ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7

Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8

Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη μεγάλου αριθμού ταυτοτήτω οι οποίες περιλαμβάου διωυμικούς συτελεστές. + t t,t R,,,... ( ) ( ) x x + t t, t <,x R ( ) + t t, t <,,,... Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 3

Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούμε Ι. Ταυτότητες που προκύπτου απ ευθείας από τους προηγούμεους τύπους για ειδικές τιμές της μεταβλητής t. ΙΙ. Ταυτότητες που προκύπτου, κάοτας αρχικά έα ή περισσότερους μετασχηματισμούς στο τμήμα που περιέχει τους διωυμικούς συτελεστές ώστε α προκύψει πιο εύχρηστο άθροισμα. ΙΙΙ. Ταυτότητες που προκύπτου παραγωγίζοτας ή ολοκληρώοτας και τα δύο μέλη του διωυμικού ααπτύγματος ή άλλω ταυτοτήτω που έχου προκύψει από αυτό. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 4

+ t t,t R,,,... ( ) Παράδειγμα 3.3. Να υπολογιστού τα αθροίσματα S, και στη συέχεια τα S ( ) 5 S 3 +, r r S 3 r r Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

Παράδειγμα 3.3.3 Α r, είαι μη αρητικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε r α υπολογιστεί το άθροισμα 6 S. r r Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

Απάτηση Μπορεί εύκολα α διαπιστωθεί ότι ισχύει r r r r οπότε r r S. r r r r r r Εκτελώτας τη αλλαγή μεταβλητής r j, βρίσκουμε r j r S r j και έτσι καταλήγουμε στο τύπο r S. r Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 7 S + + +... +.

Παράδειγμα 3.3.4 r r r r Αφού υπολογιστού αρχικά τα αθροίσματα S4, S5 α υπολογιστού στη συέχεια τα + + + S 6, + S 7 + 8 S 8 + α + β+ γ όπου α, β, γ δεδομέοι πραγματικοί αριθμοί. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

Απάτηση Παραγωγίζοτας ως προς t βρίσκουμε ( ) + t t t : S4. Ολοκληρώοτας προς t από t έως t, έχουμε + t dt t dt ( ) από όπου προκύπτει αμέσως ότι + t t,t R,,,... ( ) Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 9 ( ) + + t t + + + ( ) ( ) + + + + + S 5. + + +

Απάτηση Εαλλακτικά: έχουμε οπότε Όμοια +, +. + + S4 S 5 r + t t,t R,,,... ( ) S4. r + + + + + + + + + + + + ( + S ) 5. + r r + r r + Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

S4, S 5 + + + Απάτηση + + S 6, + S 7 + ( ) + + S6 + + + + + + S4+ S5 +, + Για το S 7, αρκεί α θέσουμε r οπότε θα πάρουμε S S. ( + ) 7 5 r r+ r + Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

Απάτηση S4, + + S 6, + S 5 + S 7 + + + + + α + β+ γ S8 + + α β γ + + + α + β + γ και εκτελώτας το μετασχηματισμό r βρίσκουμε S8 α ( r+ ) + β + γ r r r+ r r r r α r + + β + γ r r r r r r r r+ r α r + ( α+ β) + γ r r r+ r r r r α S ( α β) S γ S α ( ) + + + 4 5 Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 + + α+ β + γ. +

Πρόταση (Γιόμεο δύο σειρώ ) Α α, β,,,,... είαι πραγματικοί αριθμοί και f(t) α t g(t) Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 3 β t τότε το γιόμεο f (t) g (t) μπορεί α γραφεί στη μορφή f() tgt () όπου τα γ,,,,... δίοται από τους τύπους γ α β γ α β + α β γ α β + α β + γ α... γ α β + α β +... + α β + α β ή σε συεπτυγμέη μορφή: γ αβ αβ,,,... γ t

Απόδειξη f (t) g (t) (α + α t + α t +...) (β + β t + β t +...) t : γ α β, t : γ t α (β t) + (α t)β (α β + α β )t γ α β + α β. t : α (β t ) + (α t) (β t ) +... + (α t ) (β t) + (α t ) β (α β + α β +... + α β + α β ) t. Άρα + + + + γ αβ αβ... α β αβ αβ. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 4

Παρατηρήσεις α. στη περίπτωση που τα αθροίσματα στις εκφράσεις τω f (t), g (t) είαι πεπερασμέα, π.χ. n () gt () f t αt, Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 5 m βt ισχύου ατίστοιχοι τύποι. Πιο συγκεκριμέα, () () f tgt + n m γt εώ τα γ,,,,..., n + m θα δίοται από τους τύπους ( ) min(,m) min,n γ α β α β,,,...,n+ m. β. στη περίπτωση που τα αθροίσματα στις εκφράσεις τω f(t), g(t) είαι άπειρα, η μεταβλητή t θα θεωρείται ότι είαι περιορισμέη σε κατάλληλη περιοχή του μηδεός ( t< εγια κάποιο ε>) έτσι ώστε α εξασφαλίζεται η σύγκλιση τω εμφαιζόμεω σειρώ.

Πρόταση (τύπος του Cauchy ) Α x, y είαι πραγματικοί αριθμοί και θετικός ακέραιος, τότε ισχύει x+ y x y Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 6

Απόδειξη ( + t) x+y ( + t) x ( + t) y () () x+ y t f t gt, t <, Επομέως όπου () ( ) () ( ) x x f t + t t α t y y gt + t t β t. () () f t gt γ t όπου x y γ α β. x+ y και θα έχουμε t f () t gt () γ t, t < άμεσα το ζητούμεο. απ όπου προκύπτει Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 7

Με βάση τις ταυτότητες ( x+ y) ( x) ( y),, ( ) x+ y x y!!! ο τύπος του Cauchy παίρει τη μορφή ή ισοδύαμα ( x+ y) ( ) ( ) x y ( )!!! ( + ) ( ) ( ) x y x y. Αξίζει α προσεχτεί η ομοιότητα του τελευταίου τύπου με το διωυμικό αάπτυγμα ( ) x+ y x y. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8

Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 9 Παράδειγμα 3.3.5 Α x, y είαι πραγματικοί αριθμοί και θετικός ακέραιος τότε + y x y x

Απάτηση ( ) x+ y x+ y xy ( ) ( ) x y x ( ) ( ) ( ) ( ) y x y. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

Η προηγούμεη ταυτότητα, στη περίπτωση που τα x, y είαι θετικοί ακέραιοι αριθμοί, έστω m, n ατίστοιχα, παίρει τη μορφή ή ισοδύαμα m+ n+ m+ n+ m+ n+ m+ n+ +. m n m n x+ y x y Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

Παράδειγμα 3.3.6 Να υπολογιστού τα αθροίσματα α. β. m+ m,m > Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

Απάτηση α. και εφαρμόζοτας το τύπο του Cauchy βρίσκουμε β. Αρκεί α θέσουμε n m στη +. m+ n+ m+ n+ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 3

Ασκήσεις(σελίδα 5). Να υπολογιστού τα αθροίσματα α. ε. ( ) β. + στ. ( ) ( ) γ. ( ) ζ. ( ) + +, > + δ. 3 t s η. ( ) Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 4

Ασκήσεις(σελίδα 5). Να υπολογιστού τα αθροίσματα α. β. + γ. ( ) δ. + ( ) 3. Να υπολογιστού τα αθροίσματα α. rr γ. r β. ( ) δ. 3 4 Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 5

Ασκήσεις(σελίδα 5) 4. Να υπολογιστού τα αθροίσματα α. β. γ. δ. (Υπόδειξη: Διαπιστώστε αρχικά ότι ισχύει α. β. + Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 6

Ασκήσεις(σελίδα 5) 5. Α, m, r είαι θετικοί ακέραιοι α δειχτεί ότι ισχύου οι επόμεες ταυτότητες α. ( ) β. γ. δ. m + r, r r r r m r+ r r,r m, m+ m m+ m m mm+ + r r+ mr+ +. m m Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 7

Μ. Κούτρας Κούτρας Συδυαστική Συδυαστική 7 7-8 8 8 8 Θέμα Εξετάσεω α. Να δείξετε ότι ισχύει η ταυτότητα + + m m m β. Να αποδειχτεί ότι + + + n n m m n m γ. Να υπολογιστεί το άθροισμα

Μ. Κούτρας Κούτρας Συδυαστική Συδυαστική 7 7-8 8 9 9 Θέμα Εξετάσεω α. Να δείξετε ότι ισχύου οι ταυτότητες, 3 3 3 3. β. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα S, 3 3 S γ. Αφού πρώτα διαπιστώσετε ότι ισχύει η ταυτότητα + 3 6 ) ( α υπολογίσετε το άθροισμα 3 ) ( S.

Μ. Κούτρας Κούτρας Συδυαστική Συδυαστική 7 7-8 8 3 3 Θέμα Εξετάσεω α. Να δείξετε ότι ισχύει η ταυτότητα + +. β. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα + + ) ( S, + + S

ΤΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 3

Υπολογισμός του ααπτύγματος (x + x +... + x ) όπου, είαι θετικοί ακέραιοι με,. όπου (x + x +... + x ) (x + x +... + x ) (x + x +... + x )...... (x + x +... + x ). Εδώ θα παίρουμε όρους της μορφής r r r x x...x r + r +... + r. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε α πάρουμε τέτοιους (όμοιους) όρους; Για α δημιουργηθεί ο θα πρέπει: r r r x x...x Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 3

α διαλέξουμε r από τις παρεθέσεις από όπου θα πάρουμε το σύμβολο x (υπάρχου r διαφορετικοί τρόποι επιλογής) από τις - r αχρησιμοποίητες παρεθέσεις, α διαλέξουμε r παρεθέσεις από όπου θα πάρουμε το σύμβολο x r (υπάρχου r διαφορετικοί τρόποι επιλογής) από τις - r - r -... - r - r αχρησιμοποίητες παρεθέσεις, α διαλέξουμε r παρεθέσεις από όπου θα πάρουμε το σύμβολο x (υπάρχου r r...r r r r τρόποι επιλογής) Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 33

Άρα οι συολικοί τρόποι επιλογής που οδηγού στο r r r μοώυμο x x...x είαι (πολλαπλασιαστική αρχή), r r r... r... r r r ( ) ( ) ( ) ( ) (( )! r! rr...r!... r!r! r!r r! r! r r... r r! r!r!...r! r,r,...,r Έτσι, το αάπτυγμα της δύαμης (x + x +... + x ) θα αποτελείται από έα άθροισμα όρω της μορφής r r r xx...x r,r,...,r όπου τα r, r,..., r είαι μη αρητικοί ακέραιοι που ικαοποιού τη σχέση r + r +... + r. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 34

Πρόταση (Πολυωυμικό θεώρημα ) Έστω, θετικοί ακέραιοι και x, x,..., x πραγματικοί αριθμοί. Τότε το αάπτυγμα της -στής δύαμης του αθροίσματος x + x +... + x δίεται από το τύπο r r r ( x x... x ) x x...x + + + r!r!...r! όπου η άθροιση γίεται για όλες τις -άδες (r, r,..., r ) μη αρητικώ ακέραιω οι οποίοι ικαοποιού τη σχέση! r + r +... + r. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 35

Παράδειγμα 3.4. Να γραφεί η παράσταση (x + x +x 3 ) 4 ως άθροισμα δυάμεω τω x, x, x 3. 36 Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8

Απάτηση Θα πρέπει αρχικά α βρούμε όλους τους μη αρητικούς ακέραιους αριθμούς r, r, r 3 για τους οποίους ισχύει r + r + r 3 4 και στη συέχεια α υπολογίσουμε τις ατίστοιχες τιμές τω πολυωυμικώ συτελεστώ από το τύπο 4 4!. r,r,r r!r!r! 3 3 Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 37

r r r 3 4! r!r!r! 3 r r r3 3 x x x : ( ) 4 4 3 x + x + x x + 4 4 x 3 3 4 3 xx 3 6 xx 3 3 4 3 xx 3 4 4 x 3 4 3 xx 3 xxx 3 xxx 3 3 4 3 xx 6 xx 3 xxx 3 6 xx 3 4 3 xx 3 4 3 xx 4 4 x 3 3 4xx3 + 4x x + + xxx 3 + 6x x + + 3 3 4xx + 6x x + + 3 xxx 3 + x xx + + 3 4 3 x + 4x x + + 3 3 6xx3 + 4x x + + 3 4 3 3 + 4x x + x. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 38

Θέμα Εξετάσεω Μέρος ΙΙΙ (4 θέματα πλήρους αάπτυξης. Μέγιστος αριθμός μοάδω4) Απατήστε στα επόμεα θέματα αιτιολογώτας τις απατήσεις σας. Κάθε θέμα παίρει μοάδες. Μη χρησιμοποιήσετε περισσότερο χώρο από αυτό που δίεται σε κάθε θέμα.. Να βρεθεί ο συτελεστής του Λύση: Θέλουμε α βρούμε το συτελεστή του 6 x στο αάπτυγμα της παράστασης ( + x + x 3 ) 8. 6 x, στο αάπτυγμα της παράστασης ( x 3 8 + x + ). Γωρίζουμε ότι, ( + x + x 3 ) 8 8! r r 3 r3 ( ) ( x ) ( x ) r, r, r r 3! r! r! 3 8! r! r! r! r, r, r3 3 x r + 3r3 όπου η άθροιση γίεται για όλου τους μη αρητικούς ακέραιους αριθμούς r, r, r3, για τους οποίους ισχύει r + r + r3 8. Επομέως, ζητάμε r, r, r3 τέτοια ώστε, r + r + r 8 και r + 3r 6. 3 Οπότε, για α ισχύου οι δυο παραπάω σχέσεις, πρέπει 3 r, r, r ή r, r 3, r. 6 3 5 3 Μ. Κούτρας Άρα ο συτελεστής του 6 x είαι, 8! 8! + 8+ 56 84. 6!!! 5! 3!! Συδυαστική 7-8 8 39

Ασκήσεις(σελίδα 58). Να γραφεί ααλυτικά το πολυωυμικό αάπτυγμα τω επόμεω παραστάσεω. α. (x + x + x 3 ) γ. (x - x + 3x 3 ) 4 β. (x + x + x 3 ) 3 δ. (x + x - x 3 ) 5. Να βρεθεί ο συτελεστής του x 5 στο πολυωυμικό αάπτυγμα της παράστασης ( + x +x ) 8 3. Να βρεθεί ο συτελεστής x 9 στο πολυωυμικό αάπτυγμα της παράστασης ( + x 5 + x 7 + x 9 ). Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 4

Ασκήσεις(σελίδα 49) 4. Α, r, r είαι μη αρητικοί ακέραιοι για τους οποίους ισχύει r + r, α δειχτεί ότι. r,r + r,r r,r 5. Α, είαι μη αρητικοί ακέραιοι με α δειχτεί ότι r,r,...,r όπου η άθροιση γίεται για όλες τις -άδες (r, r,..., r ) μη αρητικώ ακεραίω με r + r +... + r. Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 4