ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Μέρξη ηώξα όηαλ ζπγθξίλακε κέζεο ηηκέο είρακε λα ζπγθξίλνπκε κηα κέζε ηηκή κε έλα ζηαζεξό αξηζκό ή δύν κέζεο ηηκέο κεηαμύ ηνπο. Πνιιέο θνξέο όκσο ζηελ ζηαηηζηηθή πξέπεη λα ζπγθξίλνπκε πνιιέο κέζεο ηηκέο κεηαμύ ηνπο πνπ πξνέξρνληαη από δηαθνξεηηθά δείγκαηα. Σηελ πεξίπησζε απηή ζα κπνξνύζακε λα θάλνπκε όηη ήδε μέξνπκε δειαδή λα ζπγθξίλνπκε ηηο κέζεο ηηκέο κεηαμύ ηνπο, δειαδή δηαδνρηθά ηελ κηα κεηά ηελ άιιε κέρξη λα εμαληιεζνύλ όινη νη ζπλδπαζκνί. Απηό όκσο όπσο αληηιακβαλόκαζηε είλαη ηδηαίηεξα δύζθνιν, ρξνλνβόξν αιιά θαη ππνθξύπηεη ηνλ θίλδπλν λα γίλνπλ πνιιά ιάζε. Πξάγκαηη όπσο μέξνπκε ζε θάζε έιεγρν ππνζέζεσλ ππάξρνπλ θάπνηα ζθάικαηα εθ ησλ νπνίσλ ην ζπνπδαηόηεξν είλαη ην ζθάικα ηύπνπ I πνπ δειώλεηαη από ηνλ ρξήζηε. Αλ θάλνπκε πνιιαπιέο ζπγθξίζεηο ην ζθάικα ηύπνπ Η ζα πνιιαπιαζηαζηεί ηζάξηζκεο θνξέο όζνη θαη νη επηκέξνπο έιεγρνη κέζσλ ηηκώλ κε ηειηθό απνηέιεζκα παληειώο αλαμηόπηζην. Γη απηνύο ηνπο ιόγνπο ν έιεγρνο πνιιώλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ηνπο γίλεηαη κε εηδηθή δηαδηθαζία ε νπνία νλνκάδεηαη ανάλσζη διακύμανζης ή όπσο είλαη δηεζλώο γλσζηή «ανάλσζη AOVA». Ζ νλνκαζία «αλάιπζε δηαθύκαλζεο» νθείιεηαη ζην γεγνλόο όηη κε ηελ κεζνδνινγία απηή δελ ζπγθξίλνληαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα νη ίδηεο νη κέζεο ηηκέο ησλ δεηγκάησλ αιιά νη δηαθπκάλζεηο ηνπο. Αλ νη δηαθπκάλζεηο ηνπο αιιεινεπηθαιύπηνληαη ηόηε ζεσξνύληαη νη κέζεο ηηκέο ίζεο ή ηνπιάρηζηνλ όρη δηαθνξεηηθέο. Παξαθάησ ζα κειεηήζνπκε δύν πεξηπηώζεηο αλάιπζεο AOVA: ηελ ανάλσζη καηά ένα κριηήριο θαη ηελ ανάλσζη καηά δύο κριηήρια. H επηινγή αλαιύζεσλ AOVA ζην ζηαηηζηηθό παθέην MIIAB 74
Ανάλσζη AOVA καηά ένα κριηήριο Έζησ όηη έρνπκε λα ζπγθξίλνπκε ηηο κέζεο ηηκέο ελόο κεγάινπ αξηζκνύ δεηγκάησλ ηα νπνία ζηελ αλάιπζε AOVA νλνκάδνληαη επιδράζεις. Κάζε επίδξαζε απνηειείηαη από έλα νξηζκέλν αξηζκό παραηηρήζεων έζησ n. Με ζπκβνιίδεηαη ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ επηπέδσλ θαη κε ζπκβνιίδεηαη ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ από όια ηα επίπεδα ( = x n). Με i ζπκβνιίδεηαη ν αύμνληαο αξηζκόο ησλ επηδξάζεσλ θαη κε j ν αύμνληαο αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ. Γηα λα θάλνπκε ηελ αλάιπζε ΑΝΟVA θαηά έλα θξηηήξην πηλαθνπνηνύκε ηηο παξαηεξήζεηο σο αθνινύζσο: πιδράζεις Παραηηρήζεις Αθροίζμαηα 1 11 1 1n 1. 1 n. 1 n. 1 n. Σρεηηθά κε ηνπο ζπκβνιηζκνύο ηνπ πίλαθα ηζρύνπλ ηα αθόινπζα: Ζ παξαηήξεζε π.ρ. είλαη ε δεύηεξε παξαηήξεζε ηεο δεύηεξεο επίδξαζεο θαη π.ρ. ε n είλαη ε ηειεπηαία παξαηήξεζε (n) ηεο ηειεπηαίαο επίδξαζεο (). π.ρ. 1. είλαη ην άζξνηζκα όισλ ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο επίδξαζεο 1 θαη ην π.ρ.. είλαη ην άζξνηζκα όισλ ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο ηειεπηαίαο επίδξαζεο. Ζ ηειεία (.) ρξεζηκνπνηείηαη σο ζύκβνιν κπαιαληέξ θαη ζπκβνιίδεη κηα νπνηαδήπνηε ηηκή. Τν είλαη ην άζξνηζκα όισλ ησλ παξαηεξήζεσλ ηνπ πίλαθα. Ζ κεδεληθή ππόζεζε πνπ ζέινπκε λα απνξξίςνπκε θαζώο θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε είλαη νη αθόινπζεο: H : Όιεο νη κέζεο ηηκέο είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο Ζ 1 : Οη κέζεο ηηκέο δηαθέξνπλ κεηαμύ ηνπο Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηνλ έιεγρν απηώλ ησλ ππνζέζεσλ ζπκβνιίδεηαη ν θαη αθνινπζεί ηελ ιεγόκελε θαηαλνκή ηεο νπνίαο ηα εθαηνζηεκόξηα δίλνληαη ζην ηέινο ησλ ζεκεηώζεσλ. Πξνεγνπκέλσο ζα πξέπεη λα ειεγρζεί αλ νη δηαθπκάλζεηο ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο. Ζ ηζόηεηα ησλ δηαθπκάλζεσλ ηνπο είλαη απαξαίηεηε γηαηί αιιηώο δελ έρεη λόεκα ν έιεγρνο ηεο ηζόηεηαο ησλ κέζσλ ηηκώλ ηνπο. Δπηπιένλ πξηλ ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλάξηεζεο ειέγρνπ πξέπεη λα γίλνπλ κηα ζεηξά από ππνινγηζκνύο νη νπνίεο πεξηιακβάλνπλ ηνλ ππνινγηζκό ηεο θνηλήο δηαθύκαλζεο ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ, ηνλ ππνινγηζκό ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ ζπλνιηθνύ 75
ζθάικαηνο, ηνλ ππνινγηζκό ησλ ζρεηηθώλ βαζκώλ ειεπζεξίαο θαζώο θαη θιάζκαηα κεηαμύ ησλ πξνεγνπκέλσλ. Αξρηθά ζα ππνινγηζηεί ε ζπλνιηθή δηαθύκαλζε ( ) ησλ παξαηεξήζεσλ όισλ ησλ επηδξάζεσλ. Ο ζρεηηθόο ηύπνο είλαη: Ζ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ) είλαη: n j 1 H ζπλνιηθή δηαθύκαλζε ( ) ηζνύληαη κε ην άζξνηζκα ηεο δηαθύκαλζεο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ) κε ηελ δηαθύκαλζε κέζα ζε θάζε επίδξαζε ( ). 1 i. n Γειαδή: Γηα θάζε δηαθύκαλζε ζα ππνινγηζηνύλ θαηάιιεινη βαζκνί ειεπζεξίαο. Σπγθεθξηκέλα: Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: -1 Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: - Οξίδνπκε: θαη 1 Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ είλαη πιένλ έηνηκε λα ππνινγηζηεί ζύκθσλα κε ηελ ζρέζε: Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, Ν-. Σην ηέινο ησλ ζεκεηώζεσλ δίλνληαη ηα εθαηνζηεκόξηα ηεο θαηαλνκήο σο πξνο δηαθνξεηηθέο παξακέηξνπο α, -1 θαη Ν-. Τν -1 ιέγεηαη αξηζκεηήο θαη ην - παξαλνκαζηήο. Απνηειέζκαηα AOVA αλάιπζεο θαηά έλα θξηηήξην από ην πξόγξακκα MIIAB. Surce D P reamen 4 80 70 0,49 0,74 rrr 15 14 14 al 19 414 S = 11,9 R-Sq = 11,0% R-Sq(adj) = 0,00% Individual 95% CIs r Mean Based n Pled SDev Level Mean SDev -+---------+---------+---------+-------- 1 4 8,50 9,98 (------------*-----------) 4 79,5 15,84 (-----------*------------) 4 7,00 1,99 (------------*------------) 4 4 74,00 1,19 (------------*------------) 5 4 7,00 4,4 (------------*------------) -+---------+---------+---------+-------- 0 70 80 90 7
Παράδειγμα 1 Μία ηάμε 0 καζεηώλ ρσξίζηεθε, κε ηπραίν ηξόπν ζε 5 ηκήκαηα κε ηνλ ζθνπό λα κειεηεζεί ε απνηειεζκαηηθόηεηα 5 δηαθνξεηηθώλ κεζόδσλ εθγύκλαζεο ζην αληηθείκελν ηνπ κπάζθεη. Μεηά από εβδνκάδεο νη καζεηέο εμεηάζζεθαλ θαη βαζκνινγήζεθαλ πξνθεηκέλνπ λα θαλεί ε απνδνηηθόηεηα ηεο θάζε κεζόδνπ. Οη βαζκνί δίλνληαη παξαθάησ. Να εμεηαζζεί αλ νη βαζκνί απηνί δίλνπλ θάπνηα έλδεημε ζηαηηζηηθά ζεκαληηθήο δηαθνξάο κεηαμύ ησλ κεζόδσλ δηδαζθαιίαο. Μέζνδνο Α Μέζνδνο Β Μέζνδνο Γ Μέζνδνο Γ Μέζνδνο Δ 9 7 75 89 59 97 77 84 81 4 9 7 80 7 55 85 7 70 75 7 Απάνηηζη. Ζ κεδεληθή ππόζεζε είλαη όηη νη πέληε κέζεο ηηκέο είλαη ίζεο. Σπγθεθξηκέλα: H : κ Α =κ Β = κ Γ =κ Γ = κ Δ Ζ 1 : κ i κ j Οκαδνπνηνύκε ηα απνηειέζκαηα ζύκθσλα κε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Δπιδράζεις Παραηηρήζεις Αθροίζμαηα Mέζνδνο Α 9 97 9 85 7 Μέζνδνο Β 7 77 7 7 9 Μέζνδνο Γ 75 84 80 70 09 Μέζνδνο Γ 89 81 7 75 1 Μέζνδνο Δ 59 4 55 7 45 155 Σηελ ζπλέρεηα βξίζθνπκε ηελ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ). Aξρηθά βξίζθνπκε ην άζξνηζκα 5 4 j 1 9 97 9. n j 1 59 ην νπνίν ηζνύληαη κε: 105 Oπόηε: 5 4 j 1 105 155 0 41 Kαηόπηλ βξίζθνπκε ηελ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ). Αξρηθά 1 ππνινγίδεηαη ην κέγεζνο i. ην νπνίν ηζνύληαη κε: n 4 1 1 1 i. i. 7 9 09 1 45 n 4 4 Oπόηε: 1 n i. 119771 155 0 190 119771 77
Ζ δηαθύκαλζε κέζα ζε θάζε επίπεδν ( ) ηζνύληαη κε: = = 41 190 = 45. Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: -1 = 5 1 = 4 Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: - = 0 5 = 15 Oη κέζεο δηαθπκάλζεηο θαη ηζνύληαη κε: 1 190 5 1 490 45 0 5 0 490 H ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ειέγρνπ είλαη: 1, 0 Τα απνηειέζκαηα ηεο αλάιπζεο AOVA θαηά έλα θξηηήξην ζπλνςίδνληαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα: Αιηία διαζποράς Βαθμοί ελεσθερίας Αναλύζεις διακύμανζης Μέζες διακσμάνζεις Μεηαμύ επηδξάζεσλ () 4 = 190 ΜS = 490 Μέζα ζηελ επίδξαζε () 15 = 45 = 0 Σύλνιν (Τ) 19 = 41 P 0,49 0,74 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, Ν-. Βξίζθνπκε ζηνπο πίλαθεο ησλ εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο ηελ ηηκή 0,05, 4, 15 (επηιέγνπκε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α = 0,05). Ψάρλνπκε ζηνλ πίλαθα 0,95 γηα ηηκή αξηζκεηνύ 4 θαη παξαλνκαζηή 15. Ζ ηηκή πνπ βξίζθνπκε είλαη,0. Αθνύ 1, >,0 ε ηηκή Ζ απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο δελ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο. Ζ απόξξηςε ηεο Ζ ν θαίλεηαη θαη από ην επίπεδν P. Αθνύ P > 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη. 78
Παράδειγμα Τξεηο νκάδεο αζιεηώλ ππνβάιινληαη ζηελ ίδηα δίαηηα. Μεηά από ην πέξαο ηεο δίαηηαο κεηξηέηαη ζε όινπο ηνπο αζιεηέο ε απώιεηα βάξνπο. Οη απώιεηεο βάξνπο ησλ ηξηώλ νκάδσλ αζζελώλ είλαη: Oκάδα Α Οκάδα Β Οκάδα Γ 7 9 10 8 9 10 9 9 1 10 9 1 11 1 14 εξώηεκα είλαη αλ νη ηξεηο νκάδεο αζζελώλ έρνπλ αδπλαηίζεη ην ίδην. Αλ θαη ε νκάδα Γ είλαη θαλεξό όηη έρεη ράζεη πεξηζζόηεξν βάξνο από ηηο άιιεο δύν ζα αθνινπζήζνπκε ηελ δηαδηθαζία AOVA γηα λα απνδείμνπκε όηη νη ηξεηο κέζεο ηηκέο δελ είλαη ίζεο. Απάνηηζη. Ζ κεδεληθή ππόζεζε είλαη όηη νη ηξεηο κέζεο ηηκέο είλαη ίζεο. Σπγθεθξηκέλα: H : κ Α =κ Β = κ Γ Ζ 1 : κ i κ j Οκαδνπνηνύκε ηα απνηειέζκαηα ζύκθσλα κε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Δπιδράζεις Παραηηρήζεις Αθροίζμαηα Oκάδα Α 7 8 9 10 11 45 Οκάδα Β 9 9 9 9 1 48 Οκάδα Γ 10 10 1 1 14 58 151 Σηελ ζπλέρεηα βξίζθνπκε ηελ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ). Aξρηθά βξίζθνπκε ην άζξνηζκα 5 j 1 n j 1 7 8 9 10 11 9. ην νπνίν ηζνύληαη κε: 14 157 Oπόηε: n j 1 157 151 15 4, 9 Kαηόπηλ βξίζθνπκε ηελ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ). Αξρηθά 1 ππνινγίδεηαη ην κέγεζνο i. ην νπνίν ηζνύληαη κε: n 1 1 1 i. i. 45 48 58 n 5 5 158, 79
Oπόηε: 1 n i. 158, 151 15 18, 5 Ζ δηαθύκαλζε κέζα ζε θάζε επίδξαζε ( ) ηζνύληαη κε: = = 4,9 18,5 = 8,40. Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: -1 = 1 = Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: - = 15 = 1 Oη κέζεο δηαθπκάλζεηο θαη ηζνύληαη κε: 1 18, 5 1 9, 7 8, 4 15, 7 9, 7 H ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ειέγρνπ είλαη:, 91, 7 Τα απνηειέζκαηα θάζε αλάιπζεο AOVA ζπλνςίδνληαη ζε πίλαθεο όπσο αθνινύζσο: Αιηία διαζποράς Βαθμοί ελεσθερίας Αναλύζεις διακύμανζης Μέζες διακσμάνζεις Μεηαμύ επηδξάζεσλ (ΤR) = 18,5 =9,7 Μέζα ζην επίδξαζε () 1 = 8,4 =,7 Σύλνιν () 14 = 4,9 P,91 0,049 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, Ν-. Αλαδεηνύκε ζηνπο πίλαθεο ησλ εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο ηελ ηηκή 0,05,, 1 (επηιέγνπκε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α = 0,05). Σπγθεθξηκέλα ςάρλνπκε ζηνλ πίλαθα 0,95 γηα ηηκή αξηζκεηνύ θαη παξαλνκαζηή 1. Ζ ηηκή πνπ βξίζθνπκε είλαη,81. Αθνύ,91,89 ε ηηκή Ζ απνξξίπηεηαη νξηαθά δειαδή νη κέζεο ηηκέο δελ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο. Ζ νξηαθή απόξξηςε ηεο Ζ ν θαίλεηαη θαη από ην επίπεδν P. Όπσο έρεη ήδε εηπσζεί ην επίπεδν P είλαη έλαο ελαιιαθηηθόο ηξόπνο γηα λα απνξξηθζεί ή όρη ε κεδεληθή ππόζεζε. Όηαλ ην P είλαη κηθξόηεξν από 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη. Δδώ ε ηηκή P είλαη αθξηβώο πάλσ ζην όξην. 80
Ανάλσζη AOVA καηά δύο κριηήρια Σηα πξνεγνύκελα παξαδείγκαηα ζπγθξίλακε ηηο κέζεο ηηκέο δηαθόξσλ επηδξάζεσλ ησλ νπνίσλ νη παξαηεξήζεηο είραλ όιεο ηελ ίδηα ζεκαζία. Τη ζα ζπκβεί όκσο αλ νη παξαηεξήζεηο αλήθνπλ κε ηελ ζεηξά ηνπο ζε επηκέξνπο ππννκάδεο; Έζησ π.ρ. όηη ε γξακκαηεία ηνπ ΟΔΔΚ ελδηαθέξεηαη λα πξνκεζεπηεί έλα λέν επεμεξγαζηή θεηκέλνπ. Υπνςήθηα είλαη ηξία δηαθνξεηηθά πξνγξάκκαηα. Πξνθεηκέλνπ λα επηηεπρζεί κηα επηηπρήο επηινγή ζρεδηάδεηαη έλα ηεζη ζην νπνίν κεηξηέηαη ν αξηζκόο εηζαγσγήο ησλ ιέμεσλ αλά ιεπηό. Γηα ηνλ ιόγν απηό επηιέγνληαη έμη δαθηπινγξάθνη θαη θαηαγξάθεηαη ε απόδνζή ηνπο (ιέμεηο αλά ιεπηό) ζηνπο ηξεηο επεμεξγαζηέο. Τν πξνεγνύκελν πξόβιεκα ζα κπνξνύζε λα πξνζεγγηζζεί κε δύν ηξόπνπο. Ο πξώηνο είλαη λα ζπγθξίλνπκε ρσξηζηά ηηο κέζεο ηηκέο απόδνζεο ησλ δαθηπινγξάθσλ θαη ρσξηζηά ηηο κέζεο ηηκέο απόδνζεο ησλ επεμεξγαζηώλ θεηκέλνπ. Ο δεύηεξνο ηξόπνο είλαη λα ζπγθξίλνπκε ηηο κέζεο ηηκέο απόδνζεο ησλ δαθηπινγξάθσλ ιακβάλνληαο όκσο ππόςε ηηο δηαθύκαλζε πνπ νθείιεηαη ζηνπο δηαθνξεηηθνύο επεμεξγαζηέο. Ζ δεύηεξε πξνζέγγηζε είλαη ε πξνηηκόηεξε θαη νλνκάδεηαη αλάιπζε AOVA καηά δύο κριηήρια. Ζ δηαδηθαζία πνπ ζα πεξηγξαθεί εδώ νλνκάδεηαη «ζτεδιαζμός ησταιοποιημένων πλήρων ζτημάηων». Όπσο ππνλνεί θαη ην όλνκα ηεο πξόθεηηαη γηα έλα ζρεδηαζκό όπνπ έρνπκε επιδράζεις ζε θάζε έλα από b ομοιογενή ζηρώμαηα ηα νπνία νλνκάδνληαη cks. H ζηαηηζηηθή αλάιπζε εδώ παίξλεη ππόςε ηεο ηελ παξνπζία ησλ κπινθο θαη ηελ ζπλεηζθνξά ηνπο ζηε ζπλνιηθή δηαζπνξά νπόηε ε δηαζπνξά πνπ ζεσξείηαη όηη πξνέξρεηαη από ηηο επηδξάζεηο θαζνξίδεηαη θαιύηεξα. Όπσο θαη ζηελ αλάιπζε AOVA θαηά έλα θξηηήξην έηζη θαη εδώ νη κέζεο ηηκέο πνπ ζπγθξίλνληαη πξνέξρνληαη από δηαθνξεηηθά επίπεδα. Οη παξαηεξήζεηο όκσο αλά επίπεδν (πιήζνπο n) ππνδηαηξνύληαη ζε κπινθο ηα νπνία δηαηξέρνπλ όια ηα επίπεδα. Τα ζηξώκαηα απηά είλαη όζεο θαη νη παξαηεξήζεηο. Με ζπκβνιίδεηαη ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ από όια ηα επίπεδα ( = x n). Γηα λα θάλνπκε ηελ αλάιπζε ΑΝΟVA θαηά δύν θξηηήξηα πηλαθνπνηνύκε ηηο παξαηεξήζεηο όπσο θαη θαηά έλα θξηηήξην κε ηελ δηαθνξά όηη ππνινγίδνληαη θαη ηα αζξνίζκαηα ησλ ζπρλνηήησλ θάζε κπινθ. πιδράζεις Ομάδες b 1 b b b Αθροίζμαηα 1 11 1 Y 1b 1. 1 Y b. 1 b. 1 b..1..b 81
Oη ηύπνη πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ πεξηιακβάλνπλ ηελ γλσζηή δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ) θαζώο θαη ηελ ζπλνιηθή δηαθύκαλζε ( ) ε νπνία είλαη ην άζξνηζκα όισλ ησλ ππνινίπσλ. Ο ηύπνο ηεο ζπλνιηθήο δηαθύκαλζεο είλαη: Ζ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: b j 1 1 i. b Θα πξνζηεζεί όκσο κηα θαηλνύξηα δηαθύκαλζε ε νπνία είλαη ε δηαθύκαλζε κέζα ζηηο νκάδεο ( ). b 1 O ηύπνο ηεο είλαη:. j H ζπλνιηθή δηαθύκαλζε ( ) ηζνύληαη κε ην άζξνηζκα ηεο δηαθύκαλζεο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ), ηεο δηαθύκαλζεο κέζα ζηα κπινθο ( ) θαη ηεο δηαθύκαλζεο κέζα ζε θάζε επίδξαζε ( ). Γειαδή: Γηα θάζε δηαθύκαλζε ζα ππνινγηζηνύλ θαηάιιεινη βαζκνί ειεπζεξίαο. Σπγθεθξηκέλα: Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: -1 Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: (-1) (b-1) Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: b-1 Οξίδνπκε: θαη 1 ( 1)( b 1) Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ είλαη πιένλ έηνηκε λα ππνινγηζηεί ζύκθσλα κε ηελ ζρέζε: Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, (-1) (b-1). Σην ηέινο ησλ ζεκεηώζεσλ δίλνληαη ηα εθαηνζηεκόξηα ηεο θαηαλνκήο σο πξνο ηηο παξακέηξνπο α, -1 (αξηζκεηήο) θαη (-1)(b-1) (παξνλνκαζηήο). H ζπλάξηεζε ειέγρνπ πνπ κόιηο πεξηγξάςακε ζπγθξίλεη ηηο κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ. Αλ ζέιακε λα ζπγθξίλνπκε ηηο κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ νκάδσλ ζα έπξεπε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ζρέζε: όπνπ: b 1 8
Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, b-1, (-1) (b-1). b-1 είλαη ν αξηζκεηήο θαη ην (-1)(b-1) είλαη ν παξνλνκαζηήο ζην πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο. Παξόια απηά επεηδή κηα ηέηνηα δνθηκαζία δελ ζα είρε κεγάιε ηζρύ είλαη πξνηηκόηεξν λα αληηζηξέςνπκε ηα δεδνκέλα θαη λα βάινπκε ηηο νκάδεο ζηελ ζέζε ησλ επηδξάζεσλ θαη λα επαλαιάβνπκε όινπο ηνπο ππνινγηζκνύο. Παράδειγμα. Έμη δαθηπινγξάθνη πιεθηξνινγνύλ ζε ηξεηο δηαθνξεηηθνύο επεμεξγαζηέο θεηκέλνπ επί κία ώξα. Εεηείηαη λα ππνινγηζηεί αλ νη κέζεο ηηκέο ησλ ιέμεσλ αλά ιεπηό πνπ πιεθηξνιόγεζαλ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο ιακβάλνληαο ππόςε ηελ δηαθνξεηηθή κάξθα επεμεξγαζηή όπνπ έγηλαλ νη κεηξήζεηο. α απνηειέζκαηα είλαη ηα αθόινπζα: Γαθηπινγξάθνο Μάξθα επεμεξγαζηή Α Β Γ 1 4 45 45 7 40 5 5 55 4 8 7 75 5 48 45 47 9 40 Φηηάρλνπκε αξρηθά ηνλ γλσζηό πίλαθα AOVA. Δπιδράζεις Βlcks Α Β Γ Αθροίζμαηα 1 4 45 45 1 7 40 11 5 5 55 14 4 8 7 75 1 5 48 45 47 140 9 40 115 Αθροίζμαηα 84 94 0 880 Ο ηύπνο ηεο ζπλνιηθήο δηαθύκαλζεο είλαη: b j 1 j 1 4 45. 9 40 4558 Καη j 1 4558 880 18 Ζ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: 559, 78 1 i. b 1 1 i. ( 1 11 14 1 140 115 ) 455 8
1 i. 455 880 18 501 H δηαθύκαλζε κέζα ζην κπινθ είλαη: 1 1. j ( 84 94 0 ) 4049 b 1. j 1. j 4049 880 18 7 Γηα λα βξνύκε ηελ δηαθύκαλζε κέζα ζηηο επηδξάζεηο ( ) ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Γειαδή: 559 501 7 1 Oη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: Γηα ην : -1 = -1 = 5 Γηα ην : (-1) (b-1) = ( - 1) ( 1) = 10 Γηα ην : b-1 = 1 = 1 501 5 500, ( 1)( b 1) 1 10 1, b 1 7 15, Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: H : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο H 1 : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ δελ είλαη ίζεο 500 1, 10 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, (-1) (b-1). Τν α, -1, (-1) (b-1) είλαη 0,05, -1, (-1) (-1) ή 0,05, 5, 10. Από ηνλ πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο βξίζθνπκε όηη ε 0,05, 5, 10 ηζνύληαη κε,. 84
Αθνύ 10 >, ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο ησλ επηδξάζεσλ δελ είλαη ίζεο. Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ κπινθο είλαη: H : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ κπινθο είλαη ίζεο H 1 : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ κπινθο δελ είλαη ίζεο 1, 5 1, 4, 5 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, b-1, (-1) (b-1). Τν α, b-1, (- 1) (b-1) είλαη 0,05,, 10. Από ηνλ πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο βξίζθνπκε όηη ε 0,05, 5, 10 ηζνύληαη κε 4,1. Αθνύ 4,5 > 4,1 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη (έζησ θαη νξηαθά) θαη θαηά ζπλέπεηα νη κέζεο ηηκέο ησλ κπινθο δελ είλαη ίζεο. Τα απνηειέζκαηα ηεο AOVA αλάιπζεο θαηά δύν θξηηήξηα ζπλνςίδνληαη ζε εηδηθνύο πίλαθεο όπσο αθνινύζσο: Βαθμοί Αναλύζεις Μέζες Αιηία διαζποράς ελεσθερίας διακύμανζης διακσμάνζεις P Μεηαμύ επηδξάζεσλ () = 5, ΜS =, Μέζα ην κπινθ () 4 = 17,7 ΜS = 579,4 0, 0,5 Μέζα ζηελ επίδξαζε () 8 =,47 = 4,1 18,5 0,00 Σύλνιν (Τ) 14 = 5,4 O πξνεγνύκελνο πίλαθαο δείρλεη ηελ κεγάιε ζεκαζία ηνπ επηπέδνπ P ζηελ αμηνιόγεζε ελόο ζηαηηζηηθνύ ειέγρνπ. Δδώ ε ηηκή P = 0,5 δίλεη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ηεο ηπρόλ ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ. Αθνύ P > 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε δελ απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο. Αληίζεηα ε ηηκή P 0 δείρλεη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ηεο ηζόηεηαο ησλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ησλ κπινθ. Αθνύ P < 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο ησλ κπινθ δελ είλαη ίζεο. 85
Παράδειγμα 4. Σηηο Ζλσκέλεο Πνιηηείαο ηεο Ακεξηθήο ε Δζληθή Οκνζπνλδία Καιαζνζθαίξηζεο (BA) θάλεη κηα κειέηε γηα λα ζπγθξίλεη ηελ απόδνζε ησλ νκάδσλ πνπ ζπγθξνηνύλ ηελ Αλαηνιηθή, Κεληξηθή θαη Γπηηθή πεξηθέξεηα ηνπ πξσηαζιήκαηνο. Γηα ηνλ ζθνπό απηό ζπγθξίλνπλ ηελ κέζε επίζεζε πνπ είραλ 5 νκάδεο θάζε πεξηθέξεηαο πνπ βξίζθνληαλ ζηελ ίδηα ζέζε ηνπ βαζκνινγηθνύ πίλαθα. α απνηειέζκαηα ήηαλ ηα αθόινπζα: Περιθέρεια 1 η ομάδα η ομάδα η ομάδα 4 η ομάδα 5 η ομάδα Αναηολική 98 84 78 74 Κενηρική 101 8 7 7 4 Γσηική 99 87 7 7 Γηα ηελ αλάιπζε AOVA δύν θξηηεξίσλ ζα ρξεηαζηεί ε εμήο κεηαηξνπή ηνπ πίλαθα. Blcks Δπιδράζεις 1 4 5 Αθροίζμαηα 1 98 84 78 74 97 101 8 7 7 4 99 99 87 7 7 9 Αθροίζμαηα 98 57 0 1 190 1188 Ο ηύπνο ηεο ζπλνιηθήο δηαθύκαλζεο είλαη: b j 1 5 j 1 98 84. 7 944 Καη 5 j 1 944 1188 15 Ζ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: 5 1 i. b 1 1 i. ( 97 99 9 5 5 ) 1584 1 i. 1584 1188 15 H δηαθύκαλζε κέζα ζην κπινθ είλαη: 5, b 1. j 5 1 1. j ( 98 57 0 1 190 ) 9407 1 5. j 9407 1188 15 17 8
Γηα λα βξνύκε ηελ δηαθύκαλζε κέζα ζηηο επηδξάζεηο ( ) ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Γειαδή: 5 5, 17, 47 Oη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: Γηα ην : -1 = -1 = Γηα ην : (-1) (b-1) = ( - 1) (5 1) = 8 Γηα ην : b-1 = 5 1 = 4 1 5,, ( 1)( b 1), 47 8 418, b 1 17 4 579 Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: H : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο H 1 : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ δελ είλαη ίζεο 5, 418, 14, Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, (-1) (b-1). Τν α, -1, (-1) (b-1) είλαη 0,05, -1, (-1) (5-1) ή 0,05,, 8. Από ηνλ πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο βξίζθνπκε όηη ε 0,05,, 8 ηζνύληαη κε 4,4. Αθνύ 1,4 < 4,4 ε κεδεληθή ππόζεζε δελ απνξξίπηεηαη. Ζ παξαηεξνύκελε αληζόηεηα κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ είλαη ηπραία ή πην πξαθηηθά νη κέζεο ηηκέο ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο. Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ κπινθο είλαη: H : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ κπινθο είλαη ίζεο H 1 : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ κπινθο δελ είλαη ίζεο 17, 47 9, 87
Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, b-1, (-1) (b-1). Τν α, b-1, (- 1) (b-1) είλαη 0,05, 4, 8. Από ηνλ πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο βξίζθνπκε όηη ε 0,05, 4, 8 ηζνύληαη κε,84. Αθνύ 9 >,84 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη (έζησ θαη νξηαθά) θαη θαηά ζπλέπεηα νη κέζεο ηηκέο ησλ κπινθο δελ είλαη ίζεο. Τα απνηειέζκαηα ηεο AOVA αλάιπζεο θαηά δύν θξηηήξηα ζπλνςίδνληαη ζε εηδηθνύο πίλαθεο όπσο αθνινύζσο: Βαθμοί Αναλύζεις Μέζες Αιηία διαζποράς ελεσθερίας διακύμανζης διακσμάνζεις P Μεηαμύ επηδξάζεσλ () = 5, ΜS =, 1,4 0,5 Μέζα ην κπινθ () 4 = 17,7 ΜS = 579,4 9, 0,00 Μέζα ζηελ επίδξαζε () 8 =,47 = 4,8 Σύλνιν (Τ) 14 = 5,4 O πξνεγνύκελνο πίλαθαο δείρλεη ηελ κεγάιε ζεκαζία ηνπ επηπέδνπ P ζηελ αμηνιόγεζε ελόο ζηαηηζηηθνύ ειέγρνπ. Δδώ ε ηηκή P = 0,5 δίλεη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ηεο ηπρόλ ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ. Αθνύ P > 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε δελ απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο. Αληίζεηα ε ηηκή P 0 δείρλεη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ηεο ηζόηεηαο ησλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ησλ κπινθ. Αθνύ P < 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο ησλ κπινθ δελ είλαη ίζεο. 88
requenc Residual Percen Residual Σηαηηζηηθή γηα Πξνπνλεηέο Αζιεκάησλ Μέξνο Β Έλεγτος ηης εγκσρόηηηας ηης AOVA ανάλσζης Ζ AOVA αλάιπζε δελ είλαη απιά θάπνηεο καζεκαηηθέο πξάμεηο θαη αληηθαηάζηαζε ηύπσλ. Αληηζέησο νη αλαιύζεηο AOVA ζα πξέπεη λα ηεξνύλ κηα ζεηξά από πξνϋπνζέζεηο γηα λα είλαη έγθπξεο. Πρώηη προϋπόθεζη. Ζ κεηαβιεηή πνπ κειεηάκε πξέπεη λα αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Απηό ειέγρεηαη κε εηδηθά es. Γεύηερη προϋπόθεζη. Οη δηαθπκάλζεηο ησλ επηδξάζεσλ πξέπεη λα είλαη ίζεο ή ζρεδόλ ίζεο. Ζ ηζόηεηα απηή ειέγρεηαη επίζεο κε εηδηθά es θαη δηαγξάκκαηα. Τρίηη προϋπόθεζη. Τα ιεγόκελα «καηάλοιπα» πξέπεη λα αθνινπζνύλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Ο όξνο θαηάινηπα αλαθέξεηαη ζηα ιάζε πνπ γίλνληαη ζηηο κεηξήζεηο. Σηελ αλάιπζε AOVA ηα θαηάινηπα (ζπκβνιίδνληαη σο e) είλαη ε δηαθνξά πνπ παξνπζηάδεη θάζε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο πνπ κειεηάκε από ηελ ηηκή πνπ ζα είρε αλ αθνινπζνύζε πιήξσο ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Ο έιεγρνο ησλ θαηαινίπσλ γίλεηαη κε κηα ζεηξά δηαγξακκάησλ ηα νπνία είλαη ηα αθόινπζα: Residual Pls fr reamen 99 rmal Prbabili Pl f he Residuals Residuals Versus he ied Values 90 50 0 10-1 -4-0 Residual 4-4 0 70 80 ied Value 90 100 Hisgram f he Residuals Residuals Versus he Order f he Daa,0 4,5,0 0 1,5-0,0 - - -1 0 1 Residual -4 1 4 5 7 8 9 10 11 Observ ain Order 1 1 14 15 Τα θαηάινηπα (residuals) πξέπεη λα αθνινπζνύλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή πξάγκα πνπ θαίλεηαη ζηα δύν αξηζηεξά δηαγξάκκαηα. Σπγθεθξηκέλα ην πάλσ αξηζηεξό δηάγξακκα (rmal prbabili pls f residuals) ειέγρεη ηελ θαλνληθόηεηα. Σύκθσλα κε απηό όηαλ νη ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο πνπ ειέγρνπκε είλαη πάλσ ζηελ δηαγώλην ηόηε ε θαηαλνκή είλαη θαλνληθή. Τν ίδην αθξηβώο θαίλεηαη θαη ζην ηζηόγξακκα από θάησ (Hisgram f residuals). Σε απηό ε θαηαλνκή ησλ θαηαινίπσλ αθνινπζεί ην ραξαθηεξηζηηθό ζρήκα ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο. Τέηαρηη προϋπόθεζη α θαηάινηπα πξέπεη λα αθνινπζνύλ θαλνληθή θαηαλνκή ηεο κνξθήο Ν~(0, ζ ) δειαδή λα έρνπλ κέζε ηηκή κεδέλ θαη ζηαζεξή δηαθύκαλζε (ζπκβνιίδεηαη γεληθά σο ζ ). Απηό θαίλεηαη ζην πάλσ δεμηό δηάγξακκα 89
(Residuals versus he fied values). Σην δηάγξακκα απηό νη ηηκέο ησλ θαηαινίπσλ θαηαλέκνληαη νκνηόκνξθα κε νκνηόκνξθε δηαζπνξά (ζηαζεξή ηππηθή απόθιηζε). Παξόκνηα ζεκαζία έρεη ην θάησ δεμηό δηάγξακκα (Residuals versus he rder f he daa). Σην δηάγξακκα απηό θαίλεηαη όηη ηα θαηάινηπα δελ παξνπζηάδνπλ θάπνηα ζπζηεκαηηθή ζπκπεξηθνξά δειαδή θαηαλέκνληαη πάλσ θαη θάησ από ηελ κέζε ηηκή ρσξίο λα πεξηνξίδνληαη ζε κηα ζπγθεθξηκέλε πεξηνρή ηνπ δηαγξάκκαηνο (π.ρ. πην πνιιά ζεκεία πάλσ από ηελ κέζε ηηκή). Παξαθάησ δίλεηαη ην θείκελν απάληεζεο ηεο AOVA w wa (Αλάιπζεο δηαθύκαλζεο θαηά δύν θξηηήξηα) όπσο πξνθύπηεη από ην ζηαηηζηηθό παθέην Miniab. Σπγθεθξηκέλα: Ο πίλαθαο απνηειεζκάησλ AOVA w wa Surce D P reamen 5 501,11 500, 158,5 0,000 Blck 7,11 1,55 4,0 0,045 rrr 10 1,5,15 al 17 559,78 Παξαθάησ δίλεηαη ε ηηκή ηεο ηππηθήο απόθιηζεο (S) ε νπνία θπζηθά είλαη ίδηα γηα όια ηα επίπεδα. Δπηπιένλ δίλεηαη ε ηηκή ηνπ ιεγόκελνπ ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνύ (ζπκβνιίδεηαη r θαη γξάθεηαη σο R-sq) πνπ δείρλεη ηελ βεβαηόηεηα κε ηελ νπνία κπνξνύκε λα δερηνύκε ηα πξνεγνύκελα απνηειέζκαηα. Αλώηεξε ηηκή ηνπ r είλαη ην 100%. Καηά ζπλέπεηα εδώ ηα απνηειέζκαηα είλαη ηθαλνπνηεηηθόηαηα αθνύ ην r είλαη 98,77%. Τν R-Sq(adj) είλαη κηα θαιύηεξε πξνζαξκνγή ηνπ r θαη ζπκβνιίδεηαη σο r adj. S = 1,77 R-Sq = 98,77% R-Sq(adj) = 97,90% Αθνινπζνύλ νη ζπγθξίζεηο ησλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ νη νπνίεο είλαη θαλεξό όηη δηαθέξνπλ πνιύ κεηαμύ ηνπο. Individual 95% CIs r Mean Based n Pled SDev reamen Mean -----+---------+---------+---------+---- 1 44,0000 (-*-) 7,7 (--*-) 54,7 (--*-) 4 7,0000 (-*-) 5 4,7 (--*-) 8, (-*--) -----+---------+---------+---------+---- 40 50 0 70 Παξαθάησ δίλνληαη νη ζπγθξίζεηο ησλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ησλ κπινθο. Δίλαη θαλεξό όηη κπνξεί κελ νη κέζεο ηηκέο λα δηαθέξνπλ κεηαμύ ηνπο νη δηαθπκάλζεηο ηνπο όκσο αιιεινεπηθαιύπηνληαη θαη θαηά ζπλέπεηα δελ κπνξνύλ λα ζεσξεζνύλ όηη δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο. Individual 95% CIs r Mean Based n Pled SDev Blck Mean ----+---------+---------+---------+----- 1 47, (---------*---------) 49,0000 (---------*---------) 50, (----------*---------) ----+---------+---------+---------+----- 4,4 48,0 49, 51, 90