ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε ένα πληθυσμό. Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μία μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής. Οι μεταβλητές διακρίνονται σε ποιοτικές (ή κατηγορικές) και σε ποσοτικές. Ποιοτικές μεταβλητές: Είναι οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές δεν είναι αριθμοί. Ποσοτικές μεταβλητές: Είναι οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί. Διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς. Διακριτές μεταβλητές: Λέγονται οι μεταβλητές που παίρνουν μόνο «μεμονωμένες» τιμές. Συνεχείς μεταβλητές: Λέγονται οι μεταβλητές που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών (α,β). Απογραφή: Λέγεται η μέθοδος συλλογής των χαρακτηριστικών που μας ενδιαφέρουν με την εξέταση όλων των ατόμων του πληθυσμού. Δείγμα: Λέγεται μία μικρή ομάδα ή υποσύνολο του πληθυσμού για τη συλλογή πληροφοριών. Αντιπροσωπευτικό δείγμα: Λέγεται το δείγμα που η επιλογή του έχει γίνει με σωστό τρόπο, ώστε τα συμπεράσματα της στατιστικής μελέτης να είναι αξιόπιστα (θα έχουν ικανοποιητική ακρίβεια). ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικοί Πίνακες: Είναι η συνοπτική ταξινόμηση των στατιστικών δεδομένων σε πίνακες για την εξαγωγή σωστών συμπερασμάτων. Διακρίνονται σε γενικούς και ειδικούς. Γενικοί πίνακες: Περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μία στατιστική έρευνα. Ειδικοί πίνακες: Είναι οι πίνακες που είναι συνοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συνήθως έχουν ληφθεί από γενικούς πίνακες. Κάθε πίνακας περιέχει: τίτλο, επικεφαλίδα, κύριο σώμα και πηγή. Συχνότητα ν : Είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή I της εξεταζόμενης μεταβλητής X στο σύνολο των παρατηρήσεων. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος, δηλαδή ν +ν + +ν κ = =ν

ο Κεφάλαιο: Στατιστική Διαλογή: Είναι η ομαδοποίηση των παρατηρήσεων κατά συμφωνία με τις τιμές,,, k μιας μεταβλητής. Σχετική Συχνότητα f : Είναι το πηλίκο της συχνότητας ν προς το μέγεθος ν του δείγματος : f,,,, Ιδιότητες: ) f,,,, αφού f. ) f f f k Απόδειξη : f f f k. Σχετική Συχνότητα επί της εκατό f %: Είναι το πηλίκο της συχνότητας ν προς το μέγεθος ν του δείγματος επί της εκατό : f % %,,,, ή f I %= f I, και f I %+f %+ f κ %=. Πίνακας Κατανομής Συχνοτήτων: Είναι η συγκέντρωση των, ν, f σε ένα συνοπτικό πίνακα. Κατανομή Συχνοτήτων: Λέγεται το σύνολο των ζευγών (,f ) μίας μεταβλητής. Κατανομή Σχετικών Συχνοτήτων: Λέγεται το σύνολο των ζευγών (,f %) μίας μεταβλητής. Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες f και ν χρησιμοποιούνται οι αθροιστικές συχνότητες Ν και αθροιστικές σχετικές συχνότητες F. Αθροιστική συχνότητα Ν : Εκφράζουν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες από. Αν η οι τιμές,,, κ είναι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχνότητα της τιμής είναι N = ν +ν + +ν για =,,,κ. Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F : Εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες από. Αν η οι τιμές,,, κ είναι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχνότητα της τιμής είναι F = F +F + +F για =,,,κ. Αθροιστική Σχετική επί της εκατό Συχνότητα F % : Εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες από επί της εκατό.

ο Κεφάλαιο: Στατιστική Γραφικές παραστάσεις κατανομής συχνοτήτων Ραβδόγραμμα: Χρησιμοποιείται για τις γραφικές παραστάσεις τιμών ποιοτικών μεταβλητών. Οι τιμές τοποθετούνται συνήθως στον οριζόντιο άξονα (Σχήμα ), σε ίσου μήκους ράβδους. Στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τις αντίστοιχες συχνότητες, ή σχετικές συχνότητες. Όταν στον κατακόρυφο άξονα έχουμε συχνότητες, το ραβδόγραμμα ονομάζεται ραβδόγραμμα συχνοτήτων. Όταν στον κατακόρυφο άξονα έχουμε σχετικές συχνότητες, το ραβδόγραμμα ονομάζεται ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Η απόσταση μεταξύ των διαστημάτων, όσο και το μήκος τους καθορίζεται από εμάς. Σε πολλές περιπτώσεις ο ρόλος των αξόνων μπορεί να αντιστραφεί (Σχήμα ) ν 8 Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων Άλλο Βιβλία Μουσική Ραβδόγραμμα σχετικών Συχνοτήτων 6.Τ.V 4 Διασκέδαση Sports Η/Υ Sports Διασκέδαση.Τ.V Μουσική Βιβλία Άλλο Η/Υ f % 3 Σχήμα Σχήμα Διάγραμμα Συχνοτήτων: Χρησιμοποιείται για ποσοτικές μεταβλητές. Στο διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιούμε στην κάθε μεταβλητή μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα (Σχήμα 3). ν 5 ν 5 5 5 5 5 3 3 Αδέλφια Σχήμα 3 Αδέλφια Σχήμα 4 3

ο Κεφάλαιο: Στατιστική Πολύγωνο Συχνοτήτων: Αν ενώσουμε τα σημεία (ν, ) σε ένα διάγραμμα συχνοτήτων, δημιουργείται το πολύγωνο συχνοτήτων (Σχήμα 4) που μας δίνει μία γενική ιδέα της μεταβολής της συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής. Πολύγωνο Σχετικών Συχνοτήτων: Αν ενώσουμε τα σημεία (f, ) ή (f %, ) σε ένα διάγραμμα συχνοτήτων, δημιουργείται το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων που μας δίνει μία γενική ιδέα της μεταβολής της συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής. Κυκλικό Διάγραμμα: Χρησιμοποιείται για ποσοτικές και ποιοτικές μεταβλητές αρκεί να είναι σχετικά λίγες. Σχεδιάζουμε ένα κυκλικό δίσκο και τον χωρίζουμε σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά, ή ισοδύναμα τα τόξα α των οποίων είναι ανάλογα στις αντίστοιχες συχνότητες ν ι, ή τις σχετικές συχνότητες f των μεταβλητών. (Σχήμα 5). Σχήμα 5 Για να υπολογίσουμε τα τόξα α ενός κυκλικού τμήματος στο διάγραμμα χρησιμοποιούμε τον τύπο: 36 f 36 Σημειόγραμμα: Χρησιμοποιείται για κατανομές με λίγες παρατηρήσεις. Οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία υπεράνω ενός οριζόντιου άξονα. T.V. Βιβλια Άλλο Η/Υ Sports Διασκέδαση Μουσική Σχήμα 6 Χρονόγραμμα: Χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαδοχικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου συνεχούς μεγέθους. Τον οριζόντιο άξονα τον χρησιμοποιούμε συνήθως ως άξονα μέτρησης του χρόνου και τον κάθετο ως άξονα μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής. (Σχήμα 7). 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 f % 99 99 99 993 994 995 Ποσοστά Ανεργίας στην Ελλάδα Άρρενες Θήλεις Σύνολο Σχήμα 7 4

ο Κεφάλαιο: Στατιστική Ομαδοποίηση : Κλάσεις : Σε μεγάλο πλήθος τιμών μιας διακριτής ή συνεχούς μεταβλητής οι πίνακες συχνοτήτων και τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι δύσκολο να κατασκευαστούν. Έτσι ταξινομούμε (ομαδοποιούμε) τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις, με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μία μόνο κλάση. Τα άκρα των κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων. Θεωρούμε τις παρατηρήσεις των κλάσεων όμοιες, οπότε αντιπροσωπεύονται από τις κεντρικές τιμές που είναι το μέσο της κλάσης. Πλάτος Κλάσεων c: Είναι η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος. Εύρος R: Είναι η διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος για να κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το πλάτος c των κλάσεων διαιρώντας το εύρος R δια του αριθμού R των κλάσεων κ, στρογγυλεύοντας αν χρειαστεί, δηλαδή c, όπου κ ο αριθμός των κλάσεων (συνήθως μας δίνεται ή επιλέγεται από εμάς). Ιστόγραμμα Συχνοτήτων: Η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα γεγονότα ονομάζεται Ιστόγραμμα Συχνοτήτων.Πάνω στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε με κατάλληλη κλίμακα τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε τους ιστούς, δηλαδή διαδοχικά ορθογώνια, καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τόσο, όσο το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με την συχνότητα της κλάσης αυτής. Στις κλάσεις Ίσου πλάτους, θεωρούμε ως μονάδα μέτρησης στον οριζόντιο άξονα το πλάτος της κλάσης c, και στον κατακόρυφο το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο προς τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης, ώστε πάλι το εμβαδόν των ορθογωνίων να ισούται με τις αντίστοιχες συχνότητες (Σχήμα 8). Ανάλογα κατασκευάζουμε και το Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων (Σχήμα 9). v 4,35 f,3,5 8 6 4 56 6 68 74 8 86 9 Σχήμα 8 Πολύγωνο Συχνοτήτων: Αν στο ιστόγραμμα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμα υποθετικές κλάσεις, μία στην αρχή και μία στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των βάσεων των ορθογωνίων σχηματίζεται το πολύγωνο συχνοτήτων (Σχήμα ). Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος.,,5,,5 Σχήμα 9 8 86 9 5

ο Κεφάλαιο: Στατιστική Ανάλογα κατασκευάζουμε και το Πολύγωνο Σχετικών Συχνοτήτων (Σχήμα ). v 4 8 6 4,35,3,5,,5,,5 f 56 6 68 74 8 86 9 Σχήμα Σχήμα 8 86 9 Ιστόγραμμα Αθροιστικών και Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων: Όμοια με το Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Σχετικών Συχνοτήτων κατασκευάζονται και το Ιστόγραμμα Αθροιστικών (Σχήμα ) και Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων (Σχήμα 3). v 45 4 35 3 5 5 5 56 6 68 74 8 86 9 Σχήμα Πολύγωνο Αθροιστικών Συχνοτήτων: Αν σε ένα Ιστόγραμμα Αθροιστικών Συχνοτήτων ενώσουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα, τότε βρίσκουμε το Πολύγωνο Αθροιστικών Συχνοτήτων (Σχήμα 4). Ανάλογα κατασκευάζουμε και το Πολύγωνο Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων (Σχήμα 5).,,8,6,4, f Σχήμα 3 8 86 9 v 45 4 35 3 5 5 5 56 6 68 74 8 86 9 Σχήμα 4,,8,6,4, f Σχήμα 5 8 86 9 6

ο Κεφάλαιο: Στατιστική Καμπύλες Συχνοτήτων: Αν σε μία Συνεχή Μεταβλητή υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κλάσεων είναι πολύ μεγάλος (τείνει στο άπειρο), και το πλάτος c των κλάσεων αρκετά μικρό (τείνει στο ), τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή μίας ομαλής καμπύλης η οποία ονομάζεται Καμπύλη Συχνοτήτων. Γνωστές Καμπύλες Συχνοτήτων: Ομοιόμορφη Κατανομή: Η κατανομή που κατανέμεται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α,β] ονομάζεται Ομοιόμορφη Κατανομή (Σχήμα 6). Σχήμα 6 Κανονική Κατανομή: Η κατανομή με κωδωνοειδή μορφή (μορφή καμπάνας) λέγεται Κανονική Κατανομή (Σχήμα 7). Σχήμα 7 Ασύμμετρη με Θετική Συμμετρία: Η κατανομή που οι παρατηρήσεις τις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες και είναι της μορφής του Σχήματος 8, ονομάζεται Ασύμμετρη Κατανομή με Θετική Συμμετρία. Σχήμα 8 Ασύμμετρη με Αρνητική Συμμετρία: Η κατανομή που οι παρατηρήσεις της δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες και είναι της μορφής του Σχήματος 9, ονομάζεται Ασύμμετρη Κατανομή με Αρνητική Συμμετρία. Σχήμα 9 Κανονική Κατανομή : Είναι η κωνοειδής μορφή προς τα πάνω της καμπύλης συχνοτήτων. 5% 5% 49,85% 49,85% 6% 34% 34% 6% 3,5% 3,5%,5%,5% s s,5%,35%,35%,5% 3s s s s s 3s 68% 95% 99,7% Σχήμα 7

ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Μέτρα Θέσης : Είναι τα μέτρα που μας δίνουν την θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα. Μέση Τιμή: Είναι το άθροισμα των παρατηρήσεων δια το δείγμα ν παρατηρήσεων. Σε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας, μεταβλητής Χ είναι t,t,t ν τότε: t t t t t ή t Σε μια κατανομή συχνοτήτων,,, κ είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχνότητες ν,ν,,ν κ αντίστοιχα, τότε:... ή f.... Σταθμικός Μέσος: Σε περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα στις τιμές,,, ν ενός συνόλου δεδομένων, χρησιμοποιούμε το σταθμικό μέσο αντί του αριθμητικού μέσου. Έτσι σε κάθε τιμή,,, ν θα εκφράζονται με τους συντελεστές στάθμισης w,w,,w ν ως εξής : w w... w w w... w w w Διάμεσος δ: Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμόν. Παρατηρήσεις : ) Στα ομαδοποιημένα γεγονότα η διάμεσος βρίσκεται από το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων (ή το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων) βρίσκοντας στον κατακόρυφο άξονα το,5 (αντίστοιχα 5%) των παρατηρήσεων και αντιστοιχούμε την τιμή αυτή στον οριζόντιο άξονα. Η αντιστοίχιση αυτή μας δίνει την διάμεσο (Σχήμα ). 8

ο Κεφάλαιο: Στατιστική F % 9 8 7 6 5 4 3 5 55 6 65 7 75 8 Σχήμα ) Η διάμεσος στα ομαδοποιημένα γεγονότα μπορεί να υπολογιστεί και με τον παρακάτω τύπο : L c, όπου: L : Το κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει τη διάμεσο. ν : Η συχνότητα της κλάσης. c : Το πλάτος της κλάσης. Ν - : Η αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης κλάσης. Ν : Το πλήθος των παρατηρήσεων. Μέτρα Διασποράς: Είναι τα μέτρα που δείχνουν τη διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το κέντρο τους. Εύρος R: Εύρος ή κύμανση είναι η διαφορά της ελάχιστης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή R=Μέγιστη Παρατήρηση Ελάχιστη Παρατήρηση Διακύμανση ή διασπορά s : Είναι ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων των t από την μέση τιμή τους. Δηλαδή : δ t s ή t s t ή s f Όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα γεγονότα, η διακύμανση γίνεται: s ή s ή s f. 9

ο Κεφάλαιο: Στατιστική Τυπική Απόκλιση: Είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης που εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού. Δηλαδή s s. Παρατηρήσεις : Για την κανονική κατανομή ή περίπου κανονική κατανομή, η τυπική απόκλιση έχει τις παρακάτω ιδιότητες : ) Το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα s, s. ) Το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα s, s. 3) Το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα 3s, 3s. 4) Το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s. Συντελεστής Μεταβλητότητας CV: Είναι ο λόγος που ορίζεται από την s τυπική απόκλιση προς την μέση τιμή, δηλαδή CV και βοηθά στην σύγκριση ομάδων τιμών. Εκφράζεται επί τοις εκατό και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής s διασποράς. Αν, τότε CV=. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΡΩΝ ΘΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Πλεονεκτήματα Μέση Τιμή Μειονεκτήματα Για τον υπολογισμό της χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές. Είναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων. Είναι εύκολα κατανοητή. Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστική ανάλυση. Ο υπολογισμός είναι σχετικά εύκολος. Είναι εύκολα κατανοητή. Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές. Υπολογίζεται και στην περίπτωση που οι ακραίες κλάσεις είναι ανοιχτές. Ο υπολογισμός της είναι απλός. Είναι μοναδική σε κάθε σύνολο δεδομένων. Διάμεσος Επηρεάζεται πολύ από ακραίες τιμές. Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα. Μπορεί να μην αντιστοιχεί σε δυνατή τιμή της μεταβλητής. Όταν η X είναι διακριτή, με ακέραιες τιμές, τότε η μέση τιμή μπορεί να μην είναι ακέραιος. Είναι δύσκολος ο υπολογισμός της σε ομαδοποιημένα δεδομένα με ανοιχτές τις ακραίες κλάσεις. Δεν χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές για τον υπολογισμό της. Είναι δύσκολη η εφαρμογή της για περαιτέρω στατιστική ανάλυση. Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα. Για τον υπολογισμό της μπορεί να χρειαστεί παρεμβολή.

ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Πλεονεκτήματα Είναι πολύ απλό στον υπολογισμό. Χρησιμοποιείται αρκετά στον έλεγχο ποιότητας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για εκτίμηση της τυπικής απόκλισης. Εύρος Μειονεκτήματα Δεν θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς, επειδή βασίζεται μόνο στις δύο ακραίες παρατηρήσεις. Δεν χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστική ανάλυση. Διασπορά και Τυπική Απόκλιση Λαμβάνονται υπόψη για τον υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις. Έχουν μεγάλη εφαρμογή στην στατιστική συμπερασματολογία. Σε κανονικούς πληθυσμούς το 68%, 95%, 99,7% των παρατηρήσεων βρίσκονται στα διαστήματα s, s, 3s αντίστοιχα. Το κυριότερο μειονέκτημα της διασποράς είναι ότι δεν εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με το χαρακτηριστικό. Το μειονέκτημα αυτό παύει να υπάρχει με την χρησιμοποίηση της τυπικής απόκλισης. Απαιτούνται περισσότερες αλγεβρικές πράξεις για τον υπολογισμό τους παρά στα άλλα μέτρα. Συντελεστής Μεταβολής CV Είναι καθαρός αριθμός. Χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγκρισης της μεταβλητότητας, όταν έχουμε ίδιες ή και διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Χρησιμοποιείται ως μέτρο ομοιογένειας πληθυσμού. Δεν ενδείκνυται στην περίπτωση που η μέση τιμή είναι κοντά στο μηδέν.

ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΤΥΠΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙKΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ = = = f =, = ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ w w ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ S = S = S = f S = S = = S = S = S ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ s s ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ S CV= Εάν CV % τότε το δείγμα είναι ομοιογενές. ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ α) Εάν y = +c τότε y = +c, S ψ =S και δ y =δ +c, όπου c σταθερά. β) Εάν y =c τότε y =c, S y = c S και δ y =δ c, όπου c σταθερά. γ) Εάν y =α+β όπου α,β τότε y =α+β, S y = S και δ y =α+βδ. ΚΑΝΟΝΙΚΗ Η ΠΕΡΙΠΟΥ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 5% 5% 49,85% 49,85% 6% 34% 34% 6% 3,5% 3,5%,5%,5% s s,5%,35%,35%,5% 3s s s s s 3s 68% 95% 99,7% Σχήμα