ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙ: ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΣΤΑ ΤΕΙ (ΕΕΟΤ)» ΥΠΟΕΡΓΟ 4: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΝΕΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ, ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΖΩΝΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ UMTS ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Δρ. ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ Π. ΤΣΙΤΣΟΣ Πακέτο εργασίας 1 (Π.Ε.1): «Ανάλυση κεραμικών μικροκυματικών φίλτρων με μεθόδους υπολογιστικού ηλεκτρομαγνητισμού, σύγκριση με πειραματικά αποτελέσματα και ανάπτυξη μεθόδου για την εξαγωγή των παραμέτρων ισοδύναμων κυκλωμάτων ακριβείας.» ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΟΔΟΥ ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ: (Χρονική περίοδος: 1/7/05 30/9/05) «Ανάλυση μικροκυματικών φίλτρων με το λογισμικό HFSS και σύγκριση με πειραματικά δεδομένα»
1. Εισαγωγή Οι ηλεκτρομαγνητικοί προσομοιωτές χρησιμοποιούνται ευρύτατα στις μέρες μας από τη βιομηχανία, για την ανάλυση, το σχεδιασμό και την πρόβλεψη της απόδοσης διαφόρων μικροκυματικών στοιχείων και συστημάτων [1-5]. Οι προσομοιωτές αυτοί χρησιμοποιούν εμπεριστατωμένες υπολογιστικές τεχνικές, όπως η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών, η μέθοδος πίνακα γραμμής μεταφοράς, η μέθοδος των ροπών κλπ. [6-15]. Από τα διάφορα προγράμματα ηλεκτρομαγνητικής προσομοίωσης, το πιο ευρύτατα διαδεδομένο είναι το HFSS (High Frequency Structure Simulator), το οποίο έχει γίνει πλέον «σήμα κατατεθέν» της Μικροκυματικής Βιομηχανίας [16]. Παρά την τεράστια υπολογιστική ισχύ αυτών των προσομοιωτών, συμβαίνει αρκετά συχνά η πραγματική απόδοση ενός μικροκυματικού στοιχείου να αποκλίνει από αυτήν που προβλέπεται από τον προσομοιωτή. Το πρόβλημα αυτό οδηγεί στον επανα-σχεδιασμό και στην επανα-προσομοίωση, γεγονός που αυξάνει σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για να παραχθεί το συγκεκριμένο προϊόν. Στην παρούσα αναφορά αναλύονται, με το λογισμικό HFSS, δύο τύποι μικροκυματικών φίλτρων που χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε συσκευές κινητής τηλεφωνίας και λειτουργούν με βάση τα πρότυπα GSM (Global System Mobile) [17] και PCS (Personal Cordless System) [18]. Το πρότυπο GSM χρησιμοποιείται κυρίως στην Ευρώπη, ενώ το πρότυπο PCS χρησιμοποιείται στην Ιαπωνία. Τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης συγκρίνονται με πειραματικά δεδομένα και γίνεται διερεύνηση των αιτίων, όσον αφορά πιθανή απόκλιση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης και μετρήσεων. Επίσης εφαρμόζονται τεχνικές ανάλυσης για την ελαχιστοποίηση αυτών των διαφορών. 2. Το λογισμικό HFSS (High Frequency Structure Simulator) Το λογισμικό HFSS χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της ηλεκτρομαγνητικής συμπεριφοράς μιας δισδιάστατης ή τρισδιάστατης δομής, η οποία λειτουργεί συνήθως σε μικροκυματικές συχνότητες. Συγκεκριμένα μπορεί να υπολογίσει τις ακόλουθες παραμέτρους [16]: Ηλεκτρομαγνητικά πεδία σε μία κλειστή δομή, καθώς και ακτινοβολούμενα κοντινά και μακρινά πεδία σε μία ανοιχτή δομή. Χαρακτηριστικές αντιστάσεις στις θύρες εισόδου και εξόδου μιας δομής και σταθερές διάδοσης.
Γενικευμένες παραμέτρους σκέδασης (S-παραμέτρους), καθώς και παραμέτρους σκέδασης που είναι κανονικοποιημένες σε καθορισμένες χαρακτηριστικές αντιστάσεις των θυρών εισόδου-εξόδου. Ρυθμούς διάδοσης ή συχνότητες συντονισμού μιας δομής. Ο χρήστης αρχικά θα πρέπει να σχεδιάσει τη δομή που πρόκειται να αναλυθεί, να καθορίσει τα χαρακτηριστικά των υλικών που αποτελούν τη συγκεκριμένη δομή, να καθορίσει τις θύρες εισόδου-εξόδου και τα ειδικά χαρακτηριστικά των επιφανειών της δομής. Για να παράγει τη λύση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, το HFSS χρησιμοποιεί τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (finite element method) [19-20]. Κατά τη μέθοδο αυτή, ο χώρος της δομής που εξετάζεται, διαιρείται σε χιλιάδες μικρότερες περιοχές και το πεδίο αναπαρίσταται σε κάθε υπο-περιοχή (πεπερασμένο στοιχείο), με μία τοπική συνάρτηση. Το κάθε πεπερασμένο στοιχείο είναι ένα τετράεδρο και συγκεκριμένα μία πυραμίδα τεσσάρων πλευρών. Το σύνολο των τετραέδρων αναφέρεται ως πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μπορεί να υπολογιστεί στις κορυφές κάθε τετραέδρου από τη λύση των εξισώσεων του Maxwell. Συγκεκριμένα, το ηλεκτρικό πεδίο, μπορεί να υπολογιστεί από την ακόλουθη εξίσωση [16]: y) 1 2 E(x, y) k 0 re(x, r 0 (1) όπου: E(x,y) είναι το διάνυσμα που παριστάνει ένα ταλαντούμενο ηλεκτρικό πεδίο. k 0 είναι ο κυματικός αριθμός στον ελεύθερο χώρο. ω=2πf είναι η γωνιακή συχνότητα. μ r (x,y) είναι η μιγαδική σχετική μαγνητική διαπερατότητα. ε r (x,y) είναι η μιγαδική σχετική ηλεκτρική διαπερατότητα. (Αντίστοιχη είναι η εξίσωση για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου Η). Το ηλεκτρικό πεδίο το οποίο προκαλεί τη διέγερση σε μία θύρα εισόδου της δομής που εξετάζεται δίνεται από τη σχέση [16]: όπου: ( j t z ) e E ( x, y, z, t ) Re E(x, y) (2) Re είναι το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού ή μιας μιγαδικής συνάρτησης.
E(x,y) είναι η διανυσματική ποσότητα του ηλεκτρικού πεδίου. γ=α+jβ είναι η σύνθετη σταθερά διάδοσης, όπου α είναι η σταθερά εξασθένισης του κύματος και β η σταθερά διάδοσης, που σχετίζεται με το κύμα το οποίο καθορίζει σε μία δεδομένη χρονική στιγμή t, τον τρόπο με τον οποίο η γωνία φάσης μεταβάλλεται με το z. j 2 =-1 είναι η φανταστική μονάδα. Η τιμές των διανυσμάτων του ηλεκτρικού Ε και του μαγνητικού πεδίου Η στα σημεία εντός του πεπερασμένου στοιχείου (τετραέδρου) υπολογίζονται από τη μαθηματική παρεμβολή των τιμών των διανυσμάτων στις κορυφές του τετραέδρου. Σε κάθε κορυφή του τετραέδρου το HFSS αποθηκεύει τις συνιστώσες του πεδίου οι οποίες είναι εφαπτομενικές στις τρεις πλευρές του τετραέδρου. Επιπλέον, το HFSS μπορεί να αποθηκεύσει τις τιμές της συνιστώσας του πεδίου στα σημεία που βρίσκονται στο μέσον των ακμών του τετραέδρου. Η συνιστώσα αυτή είναι εφαπτομενική στην πλευρά και κάθετη στην ακμή του τετραέδρου (σχήμα 1) [16]. Το πεδίο εντός του τετραέδρου υπολογίζεται από τη μαθηματική παρεμβολή των τιμών του πεδίου στις κορυφές του (κομβικές τιμές). Αναπαριστώντας τις ποσότητες του πεδίου κατ αυτόν τον τρόπο, το HFSS μετασχηματίζει τις εξισώσεις του Maxwell σε εξισώσεις πινάκων, οι οποίες λύνονται με γνωστές αριθμητικές μεθόδους. Σχήμα 1: Αναπαράσταση των συνιστωσών του πεδίου σε ένα στοιχείο (τετράεδρο) του πλέγματος. Για την εφαρμογή της μαθηματικής παρεμβολής των τιμών του πεδίου χρησιμοποιούνται διάφορες συναρτήσεις βάσεως: Μία συνάρτηση βάσεως 1 ης τάξης εκτελεί παρεμβολή των τιμών του πεδίου τόσο από τις τιμές του πεδίου στις κορυφές του τετραέδρου όσο και από τις τιμές
του πεδίου στις πλευρές του τετραέδρου. Μία συνάρτηση βάσεως μηδενικής τάξης εκτελεί παρεμβολή των τιμών του πεδίου μόνο από τις κομβικές τιμές του πεδίου στις κορυφές του τετραέδρου και επομένως θεωρεί ότι το πεδίο μεταβάλλεται γραμμικά εντός του τετραέδρου. Για τον υπολογισμό των παραμέτρων σκέδασης (S-παραμέτρων) της δομής που εξετάζεται, το HFSS εκτελεί τα ακόλουθα βήματα [16]: Διαιρεί τη δομή σε ένα πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων. Υπολογίζει τους ρυθμούς διάδοσης σε κάθε θύρα εισόδου-εξόδου της δομής, οι οποίοι υποστηρίζονται από μία γραμμή μεταφοράς που έχει την ίδια εγκάρσια τομή με τη θύρα. Υπολογίζει τη μορφή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου εντός της δομής, υποθέτοντας ότι διεγείρεται ένας ρυθμός διάδοσης κάθε φορά. Υπολογίζει τον γενικευμένο πίνακα S-παραμέτρων από το ποσό της ισχύος που ανακλάται και διαδίδεται στη δομή. Το πλήθος των πεπερασμένων στοιχείων (πλέγμα) που χρησιμοποιείται για τη λύση ενός προβλήματος, θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο ώστε να επιτυγχάνεται μία ακριβής λύση, όχι όμως υπερβολικά μεγάλο, γιατί τότε ο χρόνος που απαιτείται για τη λύση του προβλήματος θα είναι απαγορευτικός. Για να παράγει το βέλτιστο πλέγμα, το HFSS χρησιμοποιεί μία επαναληπτική διαδικασία (iterative process) που ονομάζεται προσαρμοστική ανάλυση (adaptive solution). Σε κάθε επανάληψη (adaptive pass), το μέγεθος του πλέγματος αυξάνει αυτόματα σε «κρίσιμες» περιοχές της δομής και χρησιμοποιείται από το πρόγραμμα η παράμετρος maximum delta S per pass [max(δs)]. Η παράμετρος αυτή είναι το διανυσματικό άθροισμα της μεταβολής των S-παραμέτρων από τη μία επανάληψη στην επόμενη. Αν η μεταβολή αυτή είναι μικρότερη από αυτήν που έχει καθορίσει ο χρήστης, τότε η ανάλυση του προβλήματος σταματά. Διαφορετικά συνεχίζεται, μέχρι να συμπληρωθεί ο απαιτούμενος αριθμός επαναλήψεων (που επίσης καθορίζεται από τον χρήστη) [16]. 2. Ανάλυση μικροκυματικού φίλτρου τύπου GSM 2.1 Προσομοίωση πλήρους δομής Στο σχήμα 2 παριστάνονται η κάτοψη και η πλάγια όψη ενός μικροκυματικού ζωνοπερατού φίλτρου τύπου GSM (Global system mobile), το οποίο χρησιμοποιείται σε συσκευές κινητής τηλεφωνίας και συγκεκριμένα στη ζώνη λήψης, η οποία έχει καθοριστεί μεταξύ 925 και 965 MHz. Το φίλτρο αυτό έχει κατασκευαστεί από την TDK Corporation, Japan [17].
(α) Σχήμα 2: (α) Κάτοψη (β) Πλάγια όψη μικροκυματικού ζωνοπερατού φίλτρου τύπου GSM. (Όλες οι διαστάσεις είναι σε mm). (β)
Με βάση τα δεδομένα του σχήματος 2 σχεδιάστηκε και αναλύθηκε στο HFSS το μοντέλο που παριστάνεται στο σχήμα 3. Αυτό αποτελείται από τρεις συζευγμένους συντονιστές (resonators) μήκους λ/4 (όπου λ το μήκος κύματος στην κεντρική συχνότητα της ζώνης διέλευσης του φίλτρου), οι οποίοι στο πάνω μέρος τους φέρουν μεταλλικά «κύπελλα» (cups), τα οποία καθορίζουν τις χωρητικότητες σύζευξης μεταξύ των συντονιστών και τις χωρητικότητες φορτίου μεταξύ συντονιστών και μεταλλικού περιβλήματος του φίλτρου. Το τμήμα αέρα που εμφανίζεται στην κορυφή του φίλτρου, χρησιμοποιήθηκε κατά την προσομοίωση για να αποτρέψει την ακτινοβολία της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας. Το κεραμικό υλικό μέσα στο οποίο τοποθετούνται οι συντονιστές έχει διηλεκτρική σταθερά ε r =92 και διηλεκτρικές απώλειες που δίνονται από την παράμετρο tanδ=0,0007. Το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένοι οι συντονιστές, τα μεταλλικά κύπελλα και το περίβλημα του φίλτρου, είναι ένα κράμα αργύρου (silver paste) με αγωγιμότητα 5,219 10 7 Siemens/m. Αρχικά το μοντέλο αναλύθηκε υποθέτοντας άπειρη αγωγιμότητα για το κράμα αργύρου, δηλαδή χωρίς ωμικές απώλειες. Οι μετρήσεις πραγματοποιήθηκαν με τον αναλυτή μικροκυματικών δικτύων 8510 της Hewlett-Packard [21] και με τη χρήση κατάλληλης συσκευής μετρήσεων κεραμικών φίλτρων της TDK Corporation [18], η οποία βαθμονομήθηκε με κατάλληλα πρότυπα φορτία ομοαξονικών γραμμών μεταφοράς. Η σύγκλιση της παραμέτρου max(δs) ως συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων παριστάνεται στο σχήμα 4.
Σχήμα 3: Μοντέλο κεραμικού ζωνοπερατού φίλτρου GSM για την προσομοίωση στο HFSS.
Σχήμα 4: Σύγκλιση της παραμέτρου max(δs) ως συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων. Στο σχήμα 5 παριστάνεται η γραφική παράσταση της μεταβολής των απωλειών επιστροφής στη θύρα εισόδου (παράμετρος σκέδασης S 11 ), ως συνάρτηση της συχνότητας. Αντίστοιχα στο σχήμα 6 παριστάνεται η γραφική παράσταση της μεταβολής των απωλειών παρεμβολής από τη θύρα εισόδου 1 προς τη θύρα εξόδου 2 (παράμετρος σκέδασης S 21 ), ως συνάρτηση της συχνότητας. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι λόγω της συμμετρίας της δομής του φίλτρου, οι απώλειες επιστροφής στη θύρα εξόδου (παράμετρος σκέδασης S 22 ), είναι ίσες με τις απώλειες επιστροφής στη θύρα εισόδου (παράμετρος σκέδασης S 11 ). Παρόμοια, οι απώλειες παρεμβολής από τη θύρα εξόδου 2 προς τη θύρα εισόδου 1 (παράμετρος σκέδασης S 12 ), είναι ίσες με τις απώλειες παρεμβολής από τη θύρα εισόδου 1 προς τη θύρα εξόδου 2 (παράμετρος σκέδασης S 21 ). Δηλαδή ισχύει S 11 =S 22 και S 21 =S 12 και συνεπώς οποιαδήποτε από τις δύο θύρες του φίλτρου μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε ως είσοδος είτε ως έξοδος.. Στον πίνακα 1 γίνεται σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης και μετρήσεων, για διάφορες παραμέτρους του φίλτρου.
Σχήμα 5: Απώλειες επιστροφής στη θύρα εισόδου (ή εξόδου), ως συνάρτηση της συχνότητας. Σχήμα 6: Απώλειες παρεμβολής, ως συνάρτηση της συχνότητας.
Πίνακας 1: Σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης και μετρήσεων. Παράμετρος Μετρήσεις Προσομοίωση Διαφορά Σφάλμα Κατώτερη συχνότητα αποκοπής 924 918,8 5,2 0,563% (ΜΗz) Ανώτερη συχνότητα αποκοπής 965 966,8 1,8 0,186% (ΜΗz) Κεντρική συχνότητα (MHz) 945 942,8 2,2 0,233% Εύρος ζώνης (MHz) 41 48 7 17,073% Συχνότητα 1 ου πόλου ελάχιστης 924 922,6 1,4 0,151% εξασθένισης (ΜΗz) Συχνότητα 2 ου πόλου ελάχιστης 942 944,4 2,4 0,255% εξασθένισης (ΜΗz) Συχνότητα 3 ου πόλου ελάχιστης 958 959 1 0,104% εξασθένισης (ΜΗz) Συνολικός αριθμός τετραέδρων 27484 Συνολικός χρόνος προσομοίωσης (σε Η/Υ Acer Aspire 1700, 2.6 GHz, 512 MB RAM) 1h: 01min: 55 sec Από το σχήμα 4 γίνεται φανερό ότι οι τιμές των παραμέτρων σκέδασης συγκλίνουν μετά από την 7 η επανάληψη όπου ο αριθμός των πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιούνται ξεπερνά τα 10000 και συνεπώς μπορεί να επιτευχθεί ακριβής λύση μετά από 7-8 επαναλήψεις. Επίσης από τα σχήματα 5, 6 και τον πίνακα 1, προκύπτουν μικρές αποκλίσεις μεταξύ προσομοίωσης και μετρήσεων όσον αφορά τις συχνότητες αποκοπής, την κεντρική συχνότητα και τις συχνότητες όπου εμφανίζονται οι πόλοι ελάχιστης εξασθένισης. Μεγαλύτερο σφάλμα εμφανίζεται στο εύρος ζώνης, όμως αυτό είναι λογικό λόγω του ότι το εύρος ζώνης λειτουργίας του φίλτρου είναι περιορισμένο. Γενικότερα, οι διαφορές που προκύπτουν μεταξύ προσομοίωσης και μετρήσεων, οφείλονται σε σημαντικό βαθμό στο πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων που δημιουργείται από το HFSS. Το γεγονός ότι κατά τη δημιουργία του πλέγματος οι ευθείες και οι καμπύλες γραμμές της δομής του φίλτρου αντικαθίστανται από διασυνδεδεμένα τετράεδρα, έχει ως συνέπεια το μήκος των συντονιστών λ/4 (σχήμα 3), να αποκλίνει ως ένα βαθμό κατά την προσομοίωση, από το πραγματικό μήκος. Επιπλέον, η διηλεκτρική σταθερά του κεραμικού υλικού του πραγματικού φίλτρου, δεν είναι ομοιόμορφη σε όλη τη δομή του και παρουσιάζει αυξομειώσεις, σε αντίθεση με το μοντέλο που χρησιμοποιείται στο HFSS, όπου η διηλεκτρική σταθερά θεωρείται ότι έχει παντού την ίδια τιμή.
2.2 Εισαγωγή ωμικών απωλειών στην προσομοίωση Για την ακριβέστερη ανάλυση του φίλτρου GSM, απαιτείται να εισαχθούν στο HFSS και οι ωμικές απώλειες λόγω της πεπερασμένης αγωγιμότητας του κράματος αργύρου, από το οποίο είναι κατασκευασμένοι οι συντονιστές, τα μεταλλικά κύπελλα και το περίβλημα του φίλτρου. Για το σκοπό αυτό εισήχθη η τιμή 5,219 10 7 Siemens/m στο HFSS (δοθείσα από την TDK Corporation, Japan), που αποτελεί μια μέση τιμή της αγωγιμότητας του κράματος αργύρου, το οποίο χρησιμοποιείται κατά την κατασκευή του φίλτρου. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης σ αυτή την περίπτωση παρουσιάζονται στα σχήματα (7, 8, 9). Στον πίνακα 2 γίνεται σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης και μετρήσεων, για διάφορες παραμέτρους του φίλτρου. Σχήμα 7: Σύγκλιση της παραμέτρου max(δs) ως συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων.
Σχήμα 8: Απώλειες επιστροφής στη θύρα εισόδου, ως συνάρτηση της συχνότητας (συμπεριλαμβάνονται οι ωμικές απώλειες). Σχήμα 9: Απώλειες παρεμβολής, ως συνάρτηση της συχνότητας (συμπεριλαμβάνονται οι ωμικές απώλειες).
Πίνακας 2: Σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης (συμπεριλαμβανομένων των ωμικών απωλειών) και μετρήσεων. Παράμετρος Μετρήσεις Προσομοίωση Διαφορά Σφάλμα Κατώτερη συχνότητα αποκοπής 924 925 1 0,108% (ΜΗz) Ανώτερη συχνότητα αποκοπής 965 972 7 0,725% (ΜΗz) Κεντρική συχνότητα (MHz) 945 948,5 3,5 0,370% Εύρος ζώνης (MHz) 41 47 6 14,634% Συχνότητα 1 ου πόλου ελάχιστης 924 928 4 0,433% εξασθένισης (ΜΗz) Συχνότητα 2 ου πόλου ελάχιστης 942 948 6 0,637% εξασθένισης (ΜΗz) Συχνότητα 3 ου πόλου ελάχιστης 958 964 6 0,626% εξασθένισης (ΜΗz) Ελάχιστη απώλεια παρεμβολής -1,721-1,275 0,446 25,915% (db) στη ζώνη διέλευσης Συνολικός αριθμός τετραέδρων 27457 Συνολικός χρόνος προσομοίωσης (σε Η/Υ Acer Aspire 1700, 2.6 GHz, 512 MB RAM) 1h: 57min: 23 sec Από τα σχήματα 8, 9 και τον πίνακα 2, προκύπτει ότι κατά την προσομοίωση του φίλτρου όπου συμπεριλαμβάνονται οι ωμικές απώλειες, παρατηρούνται παρόμοιες αποκλίσεις μεταξύ προσομοίωσης και μετρήσεων (σε σχέση με την προσομοίωση χωρίς ωμικές απώλειες) όσον αφορά τις συχνότητες αποκοπής, την κεντρική συχνότητα και τις συχνότητες όπου εμφανίζονται οι πόλοι ελάχιστης εξασθένισης. Επίσης, το σφάλμα που αφορά στο εύρος ζώνης του φίλτρου, είναι τώρα μικρότερο κατά 2,5% περίπου. Οι απώλειες παρεμβολής στη ζώνη διέλευσης που προκύπτουν από την προσομοίωση, ακολουθούν ικανοποιητικά τις απώλειες παρεμβολής που προκύπτουν από τις μετρήσεις. Οι μεγαλύτερες διαφορές που εμφανίζονται στις συχνότητες των πόλων ελάχιστης εξασθένισης (σε σχέση με την προσομοίωση χωρίς ωμικές απώλειες), οφείλονται αφ ενός στο πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων που δημιουργείται από το HFSS και αφ ετέρου στο γεγονός ότι η αγωγιμότητα του κράματος του αργύρου στο πραγματικό φίλτρο δεν κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλη τη δομή του (σε αντίθεση με το μοντέλο που χρησιμοποιείται στο HFSS, όπου η αγωγιμότητα θεωρείται ότι έχει παντού την ίδια τιμή). Τέλος, κατά την προσομοίωση με ωμικές απώλειες, ο χρόνος που απαιτείται είναι σχεδόν διπλάσιος του χρόνου της προσομοίωσης χωρίς ωμικές απώλειες.
2.3 Εφαρμογή της έννοιας της συμμετρίας Προσομοίωση μισής δομής Είναι ευρύτατα γνωστό, ότι η συμπεριφορά ενός συμμετρικού μικροκυματικού διθύρου δικτύου μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά από γραμμικούς πίνακες, των οποίων τα στοιχεία αναπαριστούν τις παραμέτρους σκέδασης, ή τις παραμέτρους σύνθετης αντίστασης ή τις παραμέτρους σύνθετης αγωγιμότητας [22]. Εφ όσον τα στοιχεία αυτών των πινάκων είναι γραμμικοί συνδυασμοί των αντίστοιχων ιδιοτιμών τους, ο άμεσος υπολογισμός των τελευταίων παρέχει έναν εναλλακτικό τρόπο περιγραφής των παραμέτρων του δικτύου [23]. Ας θεωρήσουμε την παρακάτω εξίσωση ιδιο-τιμών: ΑU (3) n n U n όπου ο πίνακας U n είναι ένα ιδιο-διάνυσμα και το λ n είναι μία ιδιο-τιμή. Στη θεωρία μικροκυματικών δικτύων, ο πίνακας Α μπορεί να παραστήσει παραμέτρους σκέδασης ή σύνθετης αντίστασης ή σύνθετης αγωγιμότητας, ο πίνακας U n μπορεί να παραστήσει ένα προσπίπτον κύμα ή μία προσπίπτουσα τάση (ή ρεύμα), ενώ ο πίνακας λ n U n μπορεί να παραστήσει ένα ανακλώμενο κύμα ή ένα ανακλώμενο ρεύμα (ή τάση). Η παραπάνω εξίσωση ιδιο-τιμών έχει μία λύση για τη μεταβλητή U n όταν ισχύει: det A- λ n I = 0 (4) Η παραπάνω εξίσωση ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση όπου Ι είναι το μοναδιαίο διάνυσμα. Για ένα δίθυρο συμμετρικό αντιστρεπτό μικροκυματικό δίκτυο, ο πίνακας των παραμέτρων σκέδασης ορίζεται ως εξής: Αντικαθιστώντας τον πίνακα Α με τον πίνακα S στη χαρακτηριστική εξίσωση (4), προκύπτουν οι ακόλουθες δύο λύσεις: S 11 S S 21 S 21 S11 απ όπου προκύπτουν οι παράμετροι σκέδασης: (5) s 1 = S 11 + S 21 (6) s 2 = S 11 - S21 (7) S 11 = (s 1 + s 2 ) / 2 (8) S 21 = (s 1 - s 2 ) / 2 Για την ιδιο-τιμή s 1, η εξίσωση ιδιο-τιμών (3) δίνει την παρακάτω λύση: (9)
(1) (2) 1 U 1 U1 (10) 2 η οποία αντιστοιχεί σε ισοφασικά κύματα ίσου πλάτους στις θύρες 1 και 2 (σχήμα 10(α)), ενώ για την ιδιο-τιμή s 2, η (3) δίνει τη λύση: (1) (2) 1 U 1 U 1 (11) 2 η οποία αντιστοιχεί σε αντίθετης φάσης κύματα ίσου πλάτους στις θύρες 1 και 2 (σχήμα 10(β)). (α) (β) Σχήμα 10: Σχηματικό διάγραμμα για (α) ισοφασικά κύματα ίσου πλάτους, (β) αντίθετης φάσης κύματα ίσου πλάτους, σε ένα δίθυρο δίκτυο.
Από τις εξισώσεις (10) και (11), παρατηρούμε ότι τα δύο κύματα διέγερσης παράγουν ένα ανοιχτό κύκλωμα ή ένα βραχυκύκλωμα αντίστοιχα, στο επίπεδο συμμετρίας του δικτύου. Η παρατήρηση αυτή μπορεί να εφαρμοστεί στην προσομοίωση του φίλτρου GSM, προσομοιώνοντας μόνο το μισό της δομής (σχήμα 11). Σ αυτή την περίπτωση, η δομή του φίλτρου προσομοιώνεται δύο φορές. Την πρώτη φορά τοποθετείται ένας τέλειος «μαγνητικός τοίχος» στο επίπεδο της συμμετρίας (ανοιχτό κύκλωμα) για τον υπολογισμό του s 1 από το HFSS (με τον όρο τέλειος «μαγνητικός τοίχος» εννοούμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι εφαπτομενικό στο επίπεδο συμμετρίας). Τη δεύτερη φορά τοποθετείται ένας τέλειος «ηλεκτρικός τοίχος» στο επίπεδο της συμμετρίας (βραχυκύκλωμα) για τον υπολογισμό του s 2 από το HFSS (με τον όρο τέλειος «ηλεκτρικός τοίχος» εννοούμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο συμμετρίας). Στη συνέχεια οι S-παράμετροι του φίλτρου μπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις (8) και (9). Αν και η τεχνική αυτή απαιτεί δύο προσομοιώσεις, έχει το πλεονέκτημα της δραματικής μείωσης του χρόνου που απαιτείται για την προσομοίωση, καθώς αναλύεται μόνο η μισή δομή. Επιπλέον, μπορεί να χρησιμοποιηθεί τώρα μεγαλύτερος αριθμός πεπερασμένων στοιχείων για τη μισή δομή, ώστε να βελτιωθεί η ακρίβεια της λύσης. Αυτό βέβαια θα έχει ως συνέπεια τον αυξημένο χρόνο προσομοίωσης.
Σχήμα 11: Εφαρμογή της έννοιας της συμμετρίας. Με βάση τα όσα αναπτύχθηκαν σ αυτήν την παράγραφο, το μοντέλο μισής δομής του σχήματος 11, προσομοιώθηκε δύο φορές στο HFSS. Στο σχήμα 12(α) παριστάνεται η σύγκλιση της παραμέτρου max(δs) ως συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων, όταν τοποθετείται τέλειος «μαγνητικός τοίχος» στο επίπεδο της συμμετρίας, ενώ στο σχήμα 12(β) παρουσιάζεται το διάγραμμα σύγκλισης, όταν τοποθετείται τέλειος «ηλεκτρικός τοίχος» στο επίπεδο της συμμετρίας. Η γραφική παράσταση της μεταβολής των απωλειών επιστροφής (παράμετρος σκέδασης S 11 ) στη θύρα εισόδου (ή εξόδου) ως συνάρτηση της συχνότητας, παριστάνεται στο σχήμα 13. Αντίστοιχα στο σχήμα 14 παριστάνεται η γραφική παράσταση της μεταβολής των απωλειών παρεμβολής (παράμετρος σκέδασης S 21 ), ως συνάρτηση της συχνότητας. Στον πίνακα 3 γίνεται σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης και μετρήσεων, για διάφορες παραμέτρους του φίλτρου.
(α) Σχήμα 12: Σύγκλιση της παραμέτρου max(δs) ως συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων για (α) τέλειο «μαγνητικό τοίχο» στο επίπεδο της συμμετρίας, (β) τέλειο «ηλεκτρικό τοίχο» στο επίπεδο της συμμετρίας. (β)
Σχήμα 13: Απώλειες επιστροφής στη θύρα εισόδου (ή εξόδου), ως συνάρτηση της συχνότητας (εφαρμογή της μεθόδου συμμετρίας). Σχήμα 14: Απώλειες παρεμβολής, ως συνάρτηση της συχνότητας (εφαρμογή της μεθόδου συμμετρίας).
Πίνακας 3: Σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης (με χρήση συμμετρίας) και μετρήσεων. Παράμετρος Μετρήσεις Προσομοίωση Διαφορά Σφάλμα Κατώτερη συχνότητα αποκοπής 924 925 1 0,108% (ΜΗz) Ανώτερη συχνότητα αποκοπής 965 971,5 6,5 0,674% (ΜΗz) Κεντρική συχνότητα (MHz) 945 948,25 3,25 0,344% Εύρος ζώνης (MHz) 41 46,5 5,5 13,415% Συχνότητα 1 ου πόλου ελάχιστης 924 926 2 0,216% εξασθένισης (ΜΗz) Συχνότητα 2 ου πόλου ελάχιστης 942 948 6 0,637% εξασθένισης (ΜΗz) Συχνότητα 3 ου πόλου ελάχιστης 958 962 4 0,417% εξασθένισης (ΜΗz) Ελάχιστη απώλεια παρεμβολής -1,721-1,455 0,266 15,456% (db) στη ζώνη διέλευσης Συνολικός αριθμός τετραέδρων 14010 + 14101 = 28111 Συνολικός χρόνος προσομοίωσης (σε Η/Υ Acer Aspire 1700, 2.6 GHz, 512 MB RAM) (00h: 20min: 07sec) + (00h: 20min: 58sec) = 00h: 41min: 5sec Από τα σχήματα 13, 14 και τον πίνακα 3, γίνεται φανερό ότι κατά την προσομοίωση του φίλτρου όπου εφαρμόζεται η τεχνική της συμμετρίας, οι διαφορές μεταξύ προσομοίωσης και μετρήσεων μειώνονται σε σχέση με την προσομοίωση της πλήρους δομής του φίλτρου. Επιπλέον ο συνολικός χρόνος προσομοίωσης για τις δύο προσομοιώσεις («μαγνητικού» και «ηλεκτρικού τοίχου») είναι σημαντικά μικρότερος (41 min έναντι 117 min, για ίδιο αριθμό επαναλήψεων) και επίσης επιτυγχάνεται μεγαλύτερος αριθμός πεπερασμένων στοιχείων (28111 στοιχεία έναντι 27457, για ίδιο αριθμό επαναλήψεων). 2.4 Προσομοίωση γωνίας φάσης Στα επόμενα σχήματα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που αφορούν στη γωνία φάσης των παραμέτρων σκέδασης του φίλτρου GSM για προσομοίωση πλήρους δομής χωρίς ωμικές απώλειες, προσομοίωση πλήρους δομής με ωμικές απώλειες και προσομοίωση μισής δομής με ωμικές απώλειες και συγκρίνονται με πειραματικά δεδομένα.
Σχήμα 15: Μεταβολή της γωνίας φάσης της παραμέτρου S 11 ως συνάρτηση της συχνότητας (προσομοίωση πλήρους δομής χωρίς ωμικές απώλειες). Σχήμα 16: Μεταβολή της γωνίας φάσης της παραμέτρου S 21 ως συνάρτηση της συχνότητας (προσομοίωση πλήρους δομής χωρίς ωμικές απώλειες).
Σχήμα 17: Μεταβολή της γωνίας φάσης της παραμέτρου S 11 ως συνάρτηση της συχνότητας (προσομοίωση πλήρους δομής με ωμικές απώλειες). Σχήμα 18: Μεταβολή της γωνίας φάσης της παραμέτρου S 21 ως συνάρτηση της συχνότητας (προσομοίωση πλήρους δομής με ωμικές απώλειες).
Σχήμα 19: Μεταβολή της γωνίας φάσης της παραμέτρου S 11 ως συνάρτηση της συχνότητας (προσομοίωση μισής δομής με ωμικές απώλειες). Σχήμα 20: Μεταβολή της γωνίας φάσης της παραμέτρου S 21 ως συνάρτηση της συχνότητας (προσομοίωση πλήρους δομής με ωμικές απώλειες).
Από τα σχήματα 15, 17 και 19, παρατηρείται κάποια απόκλιση στα αποτελέσματα της γωνίας φάσης της παραμέτρου S 11 μεταξύ προσομοίωσης και μετρήσεων. Η απόκλιση αυτή αποδίδεται στο διαφορετικό τύπο θυρών εισόδου-εξόδου που χρησιμοποιείται στην προσομοίωση σε σχέση με τις μετρήσεις. Κατά τις πειραματικές μετρήσεις χρησιμοποιήθηκαν ομοαξονικοί συνδετήρες τύπου SMA κυκλικής διατομής για τη σύνδεση του αναλυτή μικροκυματικών δικτύων με το φίλτρο, ενώ κατά την προσομοίωση χρησιμοποιήθηκαν ομοαξονικές γραμμές ορθογωνικής διατομής. Βεβαίως, όταν εισάγονται και οι ωμικές απώλειες κατά την προσομοίωση επιτυγχάνεται καλύτερη συμφωνία (σχήματα 17, 19). Όσον αφορά τη γωνίας φάσης της παραμέτρου S 21, η οποία έχει και μεγαλύτερη σημασία, παρατηρείται καλύτερη συμφωνία μεταξύ προσομοίωσης και μετρήσεων (σχήματα 16, 18, 20), η οποία βελτιώνεται ακόμη περισσότερο όταν εισάγονται οι ωμικές απώλειες κατά την προσομοίωση. 2.5 Απεικόνιση ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου Στα διαγράμματα που ακολουθούν απεικονίζονται η ένταση και το διάνυσμα του ηλεκτρικού (Ε) και του μαγνητικού πεδίου (Η) στο οριζόντιο και κατακόρυφο επίπεδο μιας τομής του φίλτρου GSM, στην κεντρική συχνότητα των 945 MHz.
Σχήμα 21: Ένταση ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο xyz=7,6 mm του φίλτρου GSM (συχνότητα: 945 MHz). Σχήμα 22: Διάνυσμα ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο xyz=7,6 mm του φίλτρου GSM (συχνότητα: 945 MHz).
Σχήμα 23: Ένταση μαγνητικού πεδίου στο επίπεδο xyz=7,6 mm του φίλτρου GSM (συχνότητα: 945 MHz). Σχήμα 24: Διάνυσμα μαγνητικού πεδίου στο επίπεδο xyz=7,6 mm του φίλτρου GSM (συχνότητα: 945 MHz).
Σχήμα 25: Ένταση ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο yzx=1,25 mm του φίλτρου GSM (συχνότητα: 945 MHz). Σχήμα 26: Διάνυσμα ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο yzx=1,25 mm του φίλτρου GSM (συχνότητα: 945 MHz).
Σχήμα 27: Ένταση μαγνητικού πεδίου στο επίπεδο yzx=1,25 mm του φίλτρου GSM (συχνότητα: 945 MHz). Σχήμα 28: Διάνυσμα μαγνητικού πεδίου στο επίπεδο yzx=1,25 mm του φίλτρου GSM (συχνότητα: 945 MHz).
3. Ανάλυση μικροκυματικού φίλτρου τύπου PCS 3.1 Προσομοίωση πλήρους δομής Στο σχήμα 29 παριστάνονται η κάτοψη και η πλάγια όψη ενός μικροκυματικού ζωνοπερατού φίλτρου PCS (Personal Cordless System), το οποίο χρησιμοποιείται σε συσκευές κινητής τηλεφωνίας, στη ζώνη λήψης 1930 έως 1990 MHz. Το φίλτρο αυτό έχει κατασκευαστεί από την TDK Corporation, Japan και οι προδιαγραφές του παρουσιάζονται στον πίνακα 4 [18]. Πίνακας 4: Προδιαγραφές ζωνοπερατού φίλτρου PCS στη ζώνη λήψης. Κατώτερη συχνότητα αποκοπής Ανώτερη συχνότητα αποκοπής Κεντρική συχνότητα λειτουργίας Εύρος ζώνης λειτουργίας Απώλεια παρεμβολής στη ζώνη διέλευσης Απώλεια επιστροφής στη ζώνη διέλευσης Εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής 1930 MHz 1990 MHz 1960 ΜHz 60 ΜHz <-3 db >-10 db -7 db στα 1910 MHz, -17 db στα 2090 MHz
(α) Σχήμα 29: (α) Κάτοψη (β) Πλάγια όψη μικροκυματικού ζωνοπερατού φίλτρου τύπου PCS. (Όλες οι διαστάσεις είναι σε mm). (β)
Με βάση τα δεδομένα του σχήματος 29 σχεδιάστηκε και αναλύθηκε στο HFSS το μοντέλο που παριστάνεται στο σχήμα 30. Αυτό αποτελείται από τρεις συζευγμένους συντονιστές (resonators) μήκους λ/4 (όπου λ το μήκος κύματος λειτουργίας στην κεντρική συχνότητα της ζώνης διέλευσης), οι οποίοι στο πάνω μέρος τους φέρουν μεταλλικά «κύπελλα» (cups), τα οποία καθορίζουν τις χωρητικότητες σύζευξης μεταξύ των συντονιστών και τις χωρητικότητες φορτίου μεταξύ συντονιστών και μεταλλικού περιβλήματος του φίλτρου. Το τμήμα αέρα που εμφανίζεται στην κορυφή του φίλτρου, χρησιμοποιήθηκε κατά την προσομοίωση για να αποτρέψει την ακτινοβολία της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας. Το κεραμικό υλικό μέσα στο οποίο τοποθετούνται οι συντονιστές είναι το ίδιο με αυτό του φίλτρου GSM (διηλεκτρική σταθερά ε r =92 και διηλεκτρικές απώλειες tanδ=0,0007) ενώ το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένοι οι συντονιστές, τα μεταλλικά κύπελλα και το περίβλημα του φίλτρου, είναι ένα κράμα αργύρου (silver paste) με αγωγιμότητα 5,219 10 7 Siemens/m, όπως και στο φίλτρο GSM. Αρχικά το μοντέλο αναλύθηκε υποθέτοντας άπειρη αγωγιμότητα για το κράμα αργύρου, δηλαδή χωρίς ωμικές απώλειες. Η σύγκλιση της παραμέτρου max(δs) ως συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων παριστάνεται στο σχήμα 31. Κατά την ανάλυση του μοντέλου με το λογισμικό HFSS πραγματοποιήθηκαν συνολικά 15 επαναλήψεις, αριθμός σχετικά μεγάλος, λόγω της ιδιαίτερης μορφής και γεωμετρίας του φίλτρου PCS.
Σχήμα 30: Μοντέλο κεραμικού ζωνοπερατού φίλτρου PCS για την προσομοίωση στο HFSS.
Σχήμα 31: Σύγκλιση της παραμέτρου max(δs) ως συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων. Στο σχήμα 32 παριστάνεται η γραφική παράσταση της μεταβολής των απωλειών επιστροφής στη θύρα εισόδου (παράμετρος σκέδασης S 11 ), ως συνάρτηση της συχνότητας. Αντίστοιχα στο σχήμα 33 παριστάνεται η γραφική παράσταση της μεταβολής των απωλειών παρεμβολής από τη θύρα εισόδου 1 προς τη θύρα εξόδου 2 (παράμετρος σκέδασης S 21 ), ως συνάρτηση της συχνότητας. Όπως και στο φίλτρο GSM, λόγω της συμμετρίας της δομής, οι απώλειες επιστροφής στη θύρα εξόδου (παράμετρος σκέδασης S 22 ), είναι ίδιες με τις απώλειες επιστροφής στη θύρα εισόδου (παράμετρος σκέδασης S 11 ). Παρόμοια, οι απώλειες παρεμβολής από τη θύρα εξόδου 2 προς τη θύρα εισόδου 1 (παράμετρος σκέδασης S 12 ), είναι ίδιες με τις απώλειες παρεμβολής από τη θύρα εισόδου 1 προς τη θύρα εξόδου 2 (παράμετρος σκέδασης S 21 ). Δηλαδή ισχύει S 11 =S 22 και S 21 =S 12 και συνεπώς οποιαδήποτε από τις δύο θύρες του φίλτρου μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε ως είσοδος είτε ως έξοδος. Στον πίνακα 5 γίνεται σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης και προδιαγραφών (για διάφορες παραμέτρους του φίλτρου PCS), λόγω μη-διαθέσιμων πειραματικών μετρήσεων γι αυτόν τον τύπο φίλτρου.
Σχήμα 32: Απώλειες επιστροφής στη θύρα εισόδου (ή εξόδου) ως συνάρτηση της συχνότητας. Σχήμα 33: Απώλειες παρεμβολής, ως συνάρτηση της συχνότητας.
Πίνακας 5: Σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτων προσομοίωσης και προδιαγραφών. Παράμετρος Προδιαγραφές Προσομοίωση Διαφορά Σφάλμα Κατώτερη συχνότητα αποκοπής 1930 1925 5 0,259% (ΜΗz) Ανώτερη συχνότητα αποκοπής 1990 2018,7 28,7 1,442% (ΜΗz) Κεντρική συχνότητα (MHz) 1960 1971,9 11,9 0,607% Εύρος ζώνης (MHz) 60 93,7 33,7 56,167% Συχνότητα 1 ου πόλου ελάχιστης - 1930 - - εξασθένισης (ΜΗz) Συχνότητα 2 ου πόλου ελάχιστης - 1960 - - εξασθένισης (ΜΗz) Συχνότητα 3 ου πόλου ελάχιστης - 2006 - - εξασθένισης (ΜΗz) Συνολικός αριθμός τετραέδρων 34237 Συνολικός χρόνος προσομοίωσης (σε Η/Υ Acer Aspire 1700, 2.6 GHz, 512 MB RAM) 1 hour: 00 min: 45 sec Από το σχήμα 31 προκύπτει ότι οι τιμές των παραμέτρων σκέδασης συγκλίνουν μετά από την 10 η επανάληψη, όπου ο αριθμός των πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιούνται ξεπερνά τα 13000 και συνεπώς μπορεί να επιτευχθεί ακριβής λύση μετά από 10-11 επαναλήψεις. Επίσης από τα σχήματα 32, 33 και τον πίνακα 4, προκύπτουν μικρές αποκλίσεις μεταξύ προσομοίωσης και προδιαγραφών όσον αφορά τις συχνότητες αποκοπής και την κεντρική συχνότητα. Μεγαλύτερο σφάλμα εμφανίζεται στο εύρος ζώνης, όμως αυτό είναι λογικό λόγω του ότι το εύρος ζώνης λειτουργίας του φίλτρου είναι σχετικά περιορισμένο. Γενικότερα, οι διαφορές που προκύπτουν μεταξύ προσομοίωσης και προδιαγραφών, οφείλονται σε σημαντικό βαθμό στο πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων που δημιουργείται από το HFSS. Το γεγονός ότι κατά τη δημιουργία του πλέγματος οι ευθείες και οι καμπύλες γραμμές της δομής του φίλτρου αντικαθίστανται από διασυνδεδεμένα τετράεδρα, έχει ως συνέπεια το μήκος των συντονιστών λ/4 και γενικότερα η όλη γεωμετρία του φίλτρου (σχήμα 30), να αποκλίνουν ως ένα βαθμό κατά την προσομοίωση από τις πραγματικές διαστάσεις. Ένα άλλο στοιχείο το οποίο θα πρέπει να ληφθεί υπόψη, είναι ότι η διηλεκτρική σταθερά του κεραμικού υλικού του πραγματικού φίλτρου, δεν είναι ομοιόμορφη σε όλη τη δομή του και παρουσιάζει αυξομειώσεις, σε αντίθεση με το μοντέλο που χρησιμοποιείται στο HFSS, όπου η διηλεκτρική σταθερά θεωρείται ότι έχει παντού την ίδια τιμή.