«ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ»

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ» Του σπουδαστή ΜΑΧΑΙΡΟΥΔΗ KΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2005

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΩΝ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1.1 Τί είναι τα Αποθέματα 5 1.2 Γιατί διατηρούνται τα αποθέματα 7 1.3 Τύποι Αποθεμάτων 9 1.4 Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων 10 (Α) Συστήματα Διανομής εμπορευμάτων 11 (Β) Συστήματα Μεταποιητικών Διαδικασιών 12 (Γ) Συστήματα Διαχείρισης Αποθεμάτων 12 (Δ) Ταξινόμηση ABC 15 1.5 Άλλα συστήματα διαχείρισης αποθεμάτων (Α) Προγραμματισμός παραγωγικών πόρων (MRP II) 16 (Β) Συστήματα Just In Time 17 (Γ) Προγραμματισμός επιχειρηματικών πόρων (ERP) 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ 2.1 Γενικά 20 2.2 Το πιθανοτικοποιημένο πρότυπο EOQ με συνεχή επιθεώρηση 20 2.3 Η στοχαστική έκδοση του EOQ με συνεχή επιθεώρηση 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΜΕ ΜΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΛΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥΣ 3.1 Γενικά 31 3.1 Το στοχαστικό πρότυπο EOQ με μία περίοδο χωρίς πάγιο κόστος παραγγελίας 32 3.2 Το στοχατικό πρότυπο EOQ με μία περίοδο και πάγιο κόστος παραγγελίας (s,s) πολιτική 36 1

3.4 Το στοχαστικό πρότυπο EOQ πολλών περιόδων 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.1 Γενικά 43 4.2 Προσομοίωση με τη χρήση του Crystal Ball 46 4.3 Λήψη απόφασης από τους πίνακες αποφάσεων 58 4.4 Προσομοίωση του παραδείγματος 2 για το στοχαστικό πρότυπο με συνεχή επιθεώρηση 65 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα αποθέματα υλικών και η διαχείρισή τους αντιπροσωπεύουν πολύ μεγάλο ποσοστό του κεφαλαίου μιας επιχείρησης που παράγει και προμηθεύει με προϊόντα την αγορά. Ενώ τα αποθέματα δεσμεύουν μέρος του κεφαλαίου κίνησης των επιχειρήσεων, η προμήθεια, η φύλαξη, η διαχείρισή, η συντήρηση, η ασφάλιση και γενικότερα η διαχείρισή τους κοστίζει. Για αυτό το λόγο η διαχείριση αποθεμάτων αποτελεί σημαντική λειτουργία σε μια επιχείρηση. Σκοπός μας λοιπόν παρακάτω, είναι να αναλύσουμε όσο το δυνατόν βαθύτερα τα συστήματα που χρησιμοποιούνται στις μέρες μας για την διαχείριση των αποθεμάτων. Θα ασχοληθούμε με το στοχαστικό προτυπο της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας (Economic Order Quantity EOQ ) και τις παραλλαγές του, που διακρίνονται σε πρότυπα μιας περιόδου και πολλών περιόδων αλλά και διάφορες τεχνικές για τον υπολογισμό των βασικών μεγεθών. Η εργασία αυτή αποτελείται από 4 κεφάλαια: Στο πρώτο κεφάλαιο θα αναφερθούμε στα αποθέματα, τί είναι για τί διατηρούνται, ποιοι είναι οι τύποι αποθεμάτων, ποια τα συστήματα ελέγχου αποθεμάτων και επίσης ποια συστήματα διαχείρησης αποθεμάτων υπάρχουν. Στο δέυτερο κεφάλαιο θα αναπτύξουμε το στοχαστικό πρότυπο EOQ(Economic Order Quantity) με συνεχή επιθεώρηση, που περιλαμβάνει το πιθανοτικοποιημένο πρότυπο EOQ με συνεχή επιθεώσηση και τη στοχαστική έκδοσή του. Στο τρίτο κεφάλαιο θα αναλύσουμε το στοχαστικό πρότυπο EOQ με μία περίοδο που διακρίνεται σε πρότυπο χωρίς πάγιο λόστος παραγγελίας και σε πρότυπο με πάγιο κόστος παραγγελίας πολιτική (s,s) επίσης θα αναλύσουμε το στοχαστικό πρότυπο EOQ πολλών περιόδων. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο θα δούμε τί είναι η προσωμοίωση, θα χρησιμοποιήσουμε το Crystal Ball σε μια εφαρμογή του, ως μέσο πσοσομοίωσης, θα βοηθηθούμε από τους πίνακες απόφασης για τη λήψη αποφάσεων και συμπερασμάτων και τέλος θα εφαρμόσουμε το εργαλείο της 3

προσομοίωσης ενδεικτικά σε ένα παράδειγμα στοχαστικού προτύπου με συνεχή επιθεώρηση. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΩΝ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ 1.1 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΑ Όλες οι επιχειρήσεις είναι αναγκασμένες να διατηρούν αποθέματα τα οποία μπορεί να είναι πρώτες ύλες, προϊόντα και άλλων υλικών αγαθών απαραίτητων για τις καθημερινές τους ανάγκες και δραστηριότητες. Ένα μεγάλο ποσοστό, που μπορεί να φτάνει και το 50%, του συνολικού κεφαλαίου της επιχείρησης αποτελούν τα αποθέματά της. Έτσι λοιπόν προκύπτει η ανάγκη για πιο εντατικό έλεγχο και παρακολούθηση των αποθεμάτων αφού φαίνεται να είναι ο τρόπος για την μείωση του λειτουργικού κόστους των επιχειρήσεων, η εφαρμογή των διαδικασιών αυτών δεν είναι και τόσο απλή. Χρειάζεται λοιπόν προσοχή αφού οι ισορροπίες είναι λεπτές, από την μία η μείωση των αποθεμάτων θα έχει ως αποτέλεσμα και μείωση του κόστους, από την άλλη όμως χαμηλότερα αποθέματα σημαίνει χαμηλότερη παραγωγή και ίσως μείωση των πωλήσεων. Επίσης τα χαμηλά αποθέματα μπορεί να σημαίνουν και αύξηση της τιμής του προϊόντος και αυτό γιατί, αν η επιχείρηση διατηρεί πιο λίγα αποθέματα θα αναγκάζεται σε πιο συχνές και μικρότερες παραγγελίες πρώτων υλών με αποτέλεσμα πιθανότατα να αυξηθεί το κόστος τους κι την απώλεια πολύτιμου χρόνου. Πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση για τον έλεγχο των αποθεμάτων κρίνεται χρήσιμο να γνωρίζουμε τι είναι τα αποθέματα. Ως αποθέματα λοιπόν μπορούν να θεωρηθούν όλα εκείνα τα αγαθά που είναι δυνατόν να αποθηκευτούν για να ικανοποιηθεί κάποια τρέχουσα ή μελλοντική ανάγκη. Πρώτες ύλες, ημικατεργασμένα και έτοιμα προϊόντα καθώς επίσης υλικά παραγωγής και αναλώσιμα, ακόμα και ανταλλακτικά του μηχανολογικού εξοπλισμού παραγωγής αποτελούν για παράδειγμα διαφορετικές κατηγορίες αποθεμάτων για κάθε βιομηχανική εταιρεία. Για μια τράπεζα, τα ταμειακά της διαθέσιμα αποτελούν σημαντική κατηγορία αποθεμάτων, ενώ στον χώρο της παροχής ιατρικής περίθαλψης, για κάποιο 5

εφημερεύον νοσοκομείο οι διαθέσιμες φιάλες αίματος αποτελούν ίσως μία από τις σημαντικότερες κατηγορίες αποθεμάτων. Οι εμπορικές επιχειρήσεις, τέλος, θα πρέπει να διατηρούν αποθέματα εμπορευμάτων για να ικανοποιήσουν τη ζήτηση των πελατών τους. Κάθε είδος επιχείρησης ή οργανισμού επιβάλλεται να έχει ένα σύστημα προγραμματισμού και ελέγχου των αποθεμάτων του. Οι τράπεζες για παράδειγμα, έχουν μεθόδους για να προγραμματίζουν τα διαθέσιμα χρηματικά αποθέματα ώστε να καλύπτουν τη ζήτηση του χρήματος από τους καταθέτες τους, οι βιομηχανικές εταιρείες ελέγχουν τα διαθέσιμα αποθέματά τους σε πρώτες ύλες, ημι-κατεργασμένα προϊόντα και προγραμματίζουν την παραγωγή των προϊόντων τους και τις αντίστοιχες προμήθειες πρώτων υλών και υλικών. Οι εμπορικές εταιρείες προγραμματίζουν επίσης τις παραγγελίες αγορών και τα αποθέματα των προϊόντων που εμπορεύονται κ.ο.κ.(επιχειρησιακή Έρευνα)(Γ.Υψηλάντη)(2002) Ο προγραμματισμός όμως των αποθεμάτων για είναι σωστός και ολοκληρωμένος θα πρέπει οι προτάσεις του να δίνουν λύσεις σε κάποια συγκεκριμένα προβλήματα. Ένα βασικό πρόβλημα είναι η επιλογή των αποθεμάτων τα οποία θα πρέπει να διατηρηθούν αφού η επιχείρηση είναι λογικό να μην έχει την δυνατότητα να διατηρεί κάθε είδους αποθέματα. Εξαρτάται λοιπόν από το πόσο απαραίτητα είναι αυτά για την επιχείρηση. Σε μια τράπεζα για παράδειγμα τα αναλώσιμα υλικά όπως χαρτιά για αποδείξεις ή για εκτυπωτές είναι απαραίτητα και αναγκάζουν την τράπεζα να διατηρεί πάντα αποθέματα σε άλλου είδους επιχείρηση αυτά τα υλικά ίσως να μην αποτελούν βασικό συστατικό για την λειτουργία της. Τα χαρακτηριστικά λοιπόν της επιχείρησης, οι δραστηριότητές της καθορίζουν την σπουδαιότητα των αποθεμάτων ώστε να γίνεται συστηματικός έλεγχος. Ένα δεύτερο βασικό πρόβλημα είναι η επιλογή των προμηθευτών δηλαδή από πού και πώς θα γίνει ο εφοδιασμός των πρώτων υλών. Υπάρχουν ορισμένοι παράγοντες ποιοτικοί όπως η ποιότητα των προϊόντων και η αξιοπιστία του προμηθευτή αλλά και οικονομικοί όπως το κόστος παραγωγής ή το κόστος αγοράς των πρώτων υλών που μπορούν να επηρεάσουν μια επιχείρηση, όσον 6

αφορά στην επιλογή της μεθόδου του εφοδιασμού ή ακόμα και παραγωγή του συγκεκριμένου προϊόντος στην επιχείρηση. Άλλο ένα πρόβλημα που αποτελεί κι ένα από τα βασικά στοιχεία της πολιτικής ελέγχου των αποθεμάτων είναι ο καθορισμός του σωστού χρόνου, δηλαδή πότε θα γίνει ο εφοδιασμός και αντίστοιχα θα αρχίσει η παραγωγή του προϊόντος. Η πιο δοκιμασμένη λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι ο καθορισμός του σημείου παραγγελίας. Ως σημείο παραγγελίας εννοείται η ελάχιστη ποσότητα που πρέπει να πέσει το επίπεδο των αποθεμάτων ώστε να γίνει μια νέα παραγγελία ή αντίστοιχα να αρχίσει η παραγωγή μιας νέας παρτίδας προϊόντος. Τέλος ένα βασικό πρόβλημα του προγραμματισμού των αποθεμάτων αφορά τον καθορισμό της ποσότητας που πρέπει να παραχθεί ή να αγοραστεί για κάθε προϊόν. Η ποσότητα που κάθε φορά θα πρέπει να παραγγελθεί και να παραχθεί είναι αποτέλεσμα της ανάλυσης αρκετών παραγόντων, όπως η ζήτηση που έχει το προϊόν στην αγορά, το κόστος των παραγγελιών, καθώς και το κόστος διατήρησης και ελέγχου των αποθεμάτων. 1.2 ΓΙΑΤΙ ΔΙΑΤΗΡΟΥΝΤΑΙ ΤΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΑ Εφόσον είδαμε τι είναι τα αποθέματα και απαντήσαμε σε μερικά ερωτήματα προγραμματισμού και ελέγχου των αποθεμάτων ίσως είναι η κατάλληλη στιγμή να δούμε γιατί μια επιχείρηση διατηρεί αποθέματα. Τα αποθέματα εξυπηρετούν πέντε βασικούς σκοπούς σε μία επιχείρηση: 1. Δημιουργούν οικονομίες κλίμακας όσον αφορά στις αγορές, στην παραγωγή ακόμη και στις μεταφορές. Αυτό εξηγείται λογικά αφού το ανά μονάδα κόστος των πρώτων υλών είναι μικρότερο αν αγοράζονται σε μεγαλύτερες ποσότητες. Επίσης αν η επιχείρηση διατηρεί αποθέματα ετοίμων προϊόντων έχει την ευχέρεια αποστολής μεγαλύτερου όγκου προϊόντων κάθε φορά. Στην περίπτωση αυτή όμως θέλει προσοχή γιατί η αποστολή μεγάλων ποσοτήτων σημαίνει κάποια αποθέματα θα παραμείνουν για μεγαλύτερο διάστημα στις αποθήκες πριν να διατεθούν στη αγορά, πράγμα που αυξάνει το 7

κόστος διατήρησης που πρέπει να συγκριθεί με τη μείωση του κόστους παραγωγής. Όταν η παραγωγή μιας επιχείρησης κινείται κοντά στις δυνατότητές της οι συχνές αλλαγές στην παραγωγή μπορεί να οδηγήσουν σε απώλειες κέρδους γιατί θα υπάρχουν στιγμές που δεν θα καλύπτεται η ζήτηση. 2. Δημιουργούν ισορροπία προσφοράς και ζήτησης αφού κυρίως σε περιπτώσεις εποχικότητας της προσφοράς και της ζήτησης είναι αναγκαίο για την επιχείρηση να διατηρεί αποθέματα. Έτσι, μιλώντας τόσο για άψυχο, όσο και για έμψυχο υλικό, για κάποιες συγκεκριμένες περιόδους του έτους έχουμε ένα σημαντικό κόστος δημιουργίας παραγωγικής δυνατότητας, γιατί η απόφαση για διατήρηση σταθερής παραγωγικής δυνατότητας για όλο το έτος μπορεί να δημιουργεί μεγάλα αποθέματα αλλά το συνολικό κόστος είναι τελικά μικρότερο. 3. Δημιουργούν συνθήκες εξειδίκευσης αφού από την αυξημένη παραγωγή και τη μείωση του κόστους μεταφοράς προκύπτουν οικονομίες που καλύπτουν το κόστος διατήρησης και ελέγχου των αποθεμάτων. Η εξειδίκευση έγκειται στα προϊόντα της επιχείρησης που κατασκευάζονται και αποθηκεύονται ώστε να εκτελεστούν οι παραγγελίες. 4. Δημιουργούν προστασία από τις αβεβαιότητες. Τα αποθέματα πρώτων υλών, μπορεί να προκύψουν λόγω ποσοτικών αγορών (για να επιτευχθεί καλύτερη τιμή αγοράς ή επειδή προβλέπεται άνοδος της τιμής) ή λόγω της εποχιακής δυνατότητας εφοδιασμού. Ανεξάρτητα του λόγου διατήρησης αποθεμάτων πρώτων υλών, το κόστος διατήρησης τους πρέπει να συγκριθεί με τις οικονομίες που προκύπτουν εξαιτίας του 2. 5. Τα αποθέματα ετοίμων προϊόντων μπορεί να χρειαστούν σε περιπτώσεις ελλείψεων αλλά μπορεί να αυξήσουν και την διαθεσιμότητα σε έκτακτες περιπτώσεις όπως επίσης μπορεί να βοηθήσουν και τα αποθέματα ημι-κατεργασμένων. Τέλος τα αποθέματα διατηρούνται και σαν ρυθμιστές των σχέσεων: Προμηθευτή προμηθειών Προμηθειών παραγωγής Παραγωγής marketing 8

Marketing διανομής Διανομής εμπόρων Εμπόρων πελάτη Για να επιτυγχάνεται η χρησιμότητα του χώρου και του χρόνου αφού μεταξύ των μελών των σχέσεων υπάρχει γεωγραφική απόσταση πρέπει να διατηρούνται αποθέματα σε όλο το φάσμα αυτού του καναλιού σχέσεων. 1.3 ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Τα αποθέματα ανάλογα με την αιτία δημιουργίας τους ταξινομούνται στις ακόλουθες κατηγορίες: Κυκλικά αποθέματα. Τα αποθέματα αυτά καλύπτουν τη ζήτηση σε συνθήκες βεβαιότητας κατά τις οποίες μπορεί να υπολογιστεί η ζήτηση και ο χρόνος καθυστέρησης, αυτός είναι που δημιουργεί και τα αποθέματα. Δηλαδή αν έχουμε ένα ρυθμό πωλήσεων 20 μονάδες προϊόντος για κάθε ημέρα και ο χρόνος καθυστέρησης είναι 10 μέρες τότε έχοντας σταθερή ζήτηση και χρόνο καθυστέρησης προγραμματίζονται οι παραγγελίες να διανεμηθούν όταν πωληθούν όλες οι μονάδες και η επιχείρηση δεν χρειάζεται άλλο απόθεμα από το κυκλικό. Αποθέματα σε μεταφορά. Αυτά τα αποθέματα είναι ένα μέρος του κυκλικού αποθέματος παρόλο που δεν είναι διαθέσιμα για πώληση, απλά είναι τα αποθέματα που μεταφέρονται από μία εγκατάσταση σε μία άλλη. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το κόστος διαχείρισης για αυτά τα αποθέματα τότε τα θεωρούμε ως αποθέματα της εγκατάστασης που μεταφέρθηκαν. Αποθέματα ασφαλείας. Τα αποθέματα αυτά δεν έχουν σχέση με τα κυκλικά αποθέματα αλλά είναι ένα κομμάτι του μέσου αποθέματος που χρησιμεύει για την κάλυψη βραχυχρόνιων, κυρίως αποκλίσεων της ζήτησης και του χρόνου καθυστέρησης δηλαδή διατηρείται για περιόδους αβεβαιότητας της ζήτησης και του χρόνου καθυστέρησης. Όπου μέσο απόθεμα ισούται με το απόθεμα ασφαλείας συν τη μισή ποσότητα παραγγελίας. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι 9

τέτοιες συνθήκες βεβαιότητας είναι συχνές και η επιχείρηση καλείται να εκτιμήσει την ζήτηση. Αποθέματα κερδοσκοπίας. Τα αποθέματα αυτά δεν χρησιμοποιούνται σε κανονικές συνθήκες αλλά υπάρχουν ώστε να μπορεί η επιχείρηση να αγοράσει μεγαλύτερη ποσότητα πρώτων υλών αν πρόκειται να αυξηθούν οι τιμές τους, ώστε να κερδίσει από την τωρινή χαμηλότερη τιμή ή αν έχει πληροφορίες ότι θα υπάρξει έλλειψη. Νεκρά αποθέματα. Είναι τα αποθέματα τα οποία δεν πρόκειται να γνωρίσουν ζήτηση ποτέ και θα πρέπει να απομακρυνθούν από τους χώρους της επιχείρησης.(διοίκηση Logistics)(Παν.Γ.Κυριαζόπουλος )(1999). 1.4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Ανακεφαλαιώνοντας τα παραπάνω, υπάρχουν τρεις βασικοί λόγοι για τους οποίους απαιτείται η αποθεματοποίηση του προϊόντος μιας επιχείρησης: 1. Η ικανοποίηση της ζήτησης σε συνθήκες αβεβαιότητας με το μικρότερο δυνατό κόστος. 2. Η αντιμετώπιση εκτάκτων καταστάσεων. 3. Η κερδοσκοπία (σε περιπτώσεις ελλείψεων ή αύξησης της τιμής πρώτων υλών) Διακρίνουμε 2 μεγάλες κατηγορίες συστημάτων ελέγχου αποθεμάτων: (Α) Συστήματα διανομής εμπορευμάτων (Β) Συστήματα μεταποιητικών διαδικασιών 10

(Α) Συστήματα διανομής εμπορευμάτων Σχήμα 1.1 Σε αυτού του είδους τα συστήματα διακρίνουμε συνήθως τρία υποσυστήματα. 1. Το εργοστάσιο που δέχεται ως εισροές πρώτες ύλες και παράγει ως εκροές τελικά προϊόντα. 2. Ένα σύνολο από περιφερειακές αποθήκες οι οποίες δέχονται ως εισροές τα τελικά προϊόντα του εργοστασίου. 3. Ένα σύνολο από τοπικές μονάδες λιανικού εμπορίου οι οποίες δέχονται ως εισροές τελικά προϊόντα από τις περιφερειακές αποθήκες. Στο πολυεπίπεδο σύστημα διανομής, πέραν των επιπέδων 2 και 3 (σχήμα 1.1) στα οποία οι αποθεματοποιήσεις λαμβάνουν χώρα κυρίως για την ικανοποίηση της ζήτησης, πραγματοποιούνται αποθεματοποιήσεις και στο επίπεδο 1. Αυτές αφορούν είτε την αποθήκευση κατάλληλων ποσοτήτων πρώτων υλών για την αντιμετώπιση ειδικών αναγκών της παραγωγικής διαδικασίας, όπως για παράδειγμα ενεργοποίηση διαδικασίας παραγωγής ενός νέου προϊόντος ή αλλαγές στην «αλυσίδα» παραγωγής (σημείο Α1 στο σχήμα 1) ή στην αποθήκευση αρκετά μεγάλων ποσοτήτων του τελικού προϊόντος (σημείο Α2 11

στο σχήμα 1) σε χώρους του εργοστασίου ώστε να επιτυγχάνονται οικονομίες κλίμακας κατά την μεταφορά του τελικού προϊόντος από το εργοστάσιο στις περιφερειακές αποθήκες.(ειδικά Θέματα Επιχειρησιακής Έρευνας)(Ιωάννης Καρκάζης)(1998) (Β) Συστήματα μεταποιητικών διαδικασιών Σχήμα 1.2 Στις περισσότερες περιπτώσεις τέτοιων συστημάτων έχουμε τη δημιουργία αποθεμάτων μεταξύ των διαδοχικών επιπέδων (σχήμα 1.2). Κρίνεται λοιπόν αναγκαία η αποθεματοποίηση τόσο πρώτων υλών, όσο και ημικατεργασμένων προϊόντων ακόμα και εξαρτημάτων ή ανταλλακτικών που χρησιμοποιούνται στις διάφορες μεταποιητικές διαδικασίες, σε κατάλληλες ποσότητες για τη σωστή λειτουργία και αποδοτικότητα του συστήματος. Το ύψος των αποθεμάτων που δημιουργούνται στα ενδιάμεσα διαδοχικά επίπεδα εξαρτάται από τους ρυθμούς παραγωγής των επιπέδων αυτών και από τις νεκρές τους περιόδους, αν αυτές υπάρχουν. (Γ) Συστήματα διαχείρισης αποθεμάτων Για όλα τα αναπάντητα ερωτήματα που προέκυψαν από την ανάλυση των συστημάτων ελέγχου των αποθεμάτων θα έχουμε την ευκαιρία να βρούμε απαντήσεις μελετώντας τη λογική των συστημάτων διαχείρισης αποθεμάτων με την προϋπόθεση ότι η ζήτηση είναι τυχαία και τα προϊόντα είναι τελικά. 12

Διακρίνουμε τρία βασικά συστήματα: Το σύστημα σταθερής ποσότητας παραγγελίας (ή σύστημα συνεχούς παρακολούθησης αποθέματος) Το σύστημα σταθερής περιόδου παραγγελίας (ή σύστημα περιοδικής παρακολούθησης αποθέματος) Το μεικτό σύστημα επιλεκτικής αναπλήρωσης και το σύστημα προγραμματισμού απαιτήσεων υλικών. Στο σύστημα σταθερής ποσότητας παραγγελίας, και έχοντας ως γνώμονα το σχήμα 1.3 και έχοντας ως παραμέτρους του συστήματος τη στάθμη του αποθέματος S και ποσότητα αποθέματος Q, όταν το απόθεμα φτάσει στο επίπεδο S τότε γίνεται μια παραγγελία σταθερής ποσότητας Q. Η στάθμη S δεν είναι τυχαία επιλεγμένη αλλά είναι η ποσότητα που επαρκεί για να καλύψει την ζήτηση κατά την διάρκεια του χρόνου καθυστέρησης και να αφήνει στο τέλος και απόθεμα ασφαλείας. Η υλοποίηση του συστήματος συνεπάγεται την χρησιμοποίηση ηλεκτρονικών μέσων που θα είναι ικανά να παρακολουθούν την στάθμη των αποθεμάτων και να προγραμματίζουν την παραγγελία. Αν και το σύστημα έχει υψηλό κόστος εφαρμογής, αυτό αντισταθμίζεται από το χαμηλό κόστος που επιτυγχάνεται από την διατήρηση λιγότερων αποθεμάτων πράγμα που είναι και το βασικό πλεονέκτημα του συστήματος. Σχήμα 1.3 13

Στο σύστημα σταθερής περιόδου παραγγελίας, η διαφορά είναι ότι σταθερή διατηρείται η περίοδος παραγγελιών και όχι η ποσότητα παραγγελίας. Στο σχήμα 1.4 πλέον οι παράμετροι του συστήματος είναι ο χρόνος T και το μέγιστο όριο ποσότητας Qmax. Σε τέτοιου είδους συστήματα ο χρόνος παίζει πρωτεύοντα ρόλο αφού η στάθμη του αποθέματος ελέγχεται σε σταθερό, χρονικό, διάστημα T ώστε να προγραμματιστεί η παραγγελία η ποσότητα της οποίας θα είναι ίση με τη διαφορά της παρούσας στάθμης I του αποθέματος και ορίου Qmax που έχει από πριν καθοριστεί. Η ποσότητα αυτή συνήθως μεταβάλλεται από περίοδο σε περίοδο αφού εξαρτάται από την ζήτηση τω περιόδων αυτών. Ενώ το προηγούμενο σύστημα ήταν αρκετά δαπανηρό αυτό επειδή δεν απαιτεί συνεχή παρακολούθηση των αποθεμάτων, αυτό μειώνει και το κόστος παρακολούθησης, και αν ο έλεγχος συγχρονιστεί ώστε να γίνεται την ίδια μέρα για όλα τα προϊόντα μαζί τότε το κόστος είναι ακόμη πιο μικρό. Το πιο βασικό πλεονέκτημα του συστήματος είναι ότι λόγω της περιοδικής επιθεώρησης μπορεί να προβλεφθεί μία αλλαγή στη μέση ζήτηση ώστε να προσαρμοστεί και το μέγιστο όριο Qmax το οποίο είναι ήδη υψηλότερο σε σχέση με αυτό του προηγούμενου συστήματος. Σχήμα 1.4 14

Το σύστημα επιλεκτικής αναπλήρωσης, που όπως είπαμε πιο πριν συνδυάζει τις ιδιότητες των δύο προηγουμένων συστημάτων, η επιθεώρηση των αποθεμάτων γίνεται ανά τακτά χρονικά διαστήματα, ενώ παραγγελία γίνεται αν τα αποθέματα βρεθούν σε επίπεδο κάτω του καθορισμένου με ποσότητα που θα καλύψει την επόμενη περίοδο, η οποία θεωρείται σταθερή, και θα συμπληρώσει τα ίσως αναλωθέντα από το απόθεμα ασφαλείας. Εδώ λοιπόν χρησιμοποιούνται τρεις παράμετροι, η περίοδος, η ποσότητα παραγγελίας και το επίπεδο των αποθεμάτων. Αυτό συμβαίνει γιατί σε αυτό το σύστημα έχουμε την σταθερή ποσότητα παραγγελίας του πρώτου συστήματος, συν βέβαια την ποσότητα του αποθέματος ασφαλείας που αναλώθηκε, την σταθερή περίοδο επιθεώρησης του δεύτερου συστήματος και αυτό το σύστημα είναι που έχει το χαμηλότερο τελικό κόστος για την επιχείρηση. Όταν τα προϊόντα δεν είναι τελικά και πρόκειται για πρώτες ύλες ή κάποια ανταλλακτικά τότε αναφερόμαστε σε συστήματα προγραμματισμού απαιτούμενων υλικών, ο χρόνος, η ποσότητα και οι άλλες παράμετροι αυτών των συστημάτων εξαρτώνται από τα συστήματα διαχείρισης των τελικών προϊόντων. (Δ) Ταξινόμηση ABC Ανάλογα με την φύση της παραγωγής, της επιχείρησης του προϊόντος, τον βαθμό ελέγχου που απαιτούν τα αποθέματα και άλλων παραγόντων θα πρέπει να γίνεται κάθε φορά η επιλογή του κατάλληλου συστήματος. Υπάρχουν υλικά που είναι περισσότερο απαραίτητα στην παραγωγική διαδικασία από μερικά άλλα ή κάποια είναι πιο ευπαθή, ή πιο ακριβά, γι αυτό θα πρέπει αυτά να επιτηρούνται πιο συχνά από τα υπόλοιπα. Σε αυτό το πρόβλημα έρχεται να δώσει λύση το σύστημα ταξινόμησης ABC. Σύμφωνα με το σύστημα αυτό τα αποθέματα μπορούν να διακριθούν ανάλογα με την αξία τους σε τρεις μεγάλες κατηγορίες. Η κατηγορία Α περιλαμβάνει εκείνο το μέρος του αποθέματος που χρίζεται ως απαραίτητο για την παραγωγή. Δηλαδή εκείνα τα είδη και οι πρώτες ύλες που χωρίς αυτά δεν μπορεί να υπάρξει παραγωγή. Επίσης σε αυτή την κατηγορία 15

μπορούμε να κατατάξουμε τα είδη μεγάλης αξίας που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή, όταν λέμε μεγάλης αξίας εννοείται ένα μεγάλο ποσοστό της συνολικής αξίας του αποθέματος (70-80%). Για αυτού του είδους τα υλικά η παρακολούθηση πρέπει να είναι πολύ συχνή, γι αυτό στην κατηγορία αυτή αρμόζει το σύστημα σταθερής ποσότητας παραγγελίας. Σε αυτή την κατηγορία χρειάζεται συχνά εξέταση του επιπέδου ανάλωσης και του χρόνου παραγγελίας ώστε να υπάρχει πάντα απόθεμα ασφαλείας, αφού αν υπάρξει μια αλλαγή των τιμών των παραμέτρων αυτών θα χρειαστεί και αλλαγή της ποσότητας παραγγελίας και του αποθέματος ασφαλείας. Η κατηγορία Β περιλαμβάνει εκείνο το 20-30% του συνολικού αποθέματος τα οποία αντιπροσωπεύουν ίσο ποσοστό όσον αφορά την αξία τους σε σχέση με την συνολική αξία του αποθέματος που αφορά είδη μικρότερης αξίας και σημασίας στην παραγωγή σε σχέση με την προηγούμενη κατηγορία. Έτσι τα αποθέματα αυτά δεν απαιτούν και τόσο στενή παρακολούθηση αλλά περισσότερο περιοδική με μεγαλύτερες περιόδους. Εδώ η διαχείριση γίνεται με το σύστημα επιλεκτικής αναπλήρωσης. Η κατηγορία C περιλαμβάνει τα είδη με ακόμα μικρότερη αξία που αντιπροσωπεύουν περίπου το 60% του συνόλου του αποθέματος. Σε αυτή τη κατηγορία το σύστημα σταθερής περιόδου παραγγελίας είναι αυτό που βοηθάει περισσότερο ώστε οι παράμετροι να ελέγχονται πιο συχνά ακόμα και ανά έτος για πιθανές αλλαγές στο χρόνο της παραγγελίας ή στο ρυθμό ανάλωσης του αποθέματος. 1.5 ΑΛΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ (Α) Προγραμματισμός παραγωγικών πόρων (MRP II) Η παραγωγή της οικονομικής μονάδας απαιτεί όλες τις αναγκαίες λειτουργίες της διοίκησης παραγωγής, δηλαδή εκτός από τον προγραμματισμό και τον έλεγχο απαιτείται και ο προγραμματισμός των προμηθειών, της απαιτούμενης δυναμικότητας και των απαιτούμενων υλικών. Έτσι για να γίνει η προμήθεια των απαιτούμενων υλικών για κάθε τμήμα έγκαιρα, χρειάζεται και η έγκαιρη 16

εξασφάλιση των χρηματικών πόρων που απαιτούνται για να γίνει η παραγγελία για κάθε τμήμα. Αυτό είναι δουλειά της χρηματοοικονομικής διοίκησης όλης της επιχείρησης συνολικά αλλά και κάθε τμήματος ξεχωριστά. Επίσης όταν υπάρχει μια αλλαγή σε ένα δεδομένο στην παραγωγή (π.χ. αλλαγές στην παραγγελία) αυτό μέσω του προγράμματος παραγωγής διαχέεται και στα προγράμματα απαιτούμενων υλικών. Πρόκειται λοιπόν για μία αλληλεπίδραση των λειτουργιών που συντελούν στην παραγωγή που είναι πιο γνωστός ως προγραμματισμός παραγωγικών εισροών ή MRP II (Manufacturing Resources Planning) και αφορά στην σωστή διατμηματική επικοινωνία και συνεργασία του παραγωγικού συστήματος. Το MRP II βοηθάει στον δυναμικό προγραμματισμό των διοικητικών λειτουργιών. Έτσι για παράδειγμα το πρόβλημα του προγραμματισμού απαιτούμενων υλικών από ένα απλό πρόβλημα παραγγελίας υλικών επεκτείνεται και αποτελεί πρόβλημα της οργάνωσης ολόκληρου του παραγωγικού συστήματος. Επίσης ο προγραμματισμός της απαιτούμενης δυναμικότητας ή CRP (Capacity Resource Planning) για κάθε τμήμα της παραγωγικής διαδικασίας με τις πληροφορίες που προκύπτουν από τα προγράμματα παραγωγής και απαιτούμενων υλικών, γίνεται ευκολότερος. Απαραίτητη βέβαια κρίνεται η χρήση φασεολογίων, τα οποία καθορίζουν τις αναγκαίες διεργασίες και τα μέσα για κάθε φάση της παραγωγής, και των διαγραμμάτων διαδικασίας που καθορίζουν την σειρά των διεργασιών καθώς και τους απαιτούμενους χρόνους. (Β) Συστήματα Just In Time Ως τώρα προσπαθούσαμε να προσεγγίσουμε το πρόβλημα της διαχείρισης των αποθεμάτων χρησιμοποιώντας συστήματα διαχείρισης που ανήκουν στο γνωστικό πεδίο της επιχειρησιακής έρευνας και της πληροφορικής. Σήμερα όμως οι επιχειρήσεις θεωρούν το πρόβλημα της διαχείρισης των αποθεμάτων ένα από τα πιο σπουδαία για την ομαλή λειτουργία του παραγωγικού συστήματος. Έτσι σιγά σιγά προκύπτει και η ανάγκη για αναζήτηση και εφαρμογή νέων μεθόδων όπως του συστήματος Just-In-Time (JIT). Βασική αρχή αυτού του συστήματος είναι η μείωση των αποθεμάτων στο ελάχιστο 17

δυνατό επίπεδο. Ο κύριος λόγος που επιβάλλει την διατήρηση αποθεμάτων ασφαλείας είναι η αβεβαιότητα, την οποία η επιχείρηση προσπαθεί να μειώσει. Στο σύστημα JIT πρακτική των επιχειρήσεων είναι να παραλαμβάνουν μικρότερες ποσότητες αλλά με μεγαλύτερη συχνότητα. Γι αυτό το λόγο οι συμφωνίες με τους προμηθευτές τους είναι και μακροχρόνιες. Έτσι μειώνεται το μέσο ύψος του αποθέματος. Εξαιτίας όμως των πολλών παραγγελιών αυξάνεται το κόστος διαχείρισης τους, με την χρησιμοποίηση των απαιτούμενων μέσων και την βελτίωση των διαδικασιών επιδιώκεται η ελαχιστοποίησή του. Ένα από τα κύρια συστατικά των JIT συστημάτων είναι το σύστημα Kanban που χρησιμεύει για να ελέγχεται το απόθεμα. Το σύστημα αυτό ρυθμίζει την παραγωγή του προϊόντος με βάση στοιχεία που αφορούν την πραγματική ζήτηση και δεν επηρεάζεται από προβλέψεις. Το Kanban πρακτικά έχει διπλή χρήση που είναι μια κάρτα απόσυρσης ή μια εντολή παραγωγής. Κάρτα απόσυρσης γιατί δείχνει την ποσότητα που ζητά η επόμενη θέση παραγωγής από την προηγούμενη για να εκτελέσει τις εργασίες που απατούνται από τη συγκεκριμένη θέση, ενώ η εντολή παραγωγής δείχνει την ποσότητα που πρέπει να παραχθεί από την προηγούμενη θέση παραγωγής. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για να γίνει κατανοητή η χρήση αυτής της κάρτας. Από μία παραγγελία, τοποθετείται μια κάρτα απόσυρσης στην τελευταία θέση παραγωγής από την οποία αποσύρεται μια ποσότητα έτοιμων προϊόντων και ταυτόχρονα τοποθετείται μια κάρτα εντολής παραγωγής ίσης ποσότητας. Η εντολή αυτή εκτελείται από το τμήμα το οποίο συσκευάζει μια ίση ποσότητα την οποία αποσύρει από την προηγούμενη φάση με μία κάρτα απόσυρσης ενώ τοποθετείται μια εντολή παραγωγής κ.ο.κ. Με αυτόν τον τρόπο εκφράζεται η ζήτηση συμβάλλοντας στην ανάπτυξη της συνεργασίας του συστήματος παραγωγής από κρίκο σε κρίκο. Η συνεργασία αυτή και ο συντονισμός των κρίκων είναι αυτό που χρειάζεται για την ομαλή λειτουργία του συστήματος ώστε να ελαχιστοποιηθούν τα αποθέματα δηλαδή και το κόστος αποθεματοποίησης δηλαδή ο βασικός στόχος του συστήματος. 18

(Γ) Προγραμματισμός επιχειρηματικών πόρων (ERP) Τα συστήματα ERP (Enterprise Resource Planning) είναι από τα πιο σύγχρονα ολοκληρωμένα συστήματα πληροφορικής που δεν περιορίζονται στον προγραμματισμό των αποθεμάτων αλλά καλύπτουν την διοίκηση όλου του φάσματος των επιχειρησιακών διαδικασιών. Αποτελούνται από ένα σύνολο λειτουργικών υποσυστημάτων (functional modules), με κοινή βάση δεδομένων, που αντιστοιχούν στις βασικές επιχειρησιακές λειτουργίες, παραγωγή, μάρκετινγκ, προμήθειες, οικονομική διαχείριση και διαχείριση ανθρώπινου δυναμικού. Βασικό πλεονέκτημα των συστημάτων ERP είναι η έλλειψη διαχωρισμού των λειτουργιών και κατ επέκταση των περιοχών διοίκησης αφού οι διάφορες διαδικασίες χρίζουν απαραίτητη την συμμετοχή περισσότερων από μία διοικητικών λειτουργιών. Με αυτό τον τρόπο αποφεύγονται τα πολλά τοπικά πληροφοριακά συστήματα που ίσως και να μην είναι καν συμβατά μεταξύ τους και υπάρχει ένα κοινό χωρίς διαχωρισμούς σύστημα που εξυπηρετεί απρόσκοπτα όλες τις διοικητικές λειτουργίες. Η εγκατάσταση ενός τέτοιου συστήματος προϋποθέτει τον ανασχεδιασμό των διαδικασιών της επιχείρησης με την χρήση των μεθόδων της επιχειρησιακής έρευνας. 19

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ 2.1 ΓΕΝΙΚΑ Το κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε δύο εκδόσεις του στοχαστικού προτύπου EOQ. 1. Την πιθανοτικοποιημένη έκδοση του προσδιοριστικού μοντέλου κατά την οποία το διαθέσιμο απόθεμα χρησιμοποιείται σε περίπτωση στοχαστικής ζήτησης, δηλαδή περιέχει και το στοιχείο της πιθανότητας και 2. Την στοχαστική έκδοση που αναφέρεται αμιγώς και αποκλειστικά στην στοχαστική ζήτηση. 2.2 ΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ Το πιθανοτικοποιημένο μοντέλο είναι αποτέλεσμα μιας προσπάθειας προσαρμογής του προσδιοριστικού προτύπου EOQ προκειμένου να περιγράψει την στοχαστικότητα της ζήτησης χρησιμοποιώντας μια προσεγγιστική διαδικασία προσδιορισμού μιας σταθερής ποσότητας αποθέματος σε ολόκληρη την προγραμματισμένη διαδικασία. Η ποσότητα του αποθέματος καθορίζεται έτσι ώστε η πιθανότητα εξάντλησης του κατά την διάρκεια του χρόνου παραλαβής της παραγγελίας, (κάτι που μπορεί να συμβεί κατά το χρονικό διάστημα μεταξύ της παραγγελίας και της παραλαβής της) να μην υπερβαίνει μια προκαθορισμένη τιμή. Χρησιμοποιούμε τις παρακάτω μεταβλητές: L = Χρόνος παραλαβής της παραγγελίας. x L = Τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τη ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής L. 20

μ L = Μέση τιμή της ζήτησης κατά τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής L. σ L = Τυπική απόκλιση της ζήτησης κατά τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής L. B = Μέγεθος προσωρινής αποθήκευσης αποθέματος. α = Μέγιστη επιτρεπόμενη πιθανότητα εξάντλησης του αποθέματος κατά τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής L. Η κύρια υπόθεση του προτύπου είναι ότι η ζήτηση x L κατά τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής L είναι τυχαία μεταβλητή από την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ L και τυπική απόκλιση σ L και συμβολίζεται με Ν(μ L, σ L ). Το σχήμα 2.1 παρακάτω αντικατοπτρίζει τη σχέση μεταξύ αποθέματος B και των παραμέτρων του προσδιοριστικού EOQ προτύπου που περιλαμβάνει το χρόνο παραλαβής της παραγγελίας L, τη μέση ζήτηση μ L κατά τη διάρκεια του L, και την τιμή EOQ y *. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι το L πρέπει να ισούται με τον πραγματικό χρόνο παραλαβής της παραγγελίας. Σχήμα 2.1 Η πιθανοθεωρητική σχέση που χρησιμοποιείται για τον προσδιορσμό του B είναι P( x B μ ) α. L L 21

Χρησιμοποιώντας την τυποποιημένη μεταβλητή xl μ z σ που ακολουθεί την N(0,1) κατανομή, έχουμε L L P z B α. σ L Το σχήμα 2.2 προσδιορίζει το K α, όπως καθορίζεται από τον πίνακα της κανονικής κατανομής και συγκεκριμένα P( z K ) α. α Σχήμα 2.2 Για αυτό το λόγο το μέγεθος του αποθέματος πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση B K. σ L α Η ζήτηση κατα τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής L, συνήθως περιγράφεται από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ανά μονάδα χρόνου π.χ. ανά ημέρα εβδομάδας, από την οποία μπορούμε να καθορίσουμε την κατανομή 22

της ζήτησης κατά τη διάρκεια του L. Δοθέντος ότι η ζήτηση ανά μονάδα χρόνου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή D και τυπική απόκλιση σ, έπεται ότι η ζήτηση κατα τη διάρκεια του L είναι Ν(μ L, σ L ), όπου μ L DL σ L 2. σ L Ο τύπος για το σ L απαιτεί το L να είναι στρογγυλοποιημένο σε ακέραιο αριθμό. Παρακάτω δίνεται ένα παράδειγμα με αριθμούς για μεγαλύτερη κατανόηση του προτύπου. Παράδειγμα 1 Υποθέτουμε ότι η πολιτική αποθεματοποίησης για μια μικρή επιχείρηση χάρτου έχει καθοριστεί από το ΕΟQ (οικονομική ποσότητα παραγγελίας) = 1000 κιλά. Αν η καθημερινή ζήτηση είναι κανονική με μέσο D = 100 κιλά και η τυπική απόκλιση σ = 10 κιλά - αυτό σημαίνει N(100,10) - να καθορίσετε το ύψος του διαθέσιμου αποθέματος ώστε η πιθανότητα η επιχείρηση να ξεμείνει από απόθεμα να είναι κάτω από α =0.05. Ο πραγματικός χρόνος L είναι 2 μέρες. Έτσι έχουμε: μ DL 100 2 200 κιλά L 2 2 σl σ L 10 2 14,14 κιλά Από τους κανονικούς πίνακες έχουμε Kα 1,64. Επομένως το ύψος του αποθέματος υπολογίζεται ως εξής: B 14,14 1,64 23 κιλά Δίνοντας την EOQ ποσότητα y * = 1000 κιλά, η βέλτιστη πολιτική με απόθεμα B είναι η παραγγελία 1000 κιλά κάθε φορά που το επίπεδο αποθέματος πέφτει στα 223 (= B μ L = 23 + 2 * 100) κιλά. 23

Πριν προχωρήσουμε όμως παρακάτω, θα υπενθυμήσουμε ότι στο απλό πρότυπο EOQ έχουμε σταθερή ζήτηση με άμεσες παραγγελίες ανεφοδιασμού χωρίς ελλείμματα. 2.3 Η ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΟΥ EOQ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ Με βάση όσα περιγράψαμε προηγουμένως δεν θα πρέπει να πιστέψουμε ότι το πιθανοτικοποιημένο μοντέλο έχει τη δυνατότητα να προσδιορίσει μια άριστη πολιτική αποθεματοποίησης. Το γεγονός ότι οι σχετικές πληροφορίες που αφορούν την στοχαστική φύση της ζήτησης αγνοούνται αρχικά και χρησιμοποιούνται μόνο με έναν εντελώς ανεξάρτητο τρόπο στους υπολογισμούς, είναι αρκετό να αποκλίσει την περίπτωση άριστης πολιτικής αποθεματοποίησης. Για διορθώσουμε, λοιπόν την κατάσταση αυτή, χρησιμοποιούμε ένα πιο σωστό για την περίπτωση μοντέλο, στο οποίο η στοχαστική φύση της ζήτησης συμπεριλαμβάνεται κατευθείαν στην διατύπωση του. Σε αντίθεση με το προηγούμενο, το νέο αυτό μοντέλο επιτρέπει την έλλειψη της ζήτησης. Η τακτική αυτή θέτει σε παραγγελία την ποσότητα y κάθε φορά που το επίπεδο του αποθέματος πέφτει στην τιμή R. Όπως στην προσδιοριστική περίπτωση, το επίπεδο επαναπαραγγελίας R είναι μια συνάρτηση του χρόνου μεταξύ της παραγγελίας και της παραλαβής της. Οι άριστες τιμές του y και του R προσδιορίζονται ελαχιστοποιόντας το αναμενόμενο κόστος ανά μονάδα χρόνου που περιλαμβάνει το σύνολο του παγίου κόστους, του κόστους διατήρησης και του ελλειμματικού κόστους. Σχήμα 2.3 24

Το μοντέλο περιλαμβάνει τρεις υποθέσεις: 1. Η ζήτηση που δεν ικανοποιείται κατά τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής τίθεται σε αναμονή. 2. Δεν επιτρέπεται παραπάνω από μια ανικανοποίητη παραγγελία. 3. Η κατανομή της ζήτησης κατά τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής παραμένει σταθερή (αμετάβλητη) με το χρόνο. Χρησιμοποιώντας τα μεγέθη που θα καθορίσουμε παρακάτω, θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση του συνολικού κόστους ανά μονάδα του χρόνου. Θέτουμε λοιπόν, f( x ) = συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ζήτησης x κατά τη διάρκεια του χρόνου παραλαβής. D = αναμενόμενη ζήτηση ανά μονάδα χρόνου h = κόστος διατήρησης ανά μονάδα αποθέματος ανά μονάδα χρόνου p = ελλειμματικό κόστος ανά μονάδα αποθέματος K = πάγιο κόστος ανά παραγγελία 1. Πάγιο Κόστος. Ο αριθμός των παραγγελιών κατά προσέγγιση ανά μονάδα χρόνου είναι D/ y και συνεπώς το πάγιο κόστος ανά μονάδα χρόνου είναι ( K D) / y. 25

2. Αναμενόμενο Κόστος Διατήρησης. Το μέσο απόθεμα είναι { y E( R x)} E( R x) y I R E( x). 2 2 Ο τύπος βασίζεται στο μέσο όρο του αρχικού και τελικού αναμενόμενου αποθέματος ενός κύκλου, y E( R x) και E( R x) αντίστοιχα. Ο τύπος αγνοεί την περίπτωση το R E( x) να είναι αρνητικό. Το αναμενόμενο κόστος διατήρησης ανά μονάδα χρόνου συνεπώς είναι h I. 3. Ελλειμματικό Κόστος. Αυτό προκύπτει όταν x R. Έτσι η αναμενόμενη ποσότητα έλλειψης ανά κύκλο είναι S ( x R) f ( x) dx. R Επειδή το p υποτίθεται ότι είναι ανάλογο με τη ποσότητα του ελλειμματικού κόστους μόνο, το αναμενόμενο ελλειμματικό κόστος ανά κύκλο είναι p S και δεδομένου ότι έχουμε D/ y κύκλους ανά μονάδα χρόνου, το ελλειμματικό κόστος είναι ( p D S) / y. Η συνάρτηση συνολικού κόστους ανά μονάδα χρόνου που προκύπτει είναι DK y pd TCU( y, R) h R E( x) ( x R) f ( x) dx y y. 2 R Οι λύσεις για τα άριστα y * και R* προσδιορίζονται από τις εξισώσεις TCU DK h pds 0 2 2 y y 2 y και 26

TCU pd h f ( x) dx 0 R y. R Έτσι έχουμε 2 D( K ps) y* (1) h h y* f ( x) dx (2) pd R* Λόγω της μη γραμμικότητας των σχέσεων (1) και (2) τα y * και R * δεν μπορούν να προσδιοριστούν επακριβώς με κλειστή αναλυτική μορφή αλλά μόνο προσεγγιστικά με κάποιο αλγόριθμο από την αριθμητική ανάλυση. Για R 0, οι 2 τελευταίες ισότητες γίνονται και y 2 D( K pe( x) h pd y. h Αν y y υπάρχουν μοναδικές άριστες τιμές για τα y και R. Από την λύση βλέπουμε ότι η μικρότερη τιμή του y * είναι y* 2KD h και προκύπτει όταν S = 0. Ο αλγόριθμος αυτός χρησιμοποιεί 2 βήματα. Βήμα 0. Χρησιμοποιούμε την αρχική λύση y y* 1 2KD h με R0 0. Βαζουμε i = 1 και πάμε στο βήμα i. Βήμα i. Χρησιμοποιούμε το y i για να προσδιορίσουμε το R i από την εξίσωση (2). Αν Ri Ri 1 σταματάμε. Η άριστη λύση είναι y* yi 27

και R* Ri. Αλλιώς χρησιμοποιούμε το R i στην εξίσωση (1) για να υπολογίσουμε το y. Θέτουμε i i 1 και επαναλαμβάνουμε i το βήμα i. Για να καταλάβουμε καλύτερα τα όσα είπαμε παραπάνω αλλά και τους τύπους, ας δώσουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα. Παράδειγμα 2 Ένα βενζινάδικο πουλάει 1000 λίτρα βενζίνη ανά μήνα. Για κάθε παραγγελία πληρώνει 100. Το σταθερό κόστος ανά λίτρο ανά μήνα είναι 2, και το ελλειμματικό κόστος ανά λίτρο είναι 10. Έχει παρατηρηθεί ότι η ζήτηση κατά τη διάρκεια εκτέλεσης της παρατήρησης είναι σταθερή πάνω από το όριο των (0,100) λίτρων. Προσδιορίστε την κατάλληλη πολιτική παραγγελιών για το βενζινάδικο. Λύση Καταρχήν αντιστοιχίζουμε τα δεδομένα με τις μεταβλητές D = 1000 λίτρα ανά μήνα K = 100 ανά παραγγελία h = 2 ανά λίτρο ανά μήνα p = 10 ανά λίτρο f( x ) = 1/100, για 0 x 100 Ex ( ) = 50 λίτρα Εξετάζουμε αν το πρόβλημα έχει εφικτή λύση χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις για τα y και y. Έχουμε 2 1000(100 10 50) y 774.6 λίτρα 2 και 10 1000 y 5000 λίτρα. 2 Επειδή y y υπάρχει μοναδική λύση για τα y * και R *. Το S υπολογίζεται από 28

2 1 R S ( x R) dx R 50. 100 200 R Χρησιμοποιόντας το S στις εξισώσεις (1) και (2) παίρνουμε και y i 2 1000(100 10 S) 100, 000 10, 000 λίτρα (3) 2 1 2yi dx. 100 10 1000 100 R Η τελευταία εξίσωση δίνει yi R 100 (4) 50 i Από τις (3) και (4) προσδιορίζουμε τη λύση. Επανάληψη 1 η και Επανάληψη 2 η 2KD 2 1000 100 y1 316.23 λίτρα h 2 316.23 R1 100 93.68 λίτρα 50 2 R1 S R1 50 0.19971 λίτρα 200 y2 100,000 10,000 0.19971 319.37 λίτρα και Επανάληψη 3 η 319.39 R2 100 93.612 λίτρα. 50 2 R2 S R2 50 0.20399 λίτρα 200 y3 100,000 10,000 0.20399 319.44 λίτρα και 29

319.44 R2 100 93.611 λίτρα. 50 Επειδή τα R2 R3 η εφικτή λύση είναι κατά προσέγγιση R* 93.61 και y* 319.4 λίτρα. Δηλαδή το βενζινάδικο θα πρέπει να παραγγέλνει περίπου 320 λίτρα κάθε φορά που τα αποθέματα του θα πέφτουν στα 94 λίτρα. 30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΜΕ ΜΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΛΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥΣ 3.1 ΓΕΝΙΚΑ Πρότυπο μιας περιόδου έχουμε όταν γίνεται μια παραγγελία προκειμένου να καλύψει τη ζήτηση της περιόδου. Τέτοιες περιπτώσεις αναφέρονται σε εποχιακά προιόντα τα οποία είναι άχρηστα μέτα το τέλος αυτής της περιόδου. Το πρότυπο αυτό, για να το μελετήσουμε καλύτερα, μπορούμε να το χωρίσουμε σε δύο περιπτώσεις. Στο πρότυπο μιας περιόδου χωρίς πάγιο κόστος παραγγελίας και στο πρότυπο μιας περιόδου με πάγοι κόστος παραγγελίας. Παρακάτω βλέπουμε τις μεταβλητές που αντιστοιχούν στα μεγέθη του προτύπου. c = Κόστος παραγωγής ανά μονάδα K = Πάγιο κόστος ανά παραγγελία h = Κόστος διατήρησης ανά μονάδα κατά τη διάρκεια της περιόδου p = Κόστος ποινής που δημιουργείται από κάθε μονάδα που δεν υπάρχει για να πουληθεί κατά τη διάρκεια της περιόδου D = Τυχαία μεταβλητή της ζήτησης κατά τη διάρκεια της περιόδου f( D ) = Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ζήτησης κατά τη διάρκεια της περιόδου y = Ποσότητα παραγγελίας x = Ποσότητα που υπάρχει πριν την πραγγελία Με το μοντέλο αυτό βρίσκουμε την άριστη τιμή του y που ελαχιστοποιεί το άθροισμα του κόστους παραγωγής (ή αγοράς), αλλά και του κόστους διατήρησης και ελλείμματος. Για δοθείσα άριστη τιμή y (= y *), σύμφωνα με το πρότυπο γίνεται παραγγελία y* x αν x y αλλιώς δεν γίνεται παραγγελία. 31

3.2 ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΜΕ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ ΧΩΡΙΣ ΠΑΓΙΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΑΣ Υπάρχουν δύο υποθέσεις για αυτό το πρότυπο (α) Η ζήτηση προκύπτει αμέσως στην αρχή της περιόδου με το που λαμβάνεται η παραγγελία. (β) Δεν υπάρχει πάγιο κόστος παραγγελίας. Το σχήμα 3.1 παρακάτω δείχνει τη θέση του προτύπου μετά την ικανοποίηση της ζήτησης D. Αν D περιόδου. Αλλιώς αν D y η ποσότητα y D περισσεύει κατά τη διάρκεια της y προκύπτει ένα έλλειμμα του ύψους D y. Σχήμα 3.1 Το αναμενόμενο κόστος για αυτή τη περίοδο εκφράζεται ως εξής y E{ C( y)} c( y x) h ( y D) f ( D) dd p ( D y) f ( D) dd 0 y Γνωρίζοντας ότι η E{ C( y )} είναι κυρτή στο y έχει ένα μοναδικό ελάχιστο. Έτσι παίρνοντας τη πρώτη παράγωγο της E{ C( y )} με βάση το y και εξισώνοντας την με το 0 έχουμε 32

y c h f ( D) dd p f ( D) dd 0 0 y η η c hp( D y) p{1 P( D y)} 0 p c P( D y*). p h Η δεξιά πλευρά του τελευταίου τύπου αναφέρεται ως κρίσιμος λόγος. Η τιμή του y * ορίζεται μόνο όταν ο κρίσιμος λόγος δεν είναι αρνητικός αυτό σημαίνει p c. Η περίπτωση όπου p c δεν είναι λογική επειδή σημαίνει ότι το κόστος της αγοράς του αντικειμένου είναι υψηλότερο από το κόστος ποινής που προκύπτει όταν δεν το παρέχουμε. Η προηγούμενη ανάλυση υποθέτει ότι η ζήτηση D είναι συνεχής. Αν η D είναι διακριή τότε η f( D ) θα ορίζεται στα διακριτά σημεία και η συνάρτηση του κόστους είναι y E{ C( y)} c( y x) h ( y D) f ( D) p ( D y) f ( D) D 0 D y 1 Οι αναγκαίες συνθήκες για αριστότητα είναι E{ C( y 1)} E{ C( y)} και E{ C( y 1)} E{ C( y)}. Αυτές οι συνθήκες είναι επαρκείς σε αυτή τη περίπτωση γιατί η συνάρτηση E{ C( y )} είναι κυρτή. Μετά από κάποιους αλγεβρικές πράξεις οι συνθήκες αυτές αποδίδουν την ακόλουθη ανισότητα πρσδιορισμού του y * p c P( D y* 1) P( D y*). p h 33

Θα δώσουμε παρακάτω σε ένα αριθμητικό παράδειγμα για να κατανοήσουμε το μοντέλο. Παράδειγμα 1 Ο ιδιοκτήτης ενός κυλικείου σε ένα εργοστάσιο πουλάει έτοιμα σάντουιτς και θέλει να υπολογίσει πόσα σάντουιτς χρειάζεται να αγοράζει κάθε μέρα για ικανοποιεί την ζήτηση της ημέρας. Κάθε σάντουιτς κοστίζει 30 λεπτά και το πουλάει 75. Η ώρα που τα πουλάει είναι μεταξύ 11 και 12 το μεσημέρι που είναι και το διάλειμμα των εργαζομένων. Κάθε σάντουιτς που του περισσεύει το επιστρέφει εισπράττοντας 5 λεπτά. Πόσα σάντουιτς πρέπει να παραγγέλνει κάθε πρωί υποθέτοντας ότι η ζήτηση περιγράφεται από τις παρακάτω δύο περιπτώσεις. 1. Μια κανονική κατανομή με μέσο όρο 300 σάντουιτς και τυπική απόκλιση 20 σάντουιτς. 2. Μία διακριτή συνάρτηση κατανομής f( D ) ορισμένη από D 200 220 300 320 340 f( D ) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 Το κόστος αποθήκευσης και το κόστος ποινής δεν καθορίζονται ευθέως σε αυτή τη περίπτωση. Όμως τα δεδομένα του προβλήματος μας λέει ότι κάθε απούλητο σάντουιτς κοστίζει 30 5 = 25 λεπτά και το κόστος του να μείνει από σάντουιτς είναι 75 λεπτά για το καθένα. Έτσι θέτουμε c = 30 λεπτά το σάντουιτς, h = 25 λεπτά το σάντουιτς την ημέρα και p = 75 λεπτά το σάντουιτς την ημέρα. Αρχικά προσδιορίζουμε τον κρίσιμο λόγο p h 75 30 0,45 p h 75 25 Περίπτωση 1 η Η ζήτηση D είναι N(300,20). Καθορίζουμε την N(0,1) κανονική τυχαία μεταβλητή ως 34

D 300 z 20 Έτσι ώστε y* 300 0,125 20 επειδή από τον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής Pz ( 0,125) 0.45. Έτσι η άριστη ποσότητα παραγγελίας είναι y * = 297,5 δηλαδή περίπου 298 σάντουιτς. Περίπτωση 2 η Η ζήτηση ακολουθεί μια διακριτή κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f( D ). Αρχικά προσδιορίζουμε την αθροιστική συνάρτηση κατανομής CDF P( D y) με y 200 220 300 320 340 P( D y) 0,1 0,3 0,7 0,9 1 Για τον ήδη υπολογισμένο κρίσιμο λόγο 0,45 έχουμε P( D 220) 0, 45 P( D 300) οπότε προκύπτει ότι y * = 300 σάντουιτς. 35

3.3 ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΜΕ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ ΚΑΙ ΠΑΓΙΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΑΣ (s,s) ΠΟΛΙΤΙΚΗ Αυτό το μοντέλο διαφέρει από το προηγούμενο στο ότι συμπεριλαμβάνει και κόστος παραγγελίας K. Χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο, το αναμενόμενο κόστος ανά περίοδο είναι E{ C( y)} K E{ C( y)} K c( y x) h ( y D) f ( D) dd p ( D y) f ( D) dd y. 0 y Όπως ισχύει και στην προηγούμενη περίπτωση η άριστη τιμή y * πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση p c P( y y*). p h Και επειδή η K είναι σταθερά, η ελάχιστή τιμή του E{ C( y )} θα πρέπει επίσης να συμβαίνει στο y * όπως βλέπουμε στο σχήμα 3.2. Οι τιμές των s και S θα οριστούν σε λίγο. Στο σχήμα 3.2 έχουμε S = y * και η τιμή του s που είναι μικρότερη από αυτή του S προσδιορίζεται από την ισότητα E{ C( s)} E{ C( S)} K E{ C( S)}, s S Σχήμα 3.2 36

(Από την εξίσωση προκύπτει και ακόμη μια τιμή s 1 > S η οποία απορρίπτεται) Αν οι μονάδες προϊόντος που έχουμε διαθέσιμες πριν την παραγγελία είναι x, πόσες μονάδες πρέπει να παραγγείλουμε; Το ερώτημα πρέπει να απαντηθεί κάτω από τρεις συνθήκες. 1. x s 2. s x S 3. x S Περίπτωση 1 η ( x s) Επειδή το x είναι ήδη διαθέσιμο το ισοδύναμο κόστος δίνεται από το E{ C( x )}. Σε περίπτωση που παραγγελθεί οποιαδήποτε άλλη ποσότητα y x ( y x), το αντίστοιχο κόστος για το y είναι E{ C( y )}, που περιλαμβάνει και το πάγιο κόστος παραγγελίας K. Από το σχήμα 3.2 έχουμε min E { C ( y )} E { C y x ( S )} E { C ( x )}. Έτσι η άριστη πολιτική αποθεμάτων για αυτή την περίπτωση είναι να παραγγείλουμε S x μονάδες προϊόντος. Περίπτωση 2 η ( s x S ) Από το σχήμα 3.2 έχουμε E{ C( x)} min E{ C( y)} E{ C( S)}. y x Έτσι δεν συμφέρει πλέον να παραγγείλουμε σε αυτή τη περίπτωση. Συνεπώς y* x. Περίπτωση 3 η ( x S) Από το σχήμα 3.2 έχουμε 37

E{ C( x)} E{ C( y)} Σε αυτή τη περίπτωση δεν συμφέρει να παραγγείλουμε, δηλαδή y* x. Η άριστη αυτή πολιτική αποθεματοποίησης συχνά αναφέρεται ως ( s S ) πολιτική και συνοψίζεται ως εξής Αν x sx < s, παραγγέλνουμε S x Αν x s, δεν παραγγέλνουμε Η πολύ καλή απόδοση αυτής της πολιτικής είναι εγγυημένη επειδή η σχετική συνάρτηση κόστους είναι κυρτή. Αν η κυρτότητα δεν διατηρηθεί, η πολιτική ( s S ) δεν είναι ευνοϊκή. Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα: Παράδειγμα 2 Η καθημερινή ζήτηση για ένα προϊόν κατά τη διάρκεια μιας περιόδου προκύπτει αμέσως στην αρχή της περιόδου. Η συνάρτηση της ζήτησης είναι σταθερή μεταξύ 0 και 10 μονάδες. Το μοναδιαίο κόστος αποθήκευσης κατά τη διάρκεια της περιόδου είναι 0.50 και το κόστος του να τελειώσει το προϊόν είναι 4.50, το μοναδιαίο κόστος αγοράς είναι 0.50. Ένα πάγιο κόστος 25 προκύπτει κάθε φορά που γίνεται μια παραγγελία. Προσδιορίστε την ευνοϊκότερη πολιτική παραγγελιών για το προϊόν. Αρχικά προσδιορίζουμε το y * p c 4,5 0,5 0,8 p h 4,5 0.5 y* 1 y* P( D y*) dd 10 10 Επειδή S y* 8 η αναμενόμενη συνάρτηση κόστους είναι y 0 0 1 1 E{ C( y)} 0,5( y x) 0,5 ( y D) dd 4,5 ( D y) dd 10 10 2 2 D y D 0,5( y x) 0,05[ D y ] 0 0,45[ D y] 2 2 10 y 10 y 38

2 0, 25y 4y 22,5 0,5x Η τιμή του s προσδιορίζεται από τη λύση της εξίσωσης Δηλαδή E{ C( s)} K E{ C( S)} 2 2 0, 25 4 22,5 0,5 25 0, 25 4 0,5 s s x S S x Όταν S = 8 η παραπάνω εξίσωση γίνεται s 2 16s 36 0 Η παράσταση είναι τριώνυμο και έχει 2 λύσεις s = -2 ή s = 18. Την τιμή s = 18 (> S ) απορρίπτεται. Και επειδή η άλλη τιμή είναι αρνητική το s δεν έχει εφικτή λύση. Όπως μας δείχνει και το σχήμα 3.3 η άριστη λύση είναι να μη γίνει παραγγελία. Σε αυτό το συμπέρασμα οδηγούμαστε συνήθως όταν η συνάρτηση κόστους είναι επίπεδη ή όταν το πάγιο κόστος παραγγελίας είναι υψηλό σε σχέση με τα άλλα κόστη του προτύπου. Σχήμα 3.3 39

3.4 ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ EOQ ΠΟΛΛΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ Το τελευταίο σκέλος της παρουσίασης μας όσων αφορά το πρότυπο EOQ με στοχαστική ζήτηση είναι το πρότυπο των πολλών περιόδων που εφαρμόζεται κάτω από την υπόθεση ότι δεν υπάρχει πάγιο κόστος παραγγελίας. Επίσης το πρότυπο επιτρέπει το απόθεμα ζήτησης και υποθέτει ότι δεν υπάρχει αργοπορία στην παράδοση. Τέλος υποθέτουμε ότι η ζήτηση D σε κάθε περίοδο περιγράφεται από σταθερή συνάρτηση f( D ). Το πρότυπο των πολλών περιόδων μελετά την έκπτωση στην αξία του χρήματος. Αν α (< 1) είναι ο παράγοντας έκπτωσης ανά περίοδο τότε μια ποσότητα Α τώραμετά από n περιόδους είναι ισοδύναμη με α n Α. Υποθέτουμε ότι η συγκεκριμένη αποθεματική πολιτική συμπεριλαμβάνει n περιόδους και η ανικανοποίητη ζήτηση μπορεί να τεθεί σε αναμονή για μία μόνο περίοδο. Ορίζουμε F( x ) = Μέγιστο αναμενόμενο κόστος για τις περιόδους i, i 1,..., n, δοθέντος i i ότι το x i είναι η διαθέσιμη ποσότητα πριν γίνει παραγγελία την περίοδο i. Χρησιμοποιώντας τον ίδιο συμβολισμό με εκείνο στο πρότυπο μιας περιόδου c = Κόστος παραγωγής ανά μονάδα K = Πάγιο κόστος ανά παραγγελία h = Κόστος διατήρησης ανά μονάδα κατά τη διάρκεια της περιόδου p = Κόστος ποινής που δημιουργείται από κάθε μονάδα που δεν υπάρχει για να πουληθεί κατά τη διάρκεια της περιόδου D = Τυχαία μεταβλητή της ζήτησης κατά τη διάρκεια της περιόδου f( D ) = Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ζήτησης κατά τη διάρκεια της περιόδου y = Ποσότητα παραγγελίας x = Ποσότητα που υπάρχει πριν την πραγγελία 40

και υποθέτοντας ότι r είναι η ανά μονάδα επιστροφή, η αποθεματική πολιτική μπορεί να διατυπωθεί χρησιμοποιώντας το παρακάτω μοντέλο δυναμικού προγραμματισμού. F ( x ) max { c( y x ) [ rd h( y D)] f ( D) dd i i yi xi i i i 0 [ ry α r( D y ) p( D y ) f ( D) dd yi 0 yi i i i α Fi 1( yi D) f ( D) dd}, i 1,2,..., n όπου F ( ) n 1 yn D = 0. Η τιμή x i μπορεί να είναι αρνητική επειδή η ανικανοποίητη ζήτηση τίθεται σε αναμονή. Η ποσότητα α r( D y i ) στο δεύτερο ολοκλήρωμα συμπεριλαμβάνεται διότι ( D y i ) είναι ανικανοποίητη ζήτηση την περίοδο i που πρέπει να ικανοποιηθεί την περίοδο ( i 1). Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί επαναληπτικά. Στην περίπτωση που ο αριθμός των περιόδων είναι άπειρος η επαναληπτική σχέση γίνεται ως εξής F ( x ) max { c( y x) [ rd h( y D)] f ( D) dd i i y x [ ry α r( D y) p( D y) f ( D) dd y α F( y D) f ( D) dd} 0 y i 0 όπου x και y είναι τα επίπεδα αποθέματος για κάθε περίοδο πριν και μετά την παραλαβή μιας παραγγελίας, αντίστοιχα. Η άριστη τιμή του y μπορεί να καθοριστεί από την ακόλουθη αναγκαία συνθήκη που επίσης τυχαίνει να είναι ικανή επειδή η αναμενόμενη συνάρτηση επιστροφών Fx ( ) είναι κοίλη. 41

y () c h f ( D) dd [(1 α) r p] f ( D) dd y 0 0 F( y D) α f ( D ) dd 0. y y Η τιμή του F( y D) y καθορίζεται ως εξής. Αν υπάρχουν β (>0) περισσότερες μονάδες διαθέσιμες στην αρχή της περιόδου, το κέρδος για την επόμενη περίοδο θα αυξηθεί κατά c β, για αυτό το λίγο που πρέπει να παραγγελθεί. Αυτό σημαίνει ότι F( y D) c. y Συνεπώς η αναγκαία συνθήκη γίνεται y y c h f ( D) dd [(1 α) r p] 1 f ( D) dd α c f ( D) dd 0 0 0 0 Το βέλτιστο επίπεδο αποθέματος y * καθορίζεται από y* p (1 α)( r c) f ( D) dd. p h (1 α) r 0 Η βέλτιστη πολιτική αποθεματοποίησης για κάθε περίοδο δοθέντος του αρχικού επιπέδου αποθέματος x δίνεται στις σχέσεις Αν x y*, παραγγέλνουμε y* x. Αν x y*, δεν παραγγέλνουμε. 42

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.1 ΓΕΝΙΚΑ Η προσομοίωση είναι μια τεχνική η οποία μετράει και περιγράφει διάφορα χαρακτηριστικά ενός προτύπου, όταν μία ή περισσότερες τιμές για τις ανεξάρτητες μεταβλητές είναι στοχαστική δηλαδή δεν είναι σταθερή. Είναι γνωστό ότι αν μία από τις ανεξάρτητες μεταβλητές ενός προτύπου είναι τυχαίες μεταβλητές, τότε και η εξαρτημένη μεταβλητή (Y ) επίσης αποτελεί τυχαία μεταβλητή. Ο σκοπός της προσομοίωσης είναι να περιγράψει το ρόλο και τα χαρακτηριστικά των πιθανών τιμών που μπορεί να πάρει η εξαρτημένη (Y ), δίνοντας πιθανές τιμές στις ανεξάρτητες X1, X 2,..., X k. Η έννοια της προσομοίωσης συμπίπτει με την ιδέα της εξάντλησης πολλών πιθανών σεναρίων. Η διαφορά είναι, ότι η διαδικασία της εναπόθεσης τιμών στα κελιά του φύλλου εργασίας ώστε να αντιπροσωπεύουν τυχαίες μεταβλητές είναι αυτοματοποιημένη, έτσι ώστε, πρώτον οι τιμές να αναθέτονται με τον ίδιο τρόπο και δεύτερον ο χρήστης του φύλλου εργασίας απαλλάσσεται από το βάρος του να καθορίζει από μόνος του αυτές τις τιμές. Με την προσομοίωση μπορούμε επαληλημένα και τυχαία να δοκιμάζουμε τιμές για κάθε μη σταθερή μεταβλητή που εισάγουμε ( X1, X 2,..., X k ) στο πρότυπό μας και να υπολογίζουμε την τιμή που προκύπτει από την γραμμική ανάλυση για την εξαρτημένη μεταβλητή (Y ). Έπειτα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ενδεικτικές αυτές τιμές του Y για να εκτιμήσουμε τον πραγματικό ρόλο και άλλα χαρακτηριστικά της ανάλυσης του Y. Για παράδειγμα, μπορούμε να συνδυάσουμε αυτά τα δείγματα για να κατασκευάσουμε μία ανάλυση που να δείχνει την συχνότητα των παρατηρήσεων, για υπολογίζεται η ακτίνα τιμών μέσα στην οποία η ανάλυση μπορεί να διαφοροποιείται, για να υπολογίζεται το νόημα και η διακύμανσή της και τέλος για να υπολογίζεται αν η πραγματική τιμή της ανάλυσης θα είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από μια ειδική τιμή. Όλα αυτά τα κριτήρια εξασφαλίζουν μεγαλύτερη εμβάθυνση στην έννοια του 43

κινδύνου βοηθούμενοι από την απόφαση ότι η τιμή μιας μεταβλητής υπολογίζεται με βάση τις αναμενόμενες τιμές των στοχαστικών ανεξάρτητων μεταβλητών. Για να γίνουν κατανοητά όλα αυτά που είπαμε παραπάνω περί προσομοίωσης είναι χρήσιμο να βοηθηθούμε με ένα παράδειγμα. Το παρακάτω παράδειγμα δείχνει τους μηχανισμούς προετοιμασίας ενός προτύπου σε φύλλο εργασίας για ανάλυση κινδύνου ώστε να γίνει προσομοίωση. Το παράδειγμα παρουσιάζει ένα απλό πρότυπο για να σκιαγραφήσει την διαδικασία και να δώσει μία ιδέα της προσπάθειας που απαιτεί η διαδικασία. Ωστόσο, η διαδικασία της παρουσίασης της προσομοίωσης είναι κατά βάση η ίδια άσχετα με το μέγεθος του προτύπου. Το παράδειγμα αφορά μία μεγάλη αλυσίδα εστιατορίων, που μόλις προσέλαβαν έναν αναλυτή στο τμήμα επιχειρηματικού σχεδιασμού για να καθορίσει το ύψος των εσόδων που πρέπει η εταιρεία να ξοδέψει τον επόμενο χρόνο, για να πληρώσει τις υποχρεώσεις της στο ταμείο ασφάλισης των υπαλλήλων της. Πρόκειται για μία μεγάλη αλυσίδα εστιατορίων τόσο που δεν πληρώνει άλλο ιδιωτική ασφάλιση αλλά είναι πλέον αυτοασφαλιζόμενη, δηλαδή πληρώνει τα ασφάλιστρα με δικά της χρήματα. Δύο είναι οι πηγές από τις οποίες η εταιρεία για να εξασφαλίσει τα ασφάλιστρα. Από συνεισφορές των υπαλλήλων, ή μειώσεις των μισθών τους, και από το απόθεμά της. Κάθε ασφαλιζόμενος υπάλληλος κοστίζει στην εταιρεία 130 τον μήνα. Ωστόσο ο αριθμός των υπαλλήλων που καλύπτονται από την ασφάλιση μεταβάλλεται από μήνα σε μήνα. Περίπου 17.460 ήταν οι ασφαλιζόμενοι υπάλληλοι τον προηγούμενο μήνα. Ο μέσος όρος των ασφάλιστρων ανά υπάλληλο ήταν 280 τον προηγούμενο μήνα. 44

Πίνακας εξόδων ασφάλισης Κανονικές συνθήκες Υποθέσεις Αριθμός ασφαλιζομένων υπαλήλων 17460 Αύξηση 3% ανά μήνα Μέσος όρος ασφαλίστρων ανά υπάλληλο 280 Αύξηση 2% ανά μήνα Συνεισφορά ανά υπάλληλο 130 Σταθερή Μήνας Αριθμός υπαλλήλων Συνεισφορές υπαλλήλων Μ.Ο.Ασφαλίστρων/ υπάλληλο Συνολικά Έξοδα Κόστος της εταιρίας 1 17355 2256150 285.6 4956588 2700438 2 17875 2323750 291.3 5206987.5 2883237.5 3 18411 2393430 297.1 5469908.1 3076478.1 4 18963 2465190 303 5745789 3280599 5 19531 2539030 309 6035079 3496049 6 20117 2615210 315.1 6338866.7 3723656.7 7 20720 2693600 321.4 6659408 3965808 8 21341 2774330 327.8 6995579.8 4221249.8 9 21981 2857530 334.3 7348248.3 4490718.3 10 22640 2943200 340.9 7717976 4774776 11 23319 3031470 347.7 8108016.3 5076546.3 12 24018 3122340 354.6 8516782.8 5394442.8 Συνολικό κόστος εταιρίας 47083999,5ευρώ Ας εξηγήσουμε πως προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα. Καταρχήν αρχίζουμε γράφοντας στο φύλλο εργασίας τις αρχικές συνθήκες και τις υποθέσεις που κάνουμε. Στο κελί D5 έχουμε τον αριθμό των εργαζομένων που είναι ασφαλισμένοι (17.460), στο κελί D6 περιέχονται τα 280 που είναι ο μέσος όρος των ασφαλίστρων ανά εργαζόμενο. Για αυτά τα δύο κελιά υπάρχουν 2 υποθέσεις στα κελιά G5 και G6 που αφορούν αυξήσεις της τάξης του 3 και 2 τοις εκατό αντίστοιχα. Στην στήλη A φαίνονται οι μήνες, η στήλη B προκύπτει αυξάνοντας από μήνα σε μήνα τον αριθμό των εργαζομένων 3%. Η στήλη C είναι η συνεισφορά ανά υπάλληλο πολλαπλασιασμένη με τον αριθμό των υπαλλήλων της στήλης B. Η στήλη D είναι ο μέσος όρος των ασφαλίστρων δηλαδή το 280 αυξημένο με το 2% από μήνα σε μήνα. Τα συνολικά έξοδα της στήλης E είναι ο πολλαπλασιασμός των κελιών της στήλης Β με την στήλη D ενώ η στήλη F προκύπτει από την αφαίρεση των κελιών της στήλης E από αυτά της στήλης C και το συνολικό κόστος της εταιρείας για ασφάλιστρα είναι η πρόσθεση των κελιών της. Αν θα θέλαμε να αναλύσουμε το αποτέλεσμα που προέκυψε, θα πρέπει πρώτα να γίνουμε ρεαλιστικοί, λέγοντας ότι οι αυξήσεις του 3 και 2% μπορεί να κινούνται μέσα σε λογικά πλαίσια αλλά δεν μπορούν να δώσουν ακριβώς την 45

εικόνα του τι θα συμβεί. Στην πραγματικότητα οι αυξήσεις που αναφέραμε μπορεί να μεταβάλλονται τυχαία και από μήνα σε μήνα να έχουμε είτε αύξηση πάνω από το 2 και 3% είτε κάτω από αυτά τα ποσοστά, ενώ μερικούς μήνες να παρατηρηθεί ακόμα και μείωση. Χρησιμοποιώντας λοιπόν αυτά τα νούμερα αναφερόμαστε σε κάποιες αβέβαιες και τυχαίες συμπεριφορές, και έτσι δεν μπορούμε να πούμε ότι τα 47.083.999 είναι το ακριβές ποσό που θα πληρώσει η εταιρία για την ασφάλιση των εργαζομένων της απλά έχουμε μία πρόβλεψη του τι μπορεί να προκύψει σε μία τέτοια περίπτωση. Το πραγματικό αποτέλεσμα μπορεί να είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από αυτή την εκτίμηση. Χρησιμοποιώντας το αυθεντικό αυτό πρότυπο δεν μπορούμε να έχουμε εικόνα του πόσο πιο μεγάλο η πιο μικρό μπορεί να είναι το πραγματικό αποτέλεσμα και ούτε μπορούμε να ξέρουμε τις πραγματικές μεταβολές των τιμών. Για να καταλάβουμε την διακύμανση του κινδύνου που εμπεριέχεται στην γραμμική ανάλυση θα χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της προσομοίωσης στο πρότυπό μας. 4.2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ Crystal Ball Τα προηγούμενα, αποτελούν τα τις βασικές αρχές της προσομοίωσης με Η/Υ. Χρησιμοποιήσαμε το παράδειγμα ώστε να παρουσιάσουμε μια προσομοίωση και να γίνει πιο κατανοητή αυτή η διαδικασία. Όπως είναι εμφανές το παράδειγμα δεν ήταν τίποτα άλλο από μία εφαρμογή στο Excel. Αν και το Excel διαθέτει από μόνο του κάποιες δυνατότητες προσομοίωσης, τα τελευταία χρόνια υπάρχει μία αλματώδης ανάπτυξη προγραμμάτων πραγματικά πολύ αποτελεσματικών που ενσωματώνονται στο Excel και επεκτείνουν αυτές τις δυνατότητες. Ένα από τα πιο δημοφιλή είναι το Crystal Ball, σχεδιασμένο από την εταιρία Decisioneering που σχεδίασε και την βελτιωμένη έκδοση του προγράμματος το Crystal Ball 2000 (Professional Edition). Η έκδοση αυτή εκτός από την μεγάλη λειτουργικότητά του στο να εκτελεί προσομοιώσεις, αυτή η βελτιωμένη έκδοση του Crystal Ball περιέχει επίσης δύο ακόμα υποπρογράμματα. Το ένα είναι το CB Predictor, που 46

χρησιμοποιείται για να δημιουργεί προβλέψεις για δεδομένα συσσωρευμένα από σειρά ετών. Το άλλο είναι το OptQuest που εμπλουτίζει το Crystal Ball χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα μιας σειράς προσομοιώσεων αναζητεί την πιο κατάλληλη λύση για ένα πρότυπο προσομοίωσης. Ας δούμε πως χρησιμοποιείται το Crystal Ball σε ένα φύλλο εργασίας. Σε αυτό θα μας βοηθήσει ένα παράδειγμα το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε για να κατανοήσουμε τη χρησιμότητα του υποπρογράμματος αυτού. Ο Νίκος είναι ιδιοκτήτης ενός μικρού αλλά παλιού εφημεριδοπωλείου σε μια γειτονιά της Καβάλας. Ο Νίκος πουλά ημερησίως πολλά περιοδικά και εφημερίδες καθώς διαθέτει μεγάλη ποικιλία ελληνόφωνων αλλά και ξένων εφημερίδων. Θα χρησιμοποιήσουμε τις πωλήσεις του Νίκου που αφορούν μια εφημερίδα η οποία έχει μεγάλη ζήτηση στο παράδειγμά μας διαλέγοντας τη Φωνή. Η εφημερίδα έρχεται νωρίς το πρωί στο μαγαζί του Νίκου από τον διανομέα. Τα αντίτυπα που έμειναν απούλητα επιστρέφονται στο διανομέα το επόμενο πρωί. Όμως ο διανομέας προσφέρει μία μικρή επιστροφή χρημάτων για κάθε ένα απούλητο αντίγραφο για να ενθαρρύνει μεγάλες παραγγελίες. Έτσι ο Νίκος πληρώνει 1 για κάθε αντίτυπο της Φωνής που αγοράζει και το πουλάει 2 ενώ του επιστρέφονται και 0.30 για κάθε απούλητο αντίτυπο. Στις αρχές ο Νίκος αγόραζε μεγάλες προμήθειες παρασυρόμενος από το ότι μπορεί να τα επιστρέψει παίρνοντας πίσω ένα μέρος των χρημάτων του. Έπειτα άρχισε να σκέφτεται γιατί να πληρώνει τόσα πολλά αντίτυπα που στο τέλος μένουν απούλητα, έτσι σκέφτεται να αγοράζει μόνο ένα μικρό αριθμό αντιτύπων κάνοντας οικονομία. Για να αποφασίσει όμως τον ακριβή αριθμό αντιτύπων που θα παραγγείλει ο Νίκος άρχισε να κρατάει σε ένα αρχείο τις ημερήσιες πωλήσεις του. Ανακάλυψε ότι κάθε μέρα πουλά από 50 μέχρι 75 αντίτυπα της Φωνής. Με την βοήθεια της προσομοίωσης θα λύσουμε το πρόβλημα του Νίκου για το πόσα ακριβώς αντίτυπα πρέπει να παραγγείλει ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του. Στο φύλλο εργασίας βλέπουμε ότι στα κελιά C4-C6 έχουμε τα δεδομένα του προβλήματος μας καθώς και την τυχαία μεταβλητή μας στο κελί C9 (το 60 επιλέχθηκε τυχαία και μοιάζει απλά λογικό). Έπειτα βλέπουμε τα νούμερα που μας βοηθούν να υπολογίσουμε τα 47

αποτελέσματα στα κελιά C15-C17 που με την σειρά τους βοηθούν στον υπολογισμό του κέρδους στο κελί C19. Η μόνη μη σίγουρη εισαγωγή αριθμού αφορά την ζήτηση προσομοίωσης στο κελί C12. Αυτός ο αριθμός θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε μεταξύ 50 και 75 αφού η συχνότητα εμφάνισης αυτών των αριθμών είναι σχεδόν ίδια, κάτι που προτιμάται από το να θέσουμε έναν αριθμό μόνιμα στο κελί αυτό αφού το Crystal Ball θα κάνει όλες τις πιθανές δοκιμές στο συγκεκριμένο κελί. Έτσι επιλέγεται τυχαία ο αριθμός 63. Χρησιμοποιώντας το Crystal Ball για να παράγουμε πολλές τυχαίες παρατηρήσεις από αυτή τη πιθανή διανομή θα υπολογίζονται τα ζητούμενα κελιά με τον συνήθη τρόπο. Κάθε φορά που θα γίνεται αυτό θα θεωρείται ως μια δοκιμή του υποπρογράμματος μας.εκτελώντας τα νούμερα των δοκιμών που θα καθορίσει ο χρήστης, που μπορεί να είναι εκατοντάδες ή ακόμα και χιλιάδες, ο υπολογιστής θα παράγει τον ίδιο αριθμό τυχαίων παρατηρήσεων στα κελιά που μπαίνουν οι εξαγόμενες τιμές. Το Crystal Ball καταγράφει όλες τις πληροφορίες για τα εξαγόμενα κελιά που μας ενδιαφέρουν και έπειτα τα παρουσιάζει σε έναν αριθμό από κατάλληλες φόρμες που δείχνουν μια εκτίμηση των βασικών πιθανοτήτων κέρδους του Νίκου. Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι στρογγυλοποιούμε την ζήτηση προσομοίωσης γιατί ενώ κατά την διαδικασία προσομοίωσης η ζήτηση μπορεί να πάρει και δεκαδικές τιμές μεταξύ 50 και 75 στην πραγματικότητα το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ακέραιο γιατί αναφερόμαστε σε αριθμό εφημερίδων γι αυτό και χρησιμοποιείται το κελί C13. 48

Παράδειγμα εφημερίδας "Φωνή" Τιμή Μονάδος 2 Κόστος Μονάδος 1 επιστροφή χρημάτων/μονάδα 0.3 Τυχαία Μεταβλητή Ποσότητα παραγγελίας 60 Προσομοίωση Ελάχιστο Μέγιστο Ζήτηση προσομοίωσης 63 50 80 Στρογγυλοποιημένη Ζήτηση 63 Έσοδα 126 Κόστος 60 επιστροφή χρημάτων 18.9 Κέρδος 84.9 Προσομοίωση Ζήτηση προσομοίωσης 63 Στρογγυλοποιημένη Στρογγυλοποίηση της Ζητησης Ζήτηση Προσομοίωσης Έσοδα Κόστος Επιστροφή χρημάτων Κέρδος Τιμή Μονάδος*(Ελάχιστη ποσότητα παραγγελίας) Κόστος Μονάδος*Ποσότητα Παραγγελίας Τιμή Μονάδος*(Μέγιστη ποσότητα παραγγελίας) Έσοδα-Κόστος+Επιστροφή χρημάτων C4*MIN(C12) C5*C9 C6*MAX(C12) C15- C16+C17 49

Ακολουθούμε τέσσερα βήματα για να κάνουμε προσομοίωση με Crystal Ball στο φύλλο εργασίας με το παράδειγμα της εφημερίδας. 1. Προσδιορίζουμε τα κελιά που περιέχουν τυχαίες τιμές. Ένα από τα κελιά που περιέχουν τυχαίες τιμές είναι αυτό που περιέχει την ημερήσια ζήτηση της εφημερίδας Φωνή. Γι αυτό το λόγο μπορούμε αντί να τοποθετούμε έναν απλό αριθμό, να χρησιμοποιήσουμε μια υποτιθέμενη διανομή πιθανοτήτων, θα καταλάβουμε παρακάτω περί τίνος πρόκειται. Όπως είπαμε το μόνο κελί που περιέχει τυχαία τιμή είναι το κελί της ζήτησης προσομοίωσης (C12). Στο υποπρόγραμμα μας τα κελιά με τις τυχαίες τιμές αναφέρονται ως κελιά υπόθεσης (assumption cells). Διαδικασία προσδιορισμού κελιού υπόθεσης. (α) Μαρκάρουμε το κελί. (β) Αν το κελί δεν περιέχει τιμή, τοποθετούμε έναν τυχαίο αριθμό. (γ) Κάνουμε κλικ στο πρώτο κουμπί της μπάρας εργασίας του Crystal Ball (the Define Assumption button). (δ) Επιλέγουμε μια διανομή πιθανότητας για να εισάγουμε στο κελί κάνοντας κλικ πάνω στη διανομή στη συλλογή διανομών (Distribution Gallery) (ε) Πατάμε ΟΚ ή διπλό κλικ στην επιλεγμένη διανομή για να ανοίξει ένα παράθυρο διαλόγου. (ζ) Εισάγουμε στο παράθυρο διαλόγου τις παραμέτρους της διανομής, αναφερόμενοι στα κελιά που περιέχουν τις τιμές των παραμέτρων. Αν ζητάτε, μπορεί να μπει και ένα όνομα για το κελί υπόθεσης.(αν το κελί αυτό έχει ήδη όνομα δίπλα του ή πάνω από αυτό, στο φύλλο εργασίας τότε αυτό το όνομα θα φανεί στο παράθυρο διαλόγου). (η) Πατάμε ΟΚ. Η συλλογή διανομών (Distribution Gallery), που αναφέρεται στο 4 παρέχει μια ποικιλία 17 διανομών πιθανότητας από τις οποίες οι 12 είναι εμφανής και οι 50

υπόλοιπες εμφανίζονται όταν κάνουμε κλικ στο κουμπί More.Αργότερα θα δούμε πώς να επιλέγουμε τη σωστή για κάθε περίπτωση διανομή. Στο παράδειγμά μας επιλέγουμε την διανομή uniform η οποία αντιπροσωπεύει μια σταθερή διανομή. Στο παράθυρο διαλόγου που εμφανίζεται ζητείται να δώσουμε το πεδίο τιμών στο οποίο θα κυμαίνονται οι τιμές, έτσι στο κελί που ζητάτε το κάτω άκρο βάζουμε το όνομα του κελιού που περιέχει αυτή την τιμή (E12) ενώ στο πάνω άκρο το κελί (F12) και πατάμε Enter. Αμέσως κάτω από το διάγραμμα εμφανίζεται μια επιλογή static/dynamic. Η πρώτη επιλογή (static) σημαίνει ότι οι τιμές στα κελιά Min και Max ελέγχονται μια φορά κατά την αρχή της εκτέλεσης της προσομοίωσης και αυτές οι τιμές χρησιμοποιούνται για όλες τις δοκιμές. Κάτι που συμβαίνει και στο παράδειγμά μας. Ενώ η δεύτερη επιλογή (dynamic) σημαίνει ότι οι τιμές στα κελιά Min και Max ελέγχονται για κάθε μια δοκιμή ξεχωριστά σε περίπτωση που οι τιμές αυτές αλλάζουν αυτό βέβαια εξαρτάται από το κελί υπόθεσης. 2. Προσδιορίζουμε τα κελιά των αποτελεσμάτων από την πρόβλεψη. Το αποτέλεσμα της προσομοίωσης λέγεται πρόβλεψη. Έτσι και κάθε κελί που περιέχει το αποτέλεσμα της προσομοίωσης λέγεται κελί πρόβλεψης (forecast cell). Στην περίπτωσή μας το μόνο κελί πρόβλεψης είναι το κελί που αναζητούμε το κέρδος (C19). 51

Διαδικασία προσδιορισμού κελιού πρόβλεψης (α) Μαρκάρουμε το κελί. (β) Κάνουμε κλικ στο τρίτο κουμπί της μπάρας εργασίας του Crystal Ball (the Define Forecast button) που εμφανίζει το ανάλογο παράθυρο διαλόγου. (δ) Στο παράθυρο αυτό προσδιορίζουμε όνομα για το κελί πρόβλεψης. (ε) Πατάμε ΟΚ. 52

3. Θέτουμε τις προτιμήσεις εκτέλεσης Για να θέσουμε τις προτιμήσεις εκτέλεσης για την προσομοίωσή μας, επιλέγουμε την επιλογή (κουμπί) Run Preferences στη μπάρα εργασίας του Crystal Ball. Αφού εμφανιστεί το ανάλογο παράθυρο διαλόγου μπορούμε να επιλέξουμε ή να αλλάξουμε κάποια στοιχεία σχετικά με το πώς θα γίνει η προσομοίωση. Όπως για παράδειγμα να ορίσουμε των αριθμό των δοκιμών που θα τρέξει η προσομοίωση. 4. Εκτελούμε την προσομοίωση Για να αρχίσει η εκτέλεση της προσομοίωσης το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι κλικ στο κουμπί Start Simulation από την μπάρα εργασίας. Καλό όμως θα είναι πριν γίνει αυτό να πατήσουμε το κουμπί Reset Simulation επαναφέροντας την διαδικασία στην αρχική της θέση σε περίπτωση που συνέβη προσομοίωση προηγουμένως, ώστε να αρχίσουμε μια καινούργια. 53

54

Καθώς τρέχει προσομοίωση εμφανίζεται ένα παράθυρο στο οποίο παρακολουθούμε την εκτέλεση ώσπου να ολοκληρωθεί και μετά το τέλος παραμένει στην οθόνη. Όπως παρατηρούμε το διάγραμμα, το ύψος των κατακόρυφων γραμμών δείχνει την σχετική συχνότητα των διαφόρων κερδών που δοκιμάζονται κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης. Αν πάνω στο παράθυρο διαλόγου επιλέξουμε Preferences και από τα Chart options το Mean Line στο διάγραμμα εμφανίζεται η ένδειξη Mean που δείχνει το μέσο από τις 500 τιμές του κέρδους που στο παράδειγμα μας είναι 80,43. Επίσης από το μενού View του ίδιου παραθύρου επιλέγουμε Statistics και εμφανίζεται ένας πίνακας που συνοψίζει τα στοιχεία που προέκυψαν από την προσομοίωση. Ο πίνακας αυτός περιέχει μερικές σημαντικές πληροφορίες όπως τον αριθμητικό 55

μέσο(mean) των 80,43 τον στατιστικό μέσο(median) των 80,87 που δείχνει τα ο μέσο κέρδος των 500 δοκιμών αν βάλουμε αυτά τα κέρδη από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, καθώς και την τυπική απόκλιση (Standard Deviation) που στο παράδειγμά μας είναι 8,56. Εκτός από τα στατιστικά στοιχεία που μπορούμε να παρατηρήσουμε και να βγάλουμε τα συμπεράσματά μας, η εφαρμογή μας δίνει την δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων παρουσίασης της εκτέλεσης της προσομοίωσης. Από το μενού View επιλέγουμε τον ποσοστιαίο πίνακα παρουσίασης των αποτελεσμάτων (Percentiles), τον αθροιστικό πίνακα (Cumulative Chart) και τον ανάποδα αθροιστικό πίνακα (Reverse Cumulative Chart). Ο ποσοστιαίος πίνακας από την κατηγοριοποίηση των τιμών των κερδών που προκύπτουν από τις 500 δοκιμές από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη, και τη διαίρεσή τους σε 10 ίσα μέση των 50 τιμών το καθένα και έπειτα αναγράφεται η τιμή στο τέλος κάθε μέρους. Δηλαδή το 10% έχει τιμή 68,36 που σημαίνει ότι το 10% των δοκιμών έχουν τιμή κέρδους λιγότερο ή ίσο των 68,36. Το αθροιστικό διάγραμμα παρέχει τις ίδιες αλλά περισσότερο λεπτομερείς πληροφορίες για την λίστα κερδών παρουσιαζόμενη από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Αυτό το διάγραμμα δείχνει όλο το εύρος τιμών από το μικρότερο δυνατό κέρδος ως το μεγαλύτερο. Για κάθε τιμή το διάγραμμα αθροίζει τον αριθμό των πραγματικών κερδών των 500 δοκιμών που είναι που είναι μικρότερη ή ίση από αυτή τη τιμή. Το ανάποδα αθροιστικό διάγραμμα είναι δομημένο με τον ίδιο τρόπο όπως το αθροιστικό εκτός από μια κρίσιμη διαφορά. Για κάθε τιμή από το εύρος τιμών, αθροίζει τον αριθμό των πραγματικών κερδών που προκύπτουν από τις 500 δοκιμές που είναι μεγαλύτερη ή ίση από αυτή τη τιμή. Μια ακόμα δυνατότητα που μας προσφέρει το Crystal Ball και μας βοηθάει να αποκομίσουμε χρήσιμα συμπεράσματα, θα παρουσιάσουμε με ένα παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι ο Νίκος ο εφημεριδοπώλης μας είχε ένα κέρδος τουλάχιστον 68 σε μια μέρα από την πώληση της Φωνής και θα ήθελε να μάθει το ποσοστό επί τοις εκατό των ημερών που μπορεί να έχει αυτό το κέρδος με την τρέχουσα ποσότητα παραγγελίας (60). Αν λοιπόν αλλάξουμε 56

στο αριστερά κάτω παράθυρο του παράθυρου διαλόγου την τιμή από Infinity σε 68 και πατώντας Enter η βεβαιότητα πέφτει από το 100% στο 91,20%. Το στοιχείο του πίνακα Statistics, μέσο τυπικό σφάλμα (mean standard error) που στο παράδειγμά μας είναι 0,38 μας ενημερώνει για την ακρίβεια των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης. Στην πραγματικότητα ο μέσος μπορεί να κυμαίνεται πιο πάνω από την ποσότητα των 0,38 του μέσου λάθους αλλά τις περισσότερες φορές δεν κυμαίνεται πάνω από αυτόν. Αν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, το μέσο τυπικό σφάλμα μπορεί να μειωθεί αυξάνοντας τον αριθμό των δοκιμών στην εκτέλεση της προσομοίωσης. Δεν θα έχουμε όμως και μεγάλη μείωση αν ο αριθμός των δοκιμών δεν αυξηθεί σημαντικά. Για παράδειγμα, για μειώσουμε στο μισό το μέσο σφάλμα πρέπει να τετραπλασιάσουμε τις δοκιμές. Επειδή λοιπόν ίσως το επιθυμητό επίπεδο μέσου λάθους να απαιτεί έναν πού μεγάλο αριθμό δοκιμών και κατ επέκταση μια χρονοβόρα και μεγάλη εκτέλεση, ευτυχώς το Crystal Ball έχει μια ειδική μέθοδο ελέγχου της ακρίβειας για να σταματά η προσομοίωση νωρίς μόλις επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια. Αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι να επιλέξουμε τη δεύτερη επιλογή ( Enable Precision Control ) στη καρτέλα Run Preferences Trials. Η καινούργια ακρίβεια καθορίζεται στο Define Forecast παράθυρο διαλόγου πατώντας More. Στο κάτω μέρος αυτού του παραθύρου βλέπουμε ότι η πρόβλεψη έχει ακρίβεια 95%, στο μεσαίο παράθυρο βλέπουμε ότι η ακρίβεια θα υπολογιστεί σε απόλυτα διαστήματα όπως του 1. Για να πετύχουμε την επιθυμητή ακρίβεια, η προσομοίωση θα ξαναρχίσει να δημιουργεί δοκιμές. Αυτό θα γίνει θέτοντας ένα μεγαλύτερο αριθμό δοκιμών (π.χ.1000) συμπεριλαμβανομένου και τις 500 που έχουν γίνει στο παράθυρο Run Preferences και μετά να αρχίσει η προσομοίωση (Start Simulation) και από αυτό τα αποτελέσματα αλλάζουν όπως μπορούμε να δούμε στον καινούργιο πίνακα Statistics όπου βλέπουμε και τις διαφορές στον μέσο, στη μέση τυπική απόκλιση και στο μέσο σφάλμα. Τα αποτελέσματα αυτά προκύπτουν όταν ο Νίκος παραγγέλνει 60 αντίτυπα της Φωνής. Αυτή είναι η ποσότητα που εκτιμά ότι λογικά θα ικανοποιήσει τη ζήτηση των περισσότερων ημερών όμως η προσομοίωση δεν αποκάλυψε αν οι 60 εφημερίδες είναι το καταλληλότερο νούμερο για να μεγιστοποιήσει το 57

κέρδος του. Θα χρειαστούν πολλές προσομοιώσεις με πολλές δοκιμές στην ποσότητα παραγγελίας για να βρεθεί η ιδανική ποσότητα παραγγελίας. Αυτή η δουλειά μπορεί να γίνει με τη βοήθεια ενός πίνακα αποφάσεων (decision table) και ενός διαγράμματος τάσης (trend chart). Αυτή η παρουσίαση θα δώσει ένα τέλος στο πρόβλημά μας. Η προσομοίωση με το Crystal Ball είναι ένα πολυμήχανο εργαλείο που μπορεί να διαχειριστεί αναρίθμητα διοικητικά ζητήματα. 4.3 ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Κάθε πρότυπο προσομοίωσης περιλαμβάνει τουλάχιστον μία μεταβλητή απόφασης. Στο παράδειγμά μας αυτή είναι η ποσότητα παραγγελίας στο κελί C9. Επειδή λοιπόν παρά την ανάλυση μας προηγουμένως δεν καταφέραμε να καταλήξουμε σε κατάλληλη λύση για την μεταβλητή απόφασης ευτύχως το Crystal Ball παρέχει ένα ειδικό εργαλείο το Decision Table tool, το οποίο συστηματικά εφαρμόζει την προσομοίωση για να καταλήξει τουλάχιστον σε μια διαδικασία προσέγγισης για μια κατάλληλη λύση σε προβλήματα όπως το δικό μας με μία ή περισσότερες μεταβλητές απόφασης. Η προσέγγισή μας λοιπόν έχει ως εξής, δοκιμάζουμε διαφορετικές τιμές για την μεταβλητή μας και εκτελούμε προσομοίωση για κάθε μια από τις τιμές και βλέπουμε ποιά παρέχει καλύτερη εκτίμηση του επιλεγμένου κριτηρίου. Αυτό είναι που κάνει το Decision Table tool αλλά όπως είπαμε με έναν πιο συστηματικό τρόπο. Με την βοήθεια παράθυρων διαλόγου καθορίζουμε αυτό που θέλουμε να κάνουμε και με το πάτημα ενός πλήκτρου γίνονται όλες οι επιθυμητές προσομοι βσεις και το αποτέλεσμα παρουσιάζεται σε πίνακα αποφάσης. Επίσης υπάρχει η δυνατότητα να δούμε μερικά διαγράμματα όπως το πολύ διαφωτιστικό διάγραμμα τάσης (trend chart) που παρέχει επιπλέον πληροφορίες για τα αποτελέσματα. Επιστρέφουμε εφαρμόζοντας την πρακτική του πίνακα απόφασης στο παράδειγμα μας ώστε να καθορίσουμε πόσα αντίτυπα της Φωνής πρέπει να παραγγέλνει ο Νίκος καθημερινά ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος. 58

Προηγουμένως στην προσομοίωσή μας χρησιμοποήσαμε ένα αριθμό των 60 αντιτύπων και θέσαμε ως ένα εύρως τιμών μεταξύ 54 και 66 με τόσο μεγάλη όμως διακύμανση τιμών δεν είναι σαφές ποιά τιμή είναι αυτή που μεγιστοποιεί το κέρδος είναι το 60 ή κάποια άλλη από το εύρος τιμών. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα θα πρέπει να δούμε τί αποτέλεσμα θα προκύψει με άλλες τιμές ποσοτήτων παραγγελίας από το εύρος τιμών, και για να γίνει αυτό με το Decision Table tool θα πρέπει αρχικά να καθοριστεί η μεταβλητή απόφασης που ερευνάται και που φέρει το όνομα: ποσότητα παραγγελίας (C9). Διαδικασία καθορισμού μεταβλητής απόφασης 1. Επιλέξτε το κελί που περιέχει τη μεταβλητή απόφασης 2. Αν το κελί δεν περιέχει τιμή εισάγετε οποιδήποτε αριθμό στο κελί 3. Πατήστε το δεύτερο κουμπί (Define Decision) στην γραμμή εργαλείων του Crystal Ball, το οποίο εμφανίζει το παράθυρο διαλόγου για τον καθορισμό της μεταβλητής απόφασης. 4. Εισάγετε το κατώτερο και ανώτερο όριο του εύρους τιμών που θα προσομοιωθεί για την μεταβλητή απόφασης. 5. Επιλέξτε Συνεχόμενη (Continuous) ή Διακριτή (Discrete) γαι να καθορίσετε αν η μεταβλητή θα πάρει αντίστοιχα συνεχόμενες ή διακριτές τιμές 6. Αν επιλέξετε διακριτές τιμές στο βήμα 5 χρησιμοποιείστε το κουτί βήματος για να καθορίσετε τη διαφορά μεταξύ των διαδοχικών πιθανών τιμών της μεταβλητής απόφασης. (Η τιμή που αυτόματα επιλέγεται είναι το 1) 7. Πατήστε OK 59

Τώρα είμαστε έτοιμοι να επιλεξουμε Πίνακα Απόφασης (Decision Table) από το μενού εργαλέιων του Crystal Ball. Αυτή η επιλογή εμφανίζει μια σειρά από τρία παράθυρα διαλόγου τα οποία βλέπουμε παρακάτω. Για να προετοιμάσουμε την δημιουργία ενός πίνακα απόφασης στο πρώτο παράθυρο διαλόγου καθορίζεται ποιο κελί πρόβλεψης θα είναι ο στόχος στην περίπτωσή μας υπάρχει μόνο ένα τέτοιο κελί το κελί του κέρδους (C19) το επιλέγουμε λοιπόν και πατάμε επόμενο (Next), στο δέυτερο παράθυρο καθορίζεται ποια από τις δύο μεταβλητές απόφασης θα αλλάξει, στο αριστερό μέρος υπάρχουν όλα τα κελιά που ορίστηκαν ως μεταβλητές απόφασης στο παράδειγμά μας είναι το κελί ποσότητας παραγγελίας την οποία επιλέγουμε μεταφέροντας την από τα αριστερά στα δεξιά με τα βέλη (>>),και στο τρίτο τις επιλογές εκτέλεσης, το πρώτο παράθυρο εισαγωγής αναγράφεται ο αριθμός των τιμών της μεταβλητής απόφασης για τις οποίες θα εκτελεστεί η προσομοίωση το Crystal Ball έπειτα διανέμει εξίσου τις τιμές πάνω στο εύρος τιμών που καθορίστηκε στο παράθυρο διαλόγου της επιλογής μεταβλητής απόφασης ( Define Decision Variable) στην περίπτωσή μας αν θέσουμε το εύρος τιμών 50 ως 80 τότε μπορουύ να βάλουμε τον αριθμό 7 στο κουτί αυτό επιλέγοντας 50 55 60 65 70 75 80 ως τις 7 τιμές της ποσότητας παραγγελίας για τις οποίες θα εκτελεστεί η προσομοίωση. Μετά από αυτό και αφού επιλέξουμε το μέγεθος των εκτελέσεων και το τί θέλουμε να βλέπουμε ενώ εκτελούνται οι προσομοιώσεις από τα αντίστοιχα κουτιά επιλογής του παραθύρου δεν μένει τίποτα από το να πατήσουμε Έναρξη (Start). 60

61

Μετά την εκτέλεσης των προσομοιώσεων δημιουργείται ένας πίνακας που δείχνει για κάθε ποσότητα παραγγελίας της γραμμής 1, το μέσο (mean) των τιμών του κελιού στόχου (C19) που προέκυψαν από ολες τις δοκιμές της εκτέλεσης στην γραμμή 2. 62

Παρατηρούμε ότι στο κελί Β2 βρίσκεται η τιμή με το μεγαλύτερο μέσο κέρδος που αντιστοιχεί στην ποσότητα πραραγγελίας 50 οπότε έχουμε μια σαφή εικόνα της ποσότητας που θα πρέπει να παραγγελθεί ώστε να επιτευχθεί το αναμενόμενο μέγιστο κέρδος. Το αριστερά επάνω μέρος του αυτού του πίνακα απόφασης περιλαμβάνει τρεις επιλογές που βοηθού να αποκομίσουμε περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τα αποτελέσμα της προσομοίωσης για τα κελιά που επιλέξαμε. Μια επιλογή είναι να δούμε το διάγραμμα πρόβλεψης που μας ενδιαφέρει όπως το διαγραμμα συχνοτήτων (frequency chart) ή το αθροιστικό διάγραμμα (cumulative chart) επιλέγοντας ένα κελί πρόβλεψης από τη γραμμή 2 και πατώντας το κουμπί διαγραμμάτων πρόβλεψης (Forecast Charts). Άλλη μια επιλογή είναι να δούμε τα απότελέσματα δύο ή περοσσότερων εκτελέσεων μαζί με το να επιλέξουμε ένα σετ από κελιά πρόβλεψης της γραμμής 2 και πατώντας το κουμπί διαγραμμάτων επικάλυψης (Overlay Chart). Στο διάγραμμα αυτό με τις μπλε γραμμές φαίνονται οι συχνότητες για το κέρδος 1 δηλαδή γαι τις τιμές 50-55 και με τις πιο κόκκινες οι συχνότητες του κέρδους 4 για τις τιμές 65-70 και έτσι τα αποτελέσματα μπορούν να συγκριθούν δίπλα δίπλα. Η Τρίτη και τελευταία επιλογή, είναι να επιλέξουμε το διάγραμμα τάσης (Trend Chart) αφού πρώτα διαλέξουμε τις προβλέψεις που μας ενδιαφέρουν από τη γραμμή 2. Στην περίπτωση αυτή δημιουργείται το λεγόμενο διάγραμμα τάσης στο οποίο στον οριζόντιο άξονα φαίνονται ποσότητες παραγγελίας πάνω στις οποίες έγινε η προσομοίωση. Ο κατακόρυφος άξονας δίνει το κέρδος που προκύπτει επίσης από την προσομοίωση. Οι έγχρωμες ζώνες μέσα στο διάγραμμα παρέχουν πληροφορίες για την διανεμομένη συχνότητα του κέρδους για κάθε εκτέλεση προσομοίωσης. Οι ζώνες αυτές εστιάζουν στους μέσους των διανεμομένων συχνοτήτων. Για να γίνει πιο κατανοητό, το κέντρο της μεσαίας ζώνης δίνει αυτή τη τιμή κέρδους έτσι ώστε οι μισές δοκιμές προσομοίωσης να δίνουν μεγαλύτερη τιμή και οι άλλες μισές μικρότερη, περιέχει το 10% των τιμών του κέρδους και διαχωρίζει 45% για κάθε πλευρά. Δηλαδή δίνει τη μέση τιμή για το κέρδος με βάση όλες τις δοκιμές.με την ίδια λογική, τρεις κεντρικές γραμμές δίνουν μαζί το 25% των τιμών του κέρδους, οι πέντε κρντρικές 63

γραμμές το 50% και όλες μαζί οι επτά το 90%. Το 5% των τιμών του κέρδους που δημιουργήθηκαν από τοην προσομοίωση είναι πάνω από την μεγαλύτερη τιμή του κέρδους και το άλλο 5% κάτω από την μικρότερη. Το διάγραμμα τάσης ονομάζεται έτσι επειδή δείχνει γραφικά την τάση καθώς η τιμή της μεταβλητής απόφασης αυξάνεται. 64

4.4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ 2 ΓΙΑ ΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ Βενζινάδικο 1000λίτρα Ζήτηση /μήνα Κόστος παραγγελίας 100 Σταθερό κόστος 2 /λίτρο/μήνα Ελλειματικό Κόστος 10 Ποσότητα παραγγελία προσομοίωσης 95 Ελάχιστο Μέγιστο Ζήτηση 90 70 120 Ποσότητα παραγγελίας 94 Επιλέγουμε το κελί που περιέχει την τιμή της ζήτησης επιλέγουμε σταθερή διανομή (Uniform Distribution) 65

Θέτουμε το ελάχιστο και κατώτερο όριο τιμών έτσι ώστε να υπερβαίνει το 100 αφού η ζήτηση είναι σταθερή και πάνω από το όριο των (0,100). Προσδιορίζουμε το κελί της τιμής της ποσότητας παραγγελίας και αφού ρυθμίσουμε από την επιλογή Run Preferences να γίνουν 500 δοκιμές εκτελύμε την προσομοίωση. 66