1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι το: Ν { 0,,,,,... } Επίσης, το σύνολο των φυσικών αριθμών και των αρνητικών που προκύπτουν από τους φυσικούς, όταν βάλουμε μπροστά το πρόσημο, λέγεται σύνολο των ακεραίων αριθμών. Δηλαδή, το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ {...,,,, 0,,,,... }. Όλοι οι φυσικοί, τα κλάσματα και οι δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς, σχηματίζουν το σύνολο των ρητών αριθμών. Δηλαδή, έχουμε ότι: Q { y x, όπου x είναι ακέραιος, y είναι ακέραιος εκτός από το 0} Κάθε αριθμό που δεν είναι ρητός τον ονομάζουμε άρρητο αριθμό. Το σύνολο που αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς ονομάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το παριστάνουμε με τα σημεία ενός άξονα, όπως φαίνεται παρακάτω: Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα. Για παράδειγμα, -,, 0 0, -

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πρόσθεση Ομόσημοι: Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές και πρόσημο βάζουμε το ίδιο. Έτσι έχουμε π. χ.: (+) + (+) +0 και ( ) + ( ) 9 Ετερόσημοι: Αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή τη μικρότερη και πρόσημο βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη α- πόλυτη τιμή. Έτσι έχουμε π.χ.: ( 9) + (+) και (+8) + ( ) +. Ιδιότητες Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε: α + β β + α αντιμεταθετική α + (β + γ) (α + β) + γ προσεταιριστική α + 0 α ουδέτερο στοιχείο το 0 Σχόλια: α + (-α) 0 το άθροισμα αντιθέτων είναι 0 Η αντιμεταθετική ιδιότητα ουσιαστικά μας λέει ότι μπορούμε σ ένα ά- θροισμα να εναλλάσσουμε τη θέση των προσθετέων, ενώ η προσεταιριστική μας λέει ότι μπορούμε να τους προσθέσουμε με όποια σειρά θέλουμε. Όταν στη διάρκεια των πράξεων συναντάμε άρρητους, τους αντικαθιστούμε με τις ρητές προσεγγίσεις τους. Πολλαπλασιασμός Ομόσημοι: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε θετικό πρόσημο. Έτσι έχουμε π.χ.: (+) (+7) + και ( 7) ( ) + Ετερόσημοι: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και βάζουμε αρνητικό πρόσημο. Έτσι έχουμε π.χ.: Ιδιότητες (+) ( ) 0 και ( 7) (+) 8. Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε:

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α.β β. α αντιμεταθετική α.(β.γ) (α.β).γ προσεταιριστική α. α ουδέτερο στοιχείο το α. 0 0 το 0 απορροφητικό στοιχείο α., α 0 γινόμενο αντιστρόφων ίσον α α (β ± γ) αβ ± αγ επιμεριστική (α + β).(γ + δ) α. γ + α.δ + β.γ + β.δ επιμεριστική Αφαίρεση Η πράξη της αφαίρεσης γίνεται με την βοήθεια της πρόσθεσης. Δηλαδή αν θέλουμε να αφαιρέσουμε έναν πραγματικό αριθμό από έναν άλλο, τότε προσθέτουμε στον μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Δηλαδή: α - β α + (-β) Για παράδειγμα είναι: ( 7) ( ) ( 7) + (+) και (+8) (+) (+8) + ( ) + Διαίρεση Η πράξη της διαίρεσης γίνεται με την βοήθεια του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή αν θέλουμε να διαιρέσουμε έναν πραγματικό αριθμό με έναν άλλο, τότε πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή: α α :β α., β 0 β β Για παράδειγμα είναι: - - 7 ( ) : (- ) (- ). - και (- 7).( - ) - 9 9 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν έχουμε αθροίσματα με περισσότερους από δύο όρους τότε: Πρόσθεση: Προσθέτουμε τους όρους ανά δύο αρχίζοντας από αριστερά. Για παράδειγμα είναι: ( 7) + (+) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + (+) + ( ) (+) + ( ) Προσθέτουμε πρώτα όλους τους θετικούς όρους και μετά τους αρνητικούς οπότε στο τέλος προκύπτει μια πρόσθεση δύο ετεροσήμων όρων. Για παράδειγμα είναι: ( 7) + (+) ( ) + ( ) ( 7) + (+) + (+) + ( )

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ (+) + (+) + ( ) ( ) - 7 + - (+0) + (-) - θετικοι αρνητικοι ( 7) + (+) ( ) + ( ) ( 7) + (+) + (+) + ( ) ( 7) + (+) - Πολλαπλασιασμός: Μετράμε το πλήθος των αρνητικών παραγόντων. Αν το πλήθος είναι άρτιος αριθμός, τότε βάζουμε πρόσημο θετικό. Αν το πλήθος είναι περιττός αριθμός, τότε βάζουμε πρόσημο αρνητικό. Ως αριθμητική τιμή του αποτελέσματος τοποθετούμε τον αριθμό που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τις απόλυτες τιμές όλων των παραγόντων. Για παράδειγμα είναι: (+,) ( ) (,) (,) 7,7. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σημειώνοντας Χ στην κατάλληλη θέση. - 0, - 0,8, π 7 Ακέραιος Χ Χ Χ Ρητός Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Άρρητος Χ Χ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το 0, είναι ρητός γιατί x 0, 0x, αν από την δεύτερη αφαιρέσουμε την πρώτη ισότητα έχουμε 0x - x 9x οπότε είναι 8 x. To -0, 8 είναι ρητός γιατί - 0,8 -. Το 9 0 επομένως είναι ακέραιος. Το, είναι ρητός γιατί,. 00. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) + 7 + β) + 0 γ) 9. δ ) (- ). - ε) 0.( - ) 0 7 α) Αφαιρούμε την μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά τους βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. β) Άθροισμα αντιθέτων. γ) Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά τους βάζουμε πρόσημο, το κοινό τους πρόσημο. δ) Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο. ε) Είναι α 0 0.

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 7 στ ). ζ) ( ) ( ). 8 η) : ( + ) 8. θ) : +. +. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ( ) x x β ) ( x) + x γ) ( ) x + 9x δ) (x ) x + ε ) ( + x) ( +y) + y+x+x.y στ) ( x + ) x + 8 στ) Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε πρόσημο +. ζ) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. η) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. θ) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. α) Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση β) Επιμεριστική ιδιότητα γ) Πράξεις στην παρένθεση και πολ/σμός με - δ) Επιμεριστική ιδιότητα. ε) Είναι α 0 0. στ) Επιμεριστική ιδιότητα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i) Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε: α) είναι ομόσημοι β) έχουν ίσες απόλυτες τιμές γ) έχουν γινόμενο μηδέν δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα. ii) Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε: α) είναι ετερόσημοι β) έχουν άθροισμα μηδέν γ) έχουν ίσες απόλυτες τιμές δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Η σωστή απάντηση είναι η β. Για παράδειγμα. ii) Η σωστή απάντηση είναι η δ. Για παράδειγμα.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.

8 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ β) Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός. γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός. δ) Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό είναι αρνητικοί. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι σωστή (Σ) γιατί, για να προκύψει το γινόμενο τους, δηλαδή θετικός πρέπει να είναι ομόσημοι. β) Είναι λάθος (Λ) γιατί,αν είναι αρνητικοί θα έχουμε για παράδειγμα (-)+(-)-7 γ) Είναι λάθος (Λ γιατί,μπορεί να είναι και μηδέν. δ) Είναι σωστή (Σ) γιατί,επειδή το γινόμενο των δύο αριθμών είναι θετικό συμπεραίνουμε ότι είναι ομόσημοι. Επίσης, επειδή το άθροισμά τους είναι αρνητικό, οι ομόσημοι αυτοί αριθμοί είναι αρνητικοί. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Nα κάνετε τις πράξεις: α) + :( ) + β) + ( ) : ( + ) γ) ( ) + :( ) δ) 8 : ( + ) ( + ) α) + :( ) + +++8. β) + ( ) : ( + ) +.(-8):(-)+(-):(-) +80. γ) ( ) + :( ) + 7 δ) 8 : ( + ) ( + ) 8 : ( + ) ( + ) 0 α) Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις. β) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τελειώνουμε με τις προσθέσεις. γ) Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. δ) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τελειώνουμε με τις προσθέσεις. ΑΣΚΗΣΗ Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον. ( ) ( +) + ( +) ( 7)

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 9 ( + ) + ( 9 + ) + ( + ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) + (+) ( ) : ( ) ( ) ( +) + ( +) ( 7) ---+7. ( + ) + ( 9 + ) --0. + ( + ) ( ) ( ) --(-).(-)0-(+0)0. ( ) ( ) + (+) ( ) : ( ) +--(+)+--. Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και κατόπιν τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Ομοίως Κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις κατόπιν τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. Κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και τέλος τις προσθέσεις και αφαιρέσεις. ΑΣΚΗΣΗ Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση Ο, κινήθηκε πάνω στον άξονα x x προς τα αριστερά στη θέση B και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Αν είναι ΟΑ Κm, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο και πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση. Το αυτοκίνητο διήνυσε ++.OA km και μετακινήθηκε από την αρχική του θέση κατά.οα. km km. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) + + β) + + + 7 γ) δ) : + α) + + α) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα,

0 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 8 + + 7. β) + + + 8 0 0 + + + 8 8 + + γ) 9 7 + 7 δ) : + 7 8 0 : + 0 0 : + 0 + + 0 0 + 0 0 0. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις + α) β) + προσθέτουμε χωριστά τα θετικά και τα αρνητικά κλάσματα Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν. β) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν. γ) 7 + γ) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα στην παρένθεση. Προσθέτουμε τα κλάσματα στην παρένθεση. Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς. Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν. δ) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα στις παρενθέσεις. Προσθέτουμε τα κλάσματα στις παρενθέσεις. Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. Προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν. +

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ + + α) 8 0 + + 0 : 0 0 β) : α)κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο. β) Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς στον αριθμητή και ομώνυμα τα κλάσματα στον παρονομαστή. Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο. 9 0 γ).-7+ -7+ -7+ + + 0 0-7+ : -7+ 0-7 + -7 + - Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα Προσθέτουμε τα κλάσματα Μετατρέπουμε το κλάσμα σε διαίρεση. Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο. Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει και προσθέτουμε τους ακεραίους. ΑΣΚΗΣΗ Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ή- ταν:, -, 0,,, -, -, 0, -, - Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό. Η μέση τιμή της θερμοκρασίας είναι:

( ) + 0 + + + ( ) + ( ) + 0 + ( ) + ( ) 0 + + 0 + + 0 0 0 0 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ + Η μέση τιμή βρίσκεται αν προσθέσουμε τις τιμές των θερμοκρασιών και διαιρέσουμε με το πλήθος τους. Βγάζουμε τις παρενθέσεις και προσθέτουμε ξεχωριστά θετικούς και αρνητικούς. Τέλος προσθέτουμε τους ετερόσημους που προκύπτουν και η μέση θερμοκρασία θα είναι - ΑΣΚΗΣΗ 7 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (+ ή -). α) 0 - β) -8 9 0 0 γ )...... δ) -0,, 8,0 α) +-0 - β) -8+9-0 0 + 0 γ ) + δ) -0,-,+8,0 α) Στο προσθέτουμε το και αφαιρούμε το 0 β) Στο -8 προσθέτουμε το 9 και αφαιρούμε το γ) Από ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες α) 8 (α β)+(α β) β) (α+ β γ) (+γ β) ( α)0 γ) (α )+α ( 7+9) (+)0 α)8 (α β)+(α β) 8 α+β+α β8+( α+α)+(β β) )β) (α + β γ) (+γ β) ( α) -α-β + γ--γ+β++α-+0 γ) ( α ) + α ( 7+9 ) (+ ) -.α+-7.α+9.α-(--7+9)α0.α0 αφαιρούμε το 0. δ) Από -0, μειον, συν 8, και προσθέτουμε το α) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και άθροισμα αντιθέτων. β) Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και άθροισμα αντιθέτων. γ) Επιμεριστική ιδιότητα και 0.α0

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν x+y και ω+φ 7,να υπολογίσετε τις παραστάσεις A (x ω) (y φ) Β ( x+φ) + ( 8+y) (ω ) A (x ω) (y φ) x+ω y+φ -(x+y)+(ω+φ) ( )+( 7)+ 7 Β ( x+φ)+( 8+y) (ω ) ++x-φ-8+y-ω+x+y-(ω+φ)++-8 --(-7)++-8 -+7++-8 ΑΣΚΗΣΗ 0 Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα και ιδιότητα (α + β)-α -β Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική ιδιότητα αντικατάσταση των παραστάσεων που δίνονται. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο και γ, δ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο, να υπολογίσετε την παράσταση Α α-(9-γ)-(-β-δ). ( 9 γ) ( β δ) A α Το πρώτο ορθογώνιο με διαστάσεις α, β έχει περίμε- α 9 + γ + β + δ α + β + γ + δ 9 α + β + ( γ + δ) 8 + τρο, δηλαδή α+β οπότε (α+β) και α+β. Το δεύτερο ορθογώνιο με διαστάσεις γ, δ έχει περίμετρο, δηλαδή γ+δ. Βγάζουμε τις παρενθέσεις. Προσεταιριστική, επιμεριστική ιδιότητα και αντικατάσταση των παραστάσεων όπως φαίνονται παραπάνω. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. ΑΣΚΗΣΗ Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς -7, -, -, -,,,,, 9 Σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους. -7 + + 0 - + + 0 - + - + 9 0

B Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Ορισμοί ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Ονομάζουμε δύναμη α ν με βάση τον αριθμό α και εκθέτη το φυσικό ν > το γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με το α. Άρα: ν α α.α.α...α ν παραγοντες Για ν έχουμε α α, ενώ για ν 0 και α 0 έχουμε α 0 -ν και α για α 0 και ν,,,... ν α Για τις δυνάμεις με εκθέτες ακέραιους αριθμούς και εφόσον αυτές ορίζονται, ισχύουν οι ιδιότητες Ιδιότητες Παραδείγματα α μ α ν α μ+ν + α μ : α ν α μ-ν : - (αβ) ν α ν β ν ( x) x x α β ν ν α β ν (α μ ) ν α μν ( ) ν α ν β β α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τους πολύ μεγάλους ή τους πολύ μικρούς αριθμούς κατ απόλυτη τιμή τους γράφουμε στη «τυποποιημένη» ή εκθετική μορφή, δηλαδή στη μορφή: α 0 ν με α < 0, με ν ακέραιο. Για παράδειγμα γράφουμε : 00000, 0, 0,00000 0-8

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Για κάθε αριθμό α ισχύει α + α + α + α α. β) Για κάθε αριθμό α ισχύει α α α α α. γ) Οι αριθμοί ( ) και είναι αντίθετοι. 8 δ) Οι αριθμοί και είναι αντίστροφοι. α 9α. ε) Για κάθε αριθμό α ισχύει ( ) στ) Ο αριθμός ( ) είναι θετικός. 8 ζ) Ο αριθμός είναι θετικός. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι λάθος (Λ) γιατί α + α + α + α α. β) Είναι σωστό (Σ) γιατί α.α.α.αα +++ α. γ) Είναι σωστό (Σ) γιατί ( ) και είναι αντίθετοι. 8 8 8 8 8 δ) Είναι σωστό (Σ) γιατί και οπότε. 8. 8 8 8 ε) Είναι σωστό (Σ) γιατί ( α) α 9α. στ) Είναι λάθος (Λ) γιατί ( ) < 0. ζ) Είναι λάθος (Λ) γιατί < 0. 9. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλοσύμβολο( ή ) α) ( ) β) - 9 γ) δ) ε)......στ)... 0 0 ζ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ 0 8...... α) (-) γιατί ο εκθέτης είναι άρτιος, οπότε ( ) β) 9 9 γ) δ) η) ( ). 7 +...7 +

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ε) στ) 0 0.. ζ),γιατί ο εκθέτης είναι περιττός. η) ( 7 + ) 9 8 7 + 9 +.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i. Η τιμή της παράστασης 9 9 α) β) γ) δ) 9 9 0 [ ] ii. Η τιμή της παράστασης ( ) είναι: είναι: α) - β) - γ) δ) iii. Η τιμή της παράστασης + είναι: α) β) 7 γ) δ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ i. Η τιμή της παράστασης [ ] είναι: 0 ii. Η τιμή της παράστασης ( ) είναι: ( ) 0 [ ] 9 το δ. το γ. iii. Η τιμή της παράστασης + είναι: + 8 + 9 7 το β.. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμα της από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β α β γ δ α. ( ). 0 β. ( ).. γ. ( ). :.. δ. ( )..

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ. ( ) α) ( ) άρα είναι το (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα (α μ ) ν α μν ) 0 ( ) β) ( ). 0 0 0 0 0 0... άρα είναι το. γ) ( ) άρα είναι το. (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα ( ) -ν α ) ν α δ) ( : )... άρα είναι το. (χρησιμοποιήσαμε τις ιδιότητες α μ : α ν α μ-ν, α μ α ν α μ+ν ). ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μία δύναμη: - 8 - - α). β) : γ). δ) ε) γ) δ) - ( ). - 8 α). - β) : ε) στ) ζ). - (.) στ) (-) (- ) - ( )( ) 8 ( ) + ζ) : ( ) η) 7.. -+ 8 α) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των 0 - -.( ).(-). (- ) (-). (.) : η) 7.. 7 ( ) : ( ) ( : ).. + -.. 7. δυνάμεων α μ α ν α μ+ν β) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α μ : α ν α μ-ν γ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ) ν α ν β ν δ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων(α μ ) ν α μν -+ ε) Τροποποιούμε το γινόμενο έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α μ α ν α μ+ν στ) Τροποποιούμε το πηλίκο έτσι ώστε να το απλοποιήσουμε. ζ) Τροποποιούμε το πηλίκο έτσι ώστε να έχουμε μόνο μία δύναμη. η) Τροποποιούμε το γινόμενο έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α μ : α ν α μ-ν

8 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) ε) α) β) γ) ε) η) - 8 - - ( ). β) (- ).(- ) γ) ( 0,7). δ) : (-) 0 (,).( ) στ) : ζ) -. η) ( 0,0).0-8 (-) ( ). - (- ).(- ) ( ) ( ) ( 0,7) : (-) [ : (-)] ( ) (,).( ) [(, )(. - ) ] ( 0) δ) στ) ζ) - ( ) 0 :... ( ) ( 0,0).0 ( 0 ) + - 0 0 ΑΣΚΗΣΗ. -.. 8 0, : ( ). 0 -.0. 8 :. 0 ( ) - 8 0.0 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x.x β) xy.x + 7 9 0.000 0 0 - + α) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (α μ ) ν α μν και α μ α ν α μ+ν. β) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες α μ α ν α μ+ν και 9 -ν α. ν α γ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες α μ α ν α μ+ν και α 0. δ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αβ) ν α ν β ν. ε) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αβ) ν α ν β ν. στ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (α μ ) ν α μν και α μ : α ν α μ-ν ζ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες α μ α ν α μ+ν και ν α ν β β α η) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (α μ ) ν α μν και α μ α ν α μ+ν. ( ) ( ) y γ) (- x).(- x ) - x : x ε) (- x ).(- x ) x : - δ) στ) - x

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 9 α) β) γ) ( x ).x x.x ( xy ).x y x ( y ) x.x.y.y x (- x).(- x ) (- ) x.(- ) δ) - (- ) 8-7 ε) x x x -.x : x -8x 8-7 + - x.y + x +.x.y x -8x y.x x : x x (- x ).(- x ) ( ) ( x ).( ) ( x ) ( 7) στ) - x x - : - x.x.x - 08x + + 0 α) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (α μ ) ν α μν 7 x x 08x x : - και α μ α ν α μ+ν και την προσεταιριστική(για το ) β) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ α ν α μ+ν και την προσεταιριστική. γ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ α ν α μ+ν και την προσεταιριστική. δ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ : α ν α μ-ν. x ε) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ α ν α μ+ν και την προσεταιριστική. στ) Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες (αβ) ν α ν β ν και α μ : α ν α μ-ν. ν α ν β και β α

0 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: 0 Α. + 7. 8..,Β Γ Α. Β : Γ ( ) ( ) ( ) (- ) : - - (- ). ( ) 7 7 (,).(,).( ).( 8), Δ (.8 ): (.0 ) 0 ( ) + ( 7). 8. ( ) 0. ( ) + ( 7). 8.. 0. ( ) + ( 7). 8... +. +.9 + + 8 0 (- ) : - - (- ). ( ) ( ). 8 ( ) 8 + (,).(,).( ).( 8) (,).( ) (,).( 8) [,. ( ) ] [,. ( 8) ] + ( 0).( 0) ( 0) ( 0) 00.000 Δ 7 7 (.8 ): (.0 ) 8. 0 7. 7 7.8 8. 7 7.0 0 7 7 7 7.. Στην παράσταση Α κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και κατόπιν υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Μετά κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α 0 Στην παράσταση Β υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις κατόπιν κάνουμε τις διαιρέσεις και τους πολλαπλασιασμούς και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Στην παράσταση Γ εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού για να φέρουμε κοντά τις δυνάμεις και να εφαρμόσουμε την ιδιότητα (αβ) ν α ν β ν και μετά την ιδιότητα α μ α ν α μ+ν Στην παράσταση Δ εφαρμόζουμε την ιδιότητα ν ν α α ν β β ΑΣΚΗΣΗ Αν τριπλασιάσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου, κατά πόσες φορές μεγαλώνει το εμβαδόν του; Ε α Ε ( α) Ε 9.Ε.α 9α Αν Ε και Ε τα εμβαδά του τετραγώνου στην πρώτη και στην δεύτερη περίπτωση εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ) ν α ν β ν και τον τύπο του εμβαδού του τετραγώνου Εα παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του εννιαπλασιάζεται.

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Γ Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α τον θετικό αριθμό x (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α ) που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Άρα: Αν είναι x α, τότε x α ή ( α ) α π.χ., γιατί ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α α. Όταν ο αριθμός α είναι θετικός μπορούμε να γράψουμε α α. Αν x 0, τότε ( x ) x Έχουμε (-), οπότε έχουμε ( ) ( ) δηλαδή ( ) Επειδή είναι 0 0,ορίζουμε ότι 0 0. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΤΙΣ ΡΙΖΕΣ Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β η πρώτη και για α 0 και β > 0 η δεύτερη ισχύουν: α α β β α β αβ Η απόδειξη της πρώτης ισότητας γίνεται παρακάτω

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ( α β ) ( α ) ( β ) αβ. ( α β ) α β. Υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά. Άρα α β α β Παρατηρούμε ότι οι δύο μη αρνητικοί αριθμοί α β και α β έχουν το ίδιο τετράγωνο α β, οπότε είναι ίσοι. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται και η δεύτερη ισότητα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για μη αρνητικούς αριθμούς α, β,έχουμε α ± β α ± β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Να συμπληρώσετε τις ισότητες α) + β) γ) + δ) ε) 8 : στ) 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) + ( + ) β) ( ) γ) + ( + ) δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών 0. 0 α. β α.β και επίσης αφού α 0 είναι δ). α α.ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ε) 8 : 8 : 9 α α των ριζών. στ) Χρησιμοποιούμε στ) 8.. β β.. την ιδιότητα των ριζών α. β α.β α) Επιμεριστική ιδιότητα-πράξεις στην παρένθεση β) Επιμεριστική ιδιότητα-πράξεις στην παρένθεση. γ) Επιμεριστική ιδιότητα- Πράξεις στην παρένθεση και 0.α0. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε στοιχείο της στήλης Α ένα στοιχείο από τη στήλη Β.

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το α αντιστοιχίζεται στο γιατί Το β αντιστοιχίζεται στο γιατί -<0 Το γ αντιστοιχίζεται στο γιατί Το δ αντιστοιχίζεται στο γιατί Το ε αντιστοιχίζεται στο γιατί ( ) Το στ αντιστοιχίζεται στο γιατί στο. Να συμπληρώσετε τους πίνακες. α ΣΤΗΛΗ Α α. β. γ. δ. β ε. ( ) στ. α β α + β ΣΤΗΛΗ Β.. δεν ορίζεται. το - <0 Άθροισμα Γινόμενο Πηλίκο α + β αβ α β γ δ ε στ α β α β α β 9 7 8 0 8 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ,, α + β +, α + β + +

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α α β., α β.,, β α, 9,, α + β 9 + β α + β 9 + + 7, α β 9., α β 9., α β 9, 8,, α + β + 00 0, α + β + 8 + α 9, β, α β. 0 8, α β 8. 8, α α, β β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) β) + γ) 9 δ) ( ) ε) στ) Το διπλάσιο του είναι το 0 ζ) Το μισό του είναι το ΑΠΑΝΤΗΣΗ α). (Σ) β) + + (Λ) γ) 9 9 γιατί δ) ( ) (Σ) (Σ)

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ε) στ) Το διπλάσιο του είναι το 0,.. 0 (Λ) (Λ) ζ) Το μισό του είναι το είναι το, (Σ). Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 0 m. Είναι σωστό να ισχυριστούμε ότι η πλευρά του είναι m ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ E α 0 α α 0.. είναι σωστό ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 7 + β) 7 8 γ). 8. 7 7 δ). 0 7 +. 7 + α) γ) ( - 7 + ) β) 7 8 ( ) 7 + ( 8 + ). 7 8 +. 7 7 + 7..8 9 7 8 δ) 0. +. 7 + 9 + 7 9-7 8.0.7. 7.7 8. +. α) Επιμεριστική ιδιότητα-πράξεις στην παρένθεση. β) Επιμεριστική ιδιότητα- Πράξεις στις παρενθέσεις. γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών α. β α.β και επίσης αφού α 0 και β 0 είναι α α και β β. δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των ριζών α. β α.β απλοποιούμε και επίσης αφού α 0 και β 0 είναι α α και β β.

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε τις ισότητες: α) 0 + - 8-0 γ) α). 8. 0 +. + 8 + - 0 8.. +. + ( + ) 0 β) ( + ) + ( ) γ).9. ( ) 7 9 0 +. + +. 8. -... + +. +. 8 +.8 +. β) δ) 0. +. ( + ) 7,. 0 +,9 0,8. 0,,8 α) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το και εφαρμόζουμε την ιδιότητα α. β α.β Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστική ιδιότητα. β) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το ή το και εφαρμόζουμε την ιδιότητα α. β α.β Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστική ιδιότητα. γ) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα που ο ένας όρος να είναι το και εφαρμόζουμε την ιδιότητα α. β α.β Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστική ιδιότητα.

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 7 δ). 0,. 9 0,9 8 0 0,8. 0 0,.9. 9 00 00 00.7 8,8 0 0 0 0 ΑΣΚΗΣΗ 00 δ) Αναλύουμε τις υπόριζες ποσότητες σε πηλίκα και εφαρμόζουμε την ιδιότητα α α και την ιδιότητα α. β α.β β β Κατόπιν εφαρμόζουμε και την επιμεριστική ιδιότητα. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α ) + β) 8 + - 9 γ) 9 α) β) + 8 + - + 9 8 + - α) Υπολογίζουμε τις ρίζες από «μέσα» προς τα «έξω». β) ομοίως 8 + 9 8 +.7 8 + 00 0 γ) 9. γ) Υπολογίζουμε τις ρίζες από «μέσα» προς τα «έξω». 9.. ΑΣΚΗΣΗ Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα με τις περιμέτρους και τα εμβαδά των ορθογωνίων ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ και ΚΛΜΝ.Ποιο από τα ορθογώνια έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν μήκος πλάτος περίμετρος εμβαδόν ΑΒΓΔ 0 ΕΖΗΘ ΚΛΜΝ 8

8 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Για το ΑΒΓΔ η περίμετρος είναι:. +. 0 + 0 + ( ) Και το εμβαδόν: E. ( ). 0 Για το ΕΖΗΘ η περίμετρος είναι:. +. 8 + 8 + ( ) Το εμβαδόν: E. 8( ) 8. Για το ΚΛΜΝ η περίμετρος είναι:. +. + + ( ) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις α και β είναι Πα+β Το εμβαδόν του ορθογωνίου με τις ίδιες διαστάσεις είναι Ε α. β Και το εμβαδόν: ( ) E. 9 9. 8 ΑΣΚΗΣΗ Να κάνετε τις πράξεις : 8 8 α) β) α) ( + ) β) ( 7 ) γ) ( 7 + 00) : δ) ( 7 )( 7 + ) ( 8 + 8). 8 +. 8.8 +.8 + + 0 7. 7... ( ) 9.... 8. ( ) 9..9. 9.. α) Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και κατόπιν την ιδιότητα α. β α.β. β) Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και κατόπιν την ιδιότητα α. β α.β αφού «σπάσουμε» το 7 σε γινόμενο με έναν όρο το.

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 9 γ) ( 7 00) : (. +. 0. ) ( + 0) + + γ) «Σπάμε» όλες τις υπόριζες ποσότητες σε γινόμενα με έναν : όρο το και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα + 0 κάνουμε απλοποίηση στο κλάσμα. Κατόπιν μετατρέπουμε τις ρίζες που απομένουν σε α-. +. πλούστερες για να γίνει αναγωγή ομοίων όρων. ΑΣΚΗΣΗ Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα που έχουν άρρητους παρονομαστές σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές. + α) β) γ) δ) α) β).. + δ) ΑΣΚΗΣΗ 7 ( ) ( ) γ) + ( + ) + ( ).. + Να λύσετε τις εξισώσεις: α) + x x β) x x γ) δ) x 7 α) Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την ρίζα του και εφαρμόζουμε την ιδιότητα των ριζών «Αν x > 0, τότε x». ( ) x β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) «Σπάμε» την ρίζα του σε γινόμενο με έναν όρο το και χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα κάνουμε απλοποίηση στο κλάσμα

0 ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α) x + x x x + x x x β ) x x x γ) x. δ) x 8 x x 7.9 x x 9 7 x 0 x 0 α) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων με την επιμεριστική ιδιότητα και διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου β) Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. «Σπάμε» την ρίζα του αριθμητή σε γινόμενο έτσι ώστε με την χρήση της ιδιότητας α. β α.β να γίνει απλοποίηση με τον παρονομαστή. γ) Κάνουμε «χιαστί» και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα α. β α.β βρίσκουμε την λύση. δ) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. «Σπάμε» την ρίζα του 7 για να κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων με την επιμεριστική ιδιότητα και διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αποδείξετε ότι ( )( + ) ισότητα να μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη, που έχει άρρητο παρονομαστή, ( )( + ) + ( ) ( + ) ( )( + ) + Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και την ιδιότητα των ριζών «Αν x>0, τότε ( x ) x».πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση + και εφαρμόζουμε την ισότητα που αποδείξαμε ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν τα τετράγωνα ΑΒΓΔ, ΓΕΖΗ έχουν εμβαδόν 0 m και 8 m αντιστοίχως,να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΘΙΕ είναι 98 m.

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Για να βρούμε το εμβαδόν του ΒΘΙΕ χρειαζόμαστε την πλευρά του. Η πλευρά του είναι το άθροισμα των πλευρών των τετραγώνων ΑΒΓΔ και ΗΓΕΖ. Είναι ΒΕΒΓ+ΓΕ. ΒΓ 0 ΒΓ 0. Αλλά και ΒΓ ΓΕ 8 ΓΕ 8. οπότε ΓΕ ΒΕΒΓ+ΓΕ + 7 και επομένως το εμβαδόν του ΒΘΙΕ είναι ( ΒΘΙΕ ) ΒΕ ( 7 ) 7.( ) 9. 98 m ΑΣΚΗΣΗ 0 Στις κάθετες πλευρές ΑΒ cm και ΑΓ cm ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως τα σημεία Δ, Ε, έτσι ώστε ΑΔ cm και ΑΕ cm. Να αποδείξετε ότι ΒΓ ΔΕ. Γ Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ΒΓ ΒΓ ΑΓ + ΑΒ ΒΓ ΒΓ.9 +. 9 () Ε Α Δ Β Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ ΔΕ ΔΕ ΑΕ + ΑΔ ΔΕ ΔΕ ( ) + A Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι ΒΓ ΔΕ. cm ΑΣΚΗΣΗ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ), το ύψος ΑΔ cm και η πλευρά ΒΓ cm α) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι +. β) Οι αριθμοί + 0, + 0, 8, ( + 0 ) είναι οι απαντήσεις που έδωσαν στην προηγούμενη ερώτηση μαθητές. Ποιες από αυτές είναι σωστές ; B Δ cm Γ

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α) ΑΓ ΑΓ ΑΔ + ΔΓ 0 ΑΓ ΑΓ 0 ΑΓ cm Π ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ Π β) 8 τριγώνου τριγώνου + + + +. + 0 + 0 + + + +. + +. +. (ΛΑΘΟΣ) (ΣΩΣΤΗ) + +. (ΛΑΘΟΣ) + ( + 0) + 0 + (ΣΩΣΤΗ).. α) Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ και βρίσκουμε την πλευρά ΑΓ Κατόπιν βρίσκουμε την περίμετρο του τριγώνου λαμβάνοντας υπόψη ότι ΑΒΑΓ και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. β) «Σπάμε» την ρίζα του 0 σε γινόμενο με παράγοντα το και εφαρμόζοντας την ιδιότητα α. β α.β βρίσκουμε κάποιες απαντήσεις σωστές και κάποιες λάθος όπως φαίνεται δίπλα. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννηση σας. -+-... - 9-.. (-)-... -(-)+7.. Αν π.χ γεννήθηκα το 9 θα έχω: -+-- - 9- + 9 (-)-+ -(-)+7-. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αν το άκρο κάθε βέλους δείχνει το άθροισμα της αντίστοιχης στήλης ή γραμμής. Το αποτέλεσμα της ης γραμμής είναι Στη δεύτερη γραμμή λείπει το -9 Στη τρίτη γραμμή λείπουν τα, -9, - Στην τέταρτη γραμμή λείπει το -8 και στην πέμπτη οι,8,-7

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Να συμπληρωθεί το τετράγωνο, ώστε κάθε στήλη, γραμμή και διαγώνιος του, να έχει το ίδιο γινόμενο. Βρίσκουμε το γινόμενο της διαγωνίου: 0.. επομένως όλα τα γινόμενα θα πρέπει να είναι x -+ x x.. ή ή άρα στην τρίτη στήλη το δεύτερο θα είναι 0 x + x. Ομοίως.. ή ή x + - ή x - άρα στην πρώτη γραμμή το δεύτερο θα είναι. Η άλλη διαγώνιος θα είναι x -+ x x+.. ή ή ή x + - ή x - άρα το πρώτο στοιχείο της τρίτης γραμμής θα είναι.ομοίως και τα υπόλοιπα επομένως ο πίνακας συμπληρώνεται όπως φαίνεται παρακάτω. 0. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη Α 77 + 77 + 77 Β 0-0 - 00 Γ 9 9 Δ 7. 8-8. 7 77 77 Α + 77 + 77. + 77 78 0 0 00 Β 00 00 00 0... 00 0 00 00 ( ). 9 9 9 9 9 8 8 8 8 ( ).. Γ Δ. 7. 8 8. 7 7.. 7 7 7 7 7 7 7 7 (. ) (. ). (.) 7.. Να λυθεί η εξίσωση (-) ν x ν+ Διακρίνουμε περιπτώσεις: ν+ ν ν+ ν+ ν Αν ν άρτιος τότε: ( ) ν.x ή 7.x ν+ ν ν+ ν+ ν Αν ν περιττός τότε: ( ) ν.x. 7 ή -.x ή x ή x ν + ν ν+ ν

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι διαφορετικός από τους άλλους; α),,,,, β) 8, 7, α),. 8,,,., Επομένως αυτός που είναι διαφορετικός είναι ο β) 7 8 8, 8.9... 8. 8 9.8... 8 7. 8 Επομένως αυτός που είναι διαφορετικός είναι ο. 7. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι; i) α ii) α i) α γ 8,β + 8,δ, γ,β....,δ, γ,,ε,δ,στ +,ε ε,στ Επομένως ίσοι είναι οι α γ δ και β ε στ.,β,, 7

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ii) α +,β.., γ.,δ +, ε 7.9 9 Επομένως ίσοι είναι οι α γ ε. 8. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων Α + + 7 + +, Β 7 + + + 99 + Α + + 7 + + + + 7 + + + + 7 + + + 7 + + + 9 + + + + Β 7 + + + 99 + 7 + + + 99 + 7 + + + 00 7 + + + 99 + 7 + + + 00 7 + + + 0 7 + + 7 + 9. Να υπολογιστούν οι ρίζες + 7 + 9 7 + 7 8... 78987

ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ... 78987... ν+ μονάδες 0. Αν το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι 80 cm και του ΑΕΖΗ, cm, να αποδείξετε ότι η περίμετρος Γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΕ είναι Είναι ΑΔ 80 ή ΑΔ 80.. Επίσης είναι ΑΕ ή ΑΕ.9. 9 Με το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ έχουμε ότι: ΔΕ ΑΔ + ΑΕ 80 + ή ΔΕ.. Οπότε η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΕ είναι ΠΑΔ+ΑΕ+ΔΕ + +.. Να συμπληρώσετε το διπλανό τετράγωνο ώστε να 8 8 γίνει μαγικό. 0.., 8 98 8.. 8 0.. 8.. Πρέπει να είναι 8 + 0 + 8 8 + + Άρα στην πρώτη γραμμή λείπει το 8 8. Άρα στην πρώτη στήλη λείπει το 9. Άρα στην δεύτερη στήλη λείπει το 7 98. Άρα στην δεύτερη γραμμή λείπει το 9. Άρα στην τρίτη γραμμή λείπει το 8.. Να βρεθεί η πλευρά τετραγώνου που έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν κύκλου ακτίνας r 0 cm. Με αφορμή το τελευταίο πρόβλημα είναι δυνατόν να συζητηθεί το «πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου». x πr ή x πr r π 0 π