Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα

Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα q Κίνηση σωμάτων σε κεντρικό δυναμικό Ø Το πρόβλημα ανάγεται σε κίνηση με 1 DoF: µ r = l µr + F( r) 3 q Είδαμε ποιοτική συμπεριφορά Ø Μη φραγμένες, φραγμένες και κυκλικές τροχιές Ø Συνθήκες για κυκλικές τροχιές q Εξάγαμε την εξίσωση τροχιάς για την περίπτωση δυναμικού Kepler Ø Τροχιές κωνικής τομής εξαρτώνται από Ε V eff ( r) = l µr + V ( r) 1 r = mk 1+ 1+ El l mk cos θ θ

ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 Τι θα δούµε σήµερα q Θεώρημα Virial ή θεώρημα ισχυρότητας q Το πρόβλημα της σκέδασης Ø Τι συμβαίνει όταν ένα σώμα «σκεδάζεται» q Ορισμός ενεργού διατομής σκέδασης Ø Πόσο συχνά ένα σωματίδιο σκεδάζεται σε μια διεύθυνση Ø Υπολογισμός από το δυναμικό q Εφαρμογές Ø Δύναμη 1 r - Σκέδαση Rutherford Ø Σκέδαση ουράνιου τόξου

Θεώρηµα Virial ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 3 q Έστω ένα κλειστό σύστημα Ν σωμάτων με διανύσματα θέσης r a και ορμής p a η κίνηση του οποίου είναι φραγμένη q Ορίζουμε την ποσότητα: S r a p a q Η χρονική παράγωγος είναι: ds dt = " r a p a + r a "p a r " a p a = m a r " a "r a "r a p a = m a υ a "r a p a = T r a "p a = q Η μέση τιμή της ποσότητας αυτής ως προς ένα χρονικό διάστημα τ: ds dt 1 τ τ r a F a ds dt dt = S τ S( ) τ Ø Για περιοδικό σύστημα με περίοδο Τ και αν τ = T Ø Εν γένει αφού r a και ds dt p a πεπερασμένα = T + a r a F a ds dt = S πεπερασμένη r " a p a + ds dt = T + ds dt = ds dt r a "p a = τ ra F a

Θεώρηµα Virial ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 4 Θεωρώντας την μέση τιμή ως προς μεγάλο χρoνικό διάστημα τ, έχουμε: T + r a F a = T = r a F a T = 1 r a F a Θεώρημα Virial Θεώρημα Virial του Clausius: Η μέση κινητική ενέργεια ενός συστήματος ισούται με την ισχυρότητά του (viria: ο όρος στο δεξί μέλος της εξίσωσης) Αν οι δυνάμεις προέρχονται από δυναμικό: F = V T = 1 V r a T = 1 V Για ένα σώμα σε κεντρικό δυναμικό: r r T = 1 ( Για κεντρικό δυναμικό της μορφής: V = ar n+1 n +1)ar n r Ø Στην ειδική περίπτωση: n = T = V T = n +1 V q H ενέργεια του συστήματος: E = T + V για κεντρικό δυναμικό E = ( n +1) T + T E = n + 3 n +1 T = ( n + 3) V

Θεώρηµα Virial ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 5 Θα μπορούσαμε θεωρώντας την δράση να καταλήξουμε στο θεώρημα Virial m S = a d τ τ r a dt V ( r S = L dt a ) dt Έστω τροχιές της μορφής: k r a τ m S = a k dr a dt V ( k r a ) dt Αλλά S = όταν k=1 k S = = m a k d τ r a V k k=1 dt ( k r ( k r a ) dt = a ) k d r m a V a dt ( r a ) r τ τ V a dt = T a ( r a ) r a dt = τ τ T dt = r a V r τ dt Αλλά T = T dt a k=1 T = r a V r a

ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 6 Θεώρηµα Virial και ο νόµος των ιδανικών αερίων Έστω κάποιο αέριο αποτελούμενο από Ν άτομα περιορισμένα σε όγκο V και έστω ότι το αέριο βρίσκεται σε θερμοκρασία T. 3 H μέση κινητική ενέργεια κάθε ατόμου ισούται με: kt k=σταθ. Boltzmann Επομένως η κινητική ενέργεια όλων των ατόμων θα είναι: T = 3 kt (1) Ø Ιδανικό αέριο είναι αυτό που οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης F (α) συνεισφέρουν ελάχιστα στην ισχυρότητα Ø Οι δυνάμεις στα άτομα του αερίου: F ( δ ) + F ( a) ² F (δ) δυνάμεις σύγκρουσης ατόμων-τοιχωμάτων F i r i = i=1 i=1 F ( a ) + F ( δ ) ( i ) r i i F i r i = i=1 i=1 F i δ r i F i r i = P ˆn r da i=1 q Από το θεώρημα virial έχουμε: T = F i r i = P ˆn r da i=1 q Από το θεώρημα Gauss έχουμε: ˆn r da = r dv = 3V 3 3PV q Χρησιμοποιώντας την (1): kt = πίεση P F i r i = PdA ˆn r i i=1 i=1 T = 3PV kt = PV Νόμος ιδανικών αερίων του Boyle

ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 7 Θεώρηµα virial σύστηµα µε δυνάµεις τριβής Έστω σύστημα το οποίο οι δρώσες δυνάμεις στα διάφορα σωματίδια που το αποτελούν απαρτίζονται από συντηρητικές δυνάμεις F i και δυνάμεις τριβής f i υ. Στην περίπτωση αυτή το θεώρημα virial ισχύει με την μορφή T = 1 Fi r i με την προϋπόθεση ότι η κίνηση φθάνει σε μια σταθερή i κατάσταση και δεν αφήνεται να σταματήσει εξαιτίας των δυνάμεων τριβής Ø Έχουμε: F = F + f f Ø Το θεώρημα virial γίνεται: T = 1 F i r i 1 f i i r i n i i r i Ø Ο ος όρος μπορεί να γραφεί: 1 f i r i = 1 µ n i rj r i i i Ø n το διάνυσμα που ενώνει τα CM σωματιδίων με αλληλεπίδραση τριβής Ø Για κάθε σωματίδιο i και n θα υπάρχει ένα i n i = n j για το σωματίδιο j Ø Άρα: µ n i r i = και το θεώρημα virial γίνεται: T = 1 F i r i i i

Μονοδιάστατα συστήµατα ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 8 q Όλα τα μονοδιάστατα συστήματα είναι επιλύσιμα: q Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο σύστημα που περιγράφεται Ø Η lagrangian είναι ανεξάρτητη του χρόνου Ø Η ενέργεια Ø Η εξίσωση κίνησης E = H = L q q L L = T V d dt L q σταθερή L q = E = T + V Ø Αυτό γιατί και ενώ de dt = Ø Βοηθά να βρούμε την λύση του προβλήματος q Θεωρήστε σύστημα που περιγράφεται από την q Η ενέργεια επομένως θα είναι: E = 1 q + V q dl dt = Ø Η εξίσωση αυτή προσδιορίζει πλήρως την λύση E = L = 1 q V ( q) L = L( q, q ) q = ± E V ( q) dq dt = ± E V dt = ± dq E V t = ± dq E V

Μονοδιάστατα συστήµατα ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 9 t = ± E < E q 1 q dq ( ) E V q q Μπορούμε να μαντέψουμε την δυναμική του συστηματος από ( ) q = ± E V q q όταν Όχι πάντοτε επιλύσιμο Μερικές φορές δεν μπορούμε να βρουμε την q(t) απο την t(q) t ± E 1 E V q 1 q E E E 1 > E > E είτε q όταν t ± q = E = V ή ταλαντώνεται ως προς το q 1 Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από την ενέργεια Ε 1 E > E 1 q t ±

Μονοδιάστατα συστήµατα ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 1 q Ας θεωρήσουμε το εκκρεμές L = 1 ml θ + mgl cosθ θ m q Ευσταθή σημεία ισορροπίας V ( θ ) θ = nπ q Ασταθή σημεία ισορροπίας θ = ( n +1)π q Αν η ενέργεια έχει τιμές mgl > E > mgl π π 3π θ Ø Ταλάντωση ως προς ευσταθές σημείο q Αν η ενέργεια έχει τιμές E > mgl Ø Θ θα είναι μονότονη: θα αυξάνει ή θα ελαττώνεται το εκκρεμές θα περιστρέφεται πάντοτε

Φασικός χώρος phase space ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 11 q Χρήσιμο να περιγράψουμε την δυναμική στο φασικό χώρο q Για το εκκρεμές αυτό θα είναι ένα επίπεδο θ, p θ q Η ενέργεια είναι σταθερή, το σύστημα θα κινείται σε σταθερές καμπύλες q Για το εκκρεμές: E = 1 ml θ mgl cosθ E = p θ mgl cosθ ml E q Φασικός χώρος (θ,p θ ): Ø καμπύλες σταθερής ενέργειας Ø Όταν mgl < E < mgl E = mgl κλειστές καμπύλες p θ E > mgl > mgl Ø Όταν E = mgl σημείο p θ =,θ= δεν υπάρχει ταλάντωση Ø Όταν E > mgl ανοικτές καμπύλες p θ > περιστροφή δεξιόστροφα p θ < περιστροφή αριστερόστροφα -π<θ<π Ø Για E = mgl μια καμπύλη διαχωριστική θ

ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 1 Φασικός χώρος V q Στην διαχωριστική καμπύλη Το εκκρεμές είναι ανάποδα θα κυλήσει προς τα κάτω και θα πάρει άπειρο χρόνο για να ανέβει Μπορείτε από το ολοκλήρωμα του χρόνου να δείτε ότι απειρίζεται για να βρεθεί και πάλι στην θέση ανάποδα p q Κοντά σε σημείο ευσταθούς ισορροπίας Ø Αρμονικός ταλαντωτής: H = p m + k x H = E οπότε: E = p m + x k 1 = p me + π x E k 3π E 1 E E3 θ me E k x Μεγάλος ηµιάξονας: Μικρός ηµιάξονας: E k me έλειψη: q Κοντά σε σημεία ασταθούς ισορροπίας Ø Υπερβολές διαχωριστικές

ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 13 Κατασκευή φασικών γραµµών - παράδειγµα

ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 14 Φασικός χώρος - Παράδειγµα Σωματίδιο κινείται σε δυναμικό της μορφής: U x (α) Να κατασκευαστεί το γράφημα του δυναμικού = U x a e x a (β) Να κατασκευαστεί το γράφημα των αντιπροσωπευτικών καμπυλών στο φασικό χώρο. Να βρεθούν τα πιθανά σταθερά σημεία και η ενέργεια των διαχωριστικών καμπυλών (α) Για x + U x ενώ για x U x Aκρότατα της U(x) για du ( x ) = U x x dx a a e x a = x = ελάχιστο U x x = a μέγιστο x a (β) Τα τοπικά ακρότατα δημιουργούν κέντρα στο επίπεδο (x,p). p Σταθερό σημείο στο x = και ασταθές στο x = α a x Ενέργεια διαχωριστικής καμπύλης E = U x = a

Λύση του ολοκληρώµατος ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 15 q Μπορούμε να βρούμε τον χρόνο για να πάει από ένα σημείο σε άλλο = ± t q,q 1 q 1 q dq E V q Για απλό αρμονικό ταλαντωτή ο χρόνος για μια ταλάντωση ο χρόνος είναι ανεξάρτητος του πλάτους q Για το εκκρεμές η περίοδος εξαρτάται από το πλάτος Ø Πολύ κοντά στο σημείο ευσταθούς ισορροπίας μοιάζει με αρμονικό ταλαντωτή

= ± Λύση του ολοκληρώµατος t q,q 1 q Θεωρούμε την Lagrangian q Αναπτύσουμε το cosθ L = 1 q V ( q) cosθ = 1 1 θ + 1 4 θ 4 + V ( q) = 1 q + ε 4 q4 q 1 q L = 1 ml θ + mgl cosθ q Οι 3 αυτοί όροι ορίζουν τον αναρμονικό ταλαντωτή ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 16 dq E V q max V q max q Ο χρόνος που απαιτείται για να πάει από το qmax στο qmax ξανά q T = 4 q max dq E 1 q ε 4 q4 όπου E = 1 q max + ε 4 q 4 max H περίοδος εξαρτάται από το q max q To ολοκλήρωμα: x = q T = 4 q max 1 dx ( 1 x ) + εq max ( 1 x 4 )

Αναρµονικός ταλαντωτής ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 17 q Για μικρά ε αναπτύσουμε κατά Taylor: 1 dx T = 4 1 ε 1 x x = sinu π T = 4 du 1 ε ( 1+ sinu ) + 3 π T = π ε = π 1 3 4 ε + q Θέτoυμε T = π ω ε = 1 6 1+ θ max 16 + ( 1+ x ) + όπου ε = ε q max q Αν ε> η περίοδος γίνεται μικρότερη του απλού αρμονικου ταλαντωτή q Αν ε< η περίοδος γίνεται μεγαλύτερη q Για το εκκρεμές

ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 18 Φασικός χώρος phase space q Αν σωµατίδιο βρίσκεται σε κάποιο σηµείο (q,p ) σε µια χρονική στιγµή, η κίνησή του προσδιορίζεται σε όλες τις χρονικές στιγµές Ø Οι Hamiltonian εξισώσεις προσδιορίζουν τα q και p Ø και αυτά προσδιορίζουν τα q και p την επόµενη χρονική στιγµή κλπ q Χρονοεξελίσουµε έτσι το σύστηµα λαµβάνοντας έτσι (q,p ) και q, p q Οι αρχικές συνθήκες µε τις εξισώσεις Hamilton προσδιορίζουν πλήρως την διαδροµή του συστήµατος στο φασικό χώρο q Οι εξισώσεις του Hamilton µας λένε την διεύθυνση κίνησης του συστήµατος στον φασικό χώρο Ø Έστω σωµατίδιο κινείται στο φασικό χώρο και η Hamiltonian διατηρείται ανεξάρτητη του χρόνου (εποµένως οι επιφάνειες είναι σταθερές) Ø Έστω ˆq και ˆp τα µοναδιαία διανύσµατα στις διευθύνσεις q και p qp H = ˆq H q + ˆp H p Η εξέλιξη της θέσης του συστήµατος στο φασικό χώρο: ˆq q + ˆpp = ˆq H p ˆp H q Από τις σχέσεις: qp H ˆq "q+ ˆp"p = qp H ( ˆq "q+ ˆp"p )

ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 19 Φασικός χώρος phase space q Ένας -Ν διαστατικός χώρος με άξονες {q k } και {p k }. Ø Χρήσιμος στην Hamiltonian δυναμική: ü {q k } και {p k } είναι οι βαθµοί ελευθερίας ü Οι εξισώσεις Hamilton συνδέουν χρονικές παραγώγους των συντεταγµένων µε µερικές παραγώγους της Hamiltonian στον φασικό χώρο q Η Hamiltonian είναι ένα σύνολο επιφανειών στο φασικό χώρο Ø Για κάθε επιφάνεια αντιστοιχεί διαφορετική αλλά σταθερή τιµή της Hamiltonian q Οι εξισώσεις του Hamilton µας λένε την διεύθυνση κίνησης του συστήµατος στον φασικό χώρο Ø Έστω σωµατίδιο κινείται στο φασικό χώρο και η Hamiltonian διατηρείται ανεξάρτητη του χρόνου (εποµένως οι επιφάνειες είναι σταθερές) Ø Έστω ˆq και ˆp τα µοναδιαία διανύσµατα στις διευθύνσεις q και p qp H = ˆq H q + ˆp H p Η εξέλιξη της θέσης του συστήµατος στο φασικό χώρο: ˆq q + ˆpp = ˆq H p ˆp H q Από τις σχέσεις: qp H ˆq "q+ ˆp"p = qp H ( ˆq "q+ ˆp"p )

Φασικός χώρος phase space q Έστω απλός αρμονικός ταλαντωτής: H = p m + k x = E p Γράφημα στο φασικό χώρο: me + x E k = 1 ç έλειψη: E 1 E E 3 me p qp H ˆq q + ˆpp E k x Μεγάλος ηµιάξονας: Μικρός ηµιάξονας: ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 E k me q Για περισσότερες από -Δ: H qp H = ˆq k k q k H [ ˆq k q k + ˆp k p k ] = ˆq k + ˆp k H p k k k p k qp H [ ˆq k "q k + ˆp k "p k ] = k ˆp k H q k προβολή σε κάποιο q k -p k επίπεδο προβολή σε κάποιο q k -p k επίπεδο κάθετες µεταξύ τους q Ένα σύστηµα σωµάτων κινείται σαν ένα «υγρό» ή «αέριο» στο χώρο φάσεων

Φασικός χώρος phase space ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 1 q Έστω ο αρμονικός ταλαντωτής έχει συχότητα 1 : H = p + x = E p Γράφημα στο φασικό χώρο: E + x E = 1 ç κύκλος ακτίνας E p qp H ˆq q + ˆpp x ( q, p ) = H p, H q = ( p, q) Η ροή της κλίσης της Hamiltonian ή ροή της Hamiltonian Η δυναμική είναι «ροή»

Φασικός χώρος Θεώρημα Liouville ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 q Όχι μόνο το σύστημα σωμάτων μοιάζει σαν «υγρό» αλλά και η ροή του είναι ασυμπίεστη. q Η πυκνότητα του φασικού χώρου είναι σταθερή κατά μήκος των τροχιών των σωματιδίων dρ ({ q k },{ p k },t)= dt q Λέει ότι οποιεσδήποτε είναι οι δυναμικές συντεταγμένες (q,p) δεν δεν μπορούμε να συμπιέσουμε μια κατανομή του φασικού χώρου σε μικρότερη περιοχή του φασικού χώρου Ø Για δυνάμεις τριβής το θεώρημα παραβιάζεται q Το εμβαδό μιας περιοχής του φασικού χώρου ΔΑ=ΔqΔp, διατηρείται καθώς το σύστημα χρονοεξελίσεται

Φασικός χώρος Θεώρημα Liouville ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 3 q Έστω ένα σύνολο από αρχικές καταστάσεις. Θέλουμε να ξέρουμε πως θα εξελιχθεί χρονικά. p Liouville: το εμβαδό της Ν-διαστατικής επιφάνειας σε χώρο των φάσεων παραμένει σταθερό q Δp q Θεωρήστε -Δ και η επιφάνεια είναι ένα τετράγωνο Ø Χρονική εξέλιξη των πλευρών του τετραγώνου: Δq ( q, p) q + H p dt, p H q dt όπου H p = q = H p και H = p = H q q ( q + Δq, p) q + Δq + dt ( H p + H pq Δq), p ( H q + H qq Δq)dt (q,p) Ανάπτυγµα Taylor του H p = H q=q+δq p + H p Δq q=q = H q p + H q=q pq Δq q=q q=q ( q, p + Δp) q + dt ( H p + H pp Δp), p + Δp ( H q + H qp Δp)dt (, p + Δp ( H q + H qp Δp + H qq Δq)dt) ( q + Δq, p + Δp) q + Δq + dt H p + H pp Δp + H pq Δq

Φασικός χώρος Θεώρημα Liouville ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 4 q Ουσιαστικά αυτό που κάναμε ήταν. Δp Δq q Το αρχικό εμβαδό ήταν: A = ΔpΔq q Μετά από χρόνο dt: A = ΔpΔqdet q Χρειάζεται να υπολογίσουμε το μήκος των πλευρών του νέου σχήματος: ( Δq + dth pq Δq,ΔqH qq dt) ( dth pp Δp,Δp ΔpH pq dt) 1+ dth pq dth qq dth pp A = ΔpΔqdet 1 dt H pq A = ΔpΔq + dt q Επομένως το εμβαδόν δεν αλλάζει για (dt) q Ολοκληρώνοντας έχουμε: Α=σταθ. 1 dth pq ( dt H pp H qq ) Ø Το εμβαδό δεν αλλάζει αλλά το σχήμα αλλάζει da dt =

Φασικός χώρος Θεώρημα Liouville ΦΥΣ 11 - Διαλ.16 5 q Τα προηγούμενα ισχύουν για οποιαδήποτε σχήμα: Δp Δq Ø Μπορούμε να χωρίσουμε το σχήμα σε πολλά μικρότερα τετράγωνα τα οποία δεν αλλάζουν εμβαδό Ø Αθροίζουμε τα τετράγωνα q Για Ν-διάστατο χώρο η απόδειξη είναι ίδια Ø Ν-διάστατος όγκος παραμένει αμετάβλητος με το χρόνο Ø Το σχήμα ωστόσο αλλάζει