Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το σύνολό τους συµβολίζεται µε το γράµµα N Έχουµε δηλαδή N {0,,,, } Η χρήση των φυσικών γίνεται κυρίως σε προβλήµατα που αναφέρονται στο πλήθος αντικειµένων και όχι σε οποιαδήποτε ποσότητα Με κάποιο άλµα µερικών µαθητικών χρόνων µεταβαίνουµε στο Γυµνάσιο, όπου ο µαθητής µαθαίνει για τους ακέραιους αριθµούς Αυτοί είναι οι φυσικοί και οι αντίθετοί τους Η εισαγωγή των ακεραίων γίνεται για να διαχωριστούν µεγέθη τα οποία εµπλέκουν έννοιες, όπως φορά, κέρδος ή ζηµία κτλ Το σύνολο των ακεραίων συµβολίζεται µε Z Έτσι, Z {,,,,0,,,, } Είναι προφανές ότι τόσο το σύνολο των φυσικών, όσο και το υπερσύνολό του των ακεραίων είναι άπειρα σύνολα Ήδη όµως από το δηµοτικό οι µαθητές έρχονται σε επαφή και µε ένα άλλο είδος αριθµών, τους ρητούς, δηλαδή τα κλάσµατα Συγκεκριµένα, τα κλάσµατα µε αριθµητή και παρονοµαστή φυσικούς ή γενικότερα ακεραίους Η εισαγωγή των κλασµάτων υπαγορεύεται από την ανάγκη να περιγραφούν ποσότητες που δεν µπορούν να παρασταθούν ως ακέραιες µονάδες Έτσι, ο ρητός 6 παριστάνει τα δύο από τα τρία ίσα µέρη της µονάδας, ο 5 5 την ποσότητα που είναι ίση µε µία µονάδα συν ένα από τα πέντε ίσα µέρη της και ο αντίθετο του 6 Το σύνολο των ρητών παριστάνεται µε το γράµµα Q 5 6 τον 5 Έτσι, Q { κ κλ, Z, λ 0} λ Τώρα, θα πρέπει να τονιστεί ότι οι δεκαδικοί αριθµοί δεν αποτελούν ένα ιδιαίτερο σύνολο αριθµών αλλά είναι ένα είδος γραφής των αριθµών µε τη χρήση δεκαδικών ψηφίων Στις εφαρµογές χρησιµοποιούµε δεκαδικές προσεγγίσεις των διαφόρων µεγεθών οι οποίες είναι ρητοί αριθµοί Αυτό αρχικά µπορεί να δηµιουργήσει την αντίληψη ότι όλα τα φυσικά µεγέθη, δηλαδή ο,τιδήποτε µπορεί να µετρηθεί, µπορεί να παρασταθεί µε τη βοήθεια των ρητών αριθµών Η αντίληψη αυτή είχε αναχθεί σε φιλοσοφικό δόγµα από τη σχολή των Το µηδέν συνήθως εισάγεται αργότερα, για να συµβολίσει το αποτέλεσµα της αφαίρεσης ίσων αριθµών

Πυθαγορείων Προτού σχολιάσουµε την αντίληψη αυτή ας δούµε πως οι ρητοί αριθµοί παριστάνονται γεωµετρικά ως σηµεία µιας ευθείας Αρχικά επιλέγουµε αυθαίρετα ένα σηµείο Ο το οποίο παριστάνει το µηδέν Το ίδιο αυθαίρετα, επιλέγουµε ένα δεύτερο σηµείο Ι, το οποίο παριστάνει το Επιλέγουµε δηλαδή το ευθύγραµµο τµήµα ΟΙ να έχει µοναδιαίο µήκος Από τη στιγµή που επιλέξαµε τα δύο σηµεία Ο και Ι, κάθε ρητός αριθµός κατέχει πια µια µοναδική θέση στην ευθεία -4 - - - 0 4 O I K Στην ηµιευθεία ΟΙ και εκτός του τµήµατος ΟΙ ορίζεται ένα µοναδικό σηµείο Κ, τέτοιο ώστε ΟΙΙΚ Αναγκαστικά το Κ θα παριστάνει τον αριθµό Σε ίση απόσταση (ίση µε τη µονάδα ΟΙ) και προς το µέρος του Κ έχουµε ένα άλλο σηµείο που παριστάνει τον Προχωρώντας κατ αυτόν τον τρόπο τοποθετούµε στην ευθεία όλους τους φυσικούς αριθµούς Αν τώρα πάρουµε τα συµµετρικά των εικόνων των φυσικών αριθµών ως προς το σηµείο Ο βρίσκουµε τις εικόνες των αντιθέτων τους Έτσι έχουµε όλο το σύνολο των ακεραίων Η κατασκευή των ρητών σηµείων γίνεται εύκολα Αν για παράδειγµα θέλουµε να παραστήσουµε στην ευθεία τον ρητό 7, κάνουµε το εξής: 4 0 4 7 4 Λ Χωρίζουµε, χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Θαλή, το µοναδιαίο τµήµα σε 4 ίσα µέρη Με ακτίνα το 4 και δεξιά του γράφουµε τρεις ίσους κύκλους Το σηµείο Λ παριστάνει το 7 4 Επανερχόµαστε τώρα στην αντίληψη των Πυθαγορείων: «Όλα τα µεγέθη είναι σύµµετρα», δηλαδή κλάσµατα µε αριθµητή και παρονοµαστή ακεραίους Σύµφωνα µε την αντίληψη αυτή, κάθε τι που µπορεί να µετρηθεί παριστάνεται µε έναν ρητό αριθµό Ο αριθµός, δηλαδή ο θετικός αριθµός του οποίου το τετράγωνο είναι ο, είναι µια υπαρκτή οντότητα Πράγµατι, είναι το µήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου του

οποίου το µήκος κάθε κάθετης πλευράς είναι Ένα τέτοιο τρίγωνο είναι εύκολο να κατασκευαστεί µε κανόνα (χάρακα) και διαβήτη 0 Αν δεχτούµε την άποψη των Πυθαγορείων, τότε ο αριθµός θα ισούται µε ένα κλάσµα της µορφής κ λ, όπου τα κ και λ είναι θετικοί ακέραιοι Από τη σχέση κ παίρνουµε λ κ λ Το τετράγωνο λοιπόν του κ είναι αριθµός άρτιος (ζυγός) Μιας και µόνον οι ζυγοί αριθµοί δίνουν ζυγά τετράγωνα, (µπορείτε να σκεφτείτε έναν µονό αριθµό µε ζυγό τετράγωνο;) o κ θα είναι ζυγός Άρα κ κ, όπου κ ακέραιος Τότε όµως θα πάρουµε κ λ και επιχειρηµατολογώντας όπως προηγουµένως, συµπεραίνουµε ότι και το λ θα είναι ζυγός της µορφής λ Οι αριθµοί κ και λ είναι µικρότεροι απ τους κ και λ αντίστοιχα κ κ και το κλάσµα γράφεται απλούστερα: λ λ Με την ίδια λογική, το κλάσµα κ λ θα απλουστευθεί και αυτό µε τη σειρά του και θα µας δώσει ένα νέο κλάσµα Συνεχώς θα παίρνουµε όλο και απλούστερα κλάσµατα και η διαδικασία αυτή δεν σταµατάει ποτέ Αυτό όµως δεν µπορεί να συµβαίνει, γιατί οι όροι του κλάσµατος είναι (θετικοί) ακέραιοι και δεν µπορούν να µειώνονται επ άπειρον, αφού δεν µπορούν να γίνουν µικρότεροι της µονάδας Έτσι προκύπτει αντίφαση Η υπόθεσή µας λοιπόν ότι ο είναι ρητός καταρρέει και µαζί της καταρρέει και το δόγµα των Πυθαγορείων Η δυσάρεστη αυτή αλήθεια ανακαλύφθηκε από τους ίδιους τους Πυθαγόρειους, ίσως από τον ίδιο τον Πυθαγόρα Ο θρύλος θέλει τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, µαθητή του Πυθαγόρα ως τον ένοχο Λέγεται ότι για να τον τιµωρήσουν τα άλλα µέλη της Σχολής, σ ένα ταξίδι από την Κόρινθο προς την έδρα τους τον Κρότωνα, τον έριξαν στη θάλασσα µε τραγικό γι αυτόν τέλος Ο,445670950488068874097 φαίνεται ότι είναι ο πρώτος µη ρητός που ανακαλύφθηκε Οι µη ρητοί λέγονται άρρητοι αριθµοί Η δεκαδική µορφή ενός άρρητου περιέχει άπειρα ψηφία που δεν επαναλαµβάνονται κατά περιοδικό τρόπο Αν επαναλαµβάνονταν, ο αριθµός αυτός θα ήταν ρητός Έτσι, ο ρητός 5 γράφεται στη δεκαδική µορφή ως 0,809580958095809580954, ενώ ο δεν έχει αυτή

την ιδιότητα Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθµοί, µαζί, αποτελούν το σύνολο των πραγµατικών αριθµών, δηλαδή των αριθµών που αντιπροσωπεύουν κάθε ποσότητα που µπορεί να µετρηθεί Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών συµβολίζεται µε το σύµβολο R Οι πραγµατικοί αριθµοί παριστάνονται γεωµετρικά µε όλα τα σηµεία της ευθείας που θεωρήσαµε προηγουµένως Γι αυτό και η ευθεία µας θα λέγεται στο εξής ευθεία των πραγµατικών ή πραγµατική ευθεία Ο, αν και άρρητος παρουσιάζει µια οµαλή συµπεριφορά Συγκεκριµένα είναι ρίζα του πολυωνύµου 0, το οποίο έχει ακέραιους συντελεστές Τέτοιοι αριθµοί λέγονται αλγεβρικοί Υπάρχουν µη αλγεβρικοί, υπερβατικοί όπως λέγονται αριθµοί; Τέτοιοι αριθµοί θα αναζητηθούν ανάµεσα στους άρρητους αριθµούς, µιας και οι ρητοί είναι αλγεβρικοί Από τις εργασίες του Joseph Liouville, οι µαθηµατικοί γνώριζαν την ύπαρξη τέτοιων αριθµών Για παράδειγµα, ο άρρητος αριθµός 0,00000000000000000000, ο οποίος έχει παντού µηδενικά εκτός από τις θέσεις!,!, 6!, 44! 4 κοκ, είναι υπερβατικός Το 88 ο Γερµανός µαθηµατικός Krl Lidem απέδειξε ότι ο γνωστός αριθµός π,4596558979846648795, δηλαδή ο λόγος της περιφέρειας κύκλου προς τη διάµετρό του, είναι αριθµός υπερβατικός Έτσι αποδείχτηκε ότι ο κύκλος δεν τετραγωνίζεται! ηλαδή, αν έχουµε έναν κύκλο, δεν µπορούµε να κατασκευάσουµε µόνο µε το χάρακα και το διαβήτη τετράγωνο που να έχει εµβαδόν ίσο µε αυτό του κύκλου Ήδη από τα τέλη του 9 ου αιώνα, χάρις στις εργασίες του Georg Ctor, ξέρουµε ότι οι άρρητοι αριθµοί, και ακόµα περισσότερο οι υπερβατικοί, δεν είναι η εξαίρεση του κανόνα αλλά ο ίδιος ο κανόνας! ηλαδή το σύνολο των ρητών αριθµών φαντάζει απειροελάχιστο µπροστά στο σύνολο των αρρήτων, το οποίο κατακλύζει την ευθεία των πραγµατικών αριθµών Η σχέση ανάµεσα στα διάφορα σύνολα αριθµών περιγράφεται στο παρακάτω διάγραµµα: πραγµατικοί φυσικοί ακέραιοι ρητοί άρρητοι 4

Οι αλγεβρικές ιδιότητες των πραγµατικών Η επίλυση πολλών µαθηµατικών προβληµάτων απαιτεί ευχέρεια στο χειρισµό αλγεβρικών παραστάσεων Οι ιδιότητες των αλγεβρικών παραστάσεων απορρέουν από λίγες βασικές παραδοχές (αξιώµατα) που κάνουµε σχετικά µε τους πραγµατικούς αριθµούς Αξίωµα Ισχύουν τα ακόλουθα: i) ( b) c ( b c), για κάθε bc,, ii) b b, για κάθε b, iii) Υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται µηδέν και συµβολίζεται µε 0 µε την ιδιότητα 0, για κάθε iv) Για κάθε πραγµατικό αριθµό, υπάρχει ένας πραγµατικός µε την ιδιότητα ( ) 0 v) ( b) c ( bc), για κάθε bc,, vi) b b, για κάθε b, που λέγεται αντίθετος του, vii) Υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται ένα και συµβολίζεται µε µε την ιδιότητα, για κάθε viii) Για κάθε µη µηδενικό πραγµατικό αριθµό, υπάρχει ένας πραγµατικός που λέγεται αντίστροφος του, µε την ιδιότητα i) ( b) c c bc, για κάθε bc,, (Επιµεριστική ιδιότητα) Οι παραπάνω ιδιότητες είναι προφανείς σε κάθε απόφοιτο του γυµνασίου Το ίδιο προφανείς είναι και οι ιδιότητες που αναφέρονται στα επόµενα παραδείγµατα Κάθε µαθητής του γυµνασίου και του λυκείου έχει µάθει να χρησιµοποιεί σχεδόν µηχανικά τις ιδιότητες αυτές κατά την επίλυση προβληµάτων Εδώ δεν επιχειρούµε να παρουσιάσουµε µια αξιωµατική θεµελίωση της αλγεβρικής δοµής των πραγµατικών Απλώς προσπαθούµε να δώσουµε, στον ενδιαφερόµενο µόνον αναγνώστη, το πώς µέσω της αποδεικτικής διαδικασίας, κάποιες ιδιότητες προκύπτουν από άλλες, στοιχειωδέστερες Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µόνον για τις εφαρµογές µπορεί να παραλήψει τα παραδείγµατα αυτά Παραδείγµατα είξτε ότι οι αριθµοί 0 (µηδέν) και (ένα) που ορίζονται στα (iii) και (vii) του παραπάνω αξιώµατος είναι µοναδικοί 5

Απόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι ο µηδέν δεν είναι µοναδικός Τότε υπάρχει κάποιος πραγµατικός αριθµός θ 0 µε την ιδιότητα θ, για κάθε R Ειδικά για 0 θα έχουµε 0 θ 0 Αλλά ο αριθµός 0 θ θ 0 θα πρέπει να είναι ίσος µε θ, σύµφωνα µε το (iii) του αξιώµατος Άρα 0 θ, αντίφαση Εποµένως ο αριθµός 0 είναι µοναδικός Αν µιµηθούµε την προηγούµενη απόδειξη µπορούµε να αποδείξουµε την µοναδικότητα του ένα Αρκεί τα αθροίσµατα να γίνουν γινόµενα και το µηδέν να αντικατασταθεί από το ένα είξτε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός έχει µοναδικό αντίθετο και κάθε µη µηδενικός πραγµατικός έχει µοναδικό αντίστροφο Απόδειξη: Αν και είναι δύο αντίθετοι του, τότε θα έχουµε: 0 ( ) ( ) 0 (iii) (i) Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται η µοναδικότητα του αντιστρόφου είξτε ότι: (i) ( b) ( ) ( b), για κάθε b, R, (ii) 0 0, για κάθε R και (iii) ( b ) ( b) b, για κάθε b, R Απόδειξη: (i) ( b) (( ) ( b)) ( b) (( b) ( )) (( b) ( b)) ( ) ( ( b ( b))) ( ) ( 0) ( ) ( ) 0 Άρα ( ) ( b) ( b) (ii) 0 (0 0) 0 0 Προσθέτουµε και στα δύο µέλη της σχέσης (i) 0 0 0 τον αντίθετο του 0 0 0 0 0 ( 0) ( 0 0) ( 0) 0 0 ( 0 ( 0)) 0 0 0 0 0 (iii) b ( ) b ( ( )) b 0 b 0 Άρα ( b ) b Όµοια, b ( b) ( b ( b)) 0 0 Άρα ( b) b 4 είξτε ότι αν b 0, τότε 0 ή b 0 Απόδειξη: Έστω ότι 0 Τότε ο έχει αντίστροφο, τον Εποµένως, b 0 ( b) 0 ( ) b 0 b 0 b 0 Το τελευταίο παράδειγµα µπορεί να γενικευτεί για περισσότερους από δύο αριθµούς Έτσι, αν το γινόµενο αριθµών είναι µηδέν, τότε κάποιος απ αυτούς είναι µηδέν Αυτό αποτελεί και το κλειδί για την επίλυση εξισώσεων είτε το επόµενο παράδειγµα: 6

5 Να λυθεί η εξίσωση 0 Λύση: Έχουµε: ( ) ( ) ( )( ) Εποµένως ( )( ) 0 Επειδή το γινόµενο των και είναι µηδέν, κάποιος από αυτούς θα είναι µηδέν Άρα 0 ή 0, δηλαδή ή Από το παράδειγµα αυτό προκύπτει πόσο σηµαντικό είναι να µπορούµε να µετατρέπουµε µια παράσταση σε γινόµενο παραγόντων Ταυτότητες-παραγοντοποίηση Η γνώση των αλγεβρικών ταυτοτήτων µας παρέχει ευχέρεια στον χειρισµό αλγεβρικών παραστάσεων Οι ταυτότητες προκύπτουν µε εφαρµογή της επιµεριστικής ιδιότητας (i) του αξιώµατος Έτσι, η γνωστή από το γυµνάσιο ταυτότητα ( ) b b b προκύπτει ως εξής: ( ) ( )( ) ( ) ( ) b b b b b b b b bb b b b b b Παρακάτω καταγράφουµε µερικές χρήσιµες ταυτότητες ) ( b) b b και αν θέσουµε b αντί b, ) ) 4) 5) 6) 7) ( ) b b b ( b) b b b και, αν θέσουµε b ( b) b b b b b b ( )( ) (διαφορά τετραγώνων) b ( b)( b b ) b ( b)( b b ) αντί b, H ταυτότητα ) γενικεύεται για περισσότερους από δύο προσθετέους Πρόταση,,, είναι αριθµοί, τότε Αν ( ) άθροισµα όλων των όρων της µορφής ( ), i j όπου i< j Έτσι, ( ) Απόδειξη: Είναι ( ) ( )( ) Αν κάνουµε όλους τους δυνατούς συνδυασµούς παίρνοντας έναν όρο από κάθε παρένθεση και πολλαπλασιάζοντάς τους µεταξύ τους, θα καταλήξουµε σε ένα άθροισµα της µορφής 7

( ) άθροισµα όλων των όρων της µορφής ( i j), όπου i j Ο όρος i j προκύπτει δύο φορές Τη µία όταν παίρνουµε από την πρώτη παρένθεση το i και από τη δεύτερη το j και την άλλη, όταν από την πρώτη παρένθεση παίρνουµε το από τη δεύτερη το i Έτσι, εµφανίζεται ο συντελεστής j και Η ταυτότητα αυτή γράφεται πιο σύντοµα µε τη χρήση του συµβόλου Σ που δηλώνει το άθροισµα Έτσι, έχουµε: ( ) i j < i j H ταυτότητα 6) γενικεύεται ως εξής: Πρόταση Αν είναι ένας θετικός ακέραιος, τότε ισχύει: b b b b b b b - - - - - - ( )( ) Έτσι, 4 4 b ( b)( b b b ), 5 5 4 4 b ( b)( b b b b ) κτλ Απόδειξη: - - - - - - - - ( b)( b b b ) ( b b b ) - - - - b ( b b b ) b - b - b - b - b b b b Ειδικά για, παίρνουµε - - ( b)( b b b b ) b, οπότε αν b θα - b έχουµε: b b b b Η ταυτότητα 7) γενικεύεται και αυτή, αλλά µόνον για τους περιττούς Συγκεκριµένα: Πρόταση Αν είναι ένας µη αρνητικός ακέραιος, τότε ισχύει: Απόδειξη: - - - - b ( b)( b b b b b ) - - ( b)( b b b ) ( b b b ) b ( b b b ) b b b b b b b b b b Σε ορισµένες περιπτώσεις η παραπάνω ταυτότητα µας επιτρέπει να παραγοντοποιήσουµε παραστάσεις της µορφής b ακόµα και όταν το δεν είναι περιττός Αρκεί να διαιρείται 8

µε έναν περιττό Για παράδειγµα, 6 6 b ( ) ( b ) ( b )(( ) b ( b ) ) 4 4 ( b )( b b ) Μια άλλη γνωστή ταυτότητα είναι η ταυτότητα των τριών κύβων του Euler: 4 Πρόταση Ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα: ( )( ) b c bc b c b c b bc c ( )(( ) ( ) ( ) b c b b c c ) Απόδειξη: b c bc b b b c bc b b ( b) c bc b b ( b) c ( b) c ( b) c bc b b ( b) c ( b) c ( b c) bc b b ( b) c ( b) c ( b c) b( b c) ( b) c( b c) ( b c)(( b c) b ( b) c) ( b c)( b c b bc c b c bc) ( b c)( b c b bc c) Η δεύτερη µορφή της παράστασης b c bc επιτυγχάνεται µε το να δείξουµε ότι (( ) ( ) ( ) b c b bc c b b c c ) Έχουµε: ( ) ( ) ( ) b b c c b b b c bc c c b c b bc c ( b c b bc c) Εποµένως (( ) ( ) ( ) b c b bc c b b c c ) 5 Πρόταση (ταυτότητα του Lgrge) Ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα: ( )( b b b) ( b b b) < i j i j b b i j Απόδειξη: Το γινόµενο ( )( b b b ) θα µας δώσει όρους της µορφής b, καθώς και όρους της µορφής i i b µε i i j j Το τετράγωνο ( b b b ) θα µας δώσει τα τετράγωνα b, τα οποία θα µηδενίσουν τα αντίστοιχα που προκύπτουν απ το προηγούµενο γινόµενο, καθώς και όρους της µορφής b i i j b j, µε i< j i i Για ένα ζεύγος δεικτών (, i j ), µε i< j θα πάρουµε τους εξής όρους: b i i j b j b, i j b και j i 9

Το άθροισµά τους είναι i b b i j b j i bb i i j j ( b i j b j i) b Αθροίζοντας για j i j όλα τα δυνατά ζεύγη παίρνουµε το αποτέλεσµα Για παράδειγµα, ( )( ) ( ) b b b b b ( b b), b b b b ( )( b b b) ( b b b) b b b ( b b) ( b b) ( b b) κτλ Παραδείγµατα Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) (ii) m m m m m m y y y, όπου m και θετικοί ακέραιοι b b b (iii) (iv) 4 4 y ( b ) b( y ) ( m y) ( my) Λύση: (i) m m m m m m m m m m m m y y y y y y y y m m y ( y y ) (ii) (iii) b b b b b ( ) ( ) ( )( ) 4 4 4 4 y ( b ) b( y ) y b y b by y ( by ) b ( by ) ( by )( y b ) (iv) 4 4 4 4 ( m y) ( my) m y my my my 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 m y m y ( m ) y ( m ) ( m )( y ) Στο επόµενο παράδειγµα γίνεται χρήση της διαφοράς τετραγώνων Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 44 y b, (ii) ( b), (iii) ( by), (iv) ( y y ) ( y y ) Λύση: (i) 44 y b ( y) ( b) (y b)(y b) (ii) (iii) (iv) ( ) ( )( ) b b b ( by) ( by )( by ) ( y y ) ( y y ) ( y y y y ) ( y y 0

y y ) 4( y ) y Στο επόµενο παράδειγµα γίνεται χρήση της διαφοράς τετραγώνων και του αναπτύγµατος τετραγώνων Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 4 64 y 60 y 00, (ii) 69 yz 86yz yz, (iii) 4y ω β 6 y ω α ± 76αβy ω, (iv) α β βγ γ, (v) α αβ β 4γ γδ 9δ, (vi) 9 6α α β Λύση: (i) 4 4 64y 60y 00 4 (6y 40y 5) 4 ((4 y) 4y 5 5 ) 4 (4y 5) (ii) 69yz 86yz yz yz( ) yz( ) (iii) 4y ωβ 6 y ωα 76 αβy ω y ω( β 9 α β 9 α) ± ± y ω (β ± 9 α) (iv) α β βγ γ α ( β βγ γ ) α ( β γ) ( α β γ)( α β γ) (v) α αβ β 4γ γδ 9 δ ( α β ) (γ δ ) ( α β γ δ )( α β γ δ) (vi) 9 6 α α β ( α) β ( α β)( α β) 4 Να τραπούν σε γινόµενο παραγόντων οι ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις: (i) 4, (ii) 7α α, (iii) y y Λύση: (i) 4 7 ( 7) ( 7) ( 7)( ) (ii) (iii) 7α α α 4α α ( α) 4 α( α) ( α) ( ± 4 α) 4 ( ) ( ) ( )( ) y y y y y y y y y y y ( y)( y) 5 Να απλοποιηθούν τα κλάσµατα: (i) y 4 4 ( y)( y ), (ii) 4 5 0 Λύση: (i) 4 4 y ( ) ( y ) ( y)( y ) ( y)( y)( y y ) ( y )( y ) ( y)( y) ( y y ) y y y

(ii) 4 5 5 5 ( 5) ( 5) 0 5 0 ( 5) ( 5) ( 5) ( ) ( 5) ( ) 6 Να επιλυθεί η εξίσωση ως προς και y ( ) ( ) 8 6( )( ) y y y y Λύση: Η εξίσωση γράφεται: ( ) ( ) 8 6( )( ) y y y y ( ) ( y) ( y) ( )( y)( y) 0 Από την ταυτότητα του Euler παίρνουµε ( )(( ) ( ) ( ) y y y y y y ) 0 ( y )(( y ) ( y) (y ) ) 0 Εποµένως y 0 ή ( y ) ( y) (y ) 0 Η εξίσωση y 0 µας δίνει y και εποµένως παίρνουµε ως λύσεις τα άπειρα ζεύγη της µορφής Από την εξίσωση y, y, y R ( y ) ( y) (y ) 0 παίρνουµε το σύστηµα y 0 y 0 Από την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του συστήµατος (µε αφαίρεση κατά y 0 µέλη) παίρνουµε 0, άτοπο Άρα οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι µόνον τα ζεύγη y, y, y R Άλυτες ασκήσεις Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις εφαρµόζοντας τις γνωστές ταυτότητες: y, (ii) ( y ) (i), (iii) ( y 5 )( y 5 ), (iv) y Να παραγοντοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις: (i) (iii) (v) 5 7 4 4 y 6 y 8 y (ii) ( )( ) ( )( ) 4( ) (iv) 5 0 5 4 y y y y y (vi) 6 b b 5 4 6 λ 8λ 4λ 6 4 9 6 b b (vii) b( y ) y( b ) (viii) m m y b by, m>, 0 (i) 4 6b c () b b

(i) 0 9 (ii) 6 7 (iii) (v) y 4y 96 (iv) y y ( b) (vi) ( b) ( b) ( b) 4 4 (vii) 8b c 6b 8bc (viii) ( 9)( 4) ( 6) Να απλοποιήσετε τα ακόλουθα κλάσµατα: 6y (i) 4y y (iii) (v) (vii) 4 5 y 5y y y y 4 ( ) ( y) (ii) y 4 8 (iv) 4 5 6 (vi) 6 9 (viii) y y y 4 Να αποδείξετε τα ακόλουθα: (i) Αν bc, y b bc, και b c 0, τότε y z bc z c bc (ii) Αν ( b c ) ( b c), τότε b c (iii) Αν yz 0 και (iv) Αν y z, τότε y z ή yz ± y z b, b c και b ( c) c, τότε b b b c (v) Αν b c και c b d, τότε η παράσταση bcd b 4 ( ) είναι τέλειο τετράγωνο 4 ιάταξη των πραγµατικών αριθµών Γνωρίζουµε ότι οι πραγµατικοί αριθµοί είναι διατεταγµένοι µέσω της σχέσης «<» ή της «>» Οι βασικές ιδιότητες των ανισοτικών σχέσεων απορρέουν από λίγες βασικές παραδοχές εχόµαστε το εξής: 4 Αξίωµα Υπάρχει ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών, που το συµβολίζουµε µε µε τις ακόλουθες ιδιότητες: i) Για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύει µία και µόνον µία από τις ακόλουθες σχέσεις: α) 0, β) R, γ) ii) Για κάθε y, R, ισχύει y R και y R R R

Τα στοιχεία του R λέγονται θετικοί αριθµοί Τα στοιχεία του συνόλου R { R } λέγονται αρνητικοί αριθµοί Έτσι το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών χωρίζεται σε τρία ξένα µεταξύ τους υποσύνολα: τους αρνητικούς µηδέν R, τους θετικούς R και το µονοσύνολο {0} που περιέχει το αρνητικοί µηδέν θετικοί ύο ή περισσότεροι µη µηδενικοί αριθµοί λέγονται οµόσηµοι αν είναι όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί ύο µη µηδενικοί αριθµοί που δεν είναι οµόσηµοι λέγονται ετερόσηµοι 4 Ορισµός Έστω y R, Θα λέµε ότι ο είναι µεγαλύτερος του y και αυτό θα το συµβολίζουµε µε > y, αν y R Ισοδύναµη έκφραση είναι «ο y είναι µικρότερος του» Αυτό συµβολίζεται µε y< Προφανώς, > 0 R και < 0 R Από το (i) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι µόνον µία από τις σχέσεις α) y, β) > y, γ) y > ισχύει 4 Παραδείγµατα είξτε ότι αν > y και y > z, τότε > z Απόδειξη: > y y R και y > z y z R Από το (ii) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι z ( y) ( y z) R Εποµένως, > z είξτε ότι αν > y και z > w, τότε z > y w ( ηλαδή µπορούµε να προσθέτουµε κατά µέλη ανισότητες που έχουν την ίδια φορά) Απόδειξη: Έχουµε ( z) ( y w) ( y) ( z w) Αλλά y R (γιατί > y ) και z w R (γιατί z > w) Από την ιδιότητα (ii) του αξιώµατος 4 προκύπτει ότι ( z) ( y w) ( y) ( z w) R και εποµένως z > y w 4

44 Πρόταση i) Το γινόµενο δύο οµόσηµων αριθµών είναι θετικός ii) Το γινόµενο δύο ετερόσηµων αριθµών είναι αρνητικός Απόδειξη: Έστω ότι > 0 και y > 0 Από το (ii) του αξιώµατος 4 παίρνουµε ότι y > 0 Αν < 0 και y > 0, τότε > 0 και y > 0 Από το (ii) του αξιώµατος 4 παίρνουµε ότι y ( ) y > 0 Εποµένως (από το (i) του ίδιου αξιώµατος), y < 0 Αν > 0 και y < 0 σκεφτόµαστε παρόµοια Έστω τώρα ότι < 0 και y < 0 Τότε < 0 και y > 0 και, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, y ( y) < 0 Εποµένως, y > 0 45 Πόρισµα Για κάθε µη µηδενικό πραγµατικό αριθµό ισχύει: > 0 Ειδικότερα (όσο και αν αυτό φαίνεται αστείο) > 0 Απόδειξη: Άµεση, αφού ο είναι οµόσηµος µε τον εαυτό του 46 Ορισµός Θέτουµε y και διαβάζουµε «µεγαλύτερο ή ίσο του y» αν > y ή y Ακόµη, θέτουµε y αν και µόνον αν y Προφανώς y y 0 47 Πρόταση Ισχύουν τα εξής: (i), για κάθε R, (ii) Αν y και y, τότε y, (iii) Αν y και y z, τότε z Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι προφανής Το πόρισµα 45 διατυπώνεται τώρα (καλύπτοντας και τη µηδενική περίπτωση) ως εξής: Γενικότερα, 0, για κάθε R 0, για κάθε -άδα (,,, ) πραγµατικών αριθµών Σηµειώνουµε ακόµα ότι αν > 0 και y 0, τότε y> 0 (Αν y 0 τότε y > 0 ενώ αν y > 0, χρησιµοποιούµε το (ii) του αξιώµατος 4) 5

48 Πόρισµα Έστω,,, R Τότε ισχύει Απόδειξη: Αρκεί να αποδείξουµε ότι αν Πράγµατι, αν 0, τότε > 0 0 0 Επειδή 0 τότε 0 0 άτοπο Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι και 0, θα έχουµε, > 0 49 Πόρισµα i) Αν 0, τότε οι αριθµοί και είναι οµόσηµοι ii) Το πηλίκο δύο οµόσηµων αριθµών είναι θετικός Απόδειξη: i) Αν οι αριθµοί και ήσαν ετερόσηµοι, τότε από το (ii) της πρότασης 44, ο θα ήταν αρνητικός ii) Αν οι µη µηδενικοί αριθµοί b, είναι οµόσηµοι, τότε b > 0 Επίσης ξέρουµε ότι Από το (i) προκύπτει ότι ( b ) > 0 Εποµένως ( b)( b ) > 0 b b > 0 40 Πρόταση i) Αν > 0 και > y, τότε > y και > y ηλαδή, µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε έναν θετικό αριθµό, χωρίς να αλλάξει φορά η ανισότητα ii) Αν < 0 και > y, τότε < y και < y ηλαδή, µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε έναν αρνητικό αριθµό, αλλάζοντας όµως φορά στην ανισότητα Απόδειξη: i) Αν > y, τότε y > 0 Εποµένως οι αριθµοί και y είναι οµόσηµοι Άρα το γινόµενό τους ( y) y και το πηλίκο τους y y είναι θετικοί αριθµοί Εποµένως, > y και > y Η απόδειξη του (ii) είναι ανάλογη 4 Πρόταση Αν οι αριθµοί, y είναι οµόσηµοι, τότε ισχύει: > y < y δηλαδή, αν αντιστρέψουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας, όταν αυτά είναι οµόσηµοι αριθµοί, παίρνουµε µια ανισότητα µε αντίστροφη φορά 6

Απόδειξη: Εφόσον οι, y είναι οµόσηµοι, έχουµε y > 0 Άρα, µε βάση την προηγούµενη πρόταση, y > y > > y y y 4 Πρόταση Έστω 0 και y 0 Για κάθε,, ισχύει: y y > > Απόδειξη: Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα ( )( ) y y y y y Έστω > y 0 Εφόσον > 0, έχουµε > 0 και µε βάση την τελευταία παρατήρηση πριν από το πόρισµα 48, y y y > 0 Επειδή y > 0, έπεται ότι ( )( ) > 0 y y y y y, δηλαδή > y Αντίστροφα, έστω > y ( 0) Τότε > 0 και εποµένως 0 Επειδή 0, έπεται > 0 Όπως προηγουµένως προκύπτει ότι y y > y y y 0 y y, δηλαδή > y y > 0 Συνεπώς 4 Παραδείγµατα Αν > 0 και b >, δείξτε ότι ( b) > b Απόδειξη: ( b) > b b> b ( b ) > 0, που ισχύει γιατί > 0 και b> b > 0 είξτε ότι b b, για κάθε b, R Πότε ισχύει το «ίσον»; Απόδειξη: b b b b 0 ( b) 0, και η τελευταία σχέση ισχύει Τώρα, b b ( b) 0 b είξτε ότι: (i) Αν ο είναι θετικός, τότε (ii) Αν ο είναι αρνητικός, τότε Απόδειξη: (i) (πολλαπλασιάζοντας επί τον θετικό -πρόταση 4) ( ) 0 (ii) (πολλαπλασιάζοντας επί τον αρνητικό -πρόταση 4) ( ) 0 7

4 είξτε ότι b b 0 και b b 0, για κάθε b, R Πότε ισχύει το «ίσον» στις παραπάνω σχέσεις; Απόδειξη: b b b ( b b) [ b ( b) ] και b b b ( b b) [ b ( b) ] Οι ποσότητες [ ( ) ] b ± b είναι προφανώς 0, ως αθροίσµατα τετραγώνων επί τον θετικό Τώρα, αν [ ( ) b b b b ] 0 θα έχουµε b 0 (πόρισµα 48) Όµοια, b b 0 b 0 5 είξτε την ανισότητα Cuchy-Schwrz: ( )( y y y ) ( y y y ), για κάθε,,,, y, y,, y R Απόδειξη: Με βάση την ταυτότητα Lgrge (πρόταση 5), έχουµε i ( )( y y y) ( y y y) i< j j y y i j και το δεύτερο µέλος είναι 0, ως άθροισµα τετραγώνων 6 είξτε ότι αν b, τότε b 8 4 4 Απόδειξη: Έχουµε ( b) b b και ( b) 0 b b 0 Προσθέτοντας κατά µέλη, b b 4 4 Ακόµη, ( b ) b b και 4 4 4 4 ( b ) 0 b b 0 4 4 4 4 b b 4 8 Προσθέτοντας κατά µέλη, 7 είξτε ότι αν, b είναι θετικοί αριθµοί µε b, τότε (i) b και (ii) 9 4 b Απόδειξη: (i) Έχουµε ( b) b b b b 4b 8

4 b ( b) 0 Εποµένως, 4b b 4 b (ii) 9 9 8 8 b, που την b b b b b b b 4 αποδείξαµε προηγουµένως 4 8 είξτε ότι, για κάθε R Απόδειξη: 4 4 0 ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ( ) ( )( )) 0 ( )( ( )( ) ( )( )) 0 ( ) ( ( ) ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ( ) ) 0 που ισχύει 9 Έστω > Να συγκρίνετε τους αριθµούς Λύση: και ( ) ( ) ( ) ( )( ) Από υπόθεση έχουµε 0 > Επίσης, µε βάση το παράδειγµα 4 προκύπτει ότι > 0 Άρα > 0 είξτε ότι ( b ) b ( c ) c ( ) 6bc Απόδειξη: ( b ) b ( c ) c ( ) 6bc b b b c c c 6bc b b bc c c 6bc Έχουµε b c bc ( bc) 0 b c bc Οµοίως, b c bc και c b bc Προσθέτοντας τις σχέσεις b c bc, b c bc και c b bc κατά µέλη παίρνουµε την αποδεικτέα b b b c c c 6bc Αν bc>,, 0, δείξτε ότι < b c b b c c Απόδειξη: b< b c > (πρόταση 4) b b c Όµοια > και > Προσθέτοντας κατά µέλη παίρνουµε την b c b c c b c αποδεικτέα Να λύσετε τις ανισώσεις: (i) > και (ii) 6 0 9

Λύση: (i) > 6 > 6 6 επί 6>0 ( ) > ( ) 4 > 9 9> 9 7 6> 7 < 6< 0 6-7/6 0 < -7/6 (ii) Κατ αρχάς θα πρέπει 0 και 0 Με τους περιορισµούς αυτούς έχουµε: 0 0 ( )( ) 0 0 ιατάσσουµε τις ρίζες ( )( ) ( )( ), και των παραγόντων, και αντίστοιχα, σε αύξουσα σειρά και παίρνουµε τον παρακάτω πίνακα: (ο κανόνας είναι: «περιττό πλήθος αρνητικών σηµείων κάνει πλήν») - - -/ - - - -/ 0 - - - παράσταση - - Στα σηµεία και έχουµε φέρει διακεκοµµένες γραµµές, αφού σ αυτά δεν είναι µη ( )( ) ορίζεται η παράσταση Από τον πίνακα βρίσκουµε ότι η παράσταση θετική αν και µόνον αν < ή < - -/ -/ Να λύσετε το σύστηµα: 0 ( )( ) 7 < 0 Λύση: Η πρώτη ανίσωση έχει λυθεί στο προηγούµενο παράδειγµα Οι λύσεις της είναι όλοι οι αριθµοί µε < ή < 0

Για τη δεύτερη ανίσωση παρατηρούµε ότι πρέπει και αρκεί οι αριθµοί 7 και να είναι ετερόσηµοι Έχουµε τον πίνακα: 7 - - -7/ - - 0-7 - Θα πρέπει λοιπόν 7 < < Οι λύσεις αυτές σε συνδυασµό µε τις λύσεις της προηγούµενης ανίσωσης παριστάνονται στο ακόλουθο σχήµα: - - -/ -7/ -/ Το µπλέ τµήµα παριστάνει τις λύσεις της 7 < 0 Τα υπόλοιπα τµήµατα (κίτρινο και πράσινο) είναι οι λύσεις της 0 Τα πράσινα τµήµατα είναι οι κοινές λύσεις ( )( ) Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι: < < ή 7 < < Άλυτες ασκήσεις Να αποδείξετε τα ακόλουθα: b b (i) Αν b>, 0, τότε < b b (ii) ( y z ) ( y z), για κάθε yz,, R (iii) Αν 0< <, τότε ( ) (iv) Αν b>, 0 και b, τότε (v) Αν b c, τότε > 4 5 4 4 b b b > 0 b c Αν 0 < < b, να συγκρίνετε τους αριθµούς A b και B b ( ) Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: (i) 5 > και 4 6 (ii) ( ) Κατά την επίλυση ανισώσεων είναι όπως είδαµε χρήσιµο να επικαλούµαστε τη γεωµετρική εποπτεία Οι λύσεις τις περισσότερες φορές, αν όχι όλες, αποτελούν διαστήµατα του συνόλου των πραγµατικών Έτσι ορίζουµε:

44 Ορισµός Έστω b, R Θέτουµε: i) ( b, ) { R < < b} b ii) [ b, ) { R < b} b iii) ( b, ] { R < b} b iv) [ b, ] { R b} b v) (, ) { R < } vi) [, ) { R } vii) (, b) { R < b} b viii) (, b] { R b} Αν b, τότε καθένα από τα διαστήµατα των περιπτώσεων i), ii) και iii) είναι το κενό σύνολο Το διάστηµα [, ] είναι το µονοσύνολο {} Αν σύνολο > b, τότε καθένα από τα διαστήµατα των περιπτώσεων i), ii), iii) και iv) είναι το κενό b

Αν παρατηρήσουµε το επόµενο σχήµα θα διαπιστώσουµε ότι η πραγµατική ευθεία είναι ένωση ξένων ανά δύο διαστηµάτων της µορφής [ k, k ), k Z Με άλλα λόγια, για κάθε πραγµατικό αριθµό υπάρχει µοναδικός ακέραιος µε την ιδιότητα [ k, k ), δηλαδή k < k -5-4 - - - 0 4 5 (Φυσικά αυτή η παρατήρηση δεν αποτελεί και µαθηµατική απόδειξη του γεγονότος αυτού, η οποία, όσο και αν αυτό φαίνεται παράξενο, δεν είναι τετριµένη) 45 Ορισµός Ο ακέραιος k λέγεται ακέραιο µέρος του και συµβολίζεται µε [ ], δηλαδή ο [ ] είναι ο µοναδικός ακέραιος µε την ιδιότητα [ ] < [ ] Πρακτικά, για να βρούµε το ακέραιο µέρος ενός θετικού αριθµού, παραλείπουµε τα δεκαδικά του ψηφία Έτσι, [,4], [π][,459] κοκ Αυτό όµως δεν ισχύει όταν θεωρούµε αρνητικούς αριθµούς Εκεί παραλείπουµε τα δεκαδικά ψηφία, αλλά στη συνέχεια αφαιρούµε το Έτσι, [ 7,59] 8, [,76666] 4 κοκ 46 Παραδείγµατα είξτε ότι για κάθε ακέραιο k ισχύει [ k] [ ] k, όπου R Απόδειξη: Έχουµε [ ] < [ ] [ ] k k < ([ ] k) Επειδή ο ακέραιος [ ] k έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα του ακεραίου µέρους του k, έπεται ότι [ k] [ ] k Αν, b είναι δύο θετικοί ακέραιοι, δείξτε ότι ο ακέραιος ευκλείδειας διαίρεσης : b b ισούται µε το πηλίκο της Απόδειξη: Η ευκλείδεια διαίρεση : b µας δίνει ένα (µοναδικό) πηλίκο π και ένα (µοναδικό) υπόλοιπο υ µε την ιδιότητα πb υ, όπου 0 υ < b Εποµένως, υ π Με βάση το b b

προηγούµενο παράδειγµα, π b υ π b b Αλλά, 0 υ < b υ και εποµένως 0 b Άρα Άλυτες ασκήσεις 0, αν Z Να αποδείξετε ότι: (i) [ ] [0,), (ii) [ ] [ ], αν Z, [ ] (iii), όπου,,, (iv) 0, αν [ ] < [ ] [ ], αν [ ], (v) [ ] [ y] [ ] [ y] [ y], για κάθε y, R 5 Απόλυτες τιµές Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού, στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών είναι η απόστασή του από το µηδέν -5 0 5 Πιο αυστηρά, ορίζουµε: 5 Ορισµός αν 0, Έστω R Θέτουµε αν < 0 Ο αριθµός ονοµάζεται απόλυτη τιµή του Στη συνέχεια µελετάµε τις ιδιότητες της απόλυτης τιµής Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι η απόλυτη τιµή είναι ο µεγαλύτερος (ο µη αρνητικός) από τους αριθµούς και οι αριθµοί µπορεί να είναι ίσοι αν και µόνον αν 0) (Αυτοί 5 Πρόταση (i) 0, για κάθε R Επιπλέον, ισχύει 0 0 (ii), για κάθε R 4

(iii), για κάθε R (iv) y y, για κάθε y R, (v), για κάθε y R, µε y 0 y y (vi) ± y y y Απόδειξη: Οι (i) και (ii) προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό 4 (iii) Από τον ορισµό 5 έχουµε ότι ή Σε κάθε περίπτωση, ( ± ) (iv) Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι αν, b είναι δύο µη αρνητικοί αριθµοί, τότε ισχύει b b [Αρκεί να αποδείξουµε το " " Αν > b, τότε από την πρόταση 4 παίρνουµε > b, άτοπο Αν < b, τότε από την πρόταση 4 παίρνουµε και πάλι] Οι αριθµοί y και y είναι προφανώς µη αρνητικοί Ακόµη, y ( y) y y ( y ) και εποµένως y y (iii) (iii) < b, άτοπο (v) (iii) (iii) και άρα y y y y y y y (vi) y y y Ακόµη, y y 0 ( y)( y) 0 (ii) y ή y Η επόµενη ανισότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιµη: 5 Πρόταση (τριγωνική ανισότητα) Για κάθε y R, ισχύει: y y y Απόδειξη: Έχουµε y y y ( y ) ( y) y y y y y y y y Η τελευταία σχέση προφανώς ισχύει Ακόµη, y y y y y y y y, γιατί y y Παρόµοια, y y y y Εφόσον η απόλυτη τιµή y είναι µεγαλύτερη ή ίση από κάθε έναν από τους αντίθετους αριθµούς y και y, θα είναι µεγαλύτερη ή ίση από την απόλυτη τιµή τους y 5

Σχόλιο: Η ονοµασία «τριγωνική» γίνεται φανερή στις δύο ή τρεις διαστάσεις, όπου η ανισότητα αυτή αναφέρεται στα µήκη διανυσµάτων τα οποία σχηµατίζουν πλευρές τριγώνου Αν A {,,, } είναι ένα πεπερασµένο σύνολο, συµβολίζουµε µε m A το µεγαλύτερο στοιχείο του Α και µε mi A το µικρότερο στοιχείο αυτού 5 Πρόταση Ισχύουν τα εξής: (i) y y m{ y, } και (ii) y y mi{ y, } Απόδειξη: (i) Έστω y Τότε m{, y} Ακόµη, y 0 και άρα y y y y y y y y Εποµένως, δηλαδή, m{ y, } σ αυτή την περίπτωση Έστω < y Τότε m{, y} y Ακόµη, y< 0 και άρα y y y y y y y y Εποµένως, y δηλαδή, m{ y, } και σ αυτή την περίπτωση y y y ( y) (ii) Έστω y Τότε mi{, y} y Εποµένως, y δηλαδή, y y mi{ y, } σ αυτή την περίπτωση y y y ( y ) Έστω < y Τότε mi{, y} Εποµένως, δηλαδή, y y mi{ y, } και σ αυτή την περίπτωση 54 Ορισµός Έστω y R, Η απόσταση των αριθµών και y στην πραγµατική ευθεία είναι η διαφορά του µικρότερου από τον µεγαλύτερο Αν χρησιµοποιήσουµε τους τύπους της πρότασης 5 θα βρούµε ότι η απόσταση µεταξύ y y y y των και y είναι ίση µε m{ y, } mi{ y, } y y -y 6