Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο

ΣΜΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΔΠΣΔΜΒΡΗΟ 010 ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΗΣΗΚΖ, ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΩΝ & ΔΠΗΥΔΗΡΖΗΑΚΖ ΔΡΔΤΝΑ Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο ΘΕΜΑ 1 ν : Ζ εηαηξεία SSC θαηαζθεπάδεη έπηπια γξαθείνπ θαη έρεη ζπλάςεη έλα ζπκβόιαην ύςνπο 6.500.000 επξώ γηα ηελ πξνκήζεηα ηνπ γξαθεηαθνύ εμνπιηζκνύ ελόο νξγαληζκνύ. ηε ζπκθσλία πξνβιέπνληαη παξαγγειίεο γηα ηξία είδε γξαθείσλ θαζέλα από ηα νπνία απαηηεί ζπγθεθξηκέλν ρξόλν επεμεξγαζίαο ζην ηκήκα μπινπξγείνπ θαη ζην ηκήκα βαθήο. Ο θαησηέξσ Πίλαθαο 1 παξαζέηεη ηα κεγέζε παξαγγειηώλ θαη ηνπο απαηηνύκελνπο ρξόλνπο αλά ηκήκα θαη αλά είδνο γξαθείνπ. ΠΙΝΑΚΑ 1 Γξαθείν 1 Γξαθείν Γξαθείν 3 Αξηζκόο γξαθείσλ πνπ έρνπλ παξαγγειζεί 3000 000 900 Απαηηνύκελνο ρξόλνο ζην ηκήκα μπινπξγείνπ (γηα έλα γξαθείν) ώξεο 1,5 ώξεο 3 ώξεο Απαηηνύκελνο ρξόλνο ζην ηκήκα βαθήο (γηα έλα γξαθείν) 1 ώξα ώξεο 1 ώξα Ζ εηαηξεία δελ δηαζέηεη ηνλ απαηηνύκελν ρξόλν γηα λα παξάγεη όιε ηελ παξαγγειία κέζα ζηελ πξνβιεπόκελε εκεξνκελία παξάδνζεο. Γηαζέηεη 10000 εξγαηνώξεο ζην ηκήκα μπινπξγείνπ θαη 5000 εξγαηνώξεο ζην ηκήκα βαθήο. Τπάξρεη ε ελαιιαθηηθή δπλαηόηεηα λα δνζνύλ ππεξγνιαβία (θαηαζθεπή από άιιε εηαηξεία) κέξνπο ηεο παξαγγειίαο. Σα ζηνηρεία θόζηνπο θαηαζθεπήο θαη ππεξγνιαβίαο αλά είδνο γξαθείνπ εθηίζεληαη ζηνλ παξαθάησ Πίλαθα : ΠΙΝΑΚΑ Γξαθείν 1 Γξαθείν Γξαθείν 3 Κόζηνο θαηαζθεπήο ελόο γξαθείνπ (επξώ) 500 830 1300 Κόζηνο ππεξγνιαβίαο ελόο γξαθείνπ (επξώ) 610 970 1450 Θεσξήζηε ηηο κεηαβιεηέο K i λα παξηζηνύλ ηνλ αξηζκό ησλ γξαθείσλ ηύπνπ i πνπ ζα θαηαζθεπαζηνύλ από ηελ SSC (i = 1,, 3) θαη ηηο κεηαβιεηέο Y i λα παξηζηνύλ ηνλ αξηζκό ησλ γξαθείσλ ηύπνπ i πνπ ζα δνζνύλ ππεξγνιαβία (i = 1,, 3). Ο αλαθνξά απνηειεζκάησλ ηνπ LINDO πνπ αθνινπζεί ζα ζαο βνεζήζεη λα απαληήζεηε ζηα εξσηήκαηα 1-5 (δηθαηνινγήζηε ηηο απαληήζεηο ζαο κε ζαθήλεηα ππνδεηθλύνληαο ηαπηόρξνλα ηα αληίζηνηρα ζηνηρεία ηεο αλαθνξάο απνηειεζκάησλ πνπ ρξεζηκνπνηήζαηε): LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4533000. VARIABLE VALUE REDUCED COST K1 3000.000000 0.000000 K 550.000000 0.000000 K3 900.000000 0.000000 Y1 0.000000 40.000000 Y 1450.000000 0.000000 Y3 0.000000 80.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ) 475.000000 0.000000 3) 0.000000 70.000000 4) 0.000000-570.000000 5) 0.000000-970.000000 6) 0.000000-1370.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE K1 500.000000 40.000000 570.000000 K 830.000000 140.000000 80.000000 K3 1300.000000 80.000000 1370.000000 Y1 610.000000 INFINITY 40.000000 Y 970.000000 80.000000 140.000000 Y3 1450.000000 INFINITY 80.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 10000.000000 INFINITY 475.000000 3 5000.000000 633.333313 1100.000000 4 3000.000000 380.000000 900.000000 5 000.000000 INFINITY 1450.000000 6 900.000000 11.111115 900.000000 1. Να δηαηππώζεηε ην ζηόρν ηεο SSC θαη λα αλαπηύμεηε έλα κνληέιν γξακκηθνύ πξνγξακκαηηζκνύ, πνπ λα δύλαηαη λα βειηηζηνπνηήζεη ην ζηόρν απηό. Να πεξηγξάςεηε κε ζαθήλεηα θάζε ζηνηρείν ηνπ κνληέινπ. Πνηα είλαη ε άξηζηε ιύζε θαη πνηα ε άξηζηε ηηκή ηνπ κνληέινπ; Γηαηππώζηε ηα απνηειέζκαηα κε όξνπο ηεο εθθώλεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Πόζν είλαη ην θέξδνο ηεο SSC;. Τπνδείμηε ηξόπν γηα ηελ ελεξγνπνίεζε ηεο ππεξγνιαβίαο γηα ηα γξαθεία όισλ ησλ ηύπσλ (θάζε ηύπνο γξαθείνπ πξέπεη λα εμεηαζηεί ρσξηζηά). 3. Ζ εηαηξεία εμεηάδεη ην ελδερόκελν λα απμήζεη θαηά 500 ηηο εξγαηνώξεο ζε έλα από ηα δύν ηκήκαηα (μπινπξγείν ή βαθήο) κε θόζηνο 0000 επξώ. ε πνην ηκήκα ζπκθέξεη ηελ SSC λα δηαζέζεη ηηο επηπιένλ εξγαηνώξεο; Δμεγήζηε αλαιπηηθά. 4. Τπνζέζηε όηη ε δήηεζε γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 1 πέθηεη ζηα 000 ηεκάρηα (κεηώλεηαη δειαδή θαηά 1000). Ζ κεηαβνιή απηή ζα απμήζεη ή ζα ειαηηώζεη ηα ζπλνιηθά έμνδα ηεο SSC; Δμεγήζηε αλαιπηηθά. 5. Τπνζέζηε όηη ε δήηεζε γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 3 αλεβαίλεη ζηα 1000 ηεκάρηα (απμάλεηαη δειαδή θαηά 100). Ζ κεηαβνιή απηή ζα απμήζεη ή ζα ειαηηώζεη ηα ζπλνιηθά έμνδα ηεο SSC; Δμεγήζηε αλαιπηηθά.

ΘΕΜΑ ν : Ζ RMC Inc είλαη κηα κηθξή βηνκεραλία πνπ παξαζθεπάδεη ρεκηθά πξντόληα. ηελ παξαγσγηθή δηαδηθαζία πνπ καο ελδηαθέξεη, ηξεηο πξώηεο ύιεο αλακεηγλύνληαη πξνθεηκέλνπ λα παξαρζνύλ δύν πξντόληα, έλα πξνζζεηηθό βελδίλεο θη έλαο δηαιύηεο ρξσκάησλ. Κάζε ηόλνο ηνπ πξνζζεηηθνύ βελδίλεο πξνθύπηεη από ηε κείμε /5 ηόλσλ ηεο πξώηεο ύιεο 1 θαη 3/5 ηόλσλ ηεο ύιεο 3, ελώ ν έλαο ηόλνο ηνπ δηαιύηε ρξσκάησλ δεκηνπξγείηαη από ηε κίμε 1/ ηόλνπ ηεο πξώηεο ύιεο 1, 1/5 ηόλνπ ηεο ύιεο θαη 3/10 ηόλσλ ηεο πξώηεο ύιεο 3. Σν πξνζζεηηθό βελδίλεο απνθέξεη θαζαξό θέξδνο 40 αλά ηόλν θαη ν δηαιύηεο ρξσκάησλ 30 αλά ηόλν. Ζ παξαγσγή ηεο RMC θαζνξίδεηαη από ηελ πεξηνξηζκέλε δηαζεζηκόηεηα ησλ ηξηώλ πξώησλ πιώλ πνπ γηα ηελ ηξέρνπζα παξαγσγηθή δηαδηθαζία αλέξρνληαη, αληίζηνηρα, ζηνπο 0, 5 θαη 1 ηόλνπο. 1. Να δηακνξθώζεηε ην κνληέιν γξακκηθνύ πξνγξακκαηηζκνύ γηα ηνλ θαζνξηζκό ηνπ βέιηηζηνπ ζρεδίνπ παξαγσγήο πνπ κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε ηεο βηνκεραλίαο. Να εμεγήζεηε κε ζαθήλεηα ηηο κεηαβιεηέο πνπ ρξεζηκνπνηείηε θαη ην θπζηθό λόεκα ησλ πεξηνξηζκώλ ηνπ κνληέινπ πνπ ζα θαηαζθεπάζεηε. Υξεζηκνπνηείζηε ηε γξαθηθή κέζνδν γηα λα ζθηαγξαθήζεηε ηελ εθηθηή πεξηνρή, λα βξείηε ηε βέιηηζηε ιύζε θαη ηελ άξηζηε ηηκή ηνπ κνληέινπ πνπ δηακνξθώζαηε. Σα απνηειέζκαηα ηεο επίιπζεο λα ηα δηαηππώζεηε κε όξνπο ηεο εθθώλεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο.. Τπνζέζηε όηη ε RMC βξίζθεη έλαλ ηξόπν λα αλεβάζεη ην θέξδνο από θάζε ηόλν ηνπ δηαιύηε ρξσκάησλ ζηα 50. Πώο ζα επεξεάζεη ε απόθαζε απηή ην ζρέδην παξαγσγήο θαη ην θέξδνο ηεο βηνκεραλίαο; (Δμεγήζηε κε ζαθήλεηα, ρσξίο λα ιύζεηε εθ λένπ ην πξόβιεκα). 3. Τπνζέζηε όηη, ιόγσ κηαο απεξγίαο, ε δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο ύιεο 3 αλέρεηαη ηειηθά ζηνπο 16 ηόλνπο. Πώο ζα επεξεάζεη ην γεγνλόο απηό ηα θέξδε ηεο RMC; (Δμεγήζηε κε ζαθήλεηα, ρσξίο λα ιύζεηε εθ λένπ ην πξόβιεκα). ΘΕΜΑ 3 ν : ε έλα εζηηαηόξην, ν ειάρηζηνο αξηζκόο ζεξβηηόξσλ πνπ απαηηνύληαη γηα θάζε κία από ηηο επηά εκέξεο ηεο εβδνκάδαο πνπ ιεηηνπξγεί, δίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα: ΗΜΕΡΑ ΓΔΤΣ ΣΡ ΣΔΣ ΠΔΜ ΠΑΡ ΑΒ ΚΤΡ ΕΡΒΙΣΟΡΟΙ 17 13 15 19 14 16 11 Θεσξείζηε όηη ζην ζπγθεθξηκέλν εζηηαηόξην, όινη νη ζεξβηηόξνη ακείβνληαη ην ίδην θη όηη θάζε ζεξβηηόξνο πξέπεη λα εξγάδεηαη πέληε ζπλερόκελεο εκέξεο θαη ζηε ζπλέρεηα λα παίξλεη ξεπό δύν εκεξώλ. Όκσο, ην εζηηαηόξην κπνξεί λα δεηήζεη από ηνπο ζεξβηηόξνπο λα δνπιέςνπλ κία επηπιένλ εκέξα ηελ εβδνκάδα, ηελ νπνία λα πιεξσζνύλ κε 6 αληί ησλ 50 αλά εκέξα πνπ ακείβνληαη γηα ηηο ππόινηπεο εκέξεο. Τπνδείμηε έλα π.γ.π. γηα ηελ εύξεζε ηνπ πξνγξάκκαηνο εξγαζίαο πνπ ειαρηζηνπνηεί ην ζπλνιηθό εβδνκαδηαίν θόζηνο ιεηηνπξγίαο ηνπ εζηηαηνξίνπ. ΘΕΜΑ 4 ν : Μηα εηαηξεία πξνγξακκαηίδεη ηελ παξαγσγή ησλ ζρνιηθώλ ηζαληώλ ηεο επόκελεο εκέξαο επηιύνληαο ην θαησηέξσ π.γ.π.: maximize z = 40x 1 + 30x (θέξδνο, ) θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο (/5)x 1 + (1/)x 0 (ρξόλνο γηα θνπή θαη βαθή, hrs) (1/5)x 5 (ρξόλνο γηα ξάςηκν, hrs) (3/5)x 1 + (3/10)x 1 (ρξόλνο γηα έιεγρν θαη παθεηάξηζκα, hrs) x 1, x 0 (όπνπ x 1, x ην πιήζνο ησλ ηζαληώλ ηύπνπ Α θαη Β, αληίζηνηρα, πνπ πξέπεη λα παξαρζνύλ. Ο αιγόξηζκνο Simplex ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηελ επίιπζή ηνπ θαη ηεξκάηηζε ζην αθόινπζν tableau (x 3, x 4 θαη x 5 πεξηζώξηεο κεηαβιεηέο): 40 30 0 0 0 B c B β P 1 P P 3 P 4 P 5 P 30 0 0 1 10/3 0-0/9 P 4 0 1 0 0 -/3 1 4/9 P 1 40 5 1 0-5/3 0 5/9 z 1600 0 0 100/3 0 400/9 1. ε πνην πνζό ζα έπξεπε λα αλέξρνληαη ηα θέξδε από εθάζηε ηζάληα ηύπνπ Α πξνθεηκέλνπ ε εηαηξεία λα αλαζεσξήζεη ην αλσηέξσ βέιηηζην ζρέδην παξαγσγήο;. Καηά πόζν ζα ειαηησζνύλ ηα ζπλνιηθά θέξδε ηεο εηαηξείαο, εάλ ν δηαζέζηκνο ρξόλνο γηα έιεγρν θαη παθεηάξηζκα θαηεβεί ζηηο 19 hrs (κεησζεί δειαδή θαηά hrs); 3. Καηά πόζν ζα απμάλνληαλ ηα ζπλνιηθά θέξδε ηεο εηαηξείαο γηα θάζε επηπιένλ ώξα πνπ ζα κπνξνύζε λα εμαζθαιηζηεί γηα θνπή θαη βαθή; Πνηνο είλαη ν κέγηζηνο αξηζκόο σξώλ πνπ ζα κπνξνύζε λα ρξεζηκνπνηεζεί κε απηή ηελ ηηκή;

ΘΕΜΑ 1 ν Εξώηεκα 1. Σν πξόβιεκα ηεο εηαηξείαο SSC είλαη έλα πξόβιεκα γξακκηθνύ πξνγξακκαηηζκνύ κε ζηόρν ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο θαηαζθεπήο. Ζ ηηκή πνπ παίξλεη ν ζηόρνο απηόο θαζνξίδεηαη από ην πιήζνο ησλ πξντόλησλ πνπ ζα θαηαζθεπάζεη ε ίδηα ε επηρείξεζε θαη από ην πιήζνο πνπ ζα αλαζέζεη ζηνλ ππεξγνιάβν. Με βάζε ηα παξαπάλσ: Σν 1 ν βήκα είλαη ν θαζνξηζκόο ησλ κεηαβιεηώλ απόθαζεο Οξίδνληαη έμη (6) κεηαβιεηέο νη: Κ 1 : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 1 πνπ ζα θαηαζθεπαζζνύλ από ηελ SSC Κ : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ πνπ ζα θαηαζθεπαζζνύλ από ηελ SSC Κ 3 : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 3 πνπ ζα θαηαζθεπαζζνύλ από ηελ SSC Τ 1 : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 1 πνπ ζα δνζνύλ ππεξγνιαβία Τ : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ πνπ ζα δνζνύλ ππεξγνιαβία Τ 3 : αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 3 πνπ ζα δνζνύλ ππεξγνιαβία Σν ν βήκα είλαη ν θαζνξηζκόο ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηόρνο ηεο εηαηξείαο απνηειεί ε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο θαη απηό εθθξάδεηαη σο: Μin Z= 500Κ 1 +830Κ +1.300Κ 3 +610Τ 1 +970Τ +1.450Τ 3 Σν 3 ν βήκα είλαη ν θαζνξηζκόο ησλ πεξηνξηζκώλ Περιοριζμοί δσναμικόηηηας παραγφγής ηης SSC Ο ζπλνιηθόο αξηζκόο σξώλ θαηαζθεπήο γηα όια ηα είδε γξαθείσλ ζην μπινπξγείν δελ μεπεξλά ηηο δηαζέζηκεο ώξεο Κ 1 +1,5Κ +3Κ 3 10.000 (1) Ο ζπλνιηθόο αξηζκόο σξώλ βαθήο γηα όια ηα είδε γξαθείσλ ζην βαθείν δελ μεπεξλά ηηο δηαζέζηκεο ώξεο 1Κ 1 +Κ +1Κ 3 5.000 () Περιοριζμοί κάλσυης ηφν ποζοηήηφν ποσ έτοσν παραγγελθεί Ο αξηζκόο γξαθείσλ ηύπνπ 1 πνπ έρνπλ παξαρζεί από ηελ SSC καδί κε ηνλ αξηζκό γξαθείσλ ηύπνπ 1 πνπ έρνπλ δνζεί ππεξγνιαβία ζα πξέπεη λα ηζνύηαη κε ηελ πνζόηεηα παξαγγειίαο γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 1 (3.000 γξαθεία) Κ 1 +Τ 1 = 3.000 (3) Με όκνην ηξόπν θαη γηα ηνπο άιινπο ηύπνπο γξαθείσλ Κ +Τ =.000 (4) Κ 3 +Τ 3 = 900 (5) Σν κνληέιν πξνο επίιπζε ζπλνςίδεηαη σο εμήο: Μin Z = 500Κ 1 +830Κ +1300Κ 3 +610Τ 1 +970Τ +1450Τ 3 κε πεξηνξηζκνύο Κ 1 +1,5Κ +3Κ 3 10000 (1) 1Κ 1 +Κ +1Κ 3 5000 () Κ 1 +Τ 1 = 3000 (3) Κ +Τ = 000 (4) Κ 3 +Τ 3 = 900 (5) Κ 1,Κ,Κ 3,Τ 1,Τ,Τ 3 0 (πεξηνξηζκνί κε αξλεηηθόηεηαο) (6) ύκθσλα κε ηε βέιηηζηε ιύζε, ε SSC ζα θαηαζθεπάζεη 3000 γξαθεία ηύπνπ 1, 550 γξαθεία ηύπνπ, 900 γξαθεία ηύπνπ 3 θαη ζα δώζεη ππεξγνιαβία 1450 γξαθεία ηύπνπ. Σν ζπλνιηθό θόζηνο θαηαζθεπήο θαη ππεξγνιαβίαο αλέξρεηαη ζε 4.533.000 επξώ. Σν θέξδνο ηεο αλέξρεηαη ζε 6.500.000-4.533.000 =1.967.000 επξώ.

Εξώηεκα. Ζ ππεξγνιαβία θαηαζθεπάδεη γξαθεία ηύπνπ. Γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 1 ε ππεξγνιαβία έρεη θόζηνο επθαηξίαο 40 θαη γηα ηα γξαθεία ηύπνπ 3, 80. Δπνκέλσο ην θόζηνο ππεξγνιαβίαο ελόο γξαθείνπ ηύπνπ 1 πξέπεη λα ειαηησζεί ηνπιάρηζηνλ θαηά 40 επξώ πξηλ ε ππεξγνιαβία γηα απηά ελεξγνπνηεζεί (ην θόζηνο λα είλαη ην πνιύ 570 επξώ), ελώ, ην θόζηνο ππεξγνιαβίαο ελόο γξαθείνπ ηύπνπ 3 πξέπεη λα ειαηησζεί ηνπιάρηζηνλ θαηά 80 επξώ (ην θόζηνο λα είλαη ην πνιύ 1370 επξώ). Εξώηεκα 3. ύκθσλα κε ηελ αλαθνξά επαηζζεζίαο, ε επηρείξεζε δελ έρεη ζπκθέξνλ λα απμήζεη ηηο ώξεο μπινπξγείνπ επεηδή από ηηο 10.000 δηαζέζηκεο θαηαλαιώλεη 9.55, έρεη δειαδή αδξαλή παξαγσγηθή δπλακηθόηεηα θαη ε δπηθή ηηκή ησλ σξώλ μπινπξγείνπ είλαη κεδεληθή. Αληίζεηα, ζα είρε ζπκθέξνλ λα απμήζεη ηηο ώξεο ηνπ βαθείνπ όπνπ όπσο βιέπνπκε εμαληινύληαη θαη ε δπηθή ηηκή είλαη -70 επξώ γηα αύμεζε κέρξη θαη 633,33 επηπιένλ ώξεο. Γειαδή γηα θάζε επηπιένλ δηαζέζηκε ώξα κέρξη θαη 633 επηπιένλ ώξεο πεξίπνπ, ε SSC ζα κεηώλεη ην θόζηνο ηεο θαηά 70 επξώ αλά επηπιένλ δηαζέζηκε ώξα. Ζ πξόηαζε είλαη λα απνθηήζεη 500 επηπιένλ ώξεο κε θόζηνο 40 επξώ ηελ ώξα (0.000 επξώ ζπλνιηθά) νπόηε ηειηθά ζα έρεη κείσζε θόζηνπο θαηά 70*500 = 35.000 0.000 = 15.000 επξώ. Άξα ην θόζηνο ζα κεησζεί θαηά 15.000 επξώ δειαδή ζα γίλεη 4.518.000 θαη ην λέν θέξδνο ηεο ζα είλαη 6.500.000 4.518.000 = 1.98.000 επξώ. Εξώηεκα 4. Ζ δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ 3 ν πεξηνξηζκό είλαη -570 κε εύξνο εθηθηόηεηαο ην δηάζηεκα [100, 3380]. Δπνκέλσο, γηα θάζε ιηγόηεξν γξαθείν ηύπνπ 1 ηνπ νπνίνπ ε SSC έρεη εμαζθαιίζεη ηελ παξαγγειία, κέρξη ηνπ πιήζνπο ησλ 100 γξαθείσλ, ζα θέξδηδε 570. Έηζη γηα εμαζθαιηζκέλεο πσιήζεηο 000 γξαθείσλ ηύπνπ 1, ηα έμνδα ηεο Tucker ζα ειαηηώλνληαλ θαηά 1000*570 = 570.000 θαη ζα έπεθηαλ ζηα 3.963.000. Εξώηεκα 5. Ζ δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ 5 ν πεξηνξηζκό είλαη -1370 κε εύξνο εθηθηόηεηαο ην δηάζηεκα [0, 1111,11]. Δπνκέλσο, γηα θάζε επηπιένλ γξαθείν ηύπνπ 3 ηνπ νπνίνπ ε SSC έρεη εμαζθαιίζεη ηελ παξαγγειία, κέρξη ηνπ πιήζνπο ησλ 1111 πεξίπνπ γξαθείσλ, ζα επηβαξπλόηαλ κε 1370. Έηζη γηα εμαζθαιηζκέλεο πσιήζεηο 1000 γξαθείσλ ηύπνπ 3, ηα έμνδα ηεο Tucker ζα απμάλνληαλ θαηά 100*1370 = 137.000 θαη ζα έθηαλαλ ζηα 4.670.000.

ΘΕΜΑ ν Εξώηεκα 1 Ζ βηνκεραλία πξέπεη λα θαζνξίζεη ηηο πνζόηεηεο παξαγσγήο ηνπ πξνζζεηηθνύ βελδίλεο θαη ηνπ δηαιύηε ρξσκάησλ (κεηαβιεηέο απόθαζεο) έηζη ώζηε λα κεγηζηνπνηήζεη ην θέξδνο (ζηόρνο), ιακβάλνληαο ππόςε ηηο δηαζέζηκεο πνζόηεηεο ησλ ηξηώλ πξώησλ πιώλ (πεξηνξηζκνί). Γηα λα κνξθνπνηήζνπκε ην καζεκαηηθό κνληέιν ηνπ πξνβιήκαηνο, πξέπεη λα νξίζνπκε ζπκβνιηθά ηηο κεηαβιεηέο απόθαζεο θαη ζηε ζπλέρεηα λα θαηαγξάςνπκε, σο ζπλαξηήζεηο ησλ κεηαβιεηώλ απηώλ, ην ζηόρν θαη ηνπο πεξηνξηζκνύο. Μεηαβιεηέο. ύκθσλα κε ηα παξαπάλσ, κεηαβιεηέο απόθαζεο είλαη: x 1 : πνζόηεηα παξαγσγήο ηνπ πξνζζεηηθνύ βελδίλεο (ζε ηόλνπο) x : πνζόηεηα παξαγσγήο ηνπ δηαιύηε ρξσκάησλ (ζε ηόλνπο) ηόρνο (αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε). Σν ζπλνιηθό θέξδνο ηεο βηνκεραλίαο από ηελ παξαγσγή θαη πώιεζε x 1 ηόλσλ πξνζζεηηθνύ βελδίλεο θαη x ηόλσλ δηαιύηε ρξσκάησλ είλαη 40x 1 + 30x Δπξώ. Καηά ζπλέπεηα, ε αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε ηνπ πξνβιήκαηνο πνπ αλαθέξεηαη ζηε κεγηζηνπνίεζε ηνπ ζπλνιηθνύ θέξδνπο είλαη ε: max Z = 40x 1 +30x (ζε Δπξώ). Πεξηνξηζκνί. Οη πεξηνξηζκνί ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από: i) Σε δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο 1: x 1 1 x 0 5 ii) Σε δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο : 1 5 x 5 iii) Σε δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο 3: 3 x 3 x 5 10 1 1 iv) Σε κε-αξλεηηθόηεηα ησλ κεηαβιεηώλ απόθαζεο: x 1, x 0 πλνςίδνληαο, ην καζεκαηηθό κνληέιν γηα ην ππό κειέηε πξόβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, αθνξά ηελ εύξεζε ηηκώλ γηα ηηο κεηαβιεηέο x 1 θαη x έηζη ώζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ην θαζαξό θέξδνο: max Z = 40x 1 +30x θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο: 1 (1) x1 x 5 0 (δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο 1) () 1 x 5 5 (δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο ) 3 3 (3) x1 x 5 10 1 (δηαζέζηκε πνζόηεηα ηεο πξώηεο ύιεο 3) (4) x 1, x 0 (θπζηθνί πεξηνξηζκνί) Γηα ηε γξαθηθή επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο ραξάζζνπκε ηηο επζείεο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο ηξεηο ιεηηνπξγηθνύο πεξηνξηζκνύο ηνπ πξνβιήκαηνο, ζην πξώην ηεηαξηεκόξην ελόο νξζνθαλνληθνύ ζπζηήκαηνο αμόλσλ (αθνύ είλαη x 1, x 0).

Ζ εθηθηή πεξηνρή ηνπ πξνβιήκαηνο είλαη ην θπξηό πνιύγσλν ΑΒΓΓΔ, πνπ πξνθύπηεη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο πεξηνξηζκνύο (1), () θαη (3). Ζ θνξπθή Β(35, 0) πξνζδηνξίδεηαη σο ε ηνκή ηνπ ηξίηνπ πεξηνξηζκνύ κε ηνλ νξηδόληην άμνλα (x = 0). Ζ θνξπθή Γ πξνζδηνξίδεηαη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνλ πξώην θαη ηνλ ηξίην πεξηνξηζκό θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο (5, 0) πξνθύπηνπλ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο 0.4x 1 + 0.5x = 0 θαη 0.6x 1 + 0.3x = 1. Παξόκνηα, ε θνξπθή Γ πξνζδηνξίδεηαη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνλ πξώην θαη ηνλ δεύηεξν πεξηνξηζκό θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο (18.75, 5) πξνθύπηνπλ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο 0.4x 1 + 0.5x = 0 θαη 0.x = 5. Σέινο, νη ζπληεηαγκέλεο (0, 5) ηεο θνξπθήο Δ πξνθύπηνπλ από ηελ ηνκή ηνπ νπ πεξηνξηζκνύ κε ηνλ θάζεην άμνλα. Ζ Ο ππνινγηζκόο ηεο ηηκήο ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο Z = 40x 1 + 30x ζε θάζε θνξπθή ηεο εθηθηήο πεξηνρήο, νδεγεί ζηελ εύξεζε ηεο βέιηηζηεο ιύζεο (θνξπθή Γ). Κνξπθή Σηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο Α(0, 0) 0 Β(35, 0) 1400 Γ(5, 0) 1600 Γ(18.75, 5) 1500 Δ(0, 5) 750 πλεπώο ε βηνκεραλία πξέπεη λα παξαζθεπάδεη 5 ηόλνπο πξνζζεηηθνύ βελδίλεο θαη 0 ηόλνπο δηαιύηε ρξσκάησλ κε ην θέξδνο λα αλέξρεηαη ζε 1600 Δπξώ. Με απηό ην πιάλν παξαγσγήο εμαληιείηαη νη δηαζέζηκεο πξώηεο ύιεο 1 θαη 3, ελώ από ηελ ε πξώηε ύιε ρξεζηκνπνηνύληαη νη 4 ηόλνη, ελώ 1 ηόλνο κέλεη αδηάζεηνο. Εξώηεκα Απηό ζεκαίλεη όηη ζα έρνπκε c = 50. Πξνρσξάκε ζε αλάιπζε επαηζζεζίαο ηνπ αληηθεηκεληθνύ ζπληειεζηή c. Όζν ε επζεία z πεξηζηξέθεηαη κεηαμύ ησλ πεξηνξηζηηθώλ επζεηώλ (1) θαη (3) ην ζεκείν Γ εμαθνινπζεί λα είλαη ε βέιηηζηε ιύζε:

θιίζε πεξηνξηζηηθήο επζείαο (3) θιίζε επζείαο z θιίζε πεξηνξηζηηθήο επζείαο (1) 3 5 c1 5 3 10 c c1 c 1 0.8 πνπ γηα c 1 = 40 δίλεη 0 c 50. Δπνκέλσο γηα c = 50, ε επζεία z ζα ηαπηηζηεί κε ηελ πεξηνξηζηηθή επζεία (1), θαη ην πξόβιεκα ζα έρεη ηηο άπεηξεο ιύζεηο πνπ νξίδεη ην επζύγξακκν ηκήκα ΓΓ. Σέινο, ην ζπλνιηθό θέξδνο ζα απμεζεί θαηά (50-30) 0 = 400 θαη ζα θηάζεη ηα 000 Δπξώ. Εξώηεκα 3 Πξέπεη λα ππνινγηζηεί ε δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ 3ν πεξηνξηζκό, αθνύ πξώηα εληνπίζνπκε ην εύξνο εθηθηόηεηάο ηνπ. Από ην ζρήκα βιέπνπκε όηη καο ελδηαθέξεη λα ππνινγίζνπκε ηε κεηαβνιή ηνπ b 3 ηελ νπνία πξνθαιεί ε παξάιιειε κεηαηόπηζε ηεο πεξηνξηζηηθήο επζείαο (3) πάλσ ζην επζύγξακκν ηκήκα ΕΓ: Ε: 3 (50) 3 (0) 30 5 10 Γ 3 (18.75) 3 (5) 18.75 5 10 Δπνκέλσο ην εύξνο εθηθηόηεηαο ηνπ 3νπ πεξηνξηζκνύ είλαη ην δηάζηεκα (18.75, 30). Ζ ηηκή b 3 = 16 πνπ δόζεθε, είλαη έμσ από απηό ην δηάζηεκα, θη άξα δελ κπνξνύκε λα απαληήζνπκε ζην εξώηεκα κε ηελ αλάιπζε επαηζζεζίαο, ρξεηαδόκαζηε παξακεηξηθή αλάιπζε.

ΘΕΜΑ 3 ν Θεσξώληαο όηη ε παξαπάλσ εβδνκάδα είλαη κία ηππηθή εβδνκάδα, νξίδνπκε λα είλαη x i ν αξηζκόο ησλ ζεξβηηόξσλ πνπ μεθηλνύλ ηελ πελζήκεξε εβδνκαδηαία βάξδηα εξγαζίαο ηνπο ηελ i-εκέξα (i=1 = Γεπηέξα, i= = Σξίηε,..., i=7 = Κπξηαθή) θαη y i ν αξηζκόο ησλ ζεξβηηόξσλ πνπ είραλ έρνπλ ξεπό ηελ i-εκέξα θαη ηνπο δεηήζεθε λα δνπιέςνπλ. Σν πξνζσπηθό κε πξώηε εκέξα εξγαζίαο ηε Γεπηέξα, ζα ζπλερίζεη λα εξγάδεηαη κέρξη θαη ηελ Παξαζθεπή (δειαδή, ζα έρνπλ «ξεπό» άββαην θαη Κπξηαθή). Σα άηνκα πνπ μεθηλνύλ κε πξώηε εκέξα εξγαζίαο ηελ Σξίηε, εξγάδνληαη κέρξη θαη ην άββαην (θαη έρνπλ «ξεπό» Κπξηαθή θαη Γεπηέξα), θ.ν.θ. Λόγσ ηεο εβδνκαδηαίαο θπθιηθόηεηαο θαη ηεο ζπλερνύο ιεηηνπξγίαο ηνπ εζηηαηνξίνπ, αλ πάξνπκε κία ηπραία εκέξα, ηελ Παξαζθεπή γηα παξάδεηγκα, ηόηε ζα δηαπηζηώζνπκε όηη ζα εξγάδνληαη ζην εζηηαηόξην νη x 1 ζεξβηηόξνη πνπ έπηαζαλ δνπιεηά ηε Γεπηέξα, νη x πνπ έπηαζαλ δνπιεηά ηελ Σξίηε, νη x 3 πνπ μεθίλεζαλ λα εξγάδνληαη ηελ Σεηάξηε, νη x 4 ζεξβηηόξνη ηεο Πέκπηεο θαη ηέινο νη x 5 ζεξβηηόξνη πνπ μεθίλεζαλ εξγαζία ηελ Παξαζθεπή. Δπηπιένλ, παξέρεηαη ε δπλαηόηεηα εξγαζίαο ζε άιινπο y 5 πνπ είραλ ξεπό ηελ Παξαζθεπή θαη ηνπο δεηήζεθε λα δνπιέςνπλ. πλεπώο, νη πιήζνπο x l +x +x 3 +x 4 +x 5 +y 5 ππάιιεινη πνπ εξγάδνληαη ηελ Παξαζθεπή, πξέπεη λα θαιύπηνπλ ηε δήηεζε ησλ 14 ζεξβηηόξσλ πνπ απαηηνύληαη: x l + x + x 3 + x 4 + x 5 + y 5 14 (Παξαζθεπή). Δπηπιένλ, νη y 5 πνπ εξγάδνληαη ελώ είραλ ξεπό ηελ Παξαζθεπή, μεθίλεζαλ ηελ εξγαζία ηνπο ην άββαην ή ηελ Κπξηαθή, θη άξα ζα πξέπεη: y 5 x 6 + x 7 (Παξαζθεπή). Οκνίσο, πξνθύπηνπλ θαη νη πεξηνξηζκνί γηα ηηο ππόινηπεο εκέξεο ηεο εβδνκάδνο: x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + y 6 16 θαη y 6 x 7 + x 1 (άββαην), x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + y 7 11 θαη y 7 x 1 + x (Κπξηαθή), x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + + y 1 17 θαη y 1 x + x 3 (Γεπηέξα), x 1 + x + x 5 + x 6 + x 7 + y 13 θαη y x 3 + x 4 (Σξίηε), x 1 + x + x 3 + x 6 + x 7 + y 3 15 θαη y 3 x 4 + x 5 (Σεηάξηε), x 1 + x + x 3 + x 4 + x 7 + y 4 19 θαη y 4 x 5 + x 6 (Πέκπηε), κε x i, y i 0 (i=l,, 3, 4, 5, 6, 7). Σν θόζηνο εξγαζίαο κηαο εκέξαο ζρεκαηίδεηαη από ηελ ακνηβή ησλ εξγαδνκέλσλ πνπ εξγάδνληαη ηε βάξδηα ηνπο ( 50 αλά εξγαδόκελν) θαη ηελ ακνηβή εθείλσλ πνπ δνπιεύνπλ ην ξεπό ηνπο ( 6 αλά εξγαδόκελν). Γεδνκέλνπ όηη θάζε ζεξβηηόξνο εξγάδεηαη πέληε εκέξεο, ην ζπλνιηθό εβδνκαδηαίν θόζηνο πνπ ζέινπκε λα ειαρηζηνπνηήζνπκε (αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε) είλαη: minimize z= 5x50(x 1 +x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 ) + 6(y 1 +y +y 3 +y 4 +y 5 +y 6 +y 7 ) εκείσζε Ζ επίιπζε ηνπ κνληέινπ δίλεη x 1 = 8, x = 0, x 3 =, x 4 = 4, x 5 = 0, x 6 = 5, x 7 = 0, y 1 = 0, y = 0, y 3 = 0, y 4 = 5, y 5 = 0, y 6 = 5, y 7 = 0 κε ειάρηζηε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο z= 5,370. Σν ζπλνιηθό πιήζνο εξγαδνκέλσλ αλέξρεηαη ζε 19.

ΘΕΜΑ 4 ν Εξώηεκα 1 Γηα λα κεηαβιεζεί ε βέιηηζηε ιύζε ζα πξέπεη ν αληηθεηκεληθόο ζπληειεζηήο c 1 λα βξεζεί εθηόο ησλ νξίσλ πνπ πξνζδηνξίδεη ην εύξνο αξηζηόηεηάο ηνπ. Ζ x 1 είλαη κία εθ ησλ βαζηθώλ κεηαβιεηώλ ηεο βέιηηζηεο ιύζεο. Έζησ cˆ c. Σόηε ην ηειηθό tableau δηακνξθώλεηαη σο αθνινύζσο: 1 1 40+Γ 30 0 0 0 B c B β P 1 P P 3 P 4 P 5 P 30 0 0 1 10/3 0-0/9 P 4 0 1 0 0 -/3 1 4/9 P 1 40+Γ 5 1 0-5/3 0 5/9 z 1600 +5Γ 0 0 100/3 -(5/3)Γ 0 400/9 +(5/9)Γ Γηα λα εμαθνινπζεί ε δνζείζα ιύζε λα είλαη ε βέιηηζηε αξθεί θαη πξέπεη ε δηακνξθσζείζα γξακκή ησλ z j c j λα είλαη κε αξλεηηθή. Δπνκέλσο, αξθεί θαη πξέπεη 100 5 3 3 400 5 9 9 0 0 100 5 3 3 5 400 9 9 πνπ νδεγνύλ ζην ζπκπέξαζκα όηη 16 0. Λακβάλνληαο ππόςε ην γεγνλόο όηη c 1 = 40, νδεγνύκαζηε ζην ζπκπέξαζκα όηη ην δεηνύκελν εύξνο αξηζηόηεηαο είλαη ην δηάζηεκα 4, 60. πλεπώο, ην θέξδνο από θάζε ηζάληα ηύπνπ Α πξέπεη λα θαηέβεη ρακειόηεξα από 4 επξώ ή λα αλέβεη πεξηζζόηεξν από 60 επξώ πξνθεηκέλνπ ην βέιηηζην ζρέδην παξαγσγήο λα αλαζεσξεζεί. 100 5 400 5 Εξώηεκα Ζ αξρηθή βάζε ζηε δηαδηθαζία επίιπζεο κε ηε κέζνδν Simplex ζρεκαηηδόηαλ από ηα δηαλύζκαηα P 3, P 4, P 5. Δπνκέλσο ε δπηθή ηηκή ηνπ 3νπ πεξηνξηζκνύ, πνπ παξηζηά ηελ αμία κηαο ώξαο γηα έιεγρν θαη παθεηάξηζκα, ηζνύηαη κε (400/9). Γειαδή γηα θάζε ιηγόηεξε ώξα ειέγρνπ/παθεηαξίζκαηνο ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο ζα ειαηηώλνληαη θαηά (400/9). Δπηπιένλ, πξέπεη λα ππνινγηζηεί ην εύξνο εθηθηόηεηαο ηνπ δεμηνύ κέινπο ηνπ 3νπ πεξηνξηζκνύ. Έζησ bˆ 3 b 3. Ζ εθηθηόηεηα εμαζθαιίδεηαη εάλ 1 5 0 max, min.5 9 4 5 0 9 9 9 Καηά ζπλέπεηα, ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο ζα ειαηησζνύλ θαηά (400/9) 88.89. Εξώηεκα 3 Ζ αξρηθή βάζε ζηε δηαδηθαζία επίιπζεο κε ηε κέζνδν Simplex ζρεκαηηδόηαλ από ηα δηαλύζκαηα P 3, P 4, P 5. Δπνκέλσο ε δπηθή ηηκή ηνπ 1νπ πεξηνξηζκνύ, πνπ παξηζηά ηελ αμία κηαο ώξαο θνπή θαη βαθή, ηζνύηαη κε (100/3). Γειαδή γηα θάζε επηπιένλ ώξα θνπήο/βαθήο ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο ζα απμάλνπλ θαηά (100/3). Δπηπιένλ, πξέπεη λα ππνινγηζηεί ην εύξνο εθηθηόηεηαο ηνπ δεμηνύ κέινπο ηνπ 1νπ πεξηνξηζκνύ. Έζησ bˆ 1 b 1. Ζ εθηθηόηεηα εμαζθαιίδεηαη εάλ

0 1 5 max min, 6 1.5 10 5 3 3 3 Καηά ζπλέπεηα, ε εηαηξεία κπνξεί λα πξνκεζεπηεί ην πνιύ 1.5 επηπιένλ ώξεο θνπήο/βαθήο θαηαβάιινληαο κέρξη ηνπ πνζνύ ησλ (100/3) αλά ώξα.