Διαγώνισμα Φυσικής Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ταλαντώσεις - Λύσεις Θέμα Α 1. (ii) 2. (i) 3. (ii) 4. (iii) 5. i. Λ ii. Λ iii. Σ iv. Λ v. Λ Θέμα Β 1. Η σωστή απάντηση είναι το (β). Από το σχήμα υπολογίζουμε την περίοδο των διακροτημάτων: Επομένως, η συχνότητα των διακροτημάτων θα είναι: και επειδή και : Η συχνότητα της περιοδικής κίνησης υπολογίζεται ως εξής:
2. Η σωστή απάντηση είναι η (γ). Για τη θέση ισορροπίας ισχύει: ή ή (1) Με εφαρμογή της διατήρησης της μηχανικής Ενέργειας για την πτώση της μάζας βρίσκουμε την ταχύτητά της ελάχιστα πριν την κρούση: ή Επειδή οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες και η κρούση κεντρική ελαστική, τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες, οπότε το σώμα μάζας θα ξεκινήσει αρμονική ταλάντωση με Έχουμε: και με αντικατάσταση του k από τη σχέση (1) εύκολα προκύπτει 3. Σωστή απάντηση είναι η (α). Γνωρίζουμε πως το έργο της Fαντ. είναι ίσο με την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος, άρα θα έχουμε: οπότε:
Θέμα Γ Σχεδιάζουμε το ελατήριο στη θέση φυσικού μήκους (ΘΦΜ), το σύστημα ελατήριο Σ1 στη θέση ισορροπίας του (ΘΙ(1)) και στην ίδια θέση το σύστημα ελατήριο Σ1 Σ2 αμέσως μετά την κρούση, η οποία είναι και αρχική θέση της ταλάντωσης. Επίσης σχεδιάζουμε το σύστημα ελατήριο Σ1 Σ2 στην ακραία αρνητική θέση ταλάντωσης (ΑΘ(-)), στη θέση ισορροπίας (ΘΙ(1+2)) και στην ακραία θετική θέση ταλάντωσης (ΑΘ(+)): α) Βρίσκουμε την απόσταση μεταξύ της θέσης φυσικού μήκους (ΘΦΜ) και της θέσης ισορροπίας του σώματος Σ1 (ΘΙ(1)) από τη συνθήκη ισορροπίας: στη ΘΙ(1): β) Το σύστημα είναι μονωμένο κατά τον ελάχιστο χρόνο που διαρκεί η κρούση, επομένως η ορμή του συστήματος διατηρείται:
Θεωρώντας θετική την κατακόρυφη προς τα κάτω φορά και με χρήση αλγεβρικών τιμών έχουμε: Το αρνητικό πρόσημο δείχνει τη φορά κίνησης του βλήματος. Η ταχύτητα του βλήματος έχει μέτρο γ) Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ξεκινά αρμονική ταλάντωση με θέση ισορροπίας που βρίσκεται χαμηλότερα από την αρχική κατά. Το πλάτος της ταλάντωσης θα βρεθεί εφαρμόζοντας τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση. Από τη συνθήκη ισορροπίας του συστήματος Σ1+Σ2 βρίσκουμε τη μετατόπιση d2 της θέσης ισορροπίας. Για τη ΘΙ(1+2) ισχύει: και επειδή παίρνουμε: Από τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση μεταξύ της αρχικής θέσης και της ακραίας και λαμβάνοντας υπόψη ότι, έχουμε
δ) Η εξίσωση της ταχύτητας στη γενική της μορφή δίνεται από τη σχέση Από τη σχέση για βρίσκουμε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του συσσωματώματος: Από τη σχέση ταλάντωσης: υπολογίζουμε τη μέγιστη ταχύτητα της Για τον υπολογισμό της αρχικής φάσης εργαζόμαστε ως εξής: Τη χρονική στιγμή ισχύει και. Με αντικατάσταση στις εξισώσεις και έχουμε: (1) (2)
Η επίλυση του συστήματος των (1) και (2) δίνει. Επειδή, θέτοντας έχουμε. Με αντικατάσταση των τιμών,, στη σχέση έχουμε: Θέμα Δ α) Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου-ενέργειας για το σώμα Σ από τη θέση (Α) μέχρι τη θέση (Β) λίγο πριν έρθει σε επαφή με το ελατήριο. ή
β) Για να βρούμε τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης, θα εφαρμόσουμε την διατήρηση της ενέργειας στην ταλάντωση μεταξύ των θέσεων (Β), όπου το σώμα έρχεται σε επαφή με το ελατήριο με ταχύτητα μέτρου υ και στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης (Δ) όπου το σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης. Στη Θ.Ι. ασκούνται στο σώμα οι δυνάμεις mgημφ και η δύναμη του ελατηρίου (kx1) οι οποίες είναι αντίθετες και δίνουν ΣF=0. Επομένως ή Εφαρμόζουμε την ΑΔΕΤ στις θέσεις (Β) και (Δ). γ) Η εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο είναι: (1), με
Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα βρίσκεται στη θέση (Β), δηλαδή σε απομάκρυνση και έχει θετική ταχύτητα, επομένως η αρχική φάση της ταλάντωσης θα βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου. Επειδή την t=0 η ταχύτητα του σώματος είναι θετική, έχουμε φο=π/6. ή Η (1) γίνεται: δ) Όταν το ταλαντούμενο σώμα περνά για δεύτερη φορά από το σημείο εκτόξευσης απέχει από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης και βρίσκεται σε απομάκρυνση. Το σώμα κατεβαίνει και έχει αρνητική ταχύτητα μέτρου υ2. O ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας στη θέση αυτή είναι, (2) Η ταχύτητα υ2 θα υπολογιστεί από την διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση.
Αντικαθιστώντας στην (2) παίρνουμε: Πηγή λύσεων: http://www.study4exams.gr/