Έργο - Θερμότητα 1
ΜΟΡΦΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ (Μεταβατικές) ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΕΡΓΟ Συναρτήσεις δρόμου Ποσότητες ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ (Κινητική, Δυναμική) ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ (Εσωτερική [U], Ενθαλπία [Η]) Συναρτήσεις σημείου- Τέλεια διαφορικά- Ιδιότητες 2
Χαρακτηριστικά και Σύμβαση προσήμων έργου (W) και θερμότητας (Q) Ποσότητες (Συναρτήσεις διαδρομής) Ενέργειες Μεταβατικές Πρόσημα 3
Θερμότητα Μηχανισμοί Μετάδοσης Αγωγή Μεταξύ στερεών και «στάσιμων» ρευστών q ሶ = λ dt dx Συναγωγή Μεταξύ στερεών και κινούμενων ρευστών q ሶ = h(t w T o ) Ακτινοβολία q ሶ = ε σ T 4 ρευστό στερεό υ o T o ρευστό T w στερεό q ሶ = ρυθμός ροής θερμότητας ανά μονάδα επιφανείας λ = συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας h = συντελεστής συναγωγής ε = συντελεστής εκπομπής [0, 1] σ = σταθερά Stefan-Boltzmann 4
Έργο Έργο μετατόπισης: dw=f ds=(p A)ds=P(A ds)=p dv Οιονεί στατικές διεργασίες: W= dw = P dv= Εμβ(12ba1) Έργο άξονα: Ws P dw=pdv dv Ισχύς : N=W/t 5 Στις οιονεί στατικές (στατικότροπες) διεργασίες το έργο μπορεί να υπολογιστεί ως ολοκλήρωμα, δηλαδή ως εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της διεργασίας (συνεχής γραμμή). Στις αναντίστρεπτες (μη στατικότροπες) διεργασίες αυτό δεν είναι εφικτό. Η διεργασία αποτυπώνεται με διακεκομμένη γραμμή.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ: ΑΝΑΛΥΣΗ-ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ-ΑΝΑΠΤΥΞΗ/ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΠΟΥ ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ: ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΝ ΤΙΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ: Διεργασίες κάθε σώματος που συμμετέχει στο σύστημα, αρχικές και τελικές καταστάσεις. Ισοζύγια μάζας, ενέργειας και εξισώσεις ισορροπίας φάσεων ή/και χημικών αντιδράσεων, αθροίσματα γραμμομοριακών κλασμάτων, ειδικοί περιορισμοί κλπ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Ε) ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Μ) ΠΟΥ ΥΠΕΙΣΕΡΧΟΝΤΑΙ ΣΕ ΑΥΤΕΣ. ΟΡΙΣΜΟΣ (ΔΕΔΟΜΕΝΑ) ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΤΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Η ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ή ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ (Δ=Μ-Ε) ΩΣΤΕ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΝΑ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΜΕΝΗ ΛΥΣΗ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ: ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ ΚΟΣΤΟΥΣ 6
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Έστω πρόβλημα Ε=5 εξισώσεων με Μ=10 μεταβλητές Για την επίλυση του απαιτείται ο ορισμός Δ=Μ-Ε=5 από τις 10 μεταβλητές Οι δυνατοί συνδυασμοί των 10 μεταβλητών ανά 5 είναι: 252 Επομένως στη γενική περίπτωση (από καθαρά μαθηματική άποψη) μπορώ να δώσω για την ιδία διεργασία (σύστημα εξισώσεων) 252 διαφορετικά σετ δεδομένων. Αν Ε=8 και Μ=15, τότε οι συνδυασμοί δίνουν 6435 διαφορετικές λύσεις του ίδιου προβλήματος. Στην πραγματικότητα - για φυσικά προβλήματα - ο αριθμός των επιλογών είναι μικρότερος, αφού κάποιες από τις ελεύθερες μεταβλητές προσδιορίζονται άμεσα από το πρόβλημα, πχ η τροφοδοσία μιας διεργασίας (παροχή και σύσταση) 7
ΑΣΚΗΣΗ 3.1 Μέσα σε διάταξη κύλινδρου-εμβόλου περιέχεται ένα τέλειο αέριο που υφίσταται ρυθμιζόμενη ισοθερμοκρασιακή εκτόνωση, ώστε σε κάθε στιγμή να ισχύει η σχέση: P = A + B V 2 όπου Α,Β σταθερές, P η πίεση και V ο όγκος του αερίου. Αρχικά το αέριο βρίσκεται σε πίεση 9 bar και καταλαμβάνει όγκο 50 lit, ενώ στην τελική κατάσταση ισορροπίας η πίεση είναι 3 bar. Να υπολογιστεί το παραγόμενο έργο κατά την εκτόνωση του αερίου. 8
ΑΣΚΗΣΗ 3.1 ΣΥΝΘΕΣΗ- ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ: κλειστό σύστημα τέλειο αέριο ισοθερμοκρασιακή μεταβολή οιονεί στατική διεργασία W = 1 2 P dv = 1 2 Α + ΒV 2 dv = A (V 2 -V 1 ) + B 3 (V 2 3 -V 13 ) (1) P 1 = Α + ΒV 1 2 (2) P 2 = Α + ΒV 2 2 (3) P 1 V 1 = P 2 V 2 (4) Μεταβλητές: Μ = 7 Εξισώσεις: E = 4 Βαθμοί ελευθερίας/δεδομένα = Μ-Ε = 3 Πιθανοί συνδυασμοί 7 ανά 3 = 35 9
ΑΣΚΗΣΗ 3.1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: P 1,P 2,V 1 (4): V 2 = 150 lt (3-2): B = P 2 P 1 V 2 2 V 1 2 =-300 bar/m 6 (2): A= 9,75 bar (1): W= 65 kj (>0) Μετατροπές: 1 J = 1 Nm=1 Pa m 3 1 bar= 10 5 Pa=100 kpa 10
ΑΣΚΗΣΗ 3.2 Μέσα σε ένα κύλινδρο περιέχεται υδρατμός σε πίεση 0.5 bar και θερμοκρασία 100 ο C. O ατμός, αρχικού όγκου 20 cm 3, υφίσταται ισοθερμοκρασιακή συμπίεση μέχρι τελικού όγκου 5 cm 3. Ζητούνται: 1. Η φύση του νερού στην τελική κατάσταση. 2. Η πορεία της διεργασίας σε διάγραμμα P-V. 3. Το καταναλισκόμενο έργο για τη συμπίεση του νερού. 11
ΑΣΚΗΣΗ 3.2 ΑΝΑΛΥΣΗ: κλειστό σύστημα 12 ισοθερμοκρασιακή μεταβολή στους 100 ο C: P 2 = 1 atm, Από πίνακες κορεσμένης κατάστασης για t=100 ο C ή P 2 =1 atm: v 2 = 1.044 l/kg, v 2 =1673.9 l/kg P 1 =0.5 bar < 1 atm, άρα υπέρθερμος ατμός Οιονεί στατική διεργασία ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω ότι το σημείο 2 είναι μίγμα υγρού-ατμού
ΑΣΚΗΣΗ 3.2 Σύνθεση - Σχεδιασμός 2 2 W = 1 P dv = 2 R 1 P dv + 2 P dv = m[ Tln v 2 + P 18 v 2 (v 2 -v 2 )] (1) 1 P 1 V 1 = m RT 18 (2) V 1 = mv 1 (3) V 2 = mv 2 (4) x 2 = v 2 v 2 v 2 v 2 (5) v 2, v 2 = f(t ή P2) (6 και 7) ΠΡΟΣΟΧΗ! Για τον υπολογισμό του έργου το ολοκλήρωμα πρέπει να αναλυθεί σε δύο περιοχές: Από 1 έως 2 το ρευστό είναι υπέρθερμος ατμός σε χαμηλή πίεση και ισχύει η ΚΕ Ι.Α. Από 2 έως 2 το ρευστό είναι μίγμα υγρούατμού και η πίεση είναι σταθερή. Μεταβλητές: W, P1, P2, V1, V2, T, m, R, x 2, v 1, v 2, (v 2, v 2 ) Άρα: Μ = 13 ( ή 11 χωρίς κορεσμένους όγκους) Εξισώσεις: E = 7 (ή 5 χωρίς εξ.6 και 7) Βαθμοί ελευθερίας/δεδομένα = Μ-Ε = 6 Πιθανοί συνδυασμοί 11 ανά 6 = 462 13
ΑΣΚΗΣΗ 3.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: P 1,P 2,V 1,V 2,R,T (2): m= 5,8E-6 kg (3): v 1 = 3448,3 lt/kg (4): v 2 = 862,1 lt/kg (5): x 2 = 0,51 Άρα η υπόθεση είναι σωστή (1): W= -1,2 J (<0) R = 22,4 273,15 lit atm mol K
Εσωτερική Ενέργεια Ενθαλπία Εσωτερική Ενέργεια, U: Ιδιότητα Εκφράζει την ενέργεια των μορίων (κινητική, δυναμική, πυρηνική, κλπ) Στα τέλεια αέρια: U=f(T) Ενθαλπία, Η = U + PV Στα τέλεια αέρια: H=f(T) A=U-TS G=H-TS 15
Αισθητή Λανθάνουσα Θερμότητα Αισθητή Θερμότητα: Συνδέεται με την αλλαγή της θερμοκρασίας Αφορά μονοφασικά σώματα Λανθάνουσα Θερμότητα: Συνδέεται με αλλαγή φάσης Στα καθαρά ρευστά δεν παρατηρείται μεταβολή της θερμοκρασίας 16
Αισθητή Λανθάνουσα Θερμότητα Πρόβλημα Για να εξατμίσω 1kg Η 2 Ο στους 25 ο C απαιτούνται 2547 kj. Πόσα κιλά νερού απαιτούνται για να απορροφήσουν τη θερμότητα αυτή με θέρμανσή τους από τους 15 ο C στους 35 ο C; Δίνεται μέση C p του νερού 4,2 kj/(kg K). Λύση Συνεπώς: Q=mC p ΔΤ. m=q/(c p ΔΤ)=30 kg 17
Ειδικές Θερμότητες Υπό σταθερή πίεση, C p : C P = Q T P = H T P Υπό σταθερό όγκο, C v : C V = Q T V = U T V Στα τ.α. : CP = CP(T ) C = V CV (T ) CP CV = R C / C P V = 18
Ειδικές Θερμότητες 2 3 c p = a + bt + ct + dt + et 4 5.0 4.5 4.0 Cp νερού 3.0 2.8 2.6 Cp, J mol -1 K -1 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.0 0.5 στερεο υγρό τέλειο αέριο 1.4 1.2 0.0 1.0 0 500 1000 1500 2000 T, K 19