Διαχείριση Τεχνικών Έργων 2 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ-ΚΟΣΤΟΥΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ
Ορισμοί Κόστος κατασκευής: το σύνολο των δαπανών που απαιτούνται για την υλοποίηση της κατασκευής. Άμεσο κόστος κατασκευής: το άθροισμα του άμεσου κόστους των δραστηριοτήτων της κατασκευής. Άμεσο κόστος δραστηριότητας: προκύπτει από: Έξοδα προσωπικού Δαπάνες υπεργολαβιών Κόστη υλικών Κόστος χρήσης μηχανικού εξοπλισμού Έμμεσο κόστος κατασκευής: δεν αφορά στις δραστηριότητες της κατασκευής, αλλά γενικά στο έργο και συγκεκριμένα: Έμμεσο κόστος εργοταξίου Έμμεσο κόστος εργολαβικής επιχείρησης
Σχέση άμεσου κόστους-χρόνου κατασκευής Καθώς το κόστος της κατασκευής προκύπτει από τα κόστη των δραστηριοτήτων: Υπολογίζουμε τη σχέση κόστους-χρόνου κάθε δραστηριότητας Το μικρότερο κόστος Κ 0 για μια δραστηριότητα προκύπτει: Όταν ολοκληρωθεί η δραστηριότητα σε χρόνο Τ 0 στον οποίο έχουμε πλήρη εκμετάλλευση των διαθέσιμων πόρων (ανθρώπινου δυναμικού, εξοπλισμού και υλικών). Επιτάχυνση της κατασκευής: Υλοποίηση μιας δραστηριότητας στον ελάχιστο από τεχνική άποψη χρόνο Τ α Στην περίπτωση αυτή (ελάχιστος χρόνος) απαιτείται κόστος Κ α (Κ α > Κ 0 ) (για καλύτερα συνεργεία, υπερωρίες, σύγχρονο εξοπλισμό κλπ.) Αν αυξήσουμε περαιτέρω το κόστος Κ α δεν θα μειωθεί ο ελάχιστος χρόνος Τ α. Συνεπώς το άμεσο κόστος μιας δραστηριότητας: K 0 και K α Κ 0 αντιστοιχεί στον κανονικό χρόνο T 0 Κ α αντιστοιχεί στον ελάχιστο χρόνο Τ α
Διάγραμμα σχέσης κόστους-χρόνου δραστηριότητας Κ α Άμεσο κόστος δραστηριότητας Κ 0 Παρατηρούμε ότι: Τ α Απαιτούμενος χρόνος Τ 0 εκτέλεσης Πέραν του κόστους Κ α δεν μειώνεται ο χρόνος εκτέλεσης δραστηριότητας Αν αυξηθεί ο χρόνος της δραστηριότητας πέραν του Τ 0 το κόστος θα συνεχίζει να αυξάνεται καθώς δεν θα έχουμε την καλύτερη εκμετάλλευση των πόρων Για κάθε δραστηριότητα: Μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές Τ 0, Τ α, Κ 0 και Κ α Μπορούμε να υπολογίσουμε τις διαφορές: Τ 0 - Τ α και Κ α Κ α Ειδικό κόστος δραστηριότητας = ( Κ α Κ α ) / ( Τ 0 - Τ α ) Το Ελάχιστο Άμεσο Κόστος της κατασκευής = άθροισμα(κ 0i ) όπου Κ οi είναι τα ελάχιστα άμεσα κόστη των επιμέρους δραστηριοτήτων και επιτυγχάνεται σε μέγιστο χρόνο T max Ισχύει και το αντίστροφο δηλαδή, τον ελάχιστο χρόνο κατασκευής τον επιτυγχάνουμε με το μέγιστο χρόνο. Το διάγραμμα χρόνου άμεσου κόστους κατασκευής είναι επίσης παραβολή
Διάγραμμα σχέσης κόστους-χρόνου κατασκευής Κ α max Άμεσο κόστος κατασκευής Κ min Τ min Τ max Απαιτούμενος χρόνος εκτέλεσης κατασκευής Το διάγραμμα χρόνου άμεσου κόστους κατασκευής είναι επίσης παραβολή και μάλιστα τεθλασμένη
Σχέση έμμεσου κόστους-χρόνου κατασκευής Όσο μεγαλώνει η διάρκεια της κατασκευής, μεγαλώνει και το έμμεσο κόστος Το διάγραμμα της σχέσης είναι παραβολή Στην πράξη υπολογίζουμε γζ το διάγραμμα ως ευθεία Έμμεσο κόστος κατασκευής Απαιτούμενος χρόνος εκτέλεσης κατασκευής
Σχέση συνολικού κόστους-χρόνου κατασκευής Συνολικό κόστος = άμεσο κόστος + έμμεσο κόστος Συνολικό κόστος κατασκευής Κ 0max Καμπύλη συνολικού κόστους Κ min Καμπύλη άμεσου κόστους Κ α min Καμπύλη έμμεσου κόστους Κ ε max Κ ε min Τ min Τ Τ max χρόνος εκτέλεσης κατασκευής Παρατηρούμε ότι: Για τον ελάχιστο χρόνο εκτέλεσης της κατασκευής T min έχουμε το ελάχιστο έμμεσο K ε min, αλλά το μέγιστο άμεσο κόστος Κ 0 max. Για το μέγιστο χρόνο εκτέλεσης της κατασκευής T max έχουμε το μέγιστο έμμεσο K ε max, αλλά το ελάχιστο άμεσο κόστος Κ α min. Συνεπώς το ελάχιστο συνολικό κόστος K min το έχουμε σε λενα χρόνο Τ της κατασκευής, που βρίσκεται μεταξύ T min και T max,
Διαδικασία υπολογισμού: Για κάθε δραστηριότητα υπολογίζουμε: Τον ελάχιστο χρόνο εκτέλεσης Το μέγιστο κόστος της (που αντιστοιχεί στο χρόνο αυτό) Τον κανονικό χρόνο εκτέλεσης Το ελάχιστο κόστος της (που αντιστοιχεί στο χρόνο αυτό) Καταρτίζουμε τον πίνακα χρόνου κόστους των δραστηριοτήτων που περιλαμβάνει: Τα παραπάνω στοιχεία Το ειδικό κόστος κάθε δραστηριότητας (κόστος επιτάχυνσης) (= Διαφορά κόστους / Διαφορά χρόνου) Επιλύουμε το δίκτυο και υπολογίζουμε: Τους συνολικούς χρόνους των δραστηριοτήτων Τις κρίσιμες διαδρομές για: Δίκτυο με κανονικούς χρόνους δραστηριοτήτων (συνολικός χρόνος = T max ) Δίκτυο με ελάχιστους χρόνους δραστηριοτήτων (συνολικός χρόνος = T min ) Καταρτίζουμε τον πίνακα μεταβολών του συνολικού κόστους για χρόνους μεταξύ T max έως T min Για T max έχουμε το ελάχιστο κόστος κατασκευής Κ α min Τη μείωση του χρόνου κατασκευής την επιτυγχάνουμε μειώνοντας τους χρόνους των κρίσιμων δραστηριοτήτων του δικτύου στους κανονικούς χρόνους αυτών
Διαδικασία υπολογισμού: Εστιάζουμε στις κρίσιμες δραστηριότητες με το μικρότερο ειδικό κόστος (ώστε να επηρεαστεί λιγότερο το συνολικό κόστος) Το ειδικό κόστος = διαφορά κόστους / διαφορά χρόνου Προσοχή: η μείωση του χρόνου (από κάποιο σημείο και μετά) μπορεί να οδηγήσει σε τροποποίηση της κρίσιμης διαδρομής. Στην περίπτωση αυτή λαμβάνουμε υπόψη τη νέα κρίσιμη διαδρομή για να μειώσουμε περαιτέρω τη διάρκεια. Υπολογίζουμε γζ την αύξηση η του άμεσου κόστους (για τους χρόνους από T max σε T min) ) Προσθέτουμε την αύξηση του άμεσου κόστους στο K α min. Υπολογίζουμε την αύξηση του έμμεσου κόστους (για τους χρόνους από T max σε T min ) Προσθέτουμε το άμμεσο και το έμμεσο κόστος που υπολογίσαμε (για τους χρόνους από T max σε T min ) Για κάποιον από τους χρόνους αυτούς το συνολικό κόστος είναι ελάχιστο. Σημασία της μεθόδου: Παρακολουθούμε τον προγραμματισμό των εργασιών από άποψη χρόνου Παρακολουθούμε την επίδραση των επιταχύνσεων και επιβραδύνσεων των κρίσιμων δραστηριοτήτων Πολυπλοκότητα λ της μεθόδου: Μεγάλη, καθώς εκτός της δυσκολίας υπολογισμού του χρόνου, είναι δύσκολος ο ακριβής υπολογισμός του άμεσου και του έμμεσου κόστους των δραστηριοτήτων
Παράδειγμα: Δίνεται το παρακάτω δίκτυο, ο πίνακας χρόνου κόστους και το έμμεσο κόστος = 1.500 χρηματικές μονάδες ανά χρονική μονάδα. Ζητείται το ελάχιστο συνολικό κόστος κατασκευής και ο αντίστοιχος ςχρόνος της. 2 Δραστ. Κανον. Χρόνος Ελάχ. Κόστος Ελάχ. Χρόνος Μέγιστο Κόστος Διαφ. Κόστους Διαφ. Χρόνου Ειδ. Κόστος 1 4 5 1-2 1-3 1-4 2-5 3-4 3-5 7 6.000 7 6.000 0 0-8 13.000 5 16.000 3.000 3 1000 6 8.000 4 12.000 4.000 2 2000 3 6.000 2 9.000 3.000 1 3000 5 2.000 1 6.000 4.000 4 1000 2 8.000 2 8.000 0 0-3
Λύση: Επιλύουμε το δίκτυο για τους κανονικούς χρόνους δραστηριοτήτων. 0 0 7 6 7 10 2 3 13 13 13 13 Δραστ. 1-2 1-3 1-4 2-5 3-4 3-5 Διάρκ. Νωρίτεροι χρόνοι Βραδύτεροι χρόνοι Αρχής Τέλους Αρχής Τέλους Συνολ. Χρον. Ελεύθ. Χρον. Περιθ. Περιθ. 7 0 7 0 10 3 0 Κρίσιμη ραστηρ. 8 0 8 0 8 0 0 * 6 0 13 0 13 7 7 3 7 13 10 13 3 3 5 8 13 8 13 0 0 * 2 8 13 8 13 3 3 1 4 5 5 8 8 8 3 2
Παράδειγμα: Επιλύουμε το δίκτυο για τους ελάχιστους χρόνους δραστηριοτήτων. 7 7 7 2 2 Δραστ. 1-2 1-3 1-4 2-5 3-4 3-5 Νωρίτεροι χρόνοι Βραδύτεροι χρόνοι Διάρκ. Συνολ. Χρον. Ελεύθ. Χρον. Κρίσιμη Αρχής Τέλους Αρχής Τέλους Περιθ. Περιθ. ραστηρ. 7 0 7 0 7 0 0 * 5 0 5 0 7 2 0 4 0 7 0 9 5 3 2 7 9 7 9 0 0 * 1 5 7 7 9 3 1 2 5 9 7 9 2 2 0 0 7 9 9 9 1 4 4 5 1 5 5 7 2 3
Παράδειγμα: Επομένως, σύμφωνα με τα προηγούμενα: Έχουμε ελάχιστο άμεσο κόστος K α min = 43.000 για το μέγιστο χρόνο T max = 13 Υπολογίζουμε τη μεταβολή του άμεσου, του έμμεσου και του συνολικού κόστους από τον ελάχιστο χρόνο T min = 9 έως το μέγιστο χρόνο T max = 13: Διαμορφώνουμε πίνακα μεταβολής του συνολικού κόστους Χρόνος Κανον. Ελάχ. Ελάχ. Μέγιστο Διαφ. Διαφ. Ειδ. Συν. Χρόνος Κόστος Χρόνος Κόστος Κόστους Χρόνου Κόστος Χρον. Δραστ. 13 12 11 10 9 Περιθ. Δικτύου καν. Χρόν. 1-2 7 6.000 7 6.000 0 0-3 1-3 1000 2000 3000 3000 8 13.000 5 16.000 3.000 3 1000 0 1-4 6 8.000 4 12.000 4.000 2 2000 7 2-5 3000 3 6.000 2 9.000 3.000 1 3000 3 3-4 1000 5 2.000 1 6.000 4.000 4 1000 0 3-5 2 8.000 2 8.000 0 0-3 Αύξ. Άμεσου κόστους - 1.000 2.000 3.000 7.000 Άμεσο κόστος 43000 44.000 45.000 46.000 50.000 Έμμεσο κόστος 19500 18000 16500 15000 13500 Συνολικ ό κόστος 62500 62000 61500 61000 63500
Λύση (συνέχεια): Από τα δεδομένα και από τα στοιχεία που προέκυψαν κατά την επίλυση διαπιστώνουμε ότι: Οι κρίσιμες δραστηριότητες 1-3 και 3-4 έχουν το ελάχιστο ειδικό κόστος (δεδομένα) Η διάρκεια της 1-3 μπορεί να μειωθεί κατά 3 χρονικές μονάδες (δεδομένα) άρα και η κατάσκευή από τη μονάδα 13 έως την 10 Όταν η 1-3 μειωθεί από 8 χρονικές μονάδες διάρκεια σε 5 μονάδες τότε (επίλυση δικτύου με ελάχιστους χρόνους) κρίσιμες διαδικασίες είναι οι 1-2 και 2-5, που στο προηγούμενο δίκτυο έχουν διάρκεια (7+3=)10 χρόνικές μονάδες και επομένως οποιαδήποτε περαιτέρω μεταβολή της 1-3 δεν τις επηρεάζει. Άρα, για να μειώσουμε περαιτέρω τη διάρκεια της κατασκευής (από τις 10 στις 9 χρονικές μονάδες) πρέπει να εργαστούμε στις διαδικασίες 1-2 ή 2-5 (στο προηγούμενο δίκτυο). Μειώνουμε τη διαδικασία 2-5 (που έχει περιθώριο 1 χρον. μονάδα σύμφωνα με τα δεδομένα) κατά 1 μονάδα, καθώς η 2-5 (σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος) δεν μπορεί να μειωθεί. Οι αντίστοιχες αυξήσεις του άμεσου κόστους παρουσιάστηκαν στον προηγούμενο πίνακα. Οι υπολογισμοί του συνολικού κόστους παρουσιάστηκαν στον προηγούμενο πίνακα. Οι μεταβολές των άμεσου, έμμεσου και συνολικού κόστους παρουσιάστηκαν στον προηγούμενο πίνακα. Το ελάχιστο συνολικό κόστος K min = 61.000 χρημ. μονάδες και επιτυγχάνεται στις 10 χρον. μονάδες.
Κομβικά δίκτυα Μέθοδος MPM (Metra Potential Method) Διαμόρφωση κομβικού δικτύου Οι κόμβοι εκφράζουν τις δραστηριότητες Τα βέλη οδηγούν από κόμβο σε κόμβο εκφράζοντας τις εξαρτήσεις των δραστηριοτήτων Τα κομβικά δίκτυα εμπεριέχουν σχέσεις αλληλουχίας σχετικά με την έναρξη και το τέλος των δραστηριοτήτων: Αλληλουχία Τέλους - Αρχής: FS ij, i FS ij j Η επόμενη δραστηριότητα δεν μπορεί να ξεκινήσει αν δεν παρέλθει χρόνος FS ij από το τέλος της προηγούμενης. Όταν FS ij = 0 έχουμε κανονική αλληλουχία SS ij, Αλληλουχία Αρχής - Αρχής: i SS jj Η επόμενη δραστηριότητα δεν μπορεί να ξεκινήσει αν j δεν παρέλθει χρόνος SS ij από την αρχή της προηγούμενης. Αλληλουχία Τέλους Τέλους: FF ij, i FF jj j Η επόμενη δραστηριότητα δεν μπορεί να τελειώσει αν δεν παρέλθει χρόνος FF ij από το τέλος της προηγούμενης. Αλληλουχία Αρχής Τέλους: SF ij, i SF ij j Η επόμενη δραστηριότητα δεν μπορεί να ολοκληρωθεί αν δεν παρέλθει χρόνος SF ij από την αρχή της προηγούμενης.
Κομβικά δίκτυα Μέθοδος MPM (Metra Potential Method) Απεικόνιση κόμβου: Περιγραφή δραστηριότητας (όνομα) ιάρκεια Νωρίτερος χρόνος Αρχής Νωρίτερος χρόνος τέλους Συνολικό χρονικό περιθώριο Βραδύτερος χρόνος Αρχής Βραδύτερος χρόνος τέλους Ελεύθερο χρονικό περιθώριο Παρατηρήσεις: Είναι δυνατή η ύπαρξη περισσότερων ρ από μιας σχέσεων αλληλουχίας ςμεταξύ δύο ή περισσότερων ρ δραστηριοτήτων. Κατά την κατάρτιση ενός κομβικού δικτύου προσπαθούμε ώστε να μην διασταυρώνονται οι γραμμές που απεικονίζουν τις εξαρτήσεις μεταξύ των δραστηριοτήτων. Πάνω στις γραμμές των εξαρτήσεων σημειώνουμε μ τις σχέσεις αλληλουχίας ς( (π.χ. χ FS=0, SS=3 κλπ.) ) Στα κομβικά δίκτυα είναι δυνατό να υπάρχουν κρίσιμες δραστηριότητες χωρίς να υπάρχει κρίσιμη διαδρομή Καθώς είναι δυνατό να υπάρχουν αρκετές δραστηριότητες αρχής και αρκετές τέλους, μπορούμε να ορίσουμε μια δραστηριότητα που ονομάζουμε Αρχή (με διάρκεια 0 και με σχέση αλληλουχίας με τις άλλες αρχής SS=0), καθώς και μια δραστηριότητα Τέλος (με διάρκεια 0 και με σχέση αλληλουχίας από όλες τις άλλες τέλους FF=0).
Κομβικά δίκτυα Μέθοδος MPM (Metra Potential Method) Επίλυση κομβικού δικτύου: Πρέπει να γνωρίζουμε τις σχέσεις αλληλουχίας μεταξύ των δραστηριοτήτων (FS, SS, SF, FF) με τις τιμές τους, καθώς και τις διάρκειές τους (Δ i για την i και Δ j για την επόμενη της j). Νωρίτερος χρόνος αρχής ΝΧΑ j = max NXA i +SS ij NXT i + FS ij NXA i + SF ij j ΝΧΤ i + FF ij - j Νωρίτερος χρόνος τέλους ΝΧT j = NXA j + Δ j BXA j -FS ij Βραδύτερος χρόνος τέλους ΒΧΤ ι = min BXT j - FF ij BXA j -SS ij + i BΧΤ j -SF ij + i Βραδύτερος χρόνος αρχής ΒΧΑ i = BXT i Δ i Συνολικό χρονικό περιθώριο ΣΧΠ i = BXT i -NXT i Ελεύθερο χρονικό περιθώριο ΕΧΠ i = min NXA j -NXT i -FS ij NXA j -NXA i -SS ij NXT j -NXT i -FF ij NΧΤ j -NXA i -SF ij
Κομβικά δίκτυα Μέθοδος MPM (Metra Potential Method) Μετατροπή κομβικού δικτύου σε διάγραμμα GANTT: Με ανάλογο τρόπο με αυτό της μετατροπής των δικτύων με βέλη. Απαιτείται η ορθή απεικόνιση της αλληλουχίας μεταξύ δραστηριοτήτων: Μια FS ij αλληλουχία θα ξεκινά από το τέλος της i και θα οδηγεί στην αρχή της j. Μια SS ij αλληλουχία θα ξεκινά από την αρχή της i και θα οδηγεί στην αρχή της j. Πλεονεκτήματα των κομβικών δικτύων: Είναι εμφανής η επικάλυψη δραστηριοτήτων, χωρίς επιπλέον αναλύσεις Δεν διαθέτουν πλασματικές δραστηριότητες. Μειονεκτήματα των κομβικών δικτύων: Απαιτούν μεγαλύτεη εμπειρία για την ορθή κατάρτιση και επίλυση. Παρέχουν μικρότερη εποπτεία στο χρήστη.
Κομβικά δίκτυα Μέθοδος MPM (Metra Potential Method) Παράδειγμα: Δίνεται δίκτυο με τις παρακάτω αλληλεξαρτήσεις και διάρκειες: 1. Οι α=4, β=3 αρχίζουν με την έναρξη της κατασκευής 2. Οι γ=1, δ=3 ακολουθούν την α 3. Οι γ=1, ε=2 ακολουθούν τη β 4. Η στ=2 ακολουθεί τις γ, ε 5. Για να τελειώσει η κατασκευή πρέπει να ολοκληρωθούν οι δ και στ. 6. Δίνονται οι ακόλουθες σχέσεις αλληλουχίας μεταξύ των δραστηριοτήτων: FS α,δ = 3, SS α,γ = 4, FF β,γ = 3, SF β,ε = 12, SS γ,στ = 11, FF ε,στ = 8 Ζητούνται: α) να καταρτιστεί το κομβικό δίκτυο, β) να επιλυθεί, γ) να μετατραπεί στο αντίστοιχο GANTT.
Κομβικά δίκτυα Μέθοδος MPM (Metra Potential Method) δ 3 FS=3 7 10 10 α 4 17 20 10 FF=0 SS=0 0 4 3 Αρχή 0 0 0 0 3 7 0 SS=4 γ 1 τέλος 0 5 6 2 SS=11 20 20 0 0 0 0 FF=3 7 8 2 στ 2 20 20 0 β 3 18 20 0 SS=0 0 3 0 ε 2 18 20 0 FF=0 0 3 9 10 12 0 SF=12 10 12 0 FF=8