Κεθάιην 6: Οινθιεξσηηθόο Λνγηζκόο ύλνςε Σην θεθάιην πηό εηζάγεηη ν νξηζκόο ηνπ όξηζηνπ νινθιεξώκηνο θη πξηίζεηη λιπηηθή κεζνδνινγί ζπλθώλ ζθήζεωλ κε πξνζληνιηζκό ζε πξνβιήκη κερληθώλ. Εηζάγεηη, επίζεο, ε έλλνη θη νη εθξκνγέο ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκηνο κε έκθζε ζε εθξκνγέο ληζνηήηωλ θη ηεο έλλνηο ηεο κέζεο ηηκήο. Σπκπεξηικβάλνληη, επίζεο, πξνβιήκη ζε ζέκη γεωκεηξηθώλ εθξκνγώλ, ξπζκνύ κεηβνιήο θη ζξνηζηηθώλ (ζωξεπηηθώλ) ζπλξηήζεωλ. ηόρνο Ο ζηόρνο ηνπ θεθιίνπ πηνύ είλη ε εηζγωγή ηεο έλλνηο ηνπ νινθιεξώκηνο, ωο ε ληίζηξνθε κζεκηηθή έλλνη ηεο πξγώγνπ. Επηδηώθεηη ε πόθηεζε επρέξεηο ζηελ ληηκεηώπηζε πξνβιεκάηωλ ππνινγηζκνύ όξηζηωλ θη νξηζκέλωλ νινθιεξωκάηωλ. Τέινο, κέζ πό ηελ λάπηπμε πνηθίιωλ πξνβιεκάηωλ νινθιεξωηνπ ινγηζκνύ επηδηώθεηη ε θηλόεζε ηεο θπζηθήο ζεκζίο ηνπ νινθιεξώκηνο ωο ζωξεπηηθό πνηέιεζκ ελόο θπζηθνύ κεγέζνπο, όηλ ε κεηβιεηή είλη ν ρξόλνο, ιιά θη ωο ζπλνιηθό πνηέιεζκ ελόο ρωξηθά θηλεκεκέλνπ θπζηθνύ κεγέζνπο, όηλ ε κεηβιεηή ληηζηνηρεί ζηηο δηζηάζεηο ηνπ ρώξνπ. Πξνπηηνύκελε γλώζε Επρέξεη ζηελ κειέηε θη ηε ρξήζε ζπλξηήζεωλ. Κηλόεζε θη ηθλόηεη ππνινγηζκνύ ηεο πξγώγνπ ζπλξηήζεωλ.
6. Οξηζκόο θη ηδηόηεηεο ηνπ όξηζηνπ νινθιεξώκηνο Πράγους θ ρχικι ςυνάρτθςθ μισ ςυνάρτθςθσ f, ονομάηετι κάκε ςυνάρτθςθ F, τζτοι ώςτε: Πξνθλώο, λ F είλη κί πξάγνπζ ηεο f, ηόηε θη ε F c F f F c ζ είλη πξάγνπζ ηεο f, δηόηη: Αόριςτο ολοκλιρωμ μισ ςυνάρτθςθσ f ονομάηετι το ςφνολο των πργουςών ςυνρτιςεων τθσ f. Το όριςτο ολοκλιρωμ ςυμβολίηετι ωσ εξισ: Δθλδι: Επεμήγεζε ηνπ ζπκβόινπ Σν ζύκβνιν πνπ ρξεζηκνπνηείηη γη ην νινθιήξσκ ζπλδέεηη κε ηνλ νξηζκό ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκηνο, ν νπνίνο ζ δνζεί ζε επόκελε ελόηεη πηνύ ηνπ θεθιίνπ. Ωζηόζν, πξνθεηκέλνπ λ επηηεπρζεί ε νπζηζηηθή θηλόεζε ηνπ ζπκβόινπ θη ηνπ ηξόπνπ ρξήζεο ηνπ, ε ζύλδεζε πηή λθέξεηη πξθάησ: Η ζρέζε νξηζκνύ ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκηνο, βζίδεηη ζηηο έλλνηεο ηνπ νξίνπ θη ηνπ ζξνίζκηνο: β ν f()d lim f( ) ν κ κ κ κ Σν ζύκβνιν, ινηπόλ, ηνπ νινθιεξώκηνο ππνδειώλεη άζξνηζκ, κε ηηο πξθάησ ληηζηνηρήζεηο: ην ν κ γίλεηη β ην f( ) γίλεηη f() κ ελώ ην κ κ γίλεηη d.
πλέπεηεο ηνπ νξηζκνύ f ()d f() c f g() g ()d f g() c f()d f() Σύπνη ηνπ όξηζηνπ νινθιεξώκηνο Με εθξκνγή ηνπ νξηζκνύ θη ρξεζηκνπνηώληο ηηο γλσζηέο ηδηόηεηεο θη ηύπνπο ησλ πξάγσγσλ ζπλξηήζεσλ, πξνθύπηνπλ νη πξθάησ ηύπνη. i) Απινί ηύπνη 0 d c d c ρ ρ ρ d c, ρ d ln c ή d ln c e d e c d c ln sin d cos c cos d sin c d tan d tan c cos d cot d cot c sin
ii) Δηδηθζίεο ln d () ln d ln d ln c sin cos tan d d d ln cos d ln cos c cos cos cos sin cot d d d ln sin d ln sin c sin sin tan d tan d d tan c cot d cot d d cot c iii) Εηδηθνί ηύπνη Αλ ζηε ζέζε ηνπ βξίζθεηη ε πξάζηζε: β, ηόηε ηζρύνπλ νη ηύπνη γη ην β, κε ζπληειεζηή ην, δειδή: λ: f() d g() c ηόηε: f βd g β c Απόδεημε f β d f β β d f β d β g β c
Από πηήλ ηελ ηδηόηεη πξνθύπηνπλ νη πξθάησ ηύπνη: ρ ρ β β d c, ρ ρ d ln β c β β β e d e c κ ln κλ κλ d c sin β d cos β c cos β d sin β c d tan β d tan β c cos β d cot β d cot β c sin β
iv) Γεληθεπκέλνη ηύπνη Αλ ζηε ζέζε ηνπ ελόο ηύπνπ βξίζθεηη κη πξάζηζε g(), ηόηε λδεηείηη σο ζπλνδόο πξάγνληο ε πξάγσγνο ηνπ g(). Αλ πηή βξεζεί ή λ κπνξεί λ θηζθεπζηεί, ηόηε πξνθύπηεη έλο γεληθεπκέλνο ηύπνο. Οη βζηθνί γεληθεπκέλνη ηύπνη όξηζησλ νινθιεξσκάησλ λθέξνληη πξθάησ: ρ ρ f () f () f () d c, ρ ρ f () d ln f() c f() f() f() e f () d e c ln f ( ) f ( ) f () d c sinf() f () d cosf() c cosf() f () d sinf() c f () d tan f() f () d tan f() c cos f() f () d cot f() f () d cot f() c sin f()
6.. Ιδηόηεηεο ησλ όξηζησλ νινθιεξσκάησλ Πξθάησ λθέξνληη νη βζηθέο ηδηόηεηεο ησλ όξηζησλ νινθιεξσκάησλ. i) Οινθιήξσκ ζξνίζκηνο ζπλξηήζεσλ: f() g() d f() d g() d ii) Οινθιήξσκ γηλνκέλνπ ζηζεξάο θη ζπλάξηεζεο: cf() d c f() d iii) Γξκκηθόηεη ηνπ νινθιεξώκηνο: c f () c f ()... c f () d c f () d c f () d... c f () d ν ν ν ν iv) Κλόλο ηεο νινθιήξσζεο θηά πξάγνληεο: f () g() d f() g() f() g () d ή f() g() d f() d g() d g() f() d f() d g () d
6.. Ιδηόηεηεο ηνπ δηθνξηθνύ i) Πξόζζεζε ζηζεξάο ζε δηθνξηθό ε έλ δηθνξηθό, κπνξεί λ πξνζηεζεί (ή λ θηξεζεί) κη ζηζεξά, ρσξίο λ πξνθύςεη θκί ιιγή: d = d( ± c) ii) Πνιιπιζηζκόο ζηζεξάο κε δηθνξηθό Έλ δηθνξηθό κπνξεί λ πνιιπιζηζηεί (ή λ δηηξεζεί) κε κη ζηζεξά, ξθεί πηό λ πνιιπιζηζηεί ή λ δηηξεζεί (εμσηεξηθά) ληίζηνηρ κε ηε ζηζεξά: d(c ) = c d Πξάδεηγκ 6. d d d d sin π π π cos cos cos 4 4 π d 4 π tan c π 4 cos 4 iii) Δηθνξηθό νινθιεξώκηνο f() d d f() d
6. Οινθιήξσζε ζπλξηήζεσλ κε ρξήζε ησλ ηύπσλ 6.. Οινθιήξσζε κνλσλύκσλ ηνπ ηηο πεξηπηώζεηο πνπ πηηείηη ν ππνινγηζκόο ηνπ όξηζηνπ νινθιεξώκηνο ελόο κνλσλύκνπ ηνπ, ν ρ ππνινγηζκόο πηόο κπνξεί λ γίλεη γξάθνληο ην κνλώλπκν ζηε κνξθή: κε βάζε ηηο ηδηόηεηεο ησλ δπλάκεσλ θη ησλ ξηδώλ, θη εθξκόδνληο θηόπηλ, ηνπο ηύπνπο. Πξάδεηγκ 6. 5 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. 6 6 5 Ι() d c c, με IR. 6 Πξάδεηγκ 6. Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. 4 Αλ f(), ηόηε ε f νξίδεηη ζην IR *. 4 * Άξ, κε IR : 4 Ι() d d 4 Ι()
Πξάδεηγκ 6.4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 5 d. Πξέπεη 0. Σόηε: Ι() 5 d 5 c Ι() 5 c 4 Πξάδεηγκ 6.5 5 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. 4 Πξέπεη 5 5 d 0. Σόηε: Ι() d Ι() 4 5 0 5 Ι() ln c Ι() ln c Πξάδεηγκ 6.6 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Η ζπλάξηεζε f() νξίδεηη γη 0. 7 7 8 4 4 Είλη: f Άξ: 7 5 8 7 8 8 8 8 5 I() d c c c 8 8 7 I() c 7 5 5 5 8 8
6.. Οινθιήξσζε κε άκεζε εθξκνγή γλσζηώλ ηύπσλ ε πνιιέο πεξηπηώζεηο ππνινγηζκνύ όξηζησλ νινθιεξσκάησλ, ξθεί ε άκεζε εθξκνγή ησλ γλσζηώλ ηύπσλ. Πξάδεηγκ 6.7 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 5 d γη IR : 5 5 Ι() d d c 5 5 ln ln 5 5 Ι() c ln ln5 5 ln ln5 5 Πξάδεηγκ 6.8 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη 0, : Ι() d d Ι() d c 5 4 Ι() c 5 4
Πξάδεηγκ 6.9 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). sin cos π Πξέπεη: kπ, kπ, k. Σόηε: sin cos Ι() d d d sin cos cos sin Ι() tan cot c. Πξάδεηγκ 6.0 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() tan d. π Πξέπεη: kπ, k : Είλη: tan tan tan tan tan tan tan tan Άξ: I() tan tan tan d tan tan d tan d tan I() ln cos c.
Πξάδεηγκ 6. Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη 0: Ι() d 6 Ι() d d d 5 6 Ι() c 5. 6 Πξάδεηγκ 6. Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 4 d. Ι() 4 9 6 6 8 d 4 9 6 6 8 Ι() c. ln 4 ln 9 ln6 ln 6 ln8 ln
Πξάδεηγκ 6. 4 4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη 0: Ι() d d d Ι() d d ln c ln c Πξάδεηγκ 6.4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 4 4 d, με. Ι() d Ι() d Είλη: 0 4 0 5 Ι() d d d ln c 4 Ι() ln c. 4 4
Πξάδεηγκ 6.5 e Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. e Ι() e e e e d Ι() e d e d d e e c Πξάδεηγκ 6.6 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 5 d. 5 5 Ι() 9 d 9 c 5 ln Πξάδεηγκ 6.7 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin d, με. 0, π Ι() sin cos sin d sin sin cos cos d
Ι() sin cos d sin cos d π sin sin 4 cos sin sin cos 0 π cos cos 4 Ι() sin cos d Ι() sin cos c Πξάδεηγκ 6.8 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(t) t sin cost dt. Ι(t) t dt sin cost dt Ι(t) sin sin t c t Πξάδεηγκ 6.9 4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. 4 4 Ι() c 7 4
Πξάδεηγκ 6.0 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). 5 Πξέπεη: 5 5 Ι() 5 d c 5 Ι() 5 c 5 Πξάδεηγκ 6. Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. 5 5 5 Ι() d Ι() c 5 5 5 Πξάδεηγκ 6. d * Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(), k 4. π k Πξέπεη: π k π 4 k π Ι() k d Ι() c k
Πξάδεηγκ 6. 4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 5 d, με. 5 7 4 5 Ι() 5 d c 5 7 7 Ι() 5 c 5 Πξάδεηγκ 6.4 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). 5 5 Πξέπεη: 5 5 5 Ι() 5 d c 5 Ι() 5 c 0
Πξάδεηγκ 6.5 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). Πξέπεη: Είλη: Ι() d Αιιά: Επνκέλσο: d d I() d I() I() ln ln c I() ln c
Πξάδεηγκ 6.6 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). Πξέπεη:, Είλη: Άξ: I() d d I() d I() ln ln c ln ln I() c 4 Πξάδεηγκ 6.7 e e Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. 4 e 5 5 Ι() e e d e d e d 5 Ι() e e c
Πξάδεηγκ 6.8 λ Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() e d. Πξέπεη: 0. e λ λ Ι() e d e c c λ Πξάδεηγκ 6.9 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() e e d. 4 4 Ι() e d e c 4 Πξάδεηγκ 6.0 5 4 5 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. 6 5 Ι() d 5 d 5 Ι() 0 ln 9 ln5 5
Πξάδεηγκ 6. Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: β Ι() d, με,β, γ 0,. γ β Ι() d d γ γ β γ γ Ι() c β ln ln γ γ Πξάδεηγκ 6. π π Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin cos d. 5 4 5 4 Ι() sin 6 π d 5 6 6 Ι() cos d sin c 5 6 5 5 Πξάδεηγκ 6. π Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() cos d. 7 π Ι() cos d 7 7 7 π Ι() sin c 7 7
Πξάδεηγκ 6.4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin 5 cos 7 d. Ι() sin sin d Ι() sin d sin d Ι() cos8 cos c 8 6.. Οινθιήξσζε κε ηε βνήζεη ηξηγσλνκεηξηθώλ ηύπσλ Εηδηθά γη ηηο πεξηπηώζεηο ππνινγηζκνύ όξηζησλ νινθιεξσκάησλ πξζηάζεσλ κε ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλξηήζεηο, ε γλώζε ή ε λθνξά ζε ηξηγσλνκεηξηθνύο ηύπνπο είλη πξίηεηε. Εθηόο πό ηνπο ζπλήζεηο ηύπνπο ζξνηζκάησλ θη δηθνξώλ ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπλξηήζεσλ θη ηνπο ηύπνπο ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπλξηήζεσλ ζξνηζκάησλ θη δηθνξώλ ηόμσλ, θάπνηνη ηδηίηεξ ρξήζηκνη ηύπνη ζπλνςίδνληη πξθάησ:
Πξάδεηγκ 6.5 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() cos με κπ, κ. d d Ι() sin sin Ι() cot c Ι() cot c Πξάδεηγκ 6.6 d π Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() με κπ, κ. sin d d Ι() Ι() π π cos cos 4 d π Ι() Ι() tan c π 4 cos 4 Πξάδεηγκ 6.7 d π Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() με κπ, κ. sin d d Ι() Ι() π π cos sin 4 d π Ι() Ι() cot c π 4 sin 4
6. Μέζνδνη εξγζίο ππνινγηζκνύ όξηζησλ νινθιεξσκάησλ ηελ ελόηεη πηή πξνπζηάδεηη κη ζεηξά κεζόδσλ εξγζίο γη ηνλ ππνινγηζκό όξηζησλ νινθιεξσκάησλ. Η πξνπζίζε ηεο κεζνδνινγίο γίλεηη κε νκδνπνίεζε λά ηξόπν εξγζίο. Οδεγίεο γη ηελ ληηκεηώπηζε πξνβιεκάησλ, κε νκδνπνίεζε λά ηύπν ζπλάξηεζεο δίλνληη ζηελ επόκελε ελόηεη. Οη δύν πηέο πξνζεγγίζεηο ζπλδπζηηθά πνζθνπνύλ ζηελ πόθηεζε πνιύπιεπξεο θη ηζρπξήο ηθλόηεηο επίιπζεο πξνβιεκάησλ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ. Οη κέζνδνη εξγζίο πνπ πξνπζηάδνληη πξθάησ είλη ε δηάζπζε ζε πινύζηεξ νινθιεξώκη, ν κεηζρεκηηζκόο ηνπ δηθνξηθνύ, ε λδήηεζε ηεο πξάγνπζο ζπλάξηεζεο, ε ιιγή κεηβιεηήο θη ε κέζνδνο ηεο νινθιήξσζεο θηά πξάγνληεο. 6.. Δηάζπζε ζε πινύζηεξ νινθιεξώκη Κηά ηε κέζνδν πηή γίλεηη πξνζπάζεη πινύζηεπζεο ηνπ πξνβιήκηνο κε δηάζπζε ηεο ξρηθήο πξάζηζεο ζε πινύζηεξεο. Πξάδεηγκ 6.8 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin sin cos 5 d Είλη: Ι() sin sin d sin cos 5 d Ι() cos cos4 d sin6 sin 4 d Ι() sin sin4 cos6 cos4 c 4 6 4 Ι() sin sin4 cos6 cos4 c 4 8 8
6.. Μεηζρεκηηζκόο ηνπ δηθνξηθνύ Κηά ηε κέζνδν πηή, επηρεηξείηη κεηζρεκηηζκόο ηνπ δηθνξηθνύ, κε ηέηνηνλ ηξόπν ώζηε λ πξνθύπηεη νινθιήξσκ γλσζηήο ζπλάξηεζεο. Πξάδεηγκ 6.9 π Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin d. 8 Είλη: π Ι() sin d 8 π π Ι() sin d 8 8 π Ι() cos c 8 Πξάδεηγκ 6.40 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() e d. Είλη: Ι() e d Ι() e d Ι() e d Ι() e d Ι() e c 6 6
6.. Αλδήηεζε ηεο πξάγνπζο ζπλάξηεζεο Κηά ηελ λδήηεζε ηεο πξάγνπζο κίο ζπλάξηεζεο, γεληθά επηρεηξείηη λ γξθεί πηή σο πξάγσγνο κηο ζπλάξηεζεο. Αλάινγ κε ηε κνξθή ηεο ζπλάξηεζεο, δηθξίλνληη νη πξθάησ πεξηπηώζεηο: i) Άζξνηζκ γηλνκέλσλ ΑΒ ΓΔ d ή ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ d ηηο πεξηπηώζεηο πηήο ηεο κνξθήο, λ γη δηάθνξνπο ιόγνπο θίλεηη όηη δελ βνεζάεη ε δηάζπζε, δηεξεπλάηη ε πεξίπησζε λ είλη ε ζπλάξηεζε πξάγσγνο γηλνκέλνπ. Σν πην ζεκληηθό βήκ ζηε δηεξεύλεζε πηή είλη ν εληνπηζκόο κηο πξάζηζεο πνπ εκθλίδεηη ζε θάπνηνλ (ή θάπνηνπο) πό ηνπο όξνπο ηνπ ζξνίζκηνο, ελώ ζηνπο ππόινηπνπο όξνπο εκθλίδεηη ε πξάγσγόο ηεο σο ζπλνδόο πξάγνληο. Πξάδεηγκ 6.4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin cos d. Είλη: Ι() () sin sin d Ι() sin d Ι() sin c Πξάδεηγκ 6.4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin cos d. Είλη: Ι() sin sin d Ι() sin d Ι() sin c
Πξάδεηγκ 6.4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() cos sin d. Είλη: Ι() () cos cos d Ι() cos d Ι() cos c Πξάδεηγκ 6.44 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() tan tan d κπ, κ. π Είλη: Ι() tan tan d Ι() tan () tan d Ι() tan d Ι() tan c ii) Πειίθν ζξνίζκηνο γηλνκέλσλ δη ην ηεηξάγσλν κηο πξάζηζεο ΑΒ ΓΔ d E ηηο πεξηπηώζεηο ηέηνησλ πξζηάζεσλ δηεξεπλάηη ε πηζλόηεη ε πξάζηζε λ πνηειεί πξάγσγν θιάζκηνο. Σν θιάζκ έρεη πξνλνκζηή Ε, ελώ ν όξνο Ε εκθλίδεηη σο ζπλνδόο πξάγνληο ζηνλ ξηζκεηή.
Πξάδεηγκ 6.45 tan tan Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη: π 0 κι κπ, κ Είλη: Ι() tan tan d tan tan Ι() d Ι() tan d Ι() tan c Πξάδεηγκ 6.46 ln tan tan Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. ln Πξέπεη: Είλη: π 0 κι κπ, κ Ι() ln tan tan d ln ln tan ln tan Ι() d ln Ι() tan d Ι() tan c ln ln
iii) Γηλόκελν ή πειίθν δπλάκεσλ ή ξηδώλ θάπνησλ πξζηάζεσλ Β A ν ν A Β d, d, Α Β d, d ν ν Β Α Αλ ε ζπλάξηεζε πξνο νινθιήξσζε πεξηικβάλεη δπλάκεηο ή ξίδεο κηο πξάζηζεο, λδεηείηη σο ζπλνδόο πξάγνληο ε πξάγσγνο ηεο βάζεο ή ηνπ ππόξηδνπ. Ο ζπλνδόο πξάγνληο κπνξεί λ εληνπηζηεί άκεζ ή λ θηζθεπζηεί κε πξνζζέζεηο, θηξέζεηο ή δηζπάζεηο. Έηζη, ε ζπλάξηεζε γξάθεηη ζηε κνξθή ηνπ ξηζηεξνύ κέινπο ηνπ πξθάησ ηύπνπ, ν νπνίνο θη εθξκόδεηη γη ηε ιύζε ηνπ πξνβιήκηνο. ρ ρ f () f () f () d c ρ Πξάδεηγκ 6.47 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin cos d. Είλη: 4 sin Ι() sin sin d c 4 Πξάδεηγκ 6.48 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 0 d. Είλη: Ι() 0 0 d 0 4 Ι() c 4
Πξάδεηγκ 6.49 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() e e d. Είλη: Ι() e e d e Ι() c Πξάδεηγκ 6.50 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin cos sin cos d. Είλη: Ι() sin cos sin cos d sin cos Ι() c Πξάδεηγκ 6.5 5 ln Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη: 0. Είλη: 6 5 ln Ι() ln ln d Ι() c 6
Πξάδεηγκ 6.5 5 tan Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. cos Πξέπεη: π κπ, κ Είλη: 6 5 tan Ι() tan tan d Ι() c 6 Πξάδεηγκ 6.5 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). ln Πξέπεη: 0. Είλη: ln Ι() ln ln d Ι() c c ln Πξάδεηγκ 6.54 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). ln ln ln Πξέπεη:. Είλη: ln ln Ι() ln ln d Ι() ln ln ln ln d ln ln Ι() c Ι() c ln ln
Πξάδεηγκ 6.55 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη: 5 Είλη: Ι() d Ι() d Ι() c Ι() c Πξάδεηγκ 6.56 sin cos Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. sin cos Πξέπεη: π sin cos sin κπ, κ Είλη: Ι() sin cos sin cos d Ι() sin cos sin cos d sin cos Ι() c Ι() c sin cos
Πξάδεηγκ 6.57 e e Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. e e Είλη: Ι() e e e e d e e Ι() c Ι() c e e Πξάδεηγκ 6.58 5 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 4 d. Είλη: 8 5 Ι() 8 4 d Ι() 4 5 4 d 8 6 5 6 5 4 5 Ι() c Ι() 4 8 6 48 c 5
Πξάδεηγκ 6.59 f() Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. f()d 5 Είλη: Ι() f()d f()d d 5 4 f()d Ι() c Ι() c 4 4 f()d Πξάδεηγκ 6.60 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() 5 d. Είλη: Ι() 5 5 d Πξάδεηγκ 6.6 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d στο,. 4 5 Ι() c Είλη: 4 Ι() d 4 Ι() c 4
Πξάδεηγκ 6.6 e e Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. e e Είλη: Ι() e e e e d e e Ι() c Ι() e e c iv) Πειίθν πξζηάζεσλ A B ηηο πεξηπηώζεηο ελόο πινύ θιάζκηνο πξζηάζεσλ, εμεηάδεηη εάλ ε πξάγσγνο ηνπ πξνλνκζηή δίλεη ηνλ ξηζκεηή. Πξάδεηγκ 6.6 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. 4 Είλη: Ι() 4 4 d Ι() ln 4 c
Πξάδεηγκ 6.64 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() sin cos d. sin cos Πξέπεη: π ημ συν κπ, κ 4 Είλη: Ι() sin cos sin cos d Ι() ln sin cos c Πξάδεηγκ 6.65 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() tan d. Πξέπεη: π κπ π κπ, κ 4 Είλη: sin sin Ι() d d cos cos cos Ι() d Ι() ln cos c cos
Πξάδεηγκ 6.66 e e Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. e e Είλη: e e e e Ι() d Ι() ln e e c Ι() ln e e c Πξάδεηγκ 6.67 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). ln Πξέπεη: 0. Είλη: ln Ι() d ln ln c ln Πξάδεηγκ 6.68 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). ln ln ln Πξέπεη:. Είλη: ln Ι() ln d Ι() ln d ln ln ln ln ln ln Ι() d Ι() ln ln ln c ln ln
v) Εθζεηηθέο ζπλξηήζεηο ηηο πεξηπηώζεηο εθζεηηθώλ ζπλξηήζεσλ λδεηείηη σο ζπλνδόο πξάγνληο ε πξάγσγνο ηνπ εθζέηε. Πξάδεηγκ 6.69 4 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() e d. Είλη: 4 4 Ι() e 4 d e c Πξάδεηγκ 6.70 sincos Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() e sin cos d. Είλη: Ι() e sin cos d sincos sincos Ι() e c Πξάδεηγκ 6.7 e Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη: 0. Είλη: Ι() e d e c
Πξάδεηγκ 6.7 e Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη: 0. Είλη: A Οπόηε: A Ι() e d Ι() e d e c
vi) Σξηγσλνκεηξηθέο ζπλξηήζεηο ηηο πεξηπηώζεηο πνπ εκθλίδνληη ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλξηήζεηο, λδεηείηη ε πξάγσγνο ηνπ ηόμνπ σο ζπλνδόο πξάγνληο. ηε ζπλέρεη, εθξκόδεηη ν θλόλο νινθιήξσζεο ζύλζεησλ ζπλξηήζεσλ. Πξάδεηγκ 6.7 sin ln Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη: 0. Είλη: Ι() sin ln ln d cos ln c Πξάδεηγκ 6.74 sin ln Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Είλη: ln
Οπόηε: Ι() sin ln d Ι() sin ln ln d Ι() cos ln c Πξάδεηγκ 6.75 d Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι(). ln cos ln ln Πξέπεη:. Είλη: ln lnln ln ln Οπόηε: ln ln Ι() d Ι() tan ln ln c cos ln ln
6..4 Αιιγή κεηβιεηήο ε πνιιέο πεξηπηώζεηο, ε δηδηθζί ησλ ηξνπνπνηήζεσλ ηεο ζπλάξηεζεο πξνο νινθιήξσζε δηεπθνιύλεηη ηδηίηεξ λ νξηζηεί κη λέ κεηβιεηή θη γίλεη ληηθηάζηζε ζηε ζπλάξηεζε, ζην δηθνξηθό, θη, όηλ πξόθεηηη γη νξηζκέλ νινθιεξώκη, ζη όξηά ηνπο, όπσο ζ δεηρζεί ζε επόκελε ελόηεη ζην θεθάιην πηό. Η ιιγή κεηβιεηήο κπνξεί λ εκπίπηεη ζε κί πό ηηο πξθάησ κνξθέο: g() t ή g(t) ζε ειδικές περιπηώζεις ή g() h(t) Αθνύ βεβησζεί όηη ε ζπλάξηεζε πνπ ζπλδέεη ηελ ξρηθή κε ηε λέ κεηβιεηή είλη έλ πξνο έλ (-), γίλεηη δηθόξηζε: g() t dg() dt g () d dt Έηζη, ππνινγίδεηη ην d (ή ην d κε θάπνηνλ ζπλνδό πξάγνλη πνπ βνιεύεη), ζπλξηήζεη ηνπ dt. ηε ζπλέρεη, βξίζθεηη ην ζπλξηήζεη ηνπ t, γίλεηη ε ληηθηάζηζε ζηε ζπλάξηεζε θη πξνθύπηεη ηειηθά έλ πινύζηεξν νινθιήξσκ σο πξνο t. Αθνύ γίλεη ν ππνινγηζκόο ηνπ νινθιεξώκηνο κε ην t σο κεηβιεηή, ληηθζίζηηη ην t, ζπλξηήζεη ηνπ, θη έηζη πξνθύπηεη ην ηειηθό πνηέιεζκ σο πξνο. Πξθάησ λθέξνληη νη πην ζπλεζηζκέλεο πεξηπηώζεηο πνπ πηηνύλ ιιγή κεηβιεηήο. i) Ρεηέο ζπλξηήζεηο ηηο πεξηπηώζεηο ξεηώλ ζπλξηήζεσλ κε ηελ εηδηθή κνξθή: P() d, ηίζεηη: β β t ν Πξάδεηγκ 6.76 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη:. 00 Σίζεηη: t, με t 0.
Πξνθλώο t() : -, νπόηε: dt d dt d Άξ: t t 5 Ι() dt Ι() dt 00 00 t 4 t 4 99 00 Ι() t dt 5 t dt ii) Αξξεηεο ζπλξηήζεηο 98 99 t 5 t 98 5 99 Ι() c Ι() t t c 4 98 4 99 9 96 ηηο πεξηπηώζεηο άξξεησλ ζπλξηήζεσλ κε ηελ εδηθή κνξθή: ιύλεηη κε κη πό ηηο δύν πξθάησ πιέο ληηθηζηάζεηο: f() d, εμεηάδεηη λ ην πξόβιεκ f() t ή ν f() t, Δηθνξεηηθά, λδεηνύληη ιύζεηο κε πην ζύλζεηεο ληηθηζηάζεηο. Δύν πό πηέο λθέξνληη ζηελ πξάγξθν iii), ζηε ζπλέρεη πηήο ηεο ελόηεηο. Πξάδεηγκ 6.77 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d. Πξέπεη:. Σίζεηη: t 0 Η t είλη πξγσγίζηκε ζην 0,
Είλη: t () 0 ζην 0,. Άξ t: στο 0,, νπόηε t: - Είλη: t t t d d d dt d t dt d t dt Επνκέλσο: t Ι() t t dt 5 t t Ι() t t dt c 5 0 6 Ι() t t c Ι() c 0 6 Πξάδεηγκ 6.78 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: Ι() d e. Σν Θ νξίδεηη γη IR. Σίζεηη: t e Η t είλη πξγσγίζηκε σο ζύλζεζε πξγσγίζηκσλ. e t () 0. e
Άξ t:, νπόηε t: -. e t d e dt e d t dt e d t dt t d t dt t d dt, με t πνπ ηζρύεη θνύ t t I t dt t dt t t t t t t t t t t t t t dt dt I I ln t ln t c t t t e t e I ln c I ln c
iii) Εηδηθέο ληηθηζηάζεηο ζηηο άξξεηεο ζπλξηήζεηο ηελ πεξίπησζε νινθιεξώκηνο ηεο κνξθήο: ρ() β γ d, με Δ 0 κι 0 ηίζεηη: β γ t Πξάδεηγκ 6.79 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I d Σν Θ νξίδεηη ζην IR. Σίζεηη t t Η t είλη πξγσγίζηκε: t () 0 Άξ t: νπόηε: t: - t t t t t, με t t
t Είλη: d dt t t t t t t 4 d dt d dt t t Αθόκε: t t t t t t t Επνκέλσο: t t t t t 4 I dt t t t I t t t t dt Σίζεηη: ω t ω t Είλη: dt dω dt dω, νπόηε: ω ω ω Ι dω ω ω ω 8 ω ω ω 8 Ι dω ω 4 4 Ι ω ω 7ω 7 dω 64 ω
4 Ι ω ω 7 ω 4 ω 49 dω 64 ω 6 5 4 Ι ω 4 ω 49 ω ω 8 ω 98 ω 7 ω 98 ω 4dω 64 ω 96 4 Ι ω ω 7 ω 4 dω 64 ω ω ω dω dω dω Ι ω dω ω dω 7 ω dω 4 dω 96 4 64 ω ω ω 4 ω ω ω ω ω Ι 7 4 ω ln ω 96 4 c 64 4 A Από ηελ (Α) ληηθζηζηώληο ην σ θη ζηε ζπλέρεη ην t, βξίζθεηη ην νινθιήξσκ ζπλξηήζεη ηνπ. Πξάδεηγκ 6.80 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 4 d Σίζεηη 4 t t 4 Η t είλη πξνθλώο - t 4 t 4 4 t 4 t
t 4 t t 4 Είλη: d dt 6 t 4 t t d dt d dt 6 t 4 t Αθόκε: t 4 t t 4 t t 4 t Επνκέλσο: t t t I dt dt t 4 t 8 t 4 t 6 t 9 6 dt I dt I t dt dt 9 8 t 8 8 t t 4 t t I ln t 9 c 6 4 4 A Από ηελ (Α), κε ληηθηάζηζε ηνπ t, βξίζθεηη ην δεηνύκελν νινθιήξσκ ζπλξηήζεη ηνπ. Γεληθόηεξ γη ηηο πεξηπηώζεηο νινθιεξσκάησλ πξζηάζεσλ πνπ πεξηέρνπλ ηε ξίδ ελόο ηξησλύκνπ, είλη ηδηίηεξ ρξήζηκν λ είλη γλσζηόο ν πξθάησ: β Δ Δ0 β Δ β γ c
Έηζη, ηίζεηη: β t Δ νπόηε πξνθύπηεη κί πό ηηο πξθάησ κνξθέο: I d Αθνύ: : Σίζεηη: sint κε: π π t, Είλη: d cost dt Άξ: I sin t cost dt I cost cost dt cost0 I cos t dt t sin t c 4 Η ληηθηάζηζε ηνπ t γίλεηη κε ρξήζε ηνπ ηόμνπ εκίηνλνπ: (asin), ιιά πηό πηηείηη κόλν ζηηο πεξηπηώζεηο πνπ ην νινθιήξσκ είλη νξηζκέλν. ηηο πεξηπηώζεηο ηεο κνξθήο β d κπνξεί εμρζεί θνηλόο πξάγνληο ην θη ζηε ζπλέρεη λ ηεζεί: β sin t
I d Αθνύ: ή : Σίζεηη: κε: sin t π π t,0 0, Είλη: cost d dt sin t Άξ: cost I dt sin t sin t sin t cos t I dt sin t sin t cost I cot t dt sin t A Σν νινθιήξσκ (Α) ππνινγίδεηη κε κεζόδνπο πνπ ζ λθεξζνύλ ζηε ζπλέρεη πηνύ ηνπ θεθιίνπ. πηή ηελ πεξίπησζε δελ ζ ρξεηζηεί λ γίλεη ε ληηθηάζηζε ηνπ t.
Πξάδεηγκ 6.8 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 9 4 d. Είλη: I d Σίζεηη: π π sin t, με t, Είλη: sin t d cos t dt 9 I sin t cost dt cos t dt 9 I cos t dt 4 9 I dt cost dt 4 9 I t sin t c 4 κε sin t.
Πξάδεηγκ 6.8 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I d. Πξέπεη: 0 Είλη: I d Σίζεηη: π π sin t, με t, d cost dt d cost dt I sin t cost dt I cos t dt I cos t dt I t sin t c Γη ιόγνπο εύθνιεο λθνξάο, ε γεληθή κέζνδνο πξγνληνπνίεζεο ηνπ ηξησλύκνπ ζπλνςίδεηη πξθάησ:
β γ : Δ β 4 γ Αλ Δ 0 : δηθνξά ηεηξγώλσλ: β Δ β γ Αλ Δ 0 : ηέιεην ηεηξάγσλν: β γ β Αλ Δ 0 : άζξνηζκ ηεηξγώλσλ: β Δ β γ Οπόηε ε εξγζί πνπ θνινπζείηη έρεη σο εμήο: κ β γ κ λ λ λ t λ ηελ πεξίπησζε νινθιεξώκηνο ηεο κνξθήο: I d Αθνινπζείηη έλο πό ηνπο πξθάησ δύν ηξόπνπο επίιπζεο. ) ηξόπνο: Σίζεηη: t t t t t t t
t t t t Άξ: d dt d dt t 4 t 4 t t t d dt d dt 4 t t Άξ: t t I t dt t t I t 4t dt Αθνινπζεί ε επίιπζε ηνπ νινθιεξώκηνο σο πξνο t πνπ πξνέθπςε, ρξεζηκνπνηώληο ηηο ηερληθέο νινθιήξσζεο πνιπσλύκσλ πνπ έρνπλ λιπζεί ζην πξόλ θεθάιην. β) ηξόπνο: Σίζεηη: π π tan t, με t, d dt cos t Είλη: dt I d tan t cos t dt dt I tan d cos t cos t cos t cos I tan tan d cos cos Αθνινπζεί ε επίιπζε ηνπ νινθιεξώκηνο σο πξνο t πνπ πξνέθπςε, ρξεζηκνπνηώληο ηελ ηερληθή πνπ ζ λθεξζεί ζηελ πξάγξθν vi πηήο ηεο ελόηεηο.
Πξάδεηγκ 6.8 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 4 d. Σίζεηη: 4 t t 4 8 4 4 t () 0 4 4 Άξ: t: -. t 4 t 4 4 t 4 t t t t d dt dt 4 t 4 t 4 t t t t I(t) dt dt t 4 t 8 t t t I(t) t t dt ln t c 8 t 8 I(t) 4 ln 4 c 6 4 6 4
iv) Εθζεηηθέο θη ινγξηζκηθέο ζπλξηήζεηο ηηο πεξηπηώζεηο νινθιεξσκάησλ ηεο κνξθήο: f e d Σίζεηη: min κτάλληλο Ε.Κ.Π. e t, όπνπ Ε.Κ.Π. ην ειάρηζην θνηλό πνιιπιάζην ησλ όξσλ ζηνλ πξνλνκζηή. Πξάδεηγκ 6.84 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I e d e Σίζεηη: e t t dt e d dt d dt d t Είλη: I t dt dt t t t t Θ είλη: A B Γ t t t t t Α t t Bt Γ t A Γ t A B t B
A Γ 0 A Β Α 0 Β Β Γ Άξ: Ι dt t t t t Ι ln t ln t c Ι ln e ln e c e Ι ln e c e ηηο πεξηπηώζεηο νινθιεξσκάησλ ηεο κνξθήο: f ln d Ειέγρεηη λ ην νινθιήξσκ ιύλεηη βάδνληοln = t, ή, ζηελ πεξίπησζε πξάζηζεο f(g(ln)), βάδνληο t = g(ln). Επνκέλσο, ζπλνπηηθά: f Γη e g() d, ειέγρεηη λ βνιεύεη ε ληηθηάζηζε g() = t, ή f() = t. Γη f ln d, ειέγρεηη λ βνιεύεη ε ληηθηάζηζε ln = t Γη lnf() d, ειέγρεηη λ βνιεύεη ε ληηθηάζηζεf() = t
Πξάδεηγκ 6.85 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: e I tan cos d Πξέπεη: π κπ, κ Σίζεηη: tan t Είλη: d tan d dt dt cos Άξ: t t tan I e dt e c e c Πξάδεηγκ 6.86 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I e d Πξέπεη:. Σίζεηη: t d dt d dt 5 d d dt dt 5 t t Άξ: I e dt e c e c 5 5 5 εκείσζε: Όηλ εκθλίδεηη ε κνξθή: g() lnf() d, γίλεηη δνθηκή κε: f() = t ή lnf() = t.
Πξάδεηγκ 6.87 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I ln d Σίζεηη: t d dt d dt d 4 dt t d t dt lnt lnt ln t I t dt dt c t t t I ln 4 c Πξάδεηγκ 6.88 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I ln ln d Πξέπεη: Σίζεηη: 0, e ln t d dt t t t dt I dt I dt dt I dt t t t t I t ln t c I ln ln ln c
iv) Σξηγσλνκεηξηθέο ζπλξηήζεηο ηηο πεξηπηώζεηο πξζηάζεσλ κε γηλόκελ ή πειίθ εκηηόλσλ θη ζπλεκίηνλσλ, δειδή ζηηο κνξθέο: κ λ sin cos d, κ sin λ cos d Σίζεηη ζπλήζσο sin = t ή cos = t. Πξάδεηγκ 6.89 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I sin cos d με 0,π Σίζεηη: cos t : sin d dt sin d dt, sin t Άξ: I sin cos d sin cos sin d t t dt 5 5 4 t t cos cos I t t dt c c 5 5 Πξάδεηγκ 6.90 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I sin 4 cos d Σίζεηη: cos t : sin d dt sin d dt
sin cos t sin t Άξ: I sin d I 4 4 dt cos t t 4 I dt I t t 4 dt t t t I c I c t t I c cos cos ηε γεληθόηεξε πεξίπησζε πξζηάζεσλ κε ζξνίζκη γηλνκέλσλ ή πειίθσλ εκηηόλσλ θη ζπλεκίηνλσλ: f ημ,συν d Μπνξεί λ ηεζεί: tan t Σόηε, ρξεζηκνπνηώληο πινύο ηξηγσλνκεηξηθνύο ηύπνπο, ζ είλη: tan t sin t tan
tan t cos t tan tan t tan t tan t cot tan t Αθόκ: tan d dt t dt d dt d t
Πξάδεηγκ 6.9 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: sin I d, κπ π, κ cos Σίζεηη: tan t, νπόηε: dt d t t t sin, cos t t t t dt t I I dt dt t t t t I ln t c
6..5 Μέζνδνο ηεο νινθιήξσζεο θηά πξάγνληεο Η κέζνδνο πηή ζπλίζηηη ζηε δηδνρηθή εθξκνγή ηξηώλ ελεξγεηώλ πνπ επλικβάλνληη ζπλερώο: Οινθιήξσζε ηεο κί πό ηηο δύν ζπλξηήζεηο ηνπ γηλνκέλνπ: f() g() d ρ () g() d f() d ρ() Εθξκνγή ηνπ θλόλ: ρ () g() d ρ() g() ρ() g () d Πξγώγηζε θη ηθηνπνίεζε. Σ ηξί πηά βήκη επλικβάλνληη δηδνρηθά: κέρξη ην νινθιήξσκ λ εμληιεζεί ή κέρξη λ βξεζεί ην ξρηθό. Όηλ γίλεηη επηζηξνθή ζην ξρηθό νινθιήξσκ Θ, ηόηε I f λ I θη ην νινθιήξσκ ππνινγίδεηη ιύλνληο ηελ εμίζσζε σο πξνο I. Η κέζνδνο πηή εθξκόδεηη όηλ ε πξάζηζε πνπ νινθιεξώλεηη πεξηέρεη γηλόκελ ή πειίθ άζρεησλ κεημύ ηνπο ζπλξηήζεσλ. Γεληθά, νη δηάθνξνη πξάγνληεο νινθιεξώλνληη θηά πξνηεξηόηεη κε βάζε ηελ πξθάησ ζεηξά:... μετά μετά μετά e sin,cos P() ln Πξάδεηγκ 6.9 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I e d I e d I e e d I e e d
I e e d 9 I e e e d I e e e d 9 9 I e e e c Πξάδεηγκ 6.9 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I e sin d I e sin d I e sin e sin d I e sin e cos d I e sin e cos d I e sin e cos e cos d I e sin e cos 4 e sin d I e sin e cos 4Ι 5 Ι e sin cos c
6.4 Μέζνδνη νινθιήξσζεο λάινγ κε ην είδνο ηεο ζπλάξηεζεο ηελ ελόηεη πηή, πξνπζηάδεηη κη κεζνδνινγί νινθιήξσζεο, κε νκδνπνίεζε ησλ δηάθνξσλ πεξηπηώζεσλ λάινγ κε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο. ηηο πξθάησ πξγξάθνπο λθέξνληη δηδνρηθά νη κέζνδνη νινθιήξσζεο ξεηώλ, άξξεησλ, ηξηγσλνκεηξηθώλ, εθζεηηθώλ θη ινγξηζκηθώλ ζπλξηήζεσλ. 6.4. Ρεηέο ζπλξηήζεηο Αξρηθά ειέγρεηη λ ε πξάγσγνο ηνπ πξνλνκζηή δίλεη ηνλ ξηζκεηή. Πξάδεηγκ 6.94 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 0 d 0 I d ln 0 c 0 Αλ πηό δελ ηζρύεη, εμεηάδεηη λ ν πξνλνκζηήο είλη δύλκε δησλύκνπ: I P() β ν d ηελ πεξίπησζε πηή, ην νινθιήξσκ κπνξεί λ ππνινγηζηεί κε ιιγή κεηβιεηήο, ζέηνληο: β t
Πξάδεηγκ 6.95 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 5 d Πξέπεη: 5 Σίζεηη: 5 t. Σόηε: dt t 5 d dt d, κι Άξ: t 5 t 7 I dt dt t t t t I t dt 7 t dt I 7 c 7 5 I c c t t 5 5 ε θάζε άιιε πεξίπησζε, γίλεηη πξνζπάζεη δηάζπζεο ηνπ θιάζκηνο ζε άζξνηζκ θιζκάησλ. Γη ηνλ ζθνπό πηόλ, ειέγρνληη νη βζκνί ηνπ ξηζκεηή θη ηνπ πξνλνκζηή θη θνινπζείηη ε θηάιιειε κέζνδνο (πξγνληνπνίεζε ή ιγόξηζκνο δηίξεζεο πνιπσλύκσλ) δηάζπζεο. Πξάδεηγκ 6.96 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 5 4 d Η πξάζηζε νξίδεηη όηλ: A IR \,
5 Έζησ: f() 4 Είλη: 5 4 4 7 7 8 7 8 0 Άξ: f() 7 0 Έζησ: 0 A B 0 A A B B 0 A B A B 7 A A B 0 A B 0 A B A B B Άξ: 0 7 4 Είλη: 7 I 7 d 7 I 7 ln ln c
Πξάδεηγκ 6.97 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I d A B Γ Θεσξείηη: f() A B B 4 Γ 4 Γ Γ Α 4 Γ Α B 4 Γ Α B Γ Α 4 Γ 0 Α Γ Α B 4 Γ 0 0 Γ B 0 Α B Γ Γ B Γ Α Α Γ 5 Β 0 Γ Β 5 4 Γ 0 Γ Γ Γ 5 Άξ: f() 5 5 5 Είλη: d d d Ι() 5 5 5 Ι() ln ln c 5 5 5
Πξάδεηγκ 6.98 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I d ρ ρ Είλη ρ ρ γι ρ,ρ : Ι d ρ ρ ρ ρ ρ ρ Ι d ρ ρ ρ ρ I d ρ ρ ρ ρ I ln ρ ln ρ c ρ ρ ρ ρ ρ ρ I ln c
6.4. Άξξεηεο ζπλξηήζεηο ηηο πεξηπηώζεηο νινθιήξσζεο άξξεησλ ζπλξηήζεσλ, εθηεινύληη θηά ζεηξά πξνηεξηόηεηο κί πό ηηο πξθάησ δηδηθζίεο. i) Σθηνπνίεζε Πξάδεηγκ 6.99 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 6 9 6 d 0 Είλη: I 6 d I 6 d 6 d I d c Πξάδεηγκ 6.00 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: d I Είλη: I I d d d I d d I c
ii) Εληνπηζκόο θη εθκεηάιιεπζε ηεο πξνπζίο ηεο πξγώγνπ ηνπ ππόξηδνπ σο ζπλνδόο πξάγσγνο Πξάδεηγκ 6.0 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: e I d, νιν ν e * λ e ν : I d d ln e c e e e λ ν e ν ν ν ν : I e e d c e c ν ν ν Πξάδεηγκ 6.0 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: ln I d, Είλη: 4 ln I ln ln d c 4
iii) Υξήζε, εάλ βνιεύεη, ηεο ηερληθήο ιιγήο κεηβιεηήο πλήζεηο ιιγέο: f() t ή f() t ηελ εηδηθή πεξίπησζε ξίδο ηξησλύκνπ: β γ λ Δ 0, 0: Σίζεηη β γ t λ Δ 0, 0 : θηιήγεη θλείο ζε κί πό ηηο κνξθέο: κ λ λ κ, Σίζεηη sin t ή λ κ κ λ, Σίζεηη λ λ sin t Πξάδεηγκ 6.0 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I d, 0 Σίζεηη: t Σόηε: t t () 0. Οπόηε t:, άξ ζ είλη θη: t: -
t t t t t t t t t t t 6 d dt d dt dt t t t Σέινο: t t t t t t Άξ: t t t t t t t t I dt t t t t I dt Αθνινπζεί ε νινθιήξσζε ηεο ξεηήο πξάζηζεο, κε βάζε ηε κεζνδνινγί ηεο πξνεγνύκελεο πξγξάθνπ. Πξάδεηγκ 6.04 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 4 d, με 4 Είλη: I d Σίζεηη: π π sin t, t,
Είλη: d cos t dt d cos t dt Άξ: I sin t cost dt 4 cost cost dt π π t, 4 4 Ι cos t dt cost dt Ι t sin t c
6.4. Σξηγσλνκεηξηθέο ζπλξηήζεηο i) Οινθιήξσζε δπλάκεσλ ηνπ εκηηόλνπ ν sin d, ν λ ν : sin d cos c λ ν : sin d cos d d cos d sin c (άξηηεο δπλάκεηο ληηκεησπίδνληη νκνίσο) λ ν : I sin d sin sin d cos sin d cos sin cos sin d cos sin cos sin d cos sin sin sin d cos sin sin d sin d cos sin cos I c I cos sin cos c
cos sin cos I c νο Σξόπνο: I sin d Σίζεηη: cos t d cos dt sind dt Άξ: I sin d cos sin d t dt t I t dt t c cos cos c λ 4 ν 4 : I sin d sin sin d sin cos d sin cos sin cos d sin cos sin cos d sin cos sin sin d sin cos sin d sin 4 d Άξ: Ι sin cos sin d Ι 4 Ι sin cos cos d 4 8 Ι sin cos sin c Γεληθά, νη δπλάκεηο ηνπ εκηηόλνπ ληηκεησπίδνληη σο εμήο:
Γη I ημ d, νιν ν ν * Τπνινγίδεηη έλο λγσγηθόο ηύπνο νινθιήξσζεο: Είλη: ν Iν sin cos d ν ν cos sin sin cos d ν ν cos sin ν sin cos d ν ν sin cos ν sin sin d ν ν ν sin cos ν sin d ν sin d Ι sin cos ν Ι ν Ι ν ν ν ν ν ν ν ν Ιν Ιν sin cos d λ ν : I sin d tan Θ είλη: I d tan tan tan εφ I d ln εφ c εφ λ λ d ν : I cot c sin d ν : I sin
d Είλη: I sin d sin sin d sin I sin cos d cos sin cos sin d cos cos I cos sin d sin sin d sin sin cos I sin d sin d sin cos I Ι sin cos I ln tan c sin εκείσζε: Απηό ζεκίλεη πσο ε γεληθή κέζνδνο ππνινγηζκνύ ησλ θπζηθώλ δπλάκεσλ ηνπ εκηηόλνπ, κπνξεί λ ρξεζηκνπνηεζεί θη ζηηο ξλεηηθέο δπλάκεηο ηνπ εκηηόλνπ, θνινπζώληο ηελ ληίζεηε θνξά! νο Σξόπνο Είλη: d sin I cot sin d I cot sin cot sin d cos sin cos I d I I sin sin sin cos cos I I I ln tan c sin sin
ii) Οινθιήξσζε δπλάκεσλ ηνπ ζπλεκίηνλνπ ν cos d, ν λ ν : Ι cos d sin c λ cos ν : Ι cos d d d cos d sin c λ ν : I cos d Σίζεηη: sin t cos d dt I cos cos d sin cos d t t dt t c sin sin c νο Σξόπνο cos d cos cos d cos sin d cos sin cos sin d
sin cos cos sin d sin cos cos cos d sin cos cos d cos d sin cos sin I c I sin cos sin c I sin cos sin c εκείσζε: Οη πεξηηηέο δπλάκεηο ηνπ εκηηόλνπ θη ηνπ ζπλεκίηνλνπ ή η γηλόκελ ή πειίθ δπλάκεσλ ηνπ εκηηόλνπ θη ηνπ ζπλεκίηνλνπ ππνινγίδνληη θη κε ηελ ληηθηάζηζε: sin = t ή cos =t, όπνπ t ε βάζε ηεο άξηηο δύλκεο. Γη I cos d, νιν ν ν * Σν νινθιήξσκ ζ ππνινγηζηεί λγσγηθά. Είλη: ν ν Iν cos d cos cos d ν cos sin d ν ν cos sin cos sin d ν ν cos sin ν cos sin d
ν ν cos sin ν cos cos d ν ν ν cos sin ν cos d ν cos d Ι cos sin ν Ι ν Ι ν ν ν ν ν ν Ι ν Ι cos sin ν ν ν ν ν ν Ιν Ιν cos sin d d tan λ ν : I d cos tan tan tan tan tan dtan d d tan tan tan Σίζεηη: tan t dt dt t t I dt t t t t t dt dt ln t ln t c t t
tan t π ln c ln c ln tan c t tan 4 d λ ν : I tan c cos λ d ν : I tan cos d tan cos tan cos d cos sin sin cos sin sin sin d d cos cos cos cos sin cos sin d sin π d d I ln tan cos cos cos cos cos 4 sin π I ln tan c cos 4
iii) Οινθιήξσζε δπλάκεσλ ηεο εθπηνκέλεο ν εφ d, ν λ sin cos ν : Ι tan d d d ln cos c cos cos λ ν : Ι tan d tan d d tan c λ ν : ηζρύεη: tan tan tan tan A A tan tan tan tan Άξ: Ι tan tan d tan d tan ln cos c λ ν 4 : 4 A tan tan tan tan Άξ: Ι4 tan tan d tan d tan tan c Γη: Ι tan d, νιν ν ν * Σν νινθιήξσκ ζ ππνινγηζηεί λγσγηθά. ν ν ν A tan tan tan tan ν ν ν tan d tan tan d tan d ν tan Iν Ι ν ν Ο ππνινγηζκόο ησλ ξλεηηθώλ δπλάκεσλ ηεο εθπηνκέλεο γίλεηη κε βνήζεη ηνπ ηύπνπ: tan cot
iv) Οινθιήξσζε δπλάκεσλ ηεο εθπηνκέλεο Σ νινθιεξώκη δπλάκεσλ ηεο ζπλεθπηνκέλεο βξίζθνληη κε ηελ ίδη δηδηθζί όπσο πηά ησλ δπλάκεσλ ηεο εθπηνκέλεο. Ο ππνινγηζκόο ηνπο πξνηείλεηη σο άζθεζε ζηνλ λγλώζηε. v) Οινθιήξσζε γηλνκέλνπ δπλάκεσλ εκηηόλνπ θη ζπλεκίηνλνπ I ημ συν d, ν,μιν ν μ * Η νινθιήξσζε ηέηνησλ πξζηάζεσλ κπνξεί λ γίλεη κε έλλ πό ηνπο πξθάησ ηξόπνπο ) ηξόπνο: Με ιιγή κεηβιεηήο, ζέηνληο σο t ηε βάζε ηεο άξηηο δύλκεο. β) ηξόπνο: Αλ θη νη δύν δπλάκεηο είλη άξηηεο, γίλεηη πνηεηξγσληζκόο. γ) ηξόπνο: Με θηά πξάγνληεο νινθιήξσζε. Με ηνλ ηξόπν πη,ό ν βζκόο ηνπ εκηηόλνπ θη ηνπ ζπλεκίηνλνπ κεηώλεηη θηά. Πξάδεηγκ 6.05 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 4 sin cos d Ο ππνινγηζκόο γίλεηη κε βάζε ηνλ πξώην πό ηνπο πξπάλσ ηξόπνπο. Είλη: 4 4 sin cos d sin sin cos d cos 4 6 sin d cos cos 4 d
d cos d cos4 d cos cos4 d 6 sin sin 4 cos cos6 d 6 4 sin sin 4 sin sin 6 6 4 6 sin sin 4 sin sin 6 6 4 4 sin sin 4 sin 6 6 4 4 ην ίδην πνηέιεζκ θηιήγεη θλείο θνινπζώληο ηνλ ν ηξόπν: Είλη: 4 I sin cos d sin cos cos d sin cos cos sin cos d 4 sin cos cos sin cos sin cos d 4 sin cos sin cos d I sin cos sin cos sin d I sin cos sin cos d 5I
4 sin cos sin d 5I sin cos cos4 d 5I 8 6 8 4 I sin cos sin 4 c Πξάδεηγκ 6.06 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I 4 sin cos d I 4 sin cos cos d Σίζεηη: sin t cos d dt Άξ: 5 7 5 7 4 t t sin sin I t t dt c c 5 7 5 7 Πξάδεηγκ 6.07 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I sin cos d I sin cos cos d Σίζεηη: sin t cos d dt Άξ: 4 6 4 6 t t sin sin I t t dt c c 4 6 4 6
Πξάδεηγκ 6.08 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I sin 4 cos d I sin 4 cos sin d Σίζεηη: cos t sin d dt Άξ: cos t t t cos I dt c c 4 t
vi) Οινθιήξσζε γηλνκέλνπ πνιιπιάζησλ/ππνπνιιπιάζησλ ηόμσλ Γη ιόγνπο εύθνιεο λθνξάο, θάπνηνη ρξήζηκνη ηξηγσλνκεηξηθνί ηύπνη λθέξνληη πξθάησ: sin cosβ sin β sin β cossinβ sin β sin β coscosβ cos β cos β sin sinβ cos β cos β Ο ππνινγηζκόο ησλ νινθιεξσκάησλ γηλνκέλσλ ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπλξηήζεσλ κε πνιιπιάζη ή ππνπνιιπιάζη ηόμ, γίλεηη ζπλήζσο κε ηε βνήζεη ησλ πξπάλσ ή θη άιισλ γλσζηώλ, ηξηγσλνκεηξηθώλ ηύπσλ. Πξάδεηγκ 6.09 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: 5 I sin cos d 5 5 I sin sin d sin sin d cos cos c 6.4. Εθζεηηθέο θη ινγξηζκηθέο ζπλξηήζεηο Γη ηελ νινθιήξσζε εθζεηηθώλ θη ινγξηζκηθώλ ζπλξηήζεσλ εμεηάδεηη ε εθξκνγή ησλ κεζόδσλ πνπ λθέξζεθλ ζηελ ελόηεη 6., λάινγ ηε κνξθή ηνπ νινθιεξώκηνο. Εηδηθά γη ηηο πεξηπηώζεηο γηλνκέλσλ ή πειίθσλ, ή ζηελ πεξίπησζε ζπλδπζκνύ ζπλξηήζεσλ, επηρεηξείηη ε εθξκνγή ηεο κεζόδνπ νινθιήξσζεο θηά πξάγνληεο.
6.5 Σν νξηζκέλν νινθιήξσκ 6.5. Οξηζκόο Έζησ κί ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην ζύλνιν [, β] θη έζησ C ε θκπύιε ηεο γξθηθήο ηεο πξάζηζήο, όπσο θίλεηη ζην ρήκ 6.. y 0 β Σρήκ 6.: Γξθηθή πξάζηζε κηο ζπλάξηεζεο f:. Η θκπύιε πό a έωο β πξνπζηάδεηη εδώ ωο γεληθό πξάδεηγκ γη ηελ εηζγωγή ηεο έλλνηο ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκηνο. Ζεηείηη λ βξεζεί ην εκβδό ηνπ ρσξίνπ (ηεο πεξηνρήο) πνπ νξίδεηη πό ην ηόμν C, πό ηνλ άμνλ πό ηηο επζείεο:, β. θη Έζησ κη δηκέξηζε (ρσξηζκόο ζε ηκήκη) ηνπ [, β]: 0... ν β Σν ζπλνιηθό ρσξίν δηηξείηη ζε κηθξόηεξ ηκήκη, η νπνί πξνζεγγηζηηθά κπνξνύλ λ ζεσξεζνύλ νξζνγώλη. Αλ ηεζνύλ ξ,, ξ,,..., ξ,, ηόηε ην f(ξ) ζ είλη ην ύςνο θάζε νξζνγσλίνπ. 0 ν ν ν
Έηζη, κη πξώηε πξνζέγγηζε ηνπ δεηνύκελνπ εκβδνύ ζ είλη: ν κ Ε f(ξ ) κ κ κ Απνδεηθλύεηη όηη ην άζξνηζκ πηό έρεη όξην όηλ ην κέγηζην πιάηνο ησλ δηζηεκάησλ ηείλεη ζην 0, θη κάιηζη όηη ην όξην πηό είλη ζηζεξό θη λεμάξηεην πό ηελ εθινγή ησλ μ θη ηεο δηκέξηζεο. Σν ζηζεξό πηό όξην νλνκάδεηη νξηζκέλν νινθιήξσκ ηεο f πό σο β, θη ζπκβνιίδεηη σο εμήο: ν f() d lim κ κ f(ξ κ ) κ β μέγιστο πλάτος0 ύκθσλ κε η πξπάλσ, η δηζηήκη κπνξνύλ λ ζεσξεζνύλ ίζ, νπόηε ην θνηλό πιάηνο ζ είλη: d β. Αθόκε ζεσξείηη όηη: ξ. ν ν κ κ Έηζη: β ν β β f() d lim f κ ν κ ν ν κη θη: β ξκ κ dν κ ν νπόηε: β ν β f() d β lim f κ ν κ ν ν
6.5. Ιδηόηεηεο ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκηνο ηελ πξάγξθν πηή, πξνπζηάδνληη νη βζηθέο ηδηόηεηεο ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκηνο. i) ρέζε νξηζκέλνπ θη όξηζηνπ νινθιεξώκηνο Όπσο ζ δεηρζεί πξθάησ, ην νξηζκέλν νινθιήξσκ κπνξεί λ βξεζεί πό ην όξηζην, λ ζ πηό εθξκνζηνύλ η όξη νινθιεξώζεσο (δειδή η, β), σο εμήο: β f() d g f() d g() g(β) g() β ii) Οη ηδηόηεηεο θη νη ηύπνη ησλ όξηζησλ νινθιεξσκάησλ ηζρύνπλ θη ζη νξηζκέλ νινθιεξώκη iii) Ιδηόηεηεο ησλ νξίσλ νινθιήξσζεο ρεηηθά κε η όξη νινθιήξσζεο θη ηνλ ηξόπν εθηέιεζεο ληίζηνηρσλ πξάμεσλ, ηζρύνπλ νη πξθάησ ηδηόηεηεο: ) Άζξνηζκ νινθιεξσκάησλ δηδνρηθώλ δηζηεκάησλ Αν f συνεχής στο,β κι : γ β β γ β f() d f() d f() d γ β) Γελίθεπζε ζε κε δηδνρηθά δηζηήκη Αλ f: ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Δ θη:,β, γδ λεμξηήησο ηεο δηάημεο ησλ, β, γ, ηζρύεη: β γ β f() d f() d f() d γ
Απόδεημε: Έζησ όηη γ β. Θζρύεη: β β f() d f() d f() d γ γ β β f() d f() d f() d γ γ γ f() d β γ f() d γ) Γελίθεπζε ζε πεξηζζόηεξ δηζηήκη Αλ f: ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Δ, θη:,,...,ν Δ, ηόηε: ν ν f() d f() d... f() d f() d ν δ) Αληίζεην ζηνηρείν β f() d β f() d ε) Μεδεληθό ζηνηρείν f() d 0
iv) Αληζόηεηεο ησλ νξηζκέλσλ νινθιεξσκάησλ ) Αλ f() 0 θη ε f είλη ζπλερήο ζην,β, β, ηόηε: β f() d 0 Αν f() g() β) στο,β, ηόηε: κι f, g συνεχείς β f() d β g() d γ) Αλ f: ζπλερήο ζην,β, ηόηε: β f() d β f() d δ) Θεώξεκ κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ:,β Αλ f: ζπλερήο ζην ηόηε ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλ ξ,β ώζηε: β f() d β f(ξ) Η ηδηόηεη πηή πεξηγξάθεηη πξζηηηθά ζην ρήκ 6.. y
f(β) f(ξ) f() 0 ξ β Σρήκ 6.: Γξθηθή πεξηγξθή ηνπ ζεωξήκηνο κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξωηηθνύ ινγηζκνύ. ε) ρέζε κε ηε κέγηζηε θη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο. Αλ κη ζπλάξηεζε f: είλη ζπλερήο ζην,β θη έρεη ειάρηζην m θη κέγηζην Μ, ηόηε: β β m f() d β M v) ρέζε νινθιεξώκηνο θη πξγώγνπ ) β f () d f() β Δειδή, λ f: ζπλερήο ζην,β θη F() κη ξρηθή ηεο f, ηόηε: β f() d F(β) F() β) Η ζπλάξηεζε: F() f(t) dt είλη πξγσγίζηκε θη: F () f()
Δειδή: d β f(t) dt f(t) dt f() d Από ηε ζρέζε πηή, πξνθύπηνπλ άκεζ νη πξθάησ ηδηόηεηεο: γ) g( ) f(t) d f g() g () δ) h( ) h( ) f(t) dt g( ) f(t) dt f(t) dt g( ) g( ) h( ) f(t) dt f(t) dt f g() g () f h() h ()
6.6 Οδεγίεο επίιπζεο πξνβιεκάησλ ζη νξηζκέλ νινθιεξώκη ηελ ελόηεη πηή πξνπζηάδεηη κη κεζνδνινγί ληηκεηώπηζεο πξνβιεκάησλ ζηνλ νινθιεξσηηθό ινγηζκό. Σ πξνβιήκη πηά κπνξεί λ είλη ππνινγηζηηθά, δειδή λ δεηείηη ν ππνινγηζκόο ελόο νξηζκέλνπ νινθιεξώκηνο, ή πνδεηθηηθά, δειδή λ δεηείηη ε πόδεημε ελόο ηύπνπ, ελόο λγσγηθνύ ηύπνπ, κίο ληζόηεηο ή θη άιισλ ζρέζεσλ. Οη νδεγίεο ληηκεηώπηζήο ηνπο δίλνληη ζηηο πξγξάθνπο πνπ θνινπζνύλ λάινγ κε ηε κνξθή ηνπο. 6.6. Τπνινγηζκόο νξηζκέλσλ νινθιεξσκάησλ Γη ηνλ ππνινγηζκό νξηζκέλσλ νινθιεξσκάησλ ηζρύνπλ όζ λθέξζεθλ γη η όξηζη νινθιεξώκη. Επηπιένλ, ειέγρεηη ε ζπλέρεη ζην δηάζηεκ νινθιήξσζεο,,πξνθεηκέλνπ λ βεβησζεί όηη έρεη έλλνη ην νινθιήξσκ. Επίζεο, όηλ εθξκόδεηη ιιγή κεηβιεηήο, γίλεηη θη ληίζηνηρε κεηηξνπή ησλ νξίσλ νινθιήξσζεο. Πξάδεηγκ 6.0 Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I d 0 Η f(), νξίδεηη πληνύ ζην θη είλη ζπλερήο ζην 0,. 0, Σίζεηη: π π ημt, t, Η είλη - νπόηε θη: t: - Είλη d cost dt γη γη π π 0 sin t 0 t 0 t, π sin t t Άξ: π π I sin t cos t dt cos t cos t dt 0 0
π π π π cos t dt cos t dt t sin t 0 0 0 0 π π π π 0 sin sin 0 0 4 4 Πξάδεηγκ 6. Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: e I d 0 e e e Η f(), νξίδεηη πληνύ ζην θη είλη ζπλερήο ζην. 0, 0, e e Σίζεηη: e t e t Η t είλη - δηόηη: t () e 0 ζην IR. t: άξ t: - Άξ: e d t dt Αιιγή ησλ νξίσλ: γη γη 0 0 t e t e e Άξ: e t dt e dt e I ln t t t t e ln e ln ln
Μπνξνύλ λ ππνινγηζηνύλ νινθιεξώκη θιηκθσηώλ ζπλξηήζεσλ, θζώο θη ζπλξηήζεσλ κε πόιπη. ηελ πεξίπησζε ζεκείσλ δηκέξηζεο ζ πξέπεη λ βεβηώλεηη ε ζπλέρεη ηεο ζπλάξηεζεο. Πξάδεηγκ 6. e, Δίλεηη ε ζπλάξηεζε: f() β, 0 sin, 0 ) Ν πξνζδηνξηζηνύλ η, β, ώζηε ε f λ είλη ζπλερήο. β) Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I f() d π ) Γη : f() e : ζπλερήο σο γηλόκελν ζπλερώλ. Γη 0 : f() β : ζπλερήο σο πνιπσλπκηθή. Γη 0 : f() sin : ζπλερήο σο ηξηγσλνκεηξηθή. Αξθεί ε f λ είλη ζπλερήο ζην 0, Γη λ είλη ζπλερήο ζην 0, πξέπεη: lim f() lim f() f(0) 0 0
Αλλά : lim f() lim sin 0 0 0 lim f() lim β β Άξ β 0 0 0 f(0) 0 Γη λ είλη ζπλερήο ζην, πξέπεη: lim f() lim f() f() Αλλά : lim f() lim β β lim f() lim e e e Άξ β e e f() e β) Αθνύ ε f: είλη ζπλερήο, νξίδεηη ην νινθιήξσκ. Είλη: 0 I f() d f() d f() d f() d π π 0 Είλη: 0 0 0 I f() d sin d cos d π π π 0 0 cos π π cos d π π 0 π 0cos0 cos sin π sin 0 sin Αθόκε: e e I f() d e d e 0 0 0 0
θη: 4 I e d e d e e d e e e e e e e e Σέινο: e I f() d I I I e π 4 εκείσζε: ηηο ζπλξηήζεηο κε πόιπη, ν ηύπνο γξάθεηη ζε θιηκθσηή κνξθή, θη θνινπζείηη ε ίδη δηδηθζί, όπσο ζηηο θιηκθσηέο ζπλξηήζεηο. Ωζηόζν, ζηελ πεξίπησζε πηή δελ ρξεηάδεηη λ ειεγρζεί ε ζπλέρεη. Πξάδεηγκ 6. Ν ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: I d Η f() είλη ζπλερήο σο ζύλζεζε ζπλερώλ. - - 0 + 0 + + 0 + + 0 + + + (-)(+) 0 + 0 0 + -( -) - -( -) -
,, 0, Άξ: f(),, 0, Άξ: 0 0 I f() d f() d d d 0 0 4 0 4 0 0 4 4 4 4 4 4 0 6.6. Απνδεηθηηθά πξνβιήκη ζη όξη νινθιήξσζεο ε πεξηπηώζεηο πνπ πηηείηη ε πόδεημε κίο ζρέζεο κεημύ νινθιεξσκάησλ κίο ζπλάξηεζεο, κε δηάθνξ πξκεηξηθά όξη νινθιήξσζεο, κπνξεί λ εθξκνζηεί κί πό ηηο πξθάησ κεζόδνπο εξγζίο. i) Σερληθή ηεο δηάζπζεο Κηά ηελ ηερληθή πηή, γίλεηη πξόρεηξ κη ππνζεηηθή δηάημε ησλ νξίσλ νινθιεξώζεσο, θη ζηε ζπλέρεη δηζπώληη όι η νινθιεξώκη ζε ζξνίζκη νινθιεξσκάησλ κε δηδνρηθά όξη. Πξάδεηγκ 6.4 Αλ κη ζπλάξηεζε f: είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Δ θη,β, γδ, λ πνδεηρζεί όηη: γ δ β δ f() d f() d f() d f() d γ γ γ δ f() d f() d f() d f() d β γ β Σίζεηη: β γ δ f d Ι, f d Ι, f d Ι β γ Άξ:
γ β γ f() d f() d f() d Ι Ι β δ β γ δ f() d f() d f() d f() d Ι Ι Ι β γ β δ f() d Ι Ι β f() d Ι β γ f() d f() d f() d Ι Ι γ β Επνκέλσο: Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι 00 Άξ, ε ξρηθή εμίζσζε ηζρύεη. Πξάδεηγκ 6.5 Μη ζπλάξηεζε f: είλη ζπλερήο ζε έλ δηάζηεκ Δ θη,β, γδ, κε: β γ β γ.αθόκε: 0Δ, θη: β γ. Ν πνδεηρζεί όηη: β γ βγ Α f() d f() d f() d f() d 0 0 β γ
Είλη: β γ β γ β γ 0 ή β γ Αιιά: β γ Οπόηε: β γ 0 Επνκέλσο: βγ 0 Α f() d f() d 0 0 0 ii) Σερληθή ηεο δηάζπζεο ζε ζπλδπζκό κε ιιγή κεηβιεηήο Κηά ηελ ηερληθή πηή, γίλεηη δηάημε θη δηάζπζε κε ηνλ ίδην ηξόπν όπσο ζηε κέζνδν i), ιιά ζε ζπλδπζκό κε ιιγή κεηβιεηήο, πξνθεηκέλνπ λ δηεπθνιπλζεί ε δηδηθζί. Πξάδεηγκ 6.6 Αλ κη ζπλάξηεζε f: είλη ζπλερήο ζην, κι 0 θη επηπιένλ ε f: είλη άξηη, λ πνδεηρζεί όηη: f() d f() d 0 0 f() d f() d f() d 0 Έζησ: 0 Ι f() d Σίζεηη: t : d dt
γη t γη 0 t 0 Άξ: Ι f( t) dt f( t) dt f( t) f(t) 0 0 0 I f(t) dt f() d 0 Άξ: f() d f() d 0 Πξάδεηγκ 6.7 Αλ κη ζπλάξηεζε f: είλη πεξηνδηθή θη ζπλερήο, κε πεξίνδν Σ, λ πνδεηρζεί όηη: (i) Τ f() d 0 Τ f() d (ii) ντ f() d ν f() d 0 0 Τ (iii) Αλ f: άξηη: ντ f() d ν f() d ν Τ 0 Τ Είλη: Τ Τ Τ f() d f() d f() d Τ
εκείσζε: Η ιιγή κεηβιεηήο γη ηε κεηθίλεζε ησλ νξίσλ νινθιεξώζεσο λάινγ κε ηελ ηδηόηεη πνπ δίδεηη γη ηε ζπλάξηεζε, γίλεηη κε θίξεζε ή δηίξεζε ηνπ ζηζεξνύ άθξνπ πνπ πξέπεη λ κεηθηλεζεί. Αλ: Ι Τ Τ f() d Σίζεηη: T ω : d dω γη Τ ω 0 γη Τ ω Ι f ω Τ dω f(ω) dω f() d 0 0 0 Άξ: Τ Τ f() d f() d f() d 0 Τ Τ f() d f() d f() d 0 0 Η πόδεημε ησλ δεηεκάησλ ii) θη iii) θήλεηη σο άζθεζε ζηνλ λγλώζηε. Τπόδεημε: Γη ηηο πνδείμεηο πηέο κπνξεί λ ρξεζηκνπνηεζεί ε κέζνδνο ηεο επγσγήο. Πξάδεηγκ 6.8 Αλ Ι,β β 4 4 d, λ πνδεηρζεί όηη: (i) Ι,β I β, (ii) I, Ι,β,β 0 β
(iii) I, 0 0 (i)σίζεηη: t d dt. t: - γη t γη β t β Ι,β β 4 t t dt 4 t t β 4 t t 4 t t dt I β, (ii)σίζεηη: d dt. t: - t t γη t γη β t β Ι,β t t dt 4 β t 4 t t
4 t t 4 β t t dt 4 t t t 4 t t 4 t 4 t β t t dt I, β (iii)σίζεηη: β, νπόηε: Ι, Ι, λλά Ι, Ι, Ι, Ι, Ι, 0 Πξάδεηγκ 6.9 Αλ κί ζπλάξηεζε f είλη ζπλερήο, λ πνδεηρζεί όηη ηζρύεη: β f β d f() d β θη λ ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκ: 0 e d
Σίζεηη: β t d dt d dt. γη t β γη β t Είλη: β β f β d f(t) dt f() d β 0 e d 0 e d 0 0 e d e d 0 0 e e d 0 0 e e d e 0 e e d 0 0 0 0 0 4 e 4 e e e e e 0
6.6. Απόδεημε λγσγηθώλ ηύπσλ Γη ηελ πόδεημε λγσγηθώλ ηύπσλ κε νξηζκέλ νινθιεξώκη, ζπλήζσο θνινπζείηη ε κέζνδνο ηεο νινθιήξσζεο θηά πξάγνληεο. Η κέζνδνο ηεο επγσγήο δελ ρξεζηκνπνηείηη! Πξάδεηγκ 6.0 Αλ β ν I ημ d, νιν, 0, λ πνδεηρζεί όηη: ν ν β ν ν ν I sin cos Ι ν ν Είλη: β ν Iν sin cos d β β ν ν sin cos sin cos d β ν β ν sin cos ν sin cos d β ν β ν sin cos ν sin sin d β β β ν ν ν sin cos ν sin d ν sin d ν β sin cos ν Ι ν ν Ιν ν β ν ν νι sin cos ν Ι ν β ν ν ν Ι sin cos Ι ν ν
6.6. Απόδεημε ληζνηήησλ Γη ηελ πόδεημε ληζνηήησλ κε νξηζκέλ νινθιεξώκη εθξκόδεηη κί πό ηηο πξθάησ κεζόδνπο. i) Μέζνδνο ησλ δηδνρηθώλ πμήζεσλ Κηά ηε κέζνδν πηή, μεθηλώληο πό ην δηάζηεκ νινθιήξσζεο, γίλνληη πζίξεηεο πμήζεηο ή κεηώζεηο θη ε ζπλάξηεζε ζπγθξίλεηη κε άιιεο ζπλξηήζεηο πινύζηεξεο κνξθήο. Πξάδεηγκ 6. Ν πνδεηρζεί όηη: 0 sin cos d, νιν ν * ν Η ζπλάξηεζε f() sin cos, είλη ζπλερήο ζην 0,, νπόηε νξίδεηη ην νινθιήξσκ. Είλη: ν π 0 sin sin 0 0 ν 0 cos cos 0 cos ν sin cos ν sin ν sin cos d d 0 0 0 Πξάδεηγκ 6. Ν πνδεηρζεί όηη: d 0 5 4 4
Η ζπλάξηεζε f() είλη ζπλερήο ζην 0, σο ξεηή, νπόηε νξίδεηη ην νινθιήξσκ. 4 Είλη: 0 0 4 4 5 d d 0 0 4 4 5 4 4 0 5 d d 4 4 5 0 0 0 d 0 4 4 5 0 0 d 0 5 4 4 Πξάδεηγκ 6. Ν πνδεηρζεί όηη: π d π π 6 8 0 cos Η ζπλάξηεζε π f() είλη ζπλερήο ζην cos 0, 6 σο πειίθν ζπλερώλ, νπόηε νξίδεηη ην νινθιήξσκ. Είλη: π cos: π 0 cos 0 cos cos 6 6 cos cos
4 cos cos 4 π π π 6 6 d 6 d d 0 0 cos 0 4 π π 6 d π 6 6 0 0 0 cos 4 π π 6 d π 6 0 cos 4 6 π d π π π 4 6 π 6 8 0 cos 4 ii) Μειέηε ηεο κνλνηνλίο θη ησλ θξόηησλ ηηκώλ Κηά ηε κέζνδν πηή, κειεηάηη ε κνλνηνλί ζην ληίζηνηρν δηάζηεκ, βξίζθεηη ην νιηθό ειάρηζην θη ην νιηθό κέγηζην ζην δηάζηεκ θη εθξκόδεηη ε ληζόηεη: β m β f() d M β Ελιιθηηθά, κεηά ηε κειέηε κνλνηνλίο θη θξόηησλ, εθξκόδεηη ε πξνεγνύκελε ηερληθή. Πξάδεηγκ 6.4 Ν πνδεηρζεί όηη: (i) π cos sin, 0, (ii) π π e e d e 4 4 π sin π π π 4
(i)θεσξείηη ε ζπλάξηεζε: π f() cos sin, 0, Η f είλη πξγσγίζηκε σο άζξνηζκ πξγσγίζηκσλ. f () cos sin cos sin π Είνι : f () 0 0, π f:συνεχής στο 0, π f: στο 0, π Είλη: 0 f() f(0) cos sin 0cos0 sin0 cos sin 0 cos sin sin π π (ii) Η h() e είλη ζπλερήο ζην, σο ζύλζεζε ζπλερώλ θη πξγσγίζηκε σο ζύλζεζε 4 πξγσγίζηκσλ. Μειεηάηη ε κνλνηνλί ηεο h:
ημ συν ημ h () e e e i ημ ημ ημ π π h () 0, 4 Πίλθο κνλνηνλίο ηεο h: - π π 4 + h () h() τ.μ. τ.ε. Άξ, ε f έρεη ηνπηθό θη κάιηζη νιηθό κέγηζην ην: π sin 4 π 4 π π Μ h e e 4 θη ηνπηθό θη κάιηζη νιηθό ειάρηζην, ην: π sin π π m h e e π Επνκέλσο, ζύκθσλ κε ην ζεώξεκ κέζεο ηηκήο νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ: β m β h() d M β π sin π π π π π π e e d e π 4 4 4 π π e e d e 4 4 π sin π π π 4
Πξάδεηγκ 6.5 Ν πνδεηρζεί όηη: e 0 e d 0 Θεσξείηη ε ζπλάξηεζε: f() e, πνπ είλη νξηζκέλε θη ζπλερήο ζην,0, θη θόκ είλη πξγσγίζηκε ζην,0. f () e e e Πίλθο κνλνηνλίο ηεο f: - - - 0 + Είνι : f () 0 f:συνεχής σ f () f() τ.μ. 0 + τ.ε. τ.μ. f: στο, Άξ, ε f έρεη νιηθό κέγηζην ζην δηάζηεκ, ην: M f( ) e θη νιηθό ειάρηζην ζην δηάζηεκ πηό ην: E f( ) e Ακόμη : f () 0 στο,0 f:συνεχής στο, 0
f: στο,0 Άξ, ε f έρεη νιηθό ειάρηζην ζην δηάζηεκ,0 ην: Ε f( ) e θη νιηθό κέγηζην ζην δηάζηεκ πηό ην: Μ f(0) 0 Άξ, ε f έρεη νιηθό ειάρηζην ην: Ε mine,e E E e θη νιηθό κέγηζην ην: M mam, M ma 0, 0 e Οπόηε: β m β f() d M β 0 0 e d 0 0 e e 0 e d 0
Πξάδεηγκ 6.6 Ν πνδεηρζεί όηη: e e d e d e 0 0 Θεσξείηη ε ζπλάξηεζε g() e ζπλερήο ζην 0, θη πξγσγίζηκε: g () e 0 στο 0, νπόηε: g: στο 0, άξ: g: 0 g(0) g() g() 0 e e e e e d e d e d e d e 0 0 0 0 Θεσξείηη ε ζπλάξηεζε h() e ζπλερήο ζην 0, θη πξγσγίζηκε: h () e e 0 στο 0, νπόηε: h: στο 0, άξ: h: 0 h(0) h() h() e e e d e d d 0 0 0
e e d e e d 0 0, e e d e d e 0 0 e e d e d e 0 0 ii) Εθξκνγή ηνπ ζεσξήκηνο κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ Κηά ηε κέζνδν πηή, γξάθεηη ε εμίζσζε: β f() d β f(ξ) ηε ζπλέρεη, γίλνληη πξνζζέζεηο ή θηξέζεηο ζηνλ δεμί όξν, λάινγ κε ηε δεηνύκελε ληζόηεη. Πξάδεηγκ 6.7 Ν πνδεηρζεί όηη: λ d λ * ν 4 ν, ν ΙΝ, λ IR Θεσξείηη ε ζπλάξηεζε: f ν 4, νξηζκέλε θη ζπλερήο ζην IR. λ λ d 0 d λ 0 : 0 0 ν 4 ν 4 ηζρύεη ην ίζνλ
λ λ 0 : λ, νπόηε νξίδεηη ην δηάζηεκ:, λ Από ην ζεώξεκ κέζεο ηηκήο νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ είλη: ξ, λ, ώζηε: d λ λ λ ν 4 ν 4 ν 4 ξ ξ Α 4 4 ξ ξ ξ ν 4 ν ξ ν 4 ν Α ξ λ d ν 4 ν λ Πξάδεηγκ 6.8 π π Αλ κη ζπλάξηεζε f: είλη ζπλερήο ζην, θη β, λ πνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλ ξ IR, ώζηε: sinβ sin f() d β f(ξ) Αλ β, ηζρύεη ην ίζνλ.
π π Αλ β : β sin: sin sinβ Οπόηε νξίδεηη δηάζηεκ: sin,sinβ, Η f είλη ζπλερήο ζην ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλ ξ sin,sinβ sin,sinβ, νπόηε, ζύκθσλ κε ην ζεώξεκ κέζεο ηηκήο νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ ώζηε: sinβ sin f() d sinβ sin f(ξ) sinβ sin f() d sinβ sin f(ξ) Θεσξείηη ε ζπλάξηεζε h sin, νξηζκέλε θη πξγσγίζηκε ζην,β : h cos ύκθσλ κε ην ζεώξεκ κέζεο ηηκήο δηθνξηθνύ ινγηζκνύ, ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλ ρ,β ώζηε: sinβ sin β cosξ β sinβ sin f ξ β f ξ sinβ f t Από:, f d β f ξ sin
6.6.4 Όξη νινθιεξσκάησλ κε ηε βνήζεη ζπγθξίζεσλ ε θάπνηεο πεξηπηώζεηο πηηείηη ν ππνινγηζκόο νξίσλ νξηζκέλσλ νινθιεξσκάησλ. ηηο πεξηπηώζεηο πηέο ζπλήζσο εθξκόδεηη ε ηερληθή ηνπ θέξνληνο δηζηήκηνο, ε νπνί ζπλίζηηη ζηελ πξθάησ δηδηθζί: Αλ πηηείηη ν ππνινγηζκόο ελόο νξίνπ ηεο κνξθήο : lim f(t) dt Μειεηάηη ε κνλνηνλί ηεο ζπλάξηεζεο f(t) στο, θη πνδεηθλύεηη όηη: f() f(t) f, ν f : θη: f() f(t) f, ν f : Με δεδνκέλν όηη η f() θη f(+) είλη ζηζεξέο λεμάξηεηεο ηνπ t, γίλεηη νινθιήξσζε, ην νινθιήξσκ πεξηνξίδεηη κεημύ δύν ζπλξηήζεσλ σο πξνο. ηε ζπλέρεη, βξίζθεηη ην όξην εθξκόδνληο ην θξηηήξην ηεο πξεκβνιήο. Πξάδεηγκ 6.9 Αλ f(), (i) λ πνδεηρζεί όηη: f(t) t,, 0 (ii) Ν βξεζεί ην όξην: lim f(t) dt (i) Η f είλη πξγσγίζηκε ζην IR.
f () Πίλθο κνλνηνλίο ηεο f: - 0 + f () f() + 0 τ.μ. Άξ: f: στο IR Είλη f: t 0f(t) f() f(t) t, (ii) 0 f(t) 0 dt f(t) dt dt 0 f(t) dt t 0 f(t) dt lim 0, lim 0 0 lim f(t) dt 0
6.6.5 Πξνβιήκη ζρεηηθά κε ζρέζεηο κεημύ νινθιεξώκηνο θη πξγώγνπ ε πξνβιήκη πνπ ζπκπεξηικβάλνπλ ζρέζεηο κεημύ νινθιεξσκάησλ θη πξγώγσλ κηο ζπλάξηεζεο, είλη ρξήζηκν λ είλη γλσζηέο θη λ ρξεζηκνπνηνύληη νη πξθάησ ζρέζεηο θη ηδηόηεηεο: ) β f () d f() β β) Η g() f(t) dt, είλη πξγσγίζηκε θη: g () f() d d f(t) dt f() g( ) γ) Η h() f(t) dt, είλη πξγσγίζηκε σο ζύλζεζε πξγσγίζηκσλ θη: h () f g() g () δειδή: d d g( ) f(t) dt f g() g () Φ( ) dh δ) Η h f(t) dt, είλη πξγσγίζηκε σο ζύλζεζε πξγσγίζηκσλ θη γη ηελ εύξεζε ηεο, g( ) d ρξεζηκνπνηείηη ε ζρέζε: Φ() g() Φ() h() f(t) dt f(t) dt f(t) dt f(t) dt g( )
Πξάδεηγκ 6.0 Ν βξεζεί ε πξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο: f() dt t Θεσξείηη ε ζπλάξηεζε: Φ(t) t νξηζκέλε θη ζπλερήο ζην IR. Άξ, ε ζπλάξηεζε P() dt t είλη πξγσγίζηκε ζην IR. Θεσξείηη ε ζπλάξηεζε q(), πξγσγίζηκε ζην IR. Άξ, ε f() P q() είλη πξγσγίζηκε σο ζύλζεζε πξγσγίζηκσλ. f () P P 6 6 Πξάδεηγκ 6. Ν βξεζεί ε πξώηε πξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο: f() sin dt t 4 Η ζπλάξηεζε Φ(t) t 4 νξίδεηη θη είλη ζπλερήο ζην IR.
Άξ, ε ζπλάξηεζε: P() dt t 4, είλη πξγσγίζηκε ζην IR. θη: P () t 4 dt sin dt dt sin dt Είλη: f() 4 4 4 4 t t t t P P sin H Άξ θη νη HPείνι πργωγίσιμη στο IR κι η sin είνι πργωγίσιμες στο IR πξγσγίζηκε ζην IR. P sin, P είλη πξγσγίζηκεο ζην IR, νπόηε θη ε f σο άζξνηζκ πξγσγίζηκσλ είλη f () P P sin sin cos sin 4 4 Πξάδεηγκ 6. Η ζπλάξηεζε f: είλη ζπλερήο ζην,β. Δίλεηη ε ζπλάξηεζε: g() β f t dt (i) Ν πνδεηρζεί όηη: ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλ ρ,β, ώζηε: ρ f(t) dt β ρ f ρ
(ii) Ν πνδεηρζεί όηη: ππάξρεη ξ,ρ, ώζηε: ρ f(ξ) f(ρ) f(ξ) βf(ρ) (i) Αθνύ ε f είλη ζπλερήο ζην,β, ε f(t) dt ρ() είλη πξγσγίζηκε ζην,β, νπόηε ζ είλη θη ζπλερήο ζην,β.,β,β Αθόκε ε β είλη ζπλερήο θη πξγσγίζηκε ζην,β. Άξ ε g σο γηλόκελν ζπλερώλ θη πξγσγίζηκσλ ζην είλη ζπλερήο ζην θη πξγσγίζηκε ζην,β. Αθόκε: g() β f(t) dt 0 g() β g(β) β β f(t) dt 0 g(β) Άξ, ζύκθσλ κε ην ζεώξεκ Rolle, ε έρεη ηνπιάρηζηνλ κί ξίδ ρ,β. g g () f(t) dt β f() ρ g(ρ) 0 f(t) dt ρ β f(ρ) 0 ρ f(t) dt β ρ f(ρ) (ii) Είλη:
ρ f(ξ) f(ρ) f(ξ) βf(ρ) ρf(ξ) f(ξ) β ρ f(ρ) ρ f(ξ) β ρ f(ρ) i ρ f(ξ) f(t) dt ρ Α Άιι ζύκθσλ κε ην ζεώξεκ κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ, γη ην ξ,ρ ώζηε: ρ f(t) dt, ππάξρεη ρ f(t) dt ρ f(ξ) Επνκέλσο, ε πξάζηζε πνπ δεηείηη λ πνδεηρζεί, ηζρύεη.
6.6.6 Εθξκνγέο ηνπ ζεσξήκηνο κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ Οη εθξκνγέο ηνπ ζεσξήκηνο κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ θνξνύλ ζπλήζσο ηελ πόδεημε ληζνηήησλ, ιιά θη ηνλ πξνζδηνξηζκό ζπγθεθξηκέλσλ ελδηάκεζσλ ηηκώλ μ, μ, Η πξώηε πεξίπησζε έρεη ζπδεηεζεί πξπάλσ, ζηηο πξγξάθνπο ησλ ληζνηήησλ. Οξηζκέλ πξδείγκη ηεο δεύηεξεο πεξίπησζεο πξνπζηάδνληη πξθάησ. Πξάδεηγκ 6.,β Δίλεηη ε ζπλάξηεζε f, ζπλερήο ζην. Ν πνδεηρζεί όηη: ππάξρνπλ ξ,ξ,β, ώζηε: β β f() d f(ξ ) 5f(ξ ) 8 Έζησ: β d 8 Η f είλη ζπλερήο ζην ινγηζκνύ, ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλ ξ, d ηέηνην ώζηε: Η f είλη ζπλερήο ζην, d d,β ινγηζκνύ, ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλ ξ d,β ηέηνην ώζηε:, επνκέλσο ζύκθσλ κε ην ζεώξεκ κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξσηηθνύ d f() d d f(ξ ), επνκέλσο ζύκθσλ κε ην ζεώξεκ κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξσηηθνύ β d f() d β d f(ξ ) d β, f() d f() d d f(ξ ) 5 d f(ξ ) d β d f(ξ ) 5f(ξ ) f(ξ ) 5f(ξ ) 8 Πξάδεηγκ 6.4