( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

Transcript

1 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log log = 6 Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike log 9 + log = h) = i) cos = sin j) ( ) = k) cos = cos l) sin = lj) = + + ( ) ( ) m) cos = sin 8 n) = 3 nj) = + o) 5 5 = + 5 p) 9 = r) 5 5 = s) =6 log + + log + = 6 š) ( ) ( ) t) 9 + ( ) = ( 5+ ) u) v) 3 5 7,6 = = + + = z) 3 3 ž) 3 + = Riješiti nejednačine:

2 3 a) 3 3 > 3 log > log 3 b) ( ) c), < č) ( )( ) ( )( ) ć) ( ) + < d) 5 + < 3 3 > +3 dž) ( )( ) đ) + > 3 sin π < e) ( ) 3 3 f) ( ) ( ) < g) < h) + 3> i) < + + j) + > 5 k) ( ) l) log + < < 3 lj) + 7 > m) n) 3 < 9 nj) cos > + sin o) cos > sin p) cos > 3 r) 3 > + s) ( ) cos > cos š) + > log log log 6log + > t) u) 3 ( ) v) log + 3 < z) ( ) ž) 5 < Izračunati:

3 log log log 8 a) 9 b) c) + ( + ) d) ( ) π π e) sin + sin f) 7 +, π 3 8 g) loga sin a + log8 ( cos ( π )) h) + : i) cos 75 cos5 π π j) log 9 + 8cos + sin (,73 ) π 3 k) sin + log, log3 3π,75 l) 3 tg + 6 π π m) tg + α tg α sin 3 + α + sin 3 α n) ( ) ( ) Nacrtati grafik funkcije: a) y = b) = y c) d) e) y = 3 y = y 3 = + f) = y + y+ g) y = a, < a h) y = log, < a a i) y= log, < a a j) y = k) y= l) y= sin, y = sin ( ), y= sin ( ) m) y = y = ( ) y = ( ) cos, cos 3, 3cos

4 n) y = o) + y + y = p) + 3y = 8 r) = + y 5 Riješiti sisteme jednačina: a) + y = 3 y = 5 y 3 b) + = + y = 3 y 6 c) 6 3y 6y 3y y 5 + = + = d) 3y+ y = + y+ y = 7 e) y y = 8 3y y = 9 f) + y + y = y + y = 9 8 g) + y+ y = + y+ y = y = 9 y + y = 7 + y h) ( ) ( i) y = 9 + y = y 3 = 5 y + y = j) ( ) ) 6 Izračunati površinu trougla kome su poznate dužine stranica a =, b= 5 i ugao između njih γ = Izračunati površinu pravouglog trougla ako je poznata visina na hipotenuzu h = cm i jedna 5 kateta a =6 cm 8 U jednakokrakom trouglu poznata je dužina osnovice a = i dužina visine na osnovicu h = 8 Iz podnožja te visine povučena je okomica na krak Izračunati dužinu te okomice i dužine odsječaka koje ta okomica gradi na kraku 9 U pravouglom trouglu je poznat oštri ugao β = 3 i nalegla kateta a = Izračunati preostale stranice i površinu trougla Izračunati površinu i visine paralelograma čije su dijagonale dužina d = 6, d = 3 a jedna stranica a = Izračunati površinu romba ako je njegova stranica a = 8 i oštri ugao α = 5 Obim romba je O =, a dijagonale su mu u omjeru 3: Izračunati površinu i visinu romba 3 U jednakokrakom trapezu dijagonala d = 6 i krak b = zaklapaju pravi ugao Izračunati osnovice i površinu trapeza Oko jednakokrakog trapeza čije su osnovice a = i c =, a krak b =, opisan je krug Izračunati površinu trapeza i površinu kruga K O,6 odgovara centralni ugao ϕ = 3 Izračunati dužinu tetive AB, 5 Tetivi AB kruga ( ) površinu trougla AOB i površinu kružnog odsječka AOB 6 Izvesti i napisati što detaljnije formulu za računanje površine i zapremine: a) pravouglog paralelopipeda b) trostrane uspravne prizme c) pravilne šestostrane uspravne prizme d) pravilne trostrane piramide e) pravilne četverostrane piramide

5 f) uspravne kupe g) uspravnog valjka Rješenja izabranih zadataka: a) 5 = = = - rješenje višestrukosti f) ( ) ( ) ( ) ( ) log log = 6 log log + log = 6 Primjetimo da je jednačina definisana samo za > Ako uzmemo smjenu log = t, jednačina postaje: t + t = 6 t t 8= t = t = ( ) log = = = ; log = = = l) π π kπ sin = sin = sin=± =± + kπ =± +, k 6 v) + + = + = Jednačina je definisana za Kvadriranjem ćemo dobiti: ( ) + = + = + = 3 = 3 Ali, pošto je 3 <, jednačina nema rješenja dž) 3 > ( )( + 3) ( ) > ( )( + 3) ( )( + ) > ( )( + 3) ( )( + 3) > ( )( ) > Ova nejednačina se jednostavno riješi pomoću tabele Rješenje: (, ) (, ) nj) cos > + sin cos sin > cos > Ova nejednačina očigledno nema rješenja ž) ( ) 5 < < Uzećemo smjenu 5 = t Tada je: t 6t+ 5< t 6t+ 5= t,5, pomoću grafika kvadratne funkcije ili pomoću tabele Pošto je { } zaključujemo da je < t < 5 Dakle: < 5 < 5 < < 3 e) π + + cos + π π π π = = = = = = sin sin sin cos log 9 + 8cos π + sin π,73 = log 3 + 8cos π π sin π π j) ( ) ( ) π π = 8cos sin = 8 = = c) Jednačinu 6 3y+ 6y = podijelimo sa y Tada dobijamo:

6 y y = y 3 t 6t 3t 6 t, t = + = = 3 = Polazni sistem se svodi na dva jednostavna sistema 3y+ y = 5 3y+ y = 5 y i y 3 = = 3 U prvom sistemu je y = 3 + = = 5 = 9 =± Tako dobijemo dva rješenja sistema ( 3, ) i ( 3, ) Na isti način iz drugog sistema dobijamo rješenja (,3 ) i ( ), 3 g) Uvedimo dvije nove promjenljive u= + y i v = y tada se dobije sistem u+ v= u = v u = v ( ) u v= v v= v 5v= Odatle se lako dobiju rješenja po u i v: ( uv, ) = (, ) i ( uv, ) = ( 3, ) sisteme: + y = + y = 3 i y = y = 5 Rješenja prvog su (, ) i (, ), a drugi sistem nema realnih rješenja h Pošto je sin α =, pri čemu je h visina romba, imamo da je a h= asinα = 8sin 5 = 8 = Tražena površina romba je P= ah= 8 = 3 5 Na kraju onda rješavamo 6 d) Površina pravilne trostrane piramide jednaka je: a 3 3ah P = B+ M = +, gdje je B površina baze, M površina omotača, a dužina ivice baze, h dužina bočne visine Zapremina pravilne trostrane piramide jednaka je: a 3 H B H a 3H V = = = Pri tome je H dužina visine piramide 3 3