ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε να πούµε ότι όλες οι δυνάµεις της µορφής F F( ) F( x, είναι διατηρητικές; Με άλλα λόγια, µπορούµε να γράψοµε τον νόµο διατήρησης της ενέργειας για όλες τις δυνάµεις της µορφής F F( ) F( x, ; Θα το εξετάσοµε χρησιµοποιώντας τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα. Ας θεωρήσοµε υλικό σηµείο µάζας m που κινείται στον χώρο υπό την επίδραση της γενικής δύναµης F F( ) F( x,, όπου xiˆ + y ˆj + z kˆ είναι η στιγµιαία θέση του υλικού σηµείου. Συγκεκριµένα παραδείγµατα θα δούµε πιο κάτω. z m y x Ας θεωρήσοµε ότι την αρχική χρονική στιγµή t, το υλικό σηµείο ήταν στη θέση x iˆ y ˆj z kˆ + + και είχε ταχύτητα u. Βάσει του εύτερου Νόµου του Νεύτωνα γράφοµε du m F. (3.) Πολλαπλασιάζοµε (δηλαδή εσωτερικό γινόµενο) αµφότερα τα µέλη της (3.) µε την ταχύτητα u και έχοµε du m u F u. (3.) Σελίδα από 9

Η εξίσωση (3.) µπορεί να γραφεί ως εξής διότι d F u, (3.3) u και d du u m u. Η ποσότητα T λέγεται κινητική ενέργεια του υλικού σηµείου και η εξίσωση (3.3) γράφεται ως dt F u, (3.4) όπου η ποσότητα F u λέγεται ισχύς της δύναµης. Χωρίς λοιπόν να το καταλάβοµε, αποδείξαµε το εξής θεώρηµα: Θεώρηµα: Για δυνάµεις της µορφής F F( ), η χρονική µεταβολή της κινητικής ενέργειας του υλικού σηµείου πάνω στο οποίο ασκείται η δύναµη ισούται µε την ισχύ της δύναµης. Πολλαπλασιάζοµε αµφότερα τα µέλη της εξίσωσης (3.4) µε και έχοµε η οποία γράφεται ως dt d F, (3.5) dt F d. (3.6) Πάλι χωρίς να το καταλάβοµε, αποδείξαµε το εξής θεώρηµα: Θεώρηµα: Για δυνάµεις της µορφής F F( ), η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του υλικού σηµείου πάνω στο οποίο ασκείται η δύναµη ισούται µε το έργο της δύναµης κατά τη µετατόπιση του υλικού σηµείου. Αν και δεν είναι απαραίτητο, την εξίσωση (3.6) τη γράφοµε ως εξής: d F d. (3.7) Σελίδα από 9

Παρατηρούµε ότι οι µεταβλητές είναι χωρισµένες, δηλαδή αριστερά έχοµε ταχύτητα και δεξιά θέση. Άρα µπορούµε να ολοκληρώσοµε κατά µέλη. Ολοκληρώνοµε λοιπόν το αριστερό µέλος από την αρχική ταχύτητα u µέχρι την τυχούσα ταχύτητα u και το δεξιό από την αρχική θέση µέχρι την τυχούσα θέση. Έτσι έχοµε ή u u d F( ) d, (3.8) F d, (3.9) την οποία γράφοµε ως εξής: F d σταθερά, (3.) διότι οι ποσότητες /, m, u είναι σταθερές. Τίθεται λοιπόν τώρα το ερώτηµα: Μπορούµε να ορίσοµε την ποσότητα F d (3.) ως τη δυναµική ενέργεια V ( ) (3.) του υλικού σηµείου στη θέση ; Αν ναι, τότε η εξίσωση (3.) θα ήταν ο νόµος διατήρησης της ενέργειας και όλες οι δυνάµεις F F( ) θα ήταν διατηρητικές. Όµως, αυτό δεν ισχύει. Η δυναµική ενέργεια V ( ) V ( x,, ως συνάρτηση των µεταβλητών x, z, είναι µονοσήµαντη. ηλαδή, για κάθε τριάδα αριθµών x, z µάς δίνει µια τιµή, την τιµή της δυναµικής ενέργειας σ αυτή τη θέση. Η σχέση (3.) µάς δίνει το µείον έργο που κάνει η δύναµη για µετακίνηση από το σηµείο στο σηµείο. Αν αυτό το έργο εξαρτάται από τον δρόµο που ακολουθήθηκε, τότε για διαφορετικούς δρόµους θα έχοµε διαφορετικά έργα, δηλαδή η συνάρτηση (3.) είναι πολυσήµαντη. εν µπορούµε εποµένως να εξισώσοµε µια µονοσήµαντη συνάρτηση, την (3.), µε µια πολυσήµαντη συνάρτηση, την (3.). Μπορούµε να εξισώσοµε την (3.) µε την (3.) µόνο αν η (3.) είναι κι αυτή µονοσήµαντη συνάρτηση του, δηλαδή αν το έργο της δύναµης µεταξύ των σηµείων και είναι ανεξάρτητο του δρόµου µεταξύ των δυο αυτών σηµείων. Σελίδα 3 από 9

Οι δυνάµεις F F( ) για τις οποίες το έργο µεταξύ δυο τυχόντων σηµείων είναι ανεξάρτητο του δρόµου λέγονται διατηρητικές ή αστρόβιλες και γι αυτές και µόνο γι αυτές µπορούµε να ορίσοµε τη δυναµική ενέργεια στο σηµείο µε τη σχέση V ( ) F d. (3.3) Για διατηρητικές δυνάµεις F F( ) µπορούµε λοιπόν να γράψοµε από τη σχέση (3.) ότι T +V σταθερά E (3.4) όπου E είναι η ολική ενέργεια. Έτσι αποδείξαµε το θεώρηµα διατήρησης της ενέργειας για διατηρητικές δυνάµεις της µορφής F F( ). Θεώρηµα: Για διατηρητικές δυνάµεις της µορφής F F( ) το άθροισµα της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας του υλικού σηµείου είναι σταθερό κατά την κίνηση του. Από τον ορισµό που δώσαµε για την δυναµική ενέργεια, είναι προφανές ότι αυτή µηδενίζεται στην αρχική θέση διότι V ( ) F( ) d. (3.5) Ας υποθέσοµε ότι δεν θέλοµε η δυναµική ενέργεια να µηδενίζεται στην αρχική θέση, αλλά σε κάποια άλλη θέση. Τότε γράφοµε την εξίσωση (3.) ως εξής: ή F( ) d F( ) d F( ) d + F( ) d (3.6) σταθερά. (3.7) Το δεξιό µέλος της (3.7) είναι σταθερό διότι το ορισµένο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης είναι αριθµός. Αν τώρα ορίσοµε τη δυναµική ενέργεια ως και την ολική ενέργεια ως V ( ) F( ) d (3.8) Σελίδα 4 από 9

πάλι µπορούµε να γράψοµε E + F( ) d σταθερά (3.9) T +V σταθερά E, (3.) µόνο που τώρα και το E και το V έχουν διαφορετικές τιµές από πριν. Και από τον ορισµό (3.3) και από τον ορισµό (3.8) έχοµε ότι V ( x, ˆ V ( x, ˆ V ( x, F( ) i j kˆ V ( x,, (3.) x y z όπου το σύµβολο / y, / z. / x σηµαίνει µερική παράγωγος ως προς x και οµοίως για τα Με άλλα λόγια, η δυναµική ενέργεια είναι το µείον έργο της δύναµης και η δύναµη είναι το µείον ανάδελτα της δυναµικής ενέργειας. Παρατήρηση : Όπως είδαµε παραπάνω, το µηδέν της δυναµικής ενέργειας µπορούµε να το βάλοµε όπου θέλοµε και ο νόµος διατήρησης της ενέργειας ισχύει. Οι τιµές της δυναµικής ενέργειας και της ολικής ενέργειας αλλάζουν ανάλογα µε το που βάλαµε το µηδέν της δυναµικής ενέργειας. 3. Κεντρικές δυνάµεις Η πιο σηµαντική κατηγορία διατηρητικών δυνάµεων είναι οι κεντρικές δυνάµεις, που ορίζονται ως F f ( ) ˆ, (3.) όπου ˆ / / είναι το ακτινικό µοναδιαίο διάνυσµα. Είναι δηλαδή ακτινικές δυνάµεις. Όλες οι θεµελιώδεις δυνάµεις της Φύσης είναι κεντρικές (βλ. Ασκήσεις 3.3 κα 3.5). Θεώρηµα: Όλες οι κεντρικές δυνάµεις είναι διατηρητικές. Απόδειξη: Αρκεί να δείξοµε ότι το έργο που κάνουν οι κεντρικές δυνάµεις µεταξύ δυο τυχόντων σηµείων και είναι ανεξάρτητο του δρόµου που ακολουθούµε. Το έργο αυτό είναι W F d f d ( ) ˆ f ( ) d ανεξάρτητο του δρόµου, (3.3) όπου d ˆ d είναι ακτινική µετατόπιση, δηλαδή είναι η προβολή της µετατόπισης d στο ακτινικό διάνυσµα ˆ. Αποδείξαµε λοιπόν ότι το έργο της δύναµης (3.) από το τυχόν σηµείο στο τυχόν σηµείο είναι ίσο µε το έργο που κάνει η δύναµη Σελίδα 5 από 9

για ακτινική µετακίνηση από την επιφάνεια της σφαίρας µε ακτίνα στην επιφάνεια της σφαίρας µε ακτίνα ανεξαρτήτως της πορείας που ακολουθήσαµε. R Παράδειγµα 3.: Να σχεδιασθεί το πεδίο δυνάµεων F( ) F ˆ, όπου F Nt, R m είναι σταθερές, είναι η ακτινική απόσταση και ˆ / / είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Με άλλα λόγια, να σχεδιασθεί το διάνυσµα της δύναµης F σε διάφορες θέσεις. Χάριν ευκολίας περιοριστείτε σε σηµεία του επιπέδου xy. Να διερευνήσετε αν το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό ή όχι. Από το σχήµα και µόνο θα µπορούσατε να βγάλετε το συµπέρασµα αυτό; Λύση: Σε κάθε σηµείο η δύναµη είναι ακτινική. Για m, το µέτρο της δύναµης είναι Nt. Για m, το µέτρο της δύναµης είναι / Nt. Για 3 m, το µέτρο της δύναµης είναι /3 Nt και ούτω καθ εξής. Έτσι λοιπόν έχοµε y x Το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό ή αστρόβιλο διότι είναι κεντρικό. Το ίδιο συµπέρασµα βγάζοµε και από το σχήµα αφού το πεδίο δυνάµεων δεν στροβιλίζει, δηλαδή δεν θα µας έστριβε αν πέφταµε µέσα σ αυτό. Παράδειγµα 3.: Να σχεδιασθεί το πεδίο δυνάµεων Σελίδα 6 από 9 F ) ( F x / x ) ˆj, όπου ( F Nt, x m είναι σταθερές και ĵ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα y. Με άλλα λόγια, να σχεδιασθεί το διάνυσµα της δύναµης F σε διάφορες θέσεις. Χάριν ευκολίας περιοριστείτε σε σηµεία του επιπέδου xy. Παρατηρείστε ότι αυτό το πεδίο δυνάµεων δεν εξαρτάται από τις συντεταγµένες y και z, αλλά µόνο από τη συντεταγµένη x.

A) Να διερευνήσετε αν αυτό το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό ή όχι. Από το σχήµα και µόνο θα µπορούσατε να βγάλετε το συµπέρασµα αυτό; B) Να υπολογίσετε το έργο που κάνει το πεδίο δυνάµεων στην κλειστή διαδροµή (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) του επιπέδου xy. Λύση: Για όλα τα σηµεία (, y ), η δύναµη είναι +. Για όλα τα σηµεία (, y ), η δύναµη είναι + κλπ. Για όλα τα σηµεία (, y), η δύναµη είναι κλπ. Έτσι έχοµε y B A x C D Α) Το πεδίο δυνάµεων δεν είναι διατηρητικό διότι, όπως θα αποδείξοµε στο ερώτηµα Β, το έργο της δύναµης σε µια κλειστή γραµµή δεν είναι ίσο µε το µηδέν. Το ίδιο συµπέρασµα βγάζοµε και από το σχήµα αφού το πεδίο δυνάµεων στροβιλίζει, δηλαδή ένα σώµα πεπερασµένων διαστάσεων θα το στρίψει κατά φορά αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου αν πέσει µέσα. B) Τα επιµέρους έργα είναι: W AB, διότι η δύναµη είναι κάθετη στη µετατόπιση. W Joule, διότι η δύναµη είναι σταθερή και συγγραµµική µε τη BC µετατόπιση. W CD και W DA Joule. Συνεπώς το συνολικό έργο είναι W 4 Joule. Άσκηση 3.: Να σχεδιασθεί το πεδίο δυνάµεων F( ) k ˆ, όπου k Nt/m είναι σταθερά, είναι η ακτινική απόσταση και ˆ / / είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Με άλλα λόγια, να σχεδιασθεί το διάνυσµα της δύναµης F σε διάφορες θέσεις. Χάριν ευκολίας περιοριστείτε σε σηµεία του επιπέδου xy. Σελίδα 7 από 9

A) Να διερευνήσετε αν το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό ή όχι. Από το σχήµα και µόνο θα µπορούσατε να βγάλετε το συµπέρασµα αυτό; B) Να βρεθεί το έργο που παράγει το πεδίο δυνάµεων κατά τη µετακίνηση από το σηµείο (,, ) στο σηµείο (,, ). Άσκηση 3.: Να σχεδιασθεί το πεδίο δυνάµεων F ) ( F y / y ) iˆ, όπου ( F Nt, y m είναι σταθερές και î είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα x. Με άλλα λόγια, να σχεδιασθεί το διάνυσµα της δύναµης F σε διάφορες θέσεις. Χάριν ευκολίας περιοριστείτε σε σηµεία του επιπέδου xy. Παρατηρείστε ότι αυτό το πεδίο δυνάµεων δεν εξαρτάται από τις συντεταγµένες x και z, αλλά µόνο από τη συντεταγµένη y. A) Να διερευνήσετε αν αυτό το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό ή όχι. Από το σχήµα και µόνο θα µπορούσατε να βγάλετε το συµπέρασµα αυτό; B) Να υπολογίσετε το έργο που κάνει το πεδίο δυνάµεων στην κλειστή διαδροµή (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) του επιπέδου xy. Mm Άσκηση 3.3: Να σχεδιασθεί το πεδίο δυνάµεων F( ) G ˆ, που περιγράφει την έλξη της Σελήνης (σηµειακή µάζα m ) από τη Γη (σηµειακή µάζα M ), θεωρώντας ότι η Γη είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων. Χάριν ευκολίας, µπορείτε να θεωρήσετε ότι το γινόµενο GMm είναι ίσο µε τη µονάδα. Στον τύπο, είναι η ακτινική απόσταση της Σελήνης από τη Γη, ˆ / είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα και το αρνητικό πρόσηµο σηµαίνει ότι η Γη έλκει τη Σελήνη. Με άλλα λόγια, να σχεδιασθεί το διάνυσµα της δύναµης F σε διάφορες θέσεις. Χάριν ευκολίας περιοριστείτε σε σηµεία του επιπέδου xy. Α) Από το σχήµα και µόνο µπορείτε να αποφανθείτε αν το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό ή όχι; Β) Να βρεθεί το έργο που παράγει το πεδίο δυνάµεων κατά τη µετακίνηση από το σηµείο (,, ) στο σηµείο (,, ). Άσκηση 3.4: Να σχεδιασθεί το πεδίο δυνάµεων F( ) ( F x / x ) ˆj, όπου F Nt, x m είναι σταθερές και ĵ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα y. Με άλλα λόγια, να σχεδιασθεί το διάνυσµα της δύναµης F σε διάφορες θέσεις. Χάριν ευκολίας περιοριστείτε σε σηµεία του επιπέδου xy. Παρατηρείστε ότι αυτό το πεδίο δυνάµεων δεν εξαρτάται από τις συντεταγµένες y και z, αλλά µόνο από τη συντεταγµένη x. A) Να διερευνήσετε αν αυτό το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό ή όχι. Από το σχήµα και µόνο θα µπορούσατε να βγάλετε το συµπέρασµα αυτό; B) Να υπολογίσετε το έργο που κάνει το πεδίο δυνάµεων στην κλειστή διαδροµή ( 3, 3) ( 3, 3) ( 3, 3) (3, 3) (3, 3) του επιπέδου xy. Γ) Σχολιάστε το αποτέλεσµα που βρήκατε. Qq Άσκηση 3.5: Να σχεδιασθεί το πεδίο δυνάµεων F( ) k ˆ, που περιγράφει την άπωση σηµειακού φορτίου q από το οµόσηµο φορτίο Q, που είναι ακίνητο στην Σελίδα 8 από 9

αρχή των αξόνων. Χάριν ευκολίας, µπορείτε να θεωρήσετε ότι το γινόµενο kqq είναι ίσο µε τη µονάδα. Στην έκφραση του πεδίου δυνάµεων είναι η ακτινική απόσταση του φορτίου q και ˆ / είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Με άλλα λόγια, να σχεδιασθεί το διάνυσµα της δύναµης F σε διάφορες θέσεις. Χάριν ευκολίας περιοριστείτε σε σηµεία του επιπέδου xy. Α) Από το σχήµα και µόνο µπορείτε να αποφανθείτε αν το πεδίο δυνάµεων είναι διατηρητικό ή όχι; Β) Να βρεθεί το έργο που παράγει το πεδίο δυνάµεων κατά τη µετακίνηση από το σηµείο (,, 3) στο σηµείο (3,, ). Σελίδα 9 από 9