Αναλυτική Επίλυση Πασσάλου Τριβής σε Δίστρωτο Έδαφος

Αναλυτική Επίλυση Πασσάλου Τριβής σε Δίστρωτο Έδαφος Analytical Solution for a Friction Pile in a Two Layer Soil ΑΝΩΓΙΑΤΗΣ, Γ. Πολιτικός Μηχανικός, Διδάκτωρ Πανεπιστημίου Πατρών ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Γ. Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών ΠΑΠΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ, Κ. Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστημίου Πατρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Αναπτύσσεται αναλυτικό προσομοίωμα τύπου Tajii για τη στατική απόκριση πασσάλου τριβής σε δίστρωτο έδαφος επί ανένδοτης βάσης. Το έδαφος προσομοιώνεται σύμφωνα με την υπόθεση του συνεχούς μέσου με δυο τμηματικώς ομοιογενείς στρώσεις. Η λύση αναπτύσσεται σύμφωνα με τη θεωρία των γενικευμένων συντεταγμένων μέσα από ένα σύνολο ιδιοσυναρτήσεων («στατικών ιδιομορφών»). Οι συντελεστές του αναπτύγματος είναι συζευγμένοι και υπολογίζονται μέσω της επίλυσης ενός συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων. Ο πάσσαλος προσομοιώνεται ως σύνθετη ράβδος με χρήση ενός ψεύδο-τμήματος κάτω από την αιχμή. Οι προβλέψεις του μοντέλου βρίσκονται σε καλή συμφωνία με αριθμητικές λύσεις. ABSTRACT : An analytical odel of the Tajii type is developed for the static response of a floating pile in two-layer soil over a rigid base. The soil is odeled as a continuu, divided into two piece-wise hoogeneous layers. The solution is derived according to the theory of generalized coordinates through a set of pertinent eigenfunctions («static odes»). The corresponding Fourier coefficients are deterined through a set of siultaneous algebraic equations, equal to the nuber of odes eployed. The pile is odelled as a two-layer coposite rod, including a pseudo-pile segent under the tip. The predictions of the odel are in good agreeent with nuerical solutions. -. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διερεύνηση της καθίζησης πασσάλων τριβής έχει προσελκύσει έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον εδώ και δεκαετίες, όπως και αυτή των λυγηρών πασσάλων αιχμής. Οι πλειονότητα των σχετικών ερευνών εστιάζει στην ανάλυση του πασσάλου ως ράβδου πεπερασμένου μήκους σε ελαστικό ημίχωρο (Poulos & Davis 98, El Marsafawi et al., 99, Syngros 4). Ωστόσο, οι πάσσαλοι χρησιμοποιούνται συχνά αντί των επιφανειακών θεμελιώσεων σε εδάφη μικρής φέρουσας ικανότητας για τη μεταφορά φορτίων σε στρώματα μεγαλύτερου βάθους και ικανής αντοχής να φέρουν με ασφάλεια τα επιβαλλόμενα φορτία. Σημαντικά λιγότερες ερευνητικές προσπάθειες αφορούν το πρόβλημα πασσάλου σε εδαφικό στρώμα υπερκείμενο ανένδοτης βάσης (Chin et al., 99, Ai and Han, 9). Απλά αναλυτικά προσομοιώματα βασισμένα στη θεωρία Winler (Nova,974) εξαρτώνται από την επιλογή της στιφρότητας των ελατηρίων, η οποία δεν είναι τετριμμένη στην περίπτωση εδαφικής ανομοιογένειας και μάλιστα παρουσία πασσάλων τριβής, όπου απαιτείται και η εκτίμηση της στιφρότητας του ελατηρίου στη βάση του πασσάλου. Επιπρόσθετα, τριδιάστατα αναλυτικά προσομοιώματα τύπου Tajii (Tajii, 966) περιορίζονται στην ανάλυση πασσάλων αιχμής (Nogai & Nova, 976, Aiyoshi, 98, Anoyatis & Mylonais, ). Τριδάστατη αναλυτική λύση πασσάλου τριβής δεν έχει επιχειρηθεί μέχρι σήμερα.

Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται αναλυτικό προσομοίωμα τύπου Tajii για τη διερεύνηση της συμπεριφοράς πασσάλου τριβής σε δίστρωτο έδαφος επί ανένδοτης βάσης. Το προτεινόμενο προσομοίωμα υπερέχει έναντι των διαθέσιμων αριθμητικών λύσεων όπως τα πεπερασμένα ή τα συνοριακά στοιχεία, καθώς παρέχει λύσεις σε κλειστή μορφή για τη στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου και το πεδίο των παραμορφώσεων και μετακινήσεων στο έδαφος. Στο πλαίσιο της προτεινόμενης λύσης, το εδαφικό μέσο προσομοιώνεται με δύο τμηματικώς ομοιογενείς στρώσεις οι οποίες χαρακτηρίζονται από διαφορετικά μέτρα διάτμησης και λόγους Poisson. Η εξίσωση ισορροπίας και οι συνοριακές συνθήκες στα όρια των στρώσεων παρέχουν ένα σύνολο ιδιοσυναρτήσεων («στατικών ιδιομορφών») βάσει των οποίων αναπτύσσεται η λύση, σύμφωνα με τη θεωρία των γενικευμένων συντεταγμένων. Στην περίπτωση που οι ιδιότητες των δυο στρωμάτων ταυτίζονται, οι ιδιομορφές εκφράζονται μέσω στοιχειωδών τριγωνομετρικών συναρτήσεων που αντιστοιχούν σε ομοιογενές έδαφος, όπως στην κλασική λύση. Στο πλαίσιο της υπόθεσης της επιπεδότητας των διατομών, ο πάσσαλος προσομοιώνεται ως σύνθετη ράβδος, η οποία χωρίζεται, με την ίδια λογική, σε δύο μέρη στο επίπεδο της εδαφικής διεπιφάνειας: το πάνω τμήμα αντιστοιχεί στον πραγματικό πάσσαλο, ενώ το κάτω τμήμα αντιστοιχεί σε έναν ψεύδο-πάσσαλο με ίδιες ιδιότητες με το γειτονικό έδαφος και χρησιμοποιείται για να προσομοιώσει το υλικό κάτω από την αιχμή του πασσάλου. Πάσσαλος και έδαφος θεωρούνται σε τέλεια επαφή, χωρίς σχετική ολίσθηση. Σε αντίθεση με την κλασική λύση, οι συντελεστές του αναπτύγματος Fourier είναι συζευγμένοι και υπολογίζονται μέσω της επίλυσης ενός συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων τάξης ίσης με τον αριθμό των εμπλεκόμενων ιδιομορφών. Η εγκυρότητα της προσέγγισης ελέγχεται συστηματικά έναντι ακριβέστερων αριθμητικών λύσεων από τη βιβλιογραφία. Σχήμα. Γεωμετρία προβλήματος. Figure. Proble geoetry.. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στο Σχήμα απεικονίζεται μοναχικός κυλινδρικός συμπαγής πάσσαλος τριβής εγκιβωτισμένος σε δίστρωτο έδαφος υπερκείμενο ανένδοτης βάσης. Στην παρούσα εργασία ο πάσσαλος εδράζεται στην επιφάνεια του κάτω στρώματος (L = h). Ο ψευδοπάσσαλος, προσομοιώνει τη συμπεριφορά του εδάφους κάτω από την αιχμή χρησιμοποιώντας ένα μέτρο ελαστικότητας E t ίσο με την αντίστοιχη τιμή του περιβάλλοντος εδάφους. Η εδαφική ανομοιογένεια εκφράζεται μέσω της συνάρτησης: G z G G G h s( ) s s s z

όπου Η[ ] είναι η συνάρτηση Heaviside, η οποία ισούται με μονάδα για z > h και μηδενίζεται για z < h. Η ειδική περίπτωση πασσάλου τριβής σε ομοιογενές έδαφος αντιμετωπίζεται θέτοντας G s = G s και ν s = ν s. 3. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ 3. Ανάλυση εδάφους Κάθε στρώμα αναλύεται ξεχωριστά όπως στην περίπτωση του πασσάλου σε ομοιογενές έδαφος (Anoyatis & Mylonais, ), με τη διαφορά ότι σε κάθε στρώμα επιβάλλονται διαφορετικές οριακές συνθήκες. Από την ισορροπία των κατακόρυφων δυνάμεων σε τυχαίο εδαφικό στοιχείο εξάγεται η μερική διαφορική εξίσωση σε όρους τάσεων (τ ir ) r r z i όπου τ = τ rz (r,z) η κατακόρυφη διατμητική τάση που ασκείται στο επίπεδο rz, σ = σ z (r,z) είναι η κατακόρυφη ορθή τάση και ο δείκτης i =, αντιστοιχεί στο άνω και κάτω στρώμα, αντίστοιχα. Λαμβάνοντας υπόψη την αξονική συμμετρία του προβλήματος και αμελώντας την επίδραση της οριζόντιας εδαφικής μετακίνησης στις τάσεις η οποία μπορεί να θεωρηθεί εύλογα μικρή συγκριτικά με την κατακόρυφη οι σχέσεις τάσεων μετακινήσεων γράφονται στην παρακάτω απλοποιημένη μορφή (Ανωγιάτης, 3): i u z i - η si Gs( z) τi - Gs ( z) ui r όπου u i = u i (r,z) είναι η κατακόρυφη εδαφική μετακίνηση, η si είναι μια αδιάστατη παράμετρος που εξαρτάται αποκλειστικά από τον λόγο Poisson και για το παρόν πρόβλημα ισούται με (/(-ν si )) /. Αντικαθιστώντας τις Εξισώσεις στην Εξίσωση, λαμβάνεται η εξίσωση ισορροπίας σε όρους μετακινήσεων u u u r r r z i i i si Εκφράζοντας την εδαφική μετακίνηση ως u(r,z) = R(r) Z(z) σύμφωνα με τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών λαμβάνεται η γενική λύση της ανωτέρω εξίσωσης u A I ( q r ) B K ( q r ) C sin z D cos z i i i i i i i όπου q i = α η si, I () and K ( ) είναι οι τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel μηδενικής τάξης, πρώτου και δεύτερου είδους, αντίστοιχα και α είναι μια πραγματική θετική μεταβλητή με διαστάσεις /Μήκος. Τέλος, οι A, B, C, D είναι σταθερές ολοκλήρωσης που υπολογίζονται από τις οριακές συνθήκες του προβλήματος. Λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκης μηδενικής ορθής τάσης στην ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους και μηδενικής μετατόπισης στη βάση του, καθώς και τη συμβιβαστότητα των ορθών τάσεων και μετακινήσεων στη διεπιφάνεια των δυο στρωμάτων προκύπτει η έκφραση G cos cos sin sin s s h h h h s G s

μέσω της οποίας υπολογίζονται οι στατικές ιδιοτιμές α =,, 3, του δίστρωτου εδάφους, οι οποίες καταδεικνύουν πως η ανάπτυξη του κατακόρυφου πεδίου των μετατοπίσεων στο εδαφικό μέσο οφείλει να γίνει βάσει συγκεκριμένων τριγωνομετρικών όρων ("μηκών κύματος"). Το πεδίο μετακινήσεων και διατμητικών τάσεων στο έδαφος γράφεται αντίστοιχα ως εξής: u( r, z) B K ( q r ) ( z ) τ( r, z) B q K ( q r ) G ( z) ( z ) s όπου Φ( ) είναι η ιδιοσυνάρτηση (στατική ιδιομορφή) που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του κάθε στρώματος ( z) ( z) ( z) ( z) ( z h ) όπου cos z, z h cos h sin ( H z), h z H sin h όπου το σύμβολο στο δεύτερο σκέλος της ιδιομορφής αντιστοιχεί στο συνολικό βάθος του εδαφικού μέσου (όχι σε συνάρτηση Heaviside). Η συνθήκη ορθογωνικότητας στο συγκεκριμένο τύπο προβλημάτων περιλαμβάνει τη συναρτησιακή μεταβολή του μέτρου διάτμησης με το βάθος H G ( z) ( z) ( z) dz, s 3. Ανάλυση πασσάλου Θεμελιώδες στοιχείο της παρούσας μεθόδου αποτελεί η ανάπτυξη της συνάρτησης μετακίνησης (βύθισης) του πασσάλου, και κατ επέκταση των ορθών τάσεων κατά μήκος του δομικού στοιχείου, μέσω συνημιτονικών σειρών Fourier w( z) C Y ( z), z H p ( z) E(z) C Y (z), z H όπου Y( ) είναι οι ιδιομορφές του πασσάλου,y ( ) η αντίστοιχη πρώτη παράγωγός τους ως προς τη χωρική μεταβλητή z, και C οι συντελεστές Fourier του αναπτύγματος που θα προσδιοριστούν στη συνέχεια. Η συνάρτηση E(z) περιγράφει τη μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας με το βάθος στη στήλη πασσάλου και δίνεται από τη σχέση:

E( z) Ep Et Ep ( z L ) Κατ αναλογία οι ιδιομορφές Y(z) γράφονται Y ( z) Y ( z) Y ( z) Y ( z) ( z L ) Οι επιμέρους ιδιομορφές Y ( ) και Y ( ) βασίζονται στην ανάλυση του δίστρωτου εδαφικού στρώματος που παρουσιάστηκε παραπάνω και δίνονται από τις σχέσεις: Y ( z) cos p z, Y ( z) p sin p z, z h cos p L cos p L Y ( z) sin[ p ( H z)], Y ( z) p cos p ( H z) h z H sin ph sin ph όπου p είναι οι ιδιοτιμές της στήλης πασσάλου και Y ( ) και Y ( ) οι αντίστοιχες παράγωγοι ως προς τη μεταβλητή z. Η μεθοδολογία που ακολουθείται στην ανάλυση του πασσάλου ικανοποιεί τις συνθήκες συμβιβαστότητας των ορθών τάσεων και κατακόρυφων μετακινήσεων στη διεπιφάνεια πασσάλου ψευδοπασσάλου, από την οποία προκύπτει η παρακάτω εξίσωση ιδιοτιμών Ep cos pl cos ph sin pl sin ph E t η οποία είναι ανάλογη της αντίστοιχης έκφρασης για το δίστρωτο εδαφικό υλικό όπως παρουσιάζεται στην Εξίσωση, με τη διαφορά ότι η ανάλυση της στήλης του πασσάλου γίνεται σύμφωνα με την παραδοχή της επιπεδότητας των διατομών (από την οποία απουσιάζει ο λόγος Poisson) και όχι της θεωρίας του συνεχούς μέσου. Οι ιδιοτιμές p υπολογίζονται από τη λύση της παραπάνω εξίσωσης, η οποία επιτυγχάνεται αριθμητικά. Ας σημειωθεί ότι στην ειδική περίπτωση όπου E p = E t, η Εξίσωση απλοποιείται στην απλή σχέση cos p H = που αντιστοιχεί σε πάσσαλο που εδράζεται απευθείας στην ανένδοτη βάση (Ανωγιάτης, 3). Σύμφωνα με τα παραπάνω, η διαφορική εξίσωση ισορροπίας του πασσάλου που προκύπτει από την ισορροπία των κατακόρυφων δυνάμεων σε ένα στοιχειώδες τμήμα της γράφεται w E(z) Ap d ( d /, z) F( z) z όπου τ είναι η κατακόρυφη εδαφική αντίδραση στην περιφέρεια του πασσάλου και F(z) οι δυνάμεις σώματος κατά μήκος του πασσάλου, οι οποίες αναλύονται ως εξής: P ( z) ( z) dz P s H H s s F( z) F G ( z) ( z), F H G ( z) ( z) dz G ( z) ( z) dz

Οι συντελεστές F του αναπτύγματος προσδιορίζονται λαμβάνοντας υπόψη την ορθογωνικότητα των εδαφικών ιδιομορφών στην Εξίσωση, εκφράζοντας το συγκεντρωμένο φορτίο στην κεφαλή ως P δ(z), με δ(z) να συμβολίζει την κατανομή δέλτα (Dirac). Αντικαθιστώντας τις Εξισώσεις,, και στην και θεωρώντας τέλεια επαφή στη διεπιφάνεια πασσάλου εδάφους [w(z) = u(d/,z)], η εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του πασσάλου, κάνοντας χρήση της ορθογωνικότητας των εδαφικών ιδιομορφών κατόπιν περεταίρω αμιγώς μαθηματικής αντιμετώπισης (λεπτομερής περιγραφή δίνεται στη διδακτορική διατριβή του Ανωγιάτη (3)) γράφεται ξανά ως εξής: C N H H p s K( s ) A E( z) Y ( z) ( z) dz K ( s ) s K ( s ) G ( z) Y ( z) ( z) dz P όπου s = α η s d/. Η παραπάνω μαθηματική έκφραση αποτελεί εναλλακτική διατύπωση ενός συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων πλήθους ίσου με τον αριθμό των ιδιομορφών που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση, από τη λύση του οποίου προσδιορίζονται οι συζευγμένοι συντελεστές C. 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στον Πίνακα παρουσιάζονται αποτελέσματα από το προτεινόμενο προσομοίωμα, μια ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων υψηλής ακρίβειας (Syngros, 4) και τη λύση με χρήση συναρτήσεων Green που προτάθηκε από τους Kaynia και Kausel (El Marsafawi et al., 99). Επιλέγεται απόσταση από τον πόδα του πασσάλου έως την ανένδοτη βάση ίση με 8 μήκη πασσάλου, ώστε να προσομοιώνονται ικανοποιητικά οι συνθήκες ημίχωρου και ταυτόχρονα να μην απαιτούνται περισσότερες από ιδιομορφές για την εξαγωγή αξιόπιστων αποτελεσμάτων. Ο συγκεκριμένος περιορισμός της απόστασης γίνεται πιο χαλαρός στην περίπτωση ιδιαίτερα λυγηρών πασσάλων (L/d = 6), για τους οποίους η εύλογη υπόθεση h = 8 L οδηγεί σε απαγορευτικά βαθύ εδαφικό προφίλ που απαιτεί πολύ μεγάλο αριθμό ιδιομορφών ώστε να εξασφαλισθεί ακρίβεια στα αποτελέσματα. Μια λεπτομερής διερεύνηση της επίδρασης του αριθμού των ιδιομορφών παρουσιάζεται στη διδακτορική διατριβή του Ανωγιάτη (3). Όπως φαίνεται ξεκάθαρα στον Πίνακα, μεγαλύτερες τιμές του λόγου E p /E s οδηγούν σε μεγαλύτερες αποκλίσεις για το δεδομένο αριθμό ιδιομορφών. Πίνακας. Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου K/E s d. Table. Noralized pile head stiffness K/E s d. L/d E p /E s Προτεινόμενο Syngros προσομοίωμα (4) Στιφρότητα πασσάλου, K / E s d El. Marsafawi et al. (99) Απόκλιση (%) l=8l(α) (S) (M) (A)-(S)/(S) (A)-(M)/(M) 3 4.4 3.9 3.96.53. 6.98 6. 6.6.4.5 3 9.8 8.64 8.69 3.43.77.4.5.54 4.67 4.3 3 3... 6.7 6.7 3.39.5.5 6.43 6.43 6 7.9 6.47 6.48.3.96 3.36.4.6 9.3.7 8.7 6.5 6.7 9.5.45 Τα αποτελέσματα από τους El Marsafawi et al. (99) και Syngros (4) αφορούν πασσάλους σε ημίχωρο N = ιδιομορφές

Σχήμα. Μεταβολή του συντελεστή επιρροής καθίζησης με τη λυγηρότητα του πασσάλου. Σύγκριση με δημοσιευμένες λύσεις. N =, ν s =.499, E p /E s =, b =, N = 5. Figure. Variation of settleent influence factor with pile slenderness. Coparison against published solutions, N =, ν s =.499, E p /E s =, b =, N = 5. Σχήμα 3. Load transfer behaviour of single piles in hoogeneous soil stratu. Coparisons with published solutions; N =, ν s =.499, H/L =, L/d =, E p /E s = Figure 3. Load transfer behaviour of single piles in hoogeneous soil stratu. Coparisons with published solutions; N =, ν s =.499, H/L =, L/d =, E p /E s = Σε γενικές γραμμές οι αποκλίσεις από τις πιο αυστηρές αριθμητικές λύσεις κυμαίνονται μεταξύ 9 και 6 %, κάτι που αναδεικνύει την καλή απόδοση του αναλυτικού προσομοιώματος ακόμη και στην περίπτωση του ελαστικού ημίχωρου. Αριθμητικά αποτελέσματα για τον συντελεστή επιρροής καθίζησης I w (= E s d w /P) από το προτεινόμενο προσομοίωμα και τρεις λύσεις από τη βιβλιογραφία παρουσιάζονται στο Σχήμα. Όλες οι μέθοδοι παρέχουν παρόμοιες τιμές για την περίπτωση H/L =. Ωστόσο, για

μικρότερη απόσταση μεταξύ του πόδα του πασσάλου και της ανένδοτης βάσης (H/L =.), τα προτεινόμενα αποτελέσματα βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με τα αποτελέσματα των Chin et al. (99) και Ai and Han (9) για L/d >, ενώ όλα τα αποτελέσματα από τον Poulos (974) βρίσκονται εμφανώς χαμηλότερα. Φαίνεται πως για μικρές τιμές του h το προσομοίωμα υπερεκτιμά τις εδαφικές μετακινήσεις. Αυτό μπορεί να αποδοθεί στην σημαντική επίδραση της εδαφικής στήλης κάτω από τον πάσσαλο που έχει προσομοιωθεί σύμφωνα με τη θεωρία επιπεδότητας των διατομών. Αποτελέσματα για τη μεταβολή του αξονικού φορτίου κατά μήκος του πασσάλου παρουσιάζονται στο Σχήμα 3. Παρατηρείται πολύ καλή συμφωνία του προτεινόμενου προσομοιώματος με τις αριθμητικές λύσεις των Chow (989) και Ai & Han (9). 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το προτεινόμενο προσομοίωμα αποτελεί επέκταση της οικογένειας προσομοιώματων τύπου Tajii που έχουν προταθεί για την απόκριση πασσάλων αιχμής. Η ανάλυση πασσάλου τριβής εντός δίστρωτου έδαφικού στρώματος στηρίζεται στη μαθηματική τεχνική που έχει αναπτυχθεί για την αντίστοιχη ανάλυση πασσάλου αιχμής. Τα αποτελέσματα βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με αριθμητικές δημοσιευμένες λύσεις τόσο για την περίπτωση εδαφικού στρώματος όσο και ελαστικού ημίχωρου. 5. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα έρευνα χρηματοδοτήθηκε από την Επιτροπή Ερευνών του Πανεπιστήμιου Πατρών μέσω του Προγράμματος Κ. Καραθεοδωρή (#C.58). 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ανωγιάτης, Γ. (3), Συμβολή στην κινηματική και αδρανειακή ανάλυση πασσάλων μέσω αναλυτικών και πειραματικών μεθόδων. Διδακτορική Διατριβή, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ai, Z. and J. Han (9). Boundary eleent analysis of axially loaded piles ebedded in a ultilayered soil. Coputers and Geotechnics, 36(3), pp. 47 434. Aiyoshi, T. (98), Soil pile interaction in vertical vibration induced through a frictional interface. Earthquae Engineering & Structural Dynaics, (), pp. 35 48. Chin, J. T., Y. K. Chow, and H. G. Poulos (99). Nuerical analysis of axially loaded vertical piles and pile groups. Coputers and Geotechnics, 9(4), pp. 73 9. Chow, Y. K. (989). Axially loaded piles and pile groups ebedded in a cross anisotropic soil. Geotechnique, 39(), pp. 3. El Marsafawi, H., A. M. Kaynia, and M. Nova (99). Interaction factors and the superposition ethod for pile group dynaic analysis. Report GEOT9, Geotechnical Research Centre, The University of Western Ontario. Nogai, T. and M. Nova (976). Soil pile interaction in vertical vibration. Earthquae Engineering & Structural Dynaics, 4(3), pp. 77 93. Nova, M. (974). Dynaic stiffness and daping of piles. Canadian Geotechnical Journal, (4), pp. 574 598. Poulos, H. G. (974). Soil echanics new horizons, Chapter Theoretical analysis of pile behaviour. In Lee (974). Poulos, H. G. and E. Davis (98). Pile foundation analysis and design. New Yor: Wiley. Syngros, C. (4), Seisic response of piles and pile supported bridge piers evaluated through case histories. Ph. D. thesis, City University of New Yor. Tajii, H. (966). Earthquae response of foundation structures. Technical Report of the Faculty of Science and Engineering (in Japanese), Nihon University.