3.2) υποτέθηκε µη ολοκληρώσιµη. Συµπεραίνεται, λοιπόν, ότι το u δεν ικανοποιεί την ίδια µε τα v, w διαφορική εξίσωση, γεγονός το οποίο θα συνέβαινε µόνο αν η Εξ. (3.2) ήταν ολοκληρώσιµη. Φαίνεται, λοιπόν, ότι τα v, w, ικανοποιούν εξίσωση της µορφής 38

θ θ θ P + Q + R = 0 x y z (3.11) Η Εξ. (3.11) είναι µια οµογενής µερική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης η οποία λύνεται µε τους γνωστούς τρόπους (βλ. π.χ. orsyth [11], σελ.392). Έτσι αρχικά σχηµατίζεται το σύστηµα των εξισώσεων dx P dy = Q = dz R (3.12) και αν τα α ( x, y, z) = constant και β ( x, y, z) = constant (3.13) είναι δύο ανεξάρτητα ολοκληρώµατα της Εξ. (3.12), τότε το γενικό ολοκλήρωµα της Εξ. (3.11) είναι µια αυθαίρετα επιλεγόµενη συνάρτηση των α, β. Εποµένως τα v, w είναι συναρτήσεις των α, β. Στη συνέχεια θεωρείται το w ίσο µε µια συνάρτηση των α, β. Για λόγους απλότητας λαµβάνεται w =α. Είναι σαφές ότι η εξίσωση: α ( x, y, z) = c, όπου c 1 µια σταθερά (3.14) 1 εκφράζει µια σχέση µεταξύ των τριών µεταβλητών x, y, z και αφού dw = dα = dc1 = 0. Με αντικατάσταση αυτών στην Εξ. (3.4) έχουµε P ( x, y, z) dx + Q( x, y, z) dy + R( x, y, z) dz = du w =α θα είναι που σηµαίνει ότι γι' αυτή τη σχέση µεταξύ των µεταβλητών η έκφραση P dx + Q dy + R dz 1 είναι πλήρες διαφορικό. Έτσι, λοιπόν, χρησιµοποιώντας τη σχέση α ( x, y, z) = c για την αντικατάσταση κάποιων µεταβλητών και των διαφορικών τους, π.χ. του z και dz, η προκύπτουσα έκφραση θα είναι τέλειο διαφορικό, έστω dφ x, y, c ). Στη συνέχεια εισάγεται ξανά στην φ x, y, c ) η µεταβλητή ( 1 ( 1 z αντικαθιστώντας µέσω της Εξ. (3.14) τη σταθερά δίνει την u ( x, y, ϕ). c, οπότε η συνάρτηση φ ( x, y, c 1 ) 1 Εποµένως έχουν υπολογισθεί µέχρι στιγµής τα u, w. Για τον υπολογισµό του v χρησιµοποιείται οποιαδήποτε από τις Εξ. (3.5), οι οποίες µπορούν να γραφούν στη µορφή 39

u w u w u w P = v, Q = v, R = v (3.15) x x y y z z Είναι προφανές ότι ο υπολογισµός του v εµπλέκει µόνο αλγεβρικές πράξεις (δεν χρειάζεται επίλυση κάποιας διαφορικής εξίσωσης). (3.4) Με βάση την παραπάνω διαδικασία η Eξ. (3.2) γράφεται στη µορφή της Εξ. du + vdw= 0 (3.4) η οποία ικανοποιείται για διάφορα u, v, w. Έτσι έχουµε τις εξής περιπτώσεις: i) u = constant και w = constant ii) u = constant και w = 0 iii) Στην γενική περίπτωση: ( u, w) = 0 αυθαίρετη συνάρτηση. ψ ψ ψ, και v = 0 u w όπου ψ ιαπιστώνεται, λοιπόν, ότι το ολοκληρωτικό ισοδύναµο της αρχικής διαφορικής εξίσωσης αποτελείται από δύο εξισώσεις και όχι από µία µόνη, όπως θα συνέβαινε αν ίσχυε η συνθήκη της ολοκληρωσιµότητας. 3.3.2 Εφαρµογή της Μεθόδου στο Σχεδιασµό Τροχιάς Η προηγούµενη διαδικασία είναι δυνατόν να εφαρµοσθεί στην περίπτωση του σχεδιασµού της τροχιάς του οχήµατος µε δύο ανεξάρτητα οδηγούµενους τροχούς. Η γεωµετρία του οχήµατος θεωρείται γνωστή στο Σχήµα 3.1. l 1 l 2 =0.20m =0.25m l =0.30m b = 0.30m r = 0.10m r Οδηγός Τροχός (x E,y E ) Βραχίονας θ 2 E l 2 y Y b G (x, y ) θ 1 l 1 x ϕ ϕ X Οδηγός Τροχός l Σχήµα 3.1. Βραχίονας τοποθετηµένος σε διαφορικά οδηγούµενο όχηµα. 40

Ο µη ολόνοµος περιορισµός στον οποίο υπόκειται το σύστηµα βρέθηκε στην Παράγραφο 3.2 του Κεφαλαίου 2 και είναι x sin ϕ y cosϕ + ϕ l = 0 (3.16) Λόγω του µηδενικού δεξιού µέλους της Εξ. (2.16), ο χρόνος µπορεί να απαληφθεί. Αυτό εκφράζει το γεγονός ότι ο περιορισµός είναι σκληρόνοµος (schleronomic), δηλαδή είναι ανεξάρτητος του χρόνου, µε αποτέλεσµα αλλαγές του τελικού χρόνου να µην επηρεάζουν την µορφή της τροχιάς. Η Εξ. (3.16) είναι δυνατόν να γραφεί στη µορφή της Εξ. (3.2) P( x, y, ϕ) dx + Q( x, y, ϕ) dy + R( x, y, ϕ) dϕ = 0 (3.17) όπου P ( x, y, ϕ ) = sinϕ, Q( x, y, ϕ) = cosϕ, R( x, y, ϕ) = l Εφαρµόζοντας τις Εξ. (3.6) λαµβάνονται τα τονούµενα µεγέθη και εποµένως λαµβάνεται το σύστηµα Η λύση των Εξ. (3.19) είναι P = sin ϕ, Q = cosϕ, R = 0 (3.18) dx dy dϕ = = (3.19) sinϕ cosϕ 0 α( x, y, ϕ) = x cosϕ + y sinϕ c (3.20 α) = β ( x, y, ϕ) = ϕ c (3.20 β) = όπου c 1, c 2 σταθερές. Η λύση της Εξ (3.11) θα είναι µια αυθαίρετη συνάρτηση των α και β. Για λόγους απλότητας επιλέγουµε την β. Επειδή η w ικανοποιεί µια διαφορική εξίσωση της µορφής της Εξ. (3.11) (όπως άλλωστε και το v) θεωρούµε 2 1 w = β = c 2 (3.21) Αντικαθιστώντας στην Εξ. (3.17) ϕ = β και d ϕ = dβ = 0 προκύπτει ότι sin β dx cosβ dy = 0 Η εξίσωση αυτή είναι άµεσα ολοκληρώσιµη και δίνει φ( x, y, ϕ) x sinβ y cosβ (3.22) = Επανεισάγοντας το ϕ στην Εξ. (3.22) έχουµε u ( x, y, ϕ) x sinϕ y cosϕ (3.23) = 41

Ο υπολογισµός του προοκύπτει v γίνεται µέσω κάποιας από τις Εξ. (3.15), π.χ. από την τρίτη v ( x, y, ϕ) l x cosϕ y sinϕ (3.24) = Συγκεντρωτικά για τα u, v, w ισχύουν οι εξισώσεις: u ( x, y, ϕ) x sinϕ y cosϕ (3.23) = v ( x, y, ϕ) l x cosϕ y sinϕ (3.24) = ( x, y,ϕ ) = ϕ w (3.25) Πρόκειται για έναν µετασχηµατισµό ( x, y, ϕ ) ( u, v, w), ο οποίος δεν καθίσταται ιδιόµορφος σε κανένα σηµείο του χώρου θέσεων. (3.4), δηλαδή Με τη χρήση των Εξ. (3.23)-(3.25) η Εξ. (3.17) λαµβάνει τη µορφή της Εξ. du + vdw= 0 (3.4) Η Εξ. (3.4) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το σχεδιασµό της τροχιάς του συστήµατος. Έτσι θεωρώντας τις συναρτήσεις f, τις παρακάτω σχέσεις g, οι οποίες είναι τέτοιες ώστε να ικανοποιούν w = f (t) (3.28) u = g(w) (3.29) du v = = g (w) (3.30) dw η Εξ. (3.4) ικανοποιείται ταυτοτικά. Επιλέγοντας, λοιπόν, οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g, που εκτός από τις Εξ. (3.28)-(3.30) ικανοποιούν και τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος, δηλαδή το αρχικό και το επιθυµητό τελικό σηµείο της τροχιάς µπορούµε να οδηγήσουµε το όχηµα µε ακρίβεια στο στόχο ικανοποιώντας ταυτόχρονα τον µη ολόνοµο περιορισµό. 3.3.3. Αποτελέσµατα Εφαρµογής της Μεθόδου Η µέθοδος που αναπτύχθηκε στην προηγούµενη παράγραφο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το σχεδιασµό του δρόµου σε οχήµατα µε ανεξάρτητα οδηγούµενους τροχούς και σε οχήµατα µε οδηγό τροχό αφού εµπλέκουν µη ολόνοµους περιορισµούς του ίδιου τύπου. Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται αποτελέσµατα της µεθόδου στην περίπτωση οχηµάτων µε ανεξάρτητα οδηγούµενους 42

τροχούς. Πρέπει όµως να σηµειωθεί ότι επειδή ο τρόπος υπολογισµού του δρόµου είναι καθαρά γεωµετρικός, δηλαδή στηρίζεται µόνο στη µορφή του µη ολόνοµου περιορισµού και όχι στις ιδιότητες του συγκεκριµένου συστήµατος, η µέθοδος είναι δυνατόν να εφαρµοσθεί και σε άλλα συστήµατα που έχουν µη ολόνοµους περιορισµούς της ίδιας µορφής. Αποτελέσµατα για οχήµατα µε οδηγό τροχό µπορούν να βρεθούν στα [50], [42]. Τα διαγράµµατα που προκύπτουν έχουν εξαχθεί για τη γεωµετρία που φαίνεται στο Σχήµα 3.1. Όπως φαίνεται από το Σχήµα 3.1. το σύστηµα αποτελείται από ένα διαφορικά οδηγούµενο όχηµα που φέρει έναν βραχίονα δύο βαθµών ελευθερίας. Τονίζεται εδώ ότι η µέθοδος µπορεί να επεκταθεί και σε περιπτώσεις βραχιόνων µε περισσότερους βαθµούς ελευθερίας. Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως το πρόβληµα που µας ενδιαφέρει είναι να υπολογισθούν οι είσοδοι που πρέπει να εφαρµοσθούν από τους κινητήρες του συστήµατος για να φτάσει το τελικό στοιχείο δράσης σε κάποιο επιθυµητό σηµείοστόχο fin ( x E, y fin E ) και ταυτόχρονα το όχηµα να λάβει την επιθυµητή θέση και τον εποθυµητό προσανατολισµό. Έχοντας, λοιπόν ορίσει το σηµείο-στόχο για το τελικό στοιχείο δράσης, υπάρχει ελευθερία επιλογής της θέσης (posture) του βραχίονα σε σχέση µε τη θέση του οχήµατος (καρτεσιανές συν/νες και προσανατολισµός). ιάφορα κριτήρια ανάλογα µε την επιτελούµενη εργασία µπορούν να χρησιµοποιηθούν. Τέτοια µπορεί να είναι κριτήρια επιδεξιότητας (manipulability conditions), [55], κριτήρια µεγιστοποίησης της δύναµης που µπορεί να εφαρµοσθεί από το τελικό στοιχείο δράσης, [41], και άλλα κριτήρια βελτιστοποίησης. Επειδή όµως στο συγκεκριµένο παράδειγµα εφαρµογής στόχος είναι να παρουσιασθεί η απλότητα και η ισχύς της µεθόδου, δεν θα αναφερθούµε στα ζητήµατα αυτά. Ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στη σχετική βιβλιογραφία, π.χ. [50], [42], [41]. Για την εφαρµογή της µεθόδου χρησιµοποιούνται οι Εξ. (3.23), (3.24) και (3.25), όπου για τον ορισµό των συναρτήσεων u (w) και w(t), που εισέρχονται στις Εξ. (3.28) και (3.29), χρησιµοποιούνται 3 ης και 5 ης τάξης πολυώνυµα αντίστοιχα 5 4 3 2 ( t) = a5t + a4t + a3t + a2t + a1t a0 w + 3 2 ( w) = b3 w + b2 w + b1 w b0 u + (3.31) (3.32) Οι συντελεστές των πολυωνύµων αυτών υπολογίζονται από τις αντίστοιχες κάθε φορά οριακές συνθήκες (θέση και ταχύτητα για τα πολυώνυµα 3 ης τάξης και 43

θέση ταχύτητα και επιτάχυνση για τα πολυώνυµα 5 ης τάξης). Πρέπει εδώ να τονισθεί ότι χρήση πολυωνύµων 5 ης τάξης οδηγεί σε οµαλότερες καµπύλες των εισόδων µε αντάλλαγµα δρόµους µεγαλύτερου µήκους. Το ίδιο συµβαίνει και για χρήση πολυωνύµων µεγαλύτερης τάξης. Για την προσοµοίωση του συστήµατος ο συνολικός χρόνος επιλέχθηκε 6s ενώ η αρχική θέση είναι ( x in E, y in E, x in, y in,ϕ in )= ( 0.35m,0.3m,0m,0.5m, 90 0 ). Χρησιµοποιώντας τις Εξ. (2.16) και (2.17) της αντίστροφης κινηµατικής, που παρουσιάσθηκε στο Κεφάλαιο 2, µπορεί να υπολογισθούν οι αρχικές συντεταγµένες ( ) ϑ in in του βραχίονα, που στη συγκεκριµένη περίπτωση είναι ( 1,ϑ 2 )= 39.7 0,46.5 0 τελική επιθυµητή θέση του συστήµατος είναι ( x fin ( 5m,1m,2m,90 0 E,y fin E,x fin, y fin,ϕ fin )= 1.1m,2.3 ) ενώ για τις γωνίες του βραχίονα έχουµε ( ϑ fin fin 1,ϑ 2 ) ( 7 0 ). Ο προκύπτον δρόµος φαίνεται στο Σχήµα 3.2. = 46.6 0,70.2. Η y(m) 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 inal Position Initial position -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x(m) Σχήµα 3.2. Προσοµοίωση έντροχου ροµποτικού βραχίονα. Αξίζει να αναφερθεί εδώ ότι επιλογή διαφορετικού τελικού χρόνου θα οδηγήσει το σύστηµα να καλύψει το δρόµο πιο γρήγορα ή πιο αργά αλλά δεν θα επηρεάσει τη µορφή του δρόµου. Αυτό είναι άµεσο αποτέλεσµα του ότι ο µη ολόνοµος περιορισµός είναι σκληρόνοµος. Στην πραγµατικότητα πάντως ο τελικός χρόνος καθορίζεται από τη δυναµική του οχήµατος που θέτει περιορισµούς όπως για παράδειγµα τα χαρακτηριστικά των κινητήρων. 44

Οι καµπύλες των εισόδων στο σύστηµα, δηλαδή των γωνιακών ταχυτήτων των δύο τροχών και των γωνιών του βραχίονα, που αντιστοιχούν στο συγκεκριµένο δρόµο, δίνονται στο Σχήµα 3.3. Όπως φαίνεται η ταχύτητα του οχήµατος µεταβάλλεται µε οµαλό τρόπο από µηδενική αρχική τιµή µέχρι µηδενική τελική τιµή. theta1 dot(rad/s) omega left(rad/s) 7 6 5 4 3 2 1 0 Angular Velocity of the Left Wheel -1 0 1 2 3 4 5 6 t(s) 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4 Velocity of Joint 1-0.5 0 1 2 3 4 5 6 t(s) theta2 dot (rad/s) omega right(rad/s) 10 8 6 4 2 Angular Velocity of the Right Wheel 0 0 1 2 3 4 5 6 t(s) 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 Velocity of Joint 2 0 0 1 2 3 4 5 6 t(s) Σχήµα 3.3. Κινηµατικές είσοδοι στο σύστηµα για τον δρόµο του Σχ. 3.2. Είναι σηµαντικό να αναφερθεί ότι η χρήση πολυωνυµικών συναρτήσεων έχει ένα µειονέκτηµα: Επειδή από την Εξ. (3.25) είναι w = ϕ έπεται ότι αν η αρχική και η τελική θέση έχουν τον ίδιο προσανατολισµό, τότε δεν µπορούν να υπολογισθούν οι συντελεστές του w(t). Πράγµατι δεν υπάρχει πολυώνυµο το οποίο για t = t και in t = t fin έχει την ίδια τιµή, δηλαδή για το οποίο να ισχύει η σχέση w ( t in ) = w( t fin ). Το πρόβληµα αυτό είναι δυνατόν να ξεπερασθεί είτε µε χρήση ενδιάµεσων σηµείων µε διαφορετικό προσανατολισµό, είτε µε χρήση κατάλληλων συναρτήσεων. Ο πρώτος τρόπος έχει το µειονέκτηµα ότι πρέπει να επιλεγούν τα κατάλληλα ενδιάµεσα σηµεία. Πάντως το ζήτηµα αυτό αποτελεί µια ιδιοµορφία της µεθόδου και όχι της φυσικής του προβλήµατος και οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η προτεινόµενη µέθοδος είναι ακατάλληλη για την επίλυση του προβλήµατος του παράλληλου παρκαρίσµατος (το οποίο, όµως, έχει ήδη λυθεί µε πολύ κοµψό τρόπο βλ. για παράδειγµα Laumond [30], Murray και Sastry [38], και Bushnell et al. [5]). Γενικά µπορεί να εξαχθεί το συµπέρασµα ότι η µέθοδος δίνει αποδεκτά αποτελέσµατα για όλες τις αρχικές συνθήκες εκτός, όµως, από την περίπτωση όπου η αρχική και η τελική θέση έχουν τον ίδιο προσανατολισµό. Στην περίπτωση αυτή απαιτείται τροποποίηση της µεθόδου επιλέγοντας κατάλληλες συναρτήσεις για τις f 45

και g. Πάντως, οι προκύπτοντες δρόµοι είναι λείες καµπύλες οι όποιες είναι δυνατόν να ακολουθηθούν από το όχηµα µε δύο ανεξάρτητα οδηγούµενους τροχούς. 3.4. Απεικόνιση Εµποδίων Η µεθοδολογία που αναπτύχθηκε παραπάνω είναι πιο χρήσιµη αν επιτρέπει την κατασκευή δρόµων που θα αποφεύγουν εµπόδια τα οποία βρίσκονται στον χώρο εργασίας του ροµπότ. Στην παράγραφο αυτή µελετάται το πρόβληµα της απεικόνισης εµποδίων από τον καρτεσιανό χώρο στον χώρο u-v-w, µέσω του µετασχηµατισµού των Εξ. (3.23)-(3.25). Σκοπός είναι η ανάπτυξη ενός αλγορίθµου αποφυγής εµποδίων µέσω του οποίου θα είναι δυνατός ο σχεδιασµός ενός δρόµου που θα οδηγεί το ροµπότ στο επιθυµητό σηµείο, θα ικανοποιεί τον µη ολόνοµο περιορισµό και επιπλέον θα είναι ταχύς και εύκολος στην εφαρµογή του. Προς τούτο θεωρούµε εµπόδια τα οποία µπορούν να εγγραφούν σε κύκλους ή ελλείψεις. Θεωρείται επίσης ότι η θέση των εµποδίων στο χώρο εργασίας είναι γνωστή και σταθερή, δηλαδή οι συντεταγµένες των εµποδίων είναι ανεξάρτητες του χρόνου (στατικό περιβάλλον). Οι Εξ. (3.23)-(3.25) απεικονίζουν εµπόδια από τον καρτεσιανό χώρο στο χώρο u v w. Η απεικόνιση από έναν διδιάστατο σε έναν τρισδιάστατο χώρο προσθέτει µία διάσταση που στη συγκεκριµένη περίπτωση αντιστοιχεί στον προσανατολισµό του οχήµατος. Αυτό σηµαίνει ότι ένα εµπόδιο απεικονίζεται σε µία οικογένεια εµποδίων κάθε µέλος της οποίας ταυτοποιείται από την δεδοµένη τιµή του προσανατολισµού του οχήµατος. Ο µετασχηµατισµός που αναπτύχθηκε στην προηγούµενη παράγραφο έχει κάποιες πολύ σηµαντικές ιδιότητες που απλοποιούν σηµαντικά το πρόβληµα της απεικόνισης εµποδίων. Οι Εξ. (3.23)-(3.25) µπορούν να γραφούν σε µητρωική µορφή ως εξής u sinϕ cosϕ 0 0 x v cosϕ sinϕ 0 l G y = w 0 0 1 0ϕ 1 0 0 0 1 1 (3.30) όπου η ορίζουσα του παραπάνω πίνακα είναι πάντα µη µηδενική. Κατά συνέπεια οι Εξ. (3.23) (3.25) καθιστούν έναν ολικό διφεοµορφισµό (global diffeomorphism) στον 46

χώρο θέσεων του ροµπότ. Επιπλέον η Εξ. (3.30) µπορεί να γραφθεί µε τη βοήθεια του γινοµένου δύο πινάκων ως εξής u 1 0 0 0 cos(π 2 ϕ) sin(π 2 ϕ) 0 0 x v 0 1 0 0 = sin(π 2 ϕ) cos(π 2 ϕ) 0 l G y w 0 0 1 0 0 0 1 0 ϕ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 u = T 1 T 2 x (3.31) όπου ο πίνακας αντιστοιχεί σε µια ανάκλαση και ο πίνακας T αντιστοιχεί σε µία T1 2 στροφή κατά γωνία π 2 ϕ και σε µία µεταφορά κατά lg. Πρόκειται συνεπώς για έναν γραµµικό µετασχηµατισµό ο οποίος ορίζεται σε όλα τα σηµεία του χώρου θέσεων. Είναι γνωστό ότι µετασχηµατισµοί όπως περιστροφές, ανακλάσεις και µεταφορές διατηρούν το µήκος και το σχήµα ενός γεωµετρικού αντικειµένου. Οι ιδιότητες αυτές είναι πολύ σηµαντικές για την απεικόνιση ενός εµποδίου από τον καρτεσιανό χώρο x - y στον χώρο u - v - w όπου ο µη ολόνοµος περιορισµός ικανοποιείται ευκολότερα. Όπως όµως έχει ήδη αναφερθεί η απεικόνιση από το διδιάστατο Καρτεσιανό χώρο σε έναν τρισδιάστατο χώρο προσθέτει µια διάσταση, η οποία ανιστοιχεί στον προσανατολισµό του οχήµατος. Αυτό σηµαίνει ότι ένα εµπόδιο στον καρτεσιανό χώρο απεικονίζεται σε µια οικογένεια εµποδίων που αντιστοιχεί στο πεδίο τιµών του προσανατολισµού ϕ. Για παράδειγµα ένα ευθύγραµµο τµήµα στον καρτεσιανό χώρο απεικονίζεται σε µια οικογένεια ευθυγράµµων τµηµάτων στον χώρο u - v - w κάθε µέλος της οποίας έχει το ίδιο µήκος µε το αρχικό ευθύγραµµο τµήµα και προσανατολισµό που εξαρτάται από την τρέχουσα τιµή του προσανατολισµού του οχήµατος. Η ιδιότητα αυτή είναι πολύ σηµαντική µια και µεγάλος αριθµός εµποδίων είναι πολύγωνα ή µπορούν να εγγραφούν σε πολύγωνα, δηλαδή σε κλειστή αλυσσίδα ευθυγράµµων τµηµάτων. Στόχος είναι η κατασκευή ενός αλγορίθµου αποφυγής εµποδίων που θα συνδυάζει υπολογιστική ταχύτητα και απλότητα κατά την εφαρµογή. Προκειµένου να ικανοποιηθούν οι παραπάνω απαιτήσεις θεωρούµε ότι τα εµπόδια µπορούν να εγγραφούν σε απλά και συµµετρικά γεωµετρικά σχήµατα οπώς κύκλοι και ελλείψεις. Η παραδοχή αυτή απλοποιεί τον ορισµό της απόστασης µεταξύ του οχήµατος και του εµποδίου. Στη συνέχεια η περίπτωση ενός ελλειπτικού εµποδίου εξετάζεται 47

λεπτοµερώς. Τα ίδια συµπεράσµατα µπορούν να εξαχθούν για την περίπτωση ενός κυκλικού εµποδίου. Έστω η έλλειψη µε κέντρο (x 0, y 0 ) και µήκος κυρίων αξόνων R a και R b, η οποία είναι στραµµένη κατά γωνία ψ σε σχέση µε τον οριζόντιο άξονα x. Οι παραµετρικές εξισώσεις της έλλειψης είναι x b (ξ) = x 0 + R a cosξcosψ R b sinξsinψ (3.32) y b (ξ) = y 0 + R a cosξsinψ + R b sinξ cosψ (3.33) όπου ξ [ 0,2π]. Αντικατάσταση των Eξ. (3.32) και (3.33) στις Eξ. (3.23)-(3.25) δίνει u b (ξ) = u 0 + R a cosξ sin( ϕ ψ) R b sinξ cos( ϕ ψ) (3.34) v b (ξ) = v 0 R a cosξcos( ϕ ψ) R b sinξ sin( ϕ ψ ) (3.35) Οι Εξ. (3.34) και (3.35) περιγράφουν µία έλλειψη σε σχέση µε τους άξονες ( u, v ) = u, v ( ) που έχει κέντρο (u 0,v 0 ) = (x 0 sinϕ y 0 cosϕ,l G x 0 cosϕ y 0 sinϕ), µήκη κυρίων αξόνων R a και R b, και είναι στραµµένη κατά ψ + ( π 2 ϕ). Αν η µεταβλητή ϕ παίρνει τιµές στο διάστηµα [ ϕ in, ϕ fin ] τότε λαµβάνεται µια οικογένεια ελλείψεων κάθε µέλος της οποίας θα κείται πάνω σε ένα διαφορετικό επίπεδο ϕ = const. και θα έχει διαφορετικό προσανατολισµό. Τα κέντρα των ελλείψεων είναι σηµεία ενός τρισδιάστατου ελλικοειδούς που περιγράφεται από την παρακάτω διανυσµατική εξίσωση η(ϕ ) = ( u(ϕ), v(ϕ),w(ϕ) )= ( x 0 sinϕ y 0 cosϕ, l G x 0 cosϕ y 0 sinϕ, ϕ) (3.36) Η περίπτωση ενός κυκλικού εµποδίου µπορεί πολύ εύκολα να προκύψει σαν ειδική περίπτωση του ελλειπτικού εµποδίου χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι για κύκλους έχουµε R a = R b = R. Στην περίπτωση κυκλικών εµποδίων η γωνία, ψ δεν ορίζεται. Γενικά οι ίδιες ιδιότητες ισχύουν οπότε ένα κυκλικό εµπόδιο απεικονίζεται σε µια οικογένεια κύκλων που σχηµατίζουν έναν ελλικοειδή σωλήνα (helicoidal tube) που περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση σ(ϕ,ξ) = ( x 0 sinϕ y 0 cosϕ + R cosξ, l G x 0 cosϕ y 0 sinϕ + R sinξ, ϕ) (3.37) όπου ϕ [ ϕ in,ϕ fin ] και ξ [ 0, 2π], και τα κέντρα των κύκλων σχηµατίζουν ένα τρισδιάστατο ελικοειδές οι παραµετρικές εξισώσεις δίνονται από την Εξ. (3.36). Για παράδειγµα το Σχ. 3.4 περιγράφει ένα κυκλικό και ένα ελλειπτικό εµπόδιο στον καρτεσιανό χώρο. Τα εµπόδια αυτά απεικονίζονται µέσω του µετασχηµατισµού 48

στα σχήµατα που παρουσιάζονται στο Σχ. 3.4. Μπορεί να παρατηρήσει κανείς τα εµπόδια διατηρούν το σχήµα τους και το µέγεθός τους ενώ τα κέντρα τους είναι σηµεία τρισδιάστατων ελλεικοειδών. Σχήµα 3.4. Εµπόδια στον Καρτεσιανό χώρο και στον χώρο u-v-w. 3.5. Βασικός Αλγόριθµος Αποφυγής Εµποδίων Στην Παράγραφο 3.2 ο µετασχηµατισµός που περιγράφεται από τις Εξ. (3.23)-(3.25) χρησιµοποιήθηκε για την εύρεση ενός δρόµου που συνδέει την αρχική θέση του ροµπότ µε την επιθυµητή τελική θέση ικανοποιώντας ταυτόχρονα τον µη ολόνοµο περιορισµό. Για την εύρεση ενός τέτοιου δρόµου δύο πολυωνυµικές συναρτήσεις χρησιµοποιήθηκαν, ένα 5ης τάξης πολυώνυµο για το w(t) και ένα 3ης τάξης για το u(w). Η µέθοδος αυτή δεν έπαιρνε υπ όψη της εµπόδια που τυχόν υπάρχουν στη γειτονιά του ροµπότ. Αν ο δρόµος που υπολογίζεται µε αυτή την µέθοδο τέµνει κάποιο εµπόδιο τότε η σύγκρουση του ροµπότ µε το εµπόδιο αυτό είναι αναπόφευκτη. Είναι συνεπώς προφανές ότι η µέθοδος αυτή σχεδιασµού τροχιάς πρέπει να επεκταθεί ώστε να συµπεριλάβει και εµπόδια που υπάρχουν στο χώρο εργασίας του ροµπότ. Είναι γεγονός ότι τοµή µεταξύ του δρόµου και του εµποδίου στον καρτεσιανό χώρο ισοδυναµεί µε τοµή του δρόµου µε το µετασχηµατισµένο εµπόδιο στον χώρο u- v-w. Αν όµως µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα δρόµο που δεν τέµνει κανένα εµπόδιο στον χώρο u-v-w τότε είναι βέβαιο ότι σύγκρουση µεταξύ εµποδίου και ροµπότ δεν θα συµβεί και στον καρτεσιανό χώρο. Με βάση τη µέθοδο που 49

αναπτύχθηκε προηγουµένως είναι αδύνατο να τροποποιήσουµε τον υπολογισθέντα δρόµο γεγονός που επιβάλλει εισαγωγή επιπλέον ελευθερίας στον αλγόριθµο. Ένας απλός τρόπος για να επιτευχθεί αυτό είναι η εισαγωγή επιπλέον συντελεστών στο πολυώνυµο u(w) που χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό του δρόµου έτσι ώστε να µπορούµε να αλλάξουµε το σχήµα του δρόµου στον χώρο u-v-w ώστε να αποφύγουµε συγκρούσεις µε τα µετασχηµατισµένα εµπόδια. Οι επιπλέον αυτοί συντελεστές µπορεί να εξαρτώνται από τον αριθµό και τη θέση των εµποδίων στον χώρο εργασίας του ροµπότ, αλλά δεν πρέπει να επηρεάζουν τις συνοριακές συνθήκες του προβλήµατος, δηλαδή την αρχική και την τελική θέση του συστήµατος. Με αυτόν τον τρόπο το πρόβληµα της αποφυγής εµποδίων στον καρτεσιανό χώρο ισοδυναµεί µε το πρόβληµα της εύρεσης κατάλληλων τιµών για τους επιπλέον συντελεστές, οι οποίοι µετασχηµατίζουν το σχήµα του δρόµου διατηρώντας σταθερά το αρχικό και το τελικό σηµείο του. Εξ αιτίας της φύσης των εµπλεκόµενων εξισώσεων το πρόβληµα αυτό είναι απλό και οδηγεί σε κλειστή αναλυτική λύση χωρίς να απαιτεί χρήση αριθµητικών σχηµάτων που αυξάνουν το υπολογιστικό κόστος. Στη συνέχεια η µεθοδολογία για την αποφυγή εµποδίων παρουσιάζεται αναλυτικά για την περίπτωση ενός µόνο εµποδίου και δίνονται επεκτάσεις για την εφαρµογή της µεθόδου στην περίπτωση περισσοτέρων εµποδίων 3.5.1. Περίπτωση Μοναδικού Εµποδίου Θεωρούµε ότι ένα µόνο εµπόδιο βρίσκεται στην γειτονιά του ροµπότ και εισάγουµε στο 3ης τάξης πολυώνυµο u(w), έναν επιπλέον συντελεστή. Επειδή ο µη ολόνοµος περιορισµός πρέπει να ικανοποιείται σε όλα τα σηµεία του δρόµου, οι παρακάτω εξισώσεις για τα u και v πρέπει να ικανοποιούνται u(w) = b 4 w 4 + v(w) = 4b 4 w 3 3 i =0 3 i =0 b i w i ib i w i 1 (3.38) (3.39) Ικανοποιώντας τις αρχικές και τελικές συνθήκες για τα u και w, οι οποίες αντιστοιχούν στις αρχικές και τελικές συνθήκες για την πλατφόρµα, λαµβάνουµε το ακόλουθο γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους τους συντελεστές b i, i = 0,...,3, 3 b i i =0 w in i = u(w in ) b 4 w in 4 (3.40) 50

3 b i i =0 i w fin 3 i =0 3 i =0 ib i ib i 4 = u(w fin ) b 4 w fin w i 1 3 in = v(w in ) 4b 4 w in w i 1 3 fin = v(w fin ) 4b 4 w fin (3.41) (3.42) (3.43) Επίλυση του παραπάνω συστήµατος δίνει τα b i, i = 0,...,3, σαν γραµµικές συναρτήσεις των. Εποµένως οι Εξ. (3.38) και (3.39) µαζί µε τη λύση του συστήµατος των Εξ. (3.40)-(3.41) παρέχουν τα πολυώνυµα u και v συναρτήσει του b 4 b 4, τα οποία ικανοποιούν τον περιορισµό και τις αρχικές και τελικές συνθήκες. Αλλάζοντας την τιµή του, διαφορετικοί δρόµοι, οι οποίοι ικανοποιούν τις επιθυµητές συνοριακές συνθήκες, µπορούν να υπολογισθούν. Με βάση τα παραπάνω το πρόβληµα της αποφυγής ενός εµποδίου ισοδυναµεί µε το πρόβληµα της εύρεσης µιας περιοχής τιµών του b 4 b4 για τις οποίες ο δρόµος θα αποφεύγει το εµπόδιο. Στη συνέχεια παρέχεται ένας συστηµατικός τρόπος ευρέσης της περιοχής τιµών του θεωρώντας ότι τα εµπόδια είναι εγγεγραµµένα σε κύκλους ή ελλείψεις. 1.Κυκλικό Εµπόδιο. Έστω ένα εµπόδιο εγγεγραµµένο σε κύκλο µε κέντρο στο σηµείο (x 0, y 0 ) και ακτίνα R. Η απόσταση µεταξύ του κέντρου του εµποδίου και του εµπρός σηµείου της πλατφόρµας πρέπει να είναι µεγαλύτερη από την ακτίνα R του εµποδίου αυξηµένη µε κάποιο χαρακτηριστικό µήκος b4 για λόγους ασφαλείας. Χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι ένα κυκλικό εµπόδιο απεικονίζεται στον χώρο u v w σε έναν κύκλο ίδιας ακτίνας, τότε για κάθε l cr w = ϕ και για να µην έχουµε σύγκρουση του οχήµατος και του εµποδίου, η ακόλουθη ανίσωση πρέπει να ικανοποιείται ( u(w) u 0 (w)) 2 + ( v(w) v 0 (w)) 2 > ( R + l cr ) 2 w [w in,w fin ] (3.44) όπου u(w) και v (w) είναι οι µετασχηµατισµένες συντεταγµένες του εµπρός σηµείου του ροµπότ και u 0 (w) και v 0 (w) είναι οι µετασχηµατισµένες συντεταγµένες του κέντρου του εµποδίου για την αντιστοιχη τιµή του προσανατολισµού της πλατφόρµας w = ϕ. Αντικαθιστώντας τις Εξ. (3.38) και (3.39) στην Εξ. (3.44) και µετά από αλγεβρικούς υπολογισµούς λαµβάνεται η ακόλουθη ανίσωση α b 4 2 + β b 4 + γ > 0 (3.45) 51

Οι συντελεστές α, β και γ είναι γνωστές συναρτήσεις του w και των αρχικών και τελικών συνθηκών u in,v in, w in,u fin, v fin, w fin. Εξ. (3.45) είναι µια πολύ πρακτική µορφή του κριτηρίου για τη αποφυγή εµποδίου: Αν αυτή η ανίσωση ικανοποιείται για κάθε w = ϕ, τότε δεν θα υπάρχει κοινό σηµείο µεταξύ δρόµου και εµποδίου. Πρέπει να αναφερθεί εδώ ότι επειδή η Εξ. (3.45) είναι στην ουσία µια απόσταση και επειδή τα b i, i = 0,...,3, είναι γραµµικές συναρτήσεις του, η ανίσωση που προκύπτει θα περιλαµβάνει σε κάθε περίπτωση ένα τριώνυµο. Το γεγονός αυτό απλοποιεί κατά πολύ τη διαδικασία εύρεσης κατάλληλων τιµών του για τις οποίες η Εξ. (3.44) ισχύει πάντα. Πράγµατι, όπως φαίνεται από την παρακάτω εξίσωση, α = ( w w fin ) 4 ( w w in ) 4 + 4( w w fin ) 2 ( w w in ) 2 ( 2w + w fin + w in ) 2 (3.46) ο συντελεστής α είναι πάντοτε θετικός αριθµός, και συνεπώς ικανοποίηση της Εξ.(3.44) απλά απαιτεί ο συντελεστής b να βρίσκεται εκτός των ριζών b a 4 4 (w), b b 4(w) του τριωνύµου της Εξ. (3.45). Επειδή α > 0 w (w in,w fin ), θα υπάρχει πάντοτε µία περιοχή εφικτών τιµών για το συντελεστή b 4, τα οποία εγγυώνται ότι η ανίσωση (3.44) θα ισχύει για κάθε w [w in,w fin ], ανεξάρτητα από τα win και w fin. Η µόνη περίπτωση όπου η περιοχή εφικτών τιµών για τα είναι κενή συµβαίνει όταν για κάποια w, οι ρίζες του b 4 πολυωνύµου της Εξ. (3.45) είναι διαφορετικές, έχουν αντίθετο πρόσηµο και επιπλέον είναι άπειρες. Μπορεί όµως πολύ εύκολα να αποδειχθεί ότι µια τέτοια περίπτωση αντιστοιχεί σε τετριµµένη περίπτωση όπου η αρχική και/ή η τελική θέση της πλατφόρµας είναι επί ή στο εσωτερικό του εµποδίου στον καρτεσιανό χώρο. Πρέπει εδώ να τονισθεί ότι το κριτήριο για αποφυγή εµποδίων, Εξ. (3.44), είναι γραµµένο για το εµπρός σηµείο της πλατφόρµας και εποµένως ικανοποίηση της συγκεκριµένης ανίσωσης σηµαίνει ότι µόνο αυτό το σηµείο δεν θα τµήσει το εµπόδιο. Είναι σαφές ότι σε πρακτικές εφαρµογές πρέπει να ληφθούν υπ όψη και άλλα σηµεία του οχήµατος και του βραχίονα, όπως οι ακµές και οι συνδέσµοι καθώς επίσης και οι πλευρές του οχήµατος και του βραχίονα ώστε το ολοκληρωµένο σύστηµα να αποφύγει το εµπόδιο. Αυτό όµως είναι πολύ εύκολο να γίνει και στηρίζεται σε άµεση επέκταση της παραπάνω µεθοδολογίας. Πρέπει να τονισθεί ότι η επέκταση της µεθόδου ώστε να συµπεριλάβει επιπλέον σηµεία και πλευρές περιορίζει την περιοχή b 4 b 4 52

τιµών του b 4 αλλά δεν επιβαρρύνει υπολογιστικά τη µέθοδο λόγω του ότι οι εξισώσεις είναι γνωστές σε αναλυτική µορφή. 2. Eλλειπτικά Εµπόδια. Στη συνέχεια εξετάζουµε την περίπτωση ενός ελλειπτικού εµποδίου, η οποία είναι όµοια µε την περίπτωση του κυκλικού εµποδίου που εξετάσθηκε προηγουµένως. Η µόνη διαφορά είναι η σχέση που περιγράφει την απόσταση µεταξύ του εµπρός σηµείου και της έλλειψης. Θεωρούµε, λοιπόν, µία έλλειψη µε κέντρο στο σηµείο (x 0, y 0 ) και µε κύριους άξονες µε µήκη R a και R b, η οποία είναι στραµµένη κατά γωνία ψ. Κάνοντας χρήση των αποτελεσµάτων της Παραγράφου 3.4, το κριτήριο για την αποφυγή του εµποδίου έίναι ότι για κάθε w = ϕ, η παρακάτω ανίσωση πρέπει να ικανοποιείται R b 2 R a 2 [( u(w) u 0 )cos ψ ( v(w) v )sin ψ ] 2 + 0 [( u(w) u 0 )sin ψ + ( v(w) v )cos ψ ] 2 R 0 a2 R b2 > 0 (3.47) Αντικαθιστώντας τις Εξ. (3.38) και (3.39) στην Eq. (3.47) παίρνουµε κατόπιν πράξεων την ακόλουθη σχέση α b 2 4 + β b 4 + γ > 0 (3.48) όπου οι συντελεστές α, β, γ είναι διαφορετικοί από τους α,β,γ στην Εξ. (3.45). Όπως φαίνεται από την παρακάτω εξίσωση α = ( w w fin ) 2 ( w w in ) 2 R b 2 ( 4 w 2( w fin w in ))cos ( ψ w )+ ( w w )( w w fin in )sin( ψ w ) 2 + +R a 2 ( w w fin )w ( w in )cos( ψ w)+ 2( 2w + w fin + w in )sin( ψ w) ) 2 (3.49) ο συντελεστής α > 0 w [w in,w fin ], και συνεπώς η ίδια µέθοδος που αναπτύχθηκε προηγουµένως για την επιλογή του εφαρµοσθεί και στην περίπτωση του ελλειπτικού εµποδίου. b 4 στην περίπτωση κυκλικού εµποδίου µπόρει να Παράδειγµα 1. Στην συνέχεια παρατίθεται ένα παράδειγµα για την εφαρµογή της µεθόδου. Προς τούτο θεωρούµε ότι ο δρόµος που υπολογίσθηκε στο προηγούµενο παράδειγµα τέµνει ένα κυκλικό εµπόδιο µε κέντρο στο σηµείο ( x 0, y 0 )= ( 1.2m,0.9m) και ακτίνα R = 0.25m, βλ. Σχ. 3.5. 53

Σχήµα 3.5. Ο αρχικά υπολογισµένος δρόµος τέµνει ένα κυκλικό εµπόδιο. Για την ικανοποίηση της ανίσωσης της Εξ. (3.45), σχεδιάζονται αρχικά οι ρίζες του τριωνύµου, βλ. Σχ. 3.6. 0.4 0.2 0 b4-0.2-0.4-0.6 Region of admissible b 4-0.8-80 -60-40 -20 0 20 40 60 80 phi (degrees) Σχήµα 3.6. Εφικτά b 4 για την αποφυγή του εµποδίου του Σχ. 3.5. Στο Σχήµα 3.6 φαίνεται καθαρά ότι όταν το b 4 ( 0.1, ) δεν έχουµε σύγκρουση µε το εµπόδιο, δηλαδή η Aνίσωση (3.45) ικανοποιείται για όλες τις τιµες του προσανατολισµού της πλατφόρµας. Το ερώτηµα που τίθεται είναι ποια είναι η καλύτερη τιµή για b 4 σε σχέση µε κάποιο κριτήριο. Είναι λογικό να επιλέξουµε 54

σαν κριτήριο την ελαχιστοποίηση της απόστασης της µεταξύ του αρχικά υπολογισµένου δρόµου και του νέου δρόµου που παρακάµπτει το εµπόδιο. Στο Σχ. 3.7 φαίνεται ο δρόµος που ακολουθεί το ροµπότ όταν επιλεγεί η τιµή b 4 = 0.15. Η τιµή αυτή έχει υπολογισθεί µε βάση το παραπάνω κριτήριο και είναι τέτοια ώστε το ολοκληρωµένο σύστηµα πλατφόρµας και βραχίονα να αποφεύγει το εµπόδιο. Όπως φαίνεται στο Σχ. 3.7 το όχηµα για να αποφύγει το εµπόδιο κινείται αρχικά προς τα πίσω σε αντίθεση µε το Σχ. 3.2 στο οποίο το όχηµα κινείται προς τα εµπρός. Οι κινηµατικές είσοδοι στο σύστηµα παρουσιάζονται στο Σχ. 3.8. Σχήµα 3.7. Μετασχηµατισµένος δρόµος που αποφεύγει το εµπόδιο. Σχήµα 3.8. Είσοδοι στο σύστηµα για τον δρόµο του Σχ. 3.7. 55

3.5.2. Πολλαπλά Εµπόδια Η µεθοδολογία που παρουσιάσθηκε παραπάνω για ένα µόνο εµπόδιο µπορεί να εφαρµοσθεί και στην περίπτωση που υπάρχουν πολλαπλά εµπόδια στο χώρο εργασίας του ροµπότ. Στην περίπτωση αυτή πολλαπλές ανισώσεις όµοιες µε αυτές που παρουσιάσθηκαν στην προηγούµενη παράγραφο, Εξ. (3.45) και (3.48), πρέπει ταυτόχρονα να ικανοποιούνται. Κάθε µία από τις ανισώσεις αυτές εκπροσωπεί την απόσταση του δεδοµένου σηµείου του οχήµατος µε κάθε ένα από τα εµπόδια. Πρέπει εδώ να τονισθεί ότι ανάλογα µε τη θέση των εµποδίων στο χώρο γύρω από το ροµπότ ένας ή περισσότεροι πρόσθετοι συντελεστές µπορούν να χρησιµοποιηθούν. Στην περίπτωση όπου N εµπόδια υπάρχουν στη γειτονιά του ροµπότ και ένας µόνο πρόσθετος συντελεστής ικανοποιείται για τα b 4 b 4 χρησιµοποιείται, η παρακάτω ανίσωση πρέπει να α i 4 b 4 2 + β i 4 b 4 +γ i4 > 0 (3.50) για i = 1,..., N. Επειδή όπως αναφέρθηκε προηγουµένως α i 4 > 0 w (w in,w fin ), η µεθοδολογία που αναπτύχθηκε για τον υπολογισµό του πρόσθετου συντελεστή, στην περίπτωση ενός µοναδικού εµποδίου µπορεί πολύ εύκολα να επεκταθεί στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερα εµπόδια στον χώρο εργασίας. Αν η κατανοµή των εµποδίων στο χώρο εργασίας είναι τέτοια ώστε ένας επιπλέον συντελεστής (4ης τάξης πολυώνυµα) δεν είναι αρκετός για την εύρεση λύσης τότε επιπλέον συντελεστές µπορούν να χρησιµοποιηθούν αυξάνοντας την τάξη του πολυωνύµου u(w), παρέχοντας έτσι την δυνατότητα για πιο «κλειστούς» ελιγµούς. Ο αριθµός των επιπλέον συντελεστών εξαρτάται από την κατανοµή των εµποδίων. Στην περίπτωση αυτή, N ανισώσεις προκύπτουν, κάθε µία από τις οποίες αντιστοιχεί στην απόσταση από το κέντρο κάθε εµποδίου. Οι προκύπτουσες ανισώσεις έχουν τη µορφή k (α ij b 2 j + β ij b j +γ ij > 0 (3.51) j =4 για i = 1,..., N, όπου k είναι ο αριθµός των επιπλέον συντελεστών. Όπως φαίνεται από την Eξ. (3.51) κάθε ανίσωση είναι άθροισµα 2ας τάξης πολυωνύµων γεγονός που απλοποιεί την εύρεση των b j συγκρουσθεί µε κανένα εµπόδιο. ) για τους οποίους εξασφαλίζεται ότι το όχηµα δεν θα b 4 56

Παράδειγµα 2. Στο παράδειγµα αυτό οι αρχικές και τελικές συνθήκες είναι ίδιες µε αυτές του Παραδείγµατος 2. Στην περίπτωση αυτή όµως θεωρείται ότι τρία εµπόδια υπάρχουν στο χώρο εργασίας στη γειτονιά του ροµπότ, όπως φαινεται στο Σχ. 3.9. Σχήµα 3.9. ιάταξη εµποδίων στη γειτονιά του ροµπότ. Στο Σχ. 3.10 παρουσιάζονται οι ρίζες των τριωνύµων που αντιπροσωπεύουν τις απόστασεις του εµπρός σηµείου από κάθε ένα από τα εµπόδια. Σχήµα 3.10. Περιοχή εφικτών τιµών για τη διάταξη των εµποδίων του Σχ. 3.9. 57

Η επιλογή της τιµής του επιπλέον συντελεστή είναι πολύ εύκολη µε τη βοήθεια του Σχ. 3.10. Επιλέγοντας την τιµή b 4 = 0.12, λαµβάνεται ο δρόµος που παρουσιάζεται στο Σχ. 3.11 ο οποίος αποφεύγει όλα τα εµπόδια όπως άλλωστε αναµενόταν. Οι είσοδοι που αντιστοιχούν στο συγκεκριµένο δρόµο παρούσιαζονται στο Σχ. 3.12. Όπως φαίνεται στα Σχ. 3.11 και 3.12 ο δρόµος είναι συνεχής λείος µε συνεχή δευτερη παράγωγο και άρα συνεχές προφίλ καµπυλότητας. Επιπλέον το όχηµα ξεκινάει και σταµατάει οµαλά. Σχήµα 3.11. Μετασχηµατισµένος δρόµος που αποφεύγει τα εµπόδια του Σχ. 3.9. Σχήµα 3.12. Είσοδοι στο σύστηµα για την παραγωγή του δρόµου του Σχ. 3.11. 58