Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου 9...47 Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 9...50 Απαντήσεις στις ασκήσεις αυτοαξιολόγησης του κεφαλαίου 9...55 Ας θεωρήσουμε τη γραμμική απεικόνιση f : X X όπου X είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F (, ). Εάν υπάρχουν μη μηδενικά διανύσματα v X τα οποία έχουν την ιδιότητα f ( v) = λv, όπου λ K, τα διανύσματα αυτά ονομάζονται ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης f, ενώ οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση αυτή ονομάζονται ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης. Οι χώροι των διανυσμάτων v που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη ιδιοτιμή λ αποτελούν διανυσματικούς υπόχωρους του X τους οποίους και θα ονομάσουμε ιδιόχωρους της συγκεκριμένης ιδιοτιμής. Βασικός στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι να διατυπώσει μια μεθοδολογία εύρεσης των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων μιας γραμμικής απεικόνισης μέσω του πίνακα της γραμμικής απεικόνισης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισμένες ιδιότητες των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων/γραμμικών απεικονίσεων, ενώ στο τέλος παρουσιάζουμε το Θεώρημα Cayley-Hamlto και εφαρμογές του στον υπολογισμό: α) του αντίστροφου ενός πίνακα, β) μαθηματικών παραστάσεων που εξαρτούνται από έναν πίνακα (όπως οι δυνάμεις ενός πίνακα), και γ) του ελάχιστου πολυωνύμου ενός πίνακα. Συγγραφέας : Ν. Καραμπετάκης
9. Ορισμοί Σελίδα από 58 Έστω η γραμμική απεικόνιση f : 9. Ορισμοί x 4x 5x f = x x x Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 8.4 ότι ο πίνακας της παραπάνω γραμμικής T { } απεικόνισης, ως προς την συνήθη βάση ( 0 ) T,( 0 ) 4 5 = T Έστω επίσης το διάνυσμα x ( x x ) ( ) είναι ο = = 5. Παίρνοντας το γινόμενο του x διαπιστώνουμε ότι είναι ίσο με 5 4 5 5 0 5 f = = = 4 5 f ( x) = x, x= και συνεπώς είναι πολλαπλάσιο του x. 4 T x x 4 6 8 0 Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε αν υπάρχουν επιπλέον διανύσματα με την ίδια ιδιότητα. Θα πρέπει τα διανύσματα αυτά να ικανοποιούν την ιδιότητα : x x 4x 5x x ( λ 4) x+ 5x = 0 f = λ = λ x x x x x x+ ( λ + ) x = 0 Προκειμένου να έχει λύση το παραπάνω ομογενές σύστημα θα πρέπει λ 4 5 det = 0 ( λ 4)( λ + ) ( ) 5 = 0 λ + ( )( ) λ λ = 0 λ λ+ = 0 λ = λ = Συνεπώς εκτός από λ = η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για λ =. Επιλύνοντας το παραπάνω σύστημα εξισώσεων για λ = θα έχουμε 5x+ 5x = 0 x = x x= x, x x x 0 + = Άρα θα έχουμε
9. Ορισμοί Σελίδα από 58 4 5 f = = = ( ) f ( x) = ( ) x, x= 0.5 x - -0.5 0.5-0.5 H Lx - Η ιδιότητα αυτή των συγκεκριμένων διανυσμάτων x της γραμμικής απεικόνισης αλλά και των αριθμών λ που περιγράψαμε στο παραπάνω παράδειγμα περιγράφεται από τον παρακάτω ορισμό : 9.. Ορισμός Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Ένα μη μηδενικό διάνυσμα x X ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης εάν υπάρχει αριθμός λ F, τέτοιος ώστε f ( x) = λx Ο αριθμός λ F ονομάζεται ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης. Συνολικά οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ονομάζονται ιδιοποσά ή χαρακτηριστικά μεγέθη της γραμμικής απεικόνισης. Ο χώρος Vλ = { x: x X και f ( x) = λx} ονομάζεται ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Θεώρημα 9.. Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Τότε ο ιδιοχώρος V λ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ αποτελεί υποχώρο του V. Απόδειξη. Έστω uv,. Τότε θα ισχύει f ( u) V λ = λu και f ( v) ιδιοχώρος V λ υποχώρο του V θα πρέπει και το διάνυσμα au να ανήκει στον V λ. Έχουμε όμως = λv. Για να αποτελεί ο + bv όπου ab, ( ) ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( λ ) + ( λ ) = λ( + ) f au bv f au f bv af u bf v a u b v au bv και συνεπώς το διάνυσμα au + bv V λ. Πολλές φορές χρησιμοποιείται και ο όρος V ( λ ) αντί του V λ.
9. Ορισμοί Σελίδα 4 από 58 Όπως θα δείξουμε παρακάτω τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους γραμμικώς ανεξάρτητα. Θεώρημα 9.. Έστω X ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο F ( ή ) και f : X X μια γραμμική απεικόνιση. Αν ( ) λ F ή, =,,..., είναι διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές της f και v, =,,..., είναι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, τότε τα διανύσματα αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Απόδειξη Θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε το παραπάνω θεώρημα με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή θα υποθέσουμε ότι συμβαίνει το αντίθετο, ότι δηλαδή τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα, και θα προσπαθήσουμε να καταλήξουμε σε μια πρόταση που δεν αληθεύει. Έστω λοιπόν ότι τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Τότε θα υπάρχει τουλάχιστον μια σχέση εξάρτησης μεταξύ των διανυσμάτων v, =,,...,. Από τις σχέσεις αυτές επιλέγουμε αυτή με μικρότερο αριθμό διανυσμάτων vk, =,,..., m δηλ. υπάρχουν αριθμοί a F( ή ), =,,..., m τέτοιοι ώστε av k + av k + + a 0 mvk m = Μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι a 0, διαφορετικά θα καταλήγαμε σε μια σχέση εξάρτησης με λιγότερα διανύσματα v k πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση. Επειδή λοιπόν όλοι οι συντελεστές a 0 μπορούμε να λύσουμε την παραπάνω σχέση ως προς το ένα από τα διανύσματα, έστω το a a a m vk = vk + v k + + v km a a a Αν εφαρμόσουμε την γραμμική απεικόνιση f στην παραπάνω σχέση θα πάρουμε a a a m f ( vk ) = f vk f v k f v km a + a + + a a a a m λkv k = λ k v k + λ k v k + + λ k v m km a a a Αν πολλαπλασιάσουμε την προτελευταία ισότητα με λ k και την αφαιρέσουμε από την τελευταία ισότητα θα πάρουμε a 0 ( ) a a m = λk λ ( ) ( ) k v k + λk λ k v k + + λ k λ m k v km a a a Μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε ότι οι συντελεστές a ( λk λ ),,,..., k = m a στην παραπάνω ισότητα είναι διάφοροι του μηδέν επειδή οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους από την υπόθεση. Συνεπώς καταλήξαμε σε μια σχέση εξάρτησης μεταξύ m- διανυσμάτων, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση ότι το μέγιστο πλήθος διανυσμάτων στην σχέση εξάρτησης που επιλέξαμε είναι m. Εφόσον καταλήξαμε σε μια αντίφαση, στηριζόμενοι στο γεγονός ότι τα v k
9. Ορισμοί Σελίδα 5 από 58 διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα, συνεπώς η αρχική μας υπόθεση ήταν λάθος. Άρα τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του παραπάνω θεωρήματος είναι να υποθέσουμε ξανά ότι τα διανύσματα v, =,,..., είναι γραμμικώς εξαρτημένα και συνεπώς υπάρχει μια σχέση εξάρτησης της μορφής : av k + av k + + a 0 mvk m = Από την παραπάνω σχέση πολλαπλασιάζοντας συνεχώς με τον πίνακα θα έχουμε: a v + a v + + a v = 0 aλ v + a λ v + + a λ v = 0 k k m km k k k k m km km λk k λk k mλkm km λk k λk k mλkm km aλkv k + a λk v 0 k + + a mλk v m k = m a v + a v + + a v = 0 a v + a v + + a v = 0 ή ισοδύναμα aλ v + a λ v + + a λ v = 0 m m m k k k k m km km av k 0 λk λ k λ k av 0 m k = λ λ λ 0 m m m k k k av m m km P Όμως από το παράδειγμα.4, στη σελ. του τόμου της Γραμμικής Άλγεβρας έχουμε det P = λ 0 k λ k επειδή οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες κι συνεπώς η j ότι [ ] ( ) k> kj μόνη λύση στο παραπάνω ομογενές σύστημα είναι η μηδενική δηλ. av = 0, v 0 a = 0. k k 9..4 Παράδειγμα Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5 +,6 ) f x x x x x x Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης. Απάντηση Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f x, x = 5x + x,6x x = λ x, x ή ισοδύναμα την σχέση 5 x x = λ 6 x x ( ) ( ) ( ) όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως προς τη συνήθη βάση του (κεφ. 5.., τόμος ος ). Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ + 5 x 0 = 6 λ x + 0 και έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν x x
9. Ορισμοί Σελίδα 6 από 58 5 det λ + = 0 λ + 7λ 8 = 0 ( λ + 8)( λ ) = 0 λ = 8 λ = 6 λ + Συνεπώς οι ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης f είναι λ = 8& λ =. Για λ = 8 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x 6 6 x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 8. Επίσης V 8 = k, k Η γραμμή y = x αποτελείται από σημεία της μορφής ( k, k), το καθένα από τα οποία αποτελεί ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 8, εκτός της περίπτωσης που k = 0, η οποία εξαιρείται. Η γραμμική απεικόνιση f έχει την ιδιότητα να απεικονίζει κάθε στοιχείο της γραμμής y = x στον εαυτό της. Για λ = το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα 6 x 0 x x = x x x, x 6 x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ =. Επίσης V = k, k Όμοια με παραπάνω η γραμμή y = x αποτελείται από σημεία της μορφής ( k,k ), το καθένα από τα οποία αποτελεί ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ =, εκτός της περίπτωσης που k = 0, η οποία εξαιρείται. Η γραμμική απεικόνιση f έχει την ιδιότητα να απεικονίζει κάθε στοιχείο της γραμμής y = x στον εαυτό της. Παρατήρηση. Τα ιδιοδιανύσματα γραμμικών μετασχηματισμών του επιπέδου αντιστοιχούν σε αναλλοίωτες ευθείες του μετασχηματισμού πρδ. α) το προηγούμενο παράδειγμα, β) ο άξονας μιας ανάκλασης δίνει ένα ιδιοδιάνυσμα (αποδείξτε το). 9..5 Παράδειγμα Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση f ( x, x) = ( x, x) Η παραπάνω γραμμική απεικόνιση, απεικονίζει το διάνυσμα (, ) x x στο διάνυσμα που προκύπτει έπειτα από στροφή 90 0. Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης. Απάντηση Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f ( x, x) = ( x, x) = λ ( x, x) ή ισοδύναμα την σχέση
9. Ορισμοί Σελίδα 7 από 58 0 x x = λ 0 x x x όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως προς τη συνήθη βάση του ( ). Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ x 0 = λ x 0 η οποία δεν έχει λύση στο πρδ. det λ = 0 λ + = 0 λ M δεν έχει ιδιοτιμές, αλλά ως στοιχείο Συνεπώς ο πίνακας ως στοιχείο του ( ) του M ( ) έχει ιδιοτιμές τις, ιδιοδιανύσματα τα (,) λ = (( λ )( λ ) λ και (,) x = + ) και αντίστοιχα. Συνεπώς η γραμμική απεικόνιση f :, f( x, y) = ( y, x) δεν έχει ιδιοτιμές ενώ η γραμμική απεικόνιση f :, f( x, y) = ( y, x) έχει ιδιοτιμές. Σημαντικό ρόλο λοιπόν παίζει αν ο διανυσματικός χώρος της γραμμικής απεικόνισης είναι ορισμένος πάνω στο ή πάνω στο. Ας υποθέσουμε ότι ο διανυσματικός χώρος Χ πάνω στο F ( ή ) πεπερασμένης διάστασης με βάση την B = { e e e }. Έστω επίσης :,,..., είναι f X X μια γραμμική απεικόνιση και = ( a j ) ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης για την βάση αυτή. Τότε θα έχουμε : 9..6 Πρόταση Ο αριθμός λ F ( ή ) αποτελεί ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης f : X X αν και μόνο αν det[ λi ] = 0 ενώ τα ιδιοδιανύσματα x = xe + xe + + xe της γραμμικής απεικόνισης f που T αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ είναι τα διανύσματα y = ( x x x ) = [ x] ικανοποιούν την εξίσωση : Απόδειξη Από την υπόθεση έχουμε ότι ( a j ) προς την βάση { } e, e,..., e δηλ. ( ) ( ) ( ) ( λi ) y = 0 που = είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης ως f e = ae+ ae + + a e f e = a e + a e + + a e f e = a e + a e + + a e B
9. Ορισμοί Σελίδα 8 από 58 Ο αριθμός F ( ή ) λ αποτελεί ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης f : X X σύμφωνα με τον Ορισμό 9.. εάν και μόνο εάν f( x) = λx f ( xe + xe + + xe ) = λ( xe + xe + + xe ) xf ( e) + xf ( e) + + xf ( e) = λ ( xe + xe + + xe ) x ( ae + ae + + a e) + x ( ae + ae + + ae) + + + x( a e+ ae + + ae) = λ ( xe + xe + + xe) ( ax + ax + + a x) e + ( ax + ax + + ax) e + + + ( a x+ ax+ + ax) e = ( λx) e+ ( λx) e+ + ( λx) e a a a x λx x a a a x λx x = = λ a a a x λx x y = λy ( λi ) y = 0 Η παραπάνω εξίσωση έχει μη μηδενικές λύσεις εάν και μόνο εάν [ I ] που αποδεικνύει την πρόταση. y y det λ = 0 Λόγω της σύνδεσης αυτής μεταξύ : α) των ιδιοποσών (ιδιοτιμών / ιδιοδιανυσμάτων) μιας γραμμικής απεικόνισης και β) των χαρακτηριστικών στοιχείων του πίνακα της det λi / γραμμικής απεικόνισης (τιμές που μηδενίζουν το πολυώνυμο [ ] διανύσματα που αποτελούν λύση του ομογενούς συστήματος ( I ) x 0 δίνουμε τον παρακάτω ορισμό. 9..7 Ορισμός Ένα μη μηδενικό διάνυσμα ( ) τετράγωνου πίνακα M[ ]( M[ ]) λ = ) x ονομάζεται δεξιό ιδιοδιάνυσμα ενός εάν υπάρχει αριθμός ( ) λ, τέτοιος ώστε x = λx Ο αριθμός λ ( ) ονομάζεται ιδιοτιμή του πίνακα Α. Συνολικά οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ονομάζονται ιδιοποσά ή χαρακτηριστικά μεγέθη του πίνακα. Στην θεωρία που αναφέρεται παρακάτω, όταν αναφερόμαστε στα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α, θα εννοούμε τα δεξιά ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. 9..8 Άσκηση αυτοαξιολόγησης Προσδιορίστε ποιο από τα διανύσματα x = ; x = 0 ; x = ; x4 = 0 αποτελεί ιδιοδιάνυσμα του πίνακα
9. Ορισμοί Σελίδα 9 από 58 0 0 = M 0 και σε ποια ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα αυτό. [ ] Εύλογα ερωτήματα που γεννιούνται από τον ορισμό 9..7, είναι τα εξής :. υπάρχουν ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές για κάθε πίνακα Α ;. ποιο είναι το πλήθος των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετράγωνου πίνακα Α ;. με ποιον τρόπο υπολογίζω τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός τετράγωνου πίνακα Α ; Θα ξεκινήσουμε με την απάντηση στο τρίτο ερώτημα, δηλαδή τον τρόπο εύρεσης των x είναι ιδιοδιανυσμάτων/ιδιοτιμών του πίνακα Α. Από τον ορισμό, αν ( ) ιδιοδιάνυσμα του πίνακα M[ ] ( M[ ]), τότε θα υπάρχει ( ) ώστε : λ τέτοιο ( λ ) 0 x = λx I x = B (9..) Στην περίπτωση που ο πίνακας B = λi έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός τότε η μόνη λύση που έχει το σύστημα (9..) είναι η μηδενική ( x = 0, ). Σε περίπτωση που η ορίζουσα του πίνακα B = λi είναι μηδέν, τότε υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις x του συστήματος (9..). Συνεπώς το ιδιοδιάνυσμα x υπάρχει στην περίπτωση που m λ = det λi = 0 (9..) ( ) ( ) Σημείωση. Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν στην θέση του πίνακα λi παίρναμε τον πίνακα λi (γιατί;). 9..9 Ορισμός Η εξίσωση (9..) ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα M [ ], ενώ το πολυώνυμο p(λ), ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα M [ ]. Το σύνολο των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, οι οποίες και αποτελούν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α, ονομάζεται φάσμα και συμβολίζεται με σ ( ). Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας το πλήθος των ριζών (και άρα των ιδιοτιμών λ ) του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι, όση δηλαδή και η διάσταση του πίνακα Α. m ( ) ( ) ( ) ( ) k λ = λ λ λ λ λ λk + + + = k
9. Ορισμοί Σελίδα 0 από 58 Σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας κάθε μη-σταθερό πολυώνυμο f x x έχει τουλάχιστο μια ρίζα στο σώμα και συνεπώς ένας πίνακας ( ) [ ] M [ ] έχει ιδιοτιμές, σε αντίθεση με έναν πίνακα M [ ] και να μην διαθέτει ιδιοτιμές (δες πρδ. 9..5). ο οποίος μπορεί 9..0 Ορισμός Ο αριθμός των φορών που εμφανίζεται μια ιδιοτιμή στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα M [ ] ονομάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής π.χ. αν p ( λ) = ( λ λ) ( λ λ) ( λ λ ) k k και λ λ j τότε η αλγεβρική πολλαπλότητα της λ είναι. 9.. Παράδειγμα 4 5 Δίνεται ο πίνακας = M [ ]. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α 0 0 καθώς και η αλγεβρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής. Απάντηση Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α : 0 0 4 5 λ 4 5 m ( λ) = det[ λi ] = det λ 0 0 = λ+ = 0 0 0 0 0 0 λ + λ 4 5 = ( λ+ ) = ( λ+ ) ( λ 4)( λ+ ) ( ) 5 = ( λ+ ) ( λ ) λ + Από την μορφή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου εύκολα συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα M [ ] είναι οι - και με αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Το φάσμα του πίνακα Α είναι ( ) {,, } σ =. Για να υπολογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα M[ ]( M[ ]) για κάθε ιδιοτιμή λ ( ) του πίνακα M[ ]( M[ ]) ομογενές σύστημα ( λι ) x = 0., θα πρέπει να λύσουμε το 9.. Ορισμός Το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων αποτελούν έναν διανυσματικό υπόχωρο του ( ) V λ που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή ( ) λ,, ο οποίος και ονομάζεται ιδιοχώρος της ιδιοτιμής λ ( ). Η διάσταση του ιδιοχώρου V λ ονομάζεται
9. Ορισμοί Σελίδα από 58 γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής ( ) με V = rak( λ I ) dm λ λ και αποδεικνύεται ότι είναι ίση. Η ταύτιση της γεωμετρικής και αλγεβρικής πολλαπλότητας για όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα αποτελεί όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 0 έναν από τους δύο κύριους παράγοντες για την δυνατότητα της διαγωνιοποίησης ενός πίνακα κάτω από κατάλληλους μετασχηματισμούς ομοιότητας. 9.. Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε τον πίνακα του παραδείγματος 9... Να υπολογιστούν οι ιδιόχωροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές - και, καθώς και η γεωμετρική πολλαπλότητα που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιμή. Απάντηση Γνωρίζουμε από το παράδειγμα 9.. ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι : ( ) = ( + ) ( ) m λ λ λ Για την ιδιοτιμή - θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση : 4 5 x x 4x 5x + x = x 5x 5x + x = 0 x = x x = ( ) x x x + x = x x x x 0 x 0 0 0 x x + = = x x = x x Άρα ο ιδιοχώρος V ορίζεται ως : x V = x = x, x = x 0 0 και έχει διάσταση, δηλ. dmv =. Με το σύμβολο e ορίζουμε τον διανυσματικό χώρο που παράγεται από το διάνυσμα e. Συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής - είναι και είναι διαφορετική από την αλγεβρική της πολλαπλότητα που είναι. Όμοια για την ιδιοτιμή θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση : 4 5 x x 4x 5x + x = x x 5x = 0 5 x = x x = x x x + x = x x 5x = 0 0 0 x x x x x 0 x 0 = = = x Άρα ο ιδιοχώρος V ορίζεται ως : x 5 x 5 5 V = x = x, x = 0 0 0 Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 7.5 ότι η διάσταση του χώρου λύσεων του ομογενούς συστήματος ( λ I ) x = 0 είναι ίση με rak ( λ I ).
9. Ορισμοί Σελίδα από 58 και έχει διάσταση, δηλ. dmv =. Συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι, όσο δηλαδή και η αλγεβρική της πολλαπλότητα. Όταν μας ζητείται ο υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα M[ ] ( M[ ]), και όχι οι ιδιοχώροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές αυτές, αρκεί να επιλέξουμε μια βάση από κάθε υπόχωρο V λ. Για ευκολία στις πράξεις στην θεωρία που θα ακολουθήσει, συνήθως διαλέγουμε ιδιοδιανύσματα με ακέραιες τιμές όπου αυτό είναι δυνατό. Στο παραπάνω παράδειγμα θα μπορούσαμε να ορίσουμε ότι 5 5 ο ιδιοχώρος V παράγεται από το διάνυσμα =. 0 0 Θεώρημα 9..4 Αν συμβολίσουμε με ισχύει η σχέση dmv. Απόδειξη Από τον ορισμό της ιδιοτιμής ( ) την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής ( ) λ λ τότε λ θα υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα x V λ και συνεπώς V λ. Άρα dmv λ. Ας υποθέσουμε ότι dmv = λ m και έστω μια βάση του V λ είναι η εξής { e, e,..., e m}. Συνεπώς θα έχουμε f ( e) = λe, =,,..., m και άρα ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f ( x) x = ως προς την βάση { e, e,..., e, e,..., e } m m+ θα είναι ο εξής : λ I B m D = 0 C όπου B Mm, m[ ], C M m, m[ ]. Όπως θα δούμε, στην άσκηση από τις ασκήσεις του Κεφαλαίου 9., οι πίνακες D, ως όμοιοι θα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο m λ = det λi = det λi D = λ λ m det λi C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και συνεπώς θα πρέπει η αλγεβρική πολλαπλότητα του λ να είναι μεγαλύτερη από το m ή ισοδύναμα m= dmv. λ Μεθοδολογία υπολογισμού ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα M M. [ ]( [ ]) Βήμα. Εύρεση ιδιοτιμών του πίνακα M[ ]( M[ ]). α) Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου m λ = det λi = λ + a λ + + a. ( ) [ ] β) Υπολογισμός των ριζών { λ, λ,..., λ }, λ λ, λ ( ) εξίσωσης m ( λ ) = 0. k j 0 της χαρακτηριστικής
9. Ορισμοί Σελίδα από 58 Βήμα. Εύρεση των ιδιοδιανυσμάτων ( ) x του πίνακα Α. Επίλυση της εξίσωσης x = λx για =,,...,. 9..5 Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας 4 = 4 4 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α. 0 0 4 λ 4 m ( λ) = det( λi ) = λ 0 0 4 = λ 4 = 0 0 4 λ 4 λ 4 = ( λ 4) ( ) + ( ) = λ 4 λ 4 λ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) = λ 4 λ 4 4 + λ 4 4 4+ λ 4 = ( ) ( ) λ λ λ λ λ = + 6 = 8 Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0. ( λ ) ( λ 8) = 0 λ =, λ = 8 Επομένως λ = και λ = 8 είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνουμε για κάθε ένα από τα λ, το ομογενές σύστημα ( λι ) x= 0. Για λ =, 4 x x 4x+ x + x = x x+ x + x = 0 4 x = x x+ 4x + x = x x+ x + x = 0 x+ x + x = 0 4 x x x x 4x x x x x 0 + + = + + = x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω x 0 0 V = x = x 0 + x, x, x = 0, x x Παρατηρούμε ότι dmv = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι.
9. Ορισμοί Σελίδα 4 από 58 Για λ = 8, 4 x x 4x+ x + x = 8x 4x+ x + x = 0 4 x = 8 x x+ 4x + x = 8x x 4x + x = 0 4 x x x x 4x 8x x x 4x 0 + + = + = x x x + x x = x + x x = = x x + x 4x + x = 0 x + x = 0 x = x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 8 είναι ο παρακάτω x V8 = x = x, x = x Παρατηρούμε ότι dmv 8 = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 8 είναι. Συνεπώς και για τις δύο ιδιοτιμές ισχύει ότι η αλγεβρική τους πολλαπλότητα ταυτίζεται με την γεωμετρική πολλαπλότητα. Σε αντίθετη περίπτωση το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α θα ήταν μικρότερο από την διάσταση του πίνακα Α. Παρακάτω χρησιμοποιούμε το υπολογιστικό σύστημα άλγεβρας Mathematca για να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. Ορισμός του πίνακα Α I[]:= a= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Out[]= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του πίνακα. I[]:= p = Det@s IdettyMatrx@D ad Out[]= + 6 s s + s Επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης. I[]:= Solve@p 0, sd Out[]= 88s <, 8s <, 8s 8<< Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α θα μπορούσε να υπολογιστεί και με την συνάρτηση CharacterstcPolyomal. I[4]:= CharacterstcPolyomal@a, sd Out[4]= 6 s + s s
9. Ορισμοί Σελίδα 5 από 58 Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α θα μπορούσαν να υπολογιστούν επίσης με την συνάρτηση Egevalues. I[5]:= Egevalues@aD Out[5]= 88,, < Υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή. I[6]:= NullSpace@a IdettyMatrx@DD Out[6]= 88, 0, <, 8,, 0<< Υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 8. I[7]:= NullSpace@a 8 IdettyMatrx@DD Out[7]= 88,, << Τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α θα μπορούσαν να υπολογισθούν με την συνάρτηση Egevectors. I[8]:= Egevectors@aD Out[8]= 88,, <, 8, 0, <, 8,, 0<< Παρατηρούμε ότι το πρώτο ιδιοδιάνυσμα αντιστοιχεί στην πρώτη ιδιοτιμή που μας έδωσε η συνάρτηση Egevalues, ενώ τα υπόλοιπα δύο αντιστοιχούν στην δεύτερητρίτη ιδιοτιμή που επέστρεψε η συνάρτηση Egevalues. Θα μπορούσαμε επίσης να πάρουμε και τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα μας με την συνάρτηση Egesystem που μας δίνει τα ιδιοποσά του συστήματος. I[9]:= Egesystem@aD Out[9]= 888,, <, 88,, <, 8, 0, <, 8,, 0<<< Η παραπάνω συνάρτηση επιστρέφει μια λίστα με στοιχεία λίστες. Η πρώτη περιέχει τις ιδιοτιμές του πίνακα Α, ενώ η δεύτερη τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές της πρώτης λίστας. 9..6 Παράδειγμα Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 5 = M [ ] Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α.
9. Ορισμοί Σελίδα 6 από 58 0 5 λ 5 m ( λ) = det [ λi ] = det λ = = 0 λ + = λ λ+ + 5= λ + ( )( ) Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0 4. λ 0 λ, λ + = = = όπου ο φανταστικός αριθμός (δες κεφάλαιο, της Γραμμικής Άλγεβρας του Συνοδευτικού Έντυπου Υλικού). Επομένως λ = και λ = είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα η κάθε μια. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνούμε για κάθε ένα από τα λ, το ομογενές σύστημα ( λι ) x= 0. Για λ =, ( ) 5 x x x+ 5x = x x+ 5x = 0 = x = ( + ) x x x x x = x x ( + ) x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω ( + ) ( + ) V = x, x = Για λ =, ( ) 5 x x x+ 5x = x + x+ 5x = 0 = x = ( ) x x x x x = x x ( ) x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή - είναι ο παρακάτω ( ) ( ) V = x, x = 9..7 Παράδειγμα Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα = M [ ] Απάντηση Βήμα α. Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α. 4 Σε περίπτωση που μας ενδιέφεραν οι ιδιοτιμές στο τότε ο πίνακας μας δεν έχει ιδιοτιμές λόγω του ότι η εξίσωση m ( λ ) = 0 δεν έχει λύσεις στο.
9. Ορισμοί Σελίδα 7 από 58 0 λ m ( λ) = det [ λi ] = det λ = = 0 λ = + = ( λ )( λ ) ( λ ) Βήμα β. Υπολογίζουμε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης m ( λ ) = 0. ( λ ) = 0 λ =, λ = Επομένως λ = είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α με αλγεβρική πολλαπλότητα. Βήμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνουμε για λ=, το ομογενές σύστημα λι x=. ( ) 0 x x x x = x x x = 0 = x = x x x x+ x = x x+ x = 0 x x επομένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι ο παρακάτω V x, x = = Παρατηρούμε ότι dmv = και συνεπώς η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι. Η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής που είναι, δεν ταυτίζεται με την αλγεβρική της πολλαπλότητα που είναι. 9..8 Άσκηση αυτοαξιολόγησης Προσπαθήστε να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : 0 0 = 0 ; B= 0 0 ; C = 0 0 Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα των ιδιοτιμών των πινάκων. Χρησιμοποιήστε το Mathematca για να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα σας. Ασκήσεις 9... Έστω η γραμμική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5, + 5 ) f x x x x x x Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης.. Προσδιορίστε ποιο από τα διανύσματα 0 x = ; x = 0 ; x = 0 ; x 4 = 0 0 αποτελεί ιδιοδιάνυσμα του πίνακα
9. Ορισμοί Σελίδα 8 από 58 4 4 = 0 M [ ] 0 και σε ποια ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα αυτό.. Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : = M[ ] ; = M[ ] 6 8 = M[ ] ; 4 = M[ ] Επίσης να δώσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής. 4. Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων : 4 B = 0 0 0 M[ ] ; B = M[ ] 0 6 B = 0 M[ ] ; B4 = 0 5 6 M[ ] 0 0 0 Επίσης να δώσετε την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής.
9. Ορισμοί Σελίδα 9 από 58 Ενδεικτικές λύσεις των ασκήσεων Απάντηση. Προσπαθούμε να λύσουμε την σχέση f x, x = 5 x x, x + 5 x = λ x, x ή ισοδύναμα την σχέση 5 x x = λ 5 x x ( ) ( ) ( ) x όπου Α είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως λ 5 x 0 = λ 5 x 0 και έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν λ 5 det = 0 λ 0λ + 4 = 0 ( λ 4)( λ 6) = 0 λ = 4 λ = 6 λ 5 Συνεπώς οι ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης f είναι λ = 4& λ = 6. Για λ = 4 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 4. Επίσης V4 = k, k Για λ = 6 το παραπάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα x 0 x x = x x x, x x = = = 0 x x Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 6. Επίσης V6 = k, k. Τα x, x 4 είναι ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ=.. λ = 5 ; V5 = = λ = 0 ; V0 = λ = 5, λ = 0 έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα x
9. Ορισμοί Σελίδα 0 από 58 λ = ; V = = λ = ; V = λ =, λ = έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα = λ = ; V = Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα. λ = 4 + ; V = 6 8 4 = + λ = 4 ; V = λ = 4+, λ = 4 έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. Τα 4. λ = ; V = 0 B = 0 0 0 5 λ = 0 ; V0 = 4 Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα, ενώ το λ = 0 έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα.
9. Ορισμοί Σελίδα από 58 5 + λ ; V = + + = + 5 4 B = λ ; V = = λ = ; V = 0 Τα λ = +, λ =, λ = έχουν αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα. 0 B = 0 λ = ; V = 0 0 0 0 Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα. 6 λ = 4 ; V 4 = 6 B4 = 0 5 6 5 0 λ = ; V = Το λ = 4 έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα, ενώ το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωμετρική πολλαπλότητα.
9. Ιδιότητες Σελίδα από 58 9. Ιδιότητες Στην ενότητα αυτή θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε μερικές από τις σημαντικές ιδιότητες των ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων τετράγωνων πινάκων. 9.. Θεώρημα Έστω ο πίνακας M [ ] με ιδιοτιμή ( ) λ και το ιδιοδιάνυσμα x ( ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Τότε : k (α) Ο πίνακας θα έχει ως ιδιοτιμή το λ k ( ), k =,,... και ιδιοδιάνυσμα το x. (β) Ο πίνακας Α δεν έχει πλήρη τάξη, πρδ. rak ιδιοτιμή του πίνακα Α., αν και μόνο αν το 0 αποτελεί (γ) Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος (συνεπώς λ 0 ), ο πίνακας x. ιδιοτιμή το ( ) (δ) Ο πίνακας λ και ιδιοδιάνυσμα το ( ) T (ανάστροφος) θα έχει ως ιδιοτιμή το ( ) (ε) Έστω ο πίνακας [ ] B M ( ) με ιδιοτιμή ( ) λ. θα έχει ως μ και το ίδιο ιδιοδιάνυσμα x με τον πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή μ. Τότε ο πίνακας + B θα έχει ως ιδιοτιμή την λ μ ( ) (στ) Έστω ο πίνακας B M [ ] με ιδιοτιμή ( ) ( ) x. + και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ( ) μ και το ίδιο ιδιοδιάνυσμα x με τον πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή μ. Τότε ο πίνακας B θα έχει ως ιδιοτιμή την ( ) x. λμ και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ( ) Απόδειξη (α) Θα δώσουμε την απόδειξη του (α) με επαγωγή. Έστω ο πίνακας M [ ] ( ) x, τότε : έχει ιδιοτιμή την ( ) λ και ιδιοδιάνυσμα το x = λx (9..) Πρώτα αποδεικνύουμε ότι το (α) ισχύει για k=, θα έχουμε Έστω ότι το (α) ισχύει για k= ( ) ( 9.. ) ( ) ( ) ( 9.. ) ( ) λ λ λ λ λ x = x = x = x = x = x Θα δείξουμε ότι το (α) ισχύει για k=+ x λ = x (9..) ( ) ( 9.. ) ( ) ( ) ( 9.. ) ( ) + x= x = λ x = λ x = λ λx = λ + x (β) ( ) Αν ο πίνακας Α δεν έχει πλήρη τάξη, τότε έχει έναν μη μηδενικό δεξιά μηδενικό χώρο, δηλαδή υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα x τέτοιο ώστε x = 0 το οποίο μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως x = 0x, και συνεπώς το 0 αποτελεί ιδιοτιμή του πίνακα Α. ( ) Αν το 0 αποτελεί ιδιοτιμή του πίνακα Α, θα έχουμε ότι
9. Ιδιότητες Σελίδα από 58 [ I ] [ ] ( ) [ ] [ ] det 0 = det = det = 0 det = 0 και συνεπώς ο πίνακας Α έχει τάξη μικρότερη από. (γ) Από την σχέση (9..) έχουμε ότι x λx x λx x λx = = = (9..) Από το 9..β με αντιθετοαντιστροφή 5 έχουμε ότι ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν έχει μη μηδενικές ιδιοτιμές και συνεπώς μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την σχέση (9..) με λ και να πάρουμε x= λ x το οποίο αποδεικνύει το 9..γ. T (δ) Οι πίνακες, έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο όπως φαίνεται παρακάτω και συνεπώς θα έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές det[ λi ] det ( ) T det T T det T = λi = λi = λi (ε) Εύκολα φαίνεται από την παρακάτω σχέση + B x= x+ Bx= λx+ μx= λ+ μ x ( ) ( ) (στ) Αποδείξτε το με τον ίδιο τρόπο που αποδείχθηκε το (ε). Μπορούμε να αποδείξουμε από τον συνδυασμό των σχέσεων (α), (γ) στο θεώρημα 9.. ότι η σχέση (α) ισχύει για κάθε ακέραιο αριθμό και όχι μόνο για θετικούς ακέραιους αριθμούς. 9.. Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας = M Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι m λ = λ λ 5 [ ] ( ) ( ) και συνεπώς έχει ως ιδιοτιμές τις {0,5}. Επειδή μια από τις ιδιοτιμές είναι το 0, συμπεραίνουμε βάση του Θεωρήματος 9..β, ότι ο πίνακας δεν έχει πλήρη τάξη. Θεωρείστε τον πίνακα 0 0 = = 5 5 Ο παραπάνω πίνακας έχει ως χαρακτηριστικό πολυώνυμο το m ( λ) = λ( λ 5) και συνεπώς έχει (Θεώρημα 9..α) ως ιδιοτιμές τις { 0 0,5 5} Έστω ο πίνακας + = + = 8 8 = =. 5 Αν η πρόταση p συνεπάγεται την πρόταση q, τότε η αντίθετη της πρότασης q θα συνεπάγεται την αντίθετη της πρότασης p.