Kvantni računalnik Avtor: Miha Muškinja Mentor: prof. dr. Norma Susana Mankoč Borštnik
Vsebina predstavitve Moorov zakon, Osnove kvantnega računalnika: kvantni bit, kvantni register, Kvantna logična vrata, Kvantni algoritmi: časovna zahtevnost, zmogljivost kvantnih računalnikov in Groverjev algoritem. Realizacija kvantnega računalnika. 2
Moorov zakon Gordon Moore, 1965: število tranzistorjev, ki jih lahko postavimo na integrirano vezje, se podvoji vsaki dve leti. Današnja vezja vsebujejo 10⁹ tranzistorjev. Velikost tranzistorjev ter razdalja med komponentami je pod 50nm. Razdalja med osnovnimi celicami silicija je 0,543nm. 3
Kvantni bit (qubit) Je osnovna struktura kvantnega računalnika. Dvonivojski sistem, ki ima dve bazni stanji: 0 in 1. Ne zazeseda le enega stanja, temveč superpozicijo obeh baznih stanj: ψ = α 0 + β 1, α 2 + β 2 = 1. 4
Meritev kvantnega bita Stanja ne moremo določiti tako kot pri klasičnem bitu. Po meritvi izmerimo natanko eno bazno stanje. Kvadrat koeficientov α in β predstavlja verjetnost, da izmerimo določeno bazno stanje. Po meritvi se kvantni bit sesede v eno izmed baznih stanj. 5
Kvantni register Kvantni register je skupek več kvantnih bitov. Kvantni register, sestavljen iz n kvantnih bitov, ima 2 n baznih stanj. Kvantni register iz štirih bitov zapišemo tako: ψ = α 00 00 + α 01 01 + α 10 10 + α 11 11. Po meritvi se prav tako sesede v eno izmed baznih stanj. 6
Kvantna logična vrata So sestavni elementi kvantnih vezij. Predstavimo jih z unitarnimi operatorji. Najpogosteje delujejo na enem ali dveh kvantnih bitih. Zapišemo jih v obliki matrik, bazna stanja pa predstavimo z vektorji (l je indeks bita): 0 l = 1 0 l, 1 l = 0 1 l. 7
Univerzalni set kvantnih vrat Je katerikoli nabor kvantnih vrat, s katerimi lahko predstavimo vsako možno operacijo na kvantnem računalniku. Tak set lahko sestavimo z Hadamardovimi vrati, faznimi vrati ter vrati C-NOT. 8
Hadamardova vrata Delujejo na enem kvantnem bitu. Zapišemo jih tako (l je indeks bita, na katerega delujejo): H l = 1 2 1 1 1 1 l Ponazoritev v kvantnem vezju: 9
Hadamardova vrata Delovanje na baznih stanjih: H l = 1 2 1 1 1 1 l 0 l = 1 0 l 1 l = 0 1 l H 0 = 1 2 0 + 1, H 1 = 1 2 0 1. Register v osnovnem stanju pretvorijo v register, ki zaseda vsa možna stanja: 3 l=1 H l 00 0 = 1 8 ijk =0,1 ijk 10
Fazna vrata Delujejo na enem kvantnem bitu, zapišemo jih tako: R l Φ = 1 0 0 e iφ. l Bazni stanji transformirajo tako: R(Φ) 0 = 0, R(Φ) 1 = e iφ 1. Upodobitev v kvantnem vezju: 11
Vrata C-NOT ( Controlled NOT gate ) Delujejo na dva qubita, zapišemo novo bazo: 00 = 1 0 0 0, 01 = 0 1 0 0, 10 = Vrata lahko zdaj predstavimo z matriko: 0 0 1 0, 11 = 0 0 0 1. C NOT = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0. 12
Vrata C-NOT ( Controlled NOT gate ) Delovanje na baznih stanjih: C NOT 00 = 00, C NOT 01 = 01, C NOT 10 = 11, C NOT 11 = 10. Predstavitev v kvantnem vezju: 13
Kvantni algoritmi So zaporedje operacij na kvantnih bitih. Vse klasične algoritme lahko predstavimo z ekvivalentnim kvantnim algoritmom [Tommaso Toffoli leta 1980]. Nekaterih kvantnih operacij ne moremo izvesti na klasičnih algoritmih. Kvantni algoritmi lahko bolj učinkovito rešijo določene probleme. 14
Časovna zahtevnost Mera, ki pove, kako dober je nek algoritem. Pove, koliko elementarnih operacij je potrebno izvršiti v odvisnosti od velikosti vhodnih podatkov. Oznaka je velik O. Algoritem quicksort ima časovno zahtevnost: O(N log N) 15
Zmogljivost kvantnih računalnikov Kvantni algoritmi imajo za reševanje določenih problemov boljšo časovno zahtevnost. Primer takšnega algoritma sta Shorov ter Groverjev algoritem. Shorov algoritem je uporaben predvsem za faktorizacijo števil, ima časovno zahtevnost: O((log N) 3 ) Najboljši klasični algoritem za faktorizacijo ima eksponentno časovno zahtevnost. 16
Groverjev algoritem Algoritem za iskanje po neurejeni bazi. Časovna zahtevnost Groverjevega algoritma je za primerljiv klasični pa O( N), O N. Primer problema, kjer bi deloval Groverjev algoritem, je iskanje lastnika dane telefonske številke v imeniku. 17
Priprava Groverjevega algoritma Definiramo funkcijo: f k = 1, če je k iskani element 0, če k ni iskani element Definiramo operator orakelj : Ô k = 1 f k k. Če z k 0 označimo iskani element, lahko orakelj zapišemo tako: Ô = I 2 k 0 k 0. 18
Postopek Groverjevega algoritma Register pripravimo v superpozicijo elementov neurejene baze: 1 s = N Amplituda iskanega elementa je Definiramo operator: N 1 k=0 k. s k 0 2 = 1 N ε = 2 s s I Ô = 2 s s I I 2 k 0 k 0. 19
Postopek Groverjevega algoritma Z operatorjem delujemo na začetno stanje in dobimo: ε s = N 4 N s + 2 N k 0. Amplituda iskanega elementa se je povečala: εs k 0 2 = N 4 N N + 2 N 2 9 N. 20
Časovna zahtevnost algoritma Za izračun časovne zahtevnosti definiramo novo spremenljivko: sin 2 θ = 1 N, cos2 θ = N 1 N Definiramo stanje vseh razen iskanega elementa: 1 s = N 1 k k 0 Pogledamo, kaj naredi operator : k ε j ε j s = cos((2j + 1) θ) s + sin( 2j + 1 θ) k 0 21
Časovna zahtevnost algoritma Amplituda pred iskanim elementom po j ponovitvah: Za velike N velja ε j s k 0 2 = sin 2 ( 2j + 1 θ) θ 1/ N. Amplituda bo maksimalna, ko bo zadoščeno: j = j 0 = π 4 N 1 2 Zaključimo, da je časovna zahtevnost O N. 22
Realizacija kvantnega računalnika 4. aprila, 2012 je bil objavljen članek o uspešni uporabi dvo-qubitnega kvantnega računalnika. Kvantni računalnik je bil zgrajen v diamantu z nečistočami. Kvantna bita sta bila predstavljena s spinom elektrona in spinom jedra dušika. Največji problem predstavlja dekoherenca. 23
Dekoherenca je izguba koherence med komponentami sistema v kvantni superpoziciji. Primer: elektron v spinskem stanju ψ = 1 2 ali stanju 50%, 50% Tipičen čas dekoherence elektronskega spina v omenjenem eksperimentu je nekaj mikro sekund. Dekoherence so se ubranili z mikrovalovnimi pulzi, ki obračajo spin elektrona. 24
Izvedba Groverjevega algoritma Skupina je uspešno demonstrirala Groverjev algoritem. Dva qubita pomenita štiri različna stanja, potreben je samo en korak, da najdemo iskan element: j 0 = π 4 N 1 2 = 1.07 sin2 2j 0 + 1 N = sin 2 (1.5) = 0.995. 25
Izvedba Groverjevega algoritma Celoten postopek algoritma je trajal 322μs, kar je 100 krat več od časa dekoherence spina elektrona. Kljub temu je bila uspešnost algoritma večja od 90%. Stanje sistema med algoritmom: 26
Zaključek Predstavili smo Moorov zakon. Spoznali smo osnove kvantnega računalnika, kot so kvantni bit, kvantni register ter kvantna logična vrata. Seznanili smo se s prednostmi kvantnih računalnikov (algoritmov). Podrobneje smo si ogledali Groverjev algoritem. Spoznali smo primer kvantnega računalnika. 27
Hvala za pozornost! 28