Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Γ. Λυμπερόπουλος Ιανουάριος 2012 Θέμα 1 Ένα εργοστάσιο που δουλεύει ασταμάτητα έχει τέσσερις (4) πανομοιότυπες γραμμές παραγωγής. Από αυτές, μπορούν να δουλεύουν συγχρόνως μόνον οι δύο (2). Κάθε γραμμή που δουλεύει παθαίνει βλάβες σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό μία (1) βλάβη ανά 8 ώρες. Το εργοστάσιο έχει δικό του συνεργείο για να επισκευάζει τις βλάβες των γραμμών. Στο συνεργείο αυτό εργάζονται παράλληλα και ανεξάρτητα δύο (2) μηχανικοί. Ο χρόνος επισκευής μιας γραμμής από έναν μηχανικό ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 6 ώρες. Το κόστος επισκευής κάθε γραμμής είναι 40. Το κόστος απασχόλησης των μηχανικών είναι 10 ανά ώρα για κάθε μηχανικό, όταν αυτός απασχολείται. Τα έσοδα του εργοστασίου είναι 350 ανά ημέρα για κάθε γραμμή που δουλεύει. 1. Σχεδιάστε το διάγραμμα ροής της διαδικασίας γεννήσεων θανάτων που αναπαριστά τον αριθμό των χαλασμένων γραμμών στο συνεργείο, και βρείτε τις πιθανότητες μόνιμης κατάστασης. 2. Υπολογίστε το μέσο ωριαίο κέρδος (έσοδα κόστη) του εργοστασίου από την εκμετάλλευση και συντήρηση των γραμμών. Θέμα 2 Ένα εμπορικό πλοίο έχει δύο (2) πανομοιότυπες μηχανές diesel. Κάθε μηχανή παθαίνει βλάβες ανεξάρτητα από την άλλη, σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 1 βλάβη ανά 1000 ώρες. Το πλοίο έχει δικό του συνεργείο επισκευών που μπορεί να επισκευάζει μια βλάβη κάθε φορά. Ο χρόνος επισκευής κάθε μηχανής ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή r ώρες. Ένα πλοίο θεωρείται ακυβέρνητο όταν πάνω από οι μισές μηχανές του είναι χαλασμένες. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να έχει το r, ούτως ώστε το πλοίο να μην μένει ακυβέρνητο περισσότερο από 0,1% του χρόνου; Λύση Δεδομένα: Βασικό πρότυπο με περιορισμένο πληθυσμό Μ = 2 λ = 1/1000 βλάβες/ώρα (= 0.001) μ = 1/r επισκευές/ώρα ρ = λ/μ Ποσοστό χρόνου που το πλοίο είναι ακυβέρνητο = P 3 Απαίτηση: P 3 0.001 Υπολογισμοί: P 0 = 1/(1 + 2ρ + 2ρ 2 ) P 3 = 2ρ 2 P 0 = 2ρ 2 /(1 + 2ρ + 2ρ 2 ) 0.001 2ρ 2 0.001 + 20.001 ρ + 20.001ρ 2 20.999ρ 2 20.001ρ 0.001 0 1.998ρ 2 0.002ρ 0.001 0 Για να βρούμε το μέγιστο ρ που ικανοποιεί την ανισότητα, λύνουμε για την ισότητα (= 0) 0.002 ( 0.002) 2 (4)(1.998)( 0.001) (2)(1.998) 0.002 0.0894 (2)(1.998) 0.022878, 0.021877 Κρατούμε μόνο τη θετική λύση, δηλαδή, ρ = 0.022878 r = ρ/λ = 0.022878/0.001 = 22.878 ώρες (κάτι λιγότερο από μία ημέρα) Θέμα 3

Ένα πρατήριο υγρών καυσίμων στο κέντρο της πόλης έχει δύο (2) πανομοιότυπες αντλίες βενζίνης και χώρο αναμονής που χωράει μόνον δύο αυτοκίνητα εκτός από αυτά που τυχόν εξυπηρετούνται στις δύο αντλίες. Το πρατήριο εφαρμόζει την εξής τιμολογιακή πολιτική: Αν ένα αυτοκίνητο πρέπει να περιμένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί, αγοράζει την βενζίνη με 1,74 ευρώ ανά λίτρο. Αν δεν χρειάζεται να περιμένει, την αγοράζει με 1,76 ευρώ ανά λίτρο. Τα αυτοκίνητα καταφθάνουν στο πρατήριο σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 20 αυτοκίνητα ανά ώρα. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης στην αντλίες είναι εκθετικά κατανεμημένοι με μέση τιμή 3 λεπτά. 1. Ποια είναι η μέση τιμή πώλησης της βενζίνης ανά λίτρο; 2. Ποιο είναι το ποσοστό των αυτοκινήτων που καταφθάνουν για τροφοδοσία αλλά τελικά δεν εισέρχονται στο πρατήριο λόγω ανεπάρκειας του χώρου αναμονής (χαμένοι πελάτες) και τα αντίστοιχα χαμένα έσοδα του σταθμού σε ευρώ ανά ώρα, όταν στον μέσο όρο ο οδηγός ενός αυτοκινήτου αγοράζει βενζίνη αξίας 20 ευρώ. Θέμα 4 Ένα μηχανουργείο που δουλεύει ασταμάτητα έχει 4 πανομοιότυπες πρέσες. Από αυτές, απαιτείται να δουλεύουν συγχρόνως μόνον οι 3. Κάθε πρέσα που δουλεύει παθαίνει βλάβες σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 1 βλάβη ανά 12 ώρες. Το μηχανουργείο έχει δικό του συνεργείο για να επισκευάζει τις βλάβες των πρεσών. Στο συνεργείο αυτό εργάζονται παράλληλα και ανεξάρτητα δύο (2) μηχανικοί. Ο χρόνος επισκευής μιας πρέσας από έναν μηχανικό ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 4 ώρες. Το κόστος επισκευής κάθε πρέσας είναι 30. Το κόστος απασχόλησης των μηχανικών είναι 12 ανά ώρα για κάθε μηχανικό, όταν αυτός απασχολείται. Τα διαφυγόντα έσοδα του μηχανουργείου όταν δουλεύουν λιγότερες από 3 πρέσες είναι 250 ανά ημέρα για κάθε πρέσα που δεν δουλεύει. 1. Σχεδιάστε το διάγραμμα ροής της διαδικασίας γεννήσεων θανάτων που αναπαριστά τον αριθμό των χαλασμένων πρεσών στο συνεργείο, και βρείτε τις πιθανότητες μόνιμης κατάστασης. 2. Υπολογίστε το μέσο ωριαίο κόστος του εργοστασίου από την εκμετάλλευση και συντήρηση των πρεσών. Θέμα 5 Ένα σύστημα ουράς έχει 2 πανομοιότυπες θέσεις εργασίας με μια κοινή ουρά αναμονής που χωράει μέχρι 2 πελάτες (οποτεδήποτε υπάρχουν περισσότεροι από 2 πελάτες στην ουρά, οποιοσδήποτε νέος πελάτης καταφθάσει στο κατάστημα δεν εισέρχεται στο σύστημα και επομένως φεύγει για πάντα). Η μια θέση εργασίας είναι πάντα ανοιχτή («με αναμμένη μηχανή»). Η άλλη θέση είναι κλειστή, αν υπάρχουν λιγότεροι από 3 πελάτες στο σύστημα, αλλιώς ανοίγει και αυτή. Οι πελάτες καταφθάνουν στο σύστημα σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 10 πελάτες ανά ώρα. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ανά πελάτη σε κάθε θέση εξυπηρέτησης έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή 12 λεπτά. 1. Σχεδιάστε το διάγραμμα ροής της διαδικασίας γεννήσεων θανάτων που αναπαριστά τον αριθμό των πελατών στο σύστημα και βρείτε τις πιθανότητες μόνιμης κατάστασης. 2. Υπολογίστε τον μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα. 3. Υπολογίστε τον μέσο αριθμό των απασχολούμενων θέσεων εξυπηρέτησης. 4. Υπολογίστε το μέσο κέρδος του συστήματος όταν κάθε πελάτης που εξυπηρετείται αποφέρει έσοδα 4, το κόστος παραμονής στο σύστημα είναι 15 ανά ώρα ανά πελάτη και το κόστος λειτουργίας των θέσεων εξυπηρέτησης είναι 10 ανά ώρα για κάθε ανοιχτή θέση εξυπηρέτησης. Θέμα 6 Ένα εργοστάσιο που λειτουργεί 8 ώρες την ημέρα έχει έναν στόλο 4 πανομοιότυπων περονοφόρων ανυψωτικών οχημάτων (κλαρκ). Από αυτά, απαιτείται να εργάζονται συγχρόνως μόνον τα 3. Κάθε κλαρκ που εργάζεται παθαίνει βλάβες σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 1 βλάβη ανά 2 ημέρες. Το εργοστάσιο έχει δικό του συνεργείο για να επισκευάζει τις βλάβες των κλαρκ. Στο συνεργείο αυτό εργάζεται ένας μηχανικός με μισθό 50 ανά ημέρα. Ο χρόνος επισκευής κάθε κλαρκ από τον μηχανικό ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 4 ώρες. Το κόστος επισκευής κάθε κλαρκ είναι 20. Τα διαφυγόντα έσοδα του εργοστασίου όταν εργάζονται λιγότερα από 3 κλαρκ είναι 200 ανά ημέρα για κάθε κλαρκ που δεν εργάζεται. 2

1. Σχεδιάστε το διάγραμμα ροής της διαδικασίας γεννήσεων θανάτων που αναπαριστά τον αριθμό των χαλασμένων κλαρκ στο συνεργείο, και βρείτε τις πιθανότητες μόνιμης κατάστασης. 2. Υπολογίστε το μέσο ημερήσιο κόστος του εργοστασίου από την εκμετάλλευση και συντήρηση των κλαρκ. Θέμα 7 Ένα κέντρο εξυπηρέτησης έχει 2 θέσεις εξυπηρέτησης και χώρο αναμονής που χωράει 2 πελάτες. Οι πελάτες καταφθάνουν στο κέντρο τυχαία, σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson, με ρυθμό 12 πελάτες ανά ώρα. Όταν ο χώρος αναμονής είναι γεμάτος, οι πελάτες που καταφθάνουν στο σταθμό δεν εισέρχονται σε αυτόν αλλά πάνε σε άλλο σταθμό. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ενός πελάτη ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέσο 5 λεπτά. Τα έσοδα του σταθμού από κάθε πελάτη που εξυπηρετείται είναι 23 ευρώ. Το κόστος λειτουργίας κάθε θέσης εξυπηρέτησης, όταν αυτή εξυπηρετεί, είναι 92 ευρώ ανά ώρα, ενώ το κόστος του σταθμού από την αναμονή των πελατών είναι 460 ευρώ ανά ώρα αναμονής για κάθε πελάτη που περιμένει. Ποιο είναι το κέρδος του σταθμού ανά ώρα; Λύση Μοντέλο ουράς M/M/2/4 με λ = 12 πελάτες ανά ώρα, μ = 1 πελάτης ανά 5 λεπτά = 12 πελάτες ανά ώρα Υπολογισμός πιθανοτήτων μόνιμης κατάστασης: 2 3 4 2 3 4 1 1 1 0 2 2 3 3 4 P 1 1 1 11 8/23 2 2 2 2 4 8 P1 1P0 8/23 P2 (1/2) P0 4/23 P3 (1/ 4) P0 (1/ 4) P0 2/ 23 P (1/8) P (1/8) P 1/23 4 0 0 Ωριαίο κόστος λειτουργίας: P P P P 8 421 22 92 1 12( 2 3 4) 921 2 92 88 ευρώ ανά ώρα 23 23 23 2 2 4 Ωριαίο κόστος αναμονής: 460(1P3 2 P4) 460 460 80 ευρώ ανά ώρα 23 23 23 1 22 Ωριαία έσοδα του σταθμού: 23 (1 P M ) 23121 2312 264 ευρώ ανά ώρα 23 23 Ωριαίο κέρδος του σταθμού = 264 88 80 = 96 ευρώ ανά ώρα. Θέμα 8 Ένα δημοφιλές κουρείο με δύο (2) εξ ίσου ικανούς κουρείς που εργάζονται παράλληλα εφαρμόζει την εξής τιμολογιακή πολιτική: Αν ένας πελάτης που εισέρχεται στο κουρείο δεν χρειάζεται να περιμένει για να εξυπηρετηθεί, πληρώνει 10 για το κούρεμά του. Αν χρειάζεται να περιμένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί, πληρώνει 8. Οι πελάτες καταφθάνουν στον κουρείο σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 4 πελάτες ανά ώρα. Οι χρόνοι κουρέματος είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους και έχουν εκθετική κατανομή με μέση τιμή 20 λεπτά. 1. Βρείτε την αναμενόμενη (μέση) τιμή ενός κουρέματος, όταν η ουρά αναμονής έχει απεριόριστο μήκος. 2. Βρείτε την μέση τιμή ενός κουρέματος, όταν ο χώρος αναμονής των πελατών έχει θέση για δύο (2) πελάτες. Επίσης, βρείτε το ποσοστό των δυνατών πελατών που χάνονται λόγω ανεπάρκειας του χώρου αναμονής και τα αντίστοιχα χαμένα έσοδα του κουρείου σε ανά ώρα. Θέμα 9 Στο τηλεφωνικό κέντρο εξυπηρέτησης πελατών μιας εταιρίας δουλεύει ένας μόνο τηλεφωνητής. Εκτός από την τηλεφωνική γραμμή του πελάτη που εξυπηρετείται, το τηλεφωνικό κέντρο έχει δύο ακόμα γραμμές «αναμονής» για πελάτες που αναμένουν να εξυπηρετηθούν μέχρι να ελευθερωθεί ο τηλεφωνητής. Σε περίπτωση που και οι τρείς τηλεφωνικές γραμμές (η γραμμή του τηλεφωνητή και οι δύο της «αναμονής») είναι απασχολημένες, οποιοσδήποτε πελάτης τηλεφωνεί παίρνει ένα «κατειλημμένο» σήμα, οπότε φεύγει για 3

πάντα και καλεί μιαν άλλη εταιρία. Όμως ακόμα και οι πελάτες σε αναμονή έχουν περιορισμένη υπομονή. Κάθε πελάτης σε αναμονή είναι διατεθειμένος να αναμένει στο ακουστικό του έναν εκθετικά κατανεμημένο τυχαίο χρόνο με μέση τιμή 15 λεπτά. Αν δεν ξεκινήσει να εξυπηρετείται σε αυτόν το χρόνο, εγκαταλείπει το κέντρο για πάντα χωρίς να έχει εξυπηρετηθεί. Οι πελάτες τηλεφωνούν στο κέντρο τυχαία, δηλαδή σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό 10 πελάτες ανά ώρα. Η διάρκεια των τηλεφωνικών συνδιαλέξεων ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 10 λεπτά. 1. Ορίστε μια διαδικασία γεννήσεων θανάτων (καθορίστε τους ρυθμούς γέννησης και θανάτων) για να μοντελοποιήσετε το αριθμό των πελατών (που εξυπηρετούνται ή βρίσκονται σε αναμονή) στο κέντρο, και σχεδιάστε το διάγραμμα ροής της διαδικασίας. 2. Βρείτε τις πιθανότητες μόνιμης κατάστασης του αριθμού πελατών στο κέντρο; 3. Ποιος είναι ο μέσος ρυθμός προσχώρησης των πελατών στο κέντρο, όπου ένας πελάτης νοείται ότι προσχωρεί στο σύστημα όταν τηλεφωνεί και δεν παίρνει «κατειλημμένο» σήμα. 4. Ποιος είναι ο μέσος ρυθμός αναχώρησης των εξυπηρετηθέντων πελατών; 5. Ποιος είναι ο μέσος ρυθμός αποχώρησης των πελατών που χάνουν την υπομονή τους και φεύγουν χωρίς να εξυπηρετηθούν; Λύση Ρυθμός άφιξης: λ = 10 πελάτες/ώρα Ρυθμός εξυπηρέτησης: μ = 60/10 = 6 πελάτες/ώρα Ρυθμός αποχώρησης χωρίς εξυπηρέτηση ενός πελάτη σε αναμονή: θ = 60/15 = 4 πελάτες/ώρα 1. Διάγραμμα ροής διαδικασίας γεννήσεων θανάτων λ λ λ 0 1 2 3 μ μ+θ μ+θ+θ 1. Πιθανότητες μόνιμης κατάστασης C 1 = 10/6 C 2 = (10)(10)/(6)(6+4) C 3 = (10)(10)(10)/(6)(6+4)(6+4+4) 1 1 1 42 P0 0.1810 1C 10 (10)(10) (10)(10)(10) 42 70 70 50 1C2 C3 1 232 6 (6)(10) (6)(10)(14) 42 42 42 42 70 42 70 P1 C1P0 0.3017 42 232 232 70 42 70 P2 C2P0 0.3017 42 232 232 50 42 50 P3 C3P0 0.2155 42 232 232 2. Μέσος ρυθμός προσχώρησης των πελατών στο κέντρο = 50 232 50 182 (1 P3 ) 101 10 10 (10)(0.78448) 7.8448 πελάτες/ώρα 232 232 232 4

3. Μέσος ρυθμός αναχώρησης των εξυπηρετηθέντων πελατών = P 70 70 50 190 1 P 2 P 3 6 6 4.9138 πελάτες/ώρα 232 232 232 232 4. Μέσος ρυθμός αποχώρησης των πελατών που χάνουν την υπομονή τους και φεύγουν χωρίς να εξυπηρετηθούν = 7.8448 4.9138 = 2.931 πελάτες/ώρα Θέμα 10 Ένα ναυπηγείο επισκευής πλοίων έχει ένα (1) συνεργείο επισκευής και χώρο δεξαμενισμού που χωράει δύο (2) πλοία. Για να επισκευάσει ένα πλοίο, το συνεργείο μεταφέρεται στο χώρο του δεξαμενισμού που βρίσκεται το πλοίο. Ο χρόνος επισκευής ενός πλοίου από το συνεργείο ακολουθεί εκθετική κατανομή με ρυθμό ένα (1) πλοίο ανά μήνα. Τα πλοία φτάνουν στο ναυπηγείο για επισκευή τυχαία, σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό 0.9 πλοία ανά μήνα. Κάθε πλοίο που φτάνει όταν η ο χώρος δεξαμενισμού είναι πλήρης δεν εισέρχεται στο ναυπηγείο και επομένως φεύγει για πάντα. Κάθε πλοίο που επισκευάζεται αποφέρει C r = 2.5 εκ. ευρώ έσοδα στο ναυπηγείο. Το συνεργείο επισκευής κοστίζει στο ναυπηγείο C s = 0.7 εκ. ευρώ ανά μήνα. Επίσης, το ενοίκιο που πληρώνει το ναυπηγείο για το χώρο δεξαμενισμού είναι C M = 0.1 εκ. ευρώ ανά μήνα για κάθε θέση δεξαμενισμού, ενώ το κόστος που επωμίζεται το ναυπηγείο από τη χαμένη εκμετάλλευση των πλοίων που βρίσκονται στο ναυπηγείο είναι C W = 0.2 εκ. ευρώ ανά πλοίο ανά μήνα. Τέλος, τα πάγια κόστη του ναυπηγείου είναι 0.4 εκ. ευρώ ανά μήνα. 1. Ποια είναι τα μηνιαία κέρδη του ναυπηγείου; 2. Ο διαχειριστής του ναυπηγείου θέλει να αυξήσει τα κέρδη του ναυπηγείου και εξετάζει τις εξής δύο εναλλακτικές λύσεις: a. Να επεκτείνει το χώρο δεξαμενισμού έτσι ώστε να χωράει ακόμα ένας πλοίο, πληρώνοντας το επιπλέον ενοίκιο που αναλογεί. b. Να ενισχύσει το υπάρχον συνεργείο με τρόπο ώστε ο ρυθμός επισκευής ενός πλοίου από το ενισχυμένο συνεργείο να αυξηθεί κατά 10% με αντίστοιχη αύξηση του κόστους εξυπηρέτησης (υποθέστε ότι ο χρόνος επισκευής του ενισχυμένου συνεργείου θα συνεχίσει να ακολουθεί εκθετική κατανομή). Είναι και οι δύο εναλλακτικές λύσεις συμφέρουσες; Αν ναι, ποια η πιο συμφέρουσα; Λύση 5. Πρόκειται για το βασικό πρότυπο με ουρά περιορισμένου μήκους, με παραμέτρους λ = 0.9, μ = 1, M = 2, ρ = λ/μ = 0.9/1 = 0.9. M 10.9 2 P M 1 3 0.9 0.2989 1 M 10.9 M 1 3 ( M 1) 0.9 (3)(0.9) Μέσος αριθμός πλοίων στο ναυπηγείο: L 0.9299 M 1 3 10.9 10.9 Έσοδα = C (1 P ) (2.5)(0.9)(1 0.2989) 1.5775 r M Κόστος εξυπηρέτησης = Cs s (0.7)(1) 0.7 Κόστος ενοικίου = CM M (0.1)(2) 0.2 Κόστος χαμένης εκμετάλλευσης πλοίων = CW L (0.2)(0.9299) 0.1860 Πάγια κόστη = 0.4 Κέρδος = Έσοδα Κόστη = 1.5775 0.7 0.2 0.1860 0.4 = 0.0915 2a) Στην περίπτωση επέκτασης του χώρου δεξαμενισμού, M = 3. Σε αυτή την περίπτωση: M 10.9 3 P M 1 4 0.9 0.2120 1 M 10.9 5

M 1 4 ( M 1) 0.9 (3)(0.9) L 1.3687 M 1 4 10.9 10.9 Έσοδα = C (1 P ) (2.5)(0.9)(1 0.2120) 1.7730 r M Κόστος εξυπηρέτησης = Cs s (0.7)(1) 0.7 Κόστος ενοικίου = CM M (0.1)(3) 0.3 Κόστος χαμένης εκμετάλλευσης πλοίων = CW L (0.2)(1.3687) 0.2737 Πάγια κόστη = 0.4 Κέρδος = Έσοδα Κόστη = 1.7730 0.7 0.3 0.2737 0.4 = 0.0993 Συνεπώς το όφελος είναι 0.0993 0.0915 = 0.0078 2b) Στην περίπτωση της ενίσχυσης του συνεργείου, μ = 1.1, ρ = λ/μ = 0.9/1.1 = 0.8182, C s = 0.77. Σε αυτή την περίπτωση: M 10.8182 2 P M 1 3 0.8182 0.2691 1 M 10.8182 M 1 3 ( M 1) 0.8182 (3)(0.8182) L 0.8671 M 1 3 10.8182 10.8182 Έσοδα = C (1 P ) (2.5)(0.8182)(1 0.2691) 1.6445 r M Κόστος εξυπηρέτησης = Cs s (0.7)(1.1) 0.77 Κόστος ενοικίου = CM M (0.1)(2) 0.2 Κόστος χαμένης εκμετάλλευσης πλοίων = CW L (0.2)(0.8671) 0.1734 Πάγια κόστη = 0.4 Κέρδος = Έσοδα Κόστη = 1.6445 0.77 0.2 0.1734 0.4 = 0.1011 Συνεπώς το όφελος είναι 0.1011 0.0915 = 0.0096 Θέμα 11 Στο εργαστήριο μιας χημικής βιομηχανίας η ανάλυση των δειγμάτων από την κορυφή αποστακτικής στήλης γίνεται με χρωματογράφο. Έχει παρατηρηθεί ότι τα δείγματα έρχονται με μέσο ρυθμό 18 την ώρα και ο χρωματογράφος κατά μέσο όροι εκτελεί 8 αναλύσεις την ώρα. Από τη φύση των δειγμάτων, ο χρόνος αναμονής για την ανάλυση δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 10 λεπτά, αλλιώς τα δείγματα είναι άχρηστα και πρέπει να καταστραφούν. Αν οι αφίξεις των δειγμάτων και οι αναλύσεις ακολουθούν κατανομή Poisson με μέσες τιμές τις παραπάνω, πόσες συσκευές χρωματογραφίας είναι απαραίτητες έτσι ώστε η πιθανότητα καταστροφής του δείγματος να είναι μικρότερη από 5%; Θέμα 12 Μια εταιρία μεταφορών έχει δικό της συνεργείο για να αποκαθιστά τις μικροβλάβες που παρατηρούνται στα αυτοκίνητά της με μέση τιμή 3 αυτοκίνητα την ώρα. Το κόστος από την ακινησία ενός αυτοκινήτου στο συνεργείο είναι 80 την ώρα. Στο συνεργείο μόνο ένας τεχνίτης μπορεί να ασχολείται με επισκευές. Ο χώρος του συνεργείου είναι τόσος ώστε χωρούν μόνο 6 αυτοκίνητα. Όσα αυτοκίνητα δεν χωρούν στο συνεργείο επισκευάζονται άμεσα από έκτακτο προσωπικό με κόστος 40 ανά αυτοκίνητο. Αυτή τη στιγμή το συνεργείο δεν έχει τεχνίτη και η εταιρία αντιμετωπίζει το πρόβλημα να επιλέξει ανάμεσα σε δύο τεχνίτες, τον Α και τον Β, που θέλουν να προσληφθούν. Ο Α ζητάει 50 την ώρα και επισκευάζει αυτοκίνητα με χρόνο που ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 15 λεπτά. Ο Β ζητάει 80 την ώρα και επισκευάζει αυτοκίνητα με χρόνο που ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 10 λεπτά. Ποιόν από τους δύο τεχνίτες πρέπει να διαλέξει η εταιρία για να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος της; 6

Θέμα 13 Σε ένα κουρείο δουλεύει ένας μόνο κουρέας. Εκτός από την καρέκλα του πελάτη που κουρεύεται, το κουρείο έχει δύο ακόμα καρέκλες για πελάτες που περιμένουν να κουρευτούν. Οι πελάτες καταφθάνουν στο κουρείο με ρυθμό 6 πελάτες ανά ώρα. Ο χρόνος εξυπηρέτησης (κουρέματος) ενός πελάτη ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 12 λεπτά. Οι πελάτες που καταφθάνουν στο κουρείο και βρίσκουν τον κουρέα απασχολημένο και τις δύο καρέκλες αναμονής κατειλημμένες, αποχωρούν αμέσως. Όμως ακόμα και οι πελάτες σε αναμονή έχουν περιορισμένη υπομονή. Κάθε πελάτης σε αναμονή είναι διατεθειμένος να περιμένει έναν εκθετικά κατανεμημένο τυχαίο χρόνο με μέση τιμή 15 λεπτά πριν ξεκινήσει να κουρεύεται. Αλλιώς εγκαταλείπει το κουρείο (αποχωρεί χωρίς να έχει κουρευτεί). 1. Ορίστε μια διαδικασία γεννήσεων θανάτων (καθορίστε τους ρυθμούς γέννησης και θανάτων) για να μοντελοποιήσετε το αριθμό των πελατών (που εξυπηρετούνται ή βρίσκονται σε αναμονή) στο κουρείο. 2. Ποιο είναι το μακροχρόνιο ποσοστό του χρόνου που το κουρείο είναι άδειο; 3. Ποιος είναι ο ρυθμός εξυπηρέτησης των πελατών, δηλαδή ποιος είναι ο ρυθμός αναχώρησης των εξυπηρετηθέντων πελατών; 4. Ποιο είναι το μακροχρόνιο ποσοστό των αφίξεων που εγκαταλείπουν το κουρείο (δηλαδή, εισέρχονται, αναμένουν και αποχωρούν χωρίς να κουρευτούν); Θέμα 14 Ο διευθυντής μίας μικρής επιχείρησης θα ήθελε να δει ποιόν από δύο υποψήφιους υπαλλήλους να προσλάβει. Ο ένας υπάλληλος είναι γρήγορος, κατά μέσο όρο, αλλά κάπως ασυνεπής. Ο άλλος είναι λίγο αργότερος αλλά πολύ συνεπής. Ο πρώτος έχει μέσο χρόνο εξυπηρέτησης 2 λεπτά, με τυπική απόκλιση 1 λεπτό. Ο δεύτερος έχει μέσο χρόνο εξυπηρέτησης 2,1 λεπτά, με τυπική απόκλιση 0,1 λεπτό. Αν η διαδικασία άφιξης είναι Poisson με ρυθμό 20 πελάτες ανά ώρα, ποιος υπάλληλος θα ελαχιστοποιούσε τον μέσο αριθμό των πελατών στην ουρά αναμονής; Ποιος θα ελαχιστοποιούσε τον μέσο αριθμό των πελατών στο σύστημα; Θέμα 15 Ένας σταθμός βενζίνης έχει 2 αντλίες. Τα αυτοκίνητα που χρειάζονται βενζίνη φτάνουν στο σταθμό σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 24 ανά ώρα. Όμως σε περίπτωση που και οι 2 αντλίες χρησιμοποιούνται, οι δυνατοί πελάτες μπορεί να μην προσχωρήσουν στην ουρά αναμονής αλλά να πάνε σε άλλο σταθμό βενζίνης. Συγκεκριμένα, αν υπάρχουν n αυτοκίνητα στο σταθμό η πιθανότητα να μην προσχωρήσει μια νέα άφιξη είναι (n 1)/3, για n = 2, 3, 4. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ενός αυτοκινήτου ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 6 λεπτά. Κατασκευάστε το διάγραμμα ροής για αυτό το σύστημα ουράς και γράψτε την εξίσωση ισορροπίας για την κατάσταση n = 2. Θέμα 16 Ένας σταθμός πλυντηρίου αυτοκινήτων έχει ένα μόνο πλυντήριο. Τα αυτοκίνητα φτάνουν στο σταθμό τυχαία, σύμφωνα με μια διαδικασία εισόδου Poisson με μέσο ρυθμό 4 αυτοκίνητα την ώρα, και μπορεί να χρειαστεί να περιμένουν στο παρκινγκ του σταθμού, αν το πλυντήριο είναι απασχολημένο. Ο χρόνος πλυσίματος ενός αυτοκινήτου είναι εκθετικά κατανεμημένος με μέση τιμή 10 λεπτά. Τα αυτοκίνητα που φτάνουν στο σταθμό αλλά δεν χωρούν να σταθμευθούν στο παρκινγκ, σταθμεύονται στο δρόμο γύρω από το σταθμό. 1. Αν η χωρητικότητα του παρκινγκ του σταθμού είναι 1 αυτοκίνητο, ποια είναι η πιθανότητα ένα αυτοκίνητο που φτάνει στο σταθμό να χρειαστεί να σταθμευθεί στο δρόμο; 2. Να υπολογίσετε ποια πρέπει να είναι η χωρητικότητα του παρκινγκ του σταθμού ώστε ένα αυτοκίνητο που φτάνει στο σταθμό να μπορεί να σταθμευθεί στο παρκινγκ τουλάχιστον 80% του χρόνου. 3. Υποθέστε ότι δεν υπάρχει χώρος στάθμευσης στο δρόμο, συνεπώς τα αυτοκίνητα που φτάνουν στο σταθμό και δεν χωρούν να σταθμευθούν στο παρκινγκ, εγκαταλείπουν αμέσως το σταθμό. Αν η χωρητικότητα του παρκινγκ του σταθμού είναι 2 αυτοκίνητα, κάθε αυτοκίνητο που πλένεται αποφέρει 20, και ο σταθμός λειτουργεί 10 ώρες το 24ωρο, ποια είναι τα μέσα ημερήσια έσοδα του σταθμού; Θέμα 17 Σε μία αραιοκατοικημένη περιοχή γεννιούνται μωρά με ρυθμό μια γέννηση ανά 12 λεπτά. Ο χρόνος μεταξύ γεννήσεων ακολουθεί εκθετική κατανομή. Να βρεθούν τα ακόλουθα: 1. Ο μέσος αριθμός γεννήσεων ανά έτος 7

2. Η πιθανότητα να μην υπάρξει καμία γέννηση σε μια οποιαδήποτε ημέρα. 3. Η πιθανότητα να εκδοθούν 50 πιστοποιητικά γέννησης σε ένα διάστημα 3 ωρών δεδομένου ότι εκδόθηκαν 40 πιστοποιητικά μέσα στις 2 πρώτες ώρες του διαστήματος των 3 ωρών. Θέμα 18 Ένα μικρό υποκατάστημα μιας Τράπεζας έχει 3 ταμεία. Το ένα από αυτά είναι πάντα ανοικτό. Μια πινακίδα πάνω από τα ταμεία πληροφορεί τους πελάτες ότι οποτεδήποτε υπάρχουν 2 ή περισσότεροι πελάτες στην ουρά, θα ανοίξει ένα επιπλέον ταμείο. Αυτό σημαίνει ότι για λιγότερους από 3 πελάτες στα ταμεία θα λειτουργεί μόνον 1 ταμείο. Για 3 ή 4 πελάτες, 2 ταμεία θα είναι ανοικτά. Για περισσότερους από 4 πελάτες, και τα 3 ταμεία θα είναι ανοικτά. Οι πελάτες που θέλουν να εξυπηρετηθούν στα ταμεία καταφθάνουν στην Τράπεζα σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 10 πελάτες ανά ώρα. Όταν όμως υπάρχουν περισσότεροι από 2 πελάτες στην ουρά, οποιοσδήποτε νέος πελάτης καταφθάσει στην Τράπεζα αποθαρρύνεται και φεύγει αμέσως χωρίς να εισέλθει στα ταμεία. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ανά πελάτη σε κάθε ταμείο έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή 12 λεπτά. Να υπολογισθούν τα παρακάτω στοιχεία: 1. Οι πιθανότητες μόνιμης κατάστασης, P n, να υπάρχουν n πελάτες στα ταμεία, για όλες τις πιθανές τιμές του n. 2. Ο μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στα ταμεία. 3. Η κατανομή του αριθμού των ανοικτών ταμείων. 4. Ο μέσος αριθμός των ανοικτών ταμείων. 5. Ο μέσος αριθμός των απασχολούμενων ταμείων. 6. Το ποσοστό των πελατών που καταφθάνουν στην Τράπεζα αλλά αποθαρρύνονται από την ουρά και δεν εισέρχονται στα ταμεία. 7. Το μέσο συνολικό κόστος του συστήματος, όταν το κόστος παραμονής στα ταμεία είναι 15 ανά ώρα ανά πελάτη και το κόστος λειτουργίας των ταμείων είναι 10 ανά ώρα ανά ανοικτό ταμείο. Θέμα 19 Σε έναν σταθμό εξυπηρέτησης με μία θέση εξυπηρέτησης και μήκος ουράς περιορισμένο και ίσο με δύο (2) (δηλαδή χωράνε τρεις (3) πελάτες στον σταθμό) καταφθάνουν πελάτες σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό 12 ανά ώρα. Ο χρόνος εξυπηρέτησης κάθε πελάτη έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή 10 λεπτά. Οι πελάτες που περιμένουν στην ουρά είναι ανυπόμονοι και μπορεί να εγκαταλείψουν το σύστημα πριν έρθει η ώρα τους να εξυπηρετηθούν. Συγκεκριμένα, υποθέστε ότι ο χρόνος που ένας πελάτης είναι διατεθειμένος να περιμένει στην ουρά πριν την εγκαταλείψει έχει εκθετική κατανομή με μέση τιμή 20 λεπτά. 1. Σχεδιάστε το διάγραμμα ροής του αριθμού πελατών στον σταθμό. 2. Βρείτε τις πιθανότητες μόνιμης κατάστασης. 3. Βρείτε τον μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα. 4. Ποιο είναι το ποσοστό των εισερχόμενων πελατών που τελικά εγκαταλείπουν το σύστημα πριν εξυπηρετηθούν; Θέμα 20 Ένα δημοφιλές κουρείο με δύο (2) εξ ίσου ικανούς κουρείς που εργάζονται παράλληλα εφαρμόζει την εξής τιμολογιακή πολιτική: Αν ένας πελάτης που εισέρχεται στο κουρείο δεν χρειάζεται να περιμένει για να εξυπηρετηθεί, πληρώνει 10 για το κούρεμά του. Αν χρειάζεται να περιμένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί, πληρώνει 8. Οι πελάτες καταφθάνουν στον κουρείο σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 4 πελάτες ανά ώρα. Οι χρόνοι κουρέματος είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους και έχουν εκθετική κατανομή με μέση τιμή 20 λεπτά. 1. (Βρείτε την αναμενόμενη (μέση) τιμή ενός κουρέματος, όταν η ουρά αναμονής έχει απεριόριστο μήκος. 2. Βρείτε την μέση τιμή ενός κουρέματος, όταν ο χώρος αναμονής των πελατών έχει θέση για δύο (2) πελάτες. Επίσης, βρείτε το ποσοστό των δυνατών πελατών που χάνονται λόγω ανεπάρκειας του χώρου αναμονής και τα αντίστοιχα χαμένα έσοδα του κουρείου σε ανά ώρα. Θέμα 21 Ένας σταθμός καυσίμων αυτοκινήτων με δύο (2) πανομοιότυπες αντλίες βενζίνης εφαρμόζει την εξής πολιτική: Αν ένας πελάτης πρέπει να περιμένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί, αγοράζει την βενζίνη με 1,74 ανά λίτρο. Αν δεν χρειάζεται να περιμένει, την αγοράζει με 1,76 ανά λίτρο. Οι πελάτες 8

καταφθάνουν στον σταθμό σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 20 ανά ώρα. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης στην αντλίες είναι εκθετικά κατανεμημένοι με μέση τιμή 3 λεπτά. 1. Βρείτε την αναμενόμενη (μέση) τιμή πώλησης της βενζίνης ανά λίτρο, όταν η ουρά αναμονής έχει απεριόριστο μήκος. 2. Βρείτε την μέση τιμή πώλησης της βενζίνης ανά λίτρο, όταν ο χώρος αναμονής των πελατών έχει θέση για δύο (2) πελάτες. Επίσης, βρείτε το ποσοστό των δυνατών πελατών που χάνονται λόγω ανεπάρκειας του χώρου αναμονής και τα αντίστοιχα χαμένα έσοδα του σταθμού σε ανά ώρα, όταν στον μέσο όρο ένας πελάτης αγοράζει βενζίνη αξίας 20. 9