Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Α3 Σχολικό βιβλίο σελ 33 Α α σωστό, β σωστό, γ λάθος, δ λάθος, ε σωστό ΘΕΜΑ Β z i z i Β w I w w z i z i zz zi zi zz zi zi 8zz zz z z Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο i το Ο(,) και ακτίνα ρ Επειδή z το σημείο M,, που είναι η εικόνα του z και ανήκει στον κύκλο, εξαιρείται του γεωμετρικού τόπου z i Β w z i z i z i z i z i (z i)(z i) (z i)(z i) zz zi zi zz zi zi i(z z) z z z z z IR Οι εικόνες των πραγματικών αριθμών ανήκουν στον άξονα Επομένως ζητάμε τα σημεία τομής του κύκλου από το (Β ) με τον Αν z yi,, y IR τότε z y Για y είναι ή Άρα z και z

2 i i ( i) B3 Ανz τότε w i i i w w i Έτσι w iw ( i) i( i) i i i i ΘΕΜΑ Γ Γ Θέτουμε t lim lim ( ) ( ) Άρα lim f () lim lim t Επίσης f() Άρα η f είναι συνεχής στο o, αφού lim f () f () Γ Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με f () f () > t (άτοπο) ή - ln f () > > < o < < > Πίνακας προσήμου της f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ [,] και _ γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ [, ] f() f (Δ ( lim f (),f ()] ) 8 Άρα [ ] [, ] f (Δ ) f (),f () και

3 Θέτουμε lim ( ) t lim DLH () () lim t t Άρα lim f () lim Επομένως f (Δ) (, ] Άρα f (Δ) f (Δ ) f (Δ ) [, ] 3 Γ3i) ln ln f () f () ln ln, > ii) Προφανώς 6 και Άρα οι αριθμοί και είναι ρίζες της εξίσωσης για > Λόγω του (i) οι αριθμοί αυτοί είναι και ρίζες της εξίσωσης f() f() Δ και η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Επομένως η εξίσωση f() f() έχει μοναδική ρίζα την στο Δ Δ και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Επομένως η εξίσωση f() f() έχει μοναδική ρίζα την στο Δ Συνεπώς η εξίσωση f() f(), άρα και η έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις και Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση g() ( f () ) f (t)dt, [,] Η g είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων (Η συνάρτηση f (t)dt είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, ως αρχική συνεχούς συνάρτησης) Η g είναι παραγωγίσιμη στο (,) με ( f () ) g () f () f (t)dt f () g() ( f () ) f (t)dt

4 ( f () ) g () f (t)dt ln ln ln f () ( ) Άρα g() ( ) f (t)dt g() Σύμφωνα με το θεώρημα του Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ξ ( f (ξ) ) f (ξ) g (ξ) f (ξ) f (t)dt ξ ( f (ξ)) f (ξ) f (t)dt f (ξ) ΘΕΜΑ Δ Δ Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ισχύει f () f () f () 3 () [ ( )] f () f () f ()( f () f () 3) ( f ()f () f ()) f () f ()( f () f () 3 f () ) f () f ()( f () ) f () > f () ( f () ) για κάθε (, ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), συνεπώς έχει πεδίο ορι- και αντιστρέφεται Η αντίστροφή της συνάρτηση σμού το f(a) IR και σύνολο τιμών το Α IR Έστω f () y f (y) y Άρα (y y 3) (y y 3) f (y) ή f () ( 3), IR ( 3) ( ( 3 ) ( ), IR f () f () ( ) ( ) ( ) ( ), IR y f Δ ( f ()) [ ( 3) ] ) ( ) ( ) [ ]

5 f Προφανώς ( ()) για κάθε 5 IR και η μοναδική ρίζα Άρα η f είναι κυρτή σ όλο το IR Για είναι f () 3 Σημείο τομής της c f με τον y y είναι το Α(,3) Είναι ( f ()) Εξίσωση εφαπτομένης στο Α: y f () f () y 3 y f ( ) 3 Επειδή η είναι κυρτή στο IR, το σημείο Α είναι το μοναδικό κοινό σημείο της c και της εφαπτομένης f Επίσης f () 3 για κάθε Άρα Ε(Ω) [ f () ( 3) ] IR d ( 3)d ( 3)d I I ( )( 3)d [ ( 3) ] I ( ) d [ ( ) ] 3 ( )( )d 3 d [ ] I Άρα E(Ω) I I 7 τμ Δ3i) Έστω f () y f (y) () Άρα B ( y,f (y)) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της c f στο Α είναι λ ( f ()) ( ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της c f στο Β είναι Δ () λ f (y) f (y) f (y) ( ( ) )

6 Έτσι λ λ ( ) ( ) 6 ii) (AB) ( f ()) (f () f () Από Δ γνωρίζουμε ότι ) f () 3 >, IR Άρα (AB) ( f () ) Ορίζουμε τη συνάρτηση d() ( f () ) d ( f ()) () [ ( ) ], IR, IR d () ( ) (προφανής ρίζα η ) d () ( f ()) ( ), IR και η μοναδική ρίζα Άρα η συνάρτηση d () είναι γνησίως αύξουσα στο IR και η είναι μοναδική ρίζα Για < d () < d () d () < Για > d () > d () d () > Άρα η συνάρτηση d() είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] αύξουσα στο [, ) Παρουσιάζει ελάχιστο για ίσο με d() f () 3 Άρα ( AB) min 3 και γνησίως ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΣ SCIENCE PRESS