ΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη βιβλίου σελ -5 Α. Ορισµός βιβλίου σελ 6 Α. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. (z )(z ) + z = (z )(z ) + z = z + z = Θέτουµε ω = z Άρα, ω + ω = = ( ) = 9 ± ω, = = < αορρίτεται > δεκτή Οότε, Για z= x+ y i ω = z = (x + y ) = (x ) + y = (x ) + y = (x ) + y = i i i Άρα ο γεωµετρικός τόος είναι κύκλος µε κέντρο Κ(,) και ακτίνα ρ=.
Είναι, z = (z ) + z + z + z Β. Εφόσον z, z ρίζες της εξίσωσης Im(z ) Im(z ) = y ( y) = y = y = y ± Αό τύους Vieta έχουµε: S = z + z = β x = β = = γ + = γ P z z x y w + β w + γ = ροκύτει z = x + yi και z = x yi ( ) z = x + yi = x + y = y = x x + + = x x y y x x + + = = + + = x x + + Άρα β = x = = Οότε = ( ) γ = x + y = + = 5 x x + = x = x = x = B. Είναι v + α v + α v + α = v = α ν α ν α ο ν = αν αν α ο Αό την τριγωνική ανισότητα έχουµε ν = α ν + α ν + α α ν + α ν + α α ν + α ν + α ν + ν + ο ο ο ο οότε ισχύει Είναι είσης ν ν + ν + ν < ν οότε ν < ν ν + ν + ν < ν ( ν + ν + ) :( ν ) ( ) ( ) + ν + > ν ν + ν + ν ν < ( ν + ν + ) < ν + ν + ν + ν + ν < ν < <
ΘΕΜΑ Γ Γ. (f (x) + x) (f (x) + ) = x x f () = g(x) = x + (f (x) + x) (f (x) + x) = x ((f (x) x) ) ( x ) + = ( ) ( ) ( ) f (x) + x = x + c f () = + c c = f (x) + x = x + f (x) + x = ± x + Αν f (x) + x = x + Για x = f () + = =, αδύνατο Άρα Γ. f (x) + x = x + f (x) = x + x, x R f (g(x)) = f (x) = x + x x x x x + f '(x) = ( x + x) ' = = = Για x R έχουµε: x + > x = x x x + > x x x + < x + x + x + Άρα f '(x) < για κάθε x R f γνησίως φθίνουσα στο R άρα είναι και «-» Οότε f " " f (g(x)) = f (g(x)) = f () g(x) = x x + = x + x =
Θεωρούµε Φ (x) = x + x, x R Φ (x) = 6x + 6x = 6x(x + ) Για x A = (, ] ( ( ] Η Φ συνεχή ς στο A = (, ] Φ( Α ) = lim Φ(x), f ( ) =, Η Φ γνησίωςαύξουσα στο Α x Όου Φ( ) = + = lim Φ (x) = lim (x + x ) = lim x = x x x Το Φ( Α ) ηφ (x) = δεν έχειρί ζες στο Α = (, ] Για x A = [,] Η Φ συνεχής στο [ ] Φ( Α ) = [ Φ(), Φ( ) ] Φ( Α ) = [, ] A =, και γνησίως φθίνουσα στο Α Το ( ) Φ Α Η Φ(x) δεν έχει ρίζες στο A = [,] Για x Α = [, + ) Η Φ συνεχής στο A = [, + ) και γνησίως αύξουσα στο Α Φ( Α ) = Φ(), lim Φ(x) Φ( Α ) = [, + ) x + ) Το Φ( Α) Υάρχει τουλάχιστον ένα x Α = [, + ) ώστε Φ(x )= H Φ γνησίως αύξουσα στο A = [, + ) Υάρχει µοναδικό x [, + ) ώστε Φ(x )= Άρα τελικά η Φ(x) = έχει µοναδική ρίζα x [, + ) Γ. f (t) dt = f x εϕx x
Έστω η h(x) = f (t) dt f x εϕx x Η f συνεχής στο R και η x αραγωγίσιµη στο R άρα f (t)dt αραγωγίσιµο x Ακόµη η f συνεχής άρα η f x συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Άρα η h συνεχής στο, ως ράξη συνεχών h() = f (t)dt f εφ Εειδή x + > x = x x = f (t)dt > x + > x x + x > f (x) > f (t) dt > h = f () εϕ = = < Αό ΘΒ υάρχει ένα τουλάχιστον x, ώστε h(x ) = ΘΕΜΑ f γνησίως αύ ξουσα στο (, + ). x f (t) g(x) = dt x > α > α t f ( + 5h) f ( h) f ( + 5h) f () f ( h) + f () lim = lim = h h h h f ( + 5h) f () f ( h) f () lim lim = h h h o h 5f () ( f ()) = 6f () = f () =
Είναι f ( + h) f () f () = lim και h h f ( + 5h) f () f ( + 5h) f () f ( + t) f () lim = 5lim = 5lim = 5f () h h h 5h t t 5h = t h t f ( h) f () f ( h) f () f ( + t) f () lim = lim = lim = f () h h h h t t h = t h t Για x> f ' γν. α ύ ξουσα f '(x) > f '() f '(x) > f γνησίως αύξουσα f ' γν. αύξουσα < x < f '(x) < f '() f '(x) < f γνησίως φθίνουσα Για x= f '() = Άρα η f αρουσιάζει στο x o = ολικό ελάχιστο.. Η f (t) συνεχής για t > ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων t f (x) Οότε η g(x) αραγωγίσιµη για x > µε g '(x) =, x > x Η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x = f () f (x) f (x) f (x) g '(x) x > Η ισότητα θα ισχύει για x=. Άρα για x > g (x) > g γν. αύξουσα
Έχουµε 8x + 6 x + 6 g(u)du > g(u)du (). Ορίζουµε F(x) = g(u)du x (, + ) 8x + 5 x + 5 Η g συνεχής για x > οότε x+ c x+ x x+ F(x) = g(u)du = g(u)du + g(u)du = g(u)du + g(u)du x x c c c Οότε F'(x) = g(x) + g(x + ) g γν. αύ ξ., x> Για x < x + g(x) < g(x + ) g(x + ) g(x) > F'(x) > F γνησίως αύξουσα Άρα η () γράφεται F γν. αύξουσα F(8x + 5) > F(x + 5) 8x + 5 > x + 5 x 8x < x (x ) < Για x > x > Άρα x < x < x < x> ( ) < x < x,. f (x) g '(x) = x f '(x) (x ) f (x) + g ''(x) = (x ) (x ) > Άρα για να είναι κυρτή ρέει g ''(x) > f '(x) (x ) f (x) + > x f '(x) (x ) > f (x) > f (x) f (x) f () f (x) > f (x) > () x x, x ροκύτει ότι υάρχει Αό Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστηµα [ ] ξ (, x) ώστε f (x) f () f '( ξ ) = () x x+ x
Αό () και () f '(x) > f '( ξ ) όµως f ' γν. αυξ. < ξ < x f '() < f '( ξ ) < f '(x) Άρα f '(x) f '( ξ ) > άρα ισχύει, οότε η g κυρτή Α τρόος α g(x) = f ( α) x α, α >, x > Έχουµε ( ) ( )( ) Για x=α ισχύει η ισότητα οότε είναι ρίζα. Έστω ότι η εξίσωση αυτή έχει και άλλη ρίζα x >, δηλαδή ( α )g(x ) = (f( α) )(x α ) µε x α και g( α ) = g(x ) g( α ) f ( ) f ( ) = α () µε g ( α ) = α x α α α Αν α < x Αό ΘΜΤ. υάρχει ξ ( α, x ) g(x ) g( α) g ( ξ ) = x α Όµως g γν. αύξουσα α < ξ < x g ( α ) < g ( ξ ) άρα δεν ισχύει η ισότητα οότε η () είναι αδύνατη. Αν α > x Αό ΘΜΤ. υάρχει ξ ( x, α ) g(x ) g( α) g ( ξ ) = x α Όµως Β τρόος g γν. αύξουσα x < ξ < α g ( ξ ) < g ( α ) άρα δεν ισχύει η ισότητα οότε η () είναι αδύνατη. Η εξίσωση εφατοµένης της g στο Μ(α, g(α)) είναι: y g( α ) = g ( α)(x α) g( α ) = f ( α) f ( α) y = (x α ) = ω(x) g ( α ) = α α Εειδή η g είναι κυρτή οοιαδήοτε εφατοµένη θα βρίσκεται κάτω αό την Cg εκτός αό το σηµείο εαφής δηλαδή: g(x) ω (x) Η ισότητα ισχύει µόνο για το σηµείο εαφής δηλαδή το σηµείο M ( α, g( α )). Γ τρόος ( α ) g(x) = ( f ( α) )( x α), α >, x > f ( α) α Οότε g(x) = ( x α) και f ( α) g ( α ) = α
f ( α) α Έστω η συνάρτηση h(x) = g(x) ( x α) h(x) = g(x) g ( α) ( x α) Είναι h (x) = g (x) g ( α ) Αν g γν. αυξ. x > α g (x) > g ( α) g (x) g ( α ) > h (x) > h(x) γν. αύξουσα Άρα η x = α µοναδική ρίζα της h Αν g γν. αυξ. x < α g (x) < g ( α) g (x) g ( α ) < h (x) < h(x) γν. φθίνουσα Άρα η x = α µοναδική ρίζα της h Ειµέλεια : Μυλωνίδης Σ. Τάνης Σ. Ηλιάδης Κ. Μαργαριτέλη Ε. Πασχαλίδου Ξ. Σαµαρά Φ.