ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΉΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 7 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/tst25 e-ail: nagia@uop.gr
Περιεχόμενα Μαθήματος Επικοινωνίες ΙΙ Εισαγωγή στα σήματα Δειγματοληψία Ιδανική Κβάντιση Πρακτική Ομοιόμορφη Ανομοιόμορφη Διαφορική Κωδικοποίηση Παλμοκωδική διαμόρφωση Διαφορική παλμοκωδική διαμόρφωση Δέλτα διαμόρφωση Προσαρμοστική δέλτα διαμόρφωση Σίγμα-Δέλτα διαμόρφωση Σύγκριση συστημάτων Πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) Διαμόρφωση βασικής ζώνης Διαμόρφωση πλάτους παλμών (PAM) Διαμόρφωση θέσης παλμών (PPM) Άλγεβρα σημάτων Δέκτες Αποδιαμορφωτές Ανιχνευτές Επιδόσεις συστημάτων PAM και PPM Σύγκριση συστημάτων Κανάλια περιορισμένου εύρους ζώνης Διασυμβολική παρεμβολή Διάγραμμα οφθαλμού Σχεδίαση άριστων φίλτρων Επιδόσεις συστήματος PAM Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης Σύμφωνο ASK, PSK, FSK Ασύμφωνο ASK, PSK, FSK 2
Διαμόρφωση Κανάλι AWGN i {b, b,,b K } i () r() bi Πομπός Δέκτης ˆ i bi 2 3 {,} {,} {, } {,} 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) n() Έστω M μηνύματα, i (i,,, M ), το καθένα αποτελούμενο από K bi, Κ log 2 (M) Ο αριθμός M ονομάζεται τάξη της διαμόρφωσης (odulaion order) Τα bi της πηγής είναι ισοπίθανα και συνεπώς τα i έχουν ίδια πιθανότητα εμφάνισης Ο πομπός αντιστοιχεί κάθε μήνυμα σε ένα Μ-ιαδικό σύμβολο, i () Το κανάλι αλλοιώνει τα εκπεμπόμενα σύμβολα Ο δέκτης πρέπει να αναγνωρίσει ποιο ανάμεσα από τα M πιθανά σύμβολα εκπέμφθηκε Βάσει της αντιστοίχισης των bi σε σύμβολα στον πομπό, προκύπτουν τα bi που στάλθηκαν Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 3
Διαμόρφωση Ρυθμός μετάδοσης bi R b : Πόσα bi ανά ec εισέρχονται στον πομπό Ρυθμός μετάδοσης συμβόλων R : Πόσα σύμβολα ανά ec εξέρχονται από τον πομπό T b 5 T K 2 Πομπός T b 5T (), (), 3 (), (), 2 () T b, T : οι διάρκειες bi και συμβόλου, αντίστοιχα, T K T b Ο ρυθμός μετάδοσης συμβόλων είναι R Rb T KT K b Ο ρυθμός μετάδοσης συμβόλων είναι K φορές μικρότερος από το ρυθμό μετάδοσης bi Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 4
Διαμόρφωση Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου P e : Ορίζεται η πιθανότητα n από τα N σύμβολα που στέλνονται να αναγνωριστούν λάθος από το δέκτη P e n/n Πιθανότητα σφάλματος bi P be : Ορίζεται η πιθανότητα p από τα P bi που στέλνονται να είναι λάθος κατά τη λήψη P be p/p Για 2αδική διαμόρφωση M 2, κάθε σύμβολο μεταφέρει bi και συνεπώς, κάθε λάθος σύμβολο συνεπάγεται και λάθος στο bi, άρα P e P be Γενικότερα όμως, η σύνδεση της πιθανότητα σφάλματος συμβόλου με την πιθανότητα σφάλματος bi δεν είναι πάντα εύκολη Π.χ. για M 4, αν στείλαμε το () το οποίο μεταφέρει το {,} και αναγνωριστεί ως () {,}, έχουμε bi λάθος, ενώ αν αναγνωριστεί ως 3 () {,}, έχουμε 2 bi λάθος Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 5
Διαμόρφωση Γενικά, η επιλογή του σχήματος διαμόρφωσης γίνεται βάσει: Ρυθμού μετάδοσης bi, R b Φασματικής απόδοση, R b / B w Απόδοσης ισχύος, E b / N Ανοχής στα προβλήματα του καναλιού μετάδοσης Κόστους υλοποίησης Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 6
Διαμόρφωση πλάτους παλμού (pule apliude odulaion PAM) g T () Παλμός g T () πλάτους και διάρκειας T b Δυαδικό PAM (M 2) Για το bi, το πλάτος του παλμού είναι +A και η κυματομορφή: () A g T (), < T b () A T b Για το bi, το πλάτος του παλμού είναι A και η κυματομορφή: () -A g T (), < T b () T b T b -A Διαφορετική έκδοση του δυαδικού PAM είναι το on/off keying: Σύμβολα δυαδικού PAM (Μ 2) Για το bi, η κυματομορφή είναι () () A g T (), < T b A Για το bi, η κυματομορφή είναι () T b (), < T b T b Σύμβολα on/off (Μ 2) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 7
g T () Στο M-ιαδικό PAM κάθε σύμβολο αναπαριστάται με έναν παλμό, g T (), διάρκειας T και πλάτους A A (2 + M),,,, M, δηλ. A ±A, ±3 A, ±5 A,, ±(Μ-) A 3 () 3A T Η αντίστοιχη κυματομορφή είναι () A g T (), < T Η ενέργεια του συμβόλου () είναι ( ) ( ) T 2 2 T d 2 d 2 T d 2 T E A g A T A Η μέση ενέργεια ανά σύμβολο M-PAM είναι M M 2 T 2 M 2 E E A AT M M 3 () -A () -3A T T 2 () A T T Σύμβολα τετραδικού PAM (Μ 4) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 8
Φασματική πυκνότητα ισχύος M-PAM S pa (f) inc 2 (f T ) Η S pa (f) είναι κανονικοποιημένη ώστε η μέση ισχύς να είναι ανεξάρτητα του M Οι μηδενισμοί εμφανίζονται όταν f k / T, με k ±, ±2, ±3, Εύρος ζώνης από μηδενισμό-σε-μηδενισμό (null-o-null bandwidh) B - / T Το εύρος ζώνης είναι ανεξάρτητο του M S pa (f) (dbw/hz) - -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 - Φασματική Πυκνότητα Ισχύος PAM (M 2, 4, 8) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) / T ( ) B S f df B pa 9% / T 2 3 4 5 6 7 8 9 f T Εύρος Φάσματος Περιεχόμενη Ισχύς ± / T 9% ±.5 / T 93% ±2 / T 95% ±3 / T 96.5% ±4 / T 97.5% ±5 / T 98% 9
Διαμόρφωση θέσης παλμού (pule poiion odulaion PPM) g T () Παλμός g T () πλάτους και διάρκειας T /M Δυαδικό PPM Για το bi, η κυματομορφή του συμβόλου αναπαρίσταται ως T / M () T () A g T (), < T b / 2 A Για το bi, η κυματομορφή του συμβόλου αναπαρίσταται ως () A g T ( T b / 2), T b / 2 < T b () A T b / 2 T b Στο M-ιαδικό PAM κάθε σύμβολο αναπαριστάται με έναν παλμό, g T (), διάρκειας T / M και πλάτους A. Η κυματομορφή του συμβόλου () είναι () A g T ( T / M ), T / M < ( + ) T / M με,,, M T b / 2 T b Σύμβολα δυαδικού PPM (Μ 2) () () 2 () 3 () A A A A T /4 2T /4 3T /4 T T /4 2T /4 3T /4 T T /4 2T /4 3T /4 T T /4 2T /4 3T /4 T Σύμβολα τετραδικού PPM (Μ 4) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7)
Η ενέργεια του συμβόλου () για το M-PPM είναι ( ) δηλαδή δεν εξαρτάται από το ( + ) ( + ) T E A g T A A M M T T M T M 2 2 2 2 2 d T d d T M T M Συνεπώς και η μέση ενέργεια ανά σύμβολο είναι E E Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των συμβόλων PPM είναι ότι δεν αλληλοεπικαλύπτονται χρονικά και άρα T ( ) ( ) d, n n Σήματα για τα οποία ισχύει η παραπάνω ιδιότητα χαρακτηρίζονται ως ορθογώνια (orhogonal) Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7)
Φασματική πυκνότητα ισχύος δυαδικού PPM Tb 2 ftb S2 pp ( f ) in c ( co( π ftb )) + δ ( f ) 4 2 2 Το φάσμα του 2-PPM περιέχει τόσο συνεχές φάσμα όσο και διακριτό Στο 2-PPM μηδενισμοί στο φάσμα εμφανίζονται για f 2 k / T b με k ±, ±2, ±3, Σε σύγκριση με το 2-PAM, το 2-PPM απαιτεί διπλάσιο εύρος ζώνης S 2ap (f), S 2pp (f) (dbw/hz) 2-PAM 2-PPM / T ( ) 2-PAM: B S f df B 2pa 9% / T 2/ T ( ) 2-PPM: B S f df B 2pp 93% 2/ T -5-4 -3-2 - 2 3 4 5 f T b Φασματική Πυκνότητα Ισχύος 2-PAM και 2-PPM Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 2
Φασματική πυκνότητα ισχύος τετραδικού PPM T 2 ft 2 π ft 2 π ft S4 pp ( f ) in c co co + δ ( f ) 4 4 2 4 4 Γενικά, το φάσμα του M-PPM περιέχει τόσο συνεχές όσο και διακριτό φάσμα Στο M-PPM μηδενισμοί στο φάσμα εμφανίζονται για f k M / T με k ±, ±2, ±3, Σε σύγκριση με το M -PAM, το M -PPM απαιτεί M φορές μεγαλύτερο εύρος ζώνης 2/ T ( ) 2-PPM: B S f df B 2pp 93% 2/ T 4/ T ( ) 4-PPM: B S f df B 4pp 9% 4/ T 8/ T ( ) 8-PPM: B S f df B 8pp 9% 8/ T S pp (f) - -8-6 -4-2 (dbw/hz) 4 6 8 Φασματική Πυκνότητα Ισχύος PPM (M 2, 4, 8) 2 M 2 M 4 M 8 f T Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 3
Ενέργεια συμβόλου Τα σύμβολα M-PAM έχουν μεταξύ τους διαφορετική ενέργεια Τα σύμβολα M-PPM έχουν μεταξύ τους όλα ίδια ενέργεια Μέση ενέργεια ανά σύμβολο Στο M-PAM η μέση ενέργεια ανά σύμβολο αυξάνεται με το M Στο M-PPM η μέση ενέργεια ανά σύμβολο μειώνεται με το M Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 4
Τόσο στο M-PAM όσο και στο M-PPM μπορούν να χρησιμοποιηθούν παλμοί διάρκειας T και T / M, αντίστοιχα, διαφορετικοί από τετραγωνικούς Παλμοί για M-PAM: g T () g T () Παλμοί για M-PPM: g T () g T () T T T / M T T / M T Ως συνέπεια της διάρκειας των παλμών g T () προκύπτει ότι: Στο M-PAM το απαιτούμενο εύρος ζώνης διατηρείται σταθερό καθώς αυξάνει το M Στο M-PPM το απαιτούμενο εύρος ζώνης αυξάνει καθώς αυξάνει το M Το M-PPM απαιτεί εύρος ζώνης M φορές μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης του M-PAM Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 5
Σύγκριση M-PPM με M-PAM ως προς εύρος ζώνης (ίδιος ρυθμός μετάδοσης bi R b ) Για να μεταδώσουμε K bi με M-PAM χρειάζονται: M 2 K σύμβολα Διάρκεια κάθε παλμού T K / R b Εύρος ζώνης παλμού περίπου B W / (2 T ) Β 95% Άρα, απαιτούμενο εύρος ζώνης καναλιού BW R b / [2 log 2 (M)] Για να μεταδώσουμε K bi με M-PPM χρειάζονται: M 2 K σύμβολα διάρκειας T K / R b Διάρκεια κάθε παλμού T p T / M K / (Μ R b ) Εύρος ζώνης παλμού περίπου B W M / (2 T ) Β 95% Άρα, απαιτούμενο εύρος ζώνης καναλιού BW M R b / [2 log 2 (M)] Συνεπώς για να μεταδοθούν δεδομένα με ρυθμό R b, το M-PPM απαιτεί M φορές μεγαλύτερο εύρος ζώνης καναλιού σε σχέση με το M-PAM Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 6
Κάθε κυματομορφή () την αντιμετωπίζουμε ως ένα διάνυσμα Το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο πραγματικών κυματομορφών () και n (), οι οποίες ορίζονται στο διάστημα [, 2 ], είναι 2 ( ), n( ) ( ) n( ) d Αν < (), n () >, όταν n τα () και n () είναι ορθογώνια Σημειώνουμε την ομοιότητα με την Ευκλείδεια γεωμετρία, όπου το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων ˆ ˆ ˆ f if+ jf2 + kf3 και g ig ˆ + ˆjg2 + kg ˆ 3 είναι 3 fg fn gn n Αν fg, τότε τα f και g είναι ορθογώνια μεταξύ τους f g Το μέτρο ή νόρμα μιας κυματομορφής (), στο διάστημα [, 2 ], είναι Η νόρμα συνδέεται με την ενέργεια της κυματομορφής ως E () 2 Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο κυματομορφών () και n (), στο διάστημα [, 2 ], είναι Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 2 2 ( ) ( ), ( ) ( ) d 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d, n n n, n n d 2 7
Έστω N το πλήθος κυματομορφών ψ () με,,, M με την παρακάτω ιδιότητα ψ ( ), ψ ( ) n,αν n, αν n Το σύνολο των N κυματομορφών αποτελούν μια ορθοκανονική βάση (orhonoral bai) Έχουν μοναδιαία ενέργεια E ψ ψ ( ) 2 Ο αριθμός N ονομάζεται διάσταση (dienion) του χώρου των κυματομορφών ψ ψ 2 N N 2 N 3 ψ ψ ψ ψ Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 8
Είναι χρήσιμο να αναπαραστήσουμε ένα M-ιαδικό σύνολο συμβόλων σε μία ορθοκανονική βάση με N M Παρέχει σύντομο χαρακτηρισμό των σημάτων Απλοποιεί την ανάλυσή τους Παρέχει μια γεωμετρικού τύπου αναπαράσταση των σημάτων Η εύρεση της βάσης του χώρου είναι γενικά ένα δύσκολο πρόβλημα Ένας εύκολος τρόπος να βρεθεί μία βάση είναι με ορθογωνιοποίηση Gra-Schid Η βάση που προκύπτει δεν είναι μοναδική ψ N 2 () ψ Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 9
Διαδικασία ορθογωνιοποίησης Gra-Schid: Η η κυματομορφή της ορθοκανονικής βάσης προκύπτει ως με E την ενέργεια του () ( ) ( ) ψ E Η 2 η κυματομορφή προκύπτει ως με E την ενέργεια του ψ ( ) ( ) c ψ ( ), E ( ) ψ ( ) c, και ( ) ψ ( ) c, d Η k-ιωστή (k,, 2, M-) κυματομορφή προκύπτει ως ψ με E k την ενέργεια του Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) k k k ki, i E k i ( ) ( ) c ψ ( ) k k ki, i i ( ) ψ ( ) c και ki, k( ) ψ i( ) d c 2
Παράδειγμα ορθογωνιοποίησης Gra-Schid τετραδικού σήματος (M 4) Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N 3 Τα () εκφράζονται ως γραμμικός συνδυασμός των ψ () μέσω των διανυσμάτων ( 2,, ), (, 2, ), (, - 2, ) και ( 2,, ) 2 3 ψ () / 2 2 3 () - () - 2 3 2 3 2 () - 3 () - 2 3 2 3 ( ) 2ψ ( ) ( ) 2ψ ( ) ( ) 2ψ ( ) + ψ ( ) ( ) 2ψ ( ) + ψ ( ) 2 2 3 2 ψ () / 2 - / 2 ψ 2 () 2 3 2 3 Τετραδικό σήμα (M 4) Ορθοκανονική βάση με N 3 Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 2
Παράδειγμα ορθογωνιοποίησης Gra-Schid τετραδικού σήματος (M 4) Τα () εκφράζονται ως γραμμικός συνδυασμός των ψ () μέσω των διανυσμάτων ( 2,, ), (, 2, ), (, - 2, ) και ( 2,, ) 2 3 Τα σημεία στα οποία καταλήγουν τα διανύσματα απαρτίζουν το διάγραμμα αστερισμού (conellaion diagra) του τετραδικού σήματος ( ) 2ψ ( ) ( ) 2ψ ( ) ( ) 2ψ ( ) + ψ ( ) ( ) 2ψ ( ) + ψ ( ) 2 2 3 2 O ψ 2 2-2 3 2 ψ 2 ψ Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 22
Ορθογωνιοποίηση Gra-Schid M-PAM Τα M-ιαδικά σύμβολα του PAM μπορούν να αναπαρασταθούν ως () A g T (), < T με A A (2 + M),,,, M g T () T 2 Ep gt ( ) d T Πραγματοποιώντας ορθογωνιοποίηση Gra-Schid, εύκολα προκύπτει ότι: Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N Η συνάρτηση βάσης έχει μορφή ψ () g T () / E p, < T Τα M-ιαδικά σύμβολα εκφράζονται μέσω της συνάρτησης βάσης ως () ψ (), < T με A E p Δεδομένου ότι η διάσταση της ορθοκανονικής βάσης είναι N, το διάγραμμα αστερισμού είναι μονοδιάστατό (θεωρώντας E p ) -5A -3A -A A 3A 5A ψ () Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 23
Ορθογωνιοποίηση Gra-Schid M-PPM Τα M-ιαδικά σύμβολα του PPM μπορούν να αναπαρασταθούν ως () A g T ( T / M), T / M < ( + ) T / M, με,,, M Πραγματοποιώντας ορθογωνιοποίηση Gra-Schid, εύκολα προκύπτει ότι: Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N M Η συναρτήσεις βάσης έχουν μορφή ψ () g T ( T / M) / E p, T / M < ( + ) T / M Τα σύμβολα εκφράζονται μέσω των συναρτήσεων βάσης ως + ( ) Eψ ( ), T < T M M με E να είναι η ενέργεια κάθε συμβόλου E A 2 E p Δεδομένου ότι N M, το διάγραμμα αστερισμού δε μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά όταν M > 3 E,,,,,, και, E,,, M M M,,,, E M T ( + ) T M 2 p T T M E g T d M ψ A g T () ψ 2 A 2 T / M O A Διάγραμμα αστερισμού για M 3 και E p ψ Επικοινωνίες ΙΙ (Κ7) 24