Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις q Ταλαντώσεις εμφανίζονται παντού Ø Μικρές ταλαντώσεις γύρω από θέση ισορροπίας Ø Εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα κβαντοµηχανικής Ø Έχουμε ήδη συναντήσει σε διάφορα στάδια: Ø Γενική εξίσωση κίνησης αρκετά απλή:!!x = ω x με λύση της μορφής: x = Ae iω ΦΥΣ - Διαλ. q Πολλά σημαντικά συστήματα στη φυσική περιέχουν ταλαντωτές Ø Συνδέονται μεταξύ τους Μεταφορά ενέργειας Ø Η κίνηση μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκη Ισως όχι περιοδική Ø Προσδιορισμός ενός συστήματος συντεταγμένων ώστε κάθε ταλαντωτής ταλαντώνεται με μια καλά προσδιορισμένη συχνότητα v Στερεό αποτελεί παράδειγμα τέτοιου συστήματος
ΦΥΣ - Διαλ. Συζευγμένες ταλαντώσεις q Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δυνάμεις της μορφής των ελατηρίων Ø Υπακούν στο νόμο του Hooke q Υποθέστε ότι έχετε δυο εκκρεμή Οι μάζες συνδέονται με ένα ελατήριο σταθεράς k και αρχικά είναι σε ηρεμία και σε κατακόρυφη θέση Ελατήρια είναι στο φυσικό τους μήκος Ø Άν είχαµε ένα μόνο εκκρεμές τότε: Η εξίσωση κίνησης για μετατόπιση θ είναι:!! θ = ω 0 θ όπου ω 0 = g l Πολ/ζοντας με l την προηγούμενη εξίσωση:!!x = ω 0 x (υποθέτουμε ότι θ μικρό οπότε x = lθ )
ΦΥΣ - Διαλ. 3 Συζευγμένα εκκρεμή Συμμετρική ταλάντωση q Έστω ότι μετακινούμε και τα δυο εκκρεμή Ø κατά το ίδιο διάστημα x και Ø προς την ίδια διεύθυνση x = x Ø Το ελατήριο παραμένει στο φυσικό του μήκος ü Δεν υπάρχει ούτε επιμήκυνση ούτε συμπίεση q Συμπεριφορά συστήματος: v σαν να μην υπάρχει ελατήριο ανάμεσα στα εκκρεμή. Τα εκκρεμή ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα ω s = ω 0 Συμμετρικός τρόπος ταλάντωσης
Συζευγμένα εκκρεμή Ασύμμετρη ταλάντωση q Έστω ότι μετακινούμε και τα δυο εκκρεμή : Ø κατά το ίδιο διάστημα x και Ø προς αντίθετη κατεύθυνση = x ΦΥΣ - Διαλ. 4 Ø Το ελατήριο συμπιέζεται και επιμηκύνεται ανάλογα με την ταλάντωση των εκκρεμών. q Οι δυνάμεις που ασκούνται στο εκκρεμές είναι: Δύναμη επαναφοράς λόγω βαρύτητας: mω 0 Δύναμη επαναφοράς λόγω ελατηρίου k Ø Γιατί ο παράγοντας στη δύναμη ελατηρίου? Αν το εκκρεμές μετατοπίζεται κατά x τότε και το εκκρεμές μετατοπίζεται κατά x αλλά στην αντίθετη διεύθυνση. Το ελατήριο επιμηκύνεται κατά x q Η δύναμη στο ελατήριο είναι: m!! = mω 0 kx!!x = ω!! = ω 0 k ( 0 + ω C ) m x q Τα εκκρεμή ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα: ω Α = ω 0 + ω C
ΦΥΣ - Διαλ. 5 Συζευγμένα εκκρεμή Άλλοι τρόποι ταλάντωσης q Συμμετρικός και ασύμμετρος τρόπος ταλάντωσης είναι ειδικοί τρόποι ταλάντωσης Ø Απαιτούν συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες Ø Κάθε τρόπος έχει τη δική του χαρακτηριστική συχνότητα q Έστω ότι το εκκρεμές μετατοπίζεται κατά Ø το εκκρεμές κρατείται ακίνητο q Αφήνουμε τα εκκρεμή ελεύθερα από ηρεμία Ø Οι δυνάμεις που δρουν είναι: εκκρεμές : ( ) ( ) m!! = mω 0 k x εκκρεμές : m!!x = mω 0 x k x () () Ø Προσθέτουμε () και () διαιρώντας με m:!! +!!x = ω 0 ( + x ) (3) Ø Αφαιρούμε () και () διαιρώντας με m:!!!!x = ω 0 ( x ) ω C ( x ) (4)
ΦΥΣ - Διαλ. 6 Συζευγμένα εκκρεμή Άλλοι τρόποι ταλάντωσης q Εισάγουμε τις μεταβλητές:!!q = ω s q q = + x q = x (5) q Γράφουμε τις εξισώσεις (3) και (4) συναρτήσει των q και q :!!q = ω 0 q ω C q = ω ( 0 + ω C )q!!q = ω Α q q Στο σύστημα συντεταγμένων και x - συζευγμένες εξισώσεις κίνησης Ø Στο σύστημα συντεταγµένων q και q - ασύζευκτες (6) (7) q Οι λύσεις των εξισώσεων (6) και (7) είναι: όπου Α και Β σταθερές q = Acosω s q = Bcosω A (8) Ø Λύνουμε την (5) ως προς και x και αντικαθιστούμε από την (8): = ( q + q ) = ( Acosω s + Bcosω A ) x = ( q q ) x = ( Acosω s Bcosω A )
ΦΥΣ - Διαλ. 7 Συζευγμένα εκκρεμή Άλλοι τρόποι ταλάντωσης = ( Acosω s + Bcosω A ) x = ( Acosω s Bcosω A ) q Οι αρχικές συνθήκες για το συγκεκριμένη κίνηση ήταν: ( = 0) = C!x x ( = 0) = 0 και ( = 0) = 0 cosθ + cosθ = cos θ +θ cos θ θ!x ( = 0) = 0 cosθ cosθ = sin θ +θ sin θ θ q Για x ( = 0) = 0 στη η εξίσωση έχουμε: Α = Β Ø Αντικατάσταση στην η εξίσωση και θέτοντας ( = 0) = C δίνει: ( ) = C cosω s + cosω A x = C ( cosω cosω s A ) x ( ) = C cos ω ω s A cos ω + ω s A ( ) = C sin ω s ω A sin ω s + ω A Ø Και τα δυο εκκρεμή ταλαντώνονται με συχνότητα: ω s + ω Α Ø Το πλάτος του εκκρεμούς è 0 εξαιτίας του παράγοντα cos ω s ω Α αλλά τότε το πλάτος ταλάντωση του εκκρεμούς είναι μέγιστο
ΦΥΣ - Διαλ. 8 Συζευγμένα εκκρεμή Άλλοι τρόποι ταλάντωσης
Συζευγμένα εκκρεμή Τεχνική με πίνακες ΦΥΣ - Διαλ. 9 Έστω δύο εκκρεμή με μάζα m και μήκος α συζευγμένα με ένα ελατήριο αμελητέας μάζας και σταθεράς k. q Η ενέργεια του συστήματος είναι: ( ) T = ma!θ Κινητική ενέργεια: +!θ Δυναμική ενέργεια βαρύτητας: i i U g = mga( cosθ i ) U g ~ mga + θ i! ~ mgaθ i U g = mga θ οπότε: ( +θ ) Δυναμική ελατηρίου: U ελ = k ( x x ) U ελ = ka ( sinθ sinθ ) U U ελ = ka ( θ θ ) ελ ~ ka θ θ q Η Lagrangian του συστήματος από (), () και (3) είναι: L = T U g U ελ L = ma!θ + θ! ( ) mga θ ( + θ ) ka θ θ ( ) οπότε: (3) Ø Οι εξισώσεις Euler-Lagrange δίνουν τις εξισώσεις κίνησης:!! θ + g a θ + k m θ θ ( ) = 0!! ( ) = 0 θ + g a θ + k m θ θ ( ) () ()
ΦΥΣ - Διαλ. 0 Συζευγμένα εκκρεμή Τεχνική με πίνακες Ορίζουμε: η ka mg και ω 0 g a Οι εξισώσεις κίνησης γράφονται στη μορφή πίνακα:!! θ!! θ = ω + η η 0 η + η θ θ Αν δοκιμάσουμε μια λύση της μορφής: και ορίζοντας λ ω Θ ω Θ eiω = ω 0 ω 0 + η η παίρνουμε: η + η Θ Θ eiω θ θ = Θ Θ eiω λ Θ Θ = + η η η + η Θ Θ Το οποίο είναι της μορφής: AΘ = λθ δηλαδή λύση εξίσωσης ιδιοτιμών / ιδιοδυανυσμάτων ( A λ)θ = 0
ΦΥΣ - Διαλ. Συζευγμένα εκκρεμή ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα q Για να υπάρχουν μη τετριμένα ιδιοδιανύσματα, η ορίζουσα του πίνακα που πολ/ζει το Θ πρέπει να είναι μηδέν. q Οι ιδιοτιμές βρίσκονται λύνοντας τη χαρακτηριστική εξίσωση: + η λ η η + η λ = ( + η λ) η = 0 q Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι: λ = και λ = + η Ø Η η λύση αντιστοιχεί σε ω = ω 0 συμμετρική Ø Η η λύση αντιστοιχεί σε ω = ω 0 + η ασύμμετρη q Τα ιδιοδιανύσματα του Α βρίσκονται από την εξίσωση: χρησιμοποιώντας μια φορά την μια ιδιοτιμή και μια την άλλη AΘ = λθ Ø Σε κάθε περίπτωση αυτό που βρίσκουμε είναι ο λόγος: Θ Θ Ø Η συνολική κανονικοποίηση βρίσκεται ζητώντας το μέτρο του ιδιοδιανύσματος να είναι
ΦΥΣ - Διαλ. Συζευγμένα εκκρεμή ιδιοδιανύσματα Ø Τα ιδιοδιανύσματα που παίρνουμε είναι: και που αναλογούν στις ιδιοτιμές: λ = και λ = + η - αντίστοιχα Ø Το εσωτερικό γινόμενο των ιδιοδιανυσμάτων είναι 0 - Ορθοκανονικά Ø Κατασκευάζουμε πίνακα με στήλες τα ιδιοδιανύσματα ² O πίνακας που προκύπτει μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα μετασχηματισμό ομοιότητας για να διαγωνοποιηθεί ο πίνακας Α ² Οι ιδιοτιμές είναι τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα που προκύπτει Ένας τέτοιος πίνακας είναι: S = και σύμφωνα με το μετασχηματισμό ομοιότητας θα έχουμε: S AS = + η η η + η = 0 0 + η
ΦΥΣ - Διαλ. 3 Συζευγμένα εκκρεμή Τα ιδιοδιανύσματα αντιστοιχούν στα: ( Θ + Θ ) για λ = συμμετρικός τρόπος (-Θ + Θ ) για λ = + η αντισυμμετρικός τρόπος Οι δυο αυτοί συνδυασμοί αποσυζεύγουν τις εξισώσεις κίνησης q Για τον συμμετρικό τρόπο ταλάντωσης: Ø τα εκκρεμή έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης και είναι σε φάση Ø Το ελατήριο σύζευξης δεν κάνει απολύτως τίποτα Ø Τα εκκρεμή ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα με λ = ω s = ω 0 q Για τον αντισυμμετρικό τρόπο ταλάντωσης: Ø Τα εκκρεμή ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα με λ = + η Ø Η αντισυμμετρική συχνότητα: ω Α = ω 0 + k m
Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένα εκκρεμή ΦΥΣ - Διαλ. 4 q Tο σύστημα μπορεί να κινείται με μια από δyο χαρακτηριστικές συχνότητες (ιδιοσυχνότητες) οι οποίες βρίσκονται λύνοντας την: + η η ( A λ)θ = 0 όπου A = η ka λ ω με και ω 0 g η + η mg ω 0 a q Οι δύο ιδιοσυχνότητες προκύπτουν ζητώντας η ορίζουσα A λ = + η λ η η + η λ = 0 + η λ ( ) η = 0 δίνοντας: λ = ω = ω 0 και λ = + η ω = ω 0 + η q Με κατάλληλες αρχικές συνθήκες το σύστημα μπορεί να κινείται με μια από τις δύο χαρακτηριστικές συχνότητες. Ø Η αντίστοιχη κίνηση δίνεται από τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα: θ θ ( ) = C cosω θ ( ) = C cosω θ ( ) = C cosω ( ) = C cosω για λ : για λ : - Φυσικοί τρόποι ταλάντωσης (normal modes)
ΦΥΣ - Διαλ. 5 Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένα εκκρεμή q Η γενική κίνηση του συστήματος περιγράφεται σαν ένας γραμμικός συνδυασμός των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. ( ) = θ ( ) ( ) θ θ = A cos ω δ ( ) + A cos ω δ Ø Περιμένουμε 4 σταθερές ολοκλήρωσης (Α,Α,δ,δ ) q Η γενική λύση εν γένει είναι δύσκολο να περιγραφεί: ( ) q Έχουµε δυο Δ.Ε. ης τάξης για τις μεταβλητές θ () και θ () θ () θ () (sec) (sec) αφού αποτελείται από ένα μείγμα δύο συχνοτήτων ω και ω
Συζευγμένα εκκρεμή ΦΥΣ - Διαλ. 6 Αν υποθέσουμε ότι η σύζευξη των δύο εκκρεμών είναι ασθενής (k μικρό) ώστε: ω = ω 0 + ka mg ω 0 = ω και ότι οι αρχικές συνθήκες είναι τέτοιες ώστε Α =Α =C/ και δ = δ = 0 τότε: θ θ [ ] = C sin ω ω ( ) = C cosω cosω [ ] = C cos ω ω ( ) = C cosω + cosω sin ω + ω = C sinω δ sinω µ cos ω + ω = C cosω δ cosω µ ( ω + )/ ω ( ω )/ ω ( ω + ω ) / ( ω ω ) / Αφού ω δ = ω - ω είναι μικρό έχουμε το σχηματισμό διακροτήματος