Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι για την παραγωγή 000 lit ΔΛ χρειάζονται δύο ώρες στο τμήμα της μίξης και μία ώρα στο τμήμα του καθαρισμού, ενώ για την παραγωγή 000 lit ΔΛ2 απαιτούνται μία ώρα στο τμήμα μίξης και δύο ώρες στο τμήμα καθαρισμού. Το οικονομικό τμήμα της εταιρείας, ξέροντας ότι το εργατικό δυναμικό επαρκεί για 20 ώρες στο τμήμα της μίξης και 250 ώρες στο τμήμα καθαρισμού, υπολογίζει σ ένα κέρδος 00 χ.μ. ανά lit ΔΛ και 500 χ.μ. ανά lit διαλύματος ΔΛ2 που θα πουληθεί Αν η αγορά σε εβδομαδιαία βάση μπορεί να απορροφήσει άπειρες ποσότητες lit ΔΛ αλλά το πολύ 20,000 lit ΔΛ2 προσδιορίστε τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από το κάθε διάλυμα ώστε να μεγιστοποιούνται τα συνολικά κέρδη της εταιρείας. /6
Ορίζουμε να είναι x ο αριθμός (σε χιλιάδες) των lit ΔΛ που παράγονται εβδομ. x 2 ο αριθμός (σε χιλιάδες) των lit ΔΛ2 που παράγονται εβδομ. Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = x + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Οι περιορισμοί προκύπτουν: από τις διαθέσιμες εβδομαδιαία εργατοώρες στο τμήμα μίξης 2x + x 2 20 από τις διαθέσιμες εβδομ εργατοώρες στο τμήμα καθαρισμού x + 2x 2 250 από την εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2 x 2 20 ενώ, προφανώς είναι και x, x 2 0 2/6
/6
Ας υποθέσουμε ότι για λόγους ανταγωνισμού στην αγορά για το διάλυμα ΔΛ, η εταιρεία μείωσε τα περιθώρια κέρδους της κατά 25,000 στα 000 lit. Τότε ο αντικειμενικός συντελεστής c έγινε από 00,000 που ήταν 275,000. Η αλλαγή αυτή τροποποιεί και το δοθέν σαν άριστο σχέδιο εβδομαδιαίας παραγωγής; Πως επηρεάζεται η άριστη λύση και η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αν ένας από τους αντικειμενικούς συντελεστές μεταβληθεί; Ας υποθέσουμε ότι ο χρόνος εργασίας στο τμήμα της μίξης μειώνεται στις 220 ώρες. Η αλλαγή αυτή τροποποιεί και το δοθέν σαν άριστο σχέδιο εβδομαδιαίας παραγωγής; Πως επηρεάζεται η άριστη λύση και η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αν το δεξιό μέλος ενός εκ των περιορισμών μεταβληθεί; Η ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ μελετά το αποτέλεσμα αλλαγών στις παραμέτρους του μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού πάνω στην άριστη λύση. Μια τέτοιου είδους ανάλυση πρέπει να συνοδεύει απαραίτητα τη λύση οποιουδήποτε π.γ.π. διότι δίνει στο μοντέλο ένα είδος στοχαστικού χαρακτήρα. 4/6
Αντικειμενικοί συντελεστές (c j ) Η ανάλυση ευαισθησίας υπολογίζει για τον κάθε αντικειμενικό συντελεστή ένα διάστημα τιμών μέσα στο οποίο μπορεί να μεταβάλλεται η τιμή του (όλες οι άλλες παράμετροι του μοντέλου παραμένουν σταθεροί) χωρίς να αλλάζει η άριστη λύση. Το διάστημα αυτό ονομάζεται εύρος αριστότητας του εν λόγω αντικειμενικού συντελεστή. Δεξιά μέλη των περιορισμών (b i ) Στην περίπτωση αυτή η ανάλυση ευαισθησίας προσδιορίζει ένα διάστημα τιμών για το κάθε b i. Καθώς το b i παίρνει τιμές στο διάστημα αυτό, που ονομάζεται διάστημα εφικτότητας, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αλλάζει μ έναν προσδιοριζόμενο σταθερό ρυθμό. 5/6
για τους αντικειμενικούς συντελεστές έχουμε 6/6
Όσο η κλίση της ευθείας z = x +5x 2 παραμένει μεταξύ των κλίσεων των ευθειών () και (2) η κορυφή Γ(70, 90) είναι η άριστη λύση του προβλήματος. Αλλαγές όμως στην τιμή του c (κέρδος ανά 000 lit διαλύματος ΔΛ) ή του c 2 (κέρδος ανά 000 lit διαλύματος ΔΛ2) επιφέρουν αλλαγές και στην κλίση της ευθείας z. Οι αλλαγές αυτές προκαλούν μια περιστροφή της ευθείας z γύρω από το σημείο Γ. Αν η ευθεία z περιστραφεί περί το Γ σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, η κλίση της μικραίνει. Η κλίση της ευθείας () αποτελεί ένα κάτω φράγμα για την κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης z που διατηρεί ως άριστη λύση την κορυφή Γ. Αν η ευθεία z περιστραφεί περί το Γ αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, η κλίση της μεγαλώνει. Η κλίση της ευθείας (2) είναι το άνω φράγμα για την κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης που διατηρεί ως άριστη λύση την κορυφή Γ. Συμπερασματικά, η κορυφή Γ θα είναι άριστη λύση για το πρόβλημά μας, όσο ισχύει η σχέση: κλίση της () κλίση της z κλίση της (2) που εδώ δίνει: 2 c c 2 0.5 7/6
για τα δεξιά μέλη των περιορισμών έχουμε 8/6
Συμπερασματικά, μας ενδιαφέρει να βρούμε εκείνη τη μεταβολή του b, η οποία προκαλεί παράλληλη μετατόπιση της ευθείας () σε τρόπο ώστε το σημείο τομής της Γ με την ευθεία (2) να βρίσκεται στην εφικτή περιοχή του προβλήματος. Σύμφωνα με το παράδειγμά μας, αρκεί να μην επιτρέψουμε κίνηση του σημείου Γ έξω από το ευθύγραμμο τμήμα ΔΖ. Αντικαθιστώντας τα δύο άκρα στον περιορισμό: Δ: 2*0+*20 = b b = 40 Ζ: 2*250+*0 = b b = 500 βρίσκουμε το διάστημα [40, 500] μέσα στο οποίο μπορεί να παίρνει τιμές το b και η άριστη λύση του προβλήματος να είναι η τομή των ευθειών () και (2). Τι γίνεται όμως στην άριστη λύση του προβλήματος; Το γεγονός όσο η τιμή του b βρίσκεται στο διάστημα [40, 500] αυτή προκύπτει στην τομή των ευθειών () και (2) δεν σημαίνει βέβαια ότι έχουμε συνέχεια την ίδια άριστη λύση. 9/6
Στον πίνακα που ακολουθεί, φαίνονται διάφορες τιμές που δώσαμε στη παράμετρο b, μαζί με την τιμή z της αντικειμενικής συνάρτησης για την αντίστοιχη άριστη λύση. Δίνεται επίσης η μεταβολή των τιμών τους (από την αρχική-δοσμένη) καθώς επίσης και ο ρυθμός αυτής της μεταβολής. b Άριστη λύση z Μεταβολή Ρυθμός 0 (5, 20) 65-00 -45 40 (0, 20) 60-90 -0 200 (50, 00) 650-0 -0 20 (70, 90) 660 00 50, 200 68 + b 70 z 2 + 500 (250, 0) 750 270 90 600 (250, 0) 750 70 90 Παρατηρούμε, ότι όσο η τιμή του b μεταβάλλεται στο διάστημα [40, 500], οπότε το σημείο τομής των ευθειών () και (2) εξακολουθεί να είναι η άριστη λύση του προβλήματος, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αλλάζει μ έναν σταθερό ρυθμό. 0/6
Αν παραστήσουμε γραφικά τις τιμές του b με τις αντίστοιχες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης στην άριστη λύση έχουμε: Συνεπώς, καθώς η τιμή του b αυξάνει από το 40 στο 500 η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην άριστη λύση μεταβάλλεται γραμμικά. /6
Η κλίση της ευθείας (κέρδος όταν b =500) - (κέρδος όταν b =40) 750-60 = = 500-40 60 παριστά το ρυθμό μεταβολής της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης z σε σχέση με τη μεταβολή του διαθέσιμου χρόνου b για τη μίξη των παραγόμενων προϊόντων. Με άλλα λόγια για κάθε επιπλέον ώρα που μπορεί να διατεθεί στο τμήμα της μίξης των δύο διαλυμάτων (και μέχρι τις 500), το κέρδος της εταιρείας αυξάνει κατά εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ. Κι αντιστρόφως, Η βελτίωση (αύξηση στο παράδειγμά μας) της τιμής z της αντικειμενικής συνάρτησης ανά μονάδα αύξησης του δεξιού μέλους ενός περιορισμού καλείται δυϊκή ή σκιώδης τιμή του πόρου που εκφράζει. Εδώ, η δυϊκή τιμή του διαθέσιμου χρόνου για τη μίξη των δύο διαλυμάτων ισούται με χιλιάδες χ.μ.. εκατοντάδες Η δυϊκή τιμή ενός πόρου εκφράζει την αξία που έχει για το μοντέλο που κατασκευάζουμε μια επιπλέον μονάδα του πόρου αυτού. Αν η εταιρεία καταφέρει να εξασφαλίσει μια ακόμη ώρα στο τμήμα της μίξης θα αυξήσει τα κέρδη της κατά. χ.μ. Λογικά επομένως, η εταιρεία θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει μέχρι αυτού του ποσού για να την αποκτήσει. 2/6
Βασιζόμενοι στο εύρος εφικτότητας του b [40, 20], μπορούμε να βρούμε και αναλυτικούς τύπους για τον προσδιορισμό της δυϊκής τιμής του πόρου τη διαθεσιμότητα b του οποίου μεταβάλλουμε. Συμβολίζουμε με D την ποσότητα κατά την οποία μεταβάλλεται η b από τη δοσμένη τιμής της (20). Όσο ισχύει 40 20+D 500 που δίνει 90 D 270 η άριστη λύση εξακολουθεί να προκύπτει στην τομή των ευθειών () και (2) κι άρα οι αντίστοιχοι περιορισμοί παραμένουν δεσμευτικοί. Συνεπώς θα είναι: 2D = 70 + 2x + x 2 = 20+D x + 2x 2 = 250 x x 2 D = 90 Οι σχέσεις αυτές, δίνουν το ρυθμό μεταβολής των τιμών των μεταβλητών μας στην άριστη λύση ανάλογα με τη μεταβολή του δεξιού μέλους του πρώτου περιορισμού b μέσα στο εύρος εφικτότητας [40, 500] που έχουμε υπολογίσει. Επιπλέον, 2D D z = x + 5x 2 = 70 + + 5 90 = 660 + D (νέα τιμή του z) = (παλιά τιμή του z) + (δυϊκή τιμή) * (μεταβολή του δεξιού μέλους) /6
Ανάλυση ευαισθησίας για χαλαρούς περιορισμούς απεριόριστη αύξηση η μείωση δεν πρέπει να ξεπερνά την περιθώρια τιμή Δυική τιμή ίση με μηδέν 4/6
LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) 660.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST SOL 70.000000 0.000000 SOL2 90.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES MIXHOURS) 0.000000 0. CLHOURS) 0.000000 2. MARKET) 0.000000 0.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE SOL.000000 7.000000 0.500000 SOL2 5.000000.000000.500000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE MIXHOURS 20.000000 270.000000 90.000000 CLHOURS 250.000000 45.000000 5.000000 MARKET 20.000000 INFINITY 0.000000 5/6
Παραμετρική ανάλυση Ταυτόχρονες αλλαγές των παραμέτρων (ο 00% κανόνας) Προσθέτοντας έναν περιορισμό η άριστη λύση παραμένει η ίδια μόνο στην περίπτωση που τον ικανοποιεί. Αφαιρώντας έναν περιορισμό η άριστη λύση παραμένει η ίδια αν από το π.γ.π. αφαιρέσουμε κάποιον χαλαρό περιορισμό. 6/6