ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Σημειώσεις: Σώλος Γιάννης

2 Ορισμός Η έννοια της συνάρτησης Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α πεδίο ορισμού αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β Μία συνάρτηση της οποίας το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το R Παρατηρήσεις Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού ή σύνολο ορισμού της συνάρτησης Το σύνολο Β λέγεται σύνολο αφίξεως της συνάρτησης Αν είναι ο νόμος που ορίζει την αντιστοιχία ανάμεσα στα στοιχεία των συνόλων Α και Β τότε η συνάρτηση αποδίδεται συμβολικά ως εξής :Α Β και διαβάζουμε «συνάρτηση με σύνολο ορισμού το Α και σύνολο αφίξεως το Β» Για να δηλώσουμε ότι το στοιχείο χ του Α αντιστοιχίζεται στο στοιχείο ψ του Β γράφουμε: χ ψ ή ψχ Tι λέγεται τιμή μίας συνάρτησης στο ; Ο αριμθός ψ χ στον οποίο αντιστοιχίζεται το A το λέμε εικόνα του χ με την ή τιμή της στο χ 3 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Τι ονομάζεται εξαρτημένη και τι ανεξάρτητη μεταβλητή της ; Το γράμμα χ παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α και ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το ψ που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο χ ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή Παρατηρήσεις Σύνολο τιμών της συνάρτησης : Α Β λέγεται το σύνολο εκείνων των στοιχείων του Β που είναι τιμές της συνάρτησης Το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε με Α Δηλαδή: Α{ψεΒ : /χεα με ψχ } Τότε αν :Α Β, χ ψχ Α Β, Α Αν είναι ΑΒ τότε η συνάρτηση λέγεται επί και σε κάθε στοιχείο του Β καταλήγει ένα βέλος στο βελοδιάγραμμα Έστω η συνάρτηση :Α Β αν είναι Α R και Β R τότε η συνάρτηση λέγεται πραγματική συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής Όταν δίνεται μια συνάρτηση συνήθως δεν καθορίζεται το σύνολο αφίξεως Β, στη περίπτωση αυτή συμβατικά παίρνουμε ΒR Τις ποιο πολλές φορές δεν δίνεται και το πεδίο ορισμού Α, δίνεται όμως το χ με

3 μορφή μιάς ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων Η τιμή χ λέγεται τύπος της συνάρτησης 4 'Εστω οι συναρτήσεις, που ορίζονται σε ένα σύνολο Α Πως ορίζονται I Το άθροισμα S ; II Η διαφορά D ; III Το γινόμενο P ; IV Το πηλίκο R / ; I S, A II D, A III P, A IV R /, A με 0 5 Τι λέγεται πεδίο ορισμού συνάρτησης; Στη περίπτωση αυτή πεδίο ορισμού θα παίρνουμε το «ευρύτερο υποσύνολο του R με την ιδιότητα για κάθε χεα μπορεί να οριστεί ο πραγματικός αριθμός χ» Δηλαδή Α{χεR : χεr } 6 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Τι ονομάζεται γραφική παράσταση ή καμπύλη της σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oy ; Το σύνολο των σημείων M, για όλα τα A Ειδικά Εστω η συνάρτηση :Α Β με πεδίο ορισμού το σύνολο Α Κάθε εα με την εικόνα του y δημιουργεί ένα ζεύγος τιμών το,y που είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου M,y στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Το σύνολο C των σημείων που θα δημιουργηθεί πάνω στο επίπεδο Οχψ το λέμε γραφική παράσταση της συνάρτησης Η προβολή της γραφικής παραστασης C της συνάρτησης στον άξονα χ χ είναι το πεδίο ορισμού Α της, δηλαδή Α[χ Α,χ Β ] Η προβολή της γραφικής παραστασης C της συνάρτησης στον άξονα ψ ψ είναι το σύνολο τιμών Α της, δηλαδή Α[ψ Δ,ψ Ε ]

4 Παρατηρήσεις Εστω C η γραφικής παράστασης της συνάρτησης :Α Β Η γραφικής παράστασης της συνάρτησης κόβεται από ευθεία παράλληλη προς τον άξονα ψ ψ το πολύ σε ένα σημείο, και αυτό γιατί σε κάθε χ του Α αντιστοιχίζεται ένας πραγματικός αριθμός χ Δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που να έχουν ίδια τετμημένη 7 Πότε ένα σημείο M, y του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καμπύλη της συνάρτησης ; Ένα σημείο Μα,β ανήκει στη C αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του σημείου ικανοποιούν την εξίσωση της συνάρτησης, δηλαδή: Μα,βε C βα 8 Τι ονομάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Η εξίσωση της μορφής ψχ λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης 9 Βασικές γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις ορισμένων συναρτήσεων που γνωρίσαμε σε προηγούμενες τάξεις y y y 3 O y - - O α Η καμπύλη της συνάρτησης είναι η διχοτόμος της ης και 3ης γωνίας των αξόνων β Η καμπύλη της συνάρτησης είναι μια παραβολή - - y O - y y 3 ye O

5 γ Η καμπύλη της συνάρτησης είναι μια υπερβολή δ Η καμπύλη της εκθετικής συνάρτησης από τον άξονα κάθε R e είναι πάνω, αφού e > 0 για y yln y yσυν O π π O - y yημ π O π ε Η καμπύλη της λογαριθμικής συνάρτησης ln είναι δεξιά του άξονα y y, αφού ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για > 0 στ Οι συναρτήσεις ημ και συν είναι περιοδικές με περίοδο π Γωνία ευθείας με τον χχ Γωνία ω που σχηματίζει μιά ευθεία ε με τον χχ, η οποία τον τέμνει στό Α, λέμε την γωνία που διαγράφει η ημιευθεία Αχ όταν στραφεί γύρω από το Α κατά την θετική φορά κίνηση αντίθετη των δεικτών του ρολογιού μέχρι να ταυτισθεί με την ευθεία ε Αν η ευθεία είναι παράλληλη με τον χχ τότε θα θεωρούμε ως γωνία ω 0

6 Γραφική παράσταση της συνάρτησης χα χ β Η γραφική παράσταση της συνάρτησης χα χ β είναι μία ευθεία με εξίσωση ψαχβ, η οποία τέμνει τον ψ ψ στο σημείο 0,β και σχηματίζει γωνία ω με τον χ χ τέτοια ώστε αεφω Ο αριθμός α λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε Αν α>0 τότε 0 ο <ω< 90 ο Αν α<0 τότε 90 ο <ω<80 ο Αν α0 τότε ω0 ο Η ευθεία ψαχ Η ευθεία ψαχ διέρχεται από την αρχή αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης α Ειδικότερα Αν α, τότε έχουμε ψχ και εκφράζει την διχοτόμο του ου, 3 ου τεταρτημορίου Αν α-, τότε έχουμε ψ-χ και εκφράζει την διχοτόμο του ου, 4 ου τεταρτημορίου Συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας Οι διακεκριμένες ευθείες ε:ψα χβ και η:ψα χβ είναι παράλληλες αν καί μόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσης αυτών είναι ίσες, δηλαδή ε//η α α Οι διακεκριμένες ευθείες ε:ψα χβ και η:ψα χβ είναι κάθετες αν και μόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσης αυτών έχουν γινόμενο -, δηλαδή ε η α α -

7 0 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με < ισχύει <, και γνησίως φθίνουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με < ισχύει > Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Οταν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ή όταν είναι ή γνησίως φθίνουσα στο Δ Τι ονομάζουμε περιοχή του Κάθε ανοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το 3 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A; II Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο A ; Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: Τοπικό μέγιστο στο A, όταν για κάθε σε μια περιοχή του, και τοπικό ελάχιστο στο A, όταν για κάθε σε μια περιοχή του 4 Τι ονομάζονται ακρότατα μίας συνάρτησης ; Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της συνάρτησης 5 Αν οι συναρτήσεις και έχουν στο όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν και με, m m ποια είναι τα όρια : 0 0,,,,, ν κ m m m m m m Είναι lm 0 lm 0 lm 0 lm k k 0 ν ν lm 0 lm ν 0 ν 6 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής ; Ποιο είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα ; Γενικά μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε ισχύει lm A Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για το

8 σχεδιασμό της δε χρειάζεται να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί Παρατηρήσεις Αποδεικνύεται ότι οι γνωστές μας συναρτήσεις, πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, αλλά και όσες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις Έτσι ισχύει για παράδειγμα lm ημ ημ0, lm συν συν0 και lm εφ εφ0 0 όταν συν Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο A0, 0 της γραφικής της παράστασης C Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α ; Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α θα είναι 0 0 εφω lm 0 8 Τι ονομάζεται παράγωγος της στο 0 ; 0 0 Αν το όριο lm υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η 0 είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο 0, συμβολίζεται με 0 και διαβάζεται 0 0 τονούμενο του 0 Έχουμε λοιπόν: 0 lm 0 9 Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς το, όταν 0 ; Η παράγωγος της στο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής rate o cane του y ως προς το, όταν 0 0 Σχόλια Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στο σημείο, θα είναι, δηλαδή ο 0 0 ρυθμός μεταβολής της ως προς όταν 0 Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση t θα είναι τη χρονική στιγμή t 0, υ t0 t0,δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της t ως προς t όταν t t0 Σχόλια Υπάρχουν και συναρτήσεις οι οποίες δεν έχουν παράγωγο σε ένα σημείο Όπως είναι, για παράδειγμα, η συνάρτηση στο 0 Διότι όταν < 0, έχουμε 0 0 lm lm 0 0, Ο y ω 0 Α φ 0 C Μ Μ Γ 0 ε

9 0 0 ενώ όταν > 0, έχουμε lm lm 0 0 lm 0 0 0, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει το 0 Τι ονομάζεται παράγωγος μια συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των A στα οποία η είναι παραγωγίσιμη Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε B αντιστοιχίζεται στο lm 0 παράγωγος derate της και συμβολίζεται με Η συνάρτηση αυτή λέγεται πρώτη Τι ονομάζεται δεύτερη παράγωγος μια συνάρτησης ; Η παράγωγος της συνάρτησης λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται με Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης c είναι 0 δηλαδή ότι c 0 Έχουμε c c 0 και, 0 lm 0 για 0 οπότε 0 Άρα 0, c 3 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης είναι δηλαδή ότι Έχουμε, και για 0, Επομένως lm lm Άρα Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης είναι δηλαδή ότι Έχουμε και για 0, Επομένως, lm lm 0 0 Άρα y c O yc, y O y y0 y O y y O O O y y y y

10 Σχόλιο Αποδεικνύεται ότι ν ν ν, όπου ν φυσικός Ο τύπος αυτός ισχύει και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ρητός αριθμός Άρα ρ ρ ρ, όπου ρ ρητός αριθμός 5 Να αποδείξετε ότι : Έχουμε, 6 Να αποδείξετε ότι : η παράγωγος της συνάρτησης είναι, > 0 7 Ποιες είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων ημ, συν, e, ln>0 ; Πράγματι, για τη συνάρτηση y ημ αποδεικνύεται ότι 45 o ημ συν Επίσης για τη συνάρτηση συν αποδεικνύεται ότι Ο y π συν ημ π Αποδεικνύεται ότι e e και ln 8 Να αποδείξετε ότι c c Έστω η συνάρτηση F c Έχουμε F F c c c, και για 0 F F c c F F Επομένως lm lm c c 0 0 Άρα c c yημ 35 o 35 o π 45 o Ο π/ π yημ

11 9 Να αποδείξετε ότι Έστω η συνάρτηση F Έχουμε F F, και για 0, F F Επομένως lm lm lm F F Άρα 30 Ποιες είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων,, ; Για το γινόμενο και το πηλίκο συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω κανόνες παραγώγισης: 3 Να αποδείξετε ότι : εφ συν Έχουμε εφ συν συν ημ συν συν συν ημ συν ημ συν ημ Άρα συν εφ 3 Τι γνωρίζεται για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης Αποδεικνύεται ότι για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει: Δηλαδή για να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση, σε πρώτη φάση παραγωγίζουμε την σαν να έχει ανεξάρτητη μεταβλητή την και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της 0 c ρ ρ ρ c c

12 ημ συν συν ημ e e n 33 Αν y λ β η εφαπτόμενη της C στο σημείο A o, o να βρείτε τα λ, β και να συμπεράνετε τον τύπο y o o o που χρησιμοποιείται στη κατεύθυνση 34 Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει > 0 αντιστοίχως < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τι συμπεραίνουμε για την μονοτονία της στο Δ ; Η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ y 0 0 Η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ >0 Δεν ισχύει το αντίστροφο πάντα 35 Αν για μια συνάρτηση ισχύουν 0 0 για 0 α, β, > 0 στο α, 0 και < 0 στο 0, β αντιστοίχως 0 0 για 0 α, β, < 0 στο α, 0 και > 0 στο 0, β τι συμπεραίνουμε για τα O y 0 ακρότατα της στο α, β ; <0 Τότε η παρουσιάζει στο διάστημα στο α, β μέγιστο στο 0 Τότε η παρουσιάζει στο διάστημα στο α, β ελάχιστο στο 0 0 O Τι λέει το Θεώρημα Fermat Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα Δ και στο εσωτερικό o εδ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε o 0 <0 >0

13 Μπορεί 0 0 χωρίς στο o να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο Παρατηρήσεις Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο Το μέγιστο είναι τοπικό ακρότατο, το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα Το μέγιστο είναι μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα δεν είναι πάντα μέγιστο Αν o εσωτερικό του Δ και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε o 0 Είναι Λάθος γιατί δεν γνωρίζουμε ότι είναι παραγωγίσιμη Αν o ε Δ και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και παραγωγίσιμη τότε o 0 Είναι Λάθος γιατί μπορεί να είναι άκρο κλειστού διαστήματος Αν o 0 και η διατηρεί σταθερό πρόσημο εκατέρωθεν του o, τότε η είναι γνησίως μονότονη και δεν παρουσιάζει ακρότατα στο διάστημα αυτό 37 Τι εννοούμε με τον όρο στατιστική ; Συμπερασματικά Μπορούμε να δώσουμε ως ορισμό της Στατιστικής το συνηθέστερο και πλέον γνωστό ορισμό του RA Fser , πατέρα της σύγχρονης Στατιστικής: Στατιστική είναι ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων Ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται με τον πρώτο στόχο λέγεται σχεδιασμός πειραμάτων epermental desn ενώ, με τον δεύτερο ασχολείται η περιγραφική στατιστική descrpte statstcs, που αποτελεί και το αντικείμενο μελέτης μας στη συνέχεια Τέλος, η επαγωγική στατιστική ή στατιστική συμπερασματολογία nerental statstcs περιλαμβάνει τις μεθόδους με τις οποίες γίνεται η προσέγγιση των χαρακτηριστικών ενός μεγάλου συνόλου δεδομένων, με τη μελέτη των χαρακτηριστικών ενός μικρού υποσυνόλου των δεδομένων 38 Τι ονομάζεται πληθυσμός, δείγμα, και πότε ένα δείγμα θα ονομάζεται αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού; Πληθυσμός λέγεται ένα σύνολο του οποίου εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Δείγμα ονομάζεται μία μικρή ομάδα- υποσύνολο του πληθυσμού Ένα δείγμα είναι αντιπροσωπευτικό εάν έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μονάδα του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί 39 Τι ονομάζονται στη στατιστική μεταβλητές και τι τιμές μίας μεταβλητής; Μεταβλητές λέγονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν

14 πληθυσμό Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής 40 Πως διακρίνονται οι μεταβλητές ως προς τις τιμές τους; Ι Σε ποιοτικές ή κατηγορικές των οποίων οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί II Σε ποσοτικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί και διακρίνονται: Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές Σε συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών α, β 4 Τι καλείται απογραφή ; Αναφέρετε τρία μειονεκτήματά της Λέγεται η μέθοδος συλλογής πληροφοριών γιά όλα τα στοιχεία ενός πληθυσμού ως πρός το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει Τα αρνητικά για αυτή είναι: Απαιτεί μεγάλο κόστος Επειδή ο αριθμός των στατιστικών μονάδων και το πλήθος των πληροφοριών είναι μεγάλο, η δημοσίευση των αποτελεσμάτων καθυστερεί χρονικά Η απογραφή δεν γίνεται από ειδικευμένο προσωπικό και έτσι στο πλήθος των ερωτηματολογίων που συμπληρώνονται μπορεί να υπάρχουν σφάλματα, οπότε θα έχουμε εσφαλμένη εικόνα των χαρακτηριστικών του πληθυσμού 4 Τι καλείται Δειγματοληψία ; Αναφέρετε πλεονεκτήματα σε σχέση με την απογραφή Λέγονται οι αρχές και οι μέθοδοι για την συλλογή και ανάλυση δεδομένων από πληθυσμούς με γνωστό αριθμό στοιχείων και η μελέτη του πληθυσμού έχει γίνει από ένα μέρος του πληθυσμού δηλαδή από την μελέτη του μικρού μέρους του πληθυσμού προσπαθούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για ολόκληρο τον πληθυσμό Μερικά πλεονεκτήματα σε σχέση με την απογραφή είναι: Επειδή ο αριθμός των στατιστικών μονάδων και το πλήθος των πληροφοριών είναι Η συλλογή του στατιστικού υλικού που χρειάζεται για να μελετηθούν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού μπορεί να γίνει πιο γρήγορα με την δειγματοληψία παρά με την απογραφή Σε δειγματολογικές έρευνες είναι δυνατόν, όταν ο αριθμός των μονάδων του πληθυσμού είναι μικρός, να αφιερωθεί περισσότερος χρόνος και μεγαλύτερη προσοχή στις συνεντεύξεις που παίρνουμε για να συμπληρώσουμε το ερωτηματολόγιο και να γίνει καλύτερη επίβλεψη στους απογραφείς, ώστε να έχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια στις πληροφορίες Η δειγματοληψία έχει μεγαλύτερη ευχέρεια εφαρμογής σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου η γενική απογραφή είναι δυνατή αλλά παράλογη Η δειγματοληψία έχει σημαντικά χαμηλότερο κόστος από κάθε απογραφή

15 43 Πως απεκονίζονται τα στατιστικά δεδομένα Για να έχουμε μια εικονική παράσταση των στατιστικών δεδομένων χρησιμοποιούμε τα διαγράμματα τα οποία πρέπει να συνοδεύονται από: α τον τίτλο, β κλίμακα με τις τιμές των τιμών που απεικονίζουν, γ το υπόμνημα που επεξηγεί τις τιμές της μεταβλητής Χ, δ την πηγή, δεδομένων 44 Τι γνωρίζεται για τους πίνακες δεδομένων αγενικοί πίνακες που περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα με αρκετά λεπτομερή στοιχεία, και αποτελούν πηγή πληροφοριών στη διάθεση των επιστημών-ερευνητών για περισσότερη ανάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτων βειδικοί πίνακες οι οποίοι είναι συνοπτικοί και σαφείς και τα στοιχεία τους έχουν ληφθεί από τους γενικούς Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει να περιέχει: α τον τίτλο, που γράφεται στο επάνω μέρος του πίνακα και δηλώνει με σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα, β τις επικεφαλίδες των γραμμών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων, γ το κύριο σώμα κορμό, που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομένα, δ την πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών στοιχείων, έτσι ώστε ο αναγνώστης να ανατρέχει σ αυτήν, όταν επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείων ή για λήψη περισσότερων πληροφοριών 45 Έστω < < < κ, κ ν οι διαφορετικές τιμές μιας μεταβλητής Χ, ενός δείγματος μεγέθους Πως ορίζονται : α Η απόλυτη συχνότητα ν της τιμής β Η σχετική συχνότητα της τιμής γ Η σχετική συχνότητα% της τιμής % δ Η αθροιστική συχνότητα N της τιμής για ποσοτικές μεταβλητές ε Η αθροιστική σχετική συχνότητα F της τιμής και το αντίστοιχο ποσοστιαίο μέγεθος F % Συχνότητα απόλυτη της τιμής χ ι μιάς μεταβλητής Χ λέγεται ο φυσικός αριθμός ν ι που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή χ ι της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων Το μέγεθος του δείγματος ν ισούται με το άθροισμα όλων των συχνοτήτων των τιμών

16 της μεταβλητής δηλαδή νν ν ν 3 ν κ Σχετική συχνότητα ι της τιμής χ ι μιάς μεταβλητής Χ λέγεται το πηλίκο της συχνότητας ν ι πρός το μέγεθος του δείγματος ν που είναι το σύνολο τών συχνοτήτων Δηλαδή Δηλαδή ο αριθμός που δείχνει το μέρος του δείγματος που παίρνει την τιμή, εκφράζει ποσοστό Η σχετική συχνοτήτα έχει τις εξής ιδιότητες: 0, 3 κ Σχετική συχνότητα επί τοις εκατό ι % λέγεται το γινόμενο της σχετική συχνότητας επι το 00, και είναι το ποσοστό επί τοις εκατό που έχει η κάθε τιμή της μεταβλητής στο 00% των παρατηρήσεων %00 Αθροιστική συχνότητα Ν ι της τιμής χ ι μιας ποσοτικής μεταβλητής λέγεται το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χ ι,είναι μόνο για ποσοτικές μεταβλητές, δηλαδή Ν ι ν ν ν ι, δηλαδή είναι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων μέχρι την συχνότητα των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χ ι N N Οι παρατηρήσεις να είναι πάντα σε αύξουσα διάταξη Σχετική αθροιστική συχνότητα F ι της τιμής χ ι μιας ποσοτικής μεταβλητής λέγεται το πηλίκο της αντίστοιχης αθροιστικής συχνότητας Ν ι πρός το πλήθος ν ή το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων μέχρι την σχετική συχνότητα των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χ δηλαδή F N F F F Η σχετική αθροιστική συχνότητα εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χ ι Σχετική αθροιστική συχνότητα επί τοις εκατό F ι % λέγεται το γινόμενο της σχετικής αθροιστικής συχνότητας επί το 00, και είναι το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής χι στο 00% των παρατηρήσεων F %00F Η σχετική αθροιστική συχνότητα επί τοις εκατό F ι % ως ποσοστό % εκφράζει και πιθανότητα 46 Συμπληρώστε τα κενά : α ν ν νκ β N και F γ N - N -, 3,, κ δ F - F -,, 3,, κ ε N κ και F κ 47 Να αποδείξετε ότι για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες : I 0 για,,, κ II κ

17 Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν: αφού 0 ν ν άρα 0 για,,, κ ν ν νκ ν ν νκ ν και κ ν ν ν ν ν 48 Τι ονομάζεται κατανομή συχνοτήτων μίας μεταβλητής με τιμές,,, κ ; Υπάρχουν 3 είδη κατανομών συχνοτήτων Πρόκειται για : -το σύνολο των ζευγών, ν - το σύνολο των ζευγών, - το σύνολο των ζευγών, % και άλλα 3 αν η μεταβλητή είναι ποσοτική: - το σύνολο των ζευγών, Ν - το σύνολο των ζευγών, F - το σύνολο των ζευγών, F % 49 Πότε χρησιμοποιείται το ραβδόγραμμα ; Να δώσετε μία περιγραφή του Το ραβδόγραμμα barcart χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα 50 Πότε χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων; Να δώσετε μία περιγραφή του Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων lne daram Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόνη διαφορά ότι αντί να χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώνια υψώνουμε σε κάθε υποθέτοντας ότι < < < κ μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα, Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια μία κάθετη γραμμή της οποίας το με μήκος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα 5 Πότε χρησιμοποιείται το πολύγωνο συχνοτήτων; Να δώσετε μία περιγραφή του Χρησιμοποιείται όταν έχουμε ποσοτικές μεταβλητές Προκύπτει από το διάγραμμα συχνοτήτων ενώνοντας κατά περίπτωση τα σημεία, ν ή, ή, % 5 Πότε χρησιμοποιείται το κυκλικό διάγραμμα; Να δώσετε μία περιγραφή του Το κυκλικό διάγραμμα pecart χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ν ή τις σχετικές συχνότητες των τιμών της μεταβλητής 53 Με τι είναι ίσο το τόξο α ενός κυκλικού που αντιστοιχεί στην τιμή ; o 360 α o ν 360 για,,, κ ν

18 54 Τι είναι το σημειόγραμμα ; Όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η κατανομή τους μπορεί να περιγραφεί με το σημειόγραμμα dot daram, στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία υπεράνω ενός οριζόντιου άξονα 55 Τι είναι το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα ; Είναι το διάγραμμα μίας μεταβλητής που οι τιμές που παίρνει είναι χρονικές στιγμές Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του χρόνου και ο κάθετος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής 56 Τι είναι οι κλάσεις και τα όρια των κλάσεων ; Οι πίνακες συχνοτήτων και κατ αναλογίαν τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι δύσκολο να κατασκευαστούν, όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο Αυτό μπορεί να συμβεί είτε στην περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της Σ αυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν ομαδοποιηθούν τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων, που ονομάζονται και κλάσεις class nterals, έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μία κλάση Τα άκρα των κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων class boundares Συνήθως υιοθετούμε την περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της κλειστή αριστερά αλλά όχι το άνω άκρο της ανοικτή δεξιά, δηλαδή που οι κλάσεις είναι της μορφής [, Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες, οπότε μπορούν να αντιπροσωπευθούν από τις κεντρικές τιμές, τα κέντρα δηλαδή κάθε κλάσης 57 Τι είναι η κεντρική τιμή, το πλάτος και η συχνότητα μίας κλάσης ; Λέγεται η μεσαία τιμή κάθε κλάσης Η κάθε κλάση αντιπροσωπεύεται απο την κεντρική της τιμή δηλαδή για το [α,β η κεντρική τιμή είναι α β Λέγεται πλάτος της είναι ο αριθμός β α Συχνότητα της κλάσης [α,β ονομάζεται το πλήθος των παρατηρήσεων που προκύπτουν από τη διαλογή για αυτή Εύρος R του δείγματος λέγεται η διαφοράς της μικρότερης παρατήρησης από την μεγαλύτερη Πλάτος c των κλάσεων λέγεται το μήκος του κάθε διαστήματος και προκύπτει απο την διαίρεση του εύρους R με το πλήθος των κλάσεων κ δηλαδή R c k Για να κατασκευάζουμε τις κλάσεις παίρνουμε τη μικρότερη τιμή ως αριστερό όριο

19 της πρώτης κλάσης και προσθέτουμε το πλάτος c Ο αριθμός που προκύπτει είναι το δεξί όριο της κλάσης, ο οποίος δεν ανήκει στήν κλάση αυτή γιατί τα διαστήματα είναι της μορφής [α,β και είναι το αριστερό όριο της επόμενης κλάσης Προσθέτουμε πάλι το c και συνεχίζουμε κατά τον ίδιο τροπο μέχρι να φτιάξουμε και την κλάση που θα περιέχει τη μεγαλύτερη τιμή που θα είναι και η τελευταία κλάση η οποία δεν πρέπει να έχει ως δεξί όριο την μεγαλύτερη τιμή γιατί το δεξί όριο της κλάσης δεν ανήκει στην κλάση Κάνουμε την διαλογή των παρατηρήσεων κατασκευάζουμε πίνακα διαλογής όπως στα μή ομαδοποιημένα δεδομένα, περιέχοντας τις κεντρικές τιμές που είναι το ημιάθροισμα των ορίων της αντίστοιχης κλάσης Συχνότητα μίας κλάσης είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων που ανήκουν σε αυτή την κλάση Τότε αυτός ο αριθμός είναι και συχνότητα της κεντρικής τιμής Οι κεντρικές τιμές των κλάσεων με ίσα πλάτη διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος της κλάσης 58 Τι είναι το ιστόγραμμα συχνοτήτων ; Πως κατασκευάζεται ; Τι είναι το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ; Ιστόγραμμα συχνοτήτων storam είναι η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα Κατασκευάζεται ως εξής: Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια των κλάσεων Στη συνέχεια, σχηματίζουμε διαδοχικά ορθογώνια ιστούς, από καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής Θεωρώντας το πλάτος c ως μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα, το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο προς τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε να ισχύει πάλι ότι το εμβαδόν των ορθογωνίων είναι ίσο με τις αντίστοιχες συχνότητες Επομένως, στον κατακόρυφο άξονα σε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων βάζουμε τις συχνότητες Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων, σχηματίζεται το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων requency polyon Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος ν Όμοια κατασκευάζεται από το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων με εμβαδόν ίσο με Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζονται και τα ιστογράμματα αθροιστικών συχνοτήτων

20 και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Αν ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων τα δεξιά άκρα όχι μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων oe της κατανομής 59 Ποια είναι η αριθμητική τιμή του εμβαδού του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα; Αν έχουμε διάγραμμα απολύτων συχνοτήτων το εμβαδόν αυτό είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος Αν έχουμε διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων το εμβαδόν αυτό είναι ενώ αν έχουμε διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων % το εμβαδόν αυτό είναι Τι ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων ; Εάν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρκετά μεγάλος τείνει στο άπειρο και ότι το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μικρό τείνει στο μηδέν, τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων requency cure, 6 Τι λέγεται ομοιόμορφη κατανομή και ποια η καμπύλη συχνοτήτων της ; Τι λέγεται κανονική κατανομή και ποια η καμπύλη συχνοτήτων της ; Ποιά κατανομή λέγεται ασύμμετρη; Ποια είναι τα είδη ασυμμετρίας ; Σχεδιάστε τις καμπύλες συχνοτήτων τους Η μορφή μιας κατανομής συχνοτήτων εξαρτάται από το πώς είναι κατανεμημένες οι παρατηρήσεις σε όλη την έκταση του εύρους τους Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες συχνοτήτων που συναντάμε συχνά στις εφαρμογές δίνονται στο παρακάτω σχήμα Η κατανομή β, με κωδωνοειδή μορφή λέγεται κανονική κατανομή normal dstrbuton και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική Όταν οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β], όπως στην κατανομή α, η κατανομή λέγεται ομοιόμορφη Όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες, η κατανομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στην κατανομή γ ή αρνητική ασυμμετρία όπως στην κατανομή δ α β 6 Τι καλούμε μέτρα θέσης ; Δίνουν τη θέση των κέντρων - κεντρικών τιμών στον οριζόντιο άξονα δηλαδή δίνουν γ δ

21 πληροφορίες για τον τρόπο με τον οποίο είναι κατανεμημένες στον οριζόντιο άξονα οι παρατηρήσεις δηλαδή την θέση γύρω από την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανομήςτα μέτρα θέσης λέγονται και μέτρα κεντρικής τάσης μέτρα θέσης locaton measures, 63 Τι καλούμε μέτρα διασποράς measures o arablty; Τη διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το κέντρο τους Δίνουν πληροφορίες για τον βαθμό συγκέντρωσης αποκλίσειςδιασπορά των παρατηρήσεων γύρω από τα μέτρα θέσης κυρίως γύρω από την μέση τιμή 64 Τι καλούνται μέτρα ασυμμετρίας ; Τα μέτρα, που συνήθως εκφράζονται σε συνάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς, καλούνται μέτρα ασυμμετρίας measures o skewness και καθορίζουν τη μορφή της κατανομής, κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη καμπύλη συχνοτήτων είναι συμμετρική ή όχι ως προς την ευθεία 0, για δεδομένο σημείο 0 του άξονα Στο σχήμα οι καμπύλες συχνοτήτων Α και Β είναι συμμετρικές με το ίδιο κέντρο 0, αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από την Α Οι καμπύλες Γ και Δ είναι Γ ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε να παρουσιάζει θετική B Δ ασυμμετρία και τη Δ αρνητική ασυμμετρία Το κέντρο της Γ είναι αριστερότερα του 0, ενώ της Δ είναι δεξιότερα του 0 0 Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ 65 Πως ορίζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών t, t,, t ν μεγέθους ν ; Η μέση τιμή είναι ο μέσος όρος των παρατηρήσεων μιας κατανομής δηλαδή το πηλίκο του αθροίσματος όλων των παρατηρήσεων δια του πλήθος τους Εστω μιά μεταβλητή Χ με μέγεθος ν και παρατηρήσεις t,t,t 3,t ν τότε λέγεται μέση τιμή αυτών το πηλίκο t X t t t 3 66 Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών,,, κ μεγέθους ν, με αντίστοιχες συχνότητες ν,ν,, ν κ ; Ενώ αν έχουμε μεταβλητή Χ με μέγεθος ν και τιμές της μεταβλητής χ,χ,χ 3,χ κ με κάθε τιμή χ ι να έχει συχνότητα ν ι τότε λέγεται μέση τιμή αυτών το πηλίκο t t 0 A

22 X k k k k k X Στα ομαδοποιημένα δεδομένα η κάθε κλάση αντιπροσωπεύεται απο την κεντρική τιμή, δηλαδή στους τύπους ως χ ι έχουμε τις κεντρικές τιμές των κλάσεων 67 Τι ονομάζουμε σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο των τιμών,,, ν με συντελεστές στάθμισης βαρύτητας w,w,, w ν ; Αν οι τιμές χ,χ,,χ ν δεν έχουν την ίδια βαρύτητα και κάθε μία απο τις τιμές αυτές έχει αντίστοιχα συντελεστή βαρύτητας w,w,,w ν, τότε η μέση τιμή υπολογίζεται απο τον τύπο: w w w w 3 3 X w w w 3 w Ο σταθμικός μέσος χρησιμοποιείται στην περίπτωση που οι τιμές έχουν διαφορετική αξία Επίσης χρησιμοποιείται και για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής περισσότερών ομάδων δεδομένων με διαφορετικό μέγεθος που γνωρίζουμε τις μέσες τιμές τους 68 Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών,,, κ, μεγέθους ν από τις τιμές της μεταβλητής και τις σχετικές συχνότητές τους,,, κ ; k k Από X 69 Πως ορίζεται η διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά ; Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός Σχόλιο Από τον ορισμό της διαμέσου δ, έχουμε το 50% των παρατηρήσεων έχει τιμή μικρότερη ή ίση της δ και το υπόλοιπο 50% των παρατηρήσεων έχει τιμή μεγαλύτερη ή ίση της δ Η διάμεσος είναι η τιμή που χωρίζει ένα σύνολο παρατηρήσεων σε δύο ίσα μέρη όταν οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθούν με σειρά τάξης μεγέθους Η διάμεσος είναι το σημείο του άξονα των δεδομένων κάτω από το οποίο βρίσκεται το πολύ το 50% των παρατηρήσεων και συγχρόνως πάνω από αυτό το πολύ το 50% των παρατηρήσεων k w w k

23 70 Τι ονομάζεται εύρος ή κύμανση R μιας κατανομής ; Αναφέρατε ένα σημαντικό μειονέκτημά του Ονομάζεται ο αριθμός R Μεγαλύτερη παρατήρηση-μικρότερη παρατήρηση Το εύρος δεν θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς γιατί βασίζεται μόνο στις δύο ακραίες παρατηρήσεις 7 Δείξτε ότι ο αριθμητικός μέσος των αποκλίσεων των παρατηρήσεων ενός δείγματος από τη μέση τιμή του είναι ίσος με το μηδέν Θα αφαιρέσουμε τη μέση τιμή από κάθε παρατήρηση και να βρούμε τον αριθμητικό μέσο των διαφορών αυτών, δηλαδή τον αριθμό: t t t t Ο αριθμός όμως αυτός είναι ίσος με μηδέν, αφού 0 t t t t t t 7 Τι ονομάζεται διακύμανση ή διασπορά s² μιας κατανομής σε ένα δείγμα τιμών t, t,, t μεγέθους ν; Λέγεται ο αριθμός X t X t X t X t s Σ Λέγεται ο μέσος όρος των τετραγώνων των διαφορών αποκλίσεων των παρατηρήσεων από την μέση τους τιμή Παρατηρήσεις t ι δεν έχουμε συχνότητες X t t t X t X t X t X t s Σ Τιμές της μεταβλητής χ ι που κάθε τιμή έχει συχνότητα ν ι όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα Σ k k k k X X X X s k k k k X X s 73 Αναφέρατε ένα σημαντικό μειονέκτημα της διακύμανσης εξαιτίας του οποίου προτιμάμε την θετική ρίζα της

24 Η διακύμανση είναι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει ένα μειονέκτημα Δεν εκφράζεται με τις μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις 74 Τι ονομάζεται τυπική απόκλιση s μιας κατανομής ; Είναι ο αριθμός s που δίνεται από τη σχέση: s s Η τυπική απόκλιση που είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες που εκφράζονται και οι παρατηρήσεις 75 Αν η μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή και τυπική απόκλιση s, να αναφέρετε το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκεται στο διάστημα : s, s s, s 3s, 3s Είναι αντίστοιχα 68%, 95%, 997% 76 Ποιο είναι κατά προσέγγιση το εύρος R μίας κανονικής κατανομής ; Το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s 77 Πως ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας CV ; Συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας coecent o araton, ο οποίος λέγεται το πηλίκο της τυπικής απόκλισης προς το απόλυτο της μέση τιμή της s X μεταβλητής επί 00, δηλαδή 00% CV Ο συντελεστής μεταβολής εκφράζεται επί τοις εκατό, είναι συνεπώς ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών και όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουμε δει έως τώρα Εκφράζει, δηλαδή, τη μεταβλητότητα των δεδομένων απαλλαγμένη από την επίδραση της μέσης τιμής Με τον συντελεστή μεταβολής ελέγχουμε την μεταβλητότητα διαφορετικών ομάδων τιμών Είναι χρήσιμος στην σύγκριση ομάδων τιμών που εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης γιατί είναι απαλλαγμένος από μονάδες μέτρησης αφού απλοποιούνται από τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος Είναι χρήσιμος στην σύγκριση ομάδων τιμών που έχουν σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές

25 78 Πως συγκρίνονται ως προς την ομοιογένεια δύο δείγματα Α, Β με βάση τους συντελεστές μεταβολής ; Συγκρίνουμε τους συντελεστές μεταβολής των Α, Β Μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει εκείνο το δείγμα με μικρότερο συντελεστή μεταβολή Όταν δύο δείγματα είναι ομογενή, η επιλογή του σωστότερου απόλυτα δεν μπορεί να γίνει γιατί το ποσοστό ρίσκου είναι ανάλογο 79 Πότε ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές ; Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 0% 80 Από τα, δ, s, s, R ποια είναι μέτρα θέσης και ποια μέτρα διασποράς ; 8 α Αν y c τοτε : y και S y β Αν y λ τοτε : y και S y Βασικές παρατηρήσεις Εστω μια μεταβλητή Χ με μέση τιμή X και τυπική απόκλιση S που όλες οι τιμές της μεταβάλλονται και σχηματίζεται μια νέα Y με YαXβ Τότε Y α X β, S y α S k k για ένα δείγμα 8 Αποδείξτε τους παρακάτω τύπους : s τιμών,,, κ μεγέθους ν, με αντίστοιχες σχετικές συχνότητες,,, κ Βασικότατα Σχόλια στην Στατιστική Η μέση τιμή είναι μέτρο κεντρικής τάσης και χρησιμοποιείται συχνότερα από τα άλλα Ο σταθμικός μέσος χρησιμοποιείται στην περίπτωση που οι τιμές έχουν διαφορετική αξία Επίσης χρησιμοποιείται και για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής περισσότερών ομάδων δεδομένων με διαφορετικό μέγεθος που γνωρίζουμε τις μέσες τιμές τους 3 Το άθροισμα των αποκλίσεων όλων των τιμών από την μέση τιμή είναι ίσο με μηδέν δηλαδή 0 Το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει και στην περίπτωση που έχουμε συχνότητες, όταν η παρατήρηση εμφανίζεται φορές τότε 0 4 Το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων από την μέση τιμή είναι μικρότερο από το άθροισμα των αποκλίσεων από οποιαδήποτε άλλη τιμή στην κατανομή 5 Η διάμεσος είναι η τιμή που χωρίζει ένα σύνολο παρατηρήσεων σε δύο ίσα μέρη

26 όταν οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθούν με σειρά τάξης μεγέθους Η διάμεσος είναι το σημείο του άξονα των δεδομένων κάτω από το οποίο βρίσκεται το πολύ το 50% των παρατηρήσεων και συγχρόνως πάνω από αυτό το πολύ το 50% των παρατηρήσεων Όταν έχουμε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις βρίσκουμε την διάμεσο από το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων 6 Το εύρος δεν θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς γιατί βασίζεται μόνο στις δύο ακραίες παρατηρήσεις 7 Η διακύμανση είναι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς αλλαά έχει το μειονέκτημα να μην εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις 8 Ο συντελεστής μεταβολής δεν ενδείκνυται όταν η μέση τιμή είναι κοντά στο μηδέν 9 Οι ομαδοποιημένες παρατηρήσεις χρησιμοποιούνται και στην περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε πολύ περισσότερο στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής 0 Οι παρατηρήσεις στις κλάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα Καμιά παρατήρηση δεν μπορεί να μείνει έξω από κάποια κλάση Οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους όσο το πλάτος των κλάσεων Μια παρατήρηση που συμπίπτει με το άνω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά την διαλογή στην αμέσως επόμενη κλάση Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες, οπότε μπορούν να αντιπροσωπευθούν από τις κεντρικές τιμές, τα κέντρα δηλαδή της κλάσης Θεωρούμε το πλάτος c ως μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα Το εμβαδό του ορθογωνίου στο ιστόγραμμα συχνοτήτων ισούται με την συχνότητα της κλάσης αυτής 3 Το εμβαδό του χωρίου στο ιστόγραμμα που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ισούται με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή το μέγεθος του δείγματος Εν 4 Το εμβαδό του χωρίου στο ιστόγραμμα που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ισούται με το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων, δηλαδή με το Ε 5 Εάν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρκετά μεγάλος τείνει στο άπειρο και ότι το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μικρό τείνει στο μηδέν, τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη

27 μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων Έχουμε την κανονική κατανομή, με κωδωνοειδή μορφή α α β δ β Την ομοιόμορφη, όταν οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα Όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες η κατανομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία και ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία Στην θετική ασυμμετρία M o < δ< Στην αρνητική ασυμμετρία Mo > δ> 6 Ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας είναι ένα μέτρο το οποίο μας βοηθά στην σύγκριση ομάδων τιμών όταν οι διασπορές των παρατηρήσεων δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες, ή εκφράζονται από διαφορετικές μονάδες μέτρησης, ή εκφράζονται από τις ίδιες μονάδες μέτρησης αλλά έχουν σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές 7 Ο συντελεστής μεταβολής εκφράζεται επί τοις εκατό, είναι συνεπώς ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης καθαρός αριθμός και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών και όχι της απόλυτης διασποράς S 8 Είναι CV

28 9 Δεν έχει κάθε δείγμα συντελεστή μεταβολής, αφού όταν ένα δείγμα έχει 0 τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής 0 Δεν είναι δυνατόν να έχουμε CV<0 Είναι δυνατόν να έχουμε CV>00% Ένα δείγμα θα είναι ομοιογενές εάν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 0%, δηλαδή CV 0% 3 Υπάρχουν δυο διαφορετικά δείγματα που να έχουν την ίδια τυπική απόκλιση, τον ίδιο συντελεστή μεταβολής και διαφορετικές μέσες τιμές 4 Ο συντελεστής μεταβολής εκφράζει την μεταβλητότητα των δεδομένων απαλλαγμένη από την μέση τιμή 5 Αν όλοι οι αριθμοί σε ένα σύνολο δεδομένων είναι ίσοι τότε η τυπική απόκλιση είναι ίση με το μηδέν 6 Όταν έχουμε ακραίες παρατηρήσεις δεν είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε την μέση τιμή, αντίθετα με την διάμεσο 7 Στην συμμετρική κατανομή συμπίπτει η μέση τιμή με την διάμεσο

29 Μέση τιμή Πλεονεκτήματα Για τον υπολογισμό της χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές Είναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων Είναι εύκολα κατανοητή Ο υπολογισμός της είναι σχετικά εύκολος Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστική ανάλυση Μειονεκτήματα Επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιμές Μπορεί να μη αντιστοιχεί σε δυνατή τιμή της μεταβλητής Όταν η Χ είναι διακριτή, με ακέραιες τιμές, τότε η μέση τιμή μπορεί να μην είναι ακέραιος Δεν υπολογίζεται για τα ποιοτικά δεδομένα Είναι δύσκολος ο υπολογισμός της σε ομαδοποιημένα δεδομένα με ανοιχτές τις ακραίες κλάσεις διάμεσος Πλεονεκτήματα Είναι εύκολα κατανοητή Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές Υπολογίζεται και στην περίπτωση που οι ακραίες κλάσεις είναι ανοικτές Ο υπολογισμός της είναι απλός Είναι η μοναδική σε κάθε σύνολο δεδομένων Μειονεκτήματα Δε χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές για τον υπολογισμό της Δεν υπολογίζεται για τα ποιοτικά δεδομένα Είναι δύσκολη εφαρμογή της για να περαιτέρω στατιστική ανάλυση Για τον υπολογισμό της μπορεί να χρειαστεί παρεμβολή Επικρατούσα τιμή Πλεονεκτήματα Υπολογίζεται εύκολα, όταν δεν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα Είναι εύκολα κατανοητή Υπολογίζεται και από ελλιπή δεδομένα Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές Εφαρμόζεται και σε ποιοτικά δεδομένα Μειονεκτήματα Δεν χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές Δε χρησιμοποιείται εύκολα για περαιτέρω στατιστική ανάλυση Δεν ορίζεται πάντα μονοσήμαντα Μπορούμε να έχουμε πολλές κορυφές και καθόλου

30 Εύρος πλεονεκτήματα Είναι πολύ απλό στον υπολογισμό Χρησιμοποιείται αρκετά στον έλεγχο ποιότητας Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης μειονεκτήματα Δεν θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς, επειδή βασίζεται μόνο στις δύο ακραίες παρατηρήσεις Δεν χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστική ανάλυση Διασπορά και τυπική απόκλιση πλεονεκτήματα Λαμβάνονται υπόψη για τον υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις Εχουν μεγάλη εφαρμογή στη στατιστική συμπερασματολογία Σε κανονικούς πληθυσμούς το 68%- 95% - 99,7% των παρατηρήσεων βρίσκονται στα διαστήματα X± S ± ± X S, X 3S αντίστοιχα, μειονεκτήματα Το κυριότερο μειονέκτημα της διασποράς είναι ότι δεν εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με το χαρακτηριστικό Το μειονέκτημα αυτό παύει να υπάρχει με την χρησιμοποίηση της τυπικής απόκλισης Απαιτούνται περισσότερες αλγεβρικές πράξεις για τον υπολογισμό τους παρά στα άλλα μέτρα Συντελεστής μεταβολής πλεονεκτήματα Είναι καθαρός αριθμός Χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγκρισης της μεταβλητότητας όταν έχουμε ίδιες μονάδες ή και διαφορετικές μονάδες μέτρησης Χρησιμοποιείται ως μέτρο ομοιογένειας ενός πληθυσμού Παριστάνει μέτρο σχετικής διασποράς μειονεκτήματα Δεν ενδείκνυται στην περίπτωση που η μέση τιμή είναι κοντά στο μηδέν Ποτέ το CV<0 Μπορεί να είναι το CV>00%

31 και όχι απόλυτης διασποράς Δεν έχει κάθε δείγμα συντελεστή μεταβολής Η ομοιογένεια δύο δειγμάτων γίνεται με σύγκριση των συντελεστών μεταβολής και μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει αυτό που έχει τον μικρότερο συντελεστή μεταβολής Ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 0% 83 Πότε ένα πείραμα λέγεται πείραμα τύχης και πότε αιτιοκρατικό ; Κάθε πείραμα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από τις ίδιες συνθήκες ονομάζεται πείραμα τύχης random eperment Κάθε πείραμα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό determnstc πείραμα 84 ατι λέγεται δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης ; βτι λέμε δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύχης ; α Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος sample space και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω βαν δηλαδή ω, ω,, ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω { ω, ω,, ωκ } 85 Τι λέγεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ; Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο eent ή γεγονός, δηλαδή το σύνολο όλων των υποσυνόλων του δειγματικού χώρου Είναι φανερό ότι ένα ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου 86 Τι λέγεται απλό και τι σύνθετο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ; Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει περισσότερα στοιχεία 87 Πότε λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α ενός πειράματος τύχης πραγματοποιείται ή συμβαίνει σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του πειράματος ;

32 Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει Γι αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του 88 Τι ονομάζονται ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή ενός ενδεχομένου; Είναι τα στοιχεία του ενδεχομένου 89 Ποιο είναι το βέβαιο και ποιο το αδύνατο ενδεχόμενο ; Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω Γι αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης Γι αυτό λέμε ότι το είναι το αδύνατο ενδεχόμενο 90 Αν Α είναι ένα ενδεχόμενο τι συμβολίζει το NA ; Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε με N A A B 9 Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A B ; Να παραστήσετε το A B σε ένα διάγραμμα Venn Ω Το ενδεχόμενο A B, που διαβάζεται «Α τομή Β» ή «Α και Β» και A B πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β Ευνοικές περιπτώσεις του ενδεχομένου «Α καί Β» είναι τα κοινά στοιχεία των δύο ενδεχομένων μόνο τα κοινά Στη φράση συγχρόνως τα Α,Β θα παίρνουμε Α Β 9 Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A B ; Να παραστήσετε το A B σε ένα διάγραμμα Venn A B Το ενδεχόμενο A B, που διαβάζεται «Α ένωση Β»ή «Α ή Β» Ω και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από A B τα Α, Β δηλαδή όταν πραγματοποιείται το Α ή το Β ή και τα δύο μαζί Ευνοικές περιπτώσεις του ενδεχομένου «Α ή Β» είναι όλα τα στοιχεία των δύο ενδεχομένων κοινά και μη κοινά Στη φράση ένα τουλάχιστον θα παίρνουμε Α Β και παίρνουμε από ένα και πάνω ακόμη και όλα, για τον υπολογισμό παίρνουμε άρνηση 93 Πότε πραγματοποιείται το αντίθετο ενδεχόμενο A του Α ; Να A παραστήσετε το A σε ένα διάγραμμα Venn A Το ενδεχόμενο A, που διαβάζεται «όχι Α» ή «συμπληρωματικό Ω του Α» και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α Το A λέγεται και «αντίθετο του Α» Ευνοικές περιπτώσεις του ενδεχομένου «όχι Α» είναι όλα τα στοιχεία του δειγματικού

33 χώρου Ω που δεν ανήκουν στο Α Στη φράση να μήν συμβεί το Α θα παίρνουμε Α 94 Πότε πραγματοποιείται η διαφορά AB του Β από το Α ; Να παραστήσετε το A B σε ένα διάγραμμα Venn A B Το ενδεχόμενο A B, που διαβάζεται «διαφορά του Β από το Α» και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β Ω A B Είναι εύκολο να δούμε ότι A B A B 95 Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους ; Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν A B Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα 96 Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α ; Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, κ τότε ο λόγος ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με A 97 Έστω Ω { ω, ω,, ω λ }δειγματικός χώρος και τα απλά ενδεχόμενα {ω },{ω },,{ω λ } τα οποία πραγματοποιούνται κ, κ,, κ λ φορές αντίστοιχα σε ν εκτελέσεις του πειράματος με σχετικές συχνότητες,,, λ Δείξτε ότι λ Τότε για τις σχετικές συχνότητες κ κ,,, έχουμε: 0,,,, λ αφού κ κ λ λ των απλών ενδεχομένων θα 0 κ κ κ λ λ Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β Πραγματοποιείται μόνο το Α Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β ω A ω A ή ω A ω A B ω A B ω A B ω A B ή ω A B A B

34 Το ενδεχόμενο να πραγματοποιείται μόνο ένα από τα δύο Να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα δύο Κανένα από τα Α,Β ω A B B A ω A B' A' B' ω A' B' A B' 98 Τι ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών ; Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς όχι πάντοτε ίδιους, καθώς ο αριθμός των δοκιμών του πειράματος επαναλαμβάνεται απεριόριστα Το εμπειρικό αυτό εξαγόμενο, το οποίο επιβεβαιώνεται και θεωρητικά, ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών 99 Να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα ορίσουμε ως πιθανότητα του Πλήθος Ευνοϊκών Περιπτώσεων N A ενδεχομένου Α τον αριθμό: P A Πλήθος Δυνατών Περιπτώσεων N Ω Έτσι, έχουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, που διατυπώθηκε από τον Laplace το 8

35 00 Πως από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτει ότι PΩ, P 0, 0 PA ; Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι: N Ω 0 P Ω P 0 N Ω N Ω Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 P A, αφού το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου 0 Να δώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας Έστω Ω { ω, ω,, ων} ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων Σε κάθε απλό ενδεχόμενο { ω } αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με P ω, έτσι ώστε να ισχύουν: 0 P ω P ω P ω P ων Τον αριθμό P ω ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου { ω } Ως πιθανότητα P A ενός ενδεχομένου A { α, α,, ακ} ορίζουμε το άθροισμα P α P α P ακ, ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό P 0