(β) Εύρεση του αριθμού των θεωρητικών βαθμίδων με τη μέθοδο McCabe-Thiele

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 3 (β) Εύρεση του αριθμού των θεωρητικών βαθμίδων με τη μέθοδο McCabe-Thiele Παρακάτω περιγράφουμε τα βήματα που ακολουθούμε με τη μέθοδο McCabe- Thiele για να καθορίσουμε τον αριθμό των βαθμίδων ισορροπίας (θεωρητικών) που απαιτούνται για να επιτύχουμε ένα απαιτούμενο διαχωρισμό ( D, R ) δεδομένου μίγματος. Υπενθυμίζουμε τις βασικές εξισώσεις λειτουργίας της στήλης υπό τις προυποθέσεις McCabe-Thiele (δηλαδή Υ.Σ.Γ.Π. και κορεσμένης αναρροής). Γραμμή εμπλουτισμού: L D = + D ή D + L D + L RD D = + (2.89) R + R + D D Γραμμή εξάντλησης: m L R = m R (2.90) L R L R Γραμμή τροφοδοσίας ή q-lie: q F = + q q (2.9) Συνήθως (μα όχι πάντα, εξαρτάται από τα δεδομένα) για την εφαρμογή της μεθόδου McCabe-Thiele ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία BHM : Κατασκευάζουμε (επί του διαγράμματος -) τη γραμμή τροφοδοσίας ή q-lie (εξίσωση 2.9). Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της: (α) διέρχεται από το σημείο ( F, F ) (β) έχει κλίση = q/( q). Οι δυνατές περιπτώσεις ανάλογα με τη θερμική κατάσταση, q, της τροφοδοσίας φαίνονται στο Σχήμα 2.2. Ήτοι, η γραμμή τροφοδοσίας μπορεί να κινηθεί σε τόξο 80 μοιρών με όρια την διαγώνιο του επιπέδου -, δηλαδή την ευθεία =.

32 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα 2.2: Γραμμή τροφοδότησης (q-lie) και δυνατές περιπτώσεις τροφοδότησης. (α): q>, υπόψυκτο υγρό. (β): q=, κορεσμένο υγρό. (γ): 0<q<, υγρό-ατμός σε ισορροπία. (δ): q=0, κορεσμένος ατμός. (ε): q<0, υπέρθερμος ατμός. BHM 2: Κατασκευάζουμε τη γραμμή εμπλουτισμού (εξίσωση 2.89). Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της (Σχήμα 2.9 και 2.22): (α) διέρχεται από το σημείο ( D, D ). Αυτό αποδεικνύεται εύκολα εάν στην εξίσωση (2.89) θέσουμε = - = D (β) έχει αποτέμνουσα ίση με D /(R D +) BHM 3: Κατασκευάζουμε τη γραμμή εξάντλησης (εξίσωση 2.90). Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της (βλέπετε Σχήμα 2.22): (α) διέρχεται από το σημείο ( R, R ) (για επιβεβαίωση θέσατε στην εξίσωση 2.90 m = m- = R )

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 33 Σχήμα 2.22: Γραμμές λειτουργίας αποστακτικής στήλης κατά McCabe-Thiele ανάλυση. (β) διέρχεται από το σημείο τομής (Ι) των γραμμών τροφοδοσίας 2.9 και εμπλουτισμού 2.89, όπως έχουμε ήδη αποδείξει. Έχοντας ολοκληρώσει και το Βήμα 3, είναι πλέον στη διάθεσή μας μια τεθλασμένη γραμμή στο επίπεδο έναντι, ήτοι η γραμμή DIR, που την ονομάζουμε «περίγραμμα εμπλουτισμού-εξάντλησης». BHM 4: Προσδιορισμός αριθμού θεωρητικών βαθμίδων (δείτε Σχήμα 2.23). Ξεκινώντας από το σημείο D (ή και το R αν θέλουμε), με διαδοχικές οριζόντιες (μέχρι τομής της καμπύλης ισορροπίας) και κάθετες (μέχρι τομής του περιγράμματος εμπλουτισμού-εξάντλησης) βρίσκουμε τον αριθμό N των θεωρητικών βαθμίδων.

34 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα 2.23: Γραφικός υπολογισμός του αριθμού των θεωρητικών βαθμίδων με την μέθοδο McCabe-Thiele. (γ) Γενικές παρατηρήσεις επί της μεθόδου McCabe-Thiele Όσον αφορά τη μέθοδο McCabe-Thiele, μπορούμε να συγκεντρώσουμε τις παρακάτω χρήσιμες παρατηρήσεις. (i) (ii) H σειρά των βημάτων είναι άμεση συνάρτηση των δεδομένων που διαθέτουμε. Ανάλογα δηλαδή με τα δεδομένα του προβλήματος, έχουμε τη δυνατότητα εναλλαγής της σειράς σχεδιασμού των εξισώσεων που αφορούν τα βήματα 2 και 3, καθώς και την επιλογή του σημείου έναρξης (D ή R) υπολογισμού των βαθμίδων. Oι γραμμές εμπλουτισμού και εξάντλησης είναι ευθείες εξ αιτίας της Y.Σ.Γ.Π

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 35 (iii) Σημείο επί της καμπύλης ισορροπίας θα συνδέει συστάσεις (,) που βρίσκονται σε ισορροπία σε μια βαθμίδα. Άρα θα έχουν τον ίδιο δείκτη ( r, r ), όπου r ο αύξων αριθμός της βαθμίδας. (iv) Σημείο επί του «περιγράμματος εμπλουτισμού-εξάντλησης» θα συνδέει συστάσεις διερχόμενες «πλησίον-αλλήλων» σε μια βαθμίδα ( r, r- ), ό- που r ο αύξων αριθμός της βαθμίδας. (v) Η πρόβλεψη κλασματικού αριθμού θεωρητικών βαθμίδων (όπως πχ. στο Σχήμα 2.23) επιτρέπεται. Θα ακολουθήσει πρόβλεψη του αριθμού των πραγματικών βαθμίδων, σαν αυτών που παρουσιάστηκαν εικονικά στο Σχήμα 2.6, αφού ληφθεί υπόψη ο βαθμός απόδοσης των βαθμίδων. Η σχετική διαδικασία θα περιγραφεί σε επόμενη ενότητα. Είναι προφανές ότι ο αριθμός των πραγματικών βαθμίδων θα πρέπει να είναι ακέραιος. (vi) H βαθμίδα τροφοδότησης είναι αυτή που περικλείει το σημείο τομής Ι των εξισώσεων λειτουργίας της στήλης (εξισώσεις 2.89, 2.90 και 2.9) (Σχήμα 2.23). Δηλαδή, η εφαρμογή της μεθόδου McCabe-Thiele εκτός του υπολογισμού των βαθμίδων Ν που απαιτούνται για την επίτευξη του επιζητούμενου διαχωρισμού ( D, R ), μας υποδεικνύει και τη βαθμίδα στην οποία πρέπει να τοποθετηθεί η τροφοδοσία της στήλης. (vii) H τελευταία βαθμίδα αντιστοιχεί πάντα στο μερικό (συνήθη) αναβραστήρα. (viii) H πρώτη βαθμίδα του διαγράμματος McCabe-Thiele αντιστοιχεί στην πρώτη βαθμίδα της στήλης αν αναφερόμαστε σε ολικό συμπυκνωτήρα. Διαφορετικά, αν αναφερόμαστε σε μερικό συμπυκνωτήρα, αντιστοιχεί σε αυτόν, καθόσον θα υφίσταται μία επιπλέον ισορροπία στο εσωτερικό του αναβραστήρα. Συνηθίζουμε τότε να τη συμβολίζουμε με αύξοντα αριθμό μηδέν (0) στο διάγραμμα McCabe-Thiele. Ουσιαστικά είναι σαν να επωφελούμαστε με μια επιπλέον βαθμίδα με τη χρήση μερικού συμπυκνωτήρα. Όλα αυτά απεικονίζονται παραστατικά στο Σχήμα 2.24.

36 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Καμπύλη ισορροπίας =f e () (, ) ( = D, 0 = D ) V, ( 2, 2 ) 2 ( 2, ) V, L 0, 0 L 0, 0 = D, D = 3 ( 3, 2 ) Διαγώνιος, = 2 V 2, 2 L, Γραμμή εμπλουτισμού (α) Ολικός συμπυκνωτής Καμπύλη ισορροπίας =f e () ( 0, 0 ) 0 ( o = D, D ) 0 V, V, L 0, 0 0 0 L 0, 0 D, D = 0 (, ) 2 ( 2, ) (, 0 ) Διαγώνιος = Βαθμίδα μερικού συμπυκνωτή 2 V 2, 2 L, Γραμμή εμπλουτισμού (β) Μερικός συμπυκνωτής Σχήμα 2.24: Ανάλυση ολικού (α) και μερικού (β) συμπυκνωτή κατά McCabe- Thiele. (δ) Ανάλυση ακραίων καταστάσεων λειτουργίας αποστακτικών στηλών με τη μέθοδο McCabe-Thiele Μπορούμε να θεωρήσουμε νοητά τη λειτουργία μιας αποστακτικής στήλης σε δύο ακραίες καταστάσεις λειτουργικών συνθηκών:

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 37 (i) Σε κατάσταση ολικής αναρροής (total reflu), περίπτωση κατά την ο- ποία θεωρούμε ότι όλο το προϊόν κορυφής της στήλης επανατροφοδοτείται σε αυτήν ως αναρροή (L=V), έτσι ώστε να μην παίρνουμε καθόλου απόσταγμα (D=0). (ii) Σε κατάσταση ελάχιστου λόγου αναρροής (miimum reflu), όπου δηλαδή διατηρούμε το λόγο αναρροής R D = L / D στην ελάχιστη δυνατή, και αποδεκτή από φυσική άποψη, τιμή (η οποία δεν είναι μηδέν). Οι δυο αυτές περιπτώσεις λειτουργίας είναι ιδεατές εφόσον στην πράξη δεν θα εφαρμοστούν. Η ανάλυσή τους όμως έχει διδακτική αξία, και επιπλέον, χρησιμοποιούνται ως καταστάσεις αναφοράς και σύγκρισης για την πραγματική κατάσταση λειτουργίας της στήλης, όπως θα φανεί από την ανάλυση που ακολουθεί. Oλική ναρροή - Eλάχιστος ριθμός Bαθμίδων (N mi ) Στην περίπτωση που R D, δηλαδή D 0, (ας σημειωθεί ότι κάτω από τέτοιες συνθήκες και για μόνιμη κατάσταση λειτουργίας της αποστακτικής στήλης θα πρέπει επιπλέον να θεωρήσουμε ότι: F 0 και R 0 άρα L V), τότε η γραμμή εμπλουτισμού τείνει να έχει: (α) κλίση L/V=, που σημαίνει ότι συμπίπτει με τη διαγώνιο στο διάγραμμα ισορροπίας έναντι. (β) αποτέμνουσα: D /(R D +) = 0 Εν ολίγοις, τόσο η γραμμή εμπλουτισμού όσο και η γραμμή εξάντλησης, συμπίπτουν με τη διαγώνιο. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ο αριθμός των θεωρητικών βαθμίδων να είναι ο ελάχιστος δυνατός (N N mi ). Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι το N mi μπορεί να υπολογιστεί γραφικά, μέσω της μεθόδου McCabe-Thiele, δια της γνωστής γραφικής κατασκευής των βαθμίδων μεταξύ της καμπύλης ισορροπίας και της διαγωνίου (=) του διαγράμματος ισορροπίας, η οποία στην προκειμένη περίπτωση αντιπροσωπεύει το περίγραμμα των γραμμών εμπλουτισμού εξάντλησης (δείτε Σχήμα 2.25).

38 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα 2.25: Ολική αναρροή και ελάχιστος αριθμός βαθμίδων. Μπορούμε επίσης να προβούμε σε αναλυτική λύση του προβλήματος προσδιορισμού του ελάχιστου αριθμού θεωρητικών βαθμίδων για μια ειδική περίπτωση: Ιδανικά μίγματα με σχετική πτητικότητα α B ανεξάρτητη της T. Στην περίπτωση αυτή έχουμε. Εξ ορισμού, ολική αναρροή σημαίνει D 0, οπότε: V (2.92) = D + L V = D 0 L V (2.93) D 0 (2.92) = L + DD V = L = Από τον ορισμό της σχετικής πτητικότητας παίρνουμε: a B = B / / B = B B ( ) = ( ) = a B (2.94)

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 39 ή γενικότερα για τις συστάσεις, που είναι σε ισορροπία (εγκαταλείποντας το δείκτη Α που αναφέρεται ας υποθέσουμε στο πτητικό συστατικό): = a B, = a B (2.95) Εφαρμόζουμε τώρα την εξίσωση 2.95 για κάθε (από έως ). Εάν ο συμπυκνωτής είναι ολικός, στην πρώτη βαθμίδα (δηλ. =) θα έχουμε - = 0 = D και =. Έτσι προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις: D ( = ): = ab D 2 ( = 2): = ab 2 + D : = ( ab ) D : : ( = ): = a B (2.96) Για να επιτύχουμε τον απαιτούμενο διαχωρισμό χρειαζόμαστε N βαθμίδες και τον αναβραστήρα, ήτοι =N+, οπότε η εξίσωση 2.96 δίνει: D D = ( a B ) N + R R (2.97) και λύνοντας την εξίσωση 2.97 ως προς Ν log[ D ( R ) / R ( D )] N N mi = (2.98) log a B Η τελευταία εξίσωση 2.98 είναι γνωστή ως εξίσωση των Feske-Uderwood, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ελάχιστου αριθμού θεωρητικών βαθμίδων (περίπτωση ολικής αναρροής) εάν είναι γνωστή η (στα-

40 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ θερή) τιμή της σχετικής πτητικότητας α B και ο επιζητούμενος βαθμός διαχωρισμού ( D, R ). Ελάχιστος Λόγος Αναρροής - Άπειρος Αριθμός Βαθμίδων Ελαττωμένου του λόγου αναρροής R D, ελαττώνεται η κλίση R D /(+R D ) της γραμμής εμπλουτισμού. Για δοθέντα διαχωρισμό, ο ελάχιστος λόγος αναρροής, αντιστοιχεί στην περίπτωση που η γραμμή εμπλουτισμού και τροφοδοσίας τέμνονται επί της καμπύλης ισορροπίας *. Στην περίπτωση ελάχιστου λόγου α- ναρροής απαιτείται άπειρος αριθμός θεωρητικών βαθμίδων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.26. Δεδομένου ότι το σημείο τομής Ι βρίσκεται επί της καμπύλης ισορροπίας, μπορούμε να υπολογίσουμε το R D,mi και από τη σχέση: R D,mi D ' = (2.99) ' ' όπου τα ' και ' είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής όλων των εξισώσεων λειτουργίας και της καμπύλης ισορροπίας (ονομάζεται και ως «pich poit»), όπως φαίνονται στο Σχήμα 2.26. Αυτή η σχέση εξάγεται εύκολα και από την εξίσωση της γραμμής εμπλουτισμού με αντικατάσταση R D =R D,mi στις συνθήκες ', ' (Σχήμα 2.26). Στην περιοχή του σημείου επαφής (pich) η σύσταση του μίγματος παραμένει σταθερή και είναι αδύνατος ο διαχωρισμός με πεπερασμένο αριθμό βαθμίδων, εξ ου και η ονομασία αυτής της περιοχής ως «ζώνη αμεταβλητότητας». Για διμερή μίγματα η ζώνη αμεταβλητότητας συμπίπτει με την περιοχή εισαγωγής της τροφοδότησης. Για δοθέντα διαχωρισμό ( D, R ), η ελάχιστη και η ολική αναρροή αποτελούν οριακές καταστάσεις λειτουργίας μιας αποστακτικής στήλης, και όχι αποδεκτές από πρακτική άποψη περιπτώσεις λειτουργίας μιας στήλης. Στην πράξη οι χρησιμοποιούμενοι λόγοι αναρροής (R D ) βρίσκονται μεταξύ των ορίων R D,mi (που οδηγεί σε N ma ) και R D = (που οδηγεί σε N mi ). * Ας σημειωθεί ότι τομή των γραμμών εμπλουτισμού και τροφοδοσίας άνω της καμπύλης ισορροπίας οδηγεί σε καταστάσεις που δεν έχουν νόημα από φυσική άποψη. Πράγματι σε μια τέτοια περίπτωση είναι σαν να θεωρούμε ότι μέσα στη στήλη υπάρχουν καταστάσεις τέτοιες ώστε ο ατμός να έχει σύσταση μεγαλύτερη από αυτή που του επιτρέπει η θερμοδυναμική ισορροπία, πράγμα αδύνατον.

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 4 Σχήμα 2.26: Ελάχιστος λόγος αναρροής και άπειρος αριθμός βαθμίδων. Όπως δείχθηκε από οικονομικές αναλύσεις των Peters ad Timmerhaus [4] σε τυπικές αποστακτικές στήλες καθώς ο λόγος αναρροής (reflu ratio) αυξάνει από την ελάχιστη τιμή (R D,mi ) προς την κατάσταση ολικής αναρροής (R D = ), έπονται τα ακόλουθα που έχουν αντικρουόμενες επιδράσεις στον οικονομικό σχεδιασμό και στη λειτουργία μιας στήλης: (i) (ii) ελαττώνεται ο αριθμός (Ν) των απαιτούμενων βαθμίδων, αυξάνεται η απαιτούμενη διάμετρος της στήλης, (iii) η απαιτούμενη ποσότητα υδρατμού που θα χρησιμοποιηθεί στον αναβραστήρα αυξάνεται, καθώς και η απαιτούμενη ποσότητα ψυχρού νερού που θα χρησιμοποιηθεί στον συμπυκνωτήρα. Λαμβανομένων υπόψη όλων αυτών των παραγόντων και της οικονομικής βαρύτητας που αυτοί έχουν στο κόστος εγκατάστασης αλλά και το λειτουργικό κόστος μιας στήλης, οι αναλύσεις των Peters ad Timmerhaus έδειξαν ότι τυπικά ο βέλτιστος λόγος αναρροής στον οποίο θα πρέπει μια αποστακτική στήλη να λειτουργεί στην πράξη είναι:

42 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ 300 Ετήσιο κόστος (αυθαίρετες μονάδες) 200 Ολικό ετήσιο κόστος 00 Ετήσιο κόστος λειτουργίας (υδρατμού, κρύου νερού, κλπ) Κόστος εγκατάστασης/συντήρησης (απόσβεσης κεφαλαίου) 0 R D, mi Σχήμα 2.27: Βέλτιστος λόγος αναρροής για μια τυπική αποστακτική στήλη. R D = (. μέχρι.5) R D,mi (2.00) που οδηγεί σε.2.4.6.8 2.0 Λόγος Αναρροής, R D Βέλτιστος Λόγος Αναρροής N = (.5 μέχρι 2) N mi (2.0). Η αναφερθείσα οικονομική ανάλυση, απεικονίζεται παραστατικά στο Σχήμα 2.27. Πλάγια Προϊόντα. Πολλαπλές Τροφοδοσίες Εξετάζουμε την περίπτωση ενός πλαγίου προϊόντος (side stream) όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.28 (η μεθοδολογία μπορεί να γενικευτεί και για περισσότερα πλάγια προϊόντα). Έστω S (kmol/h) ο ρυθμός απομάκρυνσης του πλάγιου προϊόντος, με σύσταση S αν αυτό θεωρηθεί ως κορεσμένο υγρό. Φυσικά, το πλάγιο προϊόν μπορεί να εξέρχεται ως (i) κεκορεσμένο υγρό, (ii) μίγμα ατμώνυγρού σε ισορροπία (iii) κεκορεσμένος ατμός. (Ουδέποτε ως υπόψυκτο υγρό ή υπέρθερμος ατμός, εφόσον τέτοιες καταστάσεις δεν υφίστανται στο εσωτερικό

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 43 ΠEPIOXH : «κορυφής-πλαγίου προϊόντος» Άνω τμήμα εμπλουτισμού, χαρακτηριζόμενο από V και L V L L D (kmol/h), D ΠEPIOXH B: «πλαγίου προϊόντος-τροφοδοσίας» Kάτω τμήμα εμπλουτισμού, χαρακτηριζόμενο από V και L F (kmol/h), F V L S (kmol/h), S V L ΠEPIOXH C: «τροφοδοσίας-πυθμένος» Tμήμα εξάντλησης, χαρακτηριζόμενο από L καιv R (kmol/h), R Σχήμα 2.28: Αποστακτική στήλη με πλάγιο προϊόν. της αποστακτικής στήλης). Με άλλα λόγια η «θερμική» κατάσταση του πλαγίου προϊόντος, ας την συμβολίσουμε με q S και ας την ορίσουμε ως «το ποσοστό του S που εξέρχεται ως κορεσμένο υγρό», θα θεωρείται δεδομένη. Θεωρούμε την στήλη αποτελούμενη από τρία (στην περίπτωσή μας) υποτμήματα (περιοχές) όπως φαίνονται στο Σχήμα 2.28 και συζητιούνται παρακάτω. Περιοχή (Κορυφής-πλάγιου προϊόντος. Άνω τμήμα εμπλουτισμού): Στην περιοχή αυτή θα ισχύει, κατά τα γνωστά, η εξίσωση εμπλουτισμού 2.02 (αντιπροσωπεύει το ευθύγραμμο τμήμα DI στο Σχήμα 2.29) της οποίας η μέθοδος σχεδιασμού έχει αναλυθεί. L D = + D ή L + D L + D RD D = + (2.02) R + R + D D Περιοχή B (Πλάγιου προϊόντος-τροφοδοσίας. Κάτω τμήμα εμπλουτισμού): Στην περιοχή αυτή θα ισχύει η «γραμμή πλάγιου προϊόντος (ευθύγραμμο τμήμα II' στο Σχήμα 2.29) η οποία δίνεται από την παρακάτω εξίσωση 2.03 (βρί-

44 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα 2.29: Διάγραμμα McCabe-Thiele για στήλη με πλάγιο προϊόν σκεται από πολύ απλά ισοζύγια μάζας στο σχετικό όγκο ελέγχου που ξεκινά από την κορυφή της στήλης και καταλήγει σε επίπεδο βαθμίδας εντός της περιοχής Β) L' SS + DD = + (2.03) V ' V ' Χαρακτηριστικά σχεδιασμού της γραμμής πλαγίου προϊόντος (εξίσωση 2.03) είναι τα ακόλουθα: (α) Τέμνει την διαγώνιο στο σημείο * SS DD S D = ( + )/( + ). Πράγματι, ένα ολικό ισοζύγιο μάζας στον κατάλληλο όγκο ελέγχου, δίνει: V L = S + D. Στο σημείο τομής της 2.03 με την διαγώνιο (δηλ., = - =*) παίρνουμε:

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 45 * * * = ( L V ) + ( Ss + DD) V ( L V ) = ( Ss + DD) V ( S + D ) ( V L ) = ( S + D ) ( S+ D) * * s D s D (β) Έχει κλίση L / V όπου L = L qss, V = V + ( qs ) S, όπως προκύπτει από τον ορισμό της θερμικής κατάστασης πλάγιου προϊόντος: q =ποσοστό του S που εξέρχεται σαν υγρό = ( L L )/ S. (γ) S Διέρχεται από το σημείο τομής I της γραμμής εμπλουτισμού 2.02 με την q S -lie του πλάγιου προϊόντος που θα δίδεται από την εξίσωση qs = q S S + q S (2.04) Η εξίσωση 2.04 εξάγεται ως ακολούθως: Oι εξισώσεις 2.02 και 2.03 για το ζεύγος, γράφονται ως: V = L + DD και V = L + SS + DD αντίστοιχα. Αφαιρώντας τις κατά μέλη: ( V V ) = ( L L ) SS [( V V )/ S] = [( L L )/ S] S = [ q /( q )] + /( q ) S S S S Χαρακτηριστικά σχεδιασμού της qs -lie (εξίσωση 2.04): (α) Διέρχεται από το σημείο ( S, S ) της διαγωνίου (αποδεικνύεται εύκολα από την 2.04 εάν θέσουμε = = ) (β) Έχει κλίση ίση με qs /( qs ) Περιοχή C (Τροφοδοσίας-πυθμένος. Τμήμα Εμπλουτισμού): Στην περιοχή αυτή θα ισχύει η γνωστή μας «γραμμή εξάντλησης»: S m L R = m R (2.05) V V

46 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της γραμμής εξάντλησης 2.05: (α) (β) Διέρχεται από το σημείο ( R, R ) και από το σημείο τομής (σημείο I' στο Σχήμα 2.29) της «γραμμής πλάγιου προϊόντος» (εξίσωση 2.03) με τη «γραμμή τροφοδοσίας (q-lie)», δηλαδή την q F = + q q (2.06) όπου q η θερμική κατάσταση της τροφοδοσίας. Παρόμοιες θεωρήσεις μπορούν να αναπτυχθούν για την αντιμετώπιση του προβλήματος πολλαπλών τροφοδοσιών. Η διαδικασία είναι όμοια, απλά πρέπει να προσεχθεί το γεγονός ότι σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για δύο ή περισσότερες ανάλογα q-lies και όχι για μια q-lie και μια q s -lie. Όντας δεδομένου του περιγράμματος εμπλουτισμού-πλάγιου προϊόντοςεξάντλησης (τεθλασμένη DII R στο Σχήμα 2.29) που προέκυψε από την προηγηθείσα ανάλυση, προχωρούμε στον υπολογισμό των βαθμίδων (N) κατά τη γνωστή μεθοδολογία οριζοντίων και καθέτων των McCabe-Thiele. Εκτός του αριθμού των απαιτούμενων θεωρητικών βαθμίδων που θα προκύψουν, η ανάλυση αυτή θα μας υποδείξει και τις θέσεις που πρέπει να τοποθετηθούν η τροφοδοσία και η έξοδος του πλάγιου προϊόντος έτσι ώστε να επιτευχθούν οι ζητούμενες συστάσεις R, S, D στις ανάλογες εξόδους της στήλης. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2.29 οι απαντήσεις που προκύπτουν είναι οι ακόλουθες: Απαιτούμενος αριθμός θεωρητικών βαθμίδων: ~6.5 Θέση εξόδου πλαγίου προϊόντος: βαθμίδα 4 Θέση εισόδου τροφοδοσίας: βαθμίδα 6.

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 47 Παραδείγματα ισοζυγίων και εφαρμογής μεθόδου McCabe-Thiele ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.9 Μια τροφοδοσία που περιέχει 60% και 40% B διαχωρίζεται σε αποστακτική στήλη. Θέλουμε το απόσταγμα να περιέχει 95% από το και το υπόλειμμα 87% από το B. Εάν η τροφοδοσία είναι 00 mol/h βρείτε τις ποσότητες D και R στην κορυφή και στον πυθμένα της αποστακτικής στήλης. ΛYΣH Το ολικό ισοζύγιο μάζας για όλη τη στήλη γράφεται F=D+R Το ισοζύγιο μάζας του συστατικού : : F, F = D, D + R, R 0.6F = 0.95D + 0.3R Το ισοζύγιο μάζας του συστατικού B: B: F,B F = D,B D + R,B R 0.4F = 0.05D + 0.87R Επίλυση του συστήματος των τριών παραπάνω εξισώσεων με βάση 00 mol/h τροφοδοσίας, θα δώσει D=57.3 mol/h και R=42.7 mol/h. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.0 Τροφοδοσία 00 mol/h μίγματος, 60% σε και 40% σε B, διαχωρίζεται σε αποστακτική στήλη. Εάν η επιθυμητή ανάκτηση του στο απόσταγμα είναι 90% και του B στο υπόλειμμα είναι 96% βρείτε τις ποσότητες D και R στην κορυφή και στον πυθμένα της στήλης. ΛYΣH Θέλουμε στο απόσταγμα (D) την ανάκτηση του 90% του Α που εισέρχεται στην τροφοδοσία. Έτσι η επιθυμητή ποσότητα του Α στο απόσταγμα (D ) θα είναι: D Α = 0.9 F F, = 0.9 00 0.6 = 54 mol /h Στο υπόλειμμα επιθυμούμε ανάκτηση του 96% του Β της τροφοδοσίας, δηλαδή

48 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ R B = 0.96 F F,B = 0.96 00 0.4 = 38.4 mol B/h Μπορούμε τώρα να γράψουμε τα παρακάτω ισοζύγια για το Α και το Β α- ντίστοιχα με αναφορά (ο.ε.) όλη τη στήλη: F Α = D + R 60 = 54 +R R = 6 mol /h F B = D B + R B 40 = D B + 38.4 D B =.6 mol B/h Συνολικά: D = D + D B = 54+.6 = 55.6 mol /h R = R + R B = 6 +38.4 = 44.4 mol B/h ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2. Χρησιμοποιώντας την ίδια τροφοδοσία όπως προηγουμένως, ο προς επίτευξη διαχωρισμός απαιτεί ένα προϊόν κορυφής με 95% σε συστατικό. Eπιπλέον, 90% από το που εισέρχεται στην τροφοδοσία ζητείται να ανακτηθεί στο προϊόν κορυφής (απόσταγμα). Υπολογίστε το D. ΛYΣH H ποσότητα του στο απόσταγμα θα είναι: D = 60 0.9 = 54 mol/h H ολική ποσότητα αποστάγματος D, θα είναι: D = D D, = 54 mol/h D = 54/0.95 = 56.8 mol/h. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.2 Η τροφοδοσία που χρησιμοποιήθηκε στα παραπάνω παραδείγματα, πρόκειται τώρα να διαχωριστεί έτσι ώστε το προϊόν κορυφής να περιέχει 98% και 2% B. Για κάθε 00 mol/h τροφοδοσίας, 50 mol/h πρόκειται να λαμβάνονται σαν απόσταγμα. Υπολογίστε τα moles των και B στο απόσταγμα (προϊόν κορυφής). ΛYΣH D = 50 0.98 = 49 mol /h, και D B = mol B/h.

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 49 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.3 Μίγμα αιθανόλης νερού διαχωρίζεται σε αποστακτική στήλη συνεχούς λειτουργίας με δίσκους. H στήλη λειτουργεί σε P=atm και ο συμπυκνωτής είναι ολικός. Εάν ο απαιτούμενος διαχωρισμός είναι ( D, R )=(0.8, 0.02) να βρεθούν: (i) Ο αριθμός των θεωρητικών βαθμίδων για ένα λόγο αναρροής R D =.66 R D,mi. Ποια η θέση της τροφοδότησης; (ii) O ελάχιστος αριθμός θεωρητικών βαθμίδων. Δίνονται: Tροφοδοσία: F =0.5, q=0.5 και το διάγραμμα «βρασμού» του μίγματος αιθανόλης-νερού (Σχήμα Π2.9). Σχήμα Π2.9: Διάγραμμα «βρασμού» αιθανόλης-νερού σε P=atm. ΛYΣH H μέθοδος McCabe-Thiele εφαρμόζεται σε διάγραμμα ισορροπίας -. Tο διάγραμμα αυτό προκύπτει εύκολα από το διάγραμμα βρασμού (Σχήμα Π2.9) ως ακολούθως:

50 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σαρώνοντας με κάποιο βήμα ΔT (έστω και μεταβλητό, αρκεί τα δεδομένα που θα πάρουμε να είναι ικανά για καλή σχεδίαση) το θερμοκρασιακό διάστημα o o ( TH, 2O T C2H5OH ) βρίσκουμε για κάθε T e τις τιμές e, e που είναι σε ισορροπία (τα και αναφέρονται στο πτητικότερο συστατικό του μίγματος που είναι η αιθανόλη). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, προκύπτει ο πίνακας: T e 77.8 77.7 78 79 8 82 84 86 89 9 93 96 97 98 99. e.892.650.470.220.70.30.090.055.040.03.06.02.007 0 e.892.724.650.520.490.460.420.375.337.280.60.20.050 0 Από τις τιμές αυτές σχεδιάζουμε το διάγραμμα ισορροπίας - (Σχήμα Π2.0). Eφαρμογή Mεθόδου McCabe-Thiele (Σχήμα Π2.0): α) Tοποθετούμε στο διάγραμμα - τα σημεία R, D, F β) πό το σημείο της διαγωνίου ( R, R ) και κλίση = [q/( q)]= [0.5/( 0.5)] =, φέρνουμε την γραμμή τροφοδοσίας (ή q-lie). Τέμνει την καμπύλη ισορροπίας στο σημείο m. γ) Yπολογισμός του R D,mi : Φέρνουμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο ( D, D ) της διαγωνίου και το m. υτή αποτελεί τη γραμμή ε- μπλουτισμού που αντιστοιχεί στον ελάχιστο λόγο αναμονής R D,mi. H τεταγμένη της επί την αρχή είναι D /(+R D,mi )=0.42 R D,mi =0.9. To R D,mi μπορεί να βρεθεί και από R 0.8 0.608 = 0.608 0.395 D m D, mi = = m m δ) Υπολογίζουμε την αποτέμνουσα που θα αντιστοιχεί στον λόγο αναρροής R D =.66 R D,mi που επιθυμούμε να λειτουργήσει η στήλη: [ D /(+R D )]=[ D /(+.66 R D,mi )]=0.32 ε) Φέρνουμε τη ζητούμενη γραμμή εμπλουτισμού DY που έχει ως αποτέμνουσα την παραπάνω τιμή 0.32 (βλέπετε Σχήμα Π2.0). 0.9

Κεφάλαιο 2 Απόσταξη 5 Σχήμα Π2.0: Διάγραμμα ισορροπίας αιθανόλης-νερού. ζ) Φέρνουμε τη γραμμή εξάντλησης RM που ορίζεται από τα σημεία R: ( R, R ) και M: τομή της γραμμής εμπλουτισμού με την q-lie. η) Υπολογίζουμε τις θεωρητικές βαθμίδες με διαδοχικές οριζόντιες (μέχρι την καμπύλη ισορροπίας) και κάθετες (μέχρι το περίγραμμα εμπλουτισμού-εξάντλησης, τεθλασμένη DMR), αρχίζοντας από το σημείο D μέχρι να υπερβούμε το σημείο R. Oι βαθμίδες που προέκυψαν είναι: N=8(+ ο συνήθης αναβραστήρας). H βαθμίδα τροφοδοσίας είναι η F =6. Παρατήρηση: ν η κυρτότητα του διαγράμματος ισορροπίας ήταν μεγαλύτερη, έτσι ώστε η ευθεία Dm να έτεμνε την καμπύλη ισορροπίας, ο ελάχιστος λόγος αναρροής αντιστοιχεί στην ευθεία που φέρνουμε από το D και είναι εφαπτόμενη στην καμπύλη ισορροπίας, όπως φαίνεται στο επόμενο Σχήμα Π2..

52 ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Σχήμα Π2.: Ελάχιστος λόγος αναρροής σε πολύπλοκες καμπύλες ισορροπίας. Γραφική Μέθοδος Pocho-Savarit (α) Γενικές Παρατηρήσεις Η μέθοδος Pocho-Savarit εφαρμόζεται στις περιπτώσεις εκείνες που δεν ι- σχύει η βασική παραδοχή της μεθόδου McCabe-Thiele, δηλ. η Υπόθεση της Σταθερής Γραμμομοριακής Παροχής (Y.Σ.Γ.Π.), ήτοι στις περιπτώσεις μηιδανικών διαλυμάτων. Χρησιμοποιεί το διάγραμμα ενθαλπίας -συγκέντρωσης (Σχήμα 2.0). Υπενθυμίζεται ότι, σ αυτού του τύπου τα διαγράμματα παράστασης της ισορροπίας ατμών-υγρού, (i) ως βάση για τον υπολογισμό της ενθαλπίας λαμβάνονται οι καθαρές ουσίες στην υγρή τους φάση και θερμοκρασία 0 C, όπου θεωρούμε ότι έ- χουν γραμμομοριακή ενθαλπία ίση με το μηδέν. (Η ενθαλπία του κεκο-