ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

[7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο το σηµείο Κ(x,ψ ) και ακτίνα ρ τότε έχει εξίσωση (x-x ) +(ψ-ψ ) =ρ. Ειδικά αν το κέντρο είναι στην αρχή των αξόνων Ο(,) η εξίσωση γίνεται x +ψ =ρ. ' x x Η εξίσωση x +ψ +Αx+Βψ+Γ= (Α +Β -4Γ ) παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Α Β Κ(-, ) και ακτίνα ρ= Α +Β 4Γ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΥΚΛΟΥ Για νρω την εξίσωση εφαπτόµενης κύκλου µε κέντρο Κ(x,ψ ) και ακτίνας ρ στο σηµείο του Α(x,ψ ) θεωρώ ένα τυχαίο σηµείο Μ(x,ψ) πάνω στην εφαπτόµενη (ε) και παρατηρώ ότι ΚΑ ΑΜ οπότε έχω: ΚΑ ΑΜ=.Από αυτή τη σχέση καταλήγω στην εξίσωση της ευθείας (ε). Εδικά ο κύκλος C: x +ψ =ρ µε κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση εφαπτοµένης x x +ψ ψ =ρ. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ Η απόσταση του κέντρου Κ(x,ψ ) ενός κύκλου από την ευθεία (ε):αx+βψ+γ= είναι Αx +Βψ +Γ d=. Α +Β α) Αν d=ρ (όπου ρ η ακτίνα του κύκλου) τότε η (ε) εφάπτεται του κύκλου. Για να βρω το σηµείο επαφής λύνω το σύστηµα κύκλου και ευθείας. β ) Αν d ρ τότε η (ε) τέµνει τον κύκλο σε δύο σηµεία. γ ) Αν d ρ τότε κύκλος και ευθεία δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ Έστω οι κύκλοι C :(Κ,ρ ) και C :(Λ,ρ ) και έστω ρ ρ. Τότε:. Αν (ΚΛ) ρ +ρ ο C είναι εκτός του C.. Αν (ΚΛ)=ρ +ρ οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. 3. Αν ρ -ρ (ΚΛ) ρ +ρ οι κύκλοι τέµνονται σε δύο σηµεία. 4. Αν (ΚΛ)=ρ -ρ ο C εφάπτεται εσωτερικά στον C. ψ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[7] 5. Αν (ΚΛ) ρ -ρ ο C βρίσκεται εντός του C.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία (ε): xσυνθ+ψηµθ=3 εφάπτεται στον κύκλο x +ψ =9 για κάθε θ R. Ο κύκλος έχει κέντρο το Ο(,) και ακτίνα ρ=3. Η (ε) θα εφάπτεται στον κύκλο αν ισχύει: d(ε, Ο)=ρ. Πράγµατι: συνθ+ ηµθ-3 3 d(ε, Ο)= = =3=ρ. συν θ+ηµ θ. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων, οι οποίοι διέρχονται από τα σηµεία Α(,-) και Β(3,-4) και εφάπτονται στον άξονα χ χ. Αν Κ(α,β) το κέντρο του ζητούµενου κύκλου τότε: ΚΑ=ΚΒ (α-) +β+) = (α-3) +(β+4) 4α-4β= α=β+5. () Επειδή ο κύκλος C εφάπτεται στον άξονα χ χ θα είναι ρ= β. Άρα: ρ= β ΚΑ =β (α-) +(β+) =β α -α+4β+5=. () Η () λόγω της () γίνεται: (β+5) -(β+5)+4β+5= β +β+= β=- ή β=-. () Γι=- είναι α= + 5= 3, οπότε: Κ (3,-) και ρ=κα= 4 + =. Η εξίσωση του κύκλου είναι: C : (x-3) +(ψ+) =4. () Γι=- είναι α= + 5= 5, οπότε: Κ (-5,-) και ρ= 36 + 64 =. Η εξίσωση του κύκλου είναι:c : (x+5) +(ψ+) =. 3. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου (C): x +ψ =5 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Κ(-5,5). Έστω Α(x,ψ ) το σηµείο επαφής. Τότε η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι: (ε): xx +ψψ =5 (). Επειδή η (ε) διέρχεται από το Κ οι συντεταγµένες του την επαληθεύουν, άρα: -5x +5ψ =5 x =3ψ -5 (). Αλλά το σηµείο επαφής ( Α ανήκει και στον κύκλο, εποµένως: x +ψ =5 9ψ +5-3ψ +ψ =5 ψ -3ψ = ψ = ή ψ =3. Άρα Α (-5,) ή Α (4,3), οπότε από την () οι ζητούµενες εφαπτόµενες είναι: ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[73] (ε ): x=-5 στο Α (ε ): 4x+3ψ-5= στο Α. 4. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ(,), ο οποίος αποκόπτει από την ευθεία (ε): 3x+4ψ+8= χορδή µήκους 8 µονάδων. Έστω ΑΒ η χορδή του κύκλου που ορίζει ο κύκλος µε την ευθεία (ε) και ΚΜ ΑΒ. Επειδή το Μ είναι το µέσο της χορδής ΑΒ, είναι ΑΜ=4. Επίσης: 3+ 4+ 8 5 ΚΜ=d(K, ε)= = = 3. 9+ 6 5 Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΚΑ έχουµε: ΚΑ =ΚΜ +ΜΑ =3 +4 =5. Εποµένως η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=5 και η εξίσωσή του είναι: (x-) +(ψ-) =5. 5. ίνεται ο κύκλος C: (x+) +(ψ+3) =5. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου στο σηµείο του Α(-5,). Έστω (ε) η ζητούµενη εφαπτόµενη του κύκλου στο Α και Μ(x,ψ) τυχαίο σηµείο της (ε). Τότε ΚΑ ΑΜ ΚΑ ΑΜ=.() Αλλά: ΚΑ= ( 3,4) και ΑΜ= ( x + 5, ψ ). Η () -3(x+5)+4(ψ-)= -3x-5+4ψ-4= 3x-4ψ-9=. 6. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου C: x +ψ = η οποία: i) είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): x+3ψ=4 ii) είναι κάθετη στην ευθεία (ζ): 3x+ψ-= i) Aν (x,ψ ) το σηµείο επαφής, η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι (ε): Α x xx +ψψ =.() και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = - =-. Επειδή (ε)/(δ) Β ψ x είναι λ ε =λ δ - =- ψ =3x. ψ 3 Αλλά το (x,ψ ) C x +ψ =. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[74] Τα x, ψ θα προσδιοριστούν από τη λύση του συστήµατος ψ =3x ψ =3x x +ψ = x = x = x =- ή. Άρα οι εξ. εφαπτόµενης από την () είναι: ψ =3 ψ =-3 x+3ψ-= στο σηµείο (,3) και x+3ψ+= στο σηµείο (-,-3). ii) Aν (x,ψ ) το σηµείο επαφής, η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι (ε): Α x xx +ψψ =.() και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = =. Eπειδή (ε) (ζ) Β ψ x είναι: λ ε.λ ζ =- - (-3)=- ψ =-3x. Αλλά το ψ (x,ψ ) C x +ψ =. Τα x, ψ θα προσδιοριστούν από τη λύση του ψ =-3x ψ =-3x x = x =- συστήµατος ή. x +ψ = x = ψ =-3 ψ =3 εξισώσεις εφαπτόµενης από την () είναι: x-3ψ-= στο σηµείο (,-3) και x-3ψ+= στο σηµείο (-,3). Άρα οι 7. ίνεται ο κύκλος C: x +ψ =9 και το σηµείο Α(,). Νρεθεί η εξίσωση της χορδής του κύκλου, η οποία έχει ως µέσο το σηµείο Α. α τρόπος: Έστω ότι η ζητούµενη χορδή τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Β(x.ψ ) και Γ(x,ψ ). Τότε θα ισχύει: x +ψ =9 () και x +ψ =9 (). Αφαιρώντας κατά µέλη τις () και () έχουµε: x -x +ψ -ψ = (x +x )(x -x )+(ψ +ψ )(ψ -ψ )= (3). x +x = x +x = Επειδή το Α είναι µέσο της ΒΓ ισχύει: άρα η (3) ψ +ψ ψ +ψ =4 = ψ -ψ ψ -ψ γίνεται: (x -x )+4(ψ -ψ )= + 4 = =-. x -x x -x ψ -ψ Αλλά ο λόγος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΒΓ. Εποµένως η x -x εξίσωση της χορδής ΒΓ που διέρχεται από το Α είναι: ψ- = - (x-) x+ψ-5=. ( Να εξεταστεί αν η κατακόρυφη ευθεία x=αποτελεί λύση του προβλήµατος). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[75] Παρατήρηση Η µέθοδος της διαφοράς που εφαρµόστηκε στην άσκηση µας δίνει την δυνατότητα να εκµεταλλευτούµε τις συντεταγµένες του µέσου ενός ευθυγράµµου τµήµατος και να εµφανίσουµε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ζητούµενης ευθείας στο πρόβληµα. Να µελετηθεί καλά γιατί εφαρµόζεται και στις άλλες κωνικές τοµές. Το παραπάνω πρόβληµα µπορεί να λυθεί και ως εξής, πράγµα που ισχύει µόνον στον κύκλο: β τρόπος: Αν ΟΑ το απόστηµα και ΒΓ η χορδή, τότε: ΟA BΓ (Το Α είναι προφανώς µέσο - της ΒΓ). Είναι λ ΟΑ = = =. Άρα λ ΒΓ=-. Έτσι, η εξίσωση της χορδής ΒΓ - είναι: ψ-= (x-) x+ψ-5=. 9λ 8. ίνεται η εξίσωση: C: x +ψ -4λ x-λ ψ+ -λ- =, λ R. () i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε λ, η () παριστάνει κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. ii) Nρείτε τον γεωµετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων για κάθε λ R. i) Έχουµε: Α +Β -4Γ=(-4λ) +(-λ) 9λ -4 -λ- =6λ +4λ -8λ +4λ+= (λ+). Άρα η () παριστάνει κύκλο µε κέντρο: Κ - Α,- Β =(λ,λ) και Α +Β -4Γ (λ+) ακτίνα ρ= = =. ii) Aν Κ(x,ψ) το κέντρο του κύκλου, τότε: x=λ, ψ=λ και µε απαλοιφή του λ από λ+ τις δύο εξισώσεις έχουµε ότι: ψ= x (ε). Άρα ο γεωµετρικός τόπος του Κ είναι η ευθεία (ε). 9. ίνεται ο κύκλος x +ψ =5 και το σηµείο Α(3,4). Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών του κύκλου που διέρχονται από το Α. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[76] Η χορδή ΑΒ έχει άκρα τα σηµεία Α(3,4) και Β(x,ψ ) και µέσο το Μ(x o,ψ ο ). Τότε: x +3 ψ +4 x o = () και ψ = (). Aλλά ισχύει x +ψ =5 (3). Από () και () έχουµε ότι: x =x o -3, ψ =ψ ο -4 και η (3) γίνεται: (x o -3) +(ψ ο -4) =5 3 4 5 x - + ψ - 3 = που είναι κύκλος µε κέντρο, και ακτίνα 5/. 4. ίνονται τα σηµεία Α(,) και Β(3,). Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των ΜΑ σηµείων Μ για τα οποία ισχύει: =. ΜΒ Έστω Μ(x,ψ). Τότε: ΜΑ (x-) +(ψ-) = = (x-) +(ψ-) = (x-3) +(ψ-) ΜΒ (x-3) +(ψ-) ( ) ( ) (x-) +(ψ-) = (x-3) +(ψ-) 4(x-) +4(ψ-) =(x-3) +(ψ-) 4 3x +3ψ -x-4ψ+= x +ψ - x- ψ+ =. 3 3 3 Είναι Α +Β 6 7-4Γ= >, άρα είναι κύκλος µε κέντρο Κ, και ακτίνα 9 3 3 ρ=. 3. ίνεται η εξίσωση C: x +(ψ+) +λ(x-ψ-)=, λ διάφορο του. Να αποδειχθεί ότι: i) Η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, για κάθε λ. Nρεθεί το κέντρο και η ακτίνα των κύκλων C. ii) Οι κύκλοι C διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο Ρ, το οποίο να προσδιοριστεί. iii) Tα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε µια σταθερή ευθεία η οποία να προσδιοριστεί. iv) Oι κύκλοι C εφάπτονται στην ευθεία (ε): x-ψ-= στο σηµείο Ρ. i) Η εξίσωση αυτή γράφεται: x +ψ +λx+(-λ)ψ-λ+=. Είναι Α +Β -4Γ=4(-λ) +4λ -4(-λ+)=8λ >. Άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ - A,- B 8λ =(-λ,λ-) και ακτίνα ρ= = λ. ii) Aν Ρ(x o,ψ ο ) το σταθερό σηµείο από το οποίο διέρχονται οι κύκλοι, τότε θα ισχύει: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[77] x o +(ψ ο +) x +(ψ +) = x == +λ(x ο -ψ ο -)=. -ψ -= =- Άρα το σταθερό σηµείο είναι το Ρ(,-). iii) Aν Κ(x,ψ) το κέντρο, τότε x=-λ και ψ=λ-. Με απαλοιφή του λ από τις δύο σχέσεις έχουµε x+ψ+=. ηλαδή τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται στην ευθεία x+ψ+=. iv) Η απόσταση του κέντρου Κ(-λ,λ-) από την ευθεία x-ψ-= είναι: d(k, ε)= -λ-(λ-)- = λ =ρ. Άρα οι κύκλοι εφάπτονται στην (ε) στο Ρ. +(-). Από το εξωτερικό σηµείο Μ(x,ψ ο ) του κύκλου C: x +ψ =ρ φέρουµε τις εφαπτόµενες ε και ε του κύκλου. Αν Α και Β τα σηµεία επαφής, νρεθεί η εξίσωση της ΑΒ. (Η χορδή ΑΒ ονοµάζεται πολική χορδή του κύκλου και το σηµείο Μ πόλος). ψ ε Α(x,ψ ) Μ(x o,ψ ο ) Β(x,ψ ) x ε Η εφαπτόµενη ε στο Α(x,ψ ) έχει εξίσωση ε : xx +ψψ =ρ και επειδή περνά από το Μ(x o,ψ ο ) ισχύει: x o x +ψ ο ψ =ρ. () Όµοια για την ε που περνά από το Β(x,ψ ) θα ισχύει: x o x +ψ ο ψ =ρ.(). Λόγω των () και (), είναι προφανές ότι η εξίσωση x o x+ψ ο ψ=ρ επαληθεύεται από τα σηµεία Α και Β και επειδή από δύο σηµεία διέρχεται µόνον µία ευθεία, αυτή θα είναι και η εξίσωση της ΑΒ. Για παράδειγµα: Η εξίσωση της πολικής χορδής του κύκλου x +ψ =9 µε πόλο το σηµείο Μ(5,5) είναι η 5x+5ψ=9. 3. Νρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των κύκλων C : x +ψ +6x+5= και C : x +ψ -x-6ψ+=. Ο κύκλος C : x +ψ +6x+5= έχει κέντρο Κ(-3,) και ακτίνα ρ =. Ο κύκλος C : x +ψ -x-6ψ+= έχει κέντρο Λ(,3) και ακτίνα ρ =3. Είναι (ΚΛ)= 6+ 9 = 5 = 5= ρ +ρ. Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά και έστω Α(x o,ψ ο ) το κοινό τους σηµείο. Τότε ισχύουν ταυτόχρονα: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[78] x +ψ +6x +5= από όπου, αφαιρώντας κατά µέλη παίρνουµε: x +ψ -x -6ψ ο += 8x o +6ψ ο +4=.() Από την () συµπεραίνουµε ότι η ευθεία µε εξίσωση 8x+6ψ+4= 4x+3ψ+= είναι η εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης στο Α γιατί επαληθεύεται από αυτό όπως φαίνεται από την () και είναι κάθετη στην διάκεντρο ΚΛ όπως µπορούµε να δείξουµε µε τους συντελεστές διεύθυνσης... AΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση κύκλου αν: α) έχει κέντρο το σηµείο Κ(3,) και περνά από το σηµείο Λ(-,4). β ) έχει κέντρο το Κ(,) και εφάπτεται στην ευθεία x-3ψ+4=. γ ) έχει διάµετρο το ευθ. τµήµα που έχει άκρα τα σηµεία Α(,) και Β(-,-3).. Αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους: α) x +ψ -4x+3ψ-= β) 3x +3ψ -x+3ψ+= 3. Για ποιες τιµές του λ Rη εξίσωση (3x-) +(3ψ+6) =λ- παριστάνει κύκλο; 4. ίνεται η σχέση: x +ψ αx+4= (). α) για ποια τιµή του α η () παριστάνει κύκλο; β ) ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου; 5. α) Νρεθούν οι τιµές του α Rγια τις οποίες η εξίσωση x +ψ +(α-)x-αψ-4α+= παριστάνει κύκλο. β ) Πότε ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων; γ ) είξτε ότι ο γεωµ. τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων είναι δύο ηµιευθείες. 6. ίνεται ο κύκλος (x+) +(ψ-4) =9. α) Νρεθούν οι τιµές του κ ώστε η ευθεία (ε): 6x+8ψ-κ=, κ Rνα εφάπτεται στον κύκλο αυτό. β ) Για τη µικρότερη τιµή του κ νρεθεί το σηµείο επαφής της (ε) και του κύκλου. 7. Νρεθεί η εξίσωση του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Α(3,), Β(,), και Γ(-,-4). 8. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο πάνω στην ευθεία ψ=-x και διέρχεται από τα κοινά σηµεία των κύκλων: C : x +ψ -x+ψ-4= και C : x +ψ +x+ψ-8=. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[79] 9. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία τοµής των κύκλων (x-5) +(ψ+4) =5 και (x+3) +ψ =5 και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): x+ψ+5=.. ίνονται οι ευθείες (ε ): x+ψ-= και (ε ): x-ψ+4=. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται σ αυτές και έχουν ακτίνα ρ=3.. ίνονται οι ευθείες (ε ): x+ψ-5= και (ε ): x+ψ+=. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις παραπάνω ευθείες αν το ένα σηµείο επαφής είναι το Μ(,).. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στην ευθεία (ε): 3x+4ψ= και στους άξονες χ χ και ψ ψ. 3. είξτε ότι οι κύκλοι C : (x-) +(ψ+5) =5 και C : (x+) +(ψ+) = τέµνονται και βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής τους. 4. ίνεται ο κύκλος C: x +ψ +x-4ψ+λ-=, λ Rκαι το σηµείο Α(-,3). α) Νρεθεί το λ ώστε ο C να διέρχεται από το Α. β ) Για την τιµή αυτή του λ, νρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης του C στο Α. 5. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου C: x +ψ = που είναι παράλληλες στην ευθεία x+6ψ-=. 6. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου (x+3) +(ψ-) =4 που είναι κάθετες στην ευθεία x+3ψ-6=. 7. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου C : (x-) +(ψ-3) =5 στο σηµείο του Α(5,-) και να αποδειχθεί ότι αυτή η ευθεία εφάπτεται και στον κύκλο C : x +(ψ+) =9. 8. ίνεται η ευθεία ε: ψ=λx και ο κύκλος C: x +ψ -4x+=. Νρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η ευθεία α) τέµνει τον κύκλο C. β) να εφάπτεται στον κύκλο C. γ) να µην έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο C. 9. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ε: + = εφάπτεται στον κύκλο C: x +ψ =ρ αν και µόνον αν ισχύει: + =, α, β. ρ. ίνονται οι κύκλοι C : (x-3) +(ψ-) =36 και C : x +(ψ-) =. α) είξτε ότι οι C και C εφάπτονται εσωτερικά. β ) Βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των δύο κύκλων.. ίνεται το σηµείο Μ(,4) και ο κύκλος C: x +ψ -4x+6ψ-=. ) α είξτε ότι το Μ είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου C. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[8] β ) Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου που διέρχονται από το Μ. γ)ποια είναι η γωνία των δύο εφαπτόµενων; δ ) Ποια είναι η απόσταση του Μ από την χορδή του κύκλου που ορίζουν τα σηµεία επαφής;. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου (x-3) +(ψ-3) =4 που διέρχονται από το σηµείο Μ(6,). 3. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου x +ψ =4, οι οποίες απέχουν από το σηµείο Α(3,-3) απόσταση µονάδες 4. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου 4x +4ψ -5ψ+3= οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Ποια είναι η γωνία των εφαπτόµενων αυτών; 5. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από τα σηµεία Α(,6), Β(-,-) και Γ(6,6). 6. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από τα σηµεία Α(-,) και Ο(,) και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία (ε): ψ=x+. 7. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες ε : ψ=x και ε : x+ψ= και διέρχεται από το σηµείο Α(3.4). 8. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στην ευθεία ε: 3x+4ψ= και στους θετικούς ηµιάξονες. 9. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στον θετικό ηµιάξονα Οχ, το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ε: x-ψ= και διέρχεται από το σηµείο Α(4,). 3. είξτε ότι οι κύκλοι C : x +ψ =4 και C : (x-4) +(ψ-3) =9, εφάπτονται εξωτερικά και βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των κύκλων αυτών. 3. Νρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : x +ψ -6ψ= και C : x +ψ -6x=. 3. Έστω Α(α,β) σταθερό σηµείο µε ΟΑ = Νρείτε το γεωµετρικό τόπο των. σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι: ΟΜ ( ΟΑ 3ΟΜ) = 6. 33. α) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C: (x-4) +(ψ-3) =9 εφάπτεται στον άξονα χ χ και νρείτε το σηµείο επαφής Α. β ) Νρείτε το γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών του κύκλου C, οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α. 34. ίνεται το σηµείο Μ και η εξίσωση x +(α+β)x+αβ+=. Αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ κινείται σε έναν κύκλο, του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. 35. Να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ(+ηµφ, -συνφ), όταν το φ µεταβάλλεται στο διάστηµα [, π), κινείται σε κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[8] 36. Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(x,ψ) του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: x 3 -ψ 3 -x ψ+xψ -x +ψ=. 37. ίνεται η εξίσωση (C): x +ψ +(λ-)x-(λ+)ψ+3λ-=, λ R. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ R. β) Νρείτε το κέντρο αυτού του κύκλου και να αποδείξετε ότι αυτό κινείται σε µια ευθεία καθώς το λ µεταβάλλεται. γ) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος (C) διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία. 38. Να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής Μ των ευθειών (ε): xσυνθ+ψ= και (η): x-ψσυνθ=, θ R. κινείται στον κύκλο µε κέντρο Κ, και ακτίνα ρ=. 39. ίνονται οι ευθείες (ε): (ηµθ)x-(συνθ)ψ=ηµθ και (η): (συνθ)x+(ηµθ)ψ=συνθ, θ R. α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες αυτές τέµνονται για κάθε θ R. β) Να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής των (ε) και (η) κινείται σε κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι κορυφές Β και Γ είναι σταθερές, ενώ η κορυφή Α κινείται, έτσι ώστε η διάµεσος ΒΜ να έχει σταθερό µήκος λ>. Να αποδείξετε ότι η κορυφή Α κινείται σε κύκλο τον οποίο να προσδιορίσετε. 4. Έστω σταθερό σηµείο Α(α,β) µε ΟΑ = 3. Νρεθεί ο γεωµ. τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχείει: ΟΜ ( ΟΜ ΟΑ) = 7. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[8] ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τη σταθερή ευθεία δ και το σταθερό σηµείο Ε εκτός της δ. Η δ λέγεται διευθετούσα της παραβολής και το Ε εστία αυτής. EΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Αν η παραβολή έχει κορυφή την αρχή την αξόνων Ο(,) και άξονα συµµετρίας τον χ χ τότε έχει εξίσωση: ψ =ρx. Ο αριθµός ρ λέγεται παράµετρος της παραβολής και είναι η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα. Αν η παραβολή έχει κορυφή την αρχή Ο(,) και άξονα συµµετρίας τον ψ ψ τότε έχει εξίσωση x =ρψ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[83] ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Η εφαπτόµενη της παραβολής C : ψ =ρx στο σηµείο της Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση ψψ = ρ(x+x ), ενώ της παραβολής C : x =ρψ στο σηµείο της Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση xx =ρ(ψ+ψ ). ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ίνεται η παραβολή x =-4ψ. i) Νρείτε την εστία και την διευθετούσα της. ii) Nρείτε τα σηµεία τοµής της µε τον κύκλο x +ψ =5. i) Είναι ρ=-4 ρ=-. Άρα η εστία είναι το σηµείο Ε(,-) και η διευθετούσα η ευθεία ψ=. ii) Tα σηµεία τοµής είναι οι λύσεις του συστήµατος: x +ψ =5 x =-4ψ ψ -4ψ-5= ψ=- ή ψ=5( που απορρίπτεται). Για ψ=- έχουµε x =4 x= ή. Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι τα Κ(,-) και Λ(-,-). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[84]. ίνεται η παραβολή ψ =6x. i) Nρείτε την εστία και την διευθετούσα της. ii) Nρείτε τα σηµεία της που απέχουν από την αρχή Ο απόσταση d=4. 3 3 i) Είναι ρ=6 ρ=3. Άρα Ε, και δ : x=. ii) Έστω (x,ψ) σηµείο της παραβολής, τότε (x-) +(ψ-) =4 x +ψ =6. Αλλά ψ =6x, οπότε: x +6x-6= x= ή x=-8(απορρίπτεται). Για x= παίρνουµε ψ = ψ= ±. Τα ζητούµενα σηµεία είναι Κ(, ) και Λ(,- ). 3. ίνεται η παραβολή ψ =6x. Nρείτε την εφαπτόµενη αυτής που είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): ψ=3x-. Η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής στο σηµείο Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση A 3 ψψ =3(x+x ) 3x-ψ ψ+3x = µε λ= - =. Επειδή είναι παράλληλη στην (ε) B ψ 3 θα είναι λ δ =λ ε =3 ψ =. ψ Το Μ ανήκει στην παραβολή, οπότε: ψ =6x =6x x =. 6 Άρα η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι 3x-ψ+ =. 4. ίνεται η παραβολή ψ =x. Νρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης αυτής που είναι κάθετη στην ευθεία ψ=-4x+.(δ) Η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής στο σηµείο Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση A ψψ =(x+x ) x-ψ ψ+x = µε λ= =. Επειδή η εφαπτόµενη είναι κάθετη B ψ Στην (δ) θα έχει λ=. Άρα = ψ = 4. 4 ψ 4 Εποµένως 4 =x x =8. Άρα η εξίσωση της παραβολής είναι x-4ψ+8=. 5. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της παραβολής ψ =4x, που απέχουν 5 από την εστία της απόσταση d=. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[85] Η εστία είναι το σηµείο Ε(,). Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο σηµείο (x,ψ ) είναι ψψ =(x+x ) x-ψ ψ+x =. Η απόσταση είναι: ψ =4x -+x +x 5 d= = =... x =. Άρα ψ = ψ = ±. 4+ψ 4+4x 4 Έτσι, οι ζητούµενες εφαπτόµενες είναι: x- ψ+ = και x+ ψ+ =. 6. ίνεται η παραβολή C: ψ =ρx, η χορδή αυτής ΑΒ και η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής παράλληλη στην ΑΒ. Αν Κ(x o,ψ ο ) το σηµείο επαφής της εφαπτόµενης και Μ το µέσο της ΑΒ, να αποδείξετε ότι η ΚΜ είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. Αν Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ) τα άκρα της χορδής, τότε το µέσον της Μ έχει x +x ψ +ψ συντεταγµένες,. Αρκεί λ ψ +ψ ΚΜ= -ψ = ψ +ψ =ψ. Αλλά τα Α και Β ανήκουν στην C εποµένως: ψ =ρ x (αφαιρώκατάµέλη)(ψ -ψ )(ψ +ψ )=ρ(x-x ) ψ =ρ x (µέθοδος αφαίρεσης) x-x ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ψ. ψ ρ -ψ λε ψ 7. ίνεται η παραβολή C: ψ =x. Νρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της χορδής που ορίζεται από την ευθεία 3x-ψ=. Αν ΑΒ η χορδή που η ευθεία ορίζει στην παραβολή µε Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ), τότε x +x ψ +ψ το µέσον της ΑΒ θα είναι το σηµείο Μ, = ( x M,ψ Μ). Τα Α και Β ψ =x ψ =x είναι οι λύσεις του συστήµατος: 3x- 9x -54x+= () 3x-ψ= ψ= ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[86] Για τα ρίζες x και x της () ισχύει ο τύπος του Vietta (άθροισµα ριζών) S=x +x =- β =- -54 =6. Άρα x M =3 και 3x M -ψ Μ = ψ Μ =4. α 9 Άρα το µέσον της χορδής ΑΒ είναι το σηµείο Μ(3,4). (Να λυθεί η άσκηση αυτή µε την µέθοδο της αφαίρεσης. 8. Έστω η παραβολή C: ψ =ρx και τα σηµεία της Α(x,ψ ) και Β(χ,ψ ). Να αποδειχθεί ότι η ΑΒ περνά από την εστία Ε αν και µόνον αν ψ.ψ =-ρ και x.x =ρ /4. ρ ρ Οι ευθείες που περνούν από την Ε είναι οι: ε: ψ-=λ x- και δ:x=. Τα σηµεία τοµής της δ µε την C είναι οι λύσεις του συστήµατος: ρ ρ x= x= ρ ρ. ηλαδήα,ρ και Β,-ρ. Άρα ψ.ψ =-ρ και ψ =ρx ψ=±ρ x.x =ρ /4. Από το σύστηµα των ψ λρ =ρx και x= λx-, λύνοντας βς προς x και ψ την δεύτερη και αντικαθιστώντας στην πρώτη προκύπτουν οι εξισώσεις: λ λρ λ ρ ψ -ψ- =() και λ x -ρ(λ +)x+ =(). ρ 4 Για τα ρίζες τους ισχύει ο τύπος του Vietta για το γινόµενο των ριζών Ρ= γ. α Από την () παίρνουµε ψ.ψ =-ρ και από την () x.x =ρ /4. 9. Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών ΟΒ της παραβολής C: ψ =ρx µε άκρα την κορυφή Ο και Β τυχαίο σηµείο της παραβολής. Αν Μ(x o,ψ ο ) ένα τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου και Β(x,ψ ) τυχαίο x ψ σηµείο της παραβολής, τότε, αφού Μ µέσο της ΟΒ έχουµε: x =,ψ = x =x,ψ =ψ. Επειδή το Β ανήκει στην παραβολή θα είναι: ψ =ρx 4ψ ο =4ρx o ψ ο =ρx o. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η παραβολή ψ =ρx. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[87]. Έστω C: ψ =ρx µια παραβολή και η εφαπτόµενή της ε στο τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). Αν η ευθεία ΟΜ τέµνει την διευθετούσα στο Α, να αποδείξετε ότι ΑΕ//ε. ρ Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο Μ είναι ψψ =ρ(x+x ) και έχει λ ε =. ψ Η ΟΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης ψ x ψ και εξίσωση ψ= x. Το Α είναι η λύση του x ρ ρ x=- x=- συστήµατος. ψ Εποµένως ο συντελεστής διεύθυνσης της ρψ ψ= x ψ=- x x ψ ΑΕ είναι: λ ΑΕ =. Για να είναι ΑΕ//ε πρέπει λαε =λ ε x ψ ρ = ψ =ρx x ψ που ισχύει, γιατί το σηµείο Μ ανήκει στην παραβολή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής αν: α) έχει κορυφή την αρχή Ο(,) και εστία Ε(-/,) β) κορυφή την αρχή Ο(,) και διευθετούσα την ευθεία x=-/4. γ ) κορυφή την αρχή Ο(,) και διευθετούσα την δ: ψ= δ) κορυφή την αρχή Ο(,) και εστία Ε(./5).. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής µε κορυφή το Ο(,), όταν: α) έχει άξονα συµµετρίας τον χ χ και ρ=-4. β) έχει άξονα συµµετρίας τον ψ ψ και εστία Ε(,). γ) έχει διευθετούσα την ευθεία ψ=3. δ) έχει άξονα συµµετρίας τον χ χ και διέρχεται από το σηµείο Α(,-). 3. Νρεθεί η εστία και η διευθετούσα των παραβολών µε εξισώσεις: α) ψ = -4x, β) x =8ψ. 4. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της παραβολής C: ψ =x που: α) είναι παράλληλη στην ευθεία δ: x-ψ-3=. β ) είναι κάθετη στην ευθεία δ: x-ψ=. γ ) διέρχεται από το σηµείο Α(-4,). 5. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων της παραβολής C: ψ =4x που περνούν από το σηµείο Μ(-,3/). Κατόπιν νρεθεί η γωνία που σχηµατίζουν. 6. Νρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: ψ=x+3 και εφάπτεται στην παραβολή C: ψ =6x. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[88] 7. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής C: ψ =8x που διέρχεται από το σηµείο Μ(4,) αν είναι γνωστό ότι το Μ είναι µέσον της. 8. Έστω C: x =ψ µια παραβολή και τυχαία ευθεία ε που περνάει από το σηµείο Κ(,) και τέµνει την παραβολή στα σηµεία Μ και Ν. Αν Α και Β οι προβολές των Μ και Ν στον άξονα χ χ να αποδειχθεί ότι: ΑΚΒ=9. 9. Έστω η παραβολή C: ψ =ρx και τα σταθερά σηµεία Α και Β του άξονα χ χ τα οποία έχουν µέσο την εστία Ε. Φέρουµε τις κάθετες ΑΚ και ΒΛ σε µια εφαπτόµενη της παραβολής στο σηµείο της Μ(x,ψ ). Να αποδειχθεί ότι η διαφορά (ΑΚ) -(ΒΛ) είναι σταθερή.. Έστω C: ψ =ρχ και η εφαπτόµενή της ε στο τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). Αν η ευθεία ΟΜ τέµνει τη διευθετούσα στο Α, να δειχθεί ότι ΑΕ//ε.. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ε: ψ=λx+β είναι εφαπτόµενη της παραβολής C: ψ =ρx αν και µόνον αν ισχύει ρ=λβ (λ ).. ίνεται η ευθεία (ε): 4κ * x-4κψ+3=. Να αποδειχθεί ότι για κάθε κ R η ευθεία αυτή εφάπτεται της παραβολής C : ψ =3x. Κατόπιν νρεθούν οι κοινές εφαπτόµενες της παραβολής και του κύκλου C : (x+) +ψ =. 3. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συµµετρίας τον χ χ και τέµνει την ευθεία ε: ψ=x- έτσι, ώστε να ορίζει πάνω σε αυτή χορδή µήκους. 4. Βρείτε την εξίσωση της παραβολής που εφάπτεται στην ευθεία ε: ψ=x-. είξτε ότι οι εφαπτόµενες που φέρονται από τυχαίο σηµείο της διευθετούσας είναι κάθετες. 5. ίνεται η παραβολή C : ψ =x και ο κύκλος C : (x-3) +ψ =36. είξτε ότι: α) κύκλος και παραβολή τέµνονται σε δύο σηµεία Α και Β. β) οι εφαπτόµενες της παραβολής στα Α και Β τέµνονται πάνω στον κύκλο C. 6. Από το σηµείο Μ(x,ψ ) έξω από την παραβολή C:ψ =ρx φέρουµε τις εφαπτόµενες ΜΑ και ΜΒ στην παραβολή. είξτε ότι η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση ψψ =ρ(x+x ). 7. Από ένα σηµείο Μ της διευθετούσας της παραβολής ψ =ρx φέρουµε εφαπτόµενες στην παραβολή. α) Αν Α και Β τα σηµεία επαφής, νρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ. β ) είξτε ότι τα Α, Β και η εστία Ε είναι σηµεία συνευθειακά. 8. Έστω η παραβολή C: x =ρψ και τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). είξτε ότι: ρ α) η απόσταση του Μ από την εστία Ε είναι ίση µε ψ +. β ) η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο σηµείο της προς την εστία. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[89] 9. Αν Μ(x,ψ ) σηµείο της παραβολής C: ψ ρ =ρx τότε ΕΜ = x +.. ίνεται η παραβολή C: ψ =ρx και έστω Μ τυχαίο σηµείο αυτής. Να δειχθεί ότι ο κύκλος διαµέτρου ΕΜ, όπου Ε η εστία της παραβολής εφάπτεται στον άξονα ψ ψ.. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής x =ψ, η οποία έχει µέσο το 5 σηµείο Α,. 4. Μεταβλητή ευθεία (ε) στρέφεται περί την εστία Ε της παραβολής C: ψ =ρx, ρ. Αν η ευθεία τέµνει την παραβολή στα σηµεία Α και Β, δείξτε ότι: + = σταθερό. ΕΑ ΕΒ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[9] ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Ε και Ε δύο σταθερά σηµεία του επιπέδου. Έλλειψη είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που έχουν σταθερό άθροισµα αποστάσεων από τα Ε και Ε, δηλαδή: (ΜΕ )+(ΜΕ)=α, (Ε Ε)=γ, α γ. Τα Ε και Ε λέγονται εστίες της έλλειψης. Το τµήµα (Ε Ε) λέγεται εστιακή απόσταση. Τα σηµεία Α(-α.) και Α(α.) λέγονται κορυφές της έλλειψης. Το τµήµα ΑΆ λέγεται µεγάλος άξονας της έλλειψης, ενώ το Β Β όπου Β (,- β) και Β(,β) λέγεται µικρός άξονας της έλλειψης. Το Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης. Οι άξονες χ χ και ψ ψ είναι άξονες συµµετρίας και το Ο κέντρο συµµετρίας της έλλειψης. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ α) Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε (-γ,) και Ε(γ,) είναι: + = µε β =α -γ,και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχ. β ) Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε (,-γ) και Ε(,γ) είναι + +, µε β α β =α -γ. (Σχ. ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[9] ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ λέγεται ο λόγος της εστιακής απόστασης προς το γ β µήκος του µεγάλου άξονα και είναι: ε= <και = -ε. α α Ελλείψεις µε την ίδια εκκεντρότητα λέγονται όµοιες. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Η έλλειψη µε εξίσωση + =έχει στο σηµείο της Μ(x,ψ ) εφαπτόµενη µε xx ψψ εξίσωση: + =, ενώ η έλλειψη µε εξίσωση + =έχει στο ίδιο σηµείο β α εξίσωση: xx ψψ + =. β α ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ίνεται η έλλειψη C: 4x +9ψ =44. Νρείτε τις εστίες, τις κορυφές, τον µεγάλο άξονα και την εκκεντρότητά της. 4x 9ψ Η εξίσωση τα έλλειψης γράφεται: + = + =. 44 44 36 6 Συνεπώς είναι α =36 και β =6. γ =α -β γ =36-6 γ = γ= 5. Οι εστίες είναι Ε (- 5,) και Ε( 5,). Οι κορυφές της είναι Α (-α,)=(-6,) και Α(α,)=(6,). Ο µεγάλος άξονας είναι α= Η εκκεντρότητά της είναι ε= γ 5 5 = =. α 6 3. ίνεται η έλλειψη C: + =. Αν η γωνία εκκεντρότητα της έλλειψής. Είναι Β(,β), Ε (-γ,) και Β (,-β). Επειδή η γωνία Ε Β Ε Β Ε Β Ε Β = () ΒΕ Β είναι ορθή, νρείτε την ΒΕ Β είναι ορθή, θα ισχύει: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[9] Αλλά Ε Β=(γ,β) και Ε Β =(γ,-β). Άρα η () δίνει γ -β = (). Αλλά β =α -γ (3). Από () και (3) έχουµε: γ -(α -γ )= ή γ =α ή γ = ε = ε= ε=. α 3. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων της έλλειψης C: 4x +ψ = που: α) Είναι παράλληλες στην ευθεία δ: ψ=4x β) Είναι κάθετες στην ευθεία ζ: x-4ψ+= γ) ιέρχονται από το σηµείο Κ(,) Αν Μ(x,ψ ) το σηµείο επαφής, ισχύει 4x +ψ = () γιατί ανήκει στην έλλειψη. 4x Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο Μ είναι (ε): 4xx +ψψ = και έχει λ=. ψ Αρκεί νρούµε τα x και ψ. 4x α) Επειδή (ε)//δ είναι λ ε =λ δ =4 x =-ψ οπότε η () δίνει ψ x = ± και ψ =. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε :4x-ψ=, ε : -4x+ψ= 4x β) Επειδή ε ζείναιλε λ ζ =-,άραλ 3 =-4 - =-4 x =ψ. Με ψ = ± καιψ = ± αντικατάσταση στην () έχουµε: x. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε : 4x+ψ= και ε : 4x+ψ=-. γ) Επειδή η (ε) διέρχεται από το Κ(,) θα ισχύει: ψ = άρα ψ =. Η () δίνει 4x +4= ή x = ±. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε : 4x+ψ= και ε : -4x+ψ=. 4. ίνεται η έλλειψη C: + =. a β Να αποδείξετε ότι το γινόµενο των αποστάσεων των εστιών της από κάθε εφαπτόµενή της είναι σταθερό και ίσο µε β. Αν Μ(x,ψ ) σηµείο της έλλειψης, η εξίσωση της εφαπτόµενής της είναι xx ψψ ζ: + -=. Οι εστίες είναι Ε (-γ,) και Ε(γ,). Άρα: a β d =d(e,ζ)= xγ - α x a ψ + 4 4 β και d =d(e,ζ)= xγ - - α x + 4 4 a ψ β. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[93] Εποµένως: x γ -α 4 4 α x β -α +α ( ) 4 α β 4 xγ xγ x γ - + - 4 α α α d d = = = x ψ x x + 4 4 + - 4 a β α α β 4 β xγ -α = =β, γιατί σε κάθε έλλειψη είναι -x γ +α 4 4 x α και γ <α άρα x γ -α <. 5. ίνεται η έλλειψη C: + =. Αν Α και Α οι κορυφές και ε η εφαπτόµενη σε τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ) και η ε τέµνει την εφαπτόµενή της στο Α στο σηµείο Κ, δείξτε ότι Α Μ//ΟΚ. Για το σηµείο Μ(x,ψ ) της C ισχύει Η ε : x ψ + = β x +α ψ =αβ. () xx ψψ + =() τέµνει την εφαπτόµενη x=α στο σηµείο Κ(α,ψ Κ ). Η () ( ) β α-x για x=α και ψ=ψ Κ δίνει ψ Κ =. αψ ψ ( ) Είναι Α Μ//ΟΚ αν και µόνον αν λ Α Μ =λ - β α-x ΟΚ = x +α α ψ β (α-x )(α+x )=α ψ αβ -β x =α ψ που ισχύει λόγω της (). 6. ίνεται η έλλειψη C: + =και σηµείο Μ(x o,ψ ο ) στο εσωτερικό της. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει µέσο το σηµείο Μ. Αν ΑΒ χορδή µε µέσο το Μ, τότε, η ΑΒ έχει εξίσωση ψ-ψ ο =λ(x-x o ) και ψ -ψ συντελεστή διεύθυνσης λ= x -x αν θεωρήσουµε ότι Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ). Τα Α και Β ανήκουν στην έλλειψη, συνεπώς ισχύουν: β x +α ψ =α β και β x +α ψ =α β. Αφαιρώντας τις σχέσεις αυτές κατά µέλη (µέθοδος αφαίρεσης) παίρνουµε: β (x -x )+α (ψ -ψ )= β (x -x )(x +x )=-α (ψ -ψ )(ψ +ψ ) () Επειδή Μ µέσο της ΑΒ είναι x +x =x o και ψ +ψ =ψ ο. Άρα η () γίνεται: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[94] β (x -x )=-α ψ ο (ψ -ψ ) και διαιρώντας: ψ -ψ x -x =- α ψ β x α ψ β x Άρα η εξίσωση της ΑΒ είναι: ψ-ψ ο = (x-x ) µε την προϋπόθεση ότι ψ ο δηλαδή το Μ δεν ανήκει στον χ χ. Αν το Μ είναι σηµείο του χ χ τότε είναι Μ(x o,) και η εξίσωση της ΑΒ είναι x=x o. =λ. 7. Nρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά στον κύκλο C : (x+3) +ψ = και διέρχονται από το σηµείο Λ(3,). O κύκλος C έχει κέντρο Κ(-3,) και ακτίνα ρ=. Επειδή ο C εφάπτεται εσωτερικά στον C ισχύει (ΚΜ)=ρ-R (). Αφού ο C περνάει από το Λ(3,) ισχύει (ΜΛ)=R. Με πρόσθεση των () και () έχουµε: (ΜΚ)+(ΜΛ)=. Επειδή το άθροισµα των αποστάσεων του Μ από τα Κ και Λ είναι σταθερό, ο γεωµετρικός τόπος του Μ είναι έλλειψη µε εστίες τα σηµεία Κ(-3,) και Λ(3,), α= α=5 και β=4. Η εξίσωση του γεωµετρικού τόπου είναι: + =. 5 6 8. Να αποδειχθεί ότι ο λόγος των αποστάσεων τυχαίου σηµείου Μ της έλλειψης α C: + =από την εστία Ε και την ευθεία δ: x= είναι ίσος µε την γ εκκεντρότητα της έλλειψης. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[95] Το Μ ανήκει στην C, άρ x +α ψ =α β (). Είναι (ΜΕ)= (x-γ) +ψ και d(m,δ)= ( ) α -x γ α (ΜΕ) (x-γ) +ψ γ = -x. Πρέπει =ε = + γ d(m,δ) α α -x γ α x-γ +ψ =(α -γx ) α x -α γx +α γ +α ψ = α -αγx -γ x α x +α (α -β )+α ψ =α +(α -β )x 4 4 -αβ +α ψ =-β x, που ισχύει λόγω της (). 9. Νρείτε την εξίσωση της έλλειψής που έχει εστίες τα σηµεία Ε (-3,) και Ε(3,) και εφάπτεται της ευθείας (ε): x+ψ-5=. Αν + =η ζητούµενη έλλειψη, τότε: γ=3 και γ =α -β ή α -β =9.() Επειδή η (ε) εφάπτεται της έλλειψης, το σύστηµά τους πρέπει να έχει µοναδική (5-ψ) ψ λύση, δηλ. η + = (α +β )ψ -β ψ+5β -αβ = Πρέπει να έχει = (β ) -4(α +β ) β (5-α )=... 4 5β -5α +α -5β +αβ = α (α +β -5)= α +β =5 ()γιατί α. Από () και () έχουµε: α =7, β=8 άρα: η ζητούµενη έλλειψη είναι: + =. 7 8 α. ίνεται η έλλειψη C: + =και η ευθεία δ: x=. Από τυχαίο σηµείο Μ γ της δ φέρνουµε τις εφαπτόµενες ΜΑ και ΜΒ στην έλλειψη. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α και Β και η εστία Ε είναι συνευθειακά. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[96] Έστω Μ α,µ γ τυχαίο σηµείο της δ. Είναι ΜΑ: xx a ψψ + =που περνά από β A Α το Μ άρα: a x µψ x µψ A Α A Α γ + = + =(). a β γ β x B µψβ Όµοια για την ΜΒ που περνά από το Μ είναι + = (). γ β x µψ Από () και () η εξίσωση της πολικής χορδής ΑΒ είναι: + = γ β η οποία επαληθεύεται από τις συντεταγµένες της εστίας Ε(γ,). ηλαδή τα σηµεία Α, Β και Ε είναι συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθούν τα στοιχεία (µήκη αξόνων, εστίες, εκκεντρότητα) των ελλείψεων και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις: α) 4x +ψ =, β) 5x +9ψ =5, γ) + =, δ) x +4ψ =. 6. Νρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστιακή απόσταση 6, διέρχεται από 7 το σηµείο Μ( 3, ) και έχει εστίες στον άξονα χ χ. 3. Νρείτε την εξίσωση της έλλειψης που διέρχεται από το σηµείο Μ(,) και ο µικρός της άξονας είναι το /3 του µεγάλου. 4. Νρείτε τις εξισώσεις των ελλείψεων, οι οποίες διέρχονται από τα σηµεία 4 Μ(3,) και Ρ(4, ). 5 5. Νρείτε τα σηµεία της έλλειψης + =που απέχουν από τον µικρό άξονα 9 5 µονάδα και να αποδείξετε ότι τα σηµεία αυτά είναι κορυφές ορθογωνίου. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[97] 6. Νρείτε τις κορυφές του τετραγώνου που είναι εγγεγραµµένο στην έλλειψη + =. 64 36 7. Νρείτε τα σηµεία Μ της έλλειψης + = για τα οποία είναι: Ε' ΜΕ = 9. 7 3 8. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της έλλειψης x +4ψ =, οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Μ(, ). 9. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της έλλειψης είναι κάθετες στην ευθεία (ε): x-ψ+3=. + =, οι οποίες 5 4. Νρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της έλλειψης + =, η οποία 6 9 σχηµατίζει µε τους θετικούς ηµιάξονες Οχ και Οψ τρίγωνο εµβαδού τ.µ.. Νρείτε τις εξισώσεις των ελλείψεων που διέρχονται από το σηµείο Μ(-, ) και εφάπτονται στην ευθεία x+ψ-3=.. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής της έλλειψης (C): + =η οποία ςχςι µέσο 6 4 το σηµείο Μ(,). 3. ίνονται τα σηµεία Α(-4,) και Β(4,). Νρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ(x,ψ) του επιπέδου για τα οποία ιχχύει: λαμ λ ΒΜ =-9. Να σχεδιαστεί η γραµµή που θα προκύψει. 4. Νρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ( 5ηµφ, 4συνφ) καθώς το φ µεταβάλλεται στο σύνολο R. Να σχεδιαστεί η γραµµή που θα προκύψει. 5. Νρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από το σηµείο Α(,) και την ευθεία (ε): x-9= είναι ίσος µε. 3 α 6. Θεωρούµε το σηµείο Ε(γ,) και την ευθεία δ: x=, όπου α>γ>.να αποδείξετε γ ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχείει d(μ,ε) γ = d(μ,δ) α, είναι έλλειψη µε εξίσωση: + =, (β =α -γ ). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[98] 7. Θεωρούµε την έλλειψη C: 4x +9ψ = και µια εφαπτόµενη ε αυτής. Αν Ε, Ε είναι οι εστίες της C, να αποδείξετε ότι d(e,ε).d(ε,ε)=. 9 8. Μια εφαπτόµενη της έλλειψης C: x +ψ = στο σηµείο Μ(x,ψ ) έχει συντεταγµένες επί την αρχή x και ψ. Να αποδείξετε ότι + =. 9. Αν (x,ψ ) είναι οι συντεταγµένες ενός σηµείου Μ της έλλειψης (x. ψ ),να αποδείξετε ότι τα σηµεία Μ( x,ψ ), Α( συνευθειακά. α,) x + = β, Β(, ) ψ είναι. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της έλλειψης 3x +5ψ =5, οι οποίες έχουν θετικό συντελεστή διεύθυνσης και απέχουν από το κέντρο της έλλειψης µονάδες.. ίνεται η έλλειψη + =. Αν (ε) η εφαπτόµενη αυτής στο τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ) και (η) ευθεία κάθετη στην εφαπτόµενη στο Μ, δείξτε ότι η (η) διχοτοµεί την γωνία Ε ΜΕ.. ίνεται η έλλειψη + =και η εφαπτόµενη αυτής στο τυχαίο σηµείο Μ(x,ψ ) διάφορο της κορυφής που τέµνει την ευθεία δ: Ε η εστία της έλλειψης, να αποδειχθεί ότι ΕΚ ΕΜ. α x= στο σηµείο Κ. Αν γ 3. ίνεται η έλλειψη + =. Η εφαπτόµενη ε αυτής στο τυχαίο σηµείο Μ(x,ψ ) διάφορο της κορυφής τέµνει τους άξονες χ χ και ψ ψ στα σηµεία Κ(κ,) και Λ(,λ). είξτε ότι ισχύουν οι σχέσεις: α =κx και β =λψ. ( ηλαδή ότι οι τριάδες x, α, κ και ψ, β, λ είναι µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου). 4. Νρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται εξωτερικά στον κύκλο C : x +(ψ+) = και εσωτερικά στον κύκλο C : x +(ψ-) =9. 5. ίνεται η έλλειψη + =και η εφαπτόµενη (ε) στο σηµείο Μ αυτής, η οποία τέµνει τον άξονα χ χ στο σηµείο Γ και τον άξονα ψ ψ στο σηµείο. Αν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[99] ΜΡ χ χ, να αποδειχθεί ότι: i) α (ΟΓ) ΟΡ ΟΓ=α, ii) Ο ΜΡ=β, iii) + =. β ( Ο ) 6. ίνεται η έλλειψη + =και δ ευθεία κάθετη στην εφαπτόµενη ε της έλλειψης στο σηµείο της Μ(x,ψ ). Αν η δ τέµνει τον άξονα χ χ στο σηµείο Γ και τον άξονα ψ ψ στο σηµείο, νρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του µέσου Ν της Γ. 7. ίνεται η έλλειψη + =και το σηµείο της Μ(x,ψ ), ψ. Από την κορυφή Α φέρνουµε ε ΑΜ και από την κορυφή Α φέρνουµε ε Α Μ. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου τοµής των δύο καθέτων. 8. ίνεται η έλλειψη C: β x +α ψ =α β. Η ευθεία x=γ τέµνει την έλλειψη στο σηµείο Μ µε ψ Μ >. Η εφαπτόµενη της C στο Μ τέµνει τον άξονα ψ ψ στο σηµείο Ρ. Αν Ε (-γ,) είναι η άλλη εστία της έλλειψης, να αποδειχθεί ότι: Ε Ρ ΡΜ. 9. Στο σηµείο Μ της έλλειψης C: + =φέρνουµε εφαπτόµενη που τέµνει τον άξονα ψ ψ στο σηµείο Ρ. Οι ευθείες Α Μ και ΑΜ, όπου Α και Α οι κορυφές του µεγάλου άξονα της έλλειψης, τέµνουν τον ψ ψ στα σηµεία Γ και. Να αποδειχθεί ότι το σηµείο Ρ είναι µέσο του Γ. 3. ίνεται η έλλειψη C: 4x +9ψ =36 και η εφαπτόµενή της (ε) στο σηµείο Μ, η οποία τέµνει την εφαπτόµενή της στην κορυφή Α στο σηµείο Ρ. Να αποδειχθεί ότι ΟΡ//Α Μ, όπου Α είναι το άλλο άκρο του µεγάλου άξονα και Ο είναι το κέντρο της έλλειψης. 3. Η ευθεία (η): ψ=(εφθ)x µε <θ< π τέµνει τις ελλείψεις C : + =και + =µε α>β, στα σηµεία Γ και αντίστοιχα. Αν λ, λ είναι οι συντελεστές β α διεύθυνσης των εφαπτόµενων των C και C στα σηµεία Γ και, να αποδειχθεί ότι λ λ =. εφθ 3. α)νρεθεί ο µ > ώστε η ευθεία ε: ψ=x+µ να είναι εφαπτόµενη της έλλειψης x C: +ψ =, β) Για την παραπάνω τιµή του µ, να αποδειχθεί ότι η προβολή της εστίας Ε(γ,) στην ε ανήκει στον κύκλο µε διάµετρο τον µεγάλο άξονα της έλλειψης.. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[] ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω δύο σταθερά σηµεία Ε και Ε του επιπέδου και Μ τυχαίο σηµείο αυτού. Υπερβολή µε εστίες Ε και Ε λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που η απόλυτη τιµή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε είναι σταθερή και µικρότερη του (ΕΈ). Το (Ε Ε) λέγεται εστιακή απόσταση. Συµβολικά έχουµε: ΜΕ'-ΜΕ =α, (Ε Ε) =γ,α<γ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ H υπερβολή µε εστίες Ε (-γ,), Ε(γ,) είναι Η υπερβολή µε εστίες Ε (,-γ), Ε(,γ) είναι - = µε β =γ -α.(σχ ) ψ x - =µε β =γ -α.(σχ ) Τα Α, Α λέγονται κορυφές της υπερβολής. Οι άξονες χ χ και ψ ψ είναι άξονες συµµετρίας και το Ο κέντρο συµµετρίας της. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[] ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Οι ασύµπτωτες της υπερβολής - = είναι οι ευθείες ε: ψ= β x α και ε : ψ= β x α (Σχ ). Οι ασύµπτωτες της υπερβολής ψ x - = είναι οι ευθείες ε: ψ= α x β και ε : ψ= α x β (Σχ ). ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ λέγεται ο λόγος ε= γ α +β = >. α α ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΥΠΕΡΒΟΛΕΣ είναι οι υπερβολές C : - = Και έχουν τις ίδιες ασύµπτωτες. ψ x και C : - = IΣΟΣΚΕΛΕΙΣ ΥΠΕΡΒΟΛΕΣ είναι οι υπερβολές για τις οποίες ισχύει α=β. Οι εξισώσεις τους είναι: x -ψ =α ή ψ -x =α. Οι ασύµπτωτες των υπερβολών αυτών είναι οι διχοτόµοι των αξόνων δηλαδή οι ευθείες µε εξισώσεις ψ=x και ψ=-x. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[] Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ της υπερβολής - = στο σηµείο της Μ(x,ψ ) xx ψψ ψ x είναι η ευθεία µε εξίσωση - =, ενώ της υπερβολής - =είναι η ψψ xx ευθεία µε εξίσωση - =.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Να γράψετε την εξίσωση της υπερβολής που έχει κέντρο το Ο(,), άξονα τον χ χ, διέρχεται από το σηµείο Μ(8,) και έχει ασύµπτωτες τις ευθείες ψ= x και ψ=- x. Η ζητούµενη εξίσωση θα έχει τη µορφή C: - =. 64 4 Επειδή το σηµείο Μ(8,) ανήκει στην υπερβολή θα είναι - = (). β β Οι ασύµπτωτες έχουν εξισώσεις ψ= x και ψ=- x. Άρα είναι α α β β = =. () α α 4 Το σύστηµα των () και () δίνει α =48 και β =. Άρα η ζητούµενη εξίσωση είναι: - =. 48. Nρείτε την εξίσωση της υπερβολής C που έχει εκκεντρότητα ε= 4 5 και κοινές εστίες µε την έλλειψη C: + =. 9 4 Για την έλλειψη έχουµε: α =9 και β =4. Συνεπώς γ =α -β ή γ =9-4=5. Επειδή έχουν τις ίδιες εστίες, το γ θα είναι το ίδιο και για την υπερβολή. Έστω ότι η εξίσωση της υπερβολής είναι: C : - =. γ γ γ 6 Είναι ε= α = α = α =. α ε ε 5 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[3] β =γ -α ή β 9 =. 5 Άρα η εξίσωση της υπερβολής είναι: C : - =. 6 9 5 5 3. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων της υπερβολής C: 4x -ψ =4 που: α) είναι παράλληλες στην ευθεία δ: ψ=4x. β) είναι κάθετες στην ευθεία ζ: x-4ψ+=. γ) διέρχονται από το σηµείο Κ(,4). Αν Μ(x,ψ ) το σηµείο επαφής, τότε ισχύει: 4x -ψ =4 () και η εξίσωση της 4x εφαπτόµενης είναι: (ε) 4xx -ψψ =4 η οποία έχει λ ε =. ψ 4x α) Επειδή (ε)//(δ) λ ε//λ δ =4 x =ψ οπότε η () γίνεται: ψ 4x -x 3 =4 ή x =ψ = ±. 3 Οι ζητούµενες εξισώσεις είναι: (ε ): 4x-ψ= 3 και (ε ): 4x-ψ=- 3. β) Επειδή (ε) (ζ) όπου λ ζ = λ ε =-4 x =-ψ 4 και από την () 4x -x =4 ή 3 x =ψ = ±. 3 Οι ζητούµενες εξισώσεις είναι: (ε ): 4x+ψ= 3 και (ε ): 4x+ψ=- 3. γ) Επειδή η (ε) διέρχεται από το σηµείο Κ(,4) ισχύει: -4ψ =4 ή ψ =- και από την () 4x 5 -=4 x = ±. Οι ζητούµενες εξισώσεις είναι: (ε ): 5x+ψ=4 και (ε ): - 5x+ψ=4 4. Nρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη C : + =και εφάπτεται της ευθείας (ε): ψ=x+. 5 6 Η έλλειψη C : + =έχει α=5, β=4 οπότε γ=3. 5 6 Αν C: - = η εξίσωση της υπερβολής, θα ισχύει: β =9-α (έχουν ίδιο γ). Επειδή η (ε) εφάπτεται στην C, το σύστηµα των εξισώσεων ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[4] x ψ - = α 9-α πρέπει να έχει µοναδική λύση. Έτσι η δευτεροβάθµια εξίσωση που ψ=x+ 4 προκύπτει: (9-α )x -α x+a -a = πρέπει να έχει = ή 4 4 4 4α -4(9-α )(α -α )= α -4α +45= α =5 β =4 ή α =9 β = (απορρίπτεται). Εποµένως η εξίσωση της υπερβολής είναι: C: - =. 5 4 ψ x 5. ίνονται οι υπερβολές C : - = Ο και C : - =. Αν AEA =6 β α όπου Α, Α οι κορυφές της C και Ε η εστία της C, νρεθούν οι εκκεντρότητες των δύο υπερβολών. Έστω Α(α,) και Α (-α,) οι κορυφές της C και Ε(,γ) η εστία της C. ( Οι υπερβολές αυτές λέγονται συζυγείς γιατί έχουν τις ίδιες ασύµπτωτες). γ γ Οι εκκεντρότητές τους είναι ε = και ε =. Ο Ο γ 3 Επειδή AEA =6 ω=αεο=3 άρα εφω=εφ3 = α 3 ε = 3. α γ -β β β 3 Αλλά = = - = = ε =. γ 3 γ 3 γ 3 γ 3 6. ίνονται τα σηµεία Κ(-5,) και Λ(5,). Νρεθούν τα σηµεία Μ(x,ψ) για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις: ( MK) -( MΛ ) =8 και (ΟΜ)=(ΚΛ). Κατόπιν να δειχθεί ότι για οποιοδήποτε σηµείο Μ από αυτά, ισχύει ΚΜΛ= 9. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[5] Από τη σχέση ( MK) -( MΛ ) =8 σύµφωνα µε τον ορισµό της υπερβολής, προκύπτει ότι τα σηµεία Μ ανήκουν σε υπερβολή C της οποίας τα Κ, Λ είναι εστίες, εποµένως (ΚΛ)==γ άρα γ=5, α=8 α=4, οπότε και β=3. Συνεπώς η εξίσωση της υπερβολής είναι: - =. 6 9 Από τη σχέση (ΟΜ)=(ΚΛ) (ΟΜ)=5 δηλαδή τα σηµεία Μ απέχουν από το Ο σταθερή απόσταση 5 άρα ανήκουν στον κύκλο µε εξίσωση C : x +ψ =5. Επειδή η ΚΛ είναι διάµετρος του κύκλου αυτού, η γωνία ΚΜ Λβαίνει σε ηµικύκλιο, άρα είναι ορθή. 7. Έστω C : x +ψ =α ένας κύκλος και η εφαπτόµενή του ε στο σηµείο του Μ(x o,ψ ο ), που τέµνει τον χ χ στο Κ. Από το Κ φέρνουµε ευθεία δ κάθετη στον χ χ που τέµνει την υπερβολή C : x -ψ =α στα Β και Γ. Να αποδείξετε ότι ΒΜΓ= 9 και ( ΜΚ) = ( ΒΚ). Για το σηµείο Μ(x o,ψ ο ) της C ισχύει x o +ψ ο =α (). Η εφαπτόµενη του κύκλου στο Μ είναι η xx o +ψψ ο =α α και ( για ψ=) τέµνει τον άξονα χ χ στο Κ,. x (Είναι x o γιατί αλλιώς ε//χ χ αι δεν υπάρχει Κ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[6] α Τα Β και Γ είναι οι λύσεις του συστήµατος των δ: x= x α αντικατάσταση στη δεύτερη του x= x και C : x -ψ =α. Mε αψ προκύπτει ψ= ± άρα είναι x α αψ α αψ Β, και Γ,-. Αρκεί να δείξουµε ότι: ΜΒ ΜΓ=. x x x x α αψ α αψ Είναι: ΜΒ= -x, -ψ και ΜΓ= -x,- -ψ άρα: x x x x () 4 (α -x ) α ψ ψ +x ψ -α ψ ΜΒΜΓ= +ψ - = = x x x () ( ) ψ ψ +x -α =. x Άρα το ΒΜΓ είναι ορθογώνιο και η διάµεσός του ΜΚ=/ΒΓ=ΒΚ. 8. Έστω η υπερβολή C: - =, η εφαπτόµενη ε σε τυχαίο σηµείο Μ(x o,ψ ο ) και η κάθετη δ στην ε στο Μ. Αν η ε περνά από το σηµείο Β(,-β) και η δ περνά από το Γ( α, ), νρεθεί η εκκεντρότητα της C. Για το Μ(x o,ψ ο ) ισχύει: ε α ψ x ψ - = (). Η εφαπτόµενη στο Μ έχει εξίσωση xψ β x - = και λ =. Επειδή περνά από το Β(,-β) ισχύει: βψ α ψ = ψ =β (). Η δ είναι κάθετη στην ε άρα έχει λ δ =- β β x α ψ α ψ-ψ =- (α -x )... x = (3). Aπό () 3 β x γ (),(3) 6 4 8 8α γ Þ - = = =ε=. 4 4 α γ β γ α και εξίσωση ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[7] 9. Έστω η υπερβολή C: - =. Από την εστία της Ε φέρνουµε την κάθετη σε µία ασύµπτωτή της. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΟΑ (Α η κορυφή της υπερβολής) είναι ισοσκελές και ότι (ΕΚ)=β. Έστω Κ(x o,ψ ο ) το σηµείο που η κάθετος από την Ε τέµνει την ασύµπτωτη ε : β β ψ= x. Επειδή το Κ ανήκει στην ε θα είναι Κ x, x. α α Πρέπει: β β OK EK OK EK= x, x x -γ, x = α α β β α x -γx + x = x + =γ x = α α γ α αβ Άρα Κ,. Θα δείξουµε ότι (ΟΚ)=(ΟΑ). γ γ (ΟΚ)= 4 α αβ α (α +β ) + = =α=(οα), γ γ γ άρα το ΚΟΑ είναι ισοσκελές. (ΕΚ)= α αβ (α -γ ) +αβ β (α +β ) -γ + = = =β. γ γ γ γ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[8] ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση της υπερβολής η οποία έχει: α)εστίες στον χ χ, εστιακή απόσταση 8 και απόσταση κορυφών. β) Εστίες τα σηµεία Ε (,-) και Ε(,) και ασύµπτωτες τις ευθείες ψ= x ψ=- x. 3 γ ) Κορυφές τα σηµεία Α (-,) και Α(,) και εκκεντρότητα ε =. και. ίνονται οι υπερβολές: i) - =, ii) 3x -ψ =3, iii) x -4ψ =. 4 Νρείτε τις κορυφές, τις εστίες και τις ασύµπτωτες τους. Να παρασταθούν γραφικά. 3. Νρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει ασύµπτωτες τις ευθείες ε : ψ= x και ε : ψ=- x και διέρχεται από το σηµείο Μ(,-4). 4. Νρεθεί η εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής (α=β) που έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη + =. 9 4 5. Νρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που περνάει από το σηµείο Μ(3,4) και είναι Ε' ΜΕ= 9. 6. Νρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη 5x +9ψ =45 και εκκεντρότητα ε=. 7. Νρεθεί η γωνία που σχηµατίζουν οι ασύµπτωτες της υπερβολής C: - =. 6 β 8. Έστω η υπερβολή: - =. Αν η ασύµπτωτη ε : ψ= x σχηµατίζει µε την α β π ασύµπτωτη ε : ψ=- x γωνία, νρεθεί η εκκεντρότητα της υπερβολής. α 3 9. είξτε ότι το γινόµενο των αποστάσεων κάθε σηµείου της υπερβολής α β - = από τις ασύµπτωτες αυτής είναι σταθερό και ίσο µε. α + β. Αν ε, ε οι εκκεντρότητες δύο συζυγών υπερβολών, δείξτε ότι: ε +ε = ε ε. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[9]. Νρείτε την εξίσωση της υπερβολής µε εστίες στον άξονα χ χ και η οποία εφάπτεται στις ευθείες ε : 5x-4ψ-6= και ε : 3x-ψ- 6 3 =.. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της ισοσκελούς υπερβολής x -ψ =5 που είναι κάθετες στην ευθεία x+ 6ψ+3=. 3. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της υπερβολής είναι παράλληλες στην ευθεία x-ψ+=. - =, 4 9 οι οποίες 4. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της υπερβολής 7x -9ψ =63 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α(3, ). 5. Νρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της ισοσκελούς υπερβολής ψ -x =4, που σχηµατίζει µε τους θετικούς ηµιάξονες Οχ και Οψ τρίγωνο µε εµβαδόν 4 3 3 6. Νρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες τα σηµεία Ε (-3, ) και Ε(3, ) και εφάπτεται στην ευθεία ψ=x-4. 7. Αν Μ(x,ψ) σηµείο της υπερβολής C: - = και Ε, Ε οι εστίες της, να αποδείξετε ότι: (ME)=εx-α και (ΜΕ )=εx+α, όπου ε η εκκεντρότητα της υπερβολής. 8. είξτε ότι τι εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από τις ασύµπτωτες της υπερβολής - = και µία οποιαδήποτε εφαπτόµενή της είναι σταθερό. τ. µ. 9. ίνεται η έλλειψη C : + =και η υπερβολή C : - =. 8 3 3 α) έχουν τις ίδιες εστίες. β) οι εφαπτόµενες στα σηµεία τοµής τους είναι κάθετες. είξτε ότι:. Από το σηµείο Μ(x o,ψ ο ) του επιπέδου της υπερβολής C: - = φέρουµε τις εφαπτόµενες ΜΑ και ΜΒ σ αυτήν. Αν η ευθεία ΑΒ τέµνει την ευθεία (δ): στο σηµείο Ρ, να αποδείξετε ότι: xx ψψ α) Η ευθεία (ΑΒ) έχει εξίσωση - =. β) ΕΜ ΕΡ, όπου Ε(γ,) η εστία της υπερβολής. α x= γ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667

[]. ίνεται η υπερβολή C: - = και µία εφαπτόµενη στο σηµείο Μ της (C), η οποία τέµνει τις ασύµπτωτες στα σηµεία Γ και. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΓ=Μ. β) Το τρίγωνο ΟΓ έχει σταθερό εµβαδόν που είναι ίσο µε αβ.. ίνεται η υπερβολή C: - = και το σηµείο της Μ, διαφορετικό από τις κορυφές Α και Α. Η εφαπτόµενη (ε) της C στο Μ, τέµνει την εφαπτόµενη της C στο Α, στο σηµείο Β. Να αποδείξετε ότι ΟΒ//Α Μ. 3. Ένα ευθύγραµµο τµήµα ΜΝ έχει τα άκρα του πάνω στην υπερβολή β x -α ψ =α β και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες της υπερβολής στα Μ και Ν είναι παράλληλες. 4. Θεωρούµε τα σηµεία Κ(x,ψ ) και Λ(x,-ψ ) της ισοσκελούς υπερβολής x -ψ =α. i) Να αποδείξετε ότι η εφαπτόµενη της ισοσκελούς υπερβολής στο Κ είναι κάθετη στην ΟΛ, όπου Ο η αρχή των αξόνων. ii) Αν η εφαπτόµενη αυτή τέµνει την ΟΛ στο Μ, να αποδείξετε ότι (ΟΛ)(ΟΜ)=α. 5. Αν δύο εφαπτόµενες της υπερβολής - = είναι παράλληλες, δείξτε ότι τα σηµεία επαφής και η αρχή των αξόνων είναι σηµεία συνευθειακά. 6. Θεωρούµε την υπερβολή C: - = και τις εφαπτόµενες ε και ε στις κορυφές Α και Α αυτής. Μία οποιαδήποτε εφαπτόµενη της C τέµνει τις ε και ε στα σηµεία Γ και αντίστοιχα. είξτε ότι ο κύκλος διαµέτρου Γ διέρχεται από τις εστίες της υπερβολής. 7. Α) Να αποδείξετε ότι το σηµείο +t t M α,β -t -t ανήκει στην υπερβολή β x -α ψ =α β για κάθε t ±. B) Nα αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής των ευθειών ε : αψ=β(x-tα) και ε : tαψ=β(α-tx), t ανήκει στην υπερβολή C: - =. 8. Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών της υπερβολής = οι οποίες έχουν γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ. 9. ίνεται η υπερβολή 5x -9ψ =45. Αν Μ τυχαίο σηµείο της υπερβολής διαφορετικό των κορυφών Α και Α, νρείτε τον γεωµετρικό τόπο του ορθόκεντρου του τριγώνου ΜΑΑ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ. 4543-69733667