ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος αναµονής: Άπειρος Ας υποθέσουµε ότι N(t) είναι ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα (συµπεριλαµβανοµένου και αυτού που εξυπηρετείται τώρα). Τότε N(t) είναι η διαδικασία γέννησης-θανάτου µε: λ k = λ µ k = µ P(Άφιξη ακριβώς ενός πελάτης στο χρονικό διάστηµα [t, t + t]) = λ t P( εδοµένου ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πελάτης στο σύστηµα, ακριβώς µία εξυπηρέτηση ολοκληρώνεται στο χρονικό διάστηµα [t, t + t]) = µ t Μία ουρά M/M/1 είναι η διαδικασία γέννησης-θανάτου µε σταθερό ρυθµό γέννησης (ρυθµό αφίξεων) και σταθερό ρυθµό θανάτου (ρυθµό εξυπηρέτησης). Όταν ρ< 1, τότε p k = P[N(t) = k] = (1- ρ) ρ k, όπου ρ= λ/ µ. 2.1.2 Χρήση (Utilization) Τότε, από το γεγονός ότι p k = 1, έχουµε: p k = (1- ρ) ρ k. Εύκολα προκύπτει ότι: E[N(t)] = ρ /(1- ρ). Η ποσότητα ρ αποκαλείται χρήση (utilization) του συστήµατος. Αφού p 0 είναι η πιθανότητα το σύστηµα να είναι άδειο, τότε ρ= 1- p 0 είναι η πιθανότητα ο m να είναι ο πελάτης υπό εξυπηρέτηση. Όταν ρ 1, τότε το σύστηµα είναι ασταθές (unstable). Πράγµατι, ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα θα αρχίσει να τείνει στο. 2.1.3 Εκτίµηση του χρόνου Αναµονής Για τον πελάτη του συστήµατος, ο χρόνος αναµονής είναι πιο σηµαντικός από τον αριθµό των πελατών που βρίσκονται στο σύστηµα. Η πληροφορία σχετικά µε τον χρόνο αναµονής, µπορεί να εξαχθεί µε δύο τρόπους: 2.1.3.1 Ο υπολογισµός του χρόνου αναµονής µε τον τύπο του Little Ας υποθέσουµε ότι Sn είναι ο χρόνος εξυπηρέτησης του n-ιοστού πελάτη και ότι Wn είναι ο χρόνος αναµονής του. Ο χρόνος παραµονής Yn προκύπτει από την σχέση: Yn =Wn+Sn.
E[W] = (ρ/ µ) /(1- ρ). 2.1.4 Κατανοµή του Χρόνου αναµονής των ουρών M/M/1 Ο τύπος του Little δίνει µία εκτίµηση του µέσου χρόνου αναµονής. Η ίδια η κατανοµή, όµως προκύπτει από την παρακάτω σχέση, πού είναι η κατανοµή του Erlang (Erlang distribution). Αν {Si}i=1,...,m είναι µία ακολουθία ανεξάρτητων και ταυτόσηµων τυχαίων µεταβλητών που ακολουθούν την εκθετική κατανοµή και µέσο 1/ µ, και m X = Σ S i, i=1 τότε έχουµε ότι: dp{x t}/dt = [λ( λt) m-1 / (m-1)!] e -λt. Αν W είναι ο χρόνος αναµονής µίας ουράς M/M/1, τότε έχουµε ότι µ (1-ρ) w P [W w] = 1- ρ e 2.2 Παραδείγµατα 2.2.1 Παράδειγµα 1 Ας θεωρήσουµε ένα σύστηµα γέννησης/ θανάτου Μ/Μ/1 µε τα εξής χαρακτηριστικά: Οι µηχανές συνδέονται σε σειρά εν υπάρχουν ενδιάµεσοι χώροι αποθήκευσης. Οι χρόνοι είναι εκθετικοί. Οι εξισώσεις που εκφράζουν αυτό το σύστηµα είναι της µορφής: P k (t), k =0,1 Είναι προφανές, ότι το σύστηµα µπορεί να έχει δύο καταστάσεις: Στην κατάσταση 0 το σύστηµα είναι άδειο Στην κατάσταση 1 το σύστηµα είναι γεµάτο. Ο ρυθµός εισαγωγής στο σύστηµα είναι λ, ενώ ο ρυθµός εξυπηρέτησης είναι µ. Το διάγραµµα ροής των πιθανοτήτων για το παραπάνω σύστηµα είναι το εξής: λ 0 1 µ
Οι διαφορικές εξισώσεις που εκφράζουν το συγκεκριµένο σύστηµα είναι οι εξής: dp 0 /dt = - λ P 0 (t) + µp 1 (t) (1) dp 1 /dt= - µ P 1 (t) + λ P 0 (t) (2) p 0 (t)+p 1 (t) = 1 (3) Από τις σχέσεις (1) και (3), συµπεραίνουµε ότι: dp 0 /dt= -(λ+µ) P 0 (t) + µ Επιλύοντας την διαφορική εξίσωση: P 0 (t)= [µ/ (λ+µ)] + {P 0 (0)- [λ/(λ+µ)]} e (λ+µ)t Προφανώς: P 1 (t) = 1 P 0 (t) 2.2.2 Παράδειγµα 2 Θεωρήστε έναν εξυπηρετητή WWW. Οι χρήστες προσεγγίζουν τον εξυπηρετητή ακολουθώντας µία διαδικασία Poisson µε µέση τιµή 10 προσεγγίσεις/sec. Ο εξυπηρετητής επεξεργάζεται τη κάθε προσέγγιση ανάλογα µε τον χρόνο, που ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 0.01 sec. λ= 10. 1/ µ= 0.01. ρ= λ/ µ= 10 0.01 = 0.1. Έτσι το σύστηµα έχει χρήση 0.1 και ο αριθµός των πελατών που είναι στην αναµονή έχουν την εξής κατανοµή: P[N(t) = n] = (1- ρ) ρ n = 0.9 0.1 n E[N(t)] =ρ/(1- ρ) = 1/9. 32.3 Η ουρά M/M/m/m 2.3.1 Ανασκόπηση θεωρίας: Ο εύτερος τύπος του Erlang (Erlang-B formula) Αφίξεις: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητές: m Χώρος αναµονής: 0 Όποιος πελάτης εισέρχεται σε µία ουρά M/M/m/m στο χρόνο που όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχοληµένοι θα µπλοκαριστεί και θα χαθεί. Η κατανοµή της σταθερής κατάστασης (steady-state distribution), προκύπτει από τη σχέση: p k = (λ/µ) k m k! Σ(λ/µ) i (1/i!) η πιθανότητα όλοι οι εξυπηρετητές να είναι απασχοληµένοι, ή αλλιώς η Erlang-B formula, δίνεται από τη σχέση:
p m = (λ/µ) m m m! Σ (λ/µ) i (1/i!) Η p m καλείται πιθανότητα µπλοκαρίσµατος (blocking probability). 2.3.2 Παράδειγµα Εκτιµήστε την πιθανότητα µπλοκαρίσµατος (blocking probability) µίας γραµµής εισητηρίων µε 200 γραµµές. Ο µέσος αριθµός των πιθανών τηλεφωνικών κλήσεων από πελάτες είναι 50 κλήσεις/λεπτό και κάθε κλήση έχει µέσο χρόνο εξυπηρέτησης 3 λεπτά. Εποµένως: λ= 50 µ= 1/3 m = 200 Τότε η πιθανότητα µπλοκαρίσµατος µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: p m = (λ/µ) m m m! Σ (λ/µ) i (1/i!)