Πολυκριτηριακή Ανάλυση και Λήψη Αποφάσεων Δ. Καλιαμπάκος -Δ. Δαμίγος μγ Πολυκριτηριακή ανάλυση «Ο κύριος στόχος δεν είναι να ανακαλύψουμε μια λύση αλλά να δημιουργήσουμε ή να κατασκευάσουμε κάτι το οποίο να θεωρείται ικανό να βοηθήσει κάποιον ενδιαφερόμενο να λάβει μέρος στη διαδικασία λήψης της απόφασης, άλλοτεγιαναδιαμορφώσεικαιάλλοτεγιανα μεταβάλλει τις προτιμήσεις του ή να αποφασίσει σε συμφωνία με τους τελικούς του στόχους» (Roy, 1994) Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Διευκολύνει την αναπαράσταση πολυδιάστατων προβλημάτων Είναι ιδιαίτερα ευέλικτη και επιτρέπει τη διαφορετική επίδραση των παραγόντων στο τελικό αποτέλεσμα Απλοποιεί τη διαδικασία όταν είναι αναγκαία η αξιολόγηση μη μετρήσιμων μεγεθών (π.χ. περιβαλλοντικών ή κοινωνικών επιπτώσεων) Οι συντελεστές βαρύτητας συχνά αποφασίζονται από ένα άτομο ή ένα ενδιαφερόμενο φορέα Συχνά η βαθμολόγηση των παραμέτρων και των συντελεστών βαρύτητας καθίσταται πολύπλοκη Αδυνατίζει την επίδραση του παράγοντα «χρόνου» Δεν οδηγεί σε βέλτιστες λύσεις, αλλά σε «συμβιβαστικές» 1
Πολυκριτηριακές μέθοδοι Απλές μέθοδοι διακριτής ανάλυσης, π.χ. βαρύνουσα άθροιση (Weighted summation) Διαδικασία Αναλυτικής Ιεράρχησης (Αnalytic Hierarchy Process AHP) Πολυπαραμετρική θεωρίας χρησιμότητας (Multiattribute utility theory - MAUT), κ.ά. Βαρύνουσα Άθροιση Έστω ότι έχουμε να επιλέξουμε μεταξύ τριών εναλλακτικών σχεδίων αποκατάστασης ενός λατομείου A, B, και Γ. Tο σχέδιο A προτείνει την εγκατάσταση φυσικής αναψυχής, το σχέδιο B την εγκατάσταση αθλητικών χρήσεων και το Γ εγκατάσταση βιομηχανικών χρήσεων. Για τα σχέδια B και Γ καταβάλλεται αντίτιμο για τη χρήση του χώρου από τους ενδιαφερόμενους. Oι εμπλεκόμενοι φορείς αποφασίζουν να αξιολογήσουν τα τρία αυτά σχέδια με βάση τρία κριτήρια: Οικονομικό (O), έστω σε ευρώ ως Καθαρή Παρούσα Αξία της επένδυσης Περιβαλλοντικό (Π), έστω ότι εκφράζεται σε μια κλίμακα από -5 έως 5 (μικρότερη τιμή σημαίνει δυσμενέστερη περιβαλλοντική επίπτωση) Κοινωνική αποδοχή (K), σε μια αυθαίρετη κλίμακα 0 έως 100 (0 αδιάφορο και 100 πολύ επιθυμητό) 2
Για την επιλογή της πλέον ελκυστικής λύσης θα ακολουθηθεί μια από τις απλούστερες διακριτές μεθόδους πολυκριτηριακής ανάλυσης: η βαρύνουσα άθροιση (weighted summation). H μέθοδος χρησιμοποιεί μια γραμμική εξίσωση εκτίμησης (value function) V i για κάθε εναλλακτικό σχέδιο i. Τα σχέδια αξιολογήθηκαν, ανά κριτήριο, σύμφωνα με τα δεδομένα του ακόλουθου πίνακα: Πίνακας δεδομένων κάθε εναλλακτικού σχεδίου, ανά κριτήριο Π O K A 5-100.000 100 B 3 200.000 60 Γ -2 500.000 20 Oι αναλύσεις αυτής της κατηγορίας χρησιμοποιούν δύο ειδών δεδομένα: (α) μία μήτρα αποτίμησης (καλούμενη πολλές φορές και μήτρα επιπτώσεων) και (β) μία λίστα συντελεστών βαρύτητας, οι οποίοι επιδρούν στην βαθμολογία κάθε κριτηρίου που χρησιμοποιείται στη μήτρα. H μήτρα επιπτώσεων που συμβολίζεται ως P, διαθέτει p ij στοιχεία, τα οποία αναπαριστούν μία μέτρηση για την ποιότητα του εναλλακτικού i (i = 1,...,I) για το κριτήριο j (j = 1,...,J), π.χ. το αποτέλεσμα του εναλλακτικού σχεδίου i στο κριτήριο (παράγοντα) αξιολόγησης j: P = p 11... p 1I.. p J1... p JI 3
Στις παραδοσιακές μεθόδους εκτίμησης τα στοιχεία p ij μετρούνται ποσοτικά. Στην περίπτωση κατά την οποία υπάρχει ποιοτική εκτίμηση δεδομένων, μπορούν να μετρηθούν σε κλίμακα ονομαστική (nominal) ή αριθμητική (ordinal). H λίστα των συντελεστών βαρύτητας γ ij παρέχουν πληροφορίες για τη σχετική σημασία που δίνεται στα αποτελέσματα των επιλεχθέντων κριτηρίων J και συμβολίζεται με γ. γ = (γ 1,...γ J ) Για τον προσδιορισμό των συντελεστών βαρύτητας υπάρχουν αρκετές μέθοδοι (διελκυστίνδας - trade-off, κατάταξης - rating, βαθμονόμησης - ranking, σύγκριση κατά ζεύγη - paired comparisons, κ.λπ.). Bήμα 1 ο : Kατασκευή της μήτρας επιπτώσεων Πίνακας Μήτρας Επιπτώσεων O Π K P = A -100.000 5 100 B 200.000 3 60 Γ 500.000-2 20 Bήμα 2 ο : Aναγωγή των μεγεθών σε κοινή βάση (standardisation) Επειδή οι τιμές που δίνονται σε κάθε εναλλακτικό σχέδιο για κάθε κριτήριο εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες και σε άλλες τάξεις μεγέθους είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί αναγωγή αυτών των δεδομένων σε μια κοινή βάση. Για τον σκοπό αυτό υπάρχουν διάφορες μέθοδοι. Στο παράδειγμα χρησιμοποιείται η καλούμενη ως μέθοδος κατάταξης (Rating Method). 4
Bήμα 2 ο : Aναγωγή των μεγεθών σε κοινή βάση (standardisation) Στην μέθοδο αυτή η αναγωγή της βαθμονόμησης των παραγόντων σε ένα κοινό επίπεδο επιτυγχάνεται με έναν από τους ακόλουθους τύπους: Κανονικοποιημένη Μήτρα Επιπτώσεων Aρχικά δεδομένα Aναγωγή 1 Aναγωγή 2 O Π K O Π K O Π K E1-100.000 5 100-0,2 1 1 0 1 1 E2 200.000 3 60 0,4 0,6 0,6 0,5 0,7 0,5 E3 500.000-2 20 1-0,4 0,2 1 0 0 Όπως φαίνεται η πρώτη μέθοδος αναγωγής δίνει τιμές μεταξύ -1 και +1, ενώ η δεύτερη δίνει τιμές μεταξύ 0 και +1. όπου: τα max x j και min x j αντιπροσωπεύουν την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή που παρατηρείται για τον παράγοντα j μεταξύ όλων των εναλλακτικών. Bήμα 3 ο : Προσδιορισμός των συντελεστών βαρύτητας Για τον προσδιορισμό των συντελεστών βαρύτητας υπάρχουν, επίσης, αρκετές μεθοδολογίες. Στο παράδειγμα θα χρησιμοποιηθεί η σύγκριση κατά ζεύγη (paired comparisons), αναφέροντας τις βασικές αρχές λειτουργίας της. Για όλα τα ζεύγη κριτηρίων j, j*, όπου το κριτήριο j θεωρείται πιο σημαντικό από το j*, ζητείται να προσδιοριστεί ο βαθμός διαφορικής σημασίας του ενός ως προς το άλλο (που συμβολίζεται ως b ij* ) σε μια κλίμακα μεταξύ 1 και 9, όπως δίνεται στον πίνακα της ακόλουθης διαφάνειας. Ένταση της σχετικής σημασίας 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8 Oρισμός Kλίμακα σχετικής προτίμησης Ίδιας σημασίας Aσθενής προτίμηση του ενός ως προς το άλλο Aισθητή ή δυνατή σημασία Πολύ δυνατή σημασία Aπόλυτη σημασία Eνδιάμεσες τιμές μεταξύ των δύο κρίσεων Eπεξήγηση Tα δύο σχέδια συνεισφέρουν ισότιμα στο κριτήριο H εμπειρία και η κρίση δίνουν ελαφρά προτίμηση στο ένα σχέδιο H εμπειρία και η κρίση δίνουν ισχυρή προτίμηση στο ένα σχέδιο Tο ένα σχέδιο είναι ισχυρά επιθυμητό και η διαφορά του αποδεικνύεται στην πράξη H προφανής προτίμηση του ενός σχεδίου επιβεβαιώνεται σαφώς Όταν απαιτείται συμβιβασμός Aντίστροφοι θετικοί αριθμοί Aντοσχέδιοiέχειέναναπότουςπαραπάνω αριθμούς όταν συγκρίνεται με το σχέδιο j, τότε το σχέδιο j έχει τον αντίστροφο αριθμό όταν συγκρίνεται με το i. 5
Aκολούθως κατασκευάζεται μία μήτρα B όπου το στοιχείο b ij* υποδηλώνει το αποτέλεσμα της σύγκρισης μεταξύ των κριτηρίων i και j*. Iσχύει επίσης ότι b ij* =1/b i*j και ότι b ij =1 για i=j. Για τον υπολογισμό του συντελεστών βαρύτητας γ j χρησιμοποιείται ο γεωμετρικός μέσος για κάθε γραμμή της μήτρας B: Στοπαράδειγμαπουδίνεται,έστωότιτοπεριβαλλοντικόκριτήριο (γ 2 ) θεωρείται πολύ υψηλής σημασίας σε σχέση με το οικονομικό (γ 1 ), και ότι το οικονομικό έχει μικρότερη σημασία από το κοινωνικό (γ 3 ). Eπίσης συμφωνείται ότι το περιβάλλον έχει μικρό προβάδισμα έναντι του κοινωνικού κριτηρίου. γ j = Eπομένως η μήτρα θα είναι ως εξής: Μήτρα Προτίμησης Κριτηρίων O Π K O 1 1/7 1/4 Π 7 1 3 K 4 1/3 1 Έτσι, οι συντελεστών βαρύτητας υπολογίζονται ίσοι προς: γ 1 = (1*1/7*1/4) 1/3 = 0,33 γ 2 = (7*1*3) 1/3 =2,76 γ 3 = (4*1/3*1) 1/3 = 1,1 6
Bήμα 4 ο :Προσδιορισμόςτηςτιμήςτηςεξίσωσηςεκτίμησηςγια κάθε σχέδιο Eπομένως, η εξίσωση εκτίμησης για κάθε εναλλακτικό E 1,E 2,και E 3,θαείναι: V 1 =γ 1 O 1 +γ 2 Π 1 +γ 3 K 1 V 2 =γ 1 O 2 +γ 2 Π 2 +γ 3 K 2 V 3 =γ 1 O 2 +γ 2 Π 2 +γ 3 K 2 Bήμα 4 ο : Προσδιορισμός της τιμής της εξίσωσης εκτίμησης για κάθε σχέδιο με την πρώτη μέθοδο κανονικοποίησης V 1 = 0,33 * (-0,2) + 2,76 * 1 + 1,1 * 1 = 3,794 V 2 = 0,33 * 0,4 + 2,76 * 0,6 + 1,1 * 0,6 = 2,448 V 3 = 0,33 * 1 + 2,76 * (-0,4) + 1,1 * 0,2 = -0,554 Bήμα 4 ο : Προσδιορισμός της τιμής της εξίσωσης εκτίμησης για κάθε σχέδιο με τη δεύτερη μέθοδο κανονικοποίησης V 1 = 0,33 * 0 + 2,76 * 1 + 1,1 * 1 = 3,86 Eπειδή κατά την επιλογή των τιμών ανά κριτήριο, είχε θεωρηθεί ότι η μεγαλύτερη τιμή συμβολίζει καλύτερο αποτέλεσμα, έπεται ότι πιο ελκυστικό είναι το σχέδιο που δίνει μεγαλύτερη τιμή στην εξίσωση εκτίμησης, δηλαδή δή το Eναλλακτικό Σχέδιο 1 (Φυσική Aποκατάσταση). V 2 = 0,33 * 0,41 + 2.76 * 0,71 + 1,1 * 0.5 = 2,65 V 3 = 0,33 * 1 + 2,76 * 0 +1,1 * 0 = 0,33 7
Διαδικασία Αναλυτικής Ιεράρχησης Διάσπαση αρχικού προβλήματος σε επιμέρους μεταβλητές (π.χ. εναλλακτικά σχέδια, κριτήρια, εμπλεκόμενοι φορείς, στόχος). Προσδιορισμός της βαρύτητας κάθε κριτηρίου. Προσδιορισμός βαθμολογίας κάθε εναλλακτικού σχεδίου ως προς κάθε κριτήριο. Σύνθεση των εκτιμήσεων προκειμένου να προσδιορισθεί ποια εναλλακτική επιλογή έχει τη μεγαλύτερη προτεραιότητα. Βήμα 1 ο : Υπολογισμός της βαρύτητας των κριτηρίων Κατασκευή της μήτρας σύγκρισης για κάθε κριτήριο. Κανονικοποίηση της μήτρας που προέκυψε. Εκτίμηση μέσης τιμής κάθε γραμμής για να ληφθεί η σχετική βαρύτητα. Εκτίμηση και έλεγχος του λόγου συνέπειας (consistency ratio). Βήμα 2 ο : Κατάταξη κάθε εναλλακτικής λύσης για κάθε κριτήριο Κατασκευή της μήτρας σύγκρισης για κάθε κριτήριο. Κανονικοποίηση της μήτρας που προέκυψε. Εκτίμηση μέσης τιμής κάθε γραμμής για να ληφθεί η σχετική κατάταξη. Εκτίμηση και έλεγχος του λόγου συνέπειας (consistency ratio). 8
Βήμα 3 ο : Υπολογισμός της τελικής βαθμολογίας κάθε εναλλακτικής λύσης πολλαπλασιάζοντας της βαθμολογία κάθε εναλλακτικής λύσης για κάθε κριτήριο με το συντελεστή βαρύτητας του κριτηρίου και αθροίζοντας τις επιμέρους αυτές βαθμολογίες για να ληφθεί η συνολική βαθμολογία κάθε εναλλακτικής λύσης. Η λύση που επιλέγεται είναι αυτή με τη μεγαλύτερη βαθμολογία Η προτεραιότητα (σχετική σημαντικότητα) που έχουν τα κριτήρια (σχέδια) του κάθε επιπέδου μεταξύ τους υπολογίζεται με τη βοήθεια ενός «πίνακα συγκρίσεων» (είτε σύγκρισης των κριτηρίων μεταξύ τους είτε σύγκρισης των εναλλακτικών λύσεων συγκριτικά με κάθε κριτήριο). Σύμφωνα με την τεχνική των ιδιοτιμών ισχύει: [Ax = max x] A είναι ο πίνακας συγκρίσεων διαστάσεων n n, για n κριτήρια. x είναι το ιδιοδιάνυσμα με διάσταση n 1 max είναι η ιδιοτιμή, με max >n. Η διαδικασία υπολογισμού της προτεραιότητας είναι η ακόλουθη: Αθροίζονται τα στοιχεία κάθε στήλης. Διαιρείται κάθε στοιχείο του πίνακα με το άθροισμα της στήλης στην οποία ανήκει. Αθροίζονται τα νέα αυτά στοιχεία κατά μήκος κάθε γραμμής και το αποτέλεσμα διαιρείται με τον αριθμό των στηλών. Ο μέσος όρος αποτελεί την προτεραιότητα του κριτηρίου (σχεδίου) που εκφράζεται από την αντίστοιχη γραμμή. Όταν κατασκευάζονται βαρύτητες (προτεραιότητες) με βάση υποκειμενικές κρίσεις υπάρχει, συχνά, ασυνέπεια στις εκτιμήσεις, γεγονός που δημιουργεί αναξιοπιστία στα αποτελέσματα. Για το λόγο αυτό πρέπει να υπολογιστεί το επίπεδο ασυνέπειας για κάθε πίνακα προτεραιοτήτων. 9
Η διαδικασία ελέγχου της συνέπειας είναι η ακόλουθη: Υπολογίζεται ο δείκτης συνέπειας (Consistency Index CI): max n CI n 11 όπου n είναι ο αριθμός των στοιχείων και λ max είναι η μέγιστη ιδιοτιμή Λαμβάνεται ο δείκτης τυχαίας συνέπειας (Random Consistency Index, RI) που θα είχε ένας τυχαίος πίνακας ίδιων διαστάσεων, από τον ακόλουθο πίνακα: Πίνακας δείκτη τυχαίας συνέπειας n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RI 0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 Υπολογίζεται o λόγος συνέπειας (Consistency Ratio, CR) ως λόγος του δείκτη CI προς το δείκτη RI. CI CR RI Γενικά τιμή του δείκτη CR ίση ή μικρότερη από 0,10 θεωρείται αποδεκτή. Έστω ότι ένας φορέας εξετάζει την εξυγίανση ενός ρυπασμένου βιομηχανικού χώρου. Οι εναλλακτικές επιλογές που έχει είναι: Λύση 1: Πλήρης εξυγίανση του χώρου και του εξοπλισμού με στόχο την αξιοποίησή του. Λύση 2: Απομόνωση χώρου και εξοπλισμού (καμία αξιοποίηση χώρου ή εξοπλισμού). Λύση 3: Απομόνωση χώρου και καθαρισμός εξοπλισμού για την αξιοποίησή του. 10
Τα κριτήρια που αποφασίστηκε να χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση των εναλλακτικών επιλογών είναι: Οικονομικό (συνολικό κόστος εξυγίανσης και παρακολούθησης μείον πιθανά οικονομικά οφέλη). Περιβαλλοντικό (ελαχιστοποίηση των κινδύνων για το περιβάλλον). Κοινωνικό (αποδοχή από την τοπική κοινωνία). Τεχνολογικό (ευκολία εφαρμογής) Ε0- Στόχος: Αποκατάσταση ρυπασμένου χώρου Ε1- Κριτήρια: Οικονομικό, Περιβαλλοντικό, Κοινωνικό, Τεχνολογικό Ε2- Εναλλακτικές: Πλήρης εξυγίανση του χώρου, Απομόνωση χώρου και εξοπλισμού, Απομόνωση χώρου και αξιοποίηση εξοπλισμού Ε0 Ε1 Ε2 Επίπεδα ιεράρχησης του παραδείγματος Αποκατάσταση Οικον. Περιβ. Κοινων. Τεχνολ. Τα στοιχεία κάθε επιπέδου συγκρίνονται το καθένα με τα υπόλοιπα του ίδιου επιπέδου σε σχέση με τα στοιχεία των ανώτερων επιπέδων: Κάθε λύση του Ε2 συγκρίνεται με όλες τις υπόλοιπες λύσεις αναφορικά με τα στοιχεία του Ε1. Κάθε κριτήριο του Ε1 συγκρίνεται με τα υπόλοιπα κριτήρια σε σχέση με τη σημασία που έχει στην επίλυση του προβλήματος (αποκατάσταση) που ορίζεται στο Ε0. 11
Βήμα 1 ο : Υπολογισμός βαρύτητας κριτηρίων Ο υπολογισμός της βαρύτητας των κριτηρίων πραγματοποιείται με σύγκριση κατά ζεύγη (paired comparisons). Για όλα τα ζεύγη κριτηρίων j, j*, όπου το κριτήριο j θεωρείται πιο σημαντικό από το j*, προσδιορίζεται ο βαθμός διαφορικής σημασίας του ενός ως προς το άλλο (που συμβολίζεται ως b ij* ) σε μια κλίμακα μεταξύ 1 και 9, όπως δίνεται στον πίνακα της ακόλουθης διαφάνειας. Ένταση της σχετικής σημασίας 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8 Oρισμός Kλίμακα σχετικής προτίμησης Ίδιας σημασίας Aσθενής προτίμηση του ενός ως προς το άλλο Aισθητή ή δυνατή σημασία Πολύ δυνατή σημασία Aπόλυτη σημασία Eνδιάμεσες τιμές μεταξύ των δύο κρίσεων Eπεξήγηση Tα δύο σχέδια συνεισφέρουν ισότιμα στο κριτήριο H εμπειρία και η κρίση δίνουν ελαφρά προτίμηση στο ένα σχέδιο H εμπειρία και η κρίση δίνουν ισχυρή προτίμηση στο ένα σχέδιο Tο ένα σχέδιο είναι ισχυρά επιθυμητό και η διαφορά του αποδεικνύεται στην πράξη H προφανής προτίμηση του ενός σχεδίου επιβεβαιώνεται σαφώς Όταν απαιτείται συμβιβασμός Aντίστροφοι θετικοί αριθμοί Aντοσχέδιοiέχειέναναπότουςπαραπάνω αριθμούς όταν συγκρίνεται με το σχέδιο j, τότε το σχέδιο j έχει τον αντίστροφο αριθμό όταν συγκρίνεται με το i. Βήμα 1 ο : Υπολογισμός βαρύτητας κριτηρίων Τα κριτήρια συνδέονται με τις ακόλουθες σχέσεις: Τοοικονομικόκριτήριο(Ο)έχειμικρόπροβάδισμαέναντιτου κοινωνικού κριτηρίου (Κ), και ισχυρή προτίμηση έναντι του τεχνολογικού κριτηρίου (Τ). Το περιβαλλοντικό κριτήριο (Π) έχει μικρό προβάδισμα έναντι του οικονομικού κριτηρίου (Ο), λίγο μεγαλύτερη προτίμηση έναντι του κοινωνικού κριτηρίου (Κ) και πολύ ισχυρή προτίμηση έναντι του τεχνολογικού κριτηρίου (Τ). Το κοινωνικό κριτήριο (Κ) έχει μικρό προβάδισμα έναντι του τεχνολογικού κριτηρίου (Τ). Βήμα 1 ο : Υπολογισμός βαρύτητας (προτεραιότητας) κριτηρίων Μήτρα σύγκρισης των κριτηρίων Ο Π Κ T Ο 1 1/3 3 5 Π 3 1 4 7 Κ 1/3 1/4 1 3 T 1/5 1/7 1/3 1 12
Βήμα 1 ο : Υπολογισμός βαρύτητας κριτηρίων Βήμα 1 ο : Υπολογισμός βαρύτητας κριτηρίων Κανονικοποίηση της μήτρας σύγκρισης των κριτηρίων Ο Π Κ T Ο 1 1/3 3 5 Π 3 1 4 7 Κ 1/3 1/4 1 3 T 1/5 1/7 1/3 1 4,53 1,73 8,33 16,00 Άθροισμα στήλης Κανονικοποιημένη μήτρα σύγκρισης των κριτηρίων Ο Π Κ T Ο 0,221 0,193 0,360 0,221 Π 0,662 0,579 0,480 0,662 Κ 0,074 0,145 0,120 0,074 T 0,044 0,083 0,040 0,044 Κάθε στοιχείο του πίνακα διαιρείται με το άθροισμα της αντίστοιχης στήλης Βήμα 1 ο : Υπολογισμός βαρύτητας κριτηρίων Βαρύτητες κριτηρίων Ο Π Κ T Ο 0,221 0,193 0,360 0,221 1,086 0,272 Π 0,662 0,579 0,480 0,662 2,159 0,540 Κ 0,074 0,145 0,120 0,074 0,526 0,131 T 0,044 0,083 0,040 0,044 0,229 0,057 Ακολούθως υπολογίζονται οι βαρύτητες των κριτηρίων διαιρώντας τα αθροίσματα διά των αριθμό των στηλών. Η στήλη των κριτηρίων καλείται και ιδιοδιάνυσμα Αρχικά αθροίζονται τα στοιχεία κάθε γραμμής Βήμα 1 ο : Υπολογισμός βαρύτητας κριτηρίων Έλεγχος συνέπειας στις βαρύτητες κριτηρίων Υπολογίζεται η ιδιοτιμή λ max ώστε να υπολογιστεί αρχικά ο δείκτης CI και, τελικά, οδείκτης CR. ΕφόσονAx=λ max x, όπου x είναι το ιδιοδιάνυσμα ισχύει: A 1 1/3 3 5 3 1 4 7 1/3 1/4 1 3 1/5 1/7 1/3 1 x 0,272 0,540 0,131 0,057 = 1,133 2,282 0,529 0,233 = λ max x 0,272 0,540 0,131 0,057 13
Βήμα 1 ο : Υπολογισμός βαρύτητας κριτηρίων Έλεγχος συνέπειας στις βαρύτητες κριτηρίων Υπολογίζεται η ιδιοτιμή λ max ως εξής: λ max = average({1,33/0,272},{2,282/0,540},{0,529,0,131},{0,233,0,057} Ο δείκτης CI υπολογίζεται ακολούθως: Βήμα 2 ο : Κατάταξη κάθε εναλλακτικής λύσης για κάθε κριτήριο Με την ίδια διαδικασία κατασκευάζονται οι πίνακες σύγκρισης των εναλλακτικών σχεδίων για κάθε κριτήριο, οι οποίοι στη συνέχεια κανονικοποιούνται και λαμβάνονται οι προτεραιότητες (βαρύτητες) κάθε εναλλακτικού σχεδίου. Στο τελευταίο βήμα εξετάζεται, επίσης, ο λόγος συνέπειας CR κάθε πίνακα. CI = (λ max -n)/(n-1) = (4,1191-4)/(4-1) = 0,040 Για n=4, ο δείκτης RI είναι 0,900 και CR=CI/RI=0,044<0,10 Βήμα 2 ο : Κατάταξη κάθε εναλλακτικής λύσης για κάθε κριτήριο Προτεραιότητες σχεδίων ως προς το Οικονομικό κριτήριο Βήμα 2 ο : Κατάταξη κάθε εναλλακτικής λύσης για κάθε κριτήριο Προτεραιότητες σχεδίων ως προς το Περιβαλλοντικό κριτήριο Αρχικός πίνακας Κανονικοποιημένος πίνακας Αρχικός πίνακας Κανονικοποιημένος πίνακας Λύση 1 1 1/5 1/3 Λύση 2 5 1 3 Λύση 3 3 1/3 1 Λύση 1 0,11 0,13 0,08 Λύση 2 0,56 0,65 0,69 Λύση 3 0,33 0,22 0,23 Λύση 1 1 7 5 Λύση 2 1/7 1 1/3 Λύση 3 1/5 3 1 Λύση 1 0,74 0,64 0,79 Λύση 2 0,11 0,09 0,05 Λύση 3 0,15 0,27 0,16 Προτεραιότητες Λύση 1 0,106 Λύση 2 0,633 Λύση 3 0,260 λ max Λύση 1 3,0112 Λύση 2 3,0719 Λύση 3 3,0329 CI = 0,019 RI = 0,580 CR = 0,033 Προτεραιότητες Λύση 1 0,724 Λύση 2 0,083 Λύση 3 0,193 λ max Λύση 1 3,14108 Λύση 2 3,01366 Λύση 3 3,04272 CI = 0,033 RI = 0,580 CR = 0,057 14
Βήμα 2 ο : Κατάταξη κάθε εναλλακτικής λύσης για κάθε κριτήριο Προτεραιότητες σχεδίων ως προς το Κοινωνικό κριτήριο Βήμα 2 ο : Κατάταξη κάθε εναλλακτικής λύσης για κάθε κριτήριο Προτεραιότητες σχεδίων ως προς το Τεχνολογικό κριτήριο Αρχικός πίνακας Κανονικοποιημένος πίνακας Αρχικός πίνακας Κανονικοποιημένος πίνακας Λύση 1 1 7 4 Λύση 2 1/7 1 1/4 Λύση 3 1/4 4 1 Λύση 1 0,72 0,58 0,76 Λύση 2 0,10 0,08 0,05 Λύση 3 0,18 0,33 0,19 Λύση 1 1 1/7 1/4 Λύση 2 7 1 4 Λύση 3 4 1/4 1 Λύση 1 0,08 0,10 0,05 Λύση 2 0,58 0,72 0,76 Λύση 3 0,33 0,18 0,19 Προτεραιότητες Λύση 1 0,688 Λύση 2 0,078 Λύση 3 0,234 λ max Λύση 1 3,15579 Λύση 2 3,01513 Λύση 3 3,06152 CI = 0,039 RI = 0,580 CR = 0,067 Προτεραιότητες Λύση 1 0,078 Λύση 2 0,688 Λύση 3 0,234 λ max Λύση 1 3,01513 Λύση 2 3,15579 Λύση 3 3,06152 CI = 0,039 RI = 0,580 CR = 0,067 Βήμα 3 ο : Υπολογισμός της τελικής βαθμολογίας κάθε εναλλακτικής λύσης Σχηματική αναπαράσταση του προβλήματος Αποκατάσταση χώρου Συνολική Προτεραιότητα = Προτ. Οικ. Βαθμ. Εναλ. Λύσης για το Οικ.+ Προτ. Περ. Βαθμ. Εναλ. Λύσης για το Περ. + Προτ. Κοιν. Βαθμ. Εναλ. Λύσης για το Κοιν. + Προτ. Τεχν. Βαθμ. Εναλ. Λύσης για το Τεχν. Ο 0,272 Π 0,540 Κ 0,131 Τ 0,057 Λύση 1 0,106 0,724 0,688 0,078 Λύση 2 0,633 0,083 0,078 0,688 Ο Π Κ T Λύση 1 0,106 0,724 0,688 0,078 Λύση 2 0,633 0,083 0,078 0,688 Λύση 3 0,260 0,193 0,234 0,234 * Βαρύτητες κριτηρίων 0,272 0,540 0,131 0,057 Τελική βαθμολογία λύσεων = 0,514 0,267 0,219 Λύση 3 0,260 0,193 0,234 0,234 15