7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι να κατανοήσετε το μετασχηματισμό Laplace. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Μετασχηματισμός Laplace 2. Ζεύγη μετασχηματισμών Laplace 3. Ιδιότητες και Θεωρήματα του ML 4. Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε άθροισμα κλασμάτων 5. Θεωρήματα συνέλιξης στο χρόνο και τη συχνότητα 6. Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με χρήση του ΜL 7. Εργαστηριακές ασκήσεις 8. Ασκήσεις για Λύση 5

Μετασχηματισμός Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένα πολύτιμο εργαλείο για την επεξεργασία (ανάλυση και σύνθεση) καταστάσεων και διαδικασιών που είναι σκόπιμο να μεταφέρονται από το πεδίο του χρόνου τ, στο πεδίο της συχνότητας s και αντιστρόφως, ενώ παράλληλα προσφέρει αλγεβρικές (σχεδόν) λύσεις στις προκύπτουσες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. 6

Εντολές laplace και ilaplace Το MatLab μας δίνει τη δυνατότητα να βρούμε απευθείας το μετασχηματισμό laplace μιας συνάρτησης με την εντολή laplace (). Επίσης έχουμε τη δυνατότητα να βρούμε απευθείας και τον αντίστροφο μετασχηματισμό laplace μιας συνάρτησης με την εντολή ilaplace (). Πριν όμως από τη χρήση αυτών των εντολών απαιτείται η εντολή δημιουργίας συμβολικών μεταβλητών με τη βοήθεια της εντολής syms. Οι συμβολικές μεταβλητές που πρέπει να ορίσουμε είναι η μεταβλητή χρόνου t και η μεταβλητή μιγαδικής συχνότητας s. 7

Παράδειγμα (1) 8

Εντολή laplace(f,s) (1) 10

Εντολή ilaplace(f,t) (2) 11

Ζεύγη μετασχηματισμών Laplace (1) 12

Ιδιότητες και Θεωρήματα του ML (1) 15

Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε άθροισμα κλασμάτων (1) 26

Η συνάρτηση residue (1) 34

Παράδειγμα #1 35

Η συνάρτηση residue (2) Η συνάρτηση residue μπορεί και να χρησιμοποιηθεί και για την ακριβώς αντίστροφη εργασία, δηλαδή να γράψουμε ένα σήμα από μορφή αθροίσματος κλασμάτων σε ρητή μορφή. Η σύνταξη σε αυτή την περίπτωση είναι η ακριβώς αντίστροφη, δηλαδή γράφουμε [Β, Α]= residue(r,ρ,κ). Εδώ βάζουμε σαν είσοδο τα διανύσματα της μορφής αθροίσματος κλασμάτων R,Ρ,Κ και ως έξοδο παίρνουμε τους συντελεστές των πολυωνύμων αριθμητή A και παρανομαστή Β. 38

Παράδειγμα 39

Θεωρήματα συνέλιξης στο χρόνο και τη συχνότητα Σε αυτή την ενότητα θα μιλήσουμε για δυο πολύ χρήσιμα Θεωρήματα στη Θεωρία του ΜL που μας επιτρέπουν να αποφεύγουμε το υπολογισμό της συνέλιξης τόσο στο χρόνο όσο και στη συχνότητα: Συνέλιξη στο χρόνο Συνέλιξη στη συχνότητα 40

Συνέλιξη στο χρόνο (1) 41

Συνέλιξη στη μιγαδική συχνότητα (1) 44

Συνέλιξη στη μιγαδική συχνότητα (2) 45

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με χρήση του ΜL (1) 46

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με χρήση του ΜL (2) 47

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με χρήση του ΜL (3) Η διαδικασία πού ακολουθούμε είναι η εξής 1. Παίρνουμε τον ΜL και στα 2 μέλη της Δ.Ε. 2. Λόγω γραμμικότητας ο ΜL αθροίσματος μας κάνει άθροισμα των ΜL και οι σταθερές α i βγαίνουν έξω από τους επιμέρους ΜL. 3. Υπολογίζουμε τους ΜL των παραγώγων. 4. Επιλύουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς το Υ(s) 5. Υπολογίζουμε τον αντίστροφο ΜL της Υ(s) δηλαδή υπολογίζουμε την y(t). Η συνάρτηση y(t) είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης. 48

Μετασχηματισμός Laplace ΟΔΗΓΙΕΣ: Για τις ασκήσεις που ακολουθούν σας ζητείται να συμπληρώσετε τον κώδικα και γράψετε τα σχόλια σας σε ορισμένες εντολές. Σχολιάζετε τα αποτελέσματα σας

Εργαστηριακή άσκηση 1 (1) 57

Εργαστηριακή άσκηση 3 61

Ασκήσεις Εξάσκησης Στο Σπίτι Μετασχηματισμός Laplace

Ασκήσεις εξάσκησης 70

Τέλος Ενότητας